LIGA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA KLASA III ETAP 1. Z punktu P leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego, który nie jest punktem przecięcia jego wysokości, prowadzono odcinki prostopadłe do boków trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa wysokości tego trójkąta.. Dane są trzy koła współśrodkowe. Promień największego z nich wynosi 1 cm. Oblicz promienie pozostałych kół, jeśli wiesz, że pole powstałych pierścieni i najmniejszego koła są sobie równe. 3. Narysuj wykres funkcji y = x + 3 dla x < a. { y = x 1 dla x y = 1 dla x < b. { y = x dla x < 1 y = dla x y = x dla x < c. { y = x dla x < 1 y = 1 x dla 1 x < 5 4. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami y = -, y = 3, y = x+5, y = -x+8. 5. Punkty A i B przecięcia wykresu funkcji y = 3 x + 6 z osiami współrzędnych OY i OX oraz 4 punkt C=(3;-10) są wierzchołkami trójkąta. Oblicz jego pole i obwód. Tego trójkąta. 6. Oblicz wartość funkcji określonej wzorem 1 3 6 y x 64, dla argumentu x % : a jeżeli 3 1, 4 0 5 3 5 3 4 3 1 a : 81 3. 4 7. Sporządź wykres funkcji: a. y = x, x R b. y = 1 x 1, x R c. y = 3x, x N 8. Na zewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 4 cm zbudowano kwadraty. Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta. Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt. Oblicz pole otrzymanego trójkąta. 9. Wyznacz stosunek pola sześciokąta foremnego do pola trójkąta równobocznego, jeśli oba te wielokąty mają równe obwody.
10. W okrąg wpisano sześciokąt foremny, a następnie w taki sam okrąg wpisano kwadrat. Obwód sześciokąta wynosi 4 cm. Oblicz pole kwadratu. 11. W trójkąt równoboczny wpisano okrąg, w ten okrąg wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt równoboczny wpisano okrąg. Ile razy promień mniejszego okręgu jest mniejszy od promienia większego okręgu. 1. Jeżeli w pewnej liczbie pięciocyfrowej dopiszemy jedynkę z lewej strony, to otrzymamy pewną liczbę sześciocyfrową. Jeżeli zaś jedynkę dopiszemy z prawej strony tej liczby, to otrzymamy liczbę sześciocyfrową, która jest trzykrotnie większa od poprzednio otrzymanej liczby. Znajdź tę liczbę pięciocyfrową. 13. Udowodnij, że jeśli środkowa trójkąta ma długość równą połowie boku, do którego została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny. 14. Na zewnątrz kwadratu ABCD budujemy trójkąt równoboczny CDE. Ile stopni ma AEC? 15. Proste o równaniach y - x = 1 i y - x = 3 przecinają osie układu współrzędnych w punktach A,B,C,D. Oblicz pole czworokąta ABCD. 16. Dana jest funkcja, która każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Podaj zbiór wartości tej funkcji. Wykonaj wykres dla n<15. 17. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 8. Jeżeli jedną z tych liczb podzielimy przez drugą, to otrzymamy iloraz 10 i pewna resztę. Jakie to liczby? 18. Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle, ile miała babcia wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia ma teraz? 19. Trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta, jeżeli jedna z przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej. 0. Krótsza przekątna dzieli równoległobok o kącie ostrym 45 0 na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz pole i obwód równoległoboku wiedząc, że dłuższy bok ma długość 4. 1. Do naczynia w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratowej wlano 150 l wody zapełniając 3 jego objętości. Jaka jest krawędź podstawy naczynia, jeżeli wysokość wynosi 80 4 cm.. Dwa pociągi jadą po równych torach naprzeciw siebie. Jeden z prędkością 60 km/h, a drugi z prędkością 80 km/h. Pasażer jadący w drugim pociągu zauważył, że pierwszy pociąg mijał go przez 6 sekund. Jaka jest długość pierwszego pociągu? 3. Matematyk Alkuin (VII-IX w. n.e.) jest autorem takiego zdania: Chart ujrzał zająca w odległości 150 stóp i ruszył w pogoń. Skok zająca ma 7 stóp, a skok charta wykonany w tym samym czasie 9 stóp. Po ilu skokach chart dogoni zająca? 4. Szybkonogi Achilles rozpoczął pogoń za żółwiem, gdy ten znajdował się sto metrów od niego. Już po pięciu sekundach dystans między nimi zmniejszył się o połowę. Żółw zdążył przebiec zaledwie 1 m, gdy Achilles go dogonił. Z jaką prędkością biegł Achilles, a z jaką prędkością uciekał żółw? 5. W trójkąt równoboczny wpisano kwadrat o boku długości 6 cm. Oblicz pole trójkąta. 6. W kwadracie o boku długości 6 cm ścięto naroża w ten sposób, że powstał ośmiokąt foremny. Oblicz jego pole i obwód.
7. Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 1, a różnica między cyfrą jedności i cyfrą dziesiątek jest 1 razy mniejsza od poszukiwanej liczby. Jaka to liczba? 8. Gdy w klasie IIIa wszyscy uczniowie są obecni, to liczba chłopców do liczby dziewcząt jest w stosunku 3 : 4. Pewnego dnia nieobecni byli dwaj chłopcy i jedna z dziewcząt i wówczas stosunek liczby chłopców i liczby dziewcząt wynosił :3. Ile dziewcząt i ile chłopców jest w tej klasie? 9. Wnuczek ma tyle miesięcy ile dziadek ma lat. Razem mają 91 lat. Ile lat ma dziadek, a ile wnuczek? 30. Waga owoców brutto wynosi 18 kg. Waga netto jest 8 razy większa od wagi tary. Oblicz masę owoców netto. 31. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, spełniających równanie: x -y =4. 3. Kolejka w Lunaparku jeździ w kółko po szynach, które tworzą dwa współśrodkowe okręgi. Każde koło wagonika ma promień długości 0 cm. Zewnętrzne koło podczas jednego pełnego okrążenia wykonuje o 4 pełne obroty więcej niż wewnętrzne. Jaki jest rozstaw szyn kolejki? 33. Babcia przyniosła na targ 100 jajek, które chciała sprzedać za 3 zł. Gdy sprzedała czwarta część wszystkich jajek, spostrzegła, że część jajek jest popękana. Odłożyła je zatem na bok i aby zarobić zamierzone 3 zł, resztę jajek sprzedała po 40 gr za sztukę. Oblicz, ile jajek było popękanych. 34. Pani Asia przejechała trasę dwukrotnie dłuższą niż pan Wojtek w czasie stanowiącym dwie trzecie jego czasu. Ile razy szybciej jechała? 35. Dane są trzy kolejne liczby naturalne. Uzasadnij, ze iloczyn liczby największej i najmniejszej jest równy kwadratowi liczby środkowej zmniejszonemu o 1. 36. Uzasadnij, że różnica liczby trzycyfrowej utworzonej z dowolnych kolejnych cyfr i liczby utworzonej z tych samych cyfr w odwrotnej kolejności jest podzielna przez 9. 37. Przyleciało stado kawek i usiadło na ławki. Gdyby na każdej ławce usiadły 4 kawki, to zabrakłoby dokładnie jednej ławki.gdyby zaś na każdej ławce usiadło 5 kawek, to jedna ławka pozostałaby pusta. Ile było kawek, a ile ławek? 38. Dane są liczby: 1 1 3 3 x 1 : 0,4 0,8 7, 45 i 10 1 y 7 16 1 1 75 9 0, 1. Ile razy liczba przeciwna do y jest większa od x? 39. Które z poniższych wyrażeń ma najmniejszą wartość? a) 1 1 0,5 : 0,5 5 5
1 0 5 b) 0,005 : 0,5 4 1 c) 5 5 4 9 0,5 : 0,5 15 5 10 1 1 1 : 0,5 : 5 4 5 d) 0 40. Wyrażenie a a 3 a 5 5 a a 0 sprowadź do najprostszej postaci. 5
LIGA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA KLASA III ETAP II ZDANIA Z FIZYKI 1. Na jaką wysokość doleci pocisk z wiatrówki wystrzelony pionowo w górę z prędkością początkową 300 m/s. Przyspieszenie ziemskie przyjmij 10 m/s. Opory powietrza pominąć.. Jak długo będzie spadał z wysokości 400 m worek z piaskiem? Proszę pominąć opory ruchu. Przyspieszenie ziemskie przyjmij 10 m/s. 3. Jaką odległość pokona urządzenie pchające ze stałą prędkością wózek, z siłą 0N jeśli może ono wykonać pracę 40kJ? Oblicz moc tego urządzenia jeśli cały proces trwał 40 sekund. 4. Pod wpływem siły ciągu 3500 N samochód porusza się z przyspieszeniem 1,5 m/s. Siły oporu wynoszą 500 N. Oblicz masę samochodu. 5. Samochodzik zabawkaa o masie 100 g rusza działając siłą 0,5 N na deseczkę o masie 300 g, która może poruszać się bez tarcia. Oblicz przyspieszenie samochodziska i przyspieszenie deseczki. 6. Masa pocisku wynosi 0 g. Jaka jest prędkość pocisku opuszczającego lufę karabinu o masie 5 kg, jeśli uzyskuje on prędkość odrzutu 5 m/s? 7. Pod wpływem siły ciągu 500 N samochód porusza się z przyspieszeniem 1 m/s. Siły oporu wynoszą 500 N. Oblicz masę samochodu. 8. W wodzie pływa drewniany sześcian o krawędzi 10 cm. Jaka wysokość sześcianu wystaje nad powierzchnię wody, jeżeli powierzchnie jego ścian bocznych są prostopadłe do powierzchni wody? Gęstość wody ρ w = 1000 kg/m 3, gęstość drewna ρ d = 800 kg/m 3. 9. Pociąg towarowy o masie 5000 t, jadący z prędkością 7 km/h zahamowano za pomocą hamulców. O ile wzrosła energia wewnętrzna hamulców i kół wagonów, o które tarły te hamulce? 10. Ola wlała ćwierć litra wody o temperaturze 0 C do czajnika o mocy 1000 W. Do ogrzania 1 kg wody o 1 C potrzeba 400 J energii. Oblicz, po jakim czasie woda w czajniku osiągnie temperaturę wrzenia 100 C. Przyjmij, że 1 litr wody ma masę 1 kg, a całe ciepło wydzielane w grzałce jest pobierane przez wodę. Zapisz obliczenia. 11. Zawodnik podniósł sztangę o masie 50 kg na wysokość m w ciągu 4 s. Jaka była średnia moc mięśni zawodnika podczas wykonywania tej czynności? Przyjmij wartość g=10m/s.
1. Przez kaloryfer przepływa w ciągu doby 300 kg wody, zmieniając swoją temperaturę z 80 C na 60 C. 1 kg wody ochładzając się o 1 C oddaje 4, kj ciepła. Ile ciepła oddaje woda w tym kaloryferze w ciągu doby? Zapisz obliczenia. 13. Samochód wraz z kierowcą ma masę 1000 kg. Samochód ten w ciągu 15s od chwili ruszenia z miejsca uzyskuje prędkość 7 km/h. Oblicz, jaką minimalną wartość musi mieć siła ciągu silnika, zakładając że samochód porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Opory ruchu zaniedbaj. 14. Sygnał dźwiękowy wysłany z echosondy statku wrócił odbity od ławicy Ryb po 0.5 sekundy. Jak głęboko jest ławica jeżeli prędkość fali głosowej W wodzie wynosi 1450 m/s? 15. Ciężar łyżwiarza stojącego na tafli lodowej wynosi 600N. a) Oblicz ciśnienie, jakie wywiera na lód łyżwiarz, jeżeli powierzchnia łyżew wynosi 0,001m b) Oblicz masę łyżwiaża 16. Oblicz całkowity opór obwodu podłączonego do napięcia 1V, w którym oporniki R1= 10Ώ i R= 0Ώ połączone są tak jak na rysunku. Oblicz, jakie natężenie prądu wskazuje amperomierz, a jakie napięcie wskazuje woltomierz. 17. Tomek wybrał się na wycieczkę rowerowa. W ciągu 30 minut pokonał drogę 10 km, a kolejne 1 km przejechał w ciągu 50 minut. Oblicz średnią szybkość, z jaka Tomek pokonał cała trasę wycieczki. Wynik podaj w km/h 18. Do oświetlenia wystawy użyto świetlówki energooszczędnej o mocy 14 W. Świetlówka jest włączona przez 10 godzin na dobę. Jaki jest koszt energii zużytej przez tę świetlówkę w ciągu roku (365 dni)? Cena 1 kwh wynosi 0,50 zł. Zapisz wszystkie obliczenia. 19. W ciągu 30 dni w czajniku o mocy 1600 W podgrzewano wodę średnio przez 15 minut dziennie. Oblicz koszt energii elektrycznej zużytej przez czajnik w ciągu tych 30 dni. Przyjmij, że cena 1 kwh energii wynosi 3 gr. Zapisz obliczenia. 0. Oblicz wysokość prostopadłościanu mającego w podstawie kwadrat o boku a=10 cm, jeśli g wiemy, że jest wykonany z materiału o gęstości ρ=4 i wywiera na podstawę ciśnienie 3 cm p= kpa.