XL Sympozon "Modelowanie w mecanice" NOWE FUNKCJE INKLUZYJNE W ALGORYTMIE PRZEDZIAŁOWEJ OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ Andrze Pownuk Politecnika Śląska Wydział Budownictwa Zakład Mecaniki Teoretyczne
Przegląd metod optymalizaci Metody analityczne Metoda mnożników Lagrange a... Metody gradientowe analiza wrażliwości grad x x... x x λgrad x n n n x n... Metody stocastyczne -algorytmy genetyczne -metody symulacyne... Metody specalne Programowanie liniowe Programowanie kwadratowe Sekwencyne programowanie liniowe...
Niektóre ograniczenia istnieącyc algorytmów optymalizaci W bardzie złożonyc przypadkac nie można zastosować metod analitycznyc Algorytmy lokalne optymalizaci nie potraią znaleźć globalnego minimum Algorytmy stocastyczne potraią znaleźć globalne minimum tylko z pewnym prawdopodobieństwem Algorytmy stocastyczne wielokrotnie przeszukuą te same obszary
Algorytm przedziałowe optymalizaci globalne ˆ x x x ˆ x x x ˆ x ˆ < x z własności naturalnego przedziałowego rozszerzenia unkci wynika, że globalne minimum unkci nie może znadować się w przedziale x.
Zalety algorytmu przedziałowe optymalizaci globalne Algorytm przedziałowe optymalizaci globalne gwarantue, że wszystkie globalne minima unkci celu zostaną znalezione z zadaną dokładnością. Algorytm umożliwia uwzględnienie błędów zaokrągleń 3 Algorytm umożliwia znalezienie globalnego minimum unkci nierówniczkowalnyc i nieciągłyc 4 Podstawową wadą te metody est duża złożoność obliczeniowa.
Procedury przyspieszaące zbieżność -test monotoniczności -test punktu środkowego -wykorzystanie metod lokalne optymalizaci -test wypukłości unkci -przedziałowa metoda Newtona grad x -wykorzystanie algorytmów przetwarzania równoległego -wykorzystanie dobryc unkci inkluzynyc Metoda ybrydowa Obliczanie globalnego minimum przy wykorzystaniu dowolne metody globalne lub lokalne optymalizaci. Sprawdzenie czy otrzymane est rozwiązaniem globalnym przy pomocy algorytmu przedziałowego.
Zastosowania algorytmu przedziałowe optymalizaci globalne Firma MacNeal-Scwendler zastosowała algorytm przedziałowe optymalizaci globalne do proektowania części rakiet. Istnieą również zastosowania tego algorytmu w ekonomii. Firmy Swiss Bank oraz Banc One Corporation wykorzystały ten algorytm do optymalizaci matematycznyc modeli ekonomicznyc. Firma Magnetic Resonance Imaging Researc Center o General Electric Medical Systems oraz Genome Tereputics wykorzystały tą metodę do identyikaci parametrów w oparciu o wyniki pomiarów. Istniee wiele zastosowań tego algorytmu w cemii. Firma SUN Microsystem zastosowała algorytm przedziałowe optymalizaci globalne do rozwiązywania układów nieliniowyc równań algebraicznyc oraz globalne optymalizaci.
Oprogramowanie GLOBOPT - Arnold Neumaier, Uniwersytet w Wiedniu. Numerica - Pascal Van Hentenryck, Laurent Micel, i Yves Deville - irma ILOG ttp://www.ilog.com. GIA A Global Interval Aritmetic Library or Discontinuous Intervals - Firma Delisot Ltd. ttp://www.delisot.i z Finlandii napisaną w ęzyku C. UniCalc - Russian Researc Institute o Artiicial Intelligence GlobSol - Zespół należący do proektu Global Solutions, który est sponsorowany przez SUN Mikrosystem oraz Marquette University
Algorytm
Testy monotoniczności y ' y Pierwszy test monotonicznosci m k k k k m m d m,...,,...,,..., > <
,..., :,..., m m Ker Ker w w sign sign m... Drugi test monotoniczności,,,, *
Trzeci test monotonicznosci ] [ *
Optymalizaca kształtu kratownicy L y x w L 4 3 P y w x P kn x w [m] Rozwiązanie optymalne y w [m] 3 3 [ m ] min [ m ] 4.89579.3488 4.7 4.7 4 A [ m ] A [ m ] A 3 [ m ] A 4 [ m ] 5.49 6. 7.68.7 Przedział zawieraący rozwiązanie optymalne x [m] x [m] y [m] y [m].47.8754.83575.45975 Liczba iteraci Pozostałe Maksymalna przedziały szerokość przedziału 5 563.4439
Początkowy kształt P Końcowy kształt P [kn] P Końcowy kształt P [kn] P
Wnioski W pracy zaprezentowano nowy algorytm optymalizaci. Algorytm wykorzystue strategię branc and bound. Metoda wykorzystue testy monotoniczności oparte na wzorze Taylora. Algorytm przeszukue dziedzinę unkci w systematyczny sposób dzięki czemu unika się wielokrotnego przeszukiwania tyc samyc obszarów co ma miesce w algorytmac stocastycznyc. Metoda ta posiada wysoką złożoność obliczeniową. Złożoność obliczeniowa silnie zależy od dokładności obliczeń.