Zad. 4 Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych zwiększona o 1 jest podzielna przez 12.

Transkrypt

1 LIGA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA KLASA VIII - ETAP II Zad. 1 Która z liczb jest większa czy 22 55? Odpowiedź uzasadnij. Zad. 2 W kwadracie o boku długości 6 cm ścięto naroża w ten sposób, że powstał ośmiokąt foremny. Oblicz jego pole i obwód. Zad. 3 Ramiona trapezu równoramiennego są nachylone do podstaw pod kątem 60 0 i mają długość 10 cm. Jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trapezu. Zad. 4 Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych zwiększona o 1 jest podzielna przez 12. Zad. 5 Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są w stosunku 3 : 4, a przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Oblicz pole koła wpisanego w ten trójkąt. Zad. 6 W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 2 cm i 8 cm. Oblicz długość tej wysokości. Zad. 7 Rozwiąż równanie 2 xa x 3 a a x wiedząc, że ajest największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 3x 1 2(x + 1) < ( 3 2x) 2 + 3x + 2 ( 2x + 1)(2x 1) Zad. 8 Jeżeli liczbę dwucyfrową zmniejszymy o 2 i wynik podzielimy przez 4, to powstanie liczba o 8 mniejsza od liczby otrzymanej z wyjściowej przez przestawienie cyfr. Jeżeli natomiast liczbę tę zwiększymy o 2, to otrzymamy liczbę trzy razy większą od liczby o przestawionych cyfrach. Znajdź liczbę wyjściową. Zad. 9 Podstawy trapezu równoramiennego mają długość 11cm i 27 cm a długość ramion wynoszą 14 cm. Oblicz pole trapezu?

2 Zad. 10 Ania i Kasia porównywały swoje oszczędności, po czym Ania stwierdziła: Razem mamy 5000 zł. Gdyby moje oszczędności wzrosły o 20%, a Twoje zmalały o 20%, miałybyśmy po tyle samo. Jaka część oszczędności Kasi stanowi kwota, jaka posiada Ania? Zad. 11 Antykwariat zakupił dwa przedmioty za 2250 zł, a na ich sprzedaży zyskał 40% tej kwoty. Za ile złotych zakupił antykwariat każdy przedmiot, jeżeli pierwszy dał 25%, a drugi 50% zysku? Zad. 12 Koło i kwadrat mają równe obwody. Oblicz stosunek pola koła do pola kwadratu. Zad.13 Z koła o promieniu długości 5 cm wycięto trójkąt. Jeden bok trójkąta przechodzi przez środek okręgu, natomiast stosunek długości dwóch pozostałych boków jest równy 3 : 4. Oblicz pole obszaru, który powstał przez wycięcie trójkąta z koła. Zad. 14 Z miejscowości A w kierunku B wyjechał rowerzysta z prędkością 15km/h. Po upływie 1godziny i 20 minut w ślad za nim wyjechał motocyklista z prędkością 45 km/h. Po jakim czasie i w jakiej odległości od A motocyklista dogoni rowerzystę? Zad. 15 Z miasta A do miasta B wyjechał samochód ciężarowy z prędkością 60km/h. W godzinę później z B do A wyjechał samochód osobowy z prędkością 80km/h. Samochody te minęły się w połowie drogi między miastami. Ile kilometrów jest między tymi miastami? Zad. 16 Jeśli długość prostokąta zwiększymy o 2 cm i szerokość zwiększymy również o 2 cm, to jego pole zwiększy się o 20cm 2. Oblicz o ile zwiększy się pole tego prostokąta, jeśli jego długość i szerokość zwiększymy o 4cm? Zad. 17 Dorota jest trzy razy młodsza od swojego taty, a 4 lata temu była od niego cztery razy młodsza. Ile lat ma Dorota? Zad. 18 W klasie II a chłopcy stanowią 60% uczniów, a w klasie II b tylko 40%. W obydwu klasach łącznie jest 55 uczniów, w tym 27 chłopców. Ile uczniów liczy klasa IIb? Zad. 19 Różnica dwóch liczb wynosi 4, a suma podwojonej pierwszej liczby i połowy drugiej wynosi 23. Oblicz jakie to liczby. Zad. 20 Rozwiąż układ równań yz 24 zx 10 xy 15 Zad. 21 Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle, ile miała babcia wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia ma teraz?

3 Zad. 22 Trójkąt ABC ma obwód równy 37 cm. Na boku BC wyznaczono punkt D tak, że kąt CAD będzie się równał kątowi ACD. Oblicz długość boku AC, jeśli wiadomo, że trójkąt ABD ma obwód równy 24 cm. Zad.23 Przez wierzchołek prostokąta, w którym jeden z boków jest dwa razy krótszy od drugiego, poprowadzono prostą, która podzieliła prostokąt na trójkąt o polu 8 cm 2 i trapezu o polu 24 cm 2. Oblicz długości podstaw trapezu. Rozważ wszystkie możliwości. Zad.24 Dziadek dał swoim wnukom pewną ilość orzechów. Najstarszemu wnukowi dał 4 orzechy i czwartą część pozostałych, drugiemu dał 3 orzechy i trzecia część pozostałych. Trzeci wnuk otrzymał 2 orzechy i połowę pozostałych, a dla najmłodszego został 1 orzech. Ile orzechów rozdał dziadek czterem wnukom? Zad. 25 Z punktu P leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa wysokości tego trójkąta. Zad. 26 Wiek pewnego obywatela w roku 1887 równał się sumie cyfr roku jego urodzenia. Ile miał on lat? Zad. 27 Jeżeli liczbę dwucyfrową podzielimy przez różnicę jej cyfr dziesiątek i jedności, to otrzymamy 11 i resztę 5. Jeśli zaś tę samą liczbę podzielimy przez sumę jej cyfr, to otrzymamy 8 i resztę 7. Wyznacz tę liczbę. Zad. 28 Trzej bracia znaleźli szkatułkę z 48 złotymi monetami. Każdy wziął tyle monet, ile miał lat. Najmłodszy, ośmioletni, był niezadowolony z podziału i zaproponował poprawkę od niego. Jako pierwszy zatrzymał połowę swojej części, a drugą połowę rozdał po równo braciom. Następnie średni brat postąpił tak samo. Wreszcie i najstarszy rozdzielił w ten sposób swoje monety. Okazało się, że wszyscy mają tyle samo monet. Ile lat ma każdy z braci? Zad. 29 Fabryka produkuje zielone i czerwone szelki. Zielone są o 50% tańsze niż czerwone i stanowią 10% liczby produkowanych szelek. Gdyby fabryka ta produkowała miesięcznie o 100 szelek mniej ale wszystkie czerwone, to przychód ze sprzedaży nie zmieniłby się. Ile szelek miesięcznie produkuje ta fabryka? Zad. 30 Partia nasion zawierała pewien procent zanieczyszczeń. Po wstępnym oczyszczaniu usunięto ich połowę i okazało się, że teraz partia nasion zawiera 25% zanieczyszczeń. Ile procent zanieczyszczeń zawierała partia nasion przed wstępnym oczyszczaniem? Zad. 31 Dla oznaczenia stron encyklopedii użyto 6873 cyfry. Ile stron ma encyklopedia? Zad. 32 Chłopiec ma dwa razy więcej braci niż sióstr, a jego siostra ma 5 razy więcej braci niż sióstr. Oblicz ilu synów i ile córek mają rodzice?

4 Zad. 33 Zespół robotników może wykonać pewna pracę w ciągu określonej liczby dni. Gdyby robotników było o 5 więcej, to wykonaliby tę pracę o 4 dni wcześniej. Gdyby zaś było ich o 10 mniej, to pracowaliby o 12 dni dłużej. Ilu było robotników i ile dni pracowali Zad. 34 Jajo strusie i kurze ważą tyle samo, ile razem ważą jajo gęsie i 160 jaj przepiórczych. Dwa jaja gęsie ważą, tyle, ile dwa jaja kurze i 14 przepiórczych, zaś jajo kurze waży tyle, ile cztery jaja przepiórcze. Ile jaj przepiórczych waży jajo strusie? Zad. 35 Przy jednoczesnej pracy dwóch kranów zbiornik można zapełnić w ciągu 1 godziny 20 minut. Jeśli pierwszy kran będzie otwarty przez 10 min, a drugi 12 minut, to napełnia 2/15 zbiornika. W jakim czasie może napełnić każdy kran osobno? Zad. 36 Dwie beczki zawierają 480 litrów wody, gdyby z pierwszej beczki przelać do drugiej tyle litrów wody, żeby zawartość drugiej beczki podwoiła się, a następnie z drugiej beczki przelać do pierwszej tyle litrów, aby zawartość pierwszej beczki podwoiła się, to w obu beczkach będzie jednakowa liczba litrów wody. Ile litrów wody było pierwotnie w każdej beczce? Zad. 37 O ile % można obniżyć opłatę za kurs języka angielskiego, aby przy wzroście liczby uczniów o 20% łączna kwota wpłat wzrosła o 8%? Odpowiedź uzasadnij. Zad. 38 Jeżeli w pewnej liczbie pięciocyfrowej dopiszemy jedynkę z lewej strony, to otrzymamy pewną liczbę sześciocyfrową. Jeżeli zaś jedynkę dopiszemy z prawej strony tej liczby, to otrzymamy liczbę sześciocyfrową, która jest trzykrotnie większa od poprzednio otrzymanej liczby. Znajdź tę liczbę pięciocyfrową. Zad. 39 Udowodnij, że jeśli środkowa trójkąta ma długość równą połowie boku, do którego została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny. Zad. 40 Na zewnątrz kwadratu ABCD budujemy trójkąt równoboczny CDE. Ile stopni ma AEC?

5 Zadania z fizyki 1. Kupiłeś w sklepie zwykłą żarówkę 90W, jeśli zamiast do napięcia w gniazdku podłączysz ją do baterii 12V z jaką mocą będzie pracować żarów ka? 2. Tramwaj jest zasilany prądem o napięciu 600V i natężeniu 150A. Jaka jest jego moc? Wynik podaj w kilowatach i koniach mechanicznych (1 koń mechaniczny jest równy 735W). 3. Do bateryjki 12V podłączono równolegle dwa oporniki R 1 = 100Ω, R 2 = 200Ω. Znajdź natężenia prądów I 1, I 2, I 3 płynące w obwodzie. 4. Jakie jest natężenie prądu płynącego przez grzałkę o oporze 56 Ω, podłączonej do sieci domowej o napięciu 230V? 5. Jakie napięcie panuje pomiędzy końcami opornika o oporze 4 Ω, jeżeli w ciągu 15 min. przepływa przez niego ładunek 200C. 6. Opór opornika możemy zmierzyć mierząc natężenie prądu płynące przez niego I oraz mierząc na nim napięcie U, a następnie licząc opór zgodnie ze wzorem R = U/I. W tym celu musimy odpowiednio podłączyć amperomierz i woltomierz. Poniżej przedstawiono dwie propozycje podłączenia mierników: Zastanów się, która z propozycji jest lepsza w sytuacjach gdy: a) Amperomierz i woltomierz są idealne. (Amperomierz ma zerowy opór, a woltomierz ma opór nieskończony i prąd przez niego nie płynie). b) Woltomierz jest idealny, ale amperomierz ma pewien opór elektryczny. c) Woltomierz ma pewien opór elektryczny, natomiast amperomierz ma opór praktycznie równy zero. 7. Masz do dyspozycji dwie żarówki, każda o oporze R = 50Ω. Chcesz podłączyć je do baterii 9V tak by dawały jak najwięcej światła. Jak je podłączysz równolegle czy szeregowo? Oblicz moc wydzielająca się na żarówkach w obu przypadkach.

6 8. Napięcie skuteczne polskiej sieci energetycznej wynosi U sk = 230 V, a częstotliwość prądu wynosi f = 50 Hz. Naszkicuj wykres zależności napięcia od czasu. 9. W Stanach Zjednoczonych jest różna od Polski i napięcie wynosi 120V, a częstotliwość 60Hz. Narysuj w skali zależność napięcia sieciowego od czasu dla Stanów Zjednoczonych i Polski. 10. Jeśli żarówkę 50W zakupioną w Polsce weźmiesz do Stanów Zjednoczonych i tam podłączysz do sieci, z jaką teoretycznie mocą będzie świecić? 11. Oszacuj, ile Ania dziennie zużywa energii elektrycznej w swoim pokoju w kwh. Wiedząc, że urządzenia, które wykorzystuje, pracują: lampka 20W przez 6h, telefon komórkowy 5W przez 2h, komputer 750W przez 4h, suszarka do włosów 800W przez 15minut. Jeśli 1kWh kosztuje około 50gr, ile dziennie płaciłaby za prąd, a ile miesięcznie (za 30 dni). 12. W Twojej instalacji domowej główny bezpiecznik to najprawdopodobniej bezpiecznik 25A. Ile maksymalnie możesz wydać na prąd miesięcznie, za 30 dni? Przyjmij, że 1kWh kosztuje 50gr. 13. Fale morskie uderzają o brzeg z częstotliwością 0,2Hz. Odległość między grzbietami fal wynosi 10m. Jaka jest prędkość fal. 14. Nad jeziorem w Wielu fala wywoływała drgania metalowej boji. Jedno pełne drganie wykonywała ona w czasie 2,5 s, a boja wychylała się z położenia równowagi na wysokość 20 cm. Wyznacz amplitudę i częstotliwość drgań boi. 15. Na wykresie przedstawiono zależność wychylenia ciała drgającego od czasu trwania ruchu. Na podstawie wykresu, wyznacz amplitudę drgań ciała, okres drgań i częstotliwość drgań. 16. Przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jest 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Jeśli na Ziemi wahadło ma okres drgań 2s, jaki miałoby na Księżycu. 17. Jaka jest długość wahadła matematycznego, które wykonuje drgania o częstotliwości 0,5Hz?