Fizyka dla Informatyki Stosowanej Jacek Golak Semestr zimowy 8/9 Wykład nr 5
Fale elektromagnetyczne Punkt wyjścia: równania Maxwella (układ SI!) Najpierw dla próżni ε przenikalność dielektryczna próżni μ przenikalność magnetyczna próżni ρ gęstość objętościowa ładunku - gęstość objętościowa prądu J
8.8549 C N m T 4π (tesla) 7 T m A N Am jednostka indukcji magnetycznej
),,, ( ),,,, ( ),,,, ( ),,, ( ), ( ),,, ( ),,,, ( ),,,, ( ),,, ( ), ( t z y x B t z y x B t z y x B t z y x B t r B B t z y x t z y x t z y x t z y x t r z y x z y x pole elektryczne indukcja magnetyczna Wektory pola elektrycznego i indukcji magnetycznej zależą od czasu i punktu przestrzeni!
Zakładamy, że w przestrzeni nie ma ani ładunków, ani prądów Liczymy rotację obu stron ostatnich dwóch równań; rotacja zawiera pochodne po współrzędnych przestrzennych, więc możemy zmienić kolejność różniczkowania po t oraz po x, y i z
y A x A x A z A z A y A A A A z y x z y x A A rot x y z x y z z y x,, ˆ ˆ ˆ Przypomnienie: rotacja dowolnego wektora to wektor
z A y A x A A A div z y x Przypomnienie: dywergencja dowolnego wektora to skalar Pochodna po czasie dowolnego wektora to wektor t A t A t A t A z y x,,
Dla dowolnego wektora mamy (rotacja z rotacji) Dlatego x y z
Każda składowa pola elektrycznego i indukcji magnetycznej spełnia w próżni bez ładunków i prądów równanie falowe! W dodatku dokładnie, bez żadnych przybliżeń! Prędkość rozchodzenia się fali (fazowa) Powszechne oznaczenie to v p 8 c 3 m s c to jedna z podstawowych stałych przyrody!
M fala płaska rozchodząca się wzdłuż osi x k c t kx B B t kx ) cos( ) cos( zapisana bardziej ogólnie, gdy rozchodzi się w kierunku wektora c k t r k B B t r k ) cos( ) cos( k
Równania Maxwella dają dalsze ograniczenia na postać M fali płaskiej c B k B c B k B B z z y y y z x x / / Dostajemy
M fala płaska jest poprzeczna!!! W dodatku dla fali płaskiej mamy prosty związek między i B : B k
Wektor k wyznacza płaszczyznę, w której oscylują wektory i B. Wektory i B muszą być wzajemnie prostopadłe, ale ich absolutna orientacja w płaszczyźnie nie musi być ustalona! Na przykład dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi x, wektor fali M może mieć składowe wzdłuż osi y i z. z y z y cos( kx cos( kx t ) t )
W zależności od różnicy przesunięć fazowych, ф -ф, rzut końca wektora na płaszczyznę yz może poruszać się po odcinku lub elipsie (jej szczególnym przypadkiem jest okrąg) Źródło rysunków: Wikipedia p. liniowa p. kołowa p. eliptyczna
Ponieważ wektor B dany jest zależnością B do pełnego obrazu fali wystarcza wektor i jego używa się do definicji polaryzacji fali M. Wektor polaryzacji to k p, Rysunek z książki Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Światło niespolaryzowane można spolaryzować! Najczęściej polaryzujemy światło dzięki selektywnej absorpcji. Używamy materiału, który przepuszcza te fale, których pole elektryczne drga w ustalonej płaszczyźnie i który pochłania fale, których pola elektryczne drgają we wszystkich innych kierunkach. J. Land (99-99) wynalazł polaroid materiał, który ma odpowiednio ukierunkowane łańcuchy cząsteczek i przewodzi prąd tylko w jednym kierunku. Urządzenie do polaryzowania światła to polaryzator! Cecha polaryzatora oś transmisji: całe światło z wektorem równoległym do osi transmisji jest przepuszczane; całe światło z prostopadłym do osi transmisji jest absorbowane.
Układ polaryzator-analizator Oś transmisji analizatora jest skręcona o kąt θ w stosunku do osi transmisji polaryzatora Rysunek z książki Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Natężenie światła (ilość energii na jednostkę czasu na jednostkę powierzchni) za analizatorem dane jest prawem Malusa I I cos, gdzie I jest natężeniem spolaryzowanego światła padającego na analizator
Jeśli na pojedynczy polaryzator pada światło niespolaryzowane o natężeniu I, to natężenie światła za polaryzatorem I dane jest wzorem I I bo wartość średnia z cos θ to ½!, Inne sposoby polaryzowania światła przez odbicie przez podwójne załamanie przez rozpraszanie
Uwaga: cały czas mówimy o sinusoidalnej fali płaskiej z ustaloną częstością ω. Takie fale nazywamy monochromatycznymi, czyli falami o jednym kolorze. Dlaczego? W świetle widzialnym, które jest też rodzajem fal elektromagnetycznych częstość ω (lub częstotliwość f ) odpowiada barwie światła! f T f T ct c Rysunek z książki Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Widmo fal elektromagnetycznych c c f Źródło: Wikipedia
Źródło: Wikipedia
nergia fali elekromagnetycznej w - gęstość energii (energia na jednostkę objętości) pola elektrycznego w w B - gęstość energii (energia na jednostkę objętości) pola magnetycznego wb B w - gęstość energii (energia na jednostkę objętości) pola elektromagnetycznego w B
Dla sinusoidalnej fali M ), cos( t r k k B bo, ) ( cos ) ( cos ) ( ) ( cos c k t r k t r k k t r k w
w w B (dla fali M) Uśredniona po czasie gęstość energii w 4 4 ( k ) B Natężenie fali I jest zdefiniowane jako ilość energii, którą niesie fala w jednostce czasu na jednostkę powierzchni. Jest związane z gęstością energii wzorem I wc I w c natężenie chwilowe natężenie uśrednione po czasie
Ponieważ przepływ energii odbywa się w kierunku wektora k, wygodnie jest zdefiniować wektor Poyntinga, którego długość wynosi I i który ma kierunek przepływu energii S B Zależność od odległości przy źródle punktowym: Pźr I 4 r Dla fali M mamy prosty związek między energią a pędem (energia) p c
Ciśnienie promieniowania Jeśli fala M jest pochłaniana na jakiejś powierzchni lub ulega odbiciu, to wywiera na powierzchnię ciśnienie. Jeśli w czasie Δt obiekt odbierze energię ΔU to zmiana pędu wyniesie p U c (pochłonięcie) p Ciśnienie promieniowania dla całkowitego pochłonięcia: U c (odbicie) F p t U ct ISt ct IS c p pr F S I c
Ciśnienie promieniowania dla całkowitego odbicia: F p t U ct ISt ct IS c F I p pr S c Ciśnienie promieniowania ważne w przestrzeni kosmicznej oraz przy laserach.
Rozważaliśmy fale M w próżni. Można badać fale M w dielektryku (izotropowym lub nie) w przewodniku w plaźmie w jonosferze...
Teraz rozważmy prosty przypadek fali M w jednorodnym ośrodku nieprzewodzącym bez swobodnych ładunków i bez swobodnych prądów W tym przypadku równania Maxwella mają postać D B H B t D t D H Trzeba wprowadzić nowe wielkości! indukcja elektryczna natężenie pola magnetycznego
Jeśli ośrodek jest nieliniowy, to związek miedzy Wektorami D i oraz B i H może być bardzo skomplikowany. Jeśli ośrodek jest liniowy to zachodzi D, B H, ale wielkości ε i μ mogą być macierzami. Wektory D i oraz B i H nie muszą być wcale równoległe!
Jeśli ośrodek jest liniowy i jednorodny, to wielkości ε i μ są stałymi. Równania Maxwella są prawie takie same jak w próżni B B t B t Różnica: Prędkość rozchodzenia się fali M w ośrodku wynosi v v c n n
n współczynnik załamania dla danego ośrodka n r, bo względna przenikalność dielektryczna ośrodka
Zmieniamy teraz wzory obowiązujące w próżni: c v w - gęstość energii (energia na jednostkę objętości) pola elektromagnetycznego w B wektor Poyntinga S B
Dla sinusoidalnej fali M w ośrodku liniowym i jednorodnym ), cos( t r k k B v k B w Uśredniona po czasie gęstość energii v w v I natężenie uśrednione po czasie
Przykładowe wartości współczynnika załamania n Próżnia szkło typowe,5 Powietrze (st, atm),9 chlorek sodu (sól),54 Woda (st),33 polistyren,55 Aceton,36 dwusiarczek węgla,63 Alkohol etylowy,36 szkło ciężkie(flint),65 Roztwór cukru (3%),38 szafir,77 Kwarc topiony,46 szkło b. ciężkie,89 Roztwór cukru (8%),49 diament,4
Zachowanie fali M na granicy dwóch ośrodków Trzeba wziąć pod uwagę odpowiednie warunki ciągłości dla pola elektrycznego i indukcji magnetycznej B!, v n n, v Rysunek z książki D.J. Griffithsa, Introduction to electrodynamics k I v krv kt v!
Najpierw ogólne prawa dotyczące odbicia i załamania. Wektory k I, k R i k T leżą w jednej płaszczyźnie. Kąt odbicia jest równy katowi padania: θ R =θ I (kąty mierzymy od normalnej, czyli prostopadłej do powierzchni granicznej) 3. Kąt padania i kąt załamania spełniają tzw. prawo Snella: n sin θ T = n sin θ I Te zależności są czysto geometryczne i nie mówią nic o ilości odbitej i przechodzącej energii!
Całkowite wewnętrzne odbicie Wg prawa Snella, jeśli fala pada z ośrodka optycznie gęstszego do ośrodka optycznie rzadszego (n > n ), to kąt załamania jest większy od kąta padania. Dla tzw. krytycznego kąta padania, θ I = arcsin (n /n ), zachodzi θ T = 9 stopni i fala załamana ślizga się po granicy dwóch ośrodków. Dla θ I > arcsin (n /n ) jest tylko fala odbita! Podstawowe zastosowanie światłowody
Całkowite wewnętrzne odbicie w bloku pleksi Źródło: Wikipedia
Zależności amplitudowe i energetyczne miedzy falą padającą, odbitą i przechodzącą należy rozważać osobno dla dwóch przypadków. Wektor pola elektrycznego drga w płaszczyźnie zawierającej wektory k I, k R i k T (polaryzacja równoległa). Wektor pola elektrycznego drga prostopadle do tej płaszczyzny (polaryzacja prostopadła); oznacza to, że wektor indukcji magnetycznej drga w płaszczyźnie zawierającej wektory k I, k R i k T
. Polaryzacja równoległa v v cos cos n n I T I T I R Rysunek z książki D.J. Griffithsa, Introduction to electrodynamics
I R Jeśli α = β, to fala odbita jest całkowicie wygaszana. Zachodzi to dla kąta padania zwanego kątem Brewstera (θ B ) v v cos cos n n I T Dla większości spotykanych materiałów μ jest bliskie ; dlatego n n oraz tan n n B Dzięki temu zjawisku możliwa jest polaryzacja przez odbicie!
powietrze szkło n = n =.5 Rysunek z książki D.J. Griffithsa, Introduction to electrodynamics
Bilans mocy (natężeń fali) T T T R R R I I I I I I cos v cos v cos v natężenie fali padającej odbitej załamanej (musi być cosθ, bo fala nie pada prostopadle do powierzchni) I T I R I I T I I R
powietrze szkło n = n =.5 Rysunek z książki D.J. Griffithsa, Introduction to electrodynamics
. Polaryzacja poprzeczna (pole elektryczne jest prostopadłe do płaszczyzny rysunku) Te same oznaczenia cost cos I v v n n
I T I R Stosunek amplitud Dla natężeń I T I R I I T I I R R nigdy nie znika; w tym przypadku nie ma kąta Brewstera
Inne podejście do praw odbicia i załamania (historycznie ważna) zasada Huygensa mówi, że każdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło fali można uważać za źródło nowej fali kulistej. Fale te zwane są falami cząstkowymi i interferują ze sobą. Wypadkową powierzchnię falową tworzy powierzchnia styczna do wszystkich powierzchni fal cząstkowych i ją właśnie obserwujemy w ośrodku. Źródło: Wikipedia
Dalej rozszczepienie światła białego Pryzmat, tęcza itp. fekt Dopplera dla swiatła Fala w przewodniku Fala w falowodzie Dyfrakcja (różne przypadki)
Dyspersja Fale M w próżni nie podlegają dyspersji, bo prędkość rozchodzenia się światła w próżni jest taka sama dla wszystkich częstotliwości (lub równoważnie: dla wszystkich długości fal) f T c k c k d c dk const
W innych niż próżnia ośrodkach fale M mogą podlegać i zazwyczaj podlegają dyspersji, bo prędkość rozchodzenia się światła nie jest taka sama dla wszystkich częstotliwości (lub równoważnie: dla wszystkich długości fal) Na przykład w liniowym i jednorodnym dielektryku const dk k n k d c dk d k f n c n c k n c n c k ) ( v ) ( ) ( ) ( v
Dlatego mamy m.in. rozszczepienie światła białego (światła, w którym są obecne wszystkie częstotliwości) w pryzmacie zjawisko tęczy Rysunek z książki Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Źródło: Wikipedia
Rozszczepienie światła w przyrodzie: tęcza Tęcza pojedyncza Źródło: http://scholaris.pl oraz http://commons.wikimedia.org/
Jak powstaje tęcza? Źródło: http://scholaris.pl oraz http://commons.wikimedia.org/
Światło słoneczne wchodząc do kropli załamuje się, odbija się od jej przeciwnej strony, wychodząc znowu załamuje się. Po tym przejściu światło wychodzi na zewnątrz w postaci pasma barw. Źródło: http://scholaris.pl oraz http://commons.wikimedia.org/
Tęcza podwójna Źródło: http://scholaris.pl oraz http://commons.wikimedia.org/
Czasami widać tęczę wtórną, położoną na zewnątrz tęczy głównej. Barwy tej drugiej tęczy ułożone są odwrotnie. Powstaje ona ze światła padającego dalej od osi kropla - promień, wówczas światło ulega dwukrotnie odbiciu wewnątrz kropli i dopiero potem wychodzi na zewnątrz Źródło: http://scholaris.pl oraz http://commons.wikimedia.org/
fekt Dopplera dla światła Wyprowadzenie wzorów wymaga tzw. Szczególnej Teorii Względności (STW) insteina. Trzeba pamiętać, że światło może rozchodzić się w próżni, więc w zasadzie nie wymaga żadnego ośrodka. Nie ma sensu rozpatrywanie różnych przypadków, jak to było dla dźwięku. Ważny jest jedynie ruch względny źródła i obserwatora!
Aby zobaczyć lepiej różnicę między efektem Dopplera dla fal dźwiękowych i fal elektromagnetycznych rozpatrzmy sytuację nieruchomego źródła i ruchomego obserwatora. Źródło wysyła falę dźwiękową o częstotliwości f s i wektorze falowym k, a obserwator porusza się z prędkością v o. Wówczas częstotliwość odbierana przez obserwatora ( f ) wynosi f ' f s v v o cos, gdzie v jest prędkością dźwięku, a θ jest kątem między wektorami k i v o. W szczególności dla θ = 9 stopni f = f s
Analogiczna sytuacja dla fali elektromagnetycznej W układzie nieruchomym fala ma częstotliwość f s i wektor falowy k, a obserwator porusza się z prędkością v o. Wówczas częstotliwość odbierana przez obserwatora ( f ) wynosi f ' fs v c o cos, gdzie c jest prędkością fali M, θ jest kątem między wektorami k i v o oraz v c
Dlatego dla fali M występuje zmiana częstotliwości także dla θ = 9 stopni! f ' f s Jest to tzw. poprzeczny efekt Dopplera, słabszy niż tzw. podłużny efekt Dopplera, gdy θ = ± 8 stopni. Podłużny efekt Dopplera ma ważne zastosowanie w astronomii: obserwujemy światło gwiazd, które się od nas oddalają i możemy obliczyć ich prędkość względem nas (θ = ) f ' f s v c v c
Częstotliwość maleje (f < f s ), więc długość fali rośnie. Dla światła widzialnego oznacza to przesunięcie w stronę światła czerwonego, które jest światłem widzialnym o najdłuższej fali. Dlatego to zjawisko nazywamy przesunięciem ku czerwieni. Wiemy na przykład, że w gwieździe jest wodór; znamy długość fali wysyłanej przez wodór w laboratorium i porównujemy to z tym, co przychodzi z odległej gwiazdy.
długość fali Źródło: Wikipedia Słońce Odległa gwiazda