Współczesna mechanika konstrukcji w projektowaniu inżynierskim Moern structural mechanics with applications to civil engineering Anrzej Garstecki, Wojciech Gilewski, Zbigniew Pozorski, es. XIII Wybrane zaganienia mechaniki i projektowania lekkich konstrukcji stalowych str. 327-348 XIII Selecte aspects of mechanics an esign of light steel structures pp. 327-348 Katarzyna Rzeszut Politechnika Poznańska Wyział Buownictwa i Inżynierii Śroowiska Instytut Konstrukcji Buowlanych Słowa kluczowe: konstrukcje cienkościenne, stateczność, imperfekcje geometryczne, MES Keywors: thin-walle structures, stability, geometric imperfections, FEM
XIII WYBRANE ZAGADNIENIA MECHANIKI I PROJEKTOWANIA LEKKICH KONSTRUKCJI STALOWYCH Katarzyna RZESZUT Wstęp W ostatnich latach rozwój stalowych konstrukcji cienkościennych związany jest przee wszystkim z postępem technicznym wytwarzania i montażu elementów profilowanych na zimno. Kształtowanie głównych elementów nośnych konstrukcji z barzo cienkich blach jest korzystne nie tylko z ekonomicznego punktu wizenia, ale również opowiaa wymaganiom buownictwa zrównoważonego. Konstrukcje wykonane z kształtowników giętych pozwalają spełnić wymagania funkcjonalności, estetyki i bezpieczeństwa z równoczesnym uwzglęnieniem warunków społecznych, śroowiskowych i ekonomicznych. Należy pokreślić fakt, że niskie zużycie stali ma szczególnie korzystny wpływ na ochronę śroowiska, gyż proukcję stali tak na etapie pozyskiwania surowców jak i wytwarzania materiału i prouktów charakteryzuje barzo wysoka energochłonność, a co za tym izie uży koszt proukcji oraz wysoki poziom emisji zanieczyszczeń. Proukcja stalowych konstrukcji profilowanych na zimno obywa się z zastosowaniem nowoczesnych, wysoce zautomatyzowanych procesów gięcia, cięcia i wiercenia. Obniżenie kosztów związanych z wbuowaniem elementów uzyskiwane jest poprzez zapewnienie szybkiego i łatwego montażu, zastosowanie zunifikowanych systemów oraz typowych rozwiązań węzłów. Łatwość profilowania kształtowników giętych sprawia, że o yspozycji projektantów jest prawie nieograniczona gama kształtowników o wymaganych cechach wytrzymałościowych i użytkowych umożliwiających projektowanie optymalnych ukłaów konstrukcyjnych. Projektowanie tego typu konstrukcji musi uwzglęniać aspekty związane z ochroną przeciwkorozyjną i przeciwpożarową oraz ochronę prze utratą stateczności globalnej, lokalnej i ystoryjnej. Zaganienia związane z zabezpieczeniem przeciwkorozyjnym konstrukcji profilowanych na zimno są obecnie obrze rozpoznane i w praktyce inżynierskiej ostępne są już barzo skuteczne rozwiązania technologiczne zapewniające wysoką oporność korozyjną. Natomiast ochrona przeciwpożarowa stanowi jeszcze otwarte pytanie jak skutecznie zabezpieczać stalowe konstrukcje gięte. Jenakże najpoważniejsze zagrożenie wyczerpania nośności cienkościennych konstrukcji stalowych stanowi utrata stateczności. Graniczna nośność konstrukcji ze wzglęu na utratę stateczności zależy o wielu czynników, a przee wszystkim o nieuniknionych imperfekcji konstrukcji. Przez imperfekcje rozumiemy ochyłki konstrukcji rzeczywistych o konstrukcji iealnych. Ochyłki te zielą się na 327
fizyczne, geometryczne i technologiczne. W stalowych konstrukcjach giętych zwykle przyjmują one formę lokalnych i globalnych imperfekcji geometrycznych, poatności węzłów i luzów w połączeniach. Mogą one rastycznie zmniejszyć wartość obciążenia granicznego w stosunku o obciążenia krytycznego konstrukcji iealnej, wolnej o imperfekcji. W przypaku cienkościennych konstrukcji stalowych często ochozi o wyboczenia interakcyjnego, gy przy tym samym lub zbliżonym poziomie obciążeń pojawiają się różne postaci wyboczenia lokalnego wraz z postacią globalną. Wówczas konstrukcje wykazują użą wrażliwość na imperfekcje, które często powoują że ścieżka po-krytyczna staje się niestateczna. Zjawisko to komplikuje się jeszcze barziej gy ochozi o interakcji imperfekcji geometrycznych i luzów w połączeniach śrubowych konstrukcji cienkościennych powstałych po wpływem obciążeń cyklicznie zmiennych lub wprowazanych w celu zapewnienia poprawnego montażu konstrukcji. Zatem, w procesie projektowania niezbęna jest pełna analiza zjawiska stateczności w zakresie prze- i po-krytycznym, uwzglęniająca wpływ imperfekcji i luzów tak w warunkach normalnych jak i pożarowych. Pomimo istnienia opowieniego oprogramowania komputerowego wspomagającego warsztat projektanta oraz wytycznych projektowania zawartych w normach, zaganienie to naal nie jest w pełni rozpoznane i jest przemiotem współczesnych baań naukowych. Słowa kluczowe: konstrukcje cienkościenne, stateczność, imperfekcje geometryczne, MES. 1. Zastosowanie elementów giętych na zimno w buownictwie W porównaniu z traycyjnymi rozwiązaniami konstrukcyjnymi elementy profilowane na zimno posiaają jeen z najwyższych wskaźników określających stosunek wytrzymałości o masy materiału zużytego o ich wykonania. Wskaźnik ten osiągnięty jest zięki zastosowaniu stali o wysokiej wytrzymałości oraz opowieniemu ukształtowaniu przekroju poprzecznego. Stalowe elementy gięte mogą być stosowane w postaci prętów lub powłok, nie tylko jako elementy etali architektoniczno-buowlanych czy elementy konstrukcyjne o znaczeniu rugorzęnym takie jak rygle, płatwie achowe, stężenia, konstrukcje fasa, regałów i rusztowań, ale również jako samozielne konstrukcje nośne w postaci ukłaów ryglowosłupowych czy wiązarów kratowych. W grupie elementów powłokowych najbarziej rozpowszechnione są blachy fałowe (rys. 1.1a), płyty warstwowe (rys. 1.1b), systemy paneli i kaset fasaowych (rys. 1.2a i b). Zapewniają one użą elastyczność rozwiązań oraz łatwość i szybkość montażu, a w połączeniu z opowienimi elementami wykończeniowymi stanowią kompletne rozwiązanie elewacji. Blachy trapezowe o niskim profilu (14 mm 60 mm) wykorzystywane są o krycia powierzchni elewacyjnych i achowych, natomiast blachy o wyższym profilu (135 mm 160 mm), z uwagi na swoją wytrzymałość, stosuje się w konstrukcjach nośnych o znacznych rozpiętościach, na przykła na achach użych obiektów przemysłowych, hanlowych i usługowych oraz o wykonywania stropów zespolonych. Równie szerokie zastosowanie na obuowę ścian i achów mają płyty warstwowe skłaające się z wóch okłazin z blachy stalowej o grubości o 0,5 mm oraz rzenia konstrukcyjno-izolacyjnego wykonanego z poliuretanu, styropianu lub wełny mineralnej. Wysoką jakość wykonania elewacji wyróżniających się ciekawym efektem wizualnym oraz różnoroną kolorystyką można uzyskać poprzez zastosowanie systemów paneli i kaset. Panele wykonuje się z blach o grubości o 0,5 mm o 0,7 mm. Mogą one osiągać maksymalną rozpiętość o 8 metrów natomiast minimalna rozpiętość nie może być mniejsza niż 1 metr. W systemach kaset stosuje się blachy ocynkowane powlekane o grubości o 1 mm o 1,5 mm lub blachę aluminiową o grubości 1,2 mm. 328
a) b) Rysunek 1.1. Obuowa ścian i achów: a) blachy trapezowe, b) płyty warstwowe a) b) Rysunek 1.2. Szczegóły konstrukcyjne elewacji z przekrojów cienkościennych: a) panele elewacyjne, b) kasetony W grupie elementów prętowych stosuje się profilowane na zimno kształtowniki konstrukcyjne typu Z, C i Σ proukowane z ocynkowanej taśmy stalowej o grubości o 1,50 mm o 3,00 mm. Typowe wykorzystanie kształtowników najczęściej obejmuje 329
konstrukcję ścian osłonowych w postaci rygli i płatwi, konstrukcję belek stropowych oraz ukłay ramowe. Na płatwie zwykle stosuje się kształtowniki o przekrojach typu Z i C w ukłazie jenoprzęsłowym lub wieloprzęsłowym. Wieloprzęsłowy schemat styczny płatwi o przekroju typu Z uzyskuje się poprzez naprzemienny montaż z zakłaem szeroką lub wąską półką o góry, a w przypaku przekrojów symetrycznych stosuje się specjalne przekroje nakłakowe lub wkłakowe. W ukłaach ramowych zwykle konstruuje się pręty wugałęziowe z uwagi na słabe charakterystyki geometryczne otyczące oporności na skręcanie pojeynczego otwartego kształtownika giętego na zimno. Zalecany rozstaw głównych ukłaów nośnych powinien być wielokrotnością moułu poziomego konstrukcji, wynoszącego 3,00 m lub 1,50 m. Orębną grupę samonośnych prętowych ukłaów konstrukcyjnych stanowią regały wysokiego skłaowania. Ich konstrukcję stanowią rygle o przekroju zamkniętym oraz słupy profilowane na zimno o przekroju otwartym perforowanym na całej wysokości w sposób umożliwiający swobone kształtowanie wymiarów powierzchni skłaowej regałów. a) b) Rysunek 1.3. Ukłay ramowe: a) z wugałęziowych kształtowników giętych typu Σ, b) z wugałęziowych kształtowników czterogiętych typu C 330
2. Liniowa analiza stateczności konstrukcji cienkościennych Klasyczną teorię skręcania i stateczności prętów cienkościennych zapoczątkował Timoszenko, a rozwinął Własow [22]. Teoria ta została sformułowana przy założeniu nieokształcalnego konturu pręta, płaskiego stanu naprężenia oraz przyjęciu, że obciążenie zewnętrzne przechozi przez oś skręcania pręta. Własow przestawił ścisłe rozwiązania jeynie la najprostszych przypaków ściskania osiowego i mimośroowego oraz la wybranych schematów obciążeń zginanych prętów jenoprzęsłowych z zastosowaniem metoy minimalizacji błęu Galerkina. Zamknięte formuły oraz tablice służące o obliczeń siły i momentu krytycznego la różnych przypaków można znaleźć w [2], [14] i [15]. Teoria Własowa jest stosunkowo prosta, latego znalazła szerokie zastosowanie w normach i programach komputerowej analizy. Ma jenak poważne ograniczenia wynikające z założeń upraszczających. Nie obejmuje ona zaganień stateczności lokalnej i ystorsyjnej. Powyższych ograniczeń nie ma metoa elementów skończonych (MES) sformułowana przez O.C. Zienkiewicza i Argirisa, a la belek cienkościennych przez Chena i Blanfora [3]. Zastosowanie powłokowego lub bryłowego elementu skończonego pozwala uwzglęnić eformację konturu oraz interakcję różnych postaci wyboczenia. Do określenia wartości naprężenia krytycznego w MES zwykle stosuje się liniową analizę buckling polegającą na rozwiązaniu liniowego problemu wartości i wektorów własnych, który można zapisać w ogólnej postaci: 0 G ( ) K + λ K U = 0, (2.1) gzie: U jest wektorem własnym (opisującym postać eformacji po utracie stateczności), G λ jest wartością własną (mnożnikiem obciążenia krytycznego) i K jest macierzą sztywności geometrycznej początkowych naprężeń. Warto zwrócić uwagę, że w przypaku zastosowania powłokowego elementu skończonego proceura ta jest niezwykle wrażliwa na rozaj i wielkość yskretyzacji oraz na sposób moelowania warunków brzegowych. Na rysunku 2.1 przestawiono wartości naprężenia krytycznego la zginanego ukośnie pręta wykonanego z kształtownika typu 300x1,5, który w konstrukcjach buowlanych zwykle pełni funkcję pławi achowej. Wyniki uzyskano stosując belkową teorię Własowa i powłokowy moel MES, la którego wyznaczono trzy pierwsze postaci wyboczenia. Wartości naprężenia krytycznego uzyskane na postawie teorii belek cienkościennych Własowa oraz MES z zastosowaniem powłokowego elementu skończonego są zgone w zakresie użych smukłości pręta. W zakresie tym pierwsza postać wyboczenia przyjmuje postać ogólnej utraty stateczności zwanej również globalną (g), która wystarczająco okłanie opisana jest w teorii Własowa. W przypaku prętów o mniejszej smukłości pierwsza postać utraty stateczności ma charakter ystorsyjny () związany z eformacją konturu polegającą na przemieszczeniu się naroży ścianek. Dla prętów o barzo małej smukłości można zaobserwować miejscowe postaci wyboczenia (m) powierzchni śrokowej ścianek przekroju poprzecznego bez zmiany położenia naroży. W związku z tym la małych i śrenich smukłości prętów obciążenie krytyczne wyznaczane na postawie teorii Własowa jest zawyżone i nie może być postawą projektowania. W analizowanym przypaku zarówno miejscowa jak i ystorsyjna postać wyboczenia nie występuje w sposób wyizolowany lecz jest zaburzona innymi formami utraty stateczności. Ponato, analiza wyższych postaci wyboczenia wykazała, że la prętów o użej smukłości ruga i trzecia postać wyboczenia mają formę interakcyjną. Z inżynierskiego punktu wizenia nie stanowią one jenak potencjalnej przyczyny zniszczenia pręta, gyż występują przy znacznie wyższej wartości naprężenia krytycznego niż pierwsza postać wyboczenia. Natomiast la smukłości wynoszącej l/iz=165 wartość naprężenia krytycznego la trzech pierwszych postaci 331
wyboczenia jest barzo zbliżona (rys. 2.2). Oznacza to, że zachozi tu możliwość wystąpienia wyboczenia interakcyjnego prowazącego o obniżenia wartości siły krytycznej oraz użej wrażliwości na imperfekcje geometryczne i w konsekwencji niestatecznego zachowania pokrytycznego pręta. 1,0 0,8 0,6 0,4 3 σ kr 10 Postać E Postać Postać Teoria Własowa Postać 2 i 3 wyboczenia 1 2 3 0,2 m 0 50 100 150 200 250 300 g Postać l/i z Rysunek 2.1. Naprężenia krytyczne zginanego ukośnie, jenogałęziowego pręta typu 300x1,5 (Teoria Własowa i moel powłokowy MES trzy pierwsze postaci wyboczeniowe) Postać wyboczeniowa 1 3 σ kr 10 = 0,582 E Postać wyboczeniowa 2 3 σ kr 10 = 0,587 E g Postać wyboczeniowa 3 3 σ kr 10 = 0,591 E Rysunek 2.2. Trzy pierwsze postaci wyboczeniowe moelu powłokowego MES la zginanego ukośnie, jenogałęziowego pręta typu 300x1,5 o smukłości l/i z =165 332 m
Zatem w tym przypaku błęem byłoby przyjęcie poejścia stosowanego w wielu normach projektowych opuszczającego niezależne i orębne rozpatrywanie stateczności globalnej i lokalnej. W związku z tym zjawisko wyboczenia interakcyjnego konstrukcji cienkościennych poruszane jest w wielu pracach naukowych. Jako jeen z pierwszych baania w zakresie wyboczenia interakcyjnego, stosując metoę Direct Strength, prowaził Hancock [6]. Metoa ta opiera się na iei określania nośności elementu wprost poprzez wyznaczenie wartości sił wewnętrznych wywołujących naprężenia plastyczne przy równoczesnym uwzglęnieniu wszystkich sprężystych lokalnych, ystorsyjnych i globalnych postaci wyboczenia la przekroju brutto. Na uwagę zasługują również baania na interakcją niestateczności miejscowej, ystorsyjnej i ogólnej prętów cienkościennych przestawione przez Giżejowskiego i Brókę w pracy [4] oraz Kołakowskiego i Kowal-Michalską w pracy [9]. 3. Nieliniowa analiza stateczności konstrukcji cienkościennych 3.1. Postawy teoretyczne Nieliniowe zaganienia mechaniki onoszą się o problematyki utraty stateczności konstrukcji iealnych i stateczności technicznej konstrukcji nieiealnych, rozważanej na gruncie teorii geometrycznie nieliniowej w ramach użych przemieszczeń, zarówno zakresie sprężystym (liniowość materiałowa, inaczej fizyczna) jak i niesprężystym (nieliniowość materiałowa fizyczna). Do rozwiązywania nieliniowych równań stateczności stosuje się metoy przyrostowe, wśró których można wyróżnić metoy newtonowskie, zwane też metoami Newtona-Raphsona (klasyczną, zmoyfikowaną, początkowej sztywności), metoy quasi-newtonowskie oraz metoy sieczno-newtonowskie zwane metoami iteracji w przestrzeni, rozwijane kolejno przez Riksa (1979 algorytm iteracji wzłuż normalnej o stycznej) i Crisfiela (1981 algorytm stałego promienia). W metoach przyrostowych ścieżka równowagi wyznaczana jest w kolejnych krokach, w których wykonywany jest szereg iteracji w celu uzyskania na końcu kroku rozwiązania z okłanością zaanego błęu. Metoy przyrostowe zielą się również w zależności o sposobu zaawania kroku, który często w literaturze określany jest jako sposób sterowania. Wyróżnia się sterowanie obciążeniem, przemieszczeniem lub parametrem stycznym o ścieżki równowagi. W nieliniowej analizie zaganień stateczności najbarziej efektywnymi technikami numerycznymi są metoy sieczno-newtonowskie, szczególnie przyatne w analizie niestatecznych ścieżek równowagi w otoczenia punktu granicznego, w którym macierz styczna staje się osobliwa. W metoach tych stosuje się mieszany, przemieszczeniowo-obciążeniowy parametr sterowania. W ogólnej postaci nieliniowe przyrostowe równanie równowagi można zapisać następująco: gzie: T K jest macierzą sztywności stycznej wyrażoną wzorem: 0 K jest macierzą sztywności początkowej, T K U = λp, (3.1) T 0 K = K + K G + K U, (3.2) G K jest macierzą sztywności geometrycznej U początkowych naprężeń, K jest macierzą sztywności geometrycznej początkowych przemieszczeń, U jest wektorem przyrostu uogólnionych przemieszczeń, λ jest przyrostem mnożnika obciążenia, P jest wektorem obciążenia. 333
3.2. Początkowe imperfekcje geometryczne W prętach cienkościennych imperfekcje geometryczne mogą mieć charakter globalny oraz lokalny. Imperfekcje globalne otyczą pręta jako całości i onoszą się o maksymalnego wygięcia lub skręcenia osi pręta. Natomiast imperfekcje lokalne mogą wystąpić w formie ochyłek wymiarów poszczególnych ścianek przekroju poprzecznego lub w formie eformacji konturu przekroju poprzecznego związanej z lokalnym wybrzuszeniem ścianek lub symetrycznym i niesymetrycznym otwieraniem i zamykaniem się przekroju poprzecznego. Imperfekcje te są szczególnie niebezpieczne, gy ich kształt pokrywa się z poszczególnymi postaciami wyboczenia miejscowego (m) lub ystorsyjnego (). Przykłaowy rozkła pomierzonych imperfekcji pręta cienkościennego typu Σ zobrazowano na rysunku 3.1. Przestawione imperfekcje pojawiają się w sposób perioyczny na ługości pręta, co może wynikać z procesu technologicznego formowania prętów poprzez gięcie na zimno ocinkowo giętarkami lub taśmowo na giętarkach rolkowych. Warto zwrócić uwagę, że kształt imperfekcji związany z eformacją konturu przekroju poprzecznego pokrywa się z kształtem ystorsyjnych () lub miejscowo-ystorsyjnych (m) postaci wyboczenia. m m m m m m m m Rysunek 3.1. Przykłaowy rozkłay początkowych imperfekcji geometrycznych pomierzonych in stu oraz ich ientyfikacja z początkowymi imperfekcjami geometrycznymi: m miejscowo-ystorsyjne, ystorsyjne Uwzglęnienie rzeczywistych imperfekcji geometrycznych tak globalnych jak i lokalnych stało się możliwe zięki zastosowaniu metoy elementów skończonych. Ogólną proceurę nieliniowej analizy stateczności konstrukcji cienkościennych opartą na MES stosując klasyczną metoę Newtona oraz metoę Riksa sformułowali Wriggers i Simo. Istnieje wiele meto wprowazania imperfekcji geometrycznych o moelu numerycznego MES. Jeną z najprostszych jest metoa ekwiwalentnego obciążenia, którego ziałanie wymusza w moelu numerycznym eformacje opowiaające początkowym imperfekcjom geometrycznym. Metoa ta naaje się przee wszystkim o generowania globalnych 334
imperfekcji geometrycznych, natomiast jej waą jest powstawanie oatkowych naprężeń, które w rzeczywistości nie towarzyszą powstawaniu imperfekcji geometrycznych. Barzo realistyczny moel konstrukcji zarówno z imperfekcjami globalnymi jak i lokalnymi można uzyskać poprzez wprowazenie zaburzonej geometrii siatki MES na postawie pomiaru rzeczywistych imperfekcji in situ. Poejście to wymaga użycia barzo zawansowanych urzązeń pomiarowych (np. skanery 3D) pozwalających na stworzenie map imperfekcji 3D i ich konwersję o programów MES. Niestety w przypaku konstrukcji buowlanych metoa ta jest jeszcze rzako stosowana z powou stosunkowo użych kosztów. Posiaa ona jeszcze jeną waę, mianowicie pozwala na przeprowazenie obliczeń jeynie la pomiaru początkowych imperfekcji przeprowazonego la anego elementu. Zatem obejmuje tylko jeen konkretny przypaek. Jenakże z uwagi na użą losowość imperfekcji, wyniki uzyskane na postawie eterministycznie określonych imperfekcji nie zawsze są miaroajne i nie pozwalają na określenie potencjalnie najniebezpieczniejszych ich konfiguracji. Alternatywną metoą uwzglęniania imperfekcji, może być metoa generowania kształtu zeformowanej geometrii jako liniowej superpozycji postaci wyboczenia uzyskanych z rozwiązania liniowego zaganienia własnego. Amplituy postaci wyboczeniowych mogą być skalowane za pomocą współczynników proporcjonalności określonych w sposób arbitralny na postawie tolerancji normowych [20] i [21] lub ograniczonej liczby pomiarów rzeczywistych mperfekcji. Kształt aproksymowanej imperfekcji %u opowiaający postaciom wyboczeniowym prętów można określić na postawie następującej zależności: gzie m = i=1 U i oznacza i-tą postać wyboczenia, u% α U, (3.3) i i α i jest stowarzyszonym współczynnikiem skalującym, m jest liczbą postaci wyboczeniowych wykorzystanych o utworzenia zaburzonej geometrii. Warto zwrócić uwagę, że amplitua oraz kształt imperfekcji silnie wpływają na stateczność konstrukcji. Dlatego też, poprawne moelowanie sygnału imperfekcji opowiaającego najbarziej niebezpiecznym konfiguracjom imperfekcji geometrycznych ogrywa kluczową rolę w analizie i projektowaniu prętów cienkościennych. Baania eksperymentalne i teoretyczne cienkościennych prętów zetowych poanych skręcaniu prowazili Kowal i Szychowski [10] i [18]. Wykazali oni, że nie tylko przebieg imperfekcji zgony z pierwszą postacią utraty stateczności ale również imperfekcje opowiaające postaciom wyboczeniowym stowarzyszonym z wyższymi siłami krytycznymi istotnie wpływają na stateczność konstrukcji i mogą prowazić o obniżenia wartości obciążenia krytycznego. Ponato autorzy stwierzili, że w konstrukcjach rzeczywistych, obarczonych imperfekcjami, występuje wzajemny wpływ stateczności lokalnej i globalnej i niezbęne jest równoczesne uwzglęnianie zarówno imperfekcji globalnych jak i lokalnych. Metoę moelowania początkowych imperfekcji geometrycznych w moelu MES polegającą na automatycznym tworzeniu sygnału imperfekcji w postaci serii funkcji własnych uzyskanych z liniowej analizy stateczności przy użyciu niewielkiej liczby najbarziej niekorzystnych postaci własnych oraz ograniczonej liczby punktów pomiaru imperfekcji in situ przestawiono w pracach [16] i [17]. W przypaku moelowania pręta za pomocą MES funkcje własne i aproksymowane funkcje imperfekcji mają postać N-wymiarowego N wektora przemieszczeń, gzie N jest liczbą stopni swoboy moelu MES, stą U, u % R. Warto zwrócić uwagę, że o aproksymacji stosuje się zwykle tylko m funkcji własnych stowarzyszonych z m postaciami wyboczeniowymi, gzie m<<n oraz niewielką liczbę pomiarów imperfekcji p, gzie p<<n i p>m. Jeżeli przez v oznaczymy pomierzone imperfekcje, a poprzez V przemieszczenia wektora własnego opowiaające punkom pomiaru, to błą aproksymacji (3.3) w punktach pomiaru może być określony w postaci: 335
ε = v V α min, ε, v R, α R T p m α. (3.4) Korzystając z minimalizacji błęu Galerkina poszukuje się takiego α, la którego spełniony jest warunek εv = 0. (3.5) Najlepsze rezultaty proponowanej aproksymacji uzyskiwane są, gy punkty pomiaru rozmieszczone są w sposób równomierny na ługości pręta lub liczba punktów pomiaru jest większa lub równa liczbie funkcji własnych zastosowanych o aproksymacji imperfekcji. 3.3 Przykłay numeryczne Pierwszy przykła otyczy nieliniowej analizy zginanego ukośnie pręta jenogałęziowego typu 300x1,5 o smukłości l/i z =165 (rys. 3.2). Rysunek 3.2. Ścieżki równowagi zginanego ukośnie pręta jenogałęziowego typu 300x1,5 o smukłości l/i z =165 Jak to wykazano w rozziale rugim, pręt ten charakteryzuje się tym, że przy barzo zbliżonych wartościach obciążenia krytycznego występują różne postaci utraty stateczności. W celu analizy wpływu imperfekcji geometrycznych na stateczność analizowanego pręta w moelu numerycznym wprowazono trzy różne konfiguracje początkowych imperfekcji geometrycznych stosując zależności (3.3), (3.4) i (3.5). Pierwsza imperfekcja geometryczna (g) rozwijana jest zgonie z pierwszą postacią wyboczeniową z amplituą równą 4,0 mm, ruga (l) zgonie z rugą postacią wyboczeniową z amplituą równą 2,3 mm, natomiast trzecia (gl) jest liniową superpozycją pierwszej i rugiej imperfekcji geometrycznej. Na osi rzęnych przestawiono mnożnik obciążenia λ oniesiony o mnożnika obciążenia krytycznego λ cr, natomiast na osi ociętych parametr przemieszczenia jest tzw. arc length parameter otrzymany z analizy Riksa. W przypaku globalnej imperfekcji geometrycznej, gy obciążenie osiąga około 59% wartości obciążenia krytycznego pojawia się punkt graniczny, po przekroczeniu którego ścieżka równowagi ma silnie niestateczny charakter. Natomiast w przypaku lokalnej imperfekcji punkt graniczny pojawia się już przy obciążeniu równym około 50% wartości obciążenia krytycznego, jenak ścieżka równowagi przechozi z początkowo niestatecznej w stateczną ścieżkę równowagi. Dla lokalno-globalnej imperfekcji początkowej obniżenie wartości obciążenia krytycznego jest rzęu 48% i ścieżka równowagi 336
ma niestateczny charakter. Oznacza to, że analizowany pręt charakteryzuje się użą wrażliwością na początkowe imperfekcje geometryczne, co prowazi o znacznego obniżenia wartości obciążenia krytycznego i niestatecznego zachowania po-krytycznego. Ze wzglęu na słabe charakterystyki geometryczne otyczące oporności na skręcanie pojeynczego otwartego kształtownika giętego na zimno w głównych ukłaach nośnych zwykle przyjmuje się przekrój złożony z wóch kształtowników. W przypaku pręta skłaającego się z wóch przekrojów typu sigma połączonych za pomocą śrub mamy o czynienia z elementem o przekroju otwarto-zamkniętym, którego analiza nie może być przeprowazona na gruncie teorii Własowa onoszącej się jeynie o przekrojów otwartych. Duży wpływ na pracę tego typu elementów ma sposób połączenia wóch gałęzi. Dlatego też niezbęne jest prowazenie analiz z uwzglęnieniem zjawiska kontaktu i luzów w połączeniu. Analiza ta może być przeprowazona jeynie przy zastosowaniu powłokowych lub przestrzennych elementów skończonych. Jenakże, szczegółowe moelowanie połączeń w konstrukcjach cienkościennych w nieliniowej analizie stateczności MES powouje konieczność stosowania barzo skomplikowanych proceur opisujących kontakt, co powouje znaczne zwiększenie rozmiaru zaania oraz czasu obliczeniowego. Dlatego też, moelowanie połączeń w konstrukcjach cienkościennych w nieliniowej analizie stateczności MES może być zastąpione uproszczonym sposobem moelowania pracy łączników w postaci ograniczeń przemieszczeniowych węzłów siatki MES. W zawansowanych programach komputerowych wykorzystujących MES istnieją gotowe moele numeryczne opisujące różne typy połączeń w konstrukcjach. Poniżej przestawiono przykła, w którym przeprowazono analizę słupa wugałęziowego o wysokości 4m, skłaającego się z wóch przekrojów profilowanych na zimno typu sigma o wysokości przekroju 300 mm oraz grubości ścianki 1,5 mm. Gałęzie słupa ozielone są przekłakami o grubości 4 mm umieszczonymi w rozstawie co 1,0 m. Połączenie wóch gałęzi realizowane jest za pomocą śrub. W moelu tym owzorowanie pracy łączników w rzeczywistych połączeniach realizowane jest poprzez opowienie nałożenie ograniczeń na przemieszczenia węzłów siatki MES umieszczonych w punktach A i B leżących na przeciwległych ściankach gałęzi. W poejściu tym łącznik jest tworem wirtualnym, natomiast wywołuje on realne efekty. W przykłazie zastosowano wa wybrane moele numeryczne łączników (rys. 3.3). Rysunek 3.3. Geometria oraz moele numeryczne łączników pręta wugałęziowego typu 2 300x1,5 Pierwszy moel połączenia oparto na założeniu, że poatny łącznik zapewnia stały ystans pomięzy punktami A i B oraz skrępowany obrót. W alszej części pracy moel ten określono jako Tie. Drugi moel, nazwany Slot charakteryzuje połączenie z luzami. 337
Założono, że punkt A nie zmienia swojego położenia, poczas gy punkt B może przemieszczać się w obrębie luzu w kierunku pionowym lub poziomym. Ponato, w moelu tym założono oatkowy więz umożliwiający uwzglęnienie tarcia w połączeniu. Wpływ interakcji początkowych imperfekcji geometrycznych oraz luzów na zachowanie pokrytyczne konstrukcji baano stosując nieliniową analizę stateczności w MES. Kształt wektora imperfekcji przyjęto jako liniową kombinację postaci wyboczenia uzyskanych z analizy liniowego problemu własnego. Na rysunku 3.4 przestawiono ścieżki równowagi przy uwzglęnieniu różnych rozajów imperfekcji geometrycznych i moeli numerycznych łącznika. Rysunek 3.4 Ścieżki równowagi osiowo ściskanego pręta wugałęziowego typu 2 300x1,5 la różnych początkowych imperfekcji geometrycznych oraz moeli numerycznych łączników Krzywe 1l i 1g przestawiają ścieżki równowagi la moelu łączników typu Tie. Symbole l i g opisują typ początkowej imperfekcji lokalnej lub globalnej. Warto zwrócić uwagę, że w przypaku wprowazenia początkowej imperfekcji o charakterze lokalnym konstrukcję charakteryzuje stateczna ścieżka pokrytyczną (krzywa 1l). Natomiast wprowazenie globalnej imperfekcji sprawia, że konstrukcja ze statecznej przechozi w kr niestateczną ścieżkę równowagi (krzywa 1g). Zależność λ / λ o parametru przemieszczenia la słupów z luzami (tj. la łącznika typu slot ) z tarciem i bez tarcia przestawiają opowienio krzywe 3 i 2. Przeprowazone analizy wykazały, że wprowazenie o konstrukcji luzów w postaci połączenia typu Slot zarówno w przypaku uwzglęniania tarcia jak i bez, skutkuje obniżeniem wartości obciążenia o około 15% w stosunku o obciążenia krytycznego oraz niestatecznymi ścieżkami pokrytycznymi. 338
4. Inżynierskie metoy uwzglęniania stateczności konstrukcji cienkościennych 4.1 Teoria I i II rzęu w zaganieniach stateczności ogólnej Inżynierskie metoy analizy stateczności konstrukcji cienkościennych zawarte w europejskich normach o projektowania i szeroko omówione w pracy [1] obejmują wa orębne poejścia. Pierwsze z nich bazuje na analizie I rzęu, w której przyjmuje się nieokształconą, pierwotną geometrię elementu, proporcjonalny przyrost okształceń o przyłożonych obciążeń oraz zasaę superpozycji w obliczeniach sił wewnętrznych i nośności przekrojów. W analizie tej wpływ niestateczności ogólnej i miejscowej oraz imperfekcje geometryczne i strukturalne uwzglęnione są na poziomie analizy nośności pojeynczych elementów poprzez współczynniki niestateczności, zwane wyboczeniowymi χ i lub zwichrzeniowymi χ LT, reukujące wartości naprężeń krytycznych obliczonych la konstrukcji iealnych. Współczynniki te określone są na postawie opowienich krzywych wyboczeniowych przy znajomości parametru imperfekcji, smukłości zastępczej oraz ługości wyboczeniowej. Poejście to jest stosunkowo proste i pozwala na poprawną ocenę efektów niestateczności elementów, la których nie zachozi zjawisko wyboczenia interakcyjnego. W przypaku konstrukcji wrażliwych na efekty rugiego rzęu tj. takich, w których przyrost okształceń jako efektów oziaływań oraz początkowe imperfekcje geometryczne istotnie wpływają na zachowanie konstrukcji należy stosować poejście rugie oparte na analizie II rzęu. Uwzglęnia się tu wszelkie eformacje ukłau tak globalne efekty rugiego rzęu związane z przesuwem węzłów konstrukcji (P- ) jak i lokalne efekty rugiego rzęu onoszące się o lokalnych wygięć prętów miezy węzłami (P-δ). W teorii II rzęu nie obowiązuje zasaa zesztywnienia, małych przemieszczeń ani superpozycji. Zgonie z wytycznymi normowymi teorię tę stosuje się w przypaku konstrukcji, które spełniają cr cr cr F cr F zależności: λ = 10 la analizy sprężystej oraz λ = 15 la analizy plastycznej, F F E cr gzie λ jest mnożnikiem obciążenia krytycznego określającym stosunek obciążenia cr krytycznego F wzglęem obliczeniowych obciążeń ziałających na konstrukcję F E. Zastępcze obliczeniowe imperfekcje geometryczne w analizie ustrojów prętowych uwzglęnia się jako globalne imperfekcje przechyłu ukłau oraz jako imperfekcje lokalne w postaci wstępnego wygięcia elementów. Zatem, aktualne zalecenia norm europejskich pozwalają na przeprowazenie pełnej analizy globalnej uwzglęniającej imperfekcje lokalne i globalne. Warto jenak zwrócić uwagę, że poział imperfekcji na lokalne i globalne stosowany w normach obiega o poziału przyjętego w mechanice, w której za imperfekcje lokalne przyjmuje się imperfekcje związane z eformacją konturu. Jak wykazano w rozziale 3 w przypaku konstrukcji cienkościennych mają one kluczowe znaczenie. W poejściu inżynierskim lokalne eformacje ścianek przekrojów wynikające z miejscowej utraty stateczności uwzglęniane są poprzez zastosowanie koncepcji przekroju współpracującego opracowanej na postawie teorii Karmana [8]. Proceury obliczeniowe otyczące niestateczności miejscowej przekrojów klasy czwartej zawarte są w normie [13]. Z kolei okształcenia ystorsyjne poobne jak niestateczność miejscową uwzglęnia się poprzez ustalenie przekroju współpracującego z oatkowym uwzglęnieniem sztywności sprężystej usztywnień brzegowych lub pośrenich zgonie z normą [12]. Zaganienia te szeroko omówione są w literaturze miezy innymi w pracach [2], [5] i [15]. E 339
4.2. Imperfekcje globalne Globalne początkowe imperfekcje geometryczne wielokonygnacyjnych ram uwzglęniane są poprzez zastępczy przechył wstępny, który można wyznaczyć zgonie z [11] z zależności: Φ = Φ0 α h α m, re, (4.1) gzie: Φ 0 jest wartością postawową równą 1/200, α h jest współczynnikiem reukcyjnym ze wzglęu na wysokość: 2 2 αh = lecz α h 1,0 (4.2) h 3 gzie: h jest wysokością konstrukcji w metrach oraz α m, re jest współczynnikiem reukcyjnym ze wzglęu na liczbę słupów λp obliczanym zgonie z: α m, re 1 = 0,5 1+ m, (4.3) gzie: m jest liczbą słupów w rzęzie, które przenoszą obciążenie osiowe N E nie mniejsze niż 50% przeciętnego obciążenia słupa w rozpatrywanej płaszczyźnie pionowej. Interpretację graficzną przestawiono na rysunku 4.1. Rysunek 4.1. Zastępcze imperfekcje przechyłowe Imperfekcje przechyłowe należy uwzglęniać, gy zależność pomięzy obliczeniową wartością sumarycznego obciążenia poziomego przenoszonego przez rozpatrywaną konygnację H E, a wartością sumarycznych oziaływań pionowych u ołu konygnacji V spełnia nierówność: E H E < 0,15V. (4.4) Alternatywnie, wstępne imperfekcje przechyłowe można zastąpić równoważnym ukłaem sił (rys. 4.2). E 340
Rysunek 4.2. Równoważny ukła sił poziomych la wstępnych imperfekcji przechyłowych 4.3. Imperfekcje lokalne Lokalne wstępne imperfekcje uwzglęnia się w postaci wygięcia łukowego e 0, zależnego o krzywej wyboczeniowej oraz rozpiętości pręta L. Wartości wzglęne e 0 /L zestawiono w tabl. 4.1. Tablica 4.1. Wartości obliczeniowe wstępnych imperfekcji łukowych e 0 /L wg [11] Krzywa wyboczeniowa wg [11] Analiza sprężysta Analiza plastyczna e 0 /L e 0 /L a 0 1/350 1/300 a 1/300 1/250 b 1/250 1/200 c 1/200 1/150 1/150 1/100 Imperfekcje łukowe należy uwzglęniać w przypaku elementów ściskanych, gy co najmniej jeen węzeł elementu przenosi moment oraz wzglęna smukłość elementu obliczona przy założeniu przegubów na jego końcach spełnia zależność: Af y λ > 0,5, (4.5) N gzie: A jest polem przekroju poprzecznego elementu, a f y jest granicą plastyczności. W przypaku elementów stężanych bocznie poprzez ukła stężeń imperfekcje geometryczne uwzglęniane są również w postaci imperfekcji łukowej, z tym że strzałkę wygięcia wyznacza się z następującego równania: gzie: L- rozpiętość stężenia, e α E m, re 0 =, (4.6) 500 L 341
1 α m, re = 0,5 1+, (4.7) m m- liczba elementów stężanych. Poobnie jak w przypaku imperfekcji przechyłowych, wstępne łukowe imperfekcje elementów stężanych można zastąpić równoważną siłą stabilizującą, którą można wyliczyć z następującej zależności: q e +δ = N 8 0 q E, (4.8) 2 L gzie δq - ugięcia stężenia o oziaływania q i wszelkich obciążeń zewnętrznych, uzyskane z analizy pierwszego rzęu. Rysunek 4.3. Równoważny ukła sił poziomych la wstępnych imperfekcji łukowych 4.5 Koncepcja przekroju współpracującego W konstrukcjach stalowych przyjmuje się, że utrata stateczności miejscowej zachozi jeynie la przekrojów klasy czwartej, to znaczy takich których stosunek szerokości o grubości ścianki przęsłowej jest większy o liczby 42 przy ściskaniu lub 124ε przy zginaniu, a w przypaku ściskanej ścianki wspornikowej większy o 14ε, gzie ε jest współczynnikiem uwzglęniającym gatunek stali o granicy plastyczności f y wyrażony wzorem: 235 ε =. (4.9) Stateczność miejscowa elementów stalowych rozpatrywana jest na postawie teorii iealnych płyt sprężystych, la których naprężnie krytyczne można obliczyć ze wzoru: f y 342
σ cr = 2 ( ν ) 12 1 2 kσπ E c t 2, (4.9) gzie: k σ jest współczynnikiem utraty stateczności miejscowej, c oraz t to opowienio szerokość i grubość płyty (ścianki), E jest współczynnikiem sprężystości połużnej, ν to współczynnik Poissona. Współczynnik utraty stateczności miejscowej można wyznaczyć na postawie [13] w zależności o rozkłau naprężeń oraz o warunków poparcia na brzegach płyty. Analiza po-krytyczna barzo cienkich płyt wykazała, że po przekroczeniu naprężeń krytycznych mogą one alej przenosić obciążenia lecz la zmienionej konfiguracji płyty, która przestaje być płaska i przechozi o postaci wygiętej, a rozkła naprężeń w płycie ulega zmianie w zależności o wielkości obciążenia i ma nieliniowy rozkła. Zjawisko to określane jest mianem nośności nakrytycznej. W praktyce inżynierskiej zamiast nieliniowego rozkłau naprężeń na całej szerokości płyty przyjmuje się zaproponowany przez Karmana, a później zmoyfikowany przez Wintera uproszczony, równomierny rozkła naprężeń na tak zwanej szerokości współpracującej płyty b e (rys. 4.4), a w części śrokowej płyty, która ulega bocznemu wygięciu, przyjmuje się naprężenia równe zeru. Rysunek 4.4. Rozkła naprężeń w przekroju pasma płytowego popartego przegubowo: a) wykresy naprężeń rzeczywistych, b) wykresy naprężeń zastępczych Szerokość części współpracującej b e określa się na postawie następującej zależności : b e b = ρ. (4.11) Przy czym ρ jest współczynnikiem reukcyjnym wyznaczanym zgonie z [13] w zależności o warunków poparcia ścianki ze wzorów: ścianka przęsłowa ρ = 1,0 la λ 0,673, (4.12) p 343
( ψ ) λp 0, 055 3 + ρ = 1,0 2 λ p la λ p > 0, 673 gzie (3 + ψ ) 0, (4.13) gzie ψ jest stosunkiem napreżeń brzegowych wyznaczanych w następujący sposób: ścianka wspornikowa ρ = 1,0 la λ 0, 748, (4.14) p λp 0,188 ρ = 2 1,0 λ p la λ > p 0, 748, (4.15) gzie λ p jest smukłością wzglęną ścianki w stanie krytycznym zwana też smukłością płytową obliczaną z następującej zależności λ = Postawiając zależność (4.10) o (4.16) otrzymamy: 2 ( ν ) p b 12 1 f b f b 1 λp = = y y 2 t π Ekσ t Ekσ t 28, 4 ε kσ f y σ. (4.16) cr. (4.17) Zatem, smukłość wzglęna ścianki w stanie krytycznym zależy o wymiarów ścianki, współczynnika utraty stateczności miejscowej i gatunku stali. Na rysunku 4.5 przestawiono przykłaowe przekroje współpracujące profilowanego na zimno kształtownika typu Z200 la różnych rozkłaów naprężeń. a) b) Rysunek 4.5. Przykłaowy przekrój współpracujący kształtownika profilowanego na zimno typu Z200 la: a) ściskania, b) zginania 344
4.4. Wyboczenie ystorsyjne W praktyce inżynierskiej eformacje związane z wyboczeniem ystorsyjnym elementów profilowanych na zimno uwzglęnia się zgonie z zaleceniami normy europejskiej [12]. Jak już wcześniej wspomniano stosuje się tu koncepcję przekroju efektywnego z uwzglęnieniem sztywności usztywnień brzegowych lub pośrenich. Sztywność translacyjna usztywnienia K wyznaczana jest na postawie ugięcia tego usztywnienia δ wywołanego jenostkowym obciążeniem u ziałającego w śroku ciężkości współpracującej części przekroju. Na rysunku. 4.6 4.7 przestawiono moele usztywnień brzegowych i pośrenich w ukłazie rzeczywistym i uproszczonym. W ogólnym przypaku sztywność translacyjna usztywnienia może być wyznaczona ze wzoru u K = δ. (4.18) Usztywnienie w uproszczonym moelu obliczeniowym traktuje się jako ściskany osiowo pręt na położu sprężystym o sztywności K, a naprężenia krytyczne ystorsyjnej postaci wyboczenia przy istnieniu usztywnień brzegowych lub pośrenich la uproszczonego moelu obliczeniowego oblicza się z następującej zależności: 2 KEIs σ cr, s =, (4.19) A s gzie I s jest efektywnym momentem bezwłaności efektywnego przekroju usztywnienia A s wzglęem osi śrokowej a a przekroju efektywnego. W moelu uproszczonym przekrój efektywny usztywnienia skłaa się z efektywnych części usztywnienia i ścianki usztywnianej (rys. 4.6b i 4.7b). a) b) Rysunek 4.6. Moelowanie warunków brzegowych usztywnienia brzegowego: a) ukła rzeczywisty, b) ukła zastępczy:[12] a) b) Rysunek 4.7. Moelowanie warunków brzegowych usztywnienia pośreniego: a) ukła rzeczywisty, b) ukła zastępczy [12] 345
Do ustalenia końcowych cech geometrycznych przekroju współpracującego służy współczynnik χ, który można wyznaczyć w następujący sposób: χ =1,0 gy λ 0,65, (4.20) χ = 1.47 0.723 λ gy 0, 65 < λ 1,38, (4.21) 0,66 χ = λ gy λ 1,38, (4.22) gzie: λ jest smukłością wzglęną określaną la naprężeń krytycznych usztywnienia brzegowego σ cr, s zgonie z równaniem: λ = f σ yb cr, s, (4.23) gzie f yb jest granicą plastyczności materiału wyjściowego. Obliczenia współczynnika χ można uściślić iteracyjnie zwiększając w ten sposób okłaność reukcji wartości naprężenia ściskającego i reukcji grubości wszystkich elementów usztywnienia brzegowego. Alternatywnie naprężania krytyczne la wyboczenia ystorsyjnego można obliczyć na postawie równań zaproponowanych przez Laua i Hancocka [7]: E σ ( ) ( ) 2 cr = α + α α + α 4α 2A 1 2 1 2 3, (4.24) f gzie: A f jest polem powierzchni przekroju półki z usztywnieniem (rys. 4.6a), α 1, α 2, α 3 są to współczynniki zależne o charakterystyk geometrycznych przekroju lub zgonie z formułą przestawioną przez Schafera: k σ cr = k ϕ fe ϕ fg + k + k ϕwe ϕwg, (4.25) gzie: k ϕ fe, k ϕ we są to sprężyste sztywności półki i śronika, natomiast k ϕ fg, k ϕ wg są to geometryczne sztywności półki i śronika. Warto zwrócić uwagę, że analizy porównawcze przeprowazone przez Szymczaka i Werochowskiego w pracy [19] wykazały, że naprężenia krytyczne ystorsyjnej postaci wyboczenia la ceownika cztero-giętego obliczone weług wytycznych normowych uzyskują zawyżone wartości w stosunku o formuł zaproponowanych przez Hancocka i Schafera. Dlatego też, w niektórych przypakach zaleca się niezależne sprawzenie wartości naprężenia krytycznego stosując jeną z alternatywnych meto. 5. Uwagi końcowe i wnioski W niniejszym rozziale przestawiono wybrane zaganienia statyki i stateczności konstrukcji cienkościennych profilowanych na zimno ze szczególnym uwzglęnieniem ich wrażliwości na luzy i początkowe imperfekcje. Ponato, przestawiono wyniki własnych baań teoretycznych obejmujących liniową i nieliniową analizę konstrukcji cienkościennych. 346
Szczególną uwagę skoncentrowano na określeniu zakresu stosowania traycyjnych meto projektowania. Wykazano, że obciążenie krytyczne obliczane na gruncie klasycznej teorii Własowa la małych i śrenich smukłości prętów jest zawyżone ze wzglęu na występowanie lokalnych i ystorsyjnych form utraty stateczności. Ponato, zwrócono uwagę na możliwość wystąpienia wyboczenia interakcyjnego, które zwykle prowazi o niestatecznych ścieżek równowagi i zmniejszenia obciążenia krytycznego. Wyboczenie interakcyjne niemal zawsze wiąże się z użą wrażliwością konstrukcji na początkowe imperfekcje geometryczne tak globalne jak i lokalne. W związku z tym prawiłowa analiza konstrukcji cienkościennych powinna uwzglęniać globalne, lokalne i ystosyjne imperfekcje geometryczne oraz ich wzajemną interakcję. W pracy przestawiono aktualnie stosowane metoy uwzglęniania imperfekcji w moelu numerycznym MES i w normowych proceurach obliczeniowych. Posumowując zwrócono uwagę, że pomimo tego, że wytyczne norm europejskich zwierają barzo skomplikowane proceury oparte na najnowszych osiągnięciach baawczych, naal wiele kwestii związanych z nośnością konstrukcji cienkościennych nie jest w pełni rozwiązanych. Bibliografia [1] Biegus A., Nośność graniczna stalowych konstrukcji prętowych, PWN, Warszawa Wrocław, 1997. [2] Bróka J., Broniewicz M., Giżejowski M., Kształtowniki gięte, Poranik projektanta, Wy. 1, Polskie Wyawnictwo Techniczne, Rzeszów 2006. [3] Chen H., Blanfor G. E., A finite element formulation for thin-walle beams, Int. J. Numer. Meth. Engng, 1989, vol. 28, s. 2239 2255. [4] Giżejowski M., Bróka J., Niestateczność interakcyjna w stanach granicznych stalowych kształtowników giętych, Materiały Konferencji Naukowej, Zaganienia stanów granicznych, Politechnika Krakowska, Kraków 2004. [5] Goczek J., Supeł Ł., Obliczanie weług PN-EN 1993-1-3 charakterystyk przekroju współpracującego zetownika giętego, Inżynieria i Buownictwo, nr 8/2009. [6] Hancock G. J., Murray T. M., Ellifritt D. S.: Col-Forme Structures to the AISI Specification. Marcel Dekker, Inc., New York 2001. [7] Hancock G.J., Design for istortional buckling of flexural members, Thin-Walle Structures, Vol. 27, 1996. [8] Kármán Th., Sechler E. E., Donnel L. H., The Strenght of Thin Plates in Compression Transactions of American Society of Mechanical Engineers. Applie Mechanics. 1932. [9] Kołakowski Z., Kowal-Michalska K., Interactive buckling the axial extension moe of a thinwalle channel uner uniform compression in the first nonlinear approximation, International Journal of Solis an Structures, 2011, vol. 48, s. 119 125. [10] Kowal Z., Szychowski A., Experimental etermination of critical loas in thin-walle bars with Z-section subjecte to warping torsion Thin-walle structures, 75. 2014, s. 87-102. [11] PN-EN 1993-1-1:2006/NA2010/AC:2009/Ap:2010. Euroko 3. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły la buynków. [12] PN-EN 1993-1-3 :2008 Euroko 3. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-3: Reguły ogólne. Reguły uzupełniające la konstrukcji z kształtowników i blach profilowanych na zimno. [13] PN-EN 1993-1-5:2008 Euroko 3. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice. [14] Rutecki J., Wytrzymałość konstrukcji cienkościennych, Warszawa, PWN, 1957. [15] Rykaluk K., Zaganienia stateczności konstrukcji metalowych, Dolnośląskie Wyawnictwo Eukacyjne, 2012. [16] Rzeszut K., Garstecki A., Kąkol W., Local-sectional imperfections in couple instabilities problems of steel thin-walle col forme S members, Proceeings of Fourth International Conference on Couple Instabilities in Metal Structures, 2004, s. 21 30. 347
[17] Rzeszut K., Garstecki A., Moeling of initial geometrical imperfections in stability analysis of thin-walle structures, Journal of Theoretical an Applie Mechanics, 2009, vol. 47(3), s. 667 684. [18] Szychowski A., A theoretical analysis of the local buckling in thin-walle bars with open crosssection subjecte to warping torsion, Thin-walle structures, 76, 2014, s. 42 55. [19] Szymczak Cz., Werochowski W., Dystorsyjna postać niestateczności osiowo ściskanych kształtowników giętych z usztywnionymi stopkami, Inżynieria i Buownictwo, nr 2/2005. [20] Urbańska-Galewska E., Wpływ ochyłek wykonania na nośność i sztywność połączenia oczołowego, Konferencja naukowa Komitetu Inżynierii Ląowej i Wonej PAN i Komitetu Nauki PZITB 52, 2006, Gańsk-Krynica, Polska, 2006, s. 175 182. [21] Urbańska-Galewska E., Zur Toleranzklassifierung im Stahlbau (O klasyfikacji tolerancji w konstrukcjach stalowych), Stahlbau nr 7/2004, s 525 533. [22] Własow W. Z., Tonkostiennoje uprugije stierżni, Gosstrojizat, Moskwa 1940. 348