Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Studijní program: Matematika Studijní obor: obecná matematika Praha 2011

Chtěl bych poděkovat vedoucímu své práce panu doc. RNDr. Jiřímu Spurnému, Ph.D. za čas, který mi věnoval a dále také za jeho podněty a připomínky, které mi při práci velmi pomohly.

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita arlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V... dne... Podpis autora

Název práce: Operátory skládání na prostorech funkcí Autor: Matěj Novotný atedra: atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Abstrakt: V práci je nejprve definován pojem operátoru skládání na prostoru spojitých či měřitelných funkcí komplexní proměnné a posléze jsou zkoumány jeho základní vlastnosti v závislosti na vlastnostech zobrazení, které jej indukuje. Jsou hledány podmínky, za kterých je operátor spojitý, kompaktní či izomorfismem. U operátorů indukovaných spojitými zobrazeními alespoň zčásti určíme jejich spektrum. líčová slova: Lineární operátor, L p prostory, spojité zobrazení Title: Composition operators on function spaces Author: Matěj Novotný Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Abstract: In the thesis we define what is an composition operator on the space of continuous or measurable functions of one complex variable so that we may proceed to study its properties depending on properties of the mapping the operator is induced by. We search for conditions under which the operator is continuous, compact and an isomorphism. We roughly estimate the spectrum of an operator defined on a space of continuous functions. eywords: Linear operator, L p spaces, continuous mapping

Obsah Seznam použitých zkratek 1 Úvod 2 1 Operátory skládání na C() 3 2 Operátory skládání na L p prostorech 16 Seznam použité literatury 24

Seznam použitých zkratek N přirozená čísla N 0 přirozená čísla včetně nuly R reálná čísla C komplexní čísla C n kartézský součin n {}}{ C C... C U otevřený jednotkový kruh v C T jednotková kružnice v C M uzávěr množiny M (a,b) otevřený interval a,b [a, b] uzavřený interval a, b B(x,δ) otevřená koule o středu x a poloměrem δ dim H dimenze vektorového prostoru H {a n } n N nekonečná posloupnost bodů a 1,a 2,a 3,... C() prostor spojitých funkcí z do C g ϕ složení zobrazení g a ϕ n ϕ n {}}{ ϕ ϕ... ϕ f norma f ϕ 1 inverzní zobrazení k ϕ Id identické zobrazení e x,exp(x) exponenciála v bodě x ϕ() obraz množiny při zobrazení ϕ Im(g) imaginární část funkce g Re(g) reálná část funkce g f komplexně sdružená funkce k f λ komplexně sdružené číslo k λ Rng(T) range operátoru T σ(t) spektrum operátoru T σ p (T) bodové spektrum operátoru T T adjungovaný operátor k T M() prostor všech komplexních Radonových měr na ϕ α obraz míry α při měřitelném zobrazení ϕ charakteristická funkce množiny A χ A 1

Úvod Práce je rozdělena do dvou hlavních kapitol. První kapitola se vztahuje k prostoru spojitých funkcí nad kompaktem, v druhé kapitole pak pracujeme na L p prostorech. V obou kapitolách definujeme operátor skládání a zabýváme se jeho vlastnostmi. Ukážeme, že některé z nich, například spojitost či linearita, vyplývají přímo z definice samotného operátoru a nezávisí na zobrazení, které operátor indukuje. U ostatních vlastností formulujeme nutné a postačující podmínky pro to, aby operátor kýžených vlastností nabýval. Jak uvidíme, prostor L p je daleko složitější strukturou než prostor spojitých funkcí, především pro to, že jeho prvky jsou třídy ekvivalence, nikoliv funkce. Projeví se to i na předpokladech tvrzení, které oproti spojitému případu budou o něco složitější. Pro operátor definovaný na prostoru spojitých funkcí určíme zčásti spektrum. Objevíme, že spektrum operátoru skládání souvisí nejen s vlastnostmi zobrazení, které jej indukuje, ale i se strukturou kompaktního prostoru, nad kterým je prostor funkcí definován. 2

1. Operátory skládání na C() 1.1. Formulace problému Necht (, ρ),(l, π) jsou kompaktní metrické prostory, a ϕ : L je spojité zobrazení. Definujme na prostoru spojitých funkcí z do C operátor T následovně: Tg = g ϕ, g C(). Jelikož složení dvou spojitých zobrazení je spojité zobrazení, platí T g C(L). OperátorT : C() C(L)jetedydobředefinovaný. Vdalšímsebudemezabývat především vlastnostmi T a jejich vztahem k zobrazení ϕ. Základní vlastnosti T 1.2. Linearita, spojitost a norma T Není vůbec složité ověřit, že T je lineárním operátorem. Pro r C a g C() totiž platí a obdobně pro f,g C() máme r(tg) = r(g ϕ) = (rg) ϕ = T(rg) T(f +g) = (f +g) ϕ = f ϕ+g ϕ = Tf +Tg. Operátor T je tedy lineární. Jak víme, spojitost je u lineárních operátorů ekvivalentní omezenosti. Odhadněme proto výraz Tf pro f C(): Tf = f ϕ f. (1.1) Operátor T jeomezený, lineární a tedy ispojitý. Protože v(1.1) nastává přivolbě f = const rovnost, platí T = 1, a to nezávisle na zobrazení ϕ. To v podstatě znamená, že operátor T každou funkci vzhledem k normě zmenší nebo zachová. Jak se liší norma Tg od normy g pro g C(), záleží nejen na ϕ, ale i na konkrétní volbě g. Pro ilustraci uved mě dva příklady: Příklad 1 Necht = L = [0,1], ϕ 1 (x) = 0, ϕ 2 (x) = 1 a g(x) = x, x. Pak g = 1 a g ϕ 1 = g(0) = 0, g ϕ 2 = g(1) = 1. Příklad 2 Necht = L = [0,1], ϕ(x) = sinx a g 1 (x) = x, g 2 (x) = 1 x, x. Potom g 1 = sup x = 1, x [0,1] g 1 ϕ = sup x = sin1 < 1, x [0,sin 1] g 2 = sup 1 x = 1, g 2 ϕ = sup 1 x = 1. x [0,1] x [0,sin 1] 3

Je vidět, že pokud T zmenší (v normě) funkci g C(), je to způsobeno tím, že zúží její definiční obor z na Rng(ϕ) = ϕ(l) := {ϕ(x) x L}. Z toho však plyne, že T zachovává normu právě tehdy, je-li ϕ : L surjektivní. Opravdu, pro ϕ surjekci a g C() platí proto Tg(L) = g ϕ(l) = g(), sup Tg(L) = sup g() a dostáváme Tg = g. Tudíž T je lineární izometrie z C() do C(L). Pokud naopak T je lineární izometrie, zvolme libovolný bod x a k němu funkci f x C() tak, aby rovnice platila výhradně v bodě y = x. Jelikož f x (y) = f x (1.2) f x = Tf x = f x ϕ, existuje bod z L takový, že f x ϕ(z) = f x. Protože však x je jediný bod, ve kterém (1.2) platí, je nutně ϕ(z) = x. Vzhledem k tomu, že bylo x zvoleno libovolně, je ϕ surjektivní zobrazení. Předchozí výsledek o izometrii nám zároveň říká něco o injektivitě operátoru T: Totiž, že T je injektivní, pokud ϕ : L je na. Snadno se přesvědčíme, že platí i opačná implikace. Pokud totiž ϕ není na, množina X := \ϕ(l) je neprázdná. X je otevřená v, nebot ϕ : L je spojité zobrazení a ϕ(l) je tak kompaktní. Protože je X otevřená, můžeme zvolit x X a funkci f C() splňující f(x) = 1 a f(y) = 0 pro y ϕ(l). Pro f pak dostaneme Tf = f ϕ = 0, avšak f 0, z čehož je vidět, že T není injektivní. Předchozí pozorování nás přivádí na otázku, zda lze zkoumat i surjektivitu T. Pro danou funkci f C(L) hledáme g C(), takovou, aby Tg = g ϕ = f, (1.3) přičemž rovnost chápeme jako rovnost funkcí v každém bodě L. Pokud je ϕ injektivní, je pro každé x ϕ(l) g(x) = f ϕ 1 (x). Pokud by existovala G C(), která by se rovnala g na ϕ(l), pak by jistě platilo TG = G ϕ = g ϕ = f ϕ 1 ϕ = f (1.4) 4

na L. Hledejme proto nějaké rozšíření G C(). Jelikož ϕ je spojité zobrazení, je ϕ(s) je kompaktní množina v pro každou S L uzavřenou. Tedy (ϕ 1 ) 1 (S) = ϕ(s) je uzavřená v a ϕ 1 je spojité zobrazení.díkytomujeg = f ϕ 1 spojitézobrazeníuzavřenémnožinyϕ(l) do C. Rozložme nyní g na g = Re(g)+i Im(g). Pak funkce Re(g) i Im(g) jsou spojité, reálné funkce, definované na uzavřené podmnožině ϕ(l) normálního topologického prostoru. Dle Tietzeho věty([1] str. 15) existují spojitá zobrazení G 1 C() a G 2 C(), která se shodují po řadě s Re(g) a Im(g) na ϕ(l). Pak ale funkce G definovaná na jako G := G 1 +i G 2 je na spojitá a shoduje se s g na ϕ(l). Našli jsme tedy spojité rozšíření pro g na celý prostor, z čehož s využitím vztahu (1.4) dostávame, že T je surjektivní operátor a injektivita ϕ je pro to postačující podmínkou. Opět nás bude zajímat i platnost zpětné implikace: Je ϕ injektivní, pokud je T surjekce? Odpověd je opět kladná, nebot rovnice (1.3) má platit bodově na L, což nelze zaručit, pokud ϕ není prosté. Pokud totiž pro x,y L, x y, platí ϕ(x) = ϕ(y), zvolme funkci f tak, aby platilo f(x) f(y). Pokud pak g(ϕ(x)) = f(x), zcela jistě platí g(ϕ(y)) f(y), nebot g(ϕ(y)) = g(ϕ(x)) = f(x). Shrňme předcházející výsledky do tvrzení: 1.3. Tvrzení Operátor T : C() C(L) definovaný v odstavci 1.1. je (i) surjektivní právě tehdy, je-li zobrazení ϕ prosté, (ii) prostý právě tehdy, je-li T zároveň lineární izometrií, což nastává tehdy a jen tehdy, je-li zobrazení ϕ surjektivní. Důkaz. Tvrzení plynou bezprostředně z postupů popsaných v odstavci 1.2. Další vlastností, kterou hodláme v textu zkoumat, je kompaktnost T. Aby byl T kompaktní, stačí, aby Rng(T) byl konečně dimenzionální podprostor C(L). Takový podprostor je izomorfní množině uspořádaných n-tic (x 1,..,x n ), pro nějaké pevné n N, kde x i C, i {1,..,n}. To tedy znamená, že každá funkce z Rng(T) by měla být reprezentovatelná nějakou n-ticí komplexních čísel, z čehož plyne, že by měla každá funkce f ϕ pro f C() nabývat jen konečně mnoha různých hodnot, nejvýše n. 1.4. Tvrzení Operátor T definovaný v odstavci 1.1. je kompaktní tehdy a jen tehdy, nabývá-li ϕ nejvýše konečně mnoha navzájem různých hodnot. 5

Důkaz. Předpokládejme pro spor, že ϕ nabývá nekonečně mnoha různých hodnot. Vyberme z nich libovolnou nekonečnou prostou posloupnost {a n } n N, která má limitu M, avšak M a n, n N. To vždy lze, nebot 1. Je-li bodů(navzájem po dvou různých) nekonečně, lze z nich vybrat nějakou prostou posloupnost. 2. Tato posloupnost má alespoň jeden hromadný bod v, nebot je kompaktní množina. 3. Z množiny hromadných bodů lze vybrat jeden bod M, k němu pak podposloupnost s limitou rovnou M. 4. Pokud tato podposloupnost obsahuje M, pak právě jednou, lze tedy odpovídající člen z posloupnosti vyjmout. Definujme posloupnost funkcí {f n } n N C(),n N, takových, aby platilo f n (a n ) = 1, f n (a i ) = 0, i n, f n = 1, i,n N a navíc měly každé dvě různé funkce disjunktní nosiče. To lze vždy zajistit, nebot každý bod z {a n } n N má okolo sebe neprázdné okolí U n, ve kterém neleží žádný z ostatních bodů posloupnosti. Funkci f n definujeme tak, aby byl její nosič podmnožinou U n, n N. Jelikož vzdálenost (daná supremovou metrikou na C()) libovolných dvou funkcí z posloupnosti {f n } je rovna 1, nelze ani z {Tf n } n N = {f n ϕ} n N vybrat konvergentní podposloupnost, což je spor s kompaktností T. Opačně, necht ϕ nabývá hodnot a i, i {1,..,k}, pro nějaké k, k N. Potom L se rozpadá na disjunktní množiny A i := {x L ϕ(x) = a i }, k i=1 A i = L, nakterých f ϕjekonstantní funkce prokaždouf C(). Tedykaždáfunkce g Rng(T)sedáreprezentovatuspořádanoun-ticíkomplexníchčísel(g(A 1 ),g(a 2 ),..,g(a k )), kde g(a i ) značí hodnotu g na množině A i, i {1,..,k}. Z toho plyne, že Rng(T) je izomorfní nějakému podprostoru C k, a tedy Proto T je kompaktní. dimrng(t) dimc k <. Zaměřme se nyní na případ, kdy (,ρ) = (L,π). T je pak spojitý lineární operátor z C() do C(). Naskýtá se otázka, pro jaká λ C je operátor λi T spojitě invertovatelný na C(). 6

Spektrum operátoru T Jelikož spektrum operátoru je obsaženo v kruhu o poloměru ν > 0,([1], str. 567) spočtěme nejdříve tento (spektrální) poloměr pro T: ν(t) = lim n T n 1/n = lim ( sup n f B(0,1) C() lim( sup f ) 1/n = lim 1 1/n = 1, n n f B(0,1) f (ϕ n ) ) 1/n čili ν(t) 1. Nasnadě je otázka, zda existují λ σ(t) o velikosti λ = 1. Odpověd je kladná, nebot každá konstantní funkce f je vlastním vektorem T pro vlastní číslo 1. Opravdu, pro pevné c C a f(x) = c, x, platí (λi T)f = λf f ϕ = λc c, což je při volbě λ = 1 rovno nule. Spektrální poloměr ν(t) je tedy roven jedné a nezávisí na zobrazení ϕ. Víme, že spektrum T je podmnožinou jednotkového kruhu a že 1 σ p (T) vždy. Zajímá nás, jestli existuje ještě nějaké číslo z jednotkového kruhu, které by leželo ve spektru T nezávisle na ϕ. Analogicky, existuje nějaké λ U, které v σ(t) neleží nikdy? Volme ϕ = Id na. Potom je pro každou g C() Tg = g ϕ = g Id = g, takže T je identita na C() a σ(t) = {1}. Jednička je tak jediným prvkem spektra, který nesouvisí s vlastnostmi ϕ. Obráceně, proλzjednotkového kruhuexistují vždy aϕtaková, žeλ σ(t). Stačí volit = U a ϕ(x) = λx, x. Pak je totiž λ vlastním číslem T pro vektor g(x) = x, x U. Opravdu, λg(x) = λx = g(λx) = g(ϕ(x)). Další vlastností spektra, kterou lze vyvodit již z definice operátoru T, je symetrie podle reálné osy. 1.5. Tvrzení Náleží-li λ do spektra T, pak také λ náleží do spektra T. Důkaz. Necht λ C a λ σ(t). a) Pokud není λi T injektivní, existuje nenulová funkce g C() taková, že platí bodově rovnost λg = g ϕ. Funkce g potom splňuje bodově rovnost λg = g ϕ, a je tedy vlastním vektorem k vlastnímu číslu λ. Tedy λ σ(t). 7

b) Necht f C(). Potom rovnice λg g ϕ = f má řešení v C(), právě tehdy, pokud má v C() řešení rovnice λg g ϕ = f. Protože g C() právě tehdy, je-li g C(), řeší první rovnici funkce g právě tehdy, řeší-li g rovnici druhou. Operátor λi T je tedy surjektivní právě tehdy, je-li surjektivní operátor λi T. Protože bylo λ σ(t), platí λ σ(t). Než se pustíme do počítání spektra T, uved me poslední z obecných poznatků o spektru T: 1.6. Tvrzení Pro operátor T platí i) Bodové spektrum T je podmnožinou jednotkové kružnice T právě tehdy, je-li zobrazení ϕ surjektivní. ii) Spektrum T leží v jednotkové kružnici právě tehdy, je-li ϕ bijekce. Důkaz. Je-li zobrazení ϕ surjektivní, je dle tvrzení 1.3. T lineární izometrie a tedy pro každý vlastní vektor g C() platí λ g = λg = g ϕ = g, z čehož ihned plyne λ = 1. Naopak, je-li σ p (T) T, potom 0 / σ p (T), T je injektivní a dle 1.3. je ϕ surjektivní. Část i) je tak dokázána. Je-li σ(t) T, pak 0 / σ(t) a tedy T je izomorfismus na C(). Z tvrzení 1.3. pak plyne, že ϕ je bijekce. Je-li nyní ϕ bijekce, je z 1.3. T izomorfismus na C(). Inverzní operátor T 1 je pak definován pomocí nebot T 1 g = g ϕ 1, g C(), TT 1 g = g ϕ ϕ 1 = g = g ϕ 1 ϕ = T 1 Tg. Čili T 1 je taktéž operátor skládání na C() a platí σ(t 1 ) U. Protože pro T izomorfismus je λ σ(t) právě tehdy, když λ 1 σ(t 1 ), platí σ(t) T a tvrzení ii) je dokázáno. 8

Zkusme nyní zjistit, které prvky do spektra patří v závislosti na daném ϕ. 1.7. Pozorování Omezme se nyní na případ, kdy je konečná množina a ϕ je injektivní. Potom je ϕ zároveň surjektivní, nebot ϕ je definované na celém a bodů je konečně mnoho. Zvolme libovolný prvek x. Protože sestává z konečně mnoha prvků a ϕ je injektivní, existuje nutně n x N takové, že ϕ nx (x) = x. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že n x je nejmenší takové, zároveň definujme ϕ 0 = Id. Pak množina Z x := {x,ϕ(x),ϕ 2 (x),..,ϕ nx 1 (x)} je cyklem o délce n x ve smyslu následující definice: 1.7.1. Definice Množinu Z nazveme cyklem o délce d N, pokud pro libovolný bod x Z platí: i) body x,ϕ(x),ϕ 2 (x),..,ϕ d 1 (x) tvoří prostou posloupnost a jsou jedinými body Z. ii) ϕ d (x) = x. Vezměme z Z x. Jistě z = ϕ k (x) pro jedno k {0,..,n x 1}. Pak posloupnost je rovna z,ϕ(z),..,ϕ nx k 1 (z),ϕ nx k (z),..,ϕ nx 1 (z) ϕ k (x),ϕ k+1 (x),..,ϕ nx 1 (x),x,..,ϕ k 1 (x), čili tvoří prostou posloupnost ze Z x a ϕ nx (z) = z, proto Z x je cyklus. Vezměme nyní libovolnýbody \Z x autvořmepronějmnožinu Z y stejným postupem, jako jsme vytvořili Z x pro x. Obdobně postupujme dále, než budou všechny prvky náležet nějakému cyklu. Tento stav je zaručen konečností. Prostor se nyní rozpadá do konečně mnoha disjunktních cyklů. Zvolme nyní libovolný cyklus, bez újmy na obecnosti například Z x a sledujme jeho úlohu při určování spektra T. Pro vlastní vektor g C() a a Z x platí: z čehož iterací dostáváme λg(a) = g ϕ(a), (1.5) λ nx g(a) = λ nx 1 g ϕ(a) = λ nx 2 g ϕ 2 (a) =... = g ϕ nx (a). Z poslední úpravy plyne g = 0 na Z x nebo λ nx = 1. Využijme tohoto pozorování pro určení vlastních vektorů T. Pro cyklus Z x o délce n x N a i C imaginární jednotku označme λ := exp( 2πi ). n x Pro j {0,..,n x 1} definujme funkce g j : C následovně: { 0 a / Zx, g j (a) = (λ j ) d a Z x, ϕ d (x) = a, 0 d n x. 9

Jelikož je diskrétní, jsou g j C(), j {0,..,n x 1}. aždá z funkcí g j je navíc vlastním vektorem příslušným k vlastnímu číslu λ j. Abychom se o tom přesvědčili, dosad me do rovnice (1.5). Pro a = ϕ d (x), 0 d n x, tedy platí což je pro d = n x 1 rovno a pro d n x 1 λ j g j (a) = λ j (λ j ) d, (λ j ) nx = 1 = (λ j ) 0 = g j (x) = g j (ϕ(a)) (λ j ) d+1 = g j (ϕ d+1 (x)) = g j (ϕ(a)). Pokud a / Z x, pakg j (a) = g j (ϕ(a)) = 0arovnice(1.5)platítriviálněprovšechna j {0,1,..,n x 1}. Pozorování 1.7. nám dává okamžitý důsledek: 1.7.2. Důsledek Necht je konečný. Sestává-li z k nezávislých cyklů o délkách n 1,n 2,..,n k, n j N, j N, j k, pak bodové spektrum T sestává ze všech n j -tých odmocnin jedničky. Důkaz. V pozorování 1.7. jsme již našli vlastní vektor pro každou z n j -tých odmocnin jedné. Stačí tedy ukázat, že σ p (T) jiná čísla neobsahuje. Je-li tedy λ nj 1 pro všechna j {1,2,..,k}, vezměme libovolný bod y. Ten je součástí nějakého cyklu (označme jej Z y ) o pevné délce (značme n y {n 1,n 2,..,n k }). Pak ale každá funkce g C() splňující bodově rovnici musí být v y nulová, nebot λg = g ϕ λ ny g(y) = g(ϕ ny (y)) = g(y), ale λ ny 1. Jelikož y bylo libovolné, platí g = 0 na, g není vlastní vektor a λ není vlastní číslo T. Uved me nyní ještě jeden postup, na základě kterého lze stanovit (alespoň z části) spektrum T: 1.8. Surjektivita λi T Mějme λ C, λ 1 a f C(). Pokud má být operátor λi T surjektivní, musí existovat g C() taková, že bodově platí rovnost λg g ϕ = f. (1.6) Pokud nějaká funkce g C() splňuje rovnici (1.6), pak splňuje i rovnice vzniklé úpravami (1.6). Složme tedy (1.6) zprava s ϕ λg ϕ g ϕ 2 = f ϕ. (1.7) 10

Pronásobíme-li rovnici (1.6) číslem λ a sečteme-li ji s (1.7), dostáváme: λ 2 g g ϕ 2 = λf +f ϕ. Doposud jsme z rovnice (1.6) odvodili vztah n 1 λ n g g ϕ n = λ k f ϕ n 1 k (1.8) pro n = 2. Ukažme, že tento vztah plyne z (1.6) pro libovolné n N: Necht n N. Rovnici (1.6) složíme zprava s funkcí ϕ n, čímž dostaneme k=0 λg ϕ n g ϕ n+1 = f ϕ n. (1.9) Dále rovnici (1.8) pronásobíme číslem λ a sečteme s (1.9). Dostáváme tak n 1 λ n+1 g g ϕ n+1 = λ k+1 f ϕ n 1 k +f ϕ n = k=0 n λ k f ϕ n k, k=0 čili jsme ověřili, že vztah (1.8) plyne z (1.6) pro libovolné n N. Tento vztah si zapamatujme: Ještě se na něj budeme v textu odkazovat. Vrat me se ted ještě k případu z 1.7. a zkusme k počítání σ(t) využít vztah (1.8). Necht je tedy konečný a ϕ injektivní a necht platí stejné značení jako v odstavci 1.7. Necht je dána funkce f C() a necht funkce g C() je libovolná taková, že platí rovnost (1.6). Zvolme nějaký cyklus (pro jednoduchost opět Z x ) z. Pak s využitím vztahu (1.8) má pro libovolné a Z x platit čili λ nx g(a) g ϕ nx (a) = (λ nx 1)g(a) = n x 1 k=0 n x 1 k=0 λ k f ϕ nx 1 k (a), λ k f ϕ nx 1 k (a). (1.10) Pokud však λ nx = 1, vztah (1.10) neplatí pro f C() splňující f(a) = 1, f(z) = 0, z. Tedy λi T není surjektivní, pokud λ nx = 1. Naopak, pokud λ nx 1, je hodnota g(a) jednoznačně určena. Jelikož a Z x bylo libovolné, je g jednoznačně určená na Z x. Pokud bude platit λ n j 1 pro každé j {1,..,k}, kde n 1,n 2,..,n k jsou délky cyklů v, je g vztahem (1.10) jednoznačně určena na celém. Protože je diskrétní, je g C(). Zbývá ukázat, že funkce g splňuje rovnici (1.6). Zvolme libovolný bod a. Ten náleží nějakému cyklu Z o délce n a. Pak dle (1.10) je hodnota g(a) rovna g(a) = n a 1 k=0 λ k λ na 1 f ϕna 1 k (a). 11

Rozdíl má pak tvar = n a 1 λ k=0 λg(a) g(ϕ(a)) λ k n λ na 1 f a 1 ϕna 1 k (a) k=0 λ k λ na 1 f ϕna 1 k (ϕ(a)) = 1 λ na 1 ( f ϕna (a)+λf ϕ na 1 (a) λf ϕ na 1 (a)+...+λ na 1 f(ϕ(a)) λ na 1 1)f(a) f(ϕ(a))+λ na f(a)) = (λna = f(a). λ na 1 Jelikož a bylo libovolné, g splňuje rovnici (1.6) na celém, a tedy λi T je surjektivní. Pomocí důsledku 1.7.1. dostáváme, že spektrem T je právě množina všech n j - tých odmocnin jedničky, j {1,..,k}, kde čísla n 1,..,n k označují po řadě délky všech k cyklů v. Doposud jsme spektrum T hledali pro konečný. Cílem následujícího paragrafu je zobecnit tvrzení z odstavce 1.7. a 1.8. i na případ, kdy nebude konečný. Cykly v Pokud v neexistuje nekonečná prostá posloupnost x,ϕ(x),ϕ 2 (x),... pro žádné x, existují nutně pro každé x čísla k x,n x N 0, k x < n x taková, že ϕ nx (x) = ϕ kx (x). Můžeme předpokládat, že čísla k x,n x jsou nejnižší možná taková, pro která rovnost platí. Necht je zobrazení ϕ injektivní. Pak k x = 0, pro každé x, nebot pro k x > 0 by bylo zároveň ϕ(ϕ kx 1 (x)) = ϕ(ϕ nx 1 (x)), avšak ϕ kx 1 (x) ϕ nx 1 (x). Dále lze ke každému prvku y najít prvek z s vlastností ϕ(z) = y. Stačí za z zvolit prvek z = ϕ ny 1 (y). Zobrazení ϕ je tedy spojitá bijekce, tedy homeomorfismus na, jelikož je kompaktní množina. Vzhledem k tomu, že každý prvek nejen určuje nějaký cyklus v, ale je zároveň jeho součástí, rozpadá se do disjunktních cyklů. Jak jsme si všimli v pozorování 1.7. a v odstavci 1.8., pokud byl konečný a ϕ bijekce, spektrum T sestávalo výhradně z odmocnin jedničky, závisle na délkách cyklů obsažených v. Asi nás nepřekvapí, bude-li tomu stejně i v případě, že je nekonečný- avšak jen dokud ϕ bude bijekce a bude tak možné rozložit do nezávislých cyklů. 1.9. Tvrzení Necht ϕ je injektivní. Necht pro každé x existuje číslo n x N, takové, že posloupnost x,ϕ(x),ϕ 2 (x),..,ϕ nx (x) není prostá a necht n x je nejmenší s touto vlastností. i) Existuje-li C > 0 takové, že pro libovolné x platí n x C, pak σ(t) = {λ C λ ny = 1; y } =: M. 12

ii) Existuje-li pro každé n N v cyklus o délce d N, d n, potom σ(t) = T. Důkaz. Důkaz toho, že se rozpadá do disjunktních cyklů a ϕ je surjektivní byl proveden v předešlém odstavci. i) Využijeme toho, že spektrum T je stejné jako spektrum adjungovaného operátoru T.AdjungovanýoperátorT jedefinovánnaduálnímprostoru(c()) předpisem T x (f) = x (Tf), x (C()), f C(). Dle Rieszovy věty([3], str.130) existuje pro každý funkcionál x (C()) právě jedna Radonova míra µ x M() taková, že pro každou f C() platí x f = fdµ x Definici T lze tedy přepsat takto: f dt µ = Tf dµ = f ϕ dµ, f C(), µ M(). Necht µ M() a zvolme A B(). Dle Lusinovy věty([3], str. 55) existuje posloupnost funkcí {f n } n N C() taková, že pro X n := {x; f n (x) χ A (x)} platí T µ(x n ) 1 n a navíc f n 1, n N. Potom platí T µ(a) = χ A dt µ = lim f n dt µ = lim( f n ϕ dµ f n dt µ) = n \X n n X n = lim f n dϕ µ lim f n dt n µ = χ A dϕ µ = ϕ µ (A). n X n Míra T µ je tedy obrazem míry µ při zobrazení ϕ. Značme ϕ µ. Dokažme nejprve, že pokud λ M, pak λ σ(t ) = σ(t). Necht tedy λ nx = 1, kde n x je délka nějakého cyklu Z x a x Z x. Definujme atomické míry δ 0,..,δ nx 1 předpisem { 0 ϕ j (x) / D, D B() δ j (D) = λ j ϕ j (x) D, D B(). Definujme dále míru µ jako µ = n x 1 k=0 a ověřme, že je vlastním vektorem T pro číslo λ. Máme λµ = n x 1 k=0 λδ k = n x 2 k=0 ϕ δk +λδ nx 1 = 13 δ k n x 2 k=0 ϕ δk+1 +ϕ δ0 = n x 1 k=0 ϕ δk = ϕ µ.

Proto λ σ p (T ). Necht nyní λ / M. Ověříme, že operátor λi T je injektivní. Necht pro nějakou míru µ M() platí pro každou D B() rovnost λµ(d) = ϕ µ (D). Vezměme libovolný cyklus Z. Necht d N je jeho délka. Protože Z je uzavřená množina, je Z B(). Protože ϕ ϕµ = ϕ 2 µ a ϕd = Id na Z, pro cyklus Z platí λ d µ(z) = λ d 1 ϕ µ (Z) =... = λϕ d 1 µ (Z) = ϕ d µ (Z) = µ(z). Z toho však plyne λ d = 1 nebo µ(z) = 0. Jelikož λ / M, je µ(z) = 0. Cyklus Z byl však zvolen libovolně a se dá rozložit do disjunktních cyklů. Proto µ() = 0 a µ není vlastním vektorem T. Operátor λi T je tedy injektivní. Zbývá ukázat, že pokud λ / M, pak je operátor λi T surjektivní. Použijme k tomu vztah (1.8) z odstavce 1.8., v místo funkcí f a g však budeme dosazovat míry. tomu je však nejprve učinit malé pozorování: Protože se rozpadá do disjunktních cyklů s omezenou délkou, existuje k N disjunktních množin Z n1,z n2,...,z nk, kde Z nj = Z, Z je cyklus délky n j. Dokažme, že tyto množiny jsou borelovské. Definujme funkci d : [0, ) předpisem d(x) = min i,j {1,..,n x}, i j {ρ(ϕi (x),ϕ j (x))}, kde n x je délka cyklu, ve kterém x leží. Je zřejmé, že d je konstantní na každém cyklu. Jelikož je d složením konečně mnoha spojitých zobrazení, je d C(). Definujme nyní množiny R j c := {x Z n j ; d(x) c}, j {1,..,k}, c 0. Zvolme množinu Z nj a číslo m N. Vyberme y \Z nj. Jistě y náleží nějakému cyklu o délce n y n j. Zvolme libovolné x R j 1/m. Jelikož je funkce ϕny spojitá, můžeme vybrat takové δ 0 > 0, že platí: a B(y,δ 0 ) ϕ ny (a) B(y, d(x) 3 ). Zvolme δ = min(δ 0, d(x) ). Potom x / B(y,δ), nebot by bylo ϕ ny (x) B(y, d(x) ) a 3 3 tedyρ(x,ϕ ny (x)) 2 d(x),cožovšemnenímožné,protožex (x)ad(x) 1. 3 ϕny m Jelikož x i y byla zvolena libovolně, existuje pro každé y \ Z nj neprázdné okolí, které neproniká R j 1/m. Zároveň je pro každé m N množina Rj 1/m uzavřená v Z nj, nebot d je spojité. Množina R j 1/m je tedy uzavřená v pro každé m N. Jelikož m N R j 1/m = Z n j, je Z nj spočetným sjednocením uzavřených množin a je tedy borelovskou množinou, konkrétně typu F σ. Necht λ / M, λ C, µ M() jsou dány. Definujme míru α a ověřme, že řeší rovnici λα ϕ α = µ. (1.11) 14

Předpokládejme, že ϕ 0 = Id a proto ϕ 0 µ = µ. Pro j {1,..,k} definujme míry 0 \Z nj n α j = j 1 1 λ i ϕ n j 1 i λ n j 1 µ Z nj. i=0 Protože Z nj B(), j {1,..,k}, platí α j M() pro libovolné j {1,..,k}. Zvolme míru α jako α = k j=1 α j. Pak i α M() a zbývá ověřit, že α řeší rovnici (1.11). Jelikož je disjunktním sjednocením množin Z nj, j N, j k, stačí ukázat, že α řeší rovnici na Z nj pro libovolné j {1,..,k}. Necht tedy j {1,..,k} je pevné. Pravá strana (1.11) má na Z nj tvar λα ϕ α = n j 1 1 ( λ n j 1 i=0 n j 1 µ λ i+1 ϕ n j i 1 i=0 n j 1 λ i ϕ n j i µ ) = i=0 = λn j µ ϕ n j µ 1)µ = (λnj = µ, λ n j 1 λ n j 1 λ i+1 ϕ n j i 1 µ λ i ϕ n j i µ = λ n j 1 což je rovno levé straně rovnice (1.11). Pro volbu λ / M je tedy operátor λi T surjektivní. Protože λi T je izomorfismus, je λ / σ(t ) = σ(t). ii) V důkazu i) jsme našli vlastní vektor T pro každé λ M. Protože však v existuje posloupnost cyklů {c n } n N taková, že délka c n je větší než n, je množina M nekonečná a hustá v T. Protože σ(t) je uzavřená množina a ϕ je bijekce, využitím tvrzení 1.6. dostáváme σ(t) = T. Jak jsme viděli v důkazu předcházejícího tvrzení, pokud v existuje nějaký cyklus o délce d, jsme schopni poměrně snadno určit vlastní vektory T k d-tým odmocninám jedné. Podotkněme, že ϕ nemusí na tomto místě být ani injektivní, ani surjektivní. Bijektivita ϕ nám ale zajišt uje, že T jiná vlastní čísla nemá. 15

2. Operátory skládání na L p prostorech 2.1. Formulace problému Necht (,S,µ) a (L,T,α) jsou prostory s mírou, µ i α jsou σ-konečné. Bud ϕ : L měřitelné zobrazení, p [1, ). Mezi prostory L p () a L p (L) bychom chtěli definovat operátor skládání T analogicky jako na prostoru spojitých funkcí, tedy složením s ϕ. Formální definice by tedy mohla vypadat nějak takto: Tg = g ϕ, g L p (). Řešme nejprve otázku, co vlastně taková definice znamená a za jakých podmínek je taková definice korektní. 2.2. Definice operátoru Má-li operátor T zobrazovat z prostoru L p () do L p (L), musí zobrazovat třídy ekvivalence na třídy ekvivalence. To bychom mohli zajistit následujícím postupem: Mějme třídu ekvivalence [f] L p (). Vyberme z [f] jednu funkci f [f] a tu složme s ϕ. Jelikož f i ϕ jsou měřitelná zobrazení, je f ϕ : L C měřitelné. Je-li [f ] třída ekvivalence funkcí, které se rovnají funkci f ϕ α-skoro všude, definujme T[f] := [f ]. tomu, aby takto definovaná struktura T byla zobrazením z L p () do L p (L), jsou nutné 2 podmínky: a) T je zobrazení b) T[f] L p (L) pro každou [f] L p (). V a) budeme požadovat, aby pro každou třídu ekvivalence [f] L p () existovala právě jedna třída ekvivalence [f ] taková, že T[f] = [f ]. To tedy znamená, že pro každou funkci f [f] náleží f ϕ do třídy ekvivalence [f ], tj. jsou-li f 1,f 2 [f] dva různí reprezentanti [f], pak f 1 ϕ = f 2 ϕ (α-) skoro všude (značme f 1 ϕ f 2 ϕ). Jelikož f 1 a f 2 se mohly lišit nejvýše na množině (µ-) nulové míry, požadujeme, aby měl vzor této množiny při zobrazení ϕ taktéž míru nula. Musí tedy platit: a) Pokud pro nějakou D S je µ(d) = 0, pak také α(ϕ 1 (D)) = 0. Pokud totiž α(ϕ 1 (D)) > 0, pak funkce f 1 = 0, f 2 = χ D patří do stejné třídy ekvivalence, avšak funkce f 1 ϕ, f 2 ϕ nikoliv, nebot se liší na ϕ 1 (D), což je 16

množina kladné míry. (Poznamenejme, že je-li ϕ α obraz míry α při zobrazení ϕ : (L,T) (,S), pak podmínka a) neříká nic jiného, než že ϕ α je absolutně spojitá vzhledem k µ. Značme ϕ α µ.) Podmínka b) nám říká, že pro každou f L p () je integrál f ϕ p dα (2.1) L konečný. Abychom měli lepší představu, za jakých okolností nebude integrál v (2.1) konečný, uved me dva příklady: Příklad 1 Bud (,S,µ) = (L,T,α) = ((1, ),M,λ) (předpokládejme, že M jsou Lesbeguovsky měřitelné množiny a λ je Lesbeguova míra) a bud ϕ(x) = x, x (1, ). Pak pro f L p (), f(x) = x 2/p platí 1 f ϕ(x) p dx = 1 1 x dx =. Příklad 2 Bud = L = (1, ), S = T = M, µ = λ a bud α Lesbegue- Stieltjesova míra indukovaná funkcí x e x. Dále bud ϕ = Id. Pak pro funkci f L p (), f(x) = exp( x ), platí p f ϕ p dα = e x e x dx =. L 1 Z uvedených příkladů je vidět, že aby byl integrál v (2.1) konečný, nemělo by ϕ množiny libovolně zmenšovat. Formulujme tuto myšlenku exaktně: b) Je-li pro každou f L p () Tf L p (L), potom existuje konstanta C > 0 taková, že pro každou D S, µ(d) < platí: čili, že α(ϕ 1 (D)) C µ(d), (2.2) ϕ α Cµ. Ukažme, že tato myšlenka platí. Předně, je-li µ(d) = 0, musí platit ϕ α (D) = 0, dle podmínky a). Stačí se tedy omezit na množiny kladné míry. Předpokládejme pro spor, že pro každé n N existuje množina D n S kladné konečné míry taková, že platí ϕ α (D n ) > n µ(d n ). Definujme funkci f : C jako S využitím Leviho věty dostáváme f p dµ = n=1 χ Dn f = ( n 2 µ(d n ) )1/p. n=1 χ Dn n 2 µ(d n ) dµ = 17 n=1 χ Dn n 2 µ(d n ) dµ = 1 n 2 n=1

a tedy f p dµ <, takže f L p (). Avšak Tf / L p (L), nebot L f ϕ p dα = L n=1 χ ϕ 1 (D n) n 2 µ(d n ) dα L n=1 χ ϕ 1 (D n) nϕ α (D n ) dα = 1 n =. 2.3. Lemma Necht existuje konstanta C > 0 taková, že pro každou D S, µ(d) < platí ϕ α (D) C µ(d). Potom pro každou nezápornou měřitelnou funkci f : C platí fdϕ α C fdµ. Důkaz. Jelikož f je nezáporná a měřitelná, existuje neklesající posloupnost nezáporných měřitelných funkcí {f n } n N taková, že f n ր f([2], str. 259). Předpokládejme, že pro každé n N je f n = q n k=1 a n,kχ Dn,k, a n,k > 0, D n,k S. Pomocí Leviho věty dostáváme fdϕ α = lim f n dϕ α = lim n n = lim C n q n k=1 q n k=1 a n,k χ Dn,k dϕ α lim n q n k=1 n=1 a n,k C a n,k χ Dn,k dµ = lim C f n = C fdµ. n χ Dn,k dµ = V odstavci 2.2. jsme vyvodili podmínku (2.2) nutnou pro to, aby T, definovaný na začátku tohoto odstavce, byl zobrazením z L p () do L p (L). Využitím předcházejícího lemmatu dokážeme, že podmínka(2.2) je nejen nutná, ale zároveň postačující pro definovatelnost T. 2.4. Tvrzení Necht existuje konstanta C > 0 taková, že pro každou D S platí: ϕ α (D) C µ(d). Potom je T, definovaný v odstavci 2.2., lineární, spojitý operátor z L p () do L p (L). Důkaz. Jelikož pro každou D S plyne z µ(d) = 0 rovnou ϕ α (D) = 0, pak pro [f] L p () a libovolné f 1,f 2 [f] platí [f 1 ϕ] = [f 2 ϕ] a tedy T je zobrazení z L p (). 18

Vezměme nyní f L p (). Jelikož je funkce f p nezáporná a měřitelná, platí dle lemmatu 2.3. f ϕ p dα = f p ϕ dα = f p dϕ α C f p dµ = C f p. L L Funkce Tf je tedy prvkem L p (L), operátor T je omezený a T p C. Ověření linearity je trivialitou, pročež T je spojitý. V dalším textu předpokládejme, že podmínka (2.2) platí a T je korektně definován. Vlastnosti operátoru T ompaktnost T Jednou z možností, jak zajistit, aby T byl kompaktní, je zajistit, aby Rng(T) byl konečně dimenzionální podprostor v L p (L). Analogický problém jsme už řešili na prostoru spojitých funkcí, kde bylo postačující, pokud ϕ nabývalo konečne mnoha hodnot. Nebot měřitelná funkce z do C může nabývat nejvýše tolika hodnot, kolik obsahuje algebra S prvků, snadno formulujeme postačující podmínku pro kompaktnost T: 2.5. Tvrzení Necht existuje nejvýše konečně mnoho D 1,D 2,..,D n S, n N takových, že ϕ α (D i ) 0, i {1,2,..,n}. Potom je operátor T kompaktní. Důkaz. Můžeme předpokládat, že jsou množiny D 1,D 2,..,D n po dvou disjunktní. Pokud by tomu tak nebylo, můžeme můžeme je vhodným pronikáním zdisjunktnět. Protože je množin konečný počet, počet množin se vzorem kladné míry zůstane po zdisjunktnění konečný. Vzhledem k tomu, že jsou množiny disjunktní, platí pro každou D i a každou její vlastní podmnožinu M S, M D i ϕ α (M) = 0 µ(m) = 0 (2.3) Pokud by totižpro nějakou vlastní, měřitelnou M D i podmínka (2.3) neplatila, pak ϕ α (D i \M) = ϕ α (D i ) ϕ α (M) = ϕ α (D i ) 0, avšak množiny D i a D i \M nejsou disjunktní, což je spor s předpokladem. Necht tedy D 1,D 2,..,D n, D i S, n N jsou disjunktní množiny kladné míry, z nichž žádná neobsahuje vlastní podmnožinu kladné míry. Z toho díky σ-aditivitě µ plyne µ(d i ) <, i {1,2,..,n}. Zároveň libovolná měritelná funkce f : D := i n D i C je na každém D i skoro všude konstantní a patří do nějaké třídy [f] L p (). Čili pro každou třídu ekvivalencí f Lp (D) existuje uspořádaná n-tice komplexních čísel (a 1,..,a n ) C n tak, že platí f Di = a i, i {1,2,..,n}. Jelikož platí ϕ α ( \ D) = 0, je prostor Rng(T) L p (L) izomorfní s prostorem L p (D). Prostor L p (D) je izomorfní s C n, tudíž má Rng(T) konečnou dimenzi a T je kompaktní. 19

2.5. Tvrzení Necht je operátor T kompaktní. Potom pro každou dvojici konstant c 1,c 2 > 0 existuje nejvýše konečně mnoho navzájem disjunktních množin D i S, i N s vlastnostmi µ(d i ) < c 2, ϕ α (D i ) > c 1. (2.4) Důkaz. Necht existují takové konstanty c 1,c 2 > 0 a nekonečně mnoho po dvou disjunktních D i S, i N takoých, že platí (2.4). Definujme posloupnost funkcí {f n }, f n : C, n N, následovně: Pak χ Dn f n := ( (µ(d n ) )1/p. f n p = χ Dn dµ = 1, µ(d n ) takže f n L p (), n N a {f n } je omezená. Zároveň ale pro libovolná n,m N, máme T(f n f m ) p = L f n ϕ f m ϕ p dα = χ ϕ 1 (Dn) L c 2 dα+ L L χ ϕ 1 χ (Dn) µ(d n ) dα+ ϕ 1 (Dm) L µ(d m ) dα χ ϕ 1 (Dm) c 2 dα 2 c 1 c 2. Protože pro libovolná m,n N jsou od sebe členy Tf n a Tf m vzdálené (v L p (L) metrice) nejméně o 2 c 1 c 2 > 0, nelze z posloupnosti {Tf n } vybrat Cauchyovskou podposloupnost a T není kompaktní. Injektivita a surjektivita T Již v tvrzení 2.5. jsme použili jistou analogii mezi vlastnostmi operátorů skládání pro spojité funkce a operátorů pro funkce měřitelné. V každém z problémů totiž hraje podobnou roli jiná struktura: 1. V prvním případě jsou to body; prvky kompaktních prostorů, L. 2. V případě druhém jsou to množiny kladné míry. Víme, že v případě T : C() C(L), Tf = f ϕ, f C() pro,l kompaktní prostory je T injektivní právě tehdy, je-li ϕ surjektivní. Budeme-li se držet výše zmíněné analogie, zjistíme, že pro T definované na L p prostorech platí tvrzení téměř identické. Proto zaved mě následující pojem: 2.7. Definice Zobrazení ϕ : (L, T) (, S) nazveme α-µ-surjektivní, platíli D S : µ(d) > 0 ϕ α (D) > 0 20

Tato definice v podstatě říká, že pro každou množinu kladné míry Y S existuje množina kladné míry z X T, jejíž obraz při ϕ je právě Y. Z toho je hned zřejmé, že aby bylo ϕ α-µ-surjektivní, musí být surjektivní (pomineme-li triviální případ µ() = 0). 2.8. Tvrzení Operátor T definovaný na L p prostorech je injektivní právě tehdy, je-li ϕ α-µ-surjektivní. Důkaz. Necht existuje D S, pro kterou platí µ(d) > 0 a zároveň ϕ α (D) = 0. Protože je µ σ-aditivní, můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat µ(d) <. (V opačném případě existuje totiž D S, D D, pro kterou platí µ(d ) < a nutně také ϕ α (D ) = 0). Zvolíme-li nyní f L p () jako f = χ D, pak Tf p = ale f 0, čili T není injektivní. L f ϕ p dα = L χ ϕ 1 (D) = ϕ α (D) = 0 Necht naopak T není injektivní. Potom existuje [f] L p (), [f] 0 taková, že T[f] = 0. Zvolme libovolnou f [f]. Bud nyní A := {x f(x) 0}. f je měřitelná, tudíž A je měřitelná a platí µ(a) > 0. Jelikož f ϕ 0, platí ϕ α (A) = 0 a tedy ϕ není α-µ-surjektivní. Předtím než formulujeme nutnou a postačující podmínku pro surjektivitu T, dokážeme jedno pomocné lemma. 2.9. Lemma Necht X, Y jsou Banachovy prostory a T : X Y je spojitý lineární operátor. Necht D = Rng(T) je hustý v Y a necht existuje konstanta m > 0 taková, že platí Potom je operátor T surjektivní. y D, x X, Tx = y, m x y. Důkaz. Necht y Y. Hledáme x X, splňující Tx = y. Jelikož je D hustý v Y, existuje pro každé n N prvek y n D takový, že platí y y n < 2 n. Definujme posloupnost {z n } n N následovně: z 1 = y 1, z n = y n y n 1, n 2. Jistě z n D pro každé n N, nebot D = Rng(T) je podprostor v Y. Potom platí n=1 z n = lim n n k=1 z k = lim n n k=1 Pro n 2 platí z trojúhelníkové nerovnosti (y 1 +y 2 y 1 +... y n 2 +y n y n 1 ) = lim n y n = y. n 1 n 1 z n z n + z k y + y z k 2 n +2 1 n 2 2 n. k=1 21 k=1

Pro každé n N existuje prvek x n X s vlastnostmi Tx n = z n a m x n z n. Vzhledem k tomu, že x n m z n m( y 1 + n=1 n=1 2 2 n ) = m( y 1 +2), n=2 konverguje suma n=1 x n a platí ( n=1 x n) X. Dostáváme T x n = Tx n = z n = y, n=1 n=1 n=1 čímž jsme ověřili, že T je surjektivní.. 2.10. Tvrzení Operátor skládání T na L p prostorech je surjektivní právě tehdy, pokud existuje konstanta m > 0 a pro každou A T, 0 < α(a) < existuje B S splňující i) α(ϕ 1 (B) A) = α(a), ii) α(ϕ 1 (B) A c ) = 0, iii) m µ(b) α(a). Důkaz. Pro důkaz nutnosti i) a ii) předpokládejme, že existuje množina A T, 0 < α(a) < a pro každou B S neplatí i) nebo ii). Vezměme libovolnou f L p (). Pro D f := {x f(x) = 1} platí D f S a proto i α(ϕ 1 (D f ) A) α(a) nebo α(ϕ 1 (D f ) A c ) > 0. Tedy alespoň jedna z množin A\ϕ 1 (D f ) a ϕ 1 (D f ) A c jekladné míry. Na žádné z těchto množin se však f a χ A nerovnají ani v jednom bodě. Jelikož f byla libovolná, v L p () neexistuje vzor pro χ A a T není surjektivní. Je-li T surjektivní, Rng(T) je zřejmě uzavřený v L p (L) a existuje proto konstanta m > 0 taková, že platí([1], str. 487) f L p (L), g L p (), Tg = f, m g f. (2.5) Zvolme A T, α(a) > 0. Protože funkce χ A nabývá skoro všude jen hodnot 0 a 1, pak každá funkce h L p (), pro kterou platí h = inf{ w ;w L p (), Tw = χ A }, nabývá taktéž hodnot 0 a 1 skoro všude. Poznamenejme, že alespoň jedna taková funkce h existuje, nebot norma jako spojité zobrazení na uzavřené množině {w L p (); Tw = χ A } nabývá svého minima. Pokud pro h L p () platí Th = χ A, ale přesto existuje množina E S, µ(e) > 0, na které h 0, h 1, pak ale ϕ α (E) = 0 a funkce h = h (1 χ E ) jistě splňuje Th = χ A, avšak h < h. Funkce h tedy nabývá skoro všude jen hodnot 0 a 1. Pak pro 22

měřitelnou množinu B := {x h(x) = 1} platí podmínky i) a ii). Zvolíme-li v (2.5) f = χ A, pak pro g = χ B = h musí platit m χ B χ A. To ale není nic jiného, než mµ(b) α(a) a tvrzení iii) je dokázáno. Necht nyní existuje m > 0 a pro každou A T, 0 < α(a) < existuje B S taková, že platí podmínky i) iii). Pak díky i) a ii) existuje pro každou E T, α(e) < taková F S, že platí rovnost χ E = χ ϕ 1 (F) = Tχ F. Tedy pro každou E T, α(e) < je χ E Rng(T). Tudíž pro každou f L p (L) jednoduchou platí f Rng(T). aždá jednoduchá funkce f L p (L) nabývá nejvýše konečně mnoha hodnot, proto ji lze vyjádřit ve tvaru f = n k=1 a kχ Dk pro vhodná čísla a k C a po dvou disjunktní množiny D k T,k {1,..,n}. Pro každou z množin D k existuje množina F k splňující podmínky i) iii). Proto je T n k=1 a kχ Fk = f a platí odhad n k=1 a k p χ Fk dµ m L n a k p χ Dk dα. Protože jednoduché L p funkce leží hustě v L p (L) a zaroveň leží v Rng(T), je D = Rng(T) hustý v L p. Dále, L p prostory jsou Banachovy. Protože existuje konstanta m > 0 taková, že pro každou f D existuje g L p () splňující Tg = f a m g f, můžeme aplikovat lemma 2.8., čímž dostáváme, že T je surjektivní. k=1 23

Seznam použité literatury [1] Dunford, Nelson Schwartz, Jacob T. Linear Operators Part I. INTER- SCIENCE PUBLISHERS, INC., NEW YOR, 1958. 857 s. 57-10545. [2] Lukeš, Jaroslav Teorie míry a integrálu I. Univerzita arlova, Praha 1980. 301 s. 60-62-80. [3] Rudin, Walter Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Company 1986. 416 s. ISBN 0-07-100276-6. 24