Karel Vostruha. evolučních rovnic hyperbolického typu

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Diplomová práce Karel Vostruha Asymptotické chování nelineárních evolučních rovnic hyperbolického typu Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Dalibor Pražák Ph.D. Studijní program: Matematická analýza 011

Kapitola 1 Úvod Studium evolučních rovnic je velmi stará oblast matematické fyziky a evoluční rovnice hyperbolického typu patří mezi jedny z nejdůležitějších typů. Mezi nejznámější zástupce patří zákony zachování, vlnová rovnice a Schrödingerova rovnice. V této práci bude studována rovnice tvaru: u tt +A(u)+G(u t )+F(u) = 0 v (0, ), u = 0;u(.,0) = u 0,u t (.,0) = u 1 O rovnici v tomto velmi obecném tvaru se nedá mnoho říci. V této práci bude A lineární eliptický operátor, G a F spojité reálné funkce, na které budeme požadovat jisté růstové podmínky. Obsah práce: v kapitole shrneme základní značení a zadefinujeme použité pojmy s odkazy na příslušnou literaturu. V kapitole 3 shrneme základní vlastnosti laplasiánu a vybudujeme základy teorie prostorů H α, které budou užitečným nástrojem pro studovanou rovnici. S mírnými úpravami se bude jednat o rozšíření a zobecnění sekce. z diplomové práce Mgr. Evy Fašangové [13, str. 9-1]. Dále ukážeme vztah mezi prostory H α a Sobolevovými prostory. Prostory H α se dají chápat jako možná definice Sobolevových prostorů funkcí s neceločíselnou derivací. A zavedeme pojem fraktální mocniny positivního operátoru a ukážeme souvislost definičního oboru fraktální mocniny laplasiánu a prostorů H α. V kapitole 4 dokážeme existenci a jednoznačnost slabého řešení rovnice kmitání pevného tělesa se slabým třením: u tt +(- ) n u+g(u t )+f(u) = 0 v (0, ), (- ) k u = 0,k = 1, n 1, u(.,0) = u 0 H n, u t (.,0) H 0, kde C nebo R d je otevřená, omezená kychle. Navíc g,f : R R jsou hladké funkce s následujícími podmínkami na derivace: existují kladná 1

čísla α, c a γ, navíc budeme požadovat jistou růstovou podmínku na f tak, že 0 < α g (x) cα <, f (x) γ <, f(x) lim inf > λ n x x 1, kde λ 1 je nejmenší vlastní číslo - na s nulovými Dirichletovými okrajovými podmínkami. Navíc g má nulový bod g(0). Tyto podmínky se dají přeformulovat pro funkce z prostorů H s, s [0,n] (g(u) g(v),u v) α u v H 0, g(u) g(v) H 0 αc u v H 0, f(u) f(v) H 0 γ u v H s s [0,n), lim inf x g(0) = 0 f(x) > λ n x 1. Důkaz existence a jednoznačnosti slabého řešení provedeme pomocí Galerkinovy metody a metody shlazení počáteční podmínky, která je neobvyklá pro tento typ úloh. Při důkazu existence a jendoznačnosti slabého řešení pomocí Galerkinovy metody dostaneme mnoho užitečných informací a nerovností, které použijeme v pozdějších kapitolách. V kapitole 5 dokážeme, že dynamický systém indukovaný řešící semigrupou je disipativní. V kapitole 6 dokážeme existenci globálního atraktoru a explicitní odhad jeho fraktální dimenze pomocí dat z rovnice a pomocí citované literatury [3], [4]. Dále aplikujeme získané výsledky na speciální případ dat a dáme odpověd na některé otázky z diplomové práce Mgr. Evy Fašangové [13]. V kapitole 7 shrneme získané poznatky.

Kapitola Symboly a použité prostory funkcí R d bude otevřená, jednoduše souvislá množina a C, nebo R d otevřená, omezená krychle, kde pod pojmem C k rozumíme, že existujepřirozenéčíslom < tak,že sedápokrýtpomocímotevřených množinu i an -množinamiry0.aexistujemlokálníchsouřadnýchsystémů tak, že restrikce Ui je graf funkce z třídy C k (U i ). Rigorozněji definovaný pojem hranice lze nalézt v Evans [1, str. 66] X Y (X Y) - prostor X je spojitě (kompaktně) vnořen do prostoru Y V definicích Sobolevových prostorů je a N d multiindex. Jako výšku multiindexu definujeme a := d a j. Pod znakem j=1 D a budeme rozumět distributivní derivaci podle multiindexu a Sobolevův prostor distributivně (slabě) diferencovatelných funkcí: W k, () := {f L ();D a f L (), a k}. Pojem stop: Necht C 0,1, u W 1, () potom řekneme, že u = 0 na ve smyslu stop, pokud existuje posloupnost u n C ( ), u n u ve W 1, () a u n = 0 na. Greenova identita: Necht R d je omezená, jednoduše souvislá, otevřená množina. Necht dále je lipschitzovská a u,v C 1 ( ) potom plati: x uv = uvnds x v x u, kde n je jednotkový vnější normálový vektor k. Důkaz lze nalézt Evans [1, Theorem, str.68]. Této identitě se říká perpartes v d-dimenzích 3

Sobolevův prostor W k, 0 () := {f W k, (),D β f = 0, na pro všechna β k a D α u = 0 pro α k 1 na ve smyslu stop } Pro více informací o teorii Sobolevových prostoru lze nahlédnout do Adams, Fournier [10] Práce je o evolučních rovnicích a přirozenými nástroji a prostory pro práci s tímto typem parciálních diferenciálních rovnic jsou Bochnerovy prostory - prostory funkcí závísejících na čase s hodnotami v Banachových prostorech. Bochnerův prostor: L p (0,T;X), kde 1 p a X je Banachův prostor. Normu definujeme jako u L p (0,T;X) := u X (t) L p (0,T). Více informací o teorii Bochnerových prostorů se dá nalézt v Gajevski et. al. [8] Sobolevův prostor: W 1,p (0,T;X), kde 1 p a X je Banachův prostor, obsahuje všechny funkce u L p (0,T;X) jejichž slabá časová derivace u t L p (0,T;X). Normu definujeme jako ( T u W 1,q (0,T;X) := u X (t)+ u t X (t)dt 0 )1 q pro 1 q < a u W 1, (0,T;X) := ess-sup 0 t T ( u X (t)+ u t X ) pro q =. 4

Kapitola 3 Prostory H α 3.1 Laplasián V této subkapitolce shrneme základní vlastnosti laplasiánu, které budeme mlčky používat dál v práci. Definice 3.1. Laplaceovým operátorem (laplasiánem) rozumíme operátor - : W, () L (), kde - =- d, dále značíme x k (- ) n = - (- ) n 1 : W n, () L (), n N a (- ) 0 = I. Věta 3.. (vlastní čísla a vlastní funkce laplasiánu) Necht R d jejednodušesouvislá,omezenámnožinaa C.Uvažujme úlohu - ω(x) = λω(x),x, ω(x) = 0,x. Potom existuje spočetná množina reálných čísel tak, že 0 < λ 1 λ λ k, lim λ k =, ω k W 1, 0 (), {ω k } tvoří ortonormální bázi L (). k λ k se nazývají vlastní čísla a ω k vlastní funkce laplaciánu. Důkaz lze najít Evans [1, Theorem 1, str.335]. Poznámka 3.3. V předpokladech jsme uvažovali hladší hranici, aniž by to bylo potřeba. Toto zesílení předpokladů na hranici je pro potřeby následujících vět a důkazu existence řešení. Věta 3.4. (Regularita u hranice) Necht m N, f W m, (), C m+ a u W 1, 0 je řešením úlohy - u = f u = 0 5

Potom u W m+, W 1, 0 () a platí následující odhad u W m+, () C(m,)( f W m,()+ u L ()). Věta je speciálním případem věty o vyšší regularitě řešení u hranice viz, Evans [1, Theorem 5,str.33]. Důsledek 3.5. Necht C, potom vlastní funkce ω k z Věty 3. jsou nekonečně diferencovatelné funkce až do hranice. tj. ω k C ( ). Důkaz. Stačí použít předchozí větu na funkce ω k. Lemma 3.6. Necht X je vektorový prostor, A : X X lineární operátor (může být i neomezený) a necht existuje λ C a x X, tak že Ax = λx. Potom platí A n x = λ n x Důkaz. Uvaž λ a x z předpokladů, potom A n x = A n 1 (Ax) = A n 1 λx = λ n x. Věta 3.7. (růst vlastních čísel laplasiánu) Uvažujme vše jako ve Větě 3., potom λ k k d pro d = 1,,3,. Důkaz lze nalézt Davies [1, Theorem 6.3.1, str. 135] Věta 3.8. (vlastní čísla a vlastní funkce (- ) n ) Necht jsou splněny stejné předpoklady jako ve Větě 3., uvažujme úlohu (- ) n v(x) = µv(x),x, (- ) m v(x) = 0,m = 0,1, n 1,x. Potom existuje spočetná množina reálných čísel tak, že 0 < µ 1 µ µ k, lim µ k =, v k C ( ), {v k } tvoří ortonormální bázi L (), k µ k k n d, d = 1,,3,. Důkaz. Z Věty 3. a Lemmatu 3.6 dostáváme, že funkce ω k z Věty 3. a Důsledku 3.5 jsou vlastní funkce operátoru (- ) n na a čísla µ k = λ n k jsou k nim příslušející vlastní čísla, hladkost vlastních funkcí dostáváme z Důsledku 3.5. Z Věty 3. víme, že systém {ω k } tvoří ortonormální bázi L (). Nyní dokážeme, že žádná další vlastní čísla a vlastní funkce neexistují. Pro spor předpokládejme, že existuje β a v tak, že β µ k pro všechna k a v je příslušející vlastní funkce. β(v,ω k ) L () = ((- ) n v,ω k ) L () = (v,(- ) n ω k ) L () = µ k (v,ω k ) L () (3.1) z toho nám plyne, že (v,ω k ) L () = 0, k bylo libovolné. A tedy v je kolmé na bázi L (). Spor µ k k n d, d = 1,,3, plyne z předchozího a tvrzení Věty 3.. 6

Definice 3.9. Otevřenou krychlí v R d budeme rozumět kartezký součin d otevřených intervalů (0, L), tj. (0,L). i=1 Věta 3.10. Necht R d jeotevřená,omezenákrychle:{x = {x 1,,x d } : 0 < x i < L;i = 1,,d}. Uvažujme úlohu na vlastní čísla Potom funkce - u(x) = λu(x),x, ω k := u(x) = 0,x. ( L)d d i=1 sin ( π k ix i ) L (3.) parametrizované multiindexem kladných přirozených čísel k := (k 1,,k d ) tvoříúplnouortonormálníbáziprostorul ()apříslušejícívlastníčíslajsou λ k := π L (k 1 + +k d). (3.3) Poznámka 3.11. Pro usnadnění zápisu si uspořádáme vlastní čísla, dle výšky multiindexu do neklesající posloupnosti a očíslujeme je pomoci k N Důkaz. Že funkce ω k a čísla λ k jsou vlastní funkce a vlastní čísla se ověří přímým výpočtem. Ortogonalita plyne z ortogonality trigonometrického systému {sin kx} a Fubiniho Věty. Normalita se obdrží přímým výpočtem: stačí si ) dx i = L a použít Fubiniho větu. Že funkce ω k uvědomit, že ( L 0 sin kπ x L i tvoří bázi L () se dostane z Evans [1, Theorem 1, str.335]. Poznámka 3.1. Funkce ω k z Věty 3.10 jsou prvky C ( ). Následující věta je analogií Věty 3.8. Věta 3.13. Necht jsou splněny všechny předpoklady jako ve Větě 3.10. Uvažujme následující úlohu: Potom funkce (- ) n v(x) = µv(x),x, (- ) m v(x) = 0,m = 0,1, n 1,x. ω k := ( L)d d i=1 sin ( π k ix i ) L (3.4) parametrizováné multiindexem kladných přirozených čísel k := (k 1,,k d ) tvoříúplnouortonormálníbáziprostorul ()apříslušejícívlastníčíslajsou 7

( π ) n. λ k := L (k 1 + +kd) (3.5) Důkaz. Důkaz je analogický důkazu Věty 3.8 a díky poznámce máme ω k C ( ). 3. Prostory H α VtétokapitolesizadefinujemeprostoryfunkcíH α,kteréjsoupřirozenýmdefiničním oborem pro studovanou rovnici. Ukážeme základní vlastnosti těchto prostorů a jejich vnoření do jiných prostorů funkcí. V této podkapitole bude R d jednoduše souvislá, omezená, otevřená množina, C, nebo R d bude otevřená, omezená krychle, ω k, λ k vlastní funkce a vlastní čísla laplasiánu z Věty 3., v případě krychle z Věty 3.4. V obou případech jsou funkce ω k prvky C ( ). Definice 3.14. Pro α 0 definujme prostor H α := {f L (); λ α k (f,ω k) L () < }. Označme c k := (f,ω k ) L () = fω kdx. Na prostoru H α uvažujeme skalární součin a normu f = f H α = c k ω k g = d k ω k (.,.) α = λ α k c k = (f,f) α. λ α kc k d k Konvergenci těchto formálních řad bereme ve smyslu prostoru L (). Ověřme, že takto definovaný skalární součin je skutečně skalární součin. Stačí ověřit, že pro f,g H α je (f,g) α R: (f,g) α = λ α k λ α k c k d k λ α k d k <. l=1 λ α l c l Poznámka 3.15. Pro α = 0 dostáváme prostor L () - přímo z Parsevalovy rovnosti. Lemma 3.16. T = {f L (),f = N a k ω k,a k R,N N} je hustý v H α. 8

Důkaz. Vol ε > 0 a g H α. Reprezentujme g = c k ω k. Potom existuje n 0 > 1 tak, že platí f := n 0 k=n 0 +1 c k ω k a platí f g H α < ε. λ α k c k < ε, potom položme Věta 3.17. Prostor H α se skalárním součinem (.,.) α tvoří Hilbertův prostor. Důkaz. H α je lineární - snadné ze Schwarzovy nerovnosti. K dokončení důkazu stačí ukázat, že prostor H α je úplný (norma je indukována skalárním součinem (.,.) α ). Necht {f n } je cauchyovská posloupnost v H α f n = c n kω k n = 1,,3,. Položme c k := lim n + cn k, tato limita existuje z cauchyovskovosti posloupnosti f n. Dále položme g = c k ω k, potom z definice cauchyovské posloupnosti volme ε > 0, k tomuto ε najděme n 0 N tak, že pro všechna m,n n 0 : f n f m H α < ε.limitnípřechodm dává f n g H α ε.znerovnosti f n H α g H α f n g H α ε plyne, že g H α. Tedy prostor H α je úplný v normě. H α, norma vznikla ze skalárního součinu, tedy H α je Hilbertův. Pro potřeby další práce budeme potřebovat vědět, jak vypadá duální prostor k prostoru H α. Definice 3.18. Definujme prostor formálních řad H α := { d k ω k, kde λ α k d k < }. Na prostoru H α uvažujeme přirozenou normu h = d k ω k H α, potom h H := α λ α k d k. Poznámka 3.19. Konvergence řady v definici prostoru H α není ve smyslu prostoru L (), ale L () je spojitě vnořeno do H α. Důkaz. Vol f = c k ω k L (). Potom f H α = λ α k c k = λ α 1 ( λk ) α c λ k λ α 1 1 c k = λ α 1 f L (). 9

Věta 3.0. H α je duální prostor k prostoru H α s následující reprezentací: necht f = c k ω k H α a g = d k ω k H α tak, že f,g = c k d k ( ) Důkaz. inkluze H α H α je jasná. Dokažme obrácenou implikaci. ( ) Zvol G H α definujme posloupnost čísel dk = F,ω k, a položme u := d k ω k. Potom pro každou f = c k ω k H α G,f = c k d k. (3.6) Zvol c k := d k λ α k pro k N,c k := 0 jinak. Potom s využitím Cauchy- Schwarzovy nerovnosti dostaneme c k d k = N c k d k = G N N d kλ α k N d k λ α k N d k λ α k d k λ α k. (3.7) Z předchozího sledu nerovností dostáváme: N d k λ α k G <, N N. Tímto jsme dokázali, že u ) H α. Takto získané u nám reprezentuje funkcionál G. Tedy H α (H α Poznámka 3.1. Předchozí věta říká, že prostor H α je duální prostor k prostoruh α.zvětzfunkcionálníanalýzyvíme,žeduálníprostorjevždyúplný. Tedy dostáváme, že lineární normovaný prostor H α je úplný. Podobně jako v Lemmatu 3.16 bychom dokázali, že prostor H α je separabilní. Věta 3.. Necht 0 β < α, potom H α H β a toto vnoření je husté a kompaktní. Důkaz. Vnoření H α H β : vol f H β. f = c k ω k 10

f H β = λ β k c k = λ β 1 ( λk λ 1 ) βc k λ β 1 ( λk λ 1 ) αc k = λ β α 1 f H α. Kompaktnost vnoření H α H β : Necht {f n } je omezená posloupnost v H α, potom lze {f n } vybrat konvergentní podposloupnost v H β. f n = c k,n ω k a f n H β C Vol ε > 0 k=n ( λk λ 1 ) β α+α c k,n 1 ( ) α β λ N λ1 k=n n ( λk λ 1 ) αc k,n C ( ) α β < ε (3.8) λ N λ1 pro N dost velké. Potom N-tice posloupností {c k,n } jsou omezené číselné posloupnosti(koeficienty posloupnosti stejnoměrně normově omezených funkcí), diagonálním vyběrem výběreme konvergentní podposloupnosti, označme je {c k,m } a k nim vybrané funkce f nm. K danému ε z konvergence {c k,m } existuje n 0 ; m,l > n 0 : N 1 ( ) λ β(c k λ 1 k,m c k,l ) < ε N 1 ( f nm f nl H β = λ β λk ) β(c 1( λ k,m c k,l)+ 1 k=n N 1 ( λ β λk ) β(c 1( λ k,m c k,l)+ε) < λ β 13ε. 1 ( λk λ 1 ) β(c k,m c k,l)) Poslední nerovnost říká, jak vybírat cauchyovskou podposloupnost a prostor H β je úplný. Z toho nám plyne kompaktnost operátoru identity. Nyní máme vyšetřenou hierarchii prostorů H α. Z poznámky za definicí prostoru H α víme, že prostor L () se dá spojitě vnořit do H α pro α > 0. Následující lemma nám dá vztah mezi normami v prostorech H α a H β, kde α,β R. Lemma 3.3. (vztah norem) Necht β < α a f H β, potom f H β λ α β 1 f H α. Důkaz. f H β = λ α kc k = λ β 1 λ β 1 ( λk ) αc λ k = λ β α 1 1 ( λk λ 1 ) βc k = λ α 1 ( λk λ 1 ) β α+α c k λ β k c k = λ β α 1 f H β. 11

Důležitý případ je β = 0. Potom nerovnost má tvar Nyní ukážeme, že H n W n, () f H 0 λ α 1 f Hα. (3.9) Věta 3.4. H n W n, () W 1, 0 () Důkaz. Necht f H n, f = c k ω k, potom ve smyslu distribucí f = - f = (- f) =. (- ) n f = c k ω k λ k c k ω k λ k c k ω k λ n kc k ω k (- ) n f L () = λ n k c k = f H n. PoslednířadakonvergujevesmysluprostoruL ().Konvergencepředchozích řad se získá pomocí Cauchy-Schwarzovy nerovnosti nebo pomocí per-partes: předpokládejme, že f H 1 a f L () potom f L = ( c k ω k, c l ω l ) = lim N = lim N = lim N = lim N = N N N l=1 N c k c l l=1 ω k ω l = N N [ c k c l k ω l ω l=1 N l=1 c kλ k = f H 1. c k c l λ l δ k,l = lim N N c k c l ( ω k, ω l ) = l=1 ω k ω l ] N c kλ k Další případy se udělají zcela analogicky. Takto derivované funkce mají svého reprezentanta v H n určeného jednoznačně s.v.. 1

Vnoření H n W n, 0 W 1, 0 (): Z předchozích nerovností dostáváme, že pro f H n je f L (). Označme - f = g L () jako pravou stranu slabě formulované rovnice: ( f, ω) = (g,ω) ω W 1, 0 (), f = 0. Dle Věty 3.4 dostáváme, že f W, () W 1, 0 (). Nyní budeme iterovat předchozí úvahu ((- ) f = g)a postupně obdržíme f W n, () W 1, 0 (). Z vlastností funkcí ω k plyne, že (- ) j f = 0 ve smyslu stop pro j = 1,, n 1. Celkově dostáváme tuto hierarchii: = L (), H 1 = W 1, 0 (), H W, () W 1, 0, H 0. H n W n, () W 1, 0. 3.3 Alternativní zavedení prostorů H α Necht R d otevřená, jednoduše souvislá, omezená množina a C, nebo R d omezená, otevřená krychle. Potom systém vlastních funkcí Laplaceova operátoru {ω k } tvoří ortonormální bázi L (). Dále z důsledku Věty 3.4 víme, že ω k C ( ) pro C. A z Věty 3.10 víme, že ω k C ( ) pro R d omezená, otevřená krychle. Dále z per-partes pro u W 1, 0 () dostaneme: (- u,u) L () = ( u, u) L () c u L (). (3.10) Tedy - je positivní operátor. Každou funkci f L () můžeme napsat ve tvaru f = (f,ω k ) L ()ω k. Tento zápis motivuje k přirozenému zavedení fraktální mocniny (- ) α pro α 0: Definice 3.5. Fraktální mocninu (- ) α pro α 0 a f L () definujeme jako: (- ) α f = λ α k(f;ω k ) L ()ω k. (3.11) 13

Definičním oborem (- ) α je D((- ) α ) = {u L (); λ α k (f,ω k) L () < }.AjakonormunaD((- )α ) uvažujeme: u D((- ) α ) := ((- ) α u;(- ) α u) L () = λ α k (f,ω k ) L (). (3.1) NormanaD((- ) α )vzniknezeskalárníhosoučinu(u,v) D((- ) α ) := ((- ) α )u;v) L (). Nyní je vidět, že definiční obor (- ) α je vlastně v předchozí podkapitole definovaný prostor H α. 14

Kapitola 4 Existence a jednoznačnost slabého řešení Pozbytekprácebude R d otevřená,jednodušesouvislá,omezenámnožina a C,nebo R d omezená,otevřenákrychle.hlavnímcílemanáplní této kapitoly bude dokázání existence a jednoznačnosti slabého řešení rovnice: u tt +(- ) n u+g(u t )+f(u) = 0 v (0, ), (4.1) (- ) k u = 0,k = 1, n 1, u(.,0) = u 0 H n,u t (.,0) H 0. Kde[u,u t ] C([0, );H n ) C([0, );H 0 ).Pozbytekprácebudemepoužívat označení pro energetický funkcionál E[u](t) := u t H 0 (t)+ u H n(t). Definice 4.1. (slabá časová derivace) Necht H je Hilbertův prostor se skalárním součinem (.,) H a B je Banachův prostor tak, že B H = H B Necht B je hustý v H, je-li u L p (0,T;B), označme u t prvek z L p (0,T;B) takový, že T 0 T u t,v B,B ϕ(t)dt = 0 (u,v) H ϕ (t)dt (4.) v B,ϕ C 0 (0,T). Potom funkci u t nazýváme slabou časovou derivací. Vyšší derivace definujeme analogicky. V našem případě je B = H n a H = L (). Definice 4.. (slabé řešení) Řekneme, že u L (0,T;H n ) s u t L (0,T;H 0 ) a u tt L (0,T;H n ) je slabé řešení (4.1) s (- ) k u(.,t) = 0,k = 0,1 n jestliže platí: 15

u tt,ϕ + ((- ) n u,(- ) n ϕ)+(g(ut ),ϕ)+(f(u),ϕ) = 0, pro s.v. t [0,T], ϕ H n a u(0) = u 0 u t (0) = u 1. Lemma 4.3. Necht H je Hilbertův prostor se skalárním součinem (.,.) H a B je Banachův prostor takový, že B H = H B. Necht B je hustý v H, 1 < p <. Potom prostor W = {u L p (0,T;B);u t L p (0,T;B )} je spojitě vnořen do C([0,T];H) důkaz lze najít v Gajevski et al. [8] Věta 4.4. Necht 0 < T < pevné a u W 1,p (0,T;X) pro nějaké 1 p. Potom (i) u C([0,T],X) (po předefinování na množině míry 0), (ii) max 0 t T u(t) X C(T) u W 1,p (0,T;X). Důkaz lze nalézt Evans [1, Theorem, str.86] Poznámka 4.5. V definici slabého řešení požadujeme omezenost řešení v norměprostorul (0,T;H n )ačasovéderivacevnorměprostorul (0,T;H 0 ), toto slabé řešení patří speciálně do prostoru W = {u L (0,T;H 0 ),u t L (0,T;H 0 )} a dle Lemmatu 4.3 se dá W C([0,T],H 0 ). Z tohoto vnoření nám plyne spojitost u. Z definice slabého řešení rovnice (4.1) požadujeme aby u t L (0,T;H 0 ) a u tt L (0,T;H n ). Z toho nám plyne, že u t W 1, (0,T;H n ). (H 0 H n ) Dle Věty 4.4 je u t C([0,T];H n ). Spojitost v čase nám říká, že se počáteční podmínky nabývá. Věta 4.6. (Aubin-Lionsovo lemma) Necht α (1, ), β [1, ]. Je-li X Banachův a X 0,X 1, reflexivní separabilní Banachovy prostory takové, že pak X 0 X X 1 {v L α (0,T;X 0 );v t L β (0,T;X 1 )} L α (0,T;X). důkaz lze najít v Simon [7] Věta 4.7. (Gronwallovo lemma) Necht y(t), g(t), h(t) 0 t (0,T) a h,g L 1 (0,T). Pak pro absolutně spojitou funkci y(t), která splňuje nerovnici: d y(t) g(t)+h(t)y(t) t [0,T]. dt 16

Platí y(t) y(0)e t 0 t h(s)ds + 0 g(s)e t 0 h(v)dv ds t [0,T]. V případě, že d y(t) h(t)y(t) na [0,T] a y(0) = 0. Potom y 0 na [0,T] dt Důkaz lze nalézt v Evans [1, Theorem J, str. 64] Lemma 4.8. Necht [u,u t ] L (0,T;H n ) L (0,T;H 0 ),označíme-lie[u](t) := u H n + u t H 0 a E δ [u](t) = E[u](t) + δ(u t,u) L (). Za předpokladu, že δ λn 1, potom dostáváme 1 E[u](t) E δ[u](t) 3 E[u](t). Důkaz. δ (w t,w) L () δ w t H 0 w H 0 w t H 0 w t H 0 + w H n + λn 1 4 w H 0 = E[w](t). (4.3) Z předchozího sledu nerovností dostáváme ekvivalenci E[u](t) a E δ [u](t) tj.: 1 E[w](t) E δ[w](t) 3 E[w](t). (4.4) Věta 4.9. (Existence a jednoznačnost slabého řešení) Pokud navíc platí: g,f : R R jsou reálné funkce a [u,u t ],[v,v t ] H n H 0 platí (g(u) g(v),u v) α u v H0, (4.5) g(u) g(v) H 0 cα u v H 0, (4.6) f(u) f(v) γ u v H s, s [0,n), (4.7) lim inf x g(0) = 0, (4.8) f(x) > λ n x 1. (4.9) Potom pro každou dvojici [u 0,u 1 ] H n H 0 existuje jednoznačné u C([0, );H n ) a u t C([0, );H 0 ) řešení (4.1). Než přistoupíme k vlastnímu důkazu věty, zminíme několik pozorování o nelineárních členech a dokážeme několik užitečných pomocných tvrzení. Poznámka 4.10. Několik slov o růstových podmínkách: (4.5) a (4.6) říká, že funkce g je monotonní a koercivní, (4.6) říká, že funkce g je lipschitzovská, (4.7) říká, že funkce f je lipschitzovská. 17

O významu podmínky (4.9) pojednávají následující lemmata. Lemma 4.11. Necht f : R R spojitá. Potom je ekvivaletní: (i) θ > 0,C R: ( λ n 1 +θ)x C xf(x) x R, f(x) (ii) liminf > λ n x + x 1. Důkaz. (i) (ii): snadno plyne z limitního přechodu (ii) (i): plyne z definice liminf a spojitosti f Lemma 4.1. Necht f : R R spojitá, necht dále je splněna následující růstová podmínka: θ > 0,C R: ( λ n 1 +θ)x C xf(x) x R. Potom ε > 0,C 1 R tak, že 1 ( λn 1 +ε)x C x 0 f(t)dt. Důkaz. Z předchozího lemmatu víme, že růstová podmínka je ekvivalentní f(x) lim inf = λ n x x 1 +θ > λ n 1, kde θ > 0. Nejdříve budeme předpokládat, že x > 0: z definice liminf existuje M > 0 tak, že pro x > M platí: f(x) x x ( λ n 1 +θ)x. Ze spojitosti f dostáváme: f(x) (λ n 1 +θ)x C, x (0, ), kde C > 0. Konečně integrací a použitím Youngovy nerovnosti dostáváme: x 0 f(t)dt (λ n 1 +θ) x C 1x (λ n 1 +θ) x θ C 1 θ = (λ n 1 + θ )x C θ (4.10) Pro x < 0 se vše udělá analogicky. Nyní se určí ε a C pomocí následujících rovnosti: ε := θ, (4.11) C := max{c 1 ;C } 1 θ. (4.1) Důsledek 4.13. Označme F primitivní funkci k f. Za předpokladů Lemmatu 4.1 dostáváme tyto nerovnosti: 18

, kde C 1,C R f(u)u (θ λ n 1) u H 0 C 1 (θλ n 1 1) u H n C 1, (4.13) F(u) ε λn 1 u H C 0 ελ n 1 1 u H C. (4.14) n Důkaz. důkaz je přímým důsledkem předchozího lemmatu Lemma 4.14. Předpokládejme, že existuje řešení(4.1) s počátečními podmínkami [u 0,u 1 ] H n H 0 na [0, ). Za předpokladu (4.9). Potom energetický funkcionál řešení [u,u t ] rovnice (4.1) s počátečními podmínkami [u 0,u 1 ] je omezená funkce na [0, ). Důkaz. Rovnici (4.1), přenásobíme u t a integrujeme přes : 1 d dt E[u](t)+ t úpravou dostáváme 1 d dt E[u](t)+ d dt 0 f(u)u t dxdt = g(u t )u t dx α u t H 0 0 F(u(x,t))dx 0 Integrujme předchozí nerovnost přes(0, t) a použijme důsledek 4.13 a obdržíme: 0 E[u](t)+ F(u)dx E[u](0) F(u(x,0)dx u H + u t n H 0 (1 λ n 1 ε) u H C n 1 CE[u](t) C 1 (4.15),kdeC := min{1,ελ n 1 }ac 1 := C E[u](0) F(u(x,0)dx.Zpředchozí nerovnosti plyne, že E[u](t) je omezená funkce na [0, ). Díky předchozímu lemmatu má smysl požadovat omezenost řešení v čase v normě prostoru L (0,,H n ) L (0,,H 0 ). Nyní přejdeme k vlastnímu důkazu Věty o existenci a jednoznačnosti řešení 4.9. Důkaz. jednoznačnost: Necht existují dvě řešení u a v, polož w := u v u tt v tt +(- ) n u (- ) n v +g(u t ) g(v t )+f(u) f(v) = 0 (4.16) u(.,0) = u t (.,0) = 0;(- ) k u(.,t) = 0;k = 0. n 1 19

Rovnici (4.16) otestujeme w t := u t v t : 1 d dt E[w](t)+α w t H γ w 0 H s w t H 0 γ α w H s + α w t H 0, d dt E[w](t)+α w t H γ 0 α w Hs. (4.17) Zavedeme označení E δ [w](t) = E[w](t) + δ(w t,w) L (). Snadno vyjde, že d platí: (w dt t,w) L () (w tt,w) L () = w t H. Z Lemmatu o vztahu norem 0 (3.3) víme, že w H s λ s 1 w H. 0 Rovnici (4.16) otestujeme w := u v: (w tt,w) L () + w H n = d dt (w t,w) L () w t H 0 + w H n Konečně dostáváme: cα w t H 0 w H 0 +γ w H s w H 0 c α w t H +c1 0 w H 0 +γλ s 1 w H s cα w t H 0 +cλ s 1 w H s +γλ s 1 w H s. (4.18) d dt (w t,w) L () + w H n (cα +1) w H 0 +(cλ s 1 +γλ s 1 ) w Hs. (4.19) Nerovnost (4.19) vynásobíme δ > 0 a přičteme k (4.17) d dt E δ[w](t)+(α δ(cα +1) w t H 0+δ w H γ n α +δ(cλ s 1 +γλ s 1 ) w H s. Položme δ := 1 min{ α cα +1,λn 1 } a označme K := γ α +δ(cλ s 1 +γλ s 1 ). Potom d dt E δ[w](t)+δe [ w](t) K w Hs, (4.0) δ bylo voleno tak, aby splnilo předpoklady Lemmatu 4.8. Tedy dostáváme tyto odhady na chování energií: 1 E[w](t) E δ[w](t) 3 E[w](t). (4.1) Když dáme dohromady (4.0) a (4.1), potom Gronwallovo lemma použité na interval [0,T] říká: sup E[w](t) C(T)( w t H 0(0)+ w Hn(0)) = 0. (4.) t [0,T] Z toho plyne, že řešení je jednoznačné pro T < libovolné, z toho nám plyne globální jednoznačnost v čase. 0

existence: nejdříve budeme předpokládat, že [u 0,u 1 ] H n+1 H 1 Krok I. Galerkinovské aproximace u N = N Cj N (t)ω k, (4.3) s počátečními podmínkami C N j (0) = (u 0,ω j ) L () a (C N j ) t (0) = (u 1,ω j ) L () Toto aproximativní řešení splňuje následující slabě formulovanou obyčejnou diferenciální rovnici: (u N tt,ω l ) + ((- ) n u N,ω l )+(g(u N t ),ω l )+(f(u N ),ω l ) = 0, l = 1,, N, N N u N (0) = (u 0,ω k ) L () u N t (0) = (u 1,ω k ) L (). PodlePeanovy(klasické)teorie T N > 0(všechnyčlenyvrovnicijsouspojité funkce) tak, že existuje řešení rovnice (4.4) na [0,T N ]. Dále dostáváme, že [u N,u N t ] H n+1 H 1. Krok. Máme slabou formulaci úlohy (4.1) (u N tt,ω)+((- ) n u N,ω)+(g(u N t ),ω)+(f(u N ),ω) = 0, ω span{ω 1,,ω N }. Rovnici (4.4) otestujeme u N t : u N ttu N t + (- ) n u N u N t + g(u N t )u N t + f(u N )u N t = 0, 1 d dt un t H + 1 d 0 dt (- )n u N H + g(u N 0 t )u N t = f(u N )u N t, 1 d dt E[uN ](t) + α u N t H 0 γ un H s u N t H 0. (4.4) Z Youngovy nerovnosti snadno obdržíme: u N H n u N t H 0 E[uN ](t), dále víme, že u N H s λ s n 1 u N H n. Poslední nerovnost v (4.4) implikuje: 1 d dt E[uN ](t) 1 d dt E[uN ](t)+α u N t H γλs n 0 1 A tedy E[u N ](t). (4.5) d dt E[uN ](t) γλ s n 1 E[u N ](t) Gronwall sup E[u N ](t) e CT N ) <. (4.6) t [0,T] 1

Tento odhad dostaneme, když 0 < T N < pevné. Dále z odhadu plyne, že dostáváme stejnoměrné omezení konstantou závislou na T N a T N může být libovolně veliké a konečné. Z toho nám plyne, že maximální řešení Galerkinovské aproximace (4.4) existuje na [0, ) - metoda hledání maximálního řešení u obyčejných diferenciálních rovnic. V další části důkazu bude 0 < T < pevné a libovolné (nezávisí na počáteční podmínce a ani na N). Z (4.6) dostáváme stejnoměrný odhad N,0 < T < : u N L (0,T;H n ) C <, (4.7) u N t L (0,T;H 0 ) C <. (4.8) Rovnici (4.4) otestujeme - u N t a označme Ẽ[u](t) = u t H 1 + u H n+1 u N tt(- u N t ) + (- ) n u N (- u N t )+ g(u N t )(- u N t )+ f(u N )(- u N t ) = 0, u N tt(- u N t ) + (- ) n+1 u N u N t = g(u N t )(- u N t ) f(u N )(- u N t ), 1 d dt un t H + 1 d 1 dt un H = g(u N n+1 t )(- u N t ) f(u N )(- u N t ) = g(u N t ) u N t + f(u N )( u N t ) cα u N t H 1 +γ un H 0 u N t H 0 cα( u N t H 1 + un H n+1 + γ ( un H 1 + un t H 1) cαẽ[un ](t)+ γ (λ n 1 1 u N H n + un t H 1). Z (4.6) víme, že existuje C > 0 tak, že sup ( u N t H 0+ u N H n) C <. t [0,T] Předchozí řetězec nerovností dává: d ](t) C 1 +C Ẽ[u N ](t) Gronwall sup Ẽ[u N ](t) C <. (4.9) dtẽ[un t [0,T] Volw H n, w H n 1arozložmew = w 1 +w tak,žew 1 span{ω 1,,ω N } a (w,ω k ) L () = 0 pro k = 1,,N. Potom w 1 H n w H n.

u N tt;w = (u N tt;w 1 ) = ((- n )u N ;w 1 ) (g(u N t );w) (f(u N );w) (u N tt;w 1 ) L () u N H n w 1 H n +cα u N t H 0 +γ u N H s w H 0 C(α,c,γ,λ 1,n)( u N H n + un t H 0) w H 0 sup (u N tt;w) L () = u N tt L () C(α,c,γ,λ 1,n)( u N H n + un t H n) w H 0 1 (4.) C 3 ( u H n(0)+ u t H0(0)). (4.30) Z předchozího sledu nerovností a duálního vyjádření normy v Banachových prostorech dostaneme: u N tt H n = sup (u N tt;w) L () C 3 ( u H n(0)+ u t H0(0)). (4.31) w H n 1 Nyní stačí poslední nerovnost integrovat přes (0, T) a obdržíme T 0 u N tt H ndt TC 3( u H n(0)+ u t H 0(0)) C 4 <. (4.3) Nerovnosti (4.9) a (4.3) říkají pro N: u N t L (0,T;H 1 ) C 1 <, (4.33) u N L (0,T;H n+1 ) C 1 <, (4.34) u N tt L (0,T;H n ) C 4 <. (4.35) Existuje podposloupnost (značená stejně) tak, že u N u v L (0,T;H n+1 ), (4.36) u N t u t v L (0,T;H 1 ), (4.37) u N tt u tt v L (0,T;H n ). (4.38) Krok 3: Na limitní přechod v lineárních členech mi stačí slabá konvergence, na přechod v nelinearitách potřebujeme silnou konvergenci(spojitost nelinearit). K tomu nám poslouží Aubin-Lionsovo lemma. Jen stačí ověřit předpoklady: Z věty o hierarchii prostorů H α 3. dostáváme: H n+1 H n+1 ε H 1, H 1 H 1 ε H n, kde ε (0,1). Pro 0 < T < dostáváme: 3

L (0,T) L p (0,T), p <. Z definice prostorů H α (pro α > 0) máme, že jsou separabilní (Lemma 3.16) a reflexivní Banachovy prostory (H α jsou Hilbertovy prostory. Prostor H α je separabilní a reflexivní - duální prostor k Hilbertově prostoru. Potom položme v Aubin-Lionsově lemmatu: 1) X 0 := H n+1, X 1 := H 1, X := H n+1 ε, ) X 0 := H 1, X 1 := H n, X := H 1 ε. Potom Aubins-Lionsovo lemma říká: {u L p (0,T;H n+1 );u t L p (0,T;H 1 ) L p (0,T;H n+1 ε ), {u t L p (0,T;H 1 );u tt L (0,T;H n ) L p (0,T;H 1 ε ). Z těchto kompaktních vnoření dostáváme existenci vybrané konvergentní podposloupnosti (značené stejně) tak, že: u N u v L p (0,T;H n+1 ε ), p < ;ε > 0, (4.39) u N t u t v L p (0,T;H 1 ε ), p < ;ε > 0. (4.40) Limitní přechod v rovnici (4.1): uvažujme slabou formulaci pro [u N,u N t ] a podívejme se na limitní přechody v nelineárních členech (v lineárních členech nám stačí slabá konvergence): lim (g(u N N t ) g(u t ))ω lim N cα un t u t H 0 ω H 0 = 0, pro s.v. t [0,T], ω H n. lim (f(u N N ) f(u))ω lim N γ un t u t H s ω H 0 = 0, pro s.v. t [0,T], ω H n, s [0,n). Tytolimitnípřechodydávajíexistenciřešenípropočátečnípodmínky[u 0,u 1 ] H n+1 H 1 na [0,T], protože T bylo libovolné, dostáváme existenci řešení na [0, ). Krok 4: Existence řešení pro [u 0,u 1 ] H n H 0 Z hustého vnoření H n+1 H n a hustého vnoření H 1 H 0, existuje: 4

u k 0 H n+1 ;u k 0 u 0, u k 1 H 1 ;u k 1 u 1. Dle Kroku existuje řešení u k rovnice (4.1) s počátečními podmínkami [u k 0,u k 1]. Dle (4.) je u k cauchyovská v normách u k C([0,T];H n ), u k t C([0,T];H 0 ). Prostory L (0,T;H n ) a L (0,T;H 0 ) jsou Banachovy a tudíž u k má limity v těchto prostorech. Silná konvergence stačí na přechod v rovnici (lineární členy jsou bez problému, nelinearity jsou spojité funkce), tedy [u,u t ] je řešením pro původní počáteční podmínky [u 0,u 1 ]. Poznámka 4.15. V důkazu Věty 4.9 jsme dokázali navíc regularitu slabé řešení, tj. pro hladší počáteční podmínky máme hladší slabé řešení. Věta 4.16. (spojitá závislost na počátečních podmínkách) Necht u a v jsou řešení (4.1) s počátečními podmínkami [u 0,u 1 ] a [v 0,v 1 ]. Potom pro w := u v platí: sup( w(t) H n + w t (t)) H 0) K( w 0 H n + w 1 H 0). [0,T] Důkaz. Užijme (4.) sup E[w](t) C( w t H 0(0)+ w Hn(0)). (4.41) t [0,T] 5

Kapitola 5 Disipace V předchozí kapitole jsme dokázali, že rovnice (4.1) má řešení pro každou přípustnou počáteční podmínku. Označme X := H n H 0 a uvažujme na X dvě ekvivalentní metriky: ρ(u,v) := E[u v] a ρ(u,v) := E δ [u,v], kde E δ je definováno v Lemmatu 4.8. Řešící semigrupa S(t) : X X je dána vztahem S(t) : [u 0,u 1 ] [u(t),u t (t)]. Definice 5.1. Necht X je metrický prostor, potom vzdáleností množin A,B X nazveme číslo dist X (A,B) = sup inf { b a X} b B a A Poznámka 5.. Funkcedistancenenísymetrická,tj.dist X (A,B) dist X (B,A) obecně Definice 5.3. Necht X je normovaný lineární prostor, potom množinu A X nazveme globálním atraktorem pro dynamický systém (S(t), X), je-li splněno: 1 A X je kompakt, S(t)A A pro všechna t 0, t.j. A je positivně invariantní, 3 dist(s(t)b,a) 0 pro t pro libovolnou B X omezenou. Definice 5.4. Necht X je metrický prostor, necht A X, potom fraktální dimenze A je definována jako dim X f (A) = limsup ε 0+ N X (A,ε) logε, (5.1) kde N X (A,ε) je nejmenší počet koulí v X o poloměru ε pokrývající A se středy v A 6

Definice 5.5. Dynamický systém (S(t),X) se nazve disipativní, jestliže existuje W X omezená množina, jež je uniformně pohlcující, t.j. pro každou B X omezenou existuje t 0 = t 0 (B) tak, že S(t)B W pro všechny t t 0. Věta 5.6. Dynamický systém (S(t), X) indukovaný řešícím operátorem úlohy (4.1) s podmínkami (4.5) - (4.9) je disipativní. Důkaz. OznačmeẼ[u](t) := u H n+ u t H 0 + F(u)dx,potomzapředpokladu (4.9) je E[u](t) srovnatelná s Ẽ[u](t) tj. C 1,C,C 3,C 4 > 0; C 1 E[u](t) C Ẽ[u](t) C 3E[u](t)+C 4 Ẽ[u](t) u H n + u t H 0 (1 ελ n 1 ) u H n C C 1 E[u](t) C (5.), kde C 1 := min{1,ελ n 1 } a C = C 5 z důsledku 4.13. Zlipschitzovskovostif dostáváme:f(u) γ u +C.Tentoodhadpoužijeme v důkazu nerovnosti: Ẽ[u](t) u H n + u t H 0 +γ kde C 3 := 1+λ n 1γ a C 4 := C. u +C C 3 E[u](t)+C 4, (5.3) Otestujme (4.1) u t : 1 d dt E[u](t)+ t )u t + g(u d dt použitím Ẽ[u](t) dostáváme: F(u)dx = 0, (5.4) 1 d dtẽ[u](t)+α u t H0 0. (5.5) Otestujme (4.1) pomocí u : d dt (u t,u) L () + u H + g(u n t )u+ f(u)u = u t H0. (5.6) Pomocné odhady: Z předpokladu (4.9) dostáváme: u H + f(u)u θ u n Hn C. (5.7) g(u t )u cαλ n 1 u H n u H 0 θ u H + λ n 1 c α u 0 t H0. (5.8) θ Nyní použijeme pomocné odhady do rovnice (5.6): 7

1 d dt (u t,u) L () + θ u H C n 1 +(1+ λ n 1 c α ) u t H0. (5.9) θ Označme Ẽη[u](t) := Ẽ[u](t) + η(u t,u) L (), kde η := 1 min{λn α 1 ; }. 1+ c α θ Díky podmínce η λn 1 a s přihlednutím k Lemmatu 4.8 dostáváme, že C 1, C, C 3, C 4 > 0, tak že C 1 Ẽ[u](t) C Ẽη[u](t) C 3 Ẽ[u](t) + C 4. Přenásobme (5.9) η a přičtěme k (5.5): 1 d dt (Ẽ[u](t) + η(u t,u))+ ηθ u H +α u t n H ηc 0 1 +η(1+ c α θ ) u t H 0 1 d dtẽη[u](t) + ηθ u H +(α η(1+ c α n θ )) u t H ηc 0 1 1 d dtẽη[u](t) + aẽη[u](t) B. (5.10) Z poslední nerovnosti nám plyne existence omezené přitahující množiny - disipace. 8

Kapitola 6 Exponenciální atraktor 6.1 Exponenciální atraktor V této kapitole dokážeme, že dynamický systém vytvořený řešící semigrupou rovnice (4.1) má exponenciální atraktor, odhadneme jeho fraktální dimenzi a rychlost přitahování. Definice 6.1. Necht X je normovaný lineární prostor, množina M X se nazývá exponenciální atraktor pro dynamický systém (S(t), X), jestliže je splněno: 1 M X je kompakt, S(t)M M t 0, tj. M je positivně invariantní, 3 pro libovolnou B X omezenou, existuje konstanta C, t 0 tak, že dist X [S(t)B, M] Ce β(t t 0), kde β > 0 je konstanta nezávislá na volbě množiny B, 4 dim X f (M) <. Definice 6.. Množina M se nazve exponenciální atraktor pro diskrétní dynamický systém (S k,w), jestliže je splněno: 1 M X je kompakt SM M, tj. M je positivně invariantní, 3 existují konstanty β,c > 0 tak, že [dist X S k W, M ] Ce βk, 4 dim X f (M) <. Věta 6.3. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: I dynamický systém (S k,w) má exponenciální atraktor, 9

II existují konstanty a,b > 0,θ (0,1), K 1 tak, že N X (S k W,aθ k ) bk k, k N. (6.1) Navíc z existence M vyplývá, že θ = e β a K = e dβ, kde β je konstanta přitahování a d > 0 libovolné číslo takové, že d > dim X f (M ). Za předpokladu, že (6.1) je splněna se dá zkonstruovat exponenciální atraktor, tak, že dim X f (M ) logk logθ a β = logθ z definice exponenciálního atraktoru. (6.) důkaz lze nalézt Feireisl, Pražák [, Theorem.35, str.31]. 6.1.1 Konstrukce exponenciálního atraktoru a explicitní odhad fraktální dimenze Nyní přejdeme k důkazu existence exponenciálního atraktoru a explicitního odhadu jeho fraktální dimenze. Jádro této konstrukce leží v ověření II. části Věty 6.3 a k tomuto účelu použijeme metodu z článku [3]. V celém důkazu budeme používat a odkazovat se na nerovnosti, jež jsme získali v důkazu existence řešení (4.1). Z nerovnosti (4.0) dostáváme 1 d dt E δ[w](t) Kλ s n 1 w H n Kλs n 1 E δ [w](t). (6.3) Použijeme-li Gronwallovo lemma na předchozí nerovnost na [0,t ], obdržíme tento odhad: E δ [w](t ) e 4Kλs n 1 t E δ [w](0). (6.4) Nyní volme t tak, aby 4Kλ s n 1 t 1 v nerovnosti (6.4). Potom nerovnost (6.4) říká: E δ [w](t) ee δ [w](0), t (0,t ). (6.5) Z integrujeme-li nerovnost (4.0) přes (0,t ) 30

E δ [w](t ) E δ [w](0)+δt 3e E δ[w](t ) K (1+δt 3e )E[w] δ(t ) E δ [w](0)+k E[w] δ (t ) (1 θ)e δ [w](0)+ K t 0 t 0 t 0 w H s, w H s, w Hs, (6.6) kde 1 θ = (1+δt 3e ) 1, K = K(1+δt 3e ) 1. Důležité je si uvědomit, že veškera informace o w a w t je nesena E[w](t) a energii kontrolujeme pomocí w v prostoru L (0,t ;H s ). Označme W X δ omezenou přitahující množinu, kterou jsme získali v důkazu disipace. Vezměmě B W libovolnou kouli, diamb = R Nyní ukážeme,žedokážemes(t )B pokrýtpomocín množinoprůměru(1 θ )1 R v prostoru H s, kde pokrývací číslo N nezávisí na B a R. Definujme: B t := {u : [u(0),u t (0)] B,u řeší (4.1) na [0,t ]}. Potom diamb t C t R v normě prostoru L (0,t,X δ ). Z nerovnosti (6.5) dostáváme: sup u,v B t t 0 E δ [u v](t)dt C sup u,v B t 0 E δ [u v](0)dt = Ct R. (6.7) B t je omezená, tedy existuje u 0 a Ũ tak, že B t u+ũ. Kde Ũ = {v : v L (0,t ;H n ) C(t ) 1 R; v t L (0,t ;H 0 ) C(t ) R}. 1 Problém pokrytí se redukuje na problém pokrýt Ũ pomocí množin Fj t L (0,t ;H s ) j = 1, N a diamf j t ηr, kde η je dáno rovností Kη = θ. Konečný počet množin je z kompaktního vnoření z Aubin-Lionsova lemmatu: {u L (0,t ;H n ),u t L (0,t ;H 0 )} L (0,t ;H s ),s [0,n). ProsplněnípředpokladůvdruhéčástivětymusímepokrýtS(t )B.Ktomuto účelu si zadefinujeme množiny: G j X δ, G j := {[v(t ),v t (t );v F j t ]. Množiny Gj pokrývají S(t )B z definice těchto množin. Z (6.6) dostáváme (diamg j ) (1 θ)r + Kη R = ( 1 θ ) R. (6.8) Tedy množiny G j mají požadované průměry. Nyní vše přeškálujeme tak, 31

abychom pokrývali 1-koulemi v prostoru L (0,t ;H s ): A = B = C(t ) 1 R = C t K a ηr θ U := {v : v L (0,t ;H n ) A; v t L (0,t ;H 0 ) B}. Je vidět, že problém pokrytí nyní nezávisí na R. Dále z Věty 3.8 víme, že λ j λ 1 j n d. Nyní jsou splněny všechny předpoklady pro použítí pokrývacího Lemmatu [4], Lemma 4., které říká, že se U dá pokrýt N koulemi a platí odhad pro N: lnn Ct λ d n 1 A ( d n +s ) 1 n s Bln(λ 1 A+1). (6.9) Kde C závisí na a d Nyní jsme vyřešili problém pokrytí S(t )B pomocí množin o průměru (1 θ )1 R. Nyní budeme předchozí metodu iterovat a budeme pokrývat S(kt )B pomocí množin a průměru menším jak (1 θ )k R. Předchozí proces nám dá toto: N H s(s(kt )B,(1 θ )k R) N k. (6.10) Dle Věty(6.3) dostáváme existenci exponenciálního atraktoru, jehož fraktální dimenze je odhadnuta: dim Hs f (M ) logn log((1 θ )1 ). (6.11) Pomocí jednoduchých odhadů dostáváme: 1 θ 1, a z konvexity funkce y = x log(1 + x) dostáváme: log(1 θ ) log(1+x) x,x 0; dostáváme lépe vypadající odhad: dim Hs f (M ) Ct λ d n 1 A ( d n +s ) 1 n s Bλ 1 Aθ 1. (6.1) Když dosadíme za θ,a,b, K a použijeme jednoduché odhady a vzorce odvozené z Taylorova polynomu dostaneme mnohem utříděnější vzorec: dim Hs f (M ) Cλ d 1 n +1 ( δe 3 ) d+4n 3ns n(n s) K d+n ns n(n s). (6.13) Kde δ := 1 min{ α cα +1,λn 1 } a K := γ + α δ(cλ s 1 + γλ s 1 ). Pro porovnání s výsledky z jiných metod budeme uvažovat, že α << 1, γ > 1 a pro jednoduchost λ 1 = 1. Potom δ = α, K = γ. Potom obdržíme tento odhad: α ( e d+4n dim Hs f (M ) C 3) 3ns n(n s) γ d+n ns n(n s) α d+3n ns n(n s). (6.14) Tímto jsme zkonstruovali exponenciální atraktor pro diskrétní dynamický systém. Globální atraktor je z definice podmnožinou diskrétního exponenciálního atraktoru. Z vlastností fraktální dimenze dostáváme explicitní odhad fraktální dimenze globálního atraktoru A: 3

( e d+4n dim Hs f (A) C 3) 3ns n(n s) γ d+n ns n(n s) α d+3n ns n(n s). (6.15) 6. Aplikace výsledků na rovnici kmitání tyče se slabým třením V této kapitolce aplikujeme předchozí obecné výsledky na rovnici: u tt + u xxxx +g(u t )+f(u) = 0 na(0,π) (0, ), u(.,0) = u 0 u t (.,0) = u 1, u(0,.) = u(π.0) = u xx (0,.) = u xx (π,.) = 0, kde g,f : R R jsou diferencovatelné funkce a splňují růstové podmínky: (g(u) g(v),u v) α u v H 0, g(u) g(v) H 0 αc u v H 0, f(u) f(v) H 0 lim inf x γ u v H s, s [0,n), g(0) = 0, f(x) > λ n x 1. Vlastní funkce - na intervalu (0,π) jsou ω k = sinkx a λ k = k. Prostory H α := {f L (); k α (f,sinkx) L (0,π) < }. Dle Věty 4.9 existuje jednoznačné slabé řešení rovnice (6.16) s podmínkami na nelinearity. Dle Věty 5.6 je dynamický systém indukovaný řešící semigrupou disipativní a dle kapitoly o konstrukci exponenciálního atraktoru dostáváme existenci exponenciálního atraktoru pro diskrétní dynamický systém a explicitní odhad pro fraktální dimenzi: ( δe ) 17 6s dim Hs 8 s f (M) C K 9 s 8 4s, (6.16) 3 kde δ := 1 min{ α γ,1} a K := +δ(c+γ). cα +1 α 33

Kapitola 7 Závěr V práci jsme dokázali existenci a jednoznačnost slabého řešení rovnice (4.1) za velmi speciálních podmínek a výsledky aplikovali na rovnici (6.16). Ale zde práce na tomto tématu nekončí, práce se dá dále rozšířit uvažováním horší hranice množiny v případě, že není krychle. Předpoklad C by se dal oslabit na C n, dále by se daly oslabit předpoklady na nelinearity g, f: uvažovat tyto funkce jako globálně lipschitzovské. V práci se ukazovalo, že předpoklad koercivity a monotonie funkce g jsou nezbytné pro použití použitých metod při důkazu existence a jednoznačnosti slabého řešení, důkazu disipace a při konstrukci exponenciálního atraktoru. Otázka zní: Dá se předpoklad koercivity vypustit a nalézt explicitní odhad fraktální dimenze globálního atraktoru pomocí dat z rovnice? Předpoklad globální lipschitzovskovosti či globálně omezených derivací je velmi silný a v rovnicích matematické fyziky se často vyskytují polynomiální růsty nelinearit. Otázka by potom zněla: Za jakých předpokladů na, d existuje jednoznačné řešení rovnice (4.1), kde g je monotonní a f,g : R R jsou lokálně lipschitzovské funkce, a existuje globální atraktor a zda se dá explicitně odhadnout jeho fraktální dimenze pomocí dat rovnice. Částečnou odpověd na tuto otázku, v případě 1-dimenze a g globálně lipschitzovská, dává diplomová práce Mgr. Evy Fašangově [11] - globální atraktor existuje. Otázek je mnoho a ty nyní čekají na své řešitele. Po mnoha zrodech splývá moudrý člověk nakonec se Mnou, nebot ví, že Já jsem příčinou všech příčin. Zřídka se však lidská duše pozvedne k takové vznešenosti. Kršna, Bragavadgíta - zpěv vznešeného 34

Literatura [1] Evans C.L.: Partial differential equations (Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19), American Mathematics Society, 1998 [] Feireisl E., Pražák D.: Asymptotic behavior of dynamical systems in fluid mechanics, Vol. 4, American Institute of Mathematical, 010 [3] Pražák D., Bulíček M.: A note on the dimension of the global attractor for an abstract semilinear hyperbolic problem, Applied Mathematics Letters,(009) 105-108 [4] Pražák D.: On the dimension of the attractor for the wave equation with nonlinear damping,commun. Pure Appl. Anal. 4(1)(005) 165-174 [5] Reed M., Simon B.: Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press,(1978) [6] Robinson J.C.: Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, 001 [7] Simon J.,Compact sets in the space L p (0,T;B),Ann.. Mat. Pura Appl. (4), 146:65-96, 1987 [8] Gajewski H., Gröger K., and Zacharias K., Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, volume 38 of Mathematische Lehrbücher und Monographien. Akademie-Verlag, Berlin, 1974. [9] Chicone C.: Ordinary differential equations with applications, volume 34 of Texts in Appplied Mathematics. Springer, New York, second edition, 006 [10] Adams A, Fournier J.F.: Sobolev spaces, nd edition, Pure and Applied Mathematics, Academic press, Amsterdam, 003 [11] Fašangová E.: Attractor for a beam equation with weak damping, Appl. Anal. 59 (1995), no. 1-4, 1 13 [1] Davies E.B.: Spectral theory and differential operators, 1st edition, University press, Cambridge 35

[13] Fašangová E.: Attractor for a beam equation with weak damping, Diploma thesis, Department of Mathematical analysis of Charles University, Prague, 1994 36