WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB III ZASADA ODPORNEJ REGRESJI PORZĄDKOWEJ (ROBUST ORDINAL REGRESSION)

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB III ZASADA ODPORNEJ REGRESJI PORZĄDKOWEJ (ROBUST ORDINAL REGRESSION) I. Opis problemu Michał opracował stronę fun4all.com, by sprzedawać w Internecie urządzenia typu odtwarzacze mp3, konsole do gier, itd. przeznaczone głównie dla młodszych klientów. Chce zoptymalizować zakres produktów, które będzie oferował na stronie, tak by było one jak najbardziej atrakcyjne dla klientów. Michał nie może sobie jednak pozwolić na to by wybór był bardzo duży Aby zidentyfikować, które odtwarzacze mp3 mógłby sprzedawać, Michał zapłacił drobną kwotę agencji marketingowej, która oceniła jakość odtwarzaczy z udziałem panelu potencjalnych młodych kupców. Każdy odtwarzacz był oceniony na trzech kryteriach (pojemność (g 1 ), autonomia (g 2 ), ergonomia/design (g 3 )) w skali [0,100]. g 1 g 2 g 3 a1 10 50 70 a2 34 56 84 a3 40 90 45 a4 30 10 70 a5 60 80 45 a6 49 56 54.... Aby ocenić ogólną atrakcyjność odtwarzaczy Michał, chce utworzyć ich ranking z wykorzystaniem sumy ważonej U(a i ) = w 1 g 1 (a i ) + w 2 g 2 (a i ) + w 3 g 3 (a i ), przy czym w 1 + w 2 + w 3 = 1 oraz w i 0, i = 1, 2, 3. Aby zamodelować preferencje młodych klientów, Michał ma zamiar zadać swojemu bratankowi Antkowi kilka pytań. W odpowiedzi na te pytania, Antek przedstawił swoje preferencje w następujący sposób: a 1 jest co najmniej tak atrakcyjny jak a 4 a 5 nie jest gorszy od a 3 a 2 jest co najmniej tak dobry jak a 6 Dodatkowo, Michał uważa, że żadne kryterium nie powinno reprezentować więcej niż połowy wartości odtwarzacza (czyli nie powinno być ważniejsze niż dwa pozostałe razem wzięte).

II. Ograniczenie na zbiór wag wraz z przyrostem informacji preferencyjnej Tłumaczenie informacji preferencyjnej w ograniczenia dotyczące wag a 1 S a4 10w 1 +50w 2 +70w 3 30w 1 +10w 2 +70w 3 (50-10)w 2 (30-10)w 1 2w 2 w 1 a 5 S a 3 60w 1 +80w 2 +45w 3 40w 1 +90w 2 +45w 3 (60-40)w 1 (90-80)w 2 2w 1 w 2 a 2 S a 6 34w 1 +56w 2 +84w 3 49w 1 +56w 2 +54w 3 (84-54)w 3 (49-34)w 1 2w 3 w 1 2(1-w 1 -w 2 ) w 1 2-2w 1-2w 2 w 1 2 3w 1 +2w 2

III. Narzędzia elicytacji informacji preferencyjnej III.1. Dezagregacja i wybór jednego reprezentatywnego modelu U(a 1 ) U(a 4 ) 0 U(a 5 ) U(a 3 ) 0 U(a 2 ) U(a 6 ) 0 w i 0.5, i=1,2,3 max ε p.o. U(a 1 ) U(a 4 ) ε U(a 5 ) U(a 3 ) ε U(a 2 ) U(a 6 ) ε ε + w i 0.5, i=1,2,3 ω Ω(I) Przykład : Fun4all-inference.xls III.1. Analiza odporności Główna trudność: zdefiniowanie odpornego rankingu Załóżmy, że a jest odpornie preferowane (w sensie słabym) nad b jeśli U(a) U(b), ω Ω(I), Aby sprawdzić, czy a jest odpornie preferowane nad b, musimy sprawdzić różnicę U(a) U(b) przy ogran. ω Ω(I) Zgodnie z wartościami Max ω (I) (U(a) U(b)) 0 oraz Min ω (I) (U(a) U(b)) 0 można ustalić ranking odporny. Przykład : Fun4all-robustness.xls

IV. UTA GMS zasada odpornej regresji porządkowej UTA UTA GMS Informacja preferencyjna: porządek zupełny (warianty referencyjne muszą być ustawione w ranking); liczba odcinków liniowych dla użyteczności cząstkowych (liczba punktów charakterystycznych) Model preferencji: funkcje cząstkowe odcinkami liniowe (trzeba zdefiniować liczbę punktów charakterystycznych) Informacja preferencyjna: porównania parami - porządek częściowy wariantów referencyjnych Model preferencji: funkcje cząstkowe monotoniczne ogólne (punkty charakterystyczne odpowiadają wszystkim ocenom wariantów) Wypracowanie rankingu: jedna funkcja spójna z preferencjami decydenta wybrana w sposób interaktywny lub zgodnie z pewną domyślną regułą Wypracowanie rankingu: wszystkie funkcje spójne z preferencjami decydenta Ranking w formie koniecznych i możliwych relacji preferencji Cechy wspólne: n model preferencji to addytywna funkcja użyteczności: U( a) = u j ( a) ; j= 1 dezagregacja-agregacja (regresja porządkowa) informacja preferencyjna dotyczące fragmentu końcowego wyniku jest podawana przez decydenta.

V. Definicja zbioru addytywnych funkcji użyteczności (złożonych z monotonicznych funkcji użyteczności cząstkowych) spójnych z preferencjami decydenta Informacja preferencyjna: U(a) U(b) + ε, gdy a b, gdzie a, b A R U(a) = U(b), gdy a ~ b, gdzie a, b A R normalizacja: u j (x 1 j ) = 0, dla każdego kryterium j F, gdzie x 1 j jest najgorszą oceną na danym kryterium j F u j (x nj nj j ) = 1, gdzie x j jest najlepszą oceną na danym kryterium monotoniczność: u j (x k+1 j ) u j (x k j ), dla każdego kryterium j F, oraz k=1,,n j -1 1 2 nj-1 gdzie x j x j x j x nj j jest permutacją wszystkich unikalnych ocen wszystkich wariantów na kryterium j F (przy czym n j jest niewiększe n liczba wariantów; n j jest mniejsze niż n, jeśli niektóre warianty mają taką samą ocenę). Uwaga: odniesienie w warunkach monotoniczności do użyteczności cząstkowych wszystkich unikalnych ocen wariantów pozwala uniknąć kombinowania (wielokrotnego przeformułowania problemów) na późniejszych etapach działania metody; mimo to warto jednak wiedzieć, że w warunkach monotoniczności można odnieść się tylko do użyteczności cząstkowych dla wariantów referencyjnych, bo tylko dla nich istnieją jakiekolwiek ograniczenia wynikające z podanej informacji preferencyjnej. Pozwala to na ograniczenie liczby zmiennych w problemie, ale wymaga jego unikalnego sformułowania przez uwzględnienie dodatkowych zmiennych przy sprawdzaniu prawdziwości relacji koniecznej i możliwej dla par wariantów, z których co najmniej jeden jest niereferencyjny. Równoważne sformułowanie: Informacja preferencyjna: U(a) U(b) + ε, gdy a b, gdzie a, b A R U(a) = U(b), gdy a ~ b, gdzie a, b A R normalizacja: u j (α j ) = 0, dla każdego kryterium j F, gdzie α j jest najgorszą oceną na danym kryterium j F u j (β j ) = 1, gdzie β j jest najlepszą oceną na danym kryterium monotoniczność: u j (x k+1 j ) u j (x k j ), dla każdego kryterium j F, oraz k=1,,n R j -1 1 2 njr-1 gdzie x j x j x j x njr j jest permutacją wszystkich unikalnych ocen tylko wariantów referencyjnych na kryterium j F (przy czym n j R jest na pewno niewiększe niż A R liczba wariantów referencyjnych; może być mniejsze jeśli niektóre warianty referencyjne mają taką samą ocenę). u j (x 1 j ) u j (α j ), dla każdego kryterium j F u j (x njr-1 j ) u j (β j ), dla każdego kryterium j F

VI. Relacja koniecznej i możliwej preferencji Wariant a jest koniecznie preferowany (w sensie słabym) nad wariant b (oznaczenie to a N b), jeśli U(a) U(b) dla wszystkich funkcji spójnych z preferencjami decydenta Wariant a jest możliwie preferowany (w sensie słabym) nad wariant b (oznaczenie to a P b), jeśli U(a) U(b) dla co najmniej jednej funkcji spójnej z preferencjami decydenta d(a,b)= Min U U(AR) U(a) U(b) a N b gdy d(a,b) 0 D(a,b) = Max U U(AR) U(a) U(b) a P b gdy D(a,b) 0 Własności relacji N to pre-porządek częściowy (partial pre-order) (relacja zwrotna i przechodnia) P jest silnie zupełna (zawsze a P b lub b P a), ale w ogólności nie jest przechodnia (tzn. nie zawsze a P b oraz b P c determinuje a P c) Przy braku informacji preferencyjnej: relacja konieczna = relacja dominacji Przy braku informacji preferencyjnej: relacja możliwa jest zupełna = wszystko jest możliwe Przy wszystkich parach wariantów porównanych: ranking zupełny = ranking możliwy = ranking konieczny Jeśli a N b to a P b W ogólności nie jest możliwe odtworzenie jednego rankingu na podstawie drugiego (nie są dualne), tzn. a N b nie wyklucza b P a VI. GRIP GRIP rozszerza UTA GMS poprzez wprowadzenie dodatkowego typu informacji preferencyjnej, która dotyczy tzw. intensywności preferencji: całościowe porównania intensywności preferencji dla par wariantów: np. a jest (słabo) preferowane nad b co najmniej tak mocno jak c nad d, co oznacza się przez (a,b) * (c,d) cząstkowe porównania intensywności preferencji dla par wariantów na konkretnym kryterium: np. a jest słabo preferowane nad b co najmniej tak mocno jak c nad d na kryterium g j, co oznacza się przez (a,b) * j (c,d) Zamiast słabej preferencji, można odnieść się do silnej preferencji lub relacji nierozróżnialności. Dodatkowo w GRIP-ie sprawdza się też konieczne i możliwe relacje intensywności preferencji, np.: (a,b) *,N (c,d) jeśli U(a) U(b) U(c) U(d) dla wszystkich spójnych funkcji (a,b) j *,P (c,d) jeśli u j (a) u j (b) u j (c) u j (d) dla co najmniej jedej spójnej funkcji

VII. Reprezentatywna funkcja użyteczności Jeden za wszystkich, wszyscy za jednego Jedna funkcja reprezentuje wszystkie pozostałe Wszystkie pozostały mają wkład w definicję i wybór tej reprezentatywnej Pomysł polega na podkreślenie przewagi jednych wariantów nad innymi potwierdzonej przez wszystkie funkcji oraz podkreślenie niejednoznaczności we wskazaniu lepszego wariantu dla innych par wariantów Punkt wyjścia: zbiór ograniczeń definiujących funkcje użyteczności spójne z preferencjami decydenta Przeprowadzono analizę Procedura: N oraz P 1. Dla par wariantów (a,b) takich, że a N b, ale nie b N a, dodaj następujący warunek do zbioru ograniczeń: 2. Maksymalizuj ε U(a) U(b)+ε. 3. Dodaj warunek ε=ε*, gdzie ε*=max ε do zbioru ograniczeń (utrzymanie minimalnej różnicy na zoptymalizowanym poziomie) 4. Dla par wariantów (c,d) takich, że ani c N d ani d N c, dodaj następujące warunki do zbioru ograniczeń: (odpowiada to U(c) U(d) δ ) 5. Minimalizuj δ U(c) U(d) δ oraz U(d) U(c) δ.

VII. Zadanie domowe Grupy: 3-4-osobowe (wielkość grup w ramach kolejnych zadań może się zmieniać, ale na pewno będzie min. 1 zadanie w tych grupach). Czas realizacji: środa 27 marca 2019r. (do północy) Efekt pracy: krótkie sprawozdanie w formie pisemnej W pliku WWD-lab3-AGRITEC przedstawiono informacje o firmie AGRITEC o jej historii, obecnej sytuacji, szefostwie, przychodach, planach inwestycji i rozwoju oraz powodach, dla których rekrutuje nowego dyrektora sprzedaży eksportowej. W pliku WWD-lab3-AGRITEC-candidates przedstawiono sylwetki 8 wyselekcjonowanych kandydatów na stanowisku dyrektora sprzedaży eksportowej. Zadaniem grupy jest zaproponowanie kryteriów oceny kandydatów (kryteria muszą być dostosowane do tej konkretnej sytuacji i tej konkretnej firmy; wskazówki, co dla firmy jest ważne znajdują się w opisie jej sytuacji; oprócz tego można dodać kryterium/a ważna dla szerzej rozumianej klasy rozważanego problemu, o ile w opisie kandydatów znajdują się informacje co do oceny kandydatów pod tym względem). Liczba kryteriów powinna oscylować w przedziale 3-4-5. Dla każdego kryterium należy uzasadnić propozycję (dwa-trzy zdania), biorąc pod uwagę specyfikę sytuacji, firmy i pozycji, na którą poszukiwany jest pracownik. Druga część zadania polega na spojrzeniu na kryteria jako narzędzie do porównania kandydatów pod względem ocen. Należy opisać przyjętą skalę, jednostki i czynniki składające się na daną ocenę (jeśli jest ich więcej niż jeden; niektóre kryteria mogą agregować w sobie kilka aspektów pod wspólnym szyldem ). Dla wszystkich kandydatów należy zaproponować oceny (czyli wypełnić dla nich macierz ocen). Dla dwóch wybranych kandydatów trzeba te oceny krótko uzasadnić, odwołując się do opisu ich sylwetek oraz przyjętego systemu punktacji, tym samym pokazując, że zastosowanych schemat oceny ma sens. Podsumowując: Kryteria jako istotny czynnik analizy - opis i uzasadnienie Kryteria jako narzędzie do porównania pod względem ocen opis Macierzy ocen + uzasadnienie dla wybranych kandydatów Raport w formie pliku pdf przesyła jedna osoba w imieniu wszystkich pozostałych ze swojej grupy.

UTA GMS ĆWICZENIE Z PROGRAMEM Implementacja metody UTA GMS dostępna jest w trzech różnych aplikacjach. Pierwsza z nich to Visual UTA 2.0 dostępna na stronie (http://idss.cs.put.poznan.pl/site/software.html), która jest zainstalowana w laboratorium (jeśli chcesz zainstalować ją u siebie, musisz zainstalować WinGraphviz). Druga (nowsza) jest dostępna w ramach platformy Decision Desktop (opis instalacji i wskazówki jak używać platformy pod adresem http://www.decision-deck.org/d2/install.html). Trzecia (najnowsze) na platformie diviz (ale o tym na innych zajęciach). 1. Uruchom program Visual UTA (Start Programy - ) 2. Problem, który będziemy analizować dotyczy tzw. webometrics porządkowania instytucji (np. uniwersytetów, szkół, szpitali, rządów, itd.) pod względem ich obecności w sieci (Internecie). Rezultaty takie można dalej eksploatować, by np. ocenić system wyższej edukacji różnych państw na podstawie obecności uniwersytetów danego kraju w TOP 500 głównego rankingu. Oryginalną analizę takich danych przeprowadzono w Cybomterics Lab At Consejo Superior de Investigaciones Cientificas (CSIC) w Madrycie. Warianty: 16 europejskich państw Kryteria: g 1 system liczba uniwersytetów danego kraju w TOP 500 podzielona przez średnią pozycję tych instytucji; g 2 dostęp sumaryczna ocena zbudowana na podstawie ważonych pozycji uniwersytetów danego kraju (5 punktów za uniwersytet w pierwszej 100, 4 za miejsca 101-200, itd.) podzielona przez populację danego kraju; g 3 uczelnia flagowa znormalizowana ocena za pozycję najlepszego uniwersytetu (100 za pozycje 1-20, 96 za pozycje 21-40, itd.) g 4 ocena ekonomiczna dostęp (g 2 ) podzielony przez GDP per capita. Macierz ocen:

3. Ściągnij plik webgms.utx. Zawiera on dane dotyczące problemu. Wczytaj go do progamu (File Open). Zbiór wariantów Zbiór kryteriów 4. Informacja preferencyjna dotycząca problemu powinna wynikać z analizy macierzy ocen. Jej wyświetlenie: View Evaluations of alternatives. 5. Zdefiniuj ranking referencyjny: Germany P Sweden P Italy. Oznacza to, że jako decydenci bardziej cenimy zdecydowanie lepszą ocenę na kryteriach system, access oraz economic (Germany) niż lepszą tylko na kryterium flagship (Sweden). Z drugiej strony duża przewaga na kryterium access i niewielka na flagship (Sweden) jest istotniejsza niż niewielka przewaga na kryteriach system oraz economic (Italy). przeciągnij wariant z listy na ostateczny ranking referenyjny + dodaj pozycje w rankingu odpowiednią pozycję 6. Uruchom oblliczenia poprzez wybór Calculate Solve problem (F5). 7. Z punktu widzenia decydenta oraz analityka najistotniejsze są dwa typu wyników: graf relacji koniecznej (necessary, strong), wyświetlany w oknie Resulting preferencje graph oraz reprezentatywna funkcja użyteczności, wyświetlana w oknie Final ranking.

8. Analiza grafu relacji koniecznej (na co zwrócić uwagę?) Relacja koniecznej preferencji przedstawiona jest w formie tzw. diagramu Hassego (łuki odpowiadające relacjom, które wynikają z przechodniości nie są reprezentowane), czyli np. GER N SPA, SPA N DEN, oznacza, że GER N DEN (dla przejrzystości odpowiadający tej relacji łuk nie jest narysowany) Dla przejrzystości, poziomy w grafie są zorganizowane w ten sposób, że GER oraz UK nie są koniecznie preferowane przez żaden inny wariant; SPA, SWE oraz NED są koniecznie preferowane tylko przez warianty z poziomu wyższego (niekoniecznie wszystkie, zobacz np. GER oraz NED), czyli gdyby usunąć wierzchołki z poziomów wyższych, to nie byłoby wariantów lepszych od nich, itd. Łuk łączący dwa wierzchołki w grafie relacji koniecznej (biorąc pod uwagę również przechodniość) mówi, że odpowiadające tym wierzchołkom warianty są porównywane w ten sam sposób przez wszystkie funkcji użyteczności spójne z preferencjami decydenta (tzn. jeden wariant jest zawsze co najmniej tak dobry jak drugi); jest to najbardziej pewna informacja, jaką może uzyskać decydent dla pary wariantów; Graf relacji koniecznej odtwarza informację preferencyjną podaną przez decydenta (tzn. GER N ITA; warianty referencyjne zaznaczone są zieloną obwódką); Graf relacji koniecznej odzwierciedla również relacje konieczne, które są konsekwencją podanej informacji preferencyjnej oraz macierzy ocen (w tym relację dominacji); Jeśli dwa wierzchołki nie są połączone łukiem w grafie relacji koniecznej, to są one wobec niej nieporównywalne; np. GER oraz UK - oznacza to że istnieje co najmniej jedna spójna funkcja, dla której wyżej w rankingu jest GER oraz inna, co najmniej jedna, dla której wyżej w rankingu jest UK; Z punktu widzenia wyboru najlepszego wariantu najbardziej interesujące są te, które nie są preferowane w sensie koniecznym przez żaden inny wariant, jednocześnie przewyższając wiele innych wariantów, a więc GER oraz UK; Z punktu widzenie eliminacji najsłabszych wariantów najbardziej interesujące są te, które nie są preferowane w sensie koniecznym nad żaden inny wariant, jednocześnie będąc przewyższanymi przez wiele innych wariantów, a więc SVK, IRE, SLO; N SWE 9. Zbiór funkcji spójnych z preferencjami decydenta jest pojęciem abstrakcyjnym. W ogólności, jeśli istnieje co najmniej jedna taka funkcja, to istnieje ich nieskończenie wiele. Dlatego też funkcji tych nie prezentuje się decydentowi. Analiza grafu relacji koniecznej może być jednak trudna dla niektórych decydentów, szczególnie w pierwszych iteracjach, gdy relacja ta jest uboga. Aby ją ułatwić, prezentuje się tzw. reprezentatywną funkcję użyteczności. Jest ona reprezentatywna w sensie odporności rozwiązań wypracowanych zgodnie z UTA GMS. Można powiedzieć, że jest ona

zbudowana na szczycie wszystkich pozostałych funkcji (tj. konsekwencji ich zastosowania do zbioru wariantów). W pierwszej kolejności funkcja reprezentatywna maksymalizuje różnicę pomiędzy użytecznościami par wariantów, dla których relacja konieczna jest prawdziwa (np. (GER, SPA), (SWE, BEL), (POL, SVK)), a w drugiej, minimalizuje różnicę pomiędzy użytecznościami par wariantów, dla których relacja ta jest nieprawdziwa (np. (UK, GER), (SPA, NED), (BEL, FIN)). W pewnym sensie funkcja ta spłaszcza graf relacji koniecznej do porządku zupełnego, w którym wszystkie warianty są porównywalne, bo z każdym skojarzoną jest precyzyjna wartość użyteczności globalnej. Nie dość, że pozwala ona łatwiej zrozumieć graf relacji koniecznej (podkreślając jego konsekwencje), to pełni jeszcze rolę prowokującą decydent może uznać, że zgadza się z relacjami, które wynikają z jej analizy (i zakończyć ją, będąc usatysfakcjonowanym z wyniku) lub zaprzeczyć pewnej relacji, wzbogacając informację preferencyjną w kolejnej iteracji. 10. Załóżmy, że decydent nie jest usatysfakcjonowany z wyniku na tym etapie interakcji z metodą. Musi więc wzbogacić swoją informację preferencyjną, przez określenie relacji preferencji dla wariantów, które są nieporównywalne zgodnie z relacją konieczną. Załóżmy, że decydent chciałby, by GER było preferowane nad UK (brak łuku w poprzedniej iteracji; co więcej UK było wyżej niż GER dla rankingu reprezentatywnego) oraz by SWE było wyżej niż SPA (podobna motywacja). Ranking referencyjny jest teraz następujący:

11. Dostarczenie nowych porównań parami prowadzi do wzbogacenia grafu relacji koniecznej, tj. coraz więcej par wariantów jest ze sobą porównywalnych (odtworzone są nie tyko nowe porównania parami dostarczone przez decydenta, ale również relacja konieczna staje się prawdziwa dla innych par wariantów). Odpowiednio dostosowana zostaje również reprezentatywną funkcja wartości. Na każdym etapie działania metody decydent może: uznać, że wynik jest dla niego satysfakcjonujący i zakończyć analizę; uznać, że wynik nie jest jeszcze rozstrzygający i należy wzbogacić informację preferencyjną w kolejnej iteracji; wynik (lub jego fragment) nie jest zgodny z oczekiwaniami (np. relacja konieczna stała się prawdziwa dla pary, dla której decydent ma odwrotną preferencję) i należy cofnąć się do poprzedniej iteracji. Graf relacji koniecznej w drugiej iteracji Reprezentatywna funkcja użyteczności w drugiej iteracji

VIII. Co powinieneś wiedzieć/potrafić po tych zajęciach? Narzędzia elicytacji informacji preferencyjnej: agregacja / dezagregacja (procedura inferencji parametrów) oraz analiza odporności Różnice i podobieństwa pomiędzy metodą UTA oraz UTA GMS Zapis problemu regresji porządkowej (tłumaczenie informacji preferencyjnej (porównania parami, intensywność), warunków monotoniczności i normalizacji Relacje koniecznej i możliwej preferencji znaczenie, sposób sprawdzenia, tworzenie grafu relacji koniecznej, własności Istota interaktywności: przyrost informacji preferencyjnej, ograniczenie zbioru spójnych funkcji, wpływ na wyniki Istota reprezentatywnej funkcji użyteczności i sposób jej wyznaczenia Pamiętaj o zadaniu domowym

IX. Omówienie zadań z arkuszy 1. Plik Fun4all-inference.xls Cel: Znalezienie jednego reprezentatywnego (w tym przypadku = najbardziej dyskryminującego) wektora wag. W tabeli w lewym górnym rogu znajduje się macierz ocen. W tabeli środkowej u góry znajdują się wagi oraz epsilon - zmienne w naszym problemie (zielone komórki; są one nieznane, więc na początku ustawiamy ich wartość na 0). W niebieskich komórkach w kolumnie F pokazano sposób obliczenia użyteczności każdego wariantu zgodnie z przyjętym modelem preferencji, tj. sumą ważoną. W tabeli w lewym dolnym rogu pokazano modelowanie preferencji dla trzech porównań parami. Każde z nich prowadzi do nierówności, ograniczającej przestrzeń dozwolonych wektorów wag. W tabeli środkowej u dołu przedstawiono sposób modelowania ograniczeń problemu programowania liniowego zapisanego w tabeli po prawej stronie. Ograniczenia te uwzględniają normalizację wag (1), tłumaczenie porównań parami podanych przez decydenta (2-4) oraz ograniczenia na wagi (5-7). Przykładowo suma iloczynów komórek zielonych i niebieskich zamodelowana w komórce P8 daje 1w 1 + 1w 2 + 1w 3, czyli lewą stronę pierwszego ograniczenia; z prawej strony wyraz wolny = 1. Ograniczenie nierównościowe uwzględniają epsilona tak, by maksymalizując jego wartość uzyskać model najbardziej dyskryminujący. Funkcja celu (wartość epsilona) jest zamodelowana w komórce P3. Instalacja solvera: Office - Opcje programu Excel - Dodatki - Dodatki programu Excel (na dole) - Przejdź - Dodatek Solver. Zainstalowany Solver pojawi się w menu Dane po prawej stronie. Uruchomienie Solvera: ustawienie sformułowania funkcji celu (P4), kierunku optymalizacji (max), komórek zmienianych (J4-M4) oraz ograniczeń (jedno równościowe oraz sześć nierównościowych, które można podać tablicowo). Optymalna wartość funkcji celu: epsilon = 0.1667 przy następujących parametrach modelu w 1 =w 2 =w 3 =0.33. W tabeli w prawym górnym rogu pokazano, jaka jest różnica wartości między wariantami porównanymi przez decydenta dla takiego najbardziej dyskryminującego modelu. 2. Plik Fun4all-robutness.xls Cel: Analiza odporności relacji preferencji względem wszystkich modeli preferencji (wektorów wag) spójnych z informacją podaną przez decydenta. W tabeli w lewym górnym rogu znajduje się macierz ocen (ta sama, co w pliku Fun4all-inference.xls). W kolumnie F obliczono użyteczność (sumę ważoną dla każdego z wariantów). W macierzy w prawym górnym rogu zamodelowano różnicę użyteczności dla każdej pary wariantów, np. dla porównania a 1 oraz a 2 znajduje się ona w komórce czerwonej U4. Analiza polega na badaniu optymalnej (minimalnej lub maksymalnej) wartości różnicy dla każdej z par przy ograniczeniach definiujących zbiór wag spójnych z preferencjami decydenta (te same nierówności co w poprzednim problemie, bez uwzględnienia epsilona).

Uruchomiamy solvera dla pary (a 1,a 2 ) z kierunkiem optymalizacji min. Wynik -17.0. Oznacza to, że minimalna wartość U(a 1 )-U(a 2 ) jest mniejsza od 0, a tym samym a 1 nie ma użyteczności co najmniej tak samo dobrej jak a 2 dla wszystkich spójnych (kompatybilnych) wektorów wag (tj. konieczna relacja preferencji dla pary (a 1,a 2 ) jest fałszywa) Uruchomiamy solvera dla pary (a 1,a 2 ) z kierunkiem optymalizacji max. Wynik -12.5. Oznacza to, że maksymalna wartość U(a 1 )-U(a 2 ) jest mniejsza od 0, a tym samym a 1 nie ma użyteczności co najmniej tak samo dobrej jak a 2 nawet dla co najmniej jednego wektora wag (tj. możliwa relacja preferencji dla pary (a 1,a 2 ) jest fałszywa). Rozwiązania dla pary (a 1,a 2 ) mogą posłużyć do odczytania wyników dla pary (a 2,a 1 ), bo min U(a 1 ) - U(a 2 ) = - max U(a 2 ) - U(a 1 ) oraz max U(a 1 ) - U(a 2 ) = - min U(a 2 ) - U(a 1 ). W konsekwencji min U(a 2 ) - U(a 1 ) = 12.5 oraz max U(a 2 ) - U(a 1 )= 17.0, co implikuje, że zarówno możliwa jak i konieczna relacja preferencji dla pary (a 2,a 1 ) jest prawdziwa. Podobną analizę przeprowadzono dla wszystkich par. Relacja konieczna dla pary (a i,a j ) jest prawdziwa jeżeli min U(a i ) - U(a j ) >= 0. Relacja możliwa dla pary (a i,a j ) jest prawdziwa jeżeli max U(a i ) - U(a j ) >= 0. Prawdziwość relacji koniecznej podsumowano w macierzy w prawym dolnym rogu - pary dla których jest ona spełniono wyróżniono kolorem zielonym. Graf relacji koniecznej reprezentuje ranking "odporny". Ze względu na przechodniość relacji koniecznej graf ten ma postać diagramu Hassego, w którym pomija się łuki, które można uzyskać w wyniku przechodniości relacji (np. skoro a2 -> a6 oraz a6 -> a1, to nie rysujemy już łuku a2 -> a1; ze względu na przechodniość relacji wiadomo, że relacja dla tej pary zachodzi). X. Omówienie ćwiczeń 1. Zapis problemu regresji porządkowej Regresja porządkowa jest problemem programowania liniowego (podobnie jak na lab1) Sformułowanie problemu uwzględnia trzy typy ograniczeń: odtworzenie rankingu referencyjnego (rozbicie wartości całkowitej wariantów referencyjnych na sumę użyteczności cząstkowych odpowiadających im ocenom); przy zamodelowanie relacji preferencji, najłatwiej przekształcić nierówność ostrą (>) w nieostrą (>=) dodając wartość epsilona (w domyśle - arbitralnie wybranej bardzo małej liczby) zapewnienie normalizacji (użyteczność najgorszych ocen na poszczególnych kryteriach musi być zerowa, suma użyteczności najlepszych ocen na wszystkich kryteriach musi dawać jeden), zapewnienie monotoniczności funkcji wartości cząstkowych poprzez porównanie wartości cząstkowych w kolejnych punktach charakterystycznych (uwaga na kierunek preferencji danego kryterium); punktami charakterystycznymi są oceny wszystkich wariantów (w wersji alternatywnej punktami charakterystycznymi są tylko oceny wszystkich wariantów referencyjnych; patrz dyskusja na str. 5) Jeśli potraktować epsilona jego zmienną i maksymalizować jego wartość w funkcji celu, to funkcja wartości spójna z preferencjami decydenta istnieje, jeżeli układ ograniczeń jest niesprzeczny a optymalna (największa) wartość epsilona jest większa od zera. W przeciwnym razie zbiór funkcji wartości spójnych z preferencjami decydenta jest pusty.

2. Sprawdzanie prawdziwości koniecznej oraz możliwej relacji preferencji dla pary (a i,a j ) (po dwa alternatywne sposoby) Relacja konieczna: Sposób pierwszy: przy ograniczeniach definiujących zbiór funkcji wartości spójnych z preferencjami decydenta E(A R ) (wartość epsilona jest ustalona na b. małą liczbę rzeczywistą), funkcją celu jest: min U(a i ) - U(a j ). Jeżeli optymalną wartość funkcji celu jest >= 0, to relacja konieczna jest prawdziwa, bo dla wszystkich spójnych funkcji zachodzi U(a i ) >= U(a j ). Sposób drugi: do układu ograniczeń definiujących zbiór funkcji wartości spójnych z preferencjami decydenta E(A R ) dodajemy zaprzeczenie testowanej hipotezy, a więc założenia, że a j jest możliwie ściśle preferowane nad a i, tj. U(a j ) >= U(a i ) + ε; funkcją celu jest: max ε. Jeżeli układ jest sprzeczny lub optymalna wartość funkcji celu jest =< 0, to relacja konieczna jest prawdziwa, bo nie ma żadnej takiej funkcji, dla której a j miałoby wartość ściśle większą od a i, a tym samym dla wszystkich funkcji a i ma wartość co najmniej tak samo dobrą jak a i. Relacja możliwa: Sposób pierwszy: przy ograniczeniach definiujących zbiór funkcji wartości spójnych z preferencjami decydenta E(A R ) (wartość epsilona jest ustalona na b. małą liczbę rzeczywistą), funkcją celu jest: max U(a i ) - U(a j ). Jeżeli optymalną wartość funkcji celu jest >= 0, to relacja możliwa jest prawdziwa, bo dla co najmniej jednej spójnej funkcji U(a i ) >= U(a j ). Sposób drugi: do układu ograniczeń definiujących zbiór funkcji wartości spójnych z preferencjami decydenta E(A R ) dodajemy testowaną hipotezę, a więc założenie, że a i jest możliwie preferowane nad a j, tj. U(a i ) >= U(a j ); funkcją celu jest: max ε. Jeżeli układ jest niesprzeczny oraz optymalna wartość funkcji celu jest >= 0, to relacja możliwa jest prawdziwa, bo istnieje co najmniej jedna funkcja, dla której a i ma wartość większą lub równą od a j. 3. Interpretacja wyników dla relacji koniecznej Jeżeli min U(a i ) - U(a j ) >= 0, to relacja konieczna jest prawdziwa - takie przypadki oznaczono szarym kolorem. Konstrukcję diagramu Hassego najlepiej rozpocząć od wariantów, nad które nie jest koniecznie preferowany żaden inny wariant (AUT, ITA), potem wziąć pod uwagę te, nad które koniecznie preferowane są warianty już uwzględnione w grafie (FRA, SWE), itd. Pamiętaj, że w diagramie Hassego nie rysuje się łuków, które można uzyskać w wyniku zastosowania przechodniości relacji preferencji (np. nie rysuje się bezpośredniego łuku od AUT do BEL, bo jest łuk od AUT do FRA oraz od FRA do BEL). 4. Przyrostowa specyfikacja informacji preferencyjnej Wraz z dostarczeniem przez decydenta dodatkowych porównań parami zbiór funkcji wartości spójnych z jego informacją preferencyjną stają się coraz mniejszy z powodu uwzględnienia dodatkowych ograniczeń. Tym samym konieczna relacja preferencji staje się coraz bogatsza, a możliwa relacja preferencji coraz uboższa.

5. Modelowanie intensywności preferencji Zwróć uwagę na typ relacji preferencji (silna preferencja - wtedy >, słaba preferencja - >=, nierozróżnialność - =) oraz poziom odniesienia (całkowity - wtedy U; pojedyncze kryterium g j - u j ). Stwierdzenia odnośnie intensywności preferencji mogą odwoływać się do różnych kryteriów, np. spadek oceny z poziomu 20 do 10 na kryterium g 1 jest bardziej istotny niż jej wzrost z poziomu 5 do 15 na kryterium g 2 (wtedy u 1 (20) - u 1 (10) > u 2 (15) - u 2 (5))..