Rozdział 7 Kinematyka oddziaływań. Wnioski z transformacji Lorentza. Zmienna x Feynmana, pospieszność (rapidity) i pseudopospieszność

Rozdział 7 Kinematyka oddziaływań. Wnioski z transformacji Lorentza. Zmienna x Feynmana, pospieszność (rapidity) i pseudopospieszność (pseudorapidity). Rozpraszanie leptonów na hadronach. Zmienna x Bjorkena. Rozpraszanie głębokonieelastyczne (DIS). Jety

Elementy kinematyki relatywistycznej Transformacja Lorentza y β z y x v β = c E γ = M = p m z x x γ p= p* + βγ β p* + ε* ; ε = γ ε* + β p* γ + 1 dla β p βγ p p= p+ p + βγε = γp + βγε γ + 1 * * * * * L x x x x p p (β = 0) * T T T ( ) pęd podłużny pęd poprzeczny

P = Wektor energii-pędu (czteropęd) { E } c { }, p ; P = m c P = E, p ; P = m (c = 1) niezmienniki (invariants) P, p p, (p + p ), (p p ) 1 1 1 LAB θ p, m 1 1 { } { } 1 p = ε, p ; p = ε, p 1 1 p, m CM: { } p + p = 0; p + p = ε + ε, 0 ; E = ε + ε * * * * * * * * * 1 1 1 1 * * * * * 1 = 1 = 1 E = (ε + ε ) (p+ p) (p+ p) * 1 1 1 P = (p + p ) = M = E = (ε + ε ) (p + p ) = inv

* 1 1 1 1 E = ε + ε + ε ε p p p p cosθ = = ε ε + m + m p p cosθ 1 1 1 * = 1 + 1 + 1 1 E εε m m (ε m)(ε m) = ε ε + m + m + (ε m)(ε m) 1 1 1 1 θ = 0 θ= π Przykład 1. Wpływ energii Fermiego: wiązka protonów 100 GeV, tarcza w spoczynku, energia kinetyczna nukleonów w jądrze 0 MeV dla uproszczenia przyjmujemy m = m = 1 GeV 1 ε = 1,0; ε = 100; 0,04 9999 40; ε ε + m + m = 06 1 1 1 E = 06 ± 40 GeV (+ θ= π; θ = 0) *

to odpowiada energii w układzie CM 15,68 θ = π * E 14,35 θ = π/ 1,88 θ = 0 Porównanie ze zderzeniem z tarczą stacjonarną: ε = energia protonu, którego zderzenie z innym protonem ' w spoczynku daje E p = 0; ε = m = m = 1 1 1 1 * ' ' 1 1 E = ε + ε + ε ε p = (1+ ε ) ε = 1 dla θ = π; ε = 8 dla θ = 0 ' ' *

Funkcja falowa Hulthéna dla deuteronu dp p z p p y p x 4πp dp

Gaz Fermiego nukleonów w jądrze dn = V 4πp dp h 3 liczba komórek w objętości V i w zakresie od p do p + dp w każdej komórce mogą być po neutrony i po protony rozkład Fermiego rozkład obsadzeń rozkład energii

Gaz Fermiego nukleonów w jądrze (cd.) pf V 4πp dp N = 3 h 0 3N p = h F 8πV 1 3 p h 3N E F = = M 8M πv 3 V = πr = πr A 4 3 4 3 3 3 0 dla N = N = N A/ p n h 9 F 8Mr0 8π E = 3 33 MeV Średnia energia Fermiego = 3E F /5 0 MeV średni pęd Fermiego 00 MeV/c

Przykład. Wpływ masy tarczy. Nukleon o energii E = 100 GeV zderza się z grupą A nukleonów w spoczynku. Znajdziemy zależność energii dostępnej E a od A * 1 1 1 1 E = εε + m + m ; ε = m = A; ε = 100; m = 1 = + = + + + * Ea E (A 1) A 00A 1 (A 1)

hiperony Λ C-Cu, C-Zr C-Pb, O-Pb

Przykład 3. Obserwacja cząstki z układu CM innej cząstki. (np. wybieramy CM cząstki 1) { } { } p= 0; ε = m ; ε = E ; p = ε, 0 ; p = ε, p 1 1 1 1 1 1 pp = εε = m ε ; E = ε 1 1 1 1 pp m 1 1 ( pp 1 ) mm p 1 1 ( pp 1 ) mm 1 1 = 1 = 1 = = m1 E1 ( pp 1 ) p E m ; v = Przykład 4. Energia i pęd cząstki w ogólnym układzie CM. Wprowadzamy cząstkę o masie M i czteropędzie P = p 1 + p ε p 1 = P p M 1 ( ) * ( ) ; v 1 M ( P p ) P p M m P p M m * 1 1 1 1 1 = = 1

Pospieszność (rapidity) i pseudopospieszność (pseudorapidity) µ p T E p p L θ Φ µ tg φ = p p tg θ = p L T L µ = p T+ m masa poprzeczna m rapidity 1 E + p φ E p L y = ln = ln tg L

E = p + m = µ + p L µ E + p L= µ + p L+ p L= p L + 1 + 1 = p L 1 + tg φ + 1 p L 1 + tg φ + 1 E + pl 1+ cos φ 1 = = = E p L 1 + tg φ 1 1 cos φ tg ( φ ) ( ) pseudorapidity θ η = ln tg y (m << p T ) p 0 η > y T wygodna transformacja y 1 1+ β ylab y ln CM = CM + 1 βcm

mezony π

protony

Obliczenia Monte-Carlo exp[ (y /a) (p t /b)] a = log (s/4m p ) b = 160 MeV/c

Przedstawianie danych na wykresach p T Wykres Peyrou (wykres p p ) * L T 0-1 0 +1 p Wykresy y p T, η p T p * L x F x * pl = F * pl (max) * s= E = W E s (x F - zmienna Feynmana) Ogólnie: y lepsze do badania obszaru centralnego ( x F 0) x F lepsze do badania obszaru fragmentacji ( x F 1)

Wykres Peyrou i jego rzuty

Przykład rozkładów pl - pt

Średni wektor pędu dla oddziaływań różnej krotności

Przykład rozkładu y - pt

Rozkłady pseudorapidity przy wysokich energiach (wyniki UA5 Collaboration) plateau y ( η) ~log s

Obliczenia dla reakcji pp π+ cokolwiek przy 5,6 GeV/c obszary zakreskowane odpowiadają pionom z przypadków rozpadów p + π Założenie: p + p + (Γ = 10 MeV)

Przykład rozkładu przekroju czynnego w funkcji y

Wykres Dalitza dla reakcji K +p Λ+ π + + π [Przykład z pracy: J. B. Shafer et al, Phys. Rev. Lett. 10, 179 (1963)]

Rozpraszanie elastyczne elektronów na protonach e e p p elektron: m, E e, p proton: M, E, P P + p = P' + p' E P = M = E ' P' E e + E p = E e' + E p' Ee p = m = E e ' p' (jeżeli proton w spoczynku w LAB: P = 0, E = M) ν = E E ' e e q = E E ' p p' = E E ' P P' = ν q e e p p p p

E' P' = E E' + M p p' = M p e e ν + M + Mν q = M q νm = Wystarczy jedna zmienna e p q e p q < 0 foton przestrzeniopodobny (space-like photon) Stosujmy Q = q > 0 Q = E E ' + p p' = p m p' m + E E ' + e e e e + p+ p' pp'cosθ Q 4E E 'sin θ e e m zaniedbywalnie małe

{ } { } { } P = M,0, q = ν, q, p = E, p P q ν = M P q M ν ν y = = = P p M E E Q Q x = = P q M ν e e e zmienne skalowania Rozpraszanie głęboko nieleastyczne (deep inelastic scattering DIS) e + p e + anything e e hadrony p prawdopodobieństwo rozpraszania zależy od dwóch zmiennych: Q = - q oraz ν

Opis partonowy DIS Proton jako strumień partonów o czteropędach xp (0 x 1) e e γ xp P hadrony rozpraszanie nieelastyczne na protonie o czteropędzie P rozpraszanie elastyczne na partonie o czteropędzie xp czteropęd rozproszonego partonu p p + xp = q + xp masa tego partonu xm (oddziaływanie między partonami zaniedbujemy!) (q + xp) = x M ; q + xqp + x P = x M elektron oddziałuje z partonem, którego x = q /qp x = Bj Q Mν zmienna x Bjorkena Eksperymenty DIS pozwalają wyznaczać f(x)

Masa niezmiennicza układu hadronów * 1 E = W = Ph = M + Mν Q = M + Q 1 x Bj { } { } P = E, P = W, 0 h h h ( ) ( ) E' P' = E E' + M p p' = ν + M + Mν q p e e Rozpraszanie rzeczywistych fotonów γ p m = p = 0 γ γ

Q x = 0 ν x = 1,0 x = const W = M W = const Ebeam = ν obszar niedozwolony Q x 0 ν W = M + Mν Q = 1 x ( ) = M + Q 1 Bj

Obliczenia dla rozpraszania mp przy 00 GeV

Obliczenia dla oddziaływań NC i CC przy zderzaczu HERA

Porównanie zasięgu różnych eksperymentów (J. Engelen, P. Kooijman)

Anihilacja elektron-pozyton e + e - γ e +, µ +, τ + e, µ, τ albo e + e - γ q q hadrony E = E + E = E γ e e - + p = p + p + = 0 γ e e q = p = E > 0 γ ( ) foton czasopodobny (niesie tylko energię, nie ma pędu) UWAGA: W niektórych podręcznikach używana jest inna konwencja: p = m

Wzór Rutherforda dσ Ze 1 Z α ( c) Z α ( c) E = = = 4 ( θ ) 4 θ 4 dω 4πε mv 4E sin 0 0 sin qc E = energia pocisku α = e 4πε 0 c p q = psinθ p θ/ q brak odrzutu tarczy punktowej bez uwzględniania spinu

transformata Fouriera rozkładu ładunku ρ(x) ładunek tarczy punktowy, bez odrzutu, pocisk i tarcza bez spinu ( σ ) α ( ) = d Z c E dω 4 qc Rutherford ładunek tarczy rozciągły ( dσ ) ( dσ ) = dω dω Rutherford F(q) iqx / 3 F(q) e ρ(x) d x = formfaktor

p p L = r p r W granicy β 1 zachowana jest skrętność; dla tarczy bezspinowej mamy tłumienie rozpraszania dla kątów rozpraszania θ bliskich 180 0 uwzględnienie tego efektu daje we wzorze Rutherforda czynnik (1 β sin θ/)) Jeżeli następuje odrzut tarczy, to energia pocisku zmienia się z E na E ; uwzględnienie odrzutu tarczy dodaje do wzoru Rutherforda dodatkowy czynnik E 1 = E' E θ 1+ sin M

( ) ( ) Uwzględnienie obu efektów we wzorze Motta dσ dσ θ 1 = 1 β sin = dω dω E θ Mott Rutherford 1+ sin M Z α ( c) E θ 1 = 4 1 β sin qc E θ 1+ sin M efekt spinu pocisku efekt odrzutu tarczy dla tarczy rozciągłej ( dσ ) ( dσ ) = dω dω Mott F( q)

rozkład ładunku ρ(r) formfaktor F(q) rozkład wykładniczy (a 3 /8π) exp ( ar) rozkład dipolowy (1 + q /a ) - rozkład gaussowski (a /π) 3/ exp ( a r /) rozkład gaussowski exp ( q /a ) kula jednorodna 3/4πR 3 r < R 0 r > R rozkład oscylujący 3θ 3 (sin θ θ cos θ) θ = qr/

Przykład danych doświadczalnych Rozpraszanie elektronów o energii 187 MeV na jądrach 1 C J. H. Fregeau, R. Hofstadter Phys. Rev. 99, 1503 (1955)

Proton jest obdarzony nie tylko ładunkiem elektrycznym ale także anomalnym momentem magnetycznym (różnym od momentu Diraca) Rozpraszanie na takim protonie powinno być opisane wzorem Rosenblutha (1950), w którym występują dwa różne formfaktory F 1 i F dσ dσ q θ = F 1 + ( F 1 + µf) tg + µ F dω dω Mott 4M Stwierdzono, że wygodniej jest posługiwać się formfaktorami elektrycznym G E i magnetycznym G M które są kombinacjami liniowymi formfaktorów F 1 i F normalizacja dla protonu: G Ep (0) = 1, G Mp (0) =,79 podobnie dla neutronu: G En (0) = 0, G Mn (0) = 1,91 (w magnetonach jądrowych µ = e /M )

Przykładowe wyniki badania struktury protonu E. E. Chambers, R. Hofstadter, Phys. Rev. 103, 1454 (1956) dσ dσ q θ = F 1 + ( F 1 + µf) tg + µ F dω dω Mott 4M

dσ dσ G E + τ GM θ = + τ G M tg dω dω Mott 1 + τ τ = Q 4M wyraz opisujący oddziaływanie magnetyczne jest istotny przy dużych kątach rozpraszania θ oraz dużych wartościach Q dσ dσ ( ) ( ) θ R = = A Q + B Q tg dω dω Mott wykonując pomiary R przy różnych kątach można wyznaczyć oba formfaktory

Przykładowe wyniki badania struktury protonu

Przykładowe wyniki badania struktury protonu E. B. Hughes et al., Phys. Rev. 139, B458 (1965)

T. Janssens et al., Phys. Rev. 14, 9 (1966) Przykładowe wyniki badania struktury protonu G G G = = = p n p M M E µ p µ n ( ) = G q = 1 ( 1 + q /0,7) n GE = 0

rozpraszanie elastyczne na jądrze A jako całości x A = Q /M A ν rozpraszanie na pojedynczych nukleonach ν = Q /M; x A = M/M A 1/A rozpraszanie na składnikach nukleonów deep inelastic scattering -DIS

Zestawienie rzeczywistych wyników pomiarów rozpraszania elektron-proton w SLAC S. Stein et al., Phys. Rev D1, 1884 (1975)

Przy rozpraszaniu nieelastycznym leptonów na nukleonach (z produkcją hadronów) mamy dwie zmienne niezależne (np. Q i ν, albo E oraz θ). Zamiast wzoru Rosenblutha z formfaktorami F 1 i F mamy teraz wzór z dwiema funkcjami struktury zależnymi od dwóch parametrów d σ dσ = W(Q,ν) + W 1(Q,ν) tg (θ/) dω de' dω Mott zamiast funkcji W 1, W używa się też często funkcji struktury F 1, F F 1 (x, Q ) = Mc W 1 (Q, ν) F (x, Q ) = ν W (Q, ν)

Zdumiewający wynik doświadczeń: w obszarze DIS funkcje struktury bardzo słabo zależą od Q przy ustalonej wartości W. Zależność tylko od x Bj = Q /Mν (zmienna skalowania Bjorkena) d σ dσ = W(Q,ν) + W 1(Q,ν) tg (θ/) dω de' dω Mott zamiast funkcji W 1, W używa się też często funkcji struktury F 1, F F 1 (x, Q ) = Mc W 1 (Q, ν) F (x, Q ) = ν W (Q, ν)

Pierwsze zdumiewające wyniki doświadczeń w SLAC M. Breidenbach et al., Phys. Rev. Lett. 3, 935 (1969)

przykład skalowania Bjorkena (1970)

przykład skalowania Bjorkena (1970) ω = Mν/q

Porównanie przekroju czynnego Diraca rozpraszania na cząstce punktowej o spinie ½ i przekroju na rozpraszanie nieelastyczne = cos + sin 4 Dirac d σ 4πα Z E' θ q θ dq q E m = 4 F (x) cos + xf 1(x) sin inelastic d σ 4πα Z E' θ q θ 1 dq dx q E M x x m M x xf 1 (x) = F (x) tzw. związek Callana-Grossa dobrze spełniony doświadczalnie dla partonów o spinie 0: xf 1 /F = 0

{ 4[ ] 1 } 9 9 ep F (x) = x u(x) + u(x) + d(x) + d(x) + s(x) + s(x) z niezmienniczości izospinowej wynika, że u, u w protonie odpowiadają d, d w neutronie i vice versa; stąd mamy { 4 1[ ]} 9 9 en F (x) = x d(x) + d(x) + u(x) + u(x) + s(x) + s(x) Dla tarczy nukleonowej (równa liczba p i n) powinniśmy mieć { 5 1 [ ]} 18 9 en F (x) = x u(x) + u(x) + d(x) + d(x) + s(x) + s(x) ep en { [ ]} F (x) F (x) = x u(x) d(x) same kwarki walencyjne 1 3

związek między funkcjami struktury protonu i neutronu bardzo dobrze spełniony przez dane { } en 5 1 F (x) = x 18 u(x) + u(x) + d(x) + d(x) + 9 s(x) + s(x)

oczekiwana postać F (Halzen & Martin)

q 10 GeV

1 0 1 0 1 0 [ ] u(x) u(x) dx = d(x) d(x) dx = 1 [ ] s(x) s(x) dx = 0 1 1 x u(x) dx = x d(x) dx 0 0 1 1 x d(x) dx = F (x) dx 0,18 0 0 z liczby kwarków walencyjnych w protonie dwa razy więcej kwarków u niż kwarków d 1 0 x u(x) dx 0,36 Wniosek: około połowy pędu nukleonu jest niesione przez gluony

PDG 008

e e xp xp xp (1 x)p Układ Breita: energia przenoszona przez wirtualny foton wynosi zero; w tym układzie x mierzy ułamek pędu protonu niesionego przez parton = = q Q Q wyznacza zdolność rozdzielczą sondowania nukleonu 0, fm 1 GeV -1

Poszukiwanie jetów przy niskich energiach zderzeń Oś główna (principal axis) thrust Poszukiwanie kierunku maksimum Σp Li T = max T(n); T(n) = p Li p i i i inne propozycje: poszukiwanie kierunku minimum Σp ti (sphericity)

Jety widoczne dobrze dopiero przy wysokich energiach

Jety w ISR: E cm = s = 63 GeV

3 jety 4 jety