Wykład 14: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/
Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki magnetyczne przepływu prądu: A czy pole magnetyczne może wywołać skutki elektryczne?
Prawo indukcji Faraday a zy pole magnetyczne może wywołać powstanie pola elektrycznego? Zmienny w czasie strumień pola magnetycznego B indukuje siłę elektromotoryczną. d - związany z regułą Lenza Im większa szybkość zmian B, tym większa wartość EM indukcji. B 3
Przypomnienie: trumień indukcji pola magnetycznego jest zdefiniowany jako całka po powierzchni : B B d a zatem istnieją trzy zasadnicze sposoby uzyskania indukowanej siły elektromotorycznej: zmiana indukcji pola B, zmiana powierzchni, zmiana kąta pomiędzy B i wektorem powierzchni (obrót ramki w polu magnetycznym prądnica) 4
Reguła Lenza d B Prąd indukowany płynie w takim kierunku, że pole magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeciwdziała zmianie strumienia pola magnetycznego, która ten prąd indukuje. 5
Przykład 1. W prostoliniowym przewodniku płynie prąd elektryczny o natężeniu rosnącym liniowo. i ind Jaki będzie kierunek prądu, który wyindukuje się w kołowym przewodniku leżącym obok? B ind B p i ind i i ind 6
Przykład. Dwie zwojnice nawinięte tak jak pokazuje rysunek, tworzą obwód zamknięty. Do dolnej zwojnicy zbliżamy magnes. Określić kierunek prądu indukcyjnego w zwojnicach oraz zachowanie umocowanego na sprężynkach pierścienia. Poniższe wykresy przedstawiają zależność strumienia magnetycznego wytwarzanego wewnątrz przewodnika kołowego w funkcji czasu. Oblicz wartości wzbudzonych w przewodniku EM indukcji. 7
Indukcja bez przewodnika? Metalowy pierścień i E A teraz? o powodowało ruch elektronów? E E Powstanie wirowe pole elektryczne!! 8
Przypomnienie: siła elektromotoryczna jest pracą przypadającą na jednostkowy ładunek wykonaną przez pole elektryczne (pole magnetyczne nie wykonuje pracy) E dl E dl Indukowana siła elektromotoryczna jest związana z pracą indukowanego pola elektrycznego a zatem oraz E d l d B d B d Taka postać prawa Faraday a stanowi kolejne z równań Maxwella w postaci całkowej
Podsumujmy dotychczasowe równania: Prawo: dla ośrodka dla próżni Gaussa dla elektrostatyki Gaussa dla magnetyzmu Ampere a Faraday a E d B d E dl q 0 0 B dl μ o i d B E d 0 B d? E dl 0 d B 10
Własności EM indukcji Indukowana EM nie jest zlokalizowana, (np. pomiędzy biegunami źródła napięcia), lecz jest rozłożona w całym obwodzie. Można ją przedstawić jako całkę krzywoliniową po zamkniętym konturze z indukowanego pola elektrycznego. ałka ta jest różna od zera, więc indukowane pole elektryczne nie jest zachowawcze. Pole to nie ma potencjału ani powierzchni ekwipotencjalnych. Jeżeli w obszarze indukowanego pola elektrycznego umieścimy przewodnik i obwód zamkniemy, to zaobserwujemy indukowany prąd elektryczny. W przeciwnym przypadku można mówić tylko o sile elektromotorycznej. 11
Postać różniczkowa prawa Faraday a Z twierdzenia tokes a Z postaci całkowej prawa Faraday a Porównując prawe strony równań otrzymujemy: rot E dl E dl B E t ( rot E) d d B d Zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje pole elektryczne (wirowe, zmienne w czasie, nie zachowawcze) 1
Przypomnienie: Prawo: Postać całkowa Postać różniczkowa Próżnia Gaussa dla elektrostatyki Gaussa dla magnetyzmu Ampere a Faraday a E d B d 0 B dl μ E dl o q 0 i d B div E rot ρ ε o div B 0 rot B μ o B E t j dive 0 div B 0 rot? B E t 13
Przykład 3. W kołowym obszarze o promieniu R istnieje jednorodne pole magnetyczne, którego wektor indukcji jest prostopadły do płaszczyzny rysunku. Wartość indukcji pola magnetycznego zmienia się w czasie z szybkością db/ >o. Jaka jest wartość i kierunek wektora pola elektrycznego indukowanego na płaszczyźnie tego obszaru kołowego w odległości r od jego środka? Rozważyć przypadki r<r i r>r. 14
Rozwiązanie: Z prawa Faraday a dla r < R strumień pola magnetycznego obliczamy krążenie pola elektrycznego E dl E d l d B d E B d B π r π r a zatem stąd E π r π r r db E db 15
Dla r > R strumień pola magnetycznego B d B π R krążenie pola elektrycznego E d l E π r a zatem E πr π R db stąd E R r db (dla r < R) r db E 16
Zadanie 1. Na metalowych szynach znajdujących się w prostopadłym doń polu magnetycznym leżą dwie metalowe poprzeczki jak na rysunku. Poprzeczka 1 jest przesuwana w prawo ze stała prędkością. Określ jak zachowa się poprzeczka. o się z nią stanie, gdy poprzeczka 1 będzie się przesuwać w lewo? B v 1 17
Zadanie. Obliczyć wartość siły elektromotorycznej indukowanej w obwodzie przedstawionym na rysunku. Pręt przesuwany jest w jednorodnym, stałym w czasie polu magnetycznym, ze stałą prędkością v. Pozostałe dane na rysunku. Obliczyć wartość prądu płynącego w obwodzie. Obliczyć moc wydzielaną na rezystancji R. 18
Zadanie 3. Pręt o długości L i masie m położono na dwóch równoległych, nachylonych pod kątem 30 0 do poziomu szynach. zyny znajdują się w pionowym, skierowanym do podłoża polu magnetycznym o indukcji B. Rozpatrzyć ruch pręta w przypadku, kiedy szyny są zwarte na jednych końcach oporem R oraz w przypadku szyn rozwartych. Dane g, tarcie i rezystancję pręta pominąć. 19
amoindukcja Jeżeli prąd w obwodzie zmienia się w czasie, strumień pola magnetycznego w cewce też jest zmienny i indukowana siła elektromotoryczna przeciwdziała zmianom prądu. wewnątrz idealnego solenoidu o N zwojach i długości l B μo N l i 0
trumień pola magnetycznego przez powierzchnię N (gdzie -powierzchnia jednego zwoju) Jednostka: 1H (henr) 1Wb/A B Li B N μo i l L indukcyjność koro występuje zmiana strumienia: d B N di μ o μo n l l L n- liczba zwojów na jednostkę długości, l długość solenoidu, pole powierzchni przekroju L d B L L di di Jest to iła Elektromotoryczna amoindukcji 1
Indukcyjność Definicja: L L Przypomnienie: pojemność di dla idealnego solenoidu N L μo l Q U dla kondensatora płaskiego o Indukcyjność podobnie jak pojemność zależy wyłącznie od parametrów geometrycznych cewki. Można ją zwiększyć przez wprowadzenie rdzenia ferromagnetycznego o przenikalności magnetycznej μ. N L μ oμ μoμ n l l d
Obwód L Z zasady zachowania energii: d E E L + E const Li q + 0 Li di + q dq 0 skoro dq di d q i oraz d q q d q 1 Li + i 0 + q 0 L 1 L ( + ) q qo sin t 3
Obwód R zasilany z ogniwa o EM Elementarna zmiana energii źródła oddającego ładunek dq: de źr dq R Elementarna zmiana energii ładowanego kondensatora: q de dq Elementarna energia wydzielana na oporniku R: Z zasady zachowania energii: de R q dq q dq dq i R + dq i R + ir + t t stąd q( t) 1 e R oraz i( t) e R R i R q 4
q i q max i max t t gdzie q max i max R 5
Obwód RL z II prawo Kirchoffa: U c +U R +U L 0 + ir + L 0 d q R dq 1 + + q L L podstawiając 0 0 1 L q c di R L otrzymujemy d q dq + + 0 q 0 t Rozwiązanie: q( t) q cos( ) 0e t + gdzie 0 6
logarytmiczny dekrement tłumienia: ln ln q A t q0e 0e A ( t+ T ) n n+ 1 T +q 0 q 0 e t R T L gdzie -q 0 T L czyli R L gdy 0 1 R L L R kryt L 7
Dygresja dekrementowa o to znaczy, że λ /100? czyli amplituda drgań zmniejszy się po 100 drganiach k razy: skoro λ const to dla dwóch dowolnych drgań m i n: m 1 n ln A A n m k A A n m e ( m n) e 0,0100 e 7,39 Po 100 drganiach amplituda zmniejszy się 7,39 razy 8
Prawo Amper a-maxwella zy podczas ładowania kondensatora coś przepływa między okładkami? Z prawa Gaussa wynika że Zmiana ładunku w kondensatorze d E 1 0 dq Prąd płynący przez kondensator to i prz 0 d E zmiana w czasie strumienia pola elektrycznego zachowana jest ciągłość prądu w obwodzie z kondensatorem Mogą istnieć równocześnie oba typy prądów prąd uogólniony E prąd przesunięcia i i + u i prz q 0 9
Podstawiając prąd uogólniony do prawa Amper a: d E Bdl 0iu Bdl 0i + 00 w postaci różniczkowej rotb j + 0 0 0 de Powodem powstania wirowego pola magnetycznego jest prąd elektryczny i/lub zmienne pole elektryczne Gdy kondensator zawiera dielektryk Bdl 0i + 00 rotb 0 j + 00 d de E 30
Równania Maxwell a Prawo: Postać całkowa Postać różniczkowa Próżnia Gaussa dla elektrostatyki Gaussa dla magnetyzmu Ampere a- Maxwella Faraday a E d B dl μ B d 0 o E dl i + ε o q 0 d d E B rot div E ρ ε o div B 0 B μ rot o ( j + ε o B E t E ) t dive 0 div B 0 rot rot B μ o ε o B E t E t 31