DYNAMICAL STABILITY PROBLEM OF A SPHERICAL SHELL UNDER CIRCUMFERENTIAL UNIFORMLY DISTRIBUTED SURFACE LOAD

Podobne dokumenty
KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Moc mieszadła cyrkulacyjnego W warniku cukrowniczym * Streszczenie:

STEROWANIE UK ADEM DYNAMICZNYM OBRÓBKI CZ CI OSIOWOSYMETRYCZNYCH O MA EJ SZTYWNO CI

Funkcja liniowa poziom podstawowy

Statyczna próba skrcania

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

DOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA

ANALIZA RUCHU POJAZDU GSIENICOWEGO

MAJ Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: pobrano z Miejsce na naklejk z kodem KOD. liczby. punktów. pióra z czarnym tuszem

Zasilanie urzdze elektronicznych laboratorium IV rok Elektronika Morska

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

SZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWI ZA ZADA W ARKUSZU II

Knovel Math: Jakość produktu

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Badania doświadczalne wielkości pola powierzchni kontaktu opony z nawierzchnią w funkcji ciśnienia i obciążenia

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

METODA ROZWIĄZYWANIA ORTOTROPOWEGO WARSTWOWEGO PASMA PŁYTOWEGO

DRGANIA WIELOPRZĘSŁOWYCH CIĄGŁYCH BELEK PRYZMATYCZNYCH WYWOŁANE SIŁĄ RUCHOMĄ

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

ZMIANY W KRZYWIZNACH KRGOSŁUPA MCZYZN I KOBIET W POZYCJI SIEDZCEJ W ZALENOCI OD TYPU POSTAWY CIAŁA WSTP

Metoda Rónic Skoczonych

Dynamika Uk adów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja uk adów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda.

NONLINEAR BOUNDARY CONDITION FOR ELECTROMAGNETIC FIELD PROBLEMS NIELINIOWE ELEKTROMAGNETYCZNE ZAGADNIENIE I SFORMUŁOWANIE JEGO WARUNKÓW BRZEGOWYCH

Prdnica prdu zmiennego.

Równania kinetyczne prostych reakcji.

Optymalne rozmieszczanie wiskotycznych tłumików drga cz 2

BADAWCZE WYZNACZENIE ELEMENTÓW MACIERZY SZTYWNO CI MANIPULATORA SZEREGOWEGO

PROJEKTOWANIE UKÓW KOSZOWYCH DOSTOSOWANE DO POMIARÓW SATELITARNYCH

Dr inż. Janusz Dębiński

Poprawa efektywnoci metody wstecznej propagacji bdu. Jacek Bartman

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Analityczne wyznaczanie charakterystyk mocy cz ciowych za pomoc wzorów Leidemanna

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Konspekt lekcji matematyki klasa 4e Liceum Ogólnokształcce

RESONANCE OF TORSIONAL VIBRATION OF SHAFTS COUPLED BY MECHANISMS

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y

EFEKT BRZEGOWY W WARSTWOWEJ PRZEGRODZIE

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

Podstawowe obiekty AutoCAD-a

Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli.

Metody Informatyczne w Budownictwie Metoda Elementów Skoczonych ZADANIE NR 1

Podr czniki. Fizyka 1

PODATNOŚĆ DYNAMICZNA OBUSTRONNIE PODPARTEJ BELKI Z TŁUMIENIEM W RUCHU UNOSZENIA

ANALIZA OBCI E I STABILNO CI OBUDÓW GÓRNICZYCH

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia egzaminu.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y f x. Wska rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y f x 1. A. B. Zadanie 3.

Zadania pomiarowe w pracach badawczo-rozwojowych. Do innych funkcji smarów nale$#:

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU

VIII. ZBIÓR PRZYK ADOWYCH ZADA MATURALNYCH

Zastosowanie programu Microsoft Excel do analizy wyników nauczania

Koncepcja sterowania układem napdowym z przekładni CVT

SPIS OZNACZE 1. STATYKA

Bazy danych Podstawy teoretyczne

SPIS OZNACZE 1. STATYKA

Rodzaj obliczeń. Data Nazwa klienta Ref. Napędy z pasami klinowymi normalnoprofilowymi i wąskoprofilowymi 4/16/ :53:55 PM

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

8. PRDY I NAPICIA PRZY ZWARCIACH NIESYMETRYCZNYCH

Rys.1 Schemat blokowy uk adu miliwatomierza.

Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa.

METHODOLOGY OF SELECTION OF VIBRATION ISOLATORS OPTIMUM CHARACTERISTICS FOR FASTENING ADDITIONAL EQUIPMENT IN VEHICLES

ANALIZA BELKI DREWNIANEJ W POŻARZE

INFLUENCE OF ELASTIC SUPPORT ON THE EIGENVALUES OF STEPPED COLUMNS

Twierdzenia ekstremalne teorii plastycznoci

Termodynamika poziom rozszerzony

Rezonans szeregowy (E 4)

Optymalizacja konstrukcji wymiennika ciepła

Outline of a method for fatigue life determination for selected aircraft s elements

WAYS TO CORRECTIONS EXPENSIVE ECONOMICS WORK OF ENGINE OF HEAVY LOADED TRUCK

PÓŁAKTYWNA REGULACJA DRGA RAM PŁASKICH PODDANYCH DZIAŁANIU WIATRU

Projekt okablowania strukturalnego dla I semestru Akademii CISCO we WSIZ Copernicus we Wrocławiu

Przemieszczenia przekroju poprzecznego korzenia marchwi pod działaniem siły promieniowej

Instrukcja obsługi programu MechKonstruktor

DEFORMACJA CIEPLNA RDZENI ODLEWNICZYCH Z POWŁOKAMI OCHRONNYMI

Analiza stanu napre i przemieszcze w warunkach angioplasyki wiecowej

Amortyzacja rodków trwałych

WYZNACZANIE FUNKCJI SZTYWNOŚCI ZAZĘBIENIA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH IDENTIFICATION OF MESHING STIFFNESS FUNCTION BY MEANS OF FINITE ELEMENT METHOD

WYKORZYSTANIE SYSTEMU Mathematica DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA

DWUTEOWA BELKA STALOWA W POŻARZE - ANALIZA PRZESTRZENNA PROGRAMAMI FDS ORAZ ANSYS

Algorytm doboru parametrów geometrycznych sprzgła typu Alsthom do układu napdowego lokomotywy

ROZWARSTWIENIE STROPU W WYNIKU EKSPLOATACJI SYSTEMEM KOMOROWO-FILAROWYM Z UGI CIEM STROPU Z O A RUD MIEDZI W LGOM**

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2017/2018

Duże siły osiowe w belkach na dwuparamrtrowym podłożu o zmiennych współczynnikach

VI. SZCZEGÓ OWY OPIS STANDARDÓW WYMAGA EGZAMINACYJNYCH

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

Politechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

ZADANIE PROJEKTOWE NR 3 Fundamentowanie. Mur oporowy

12 Obliczanie rozkładu pola temperatury MRS OPIS WYKONYWANIA ZADA

6.2. Baza i wymiar. V nazywamy baz-

NUMERYCZNE ASPEKTY ANALIZY STATECZNOŚCI STATYCZNEJ I DYNAMICZNEJ PŁYT GRADIENTOWYCH

Europejska karta jakości staży i praktyk

ZALEŻNOŚĆ WSPÓŁCZYNNIKA DYFUZJI WODY W KOSTKACH MARCHWI OD TEMPERATURY POWIETRZA SUSZĄCEGO

ANALIZA NAPRĘŻEŃ W KOŁACH ZĘBATYCH WYZNACZONYCH METODĄ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH

W Y B R A N E P R O B L E M Y I N Y N I E R S K I E PROJEKT SIŁOMIERZA Z ZASTOSOWANIEM TENSOMETRII OPOROWEJ

DO PARAMETRÓW GEOTECHNICZNYCH WED UG EUROKODU 7 W OBLICZENIACH STATECZNO CI METOD ELEMENTÓW SKO CZONYCH

Transkrypt:

Journal of KONES Powertrain and Transport, Vol.4, No. 007 DYNAMICAL STABILITY POBLEM OF A SPHEICAL SHELL UNDE CICUMFEENTIAL UNIFOMLY DISTIBUTED SUFACE LOAD Stefan Joniak Institute of Applied Mechanics of Technical University of Pozna ul. Piotrowo, 60-965 Pozna, Poland tel. +48 6 665-7, fax: +48 6 665-07 e-mail: stefan.joniak@put.poznan.pl Abstract A thin-walled spherical shell, simply supported at one edge and closed by rigid diaphragm at the second edge, is subjected to acting of uniformly distributed surface load along parallel direction. The loading value increases linearly with time. The problem of dynamic stability of the shell is investigated. The set of equations describing the problem consists of nonlinear dynamic equilibrium equation and of nonlinear strain inseparability equation. Both the equations are solved by Bubnov-Galerkin method, assuming previously forms of deflection function and force function which fulfils the boundary conditions. The result of inseparability equation solving is delimitation of unknown coefficient of the force function. The solution of the equilibrium equation leads to the differential equation of the shell motion. This equation defines the relation between dimensionless amplitude of the deflection function and the load parameter. Coefficients of the equation have very complicated and extended form. The equation is finaly solved by numerical unge-kutta method with previous calculation of the coefficient values and assuming the starting conditions of the problem. The results of the final solution are presented in the form of graphs: dimensionless amplitude vs. dimensionless time. They make the base to specify the critical load value taking into account required stability criterion. Keywords: dynamical stability, geometric nonlinearity, spherical shell, circumferential surface load.. DYNAMICZNE ZAGADNIENIE STATECZNOCI POWOKI KULISTEJ OBCIONEJ ÓWNOMIENIE OZOON SI POWIEZCHNIOW O KIEUNKU ÓWNOLENIKOWYM Streszczenie Cienkocienna powoka kulista jest podparta przegubowo na jednym brzegu, a na drugim zamknita przepon sztywn w swojej paszczynie. Powoka jest obciona równomiernie rozoon si powierzchniow o kierunku równolenikowym, przy czym obcienie to ronie liniowo w czasie. ozpatruje si zagadnienie statecznoci dynamicznej powoki. Ukad równa zagadnienia tworz nieliniowe równanie równowagi dynamicznej oraz nieliniowe równanie nierozdzielnoci. Oba równania rozwizuje si metod Bubnowa-Galerkina, przyjmujc uprzednio posta funkcji ugicia i funkcji si, speniajce warunki brzegowe. Efektem rozwizania równania nierozdzielnoci jest wyznaczenie nieznanego wspóczynnika tej funkcji. ozwizanie równania równowagi dynamicznej prowadzi do równania róniczkowego ruchu powoki, majcego posta zwizku midzy bezwymiarow amplitud funkcji ugicia a parametrem obcienia; wspóczynniki równania maj bardzo zoon i rozbudowan posta. ównanie to rozwizuje si metod unge-kutta, po uprzednim wyznaczeniu wartoci jego wspóczynników i przyjciu warunków pocztkowych zagadnienia. Wyniki rozwizania maj posta wykresów we wspórzdnych bezwymiarowa amplituda bezwymiarowy czas. Na ich podstawie okrela si - oparte o przyjte kryterium utraty statecznoci obcienie krytyczne. Sowa kluczowe: stateczno dynamiczna, nieliniowo geometryczna, powoka kulista, równolenikowa sia powierzchniowa

S. Joniak. Wstp Cienkocienna powoka kulista, która jest przedmiotem analizy, jest pokazana na rysunku. Górny jej brzeg jest podparty przegubowo, za dolny jest zamknity przepon sztywn w swojej paszczynie. ozpatrywane jest dynamiczne zagadnienie utraty statecznoci powoki obcionej równomiernie rozoon si powierzchniow o kierunku równolenikowym; sia ta jest liniow funkcj czasu. Do rozwizania problemu wykorzystano nieliniowe równania statecznoci, podane w monografii [], z których jedno (równanie równowagi) poszerzono o czon bezwadnociowy. Ukad tych równa rozwizywano metod Bubnowa- Galerkina, zakadajc najpierw postacie funkcji ugicia po utracie statecznoci i funkcji si, natomiast otrzymane ostatecznie równanie róniczkowe ruchu powoki metod unge-kutta. ozwizania równania ruchu uzyskiwano w postaci wykresów we wspórzdnych bezwymiarowa amplituda funkcji ugicia bezwymiarowy czas. h 0 ys.. Schemat powoki Fig.. Scheme of the shell. ównania zagadnienia statecznoci dynamicznej Ukad równa statecznoci ma nastpujc posta: E h k k, () h w k S T k 0 D w S T, () g t gdzie: - funkcja si, w funkcja ugicia po utracie statecznoci, ctg, sin - gówne krzywizny, k ii ii, - zmiany krzywizn i skrcenie powierzchni, E h D - sztywno zginania powoki, S - sia styczna stanu przedkrytycznego, 8

Dynamical Stability Problem of a Spherical Shell Under Circumferential Uniformly Distributed T i, S - siy stanu krytycznego, g - masa waciwa materiau powoki, t czas. Zmiany krzywizn i skrcenie powierzchni powoki kulistej s nastpujcymi funkcjami ugicia: w w w w w, ctg, ctg. () sin sin Siy stanu krytycznego zale w nastpujcy sposób od funkcji si: T ctg, T, S sin ctg. (4) sin Sia styczna stanu przedkrytycznego ma posta: 0,5 sin sin S so. (5) sin Zmiany krzywizn () i siy przekrojowe (4), (5) naley wprowadzi do równa () i (). Otrzymujemy wtedy ukad nieliniowych równa róniczkowych czstkowych ze wzgldu na w i.. ozwizanie równa statecznoci dynamicznej ównania statecznoci dynamicznej rozwizywano metod Bubnowa-Galerkina. Pocigao to za sob konieczno przyjcia postaci funkcji ugicia i funkcji si speniajcych w miar moliwoci wszystkie warunki brzegowe zagadnienia. Na brzegach powoki mamy nastpujce warunki brzegowe: w 0, M 0, S 0, T 0, (6) ; sin ; w 0, M 0, S so, T 0. (7) sin Przyjto funkcje si i ugicia o postaci: b ( sin m) sin, (8) w a t sin sin msin, (9) gdzie: b - staa, a t - amplituda funkcji ugicia zalena od czasu, m - liczba cakowita. Funkcja ugicia (9) spenia cile pierwsze z warunków (6) i (7), drugie natomiast w sensie cakowym. Funkcja si spenia trzecie warunki na obu brzegach z dokadnoci do staej. Oba warunki na si normaln T spenione s w sensie cakowym. ównanie nierozdzielnoci () rozwizywano metod Bubnowa-Galerkina. Funkcja podlegajca ortogonalizacji ma wtedy posta: F, E h k k, 9

natomiast warunek ortogonalizacji gdzie:, A S. Joniak, f, d A 0 F, (0) f - czynnik ortogonalizujcy, którym jest prawa strona równania (8) bez wspóczynnika b, A powierzchnia rodkowa powoki. Warunek ortogonalizacji przedstawia si ostatecznie nastpujco: 0, sin my F sin d d 0, () Wynikiem rozwinicia warunku () jest równanie algebraiczne, z którego wyznacza si wspóczynnik funkcji si. Przedstawia go wyraenie: gdzie: H - staa zawierajca i liczb m. ozwizanie równania () ma ostatecznie posta: t b E h H a, () t H sin m sin E h a. () Zastosowanie metody Bubnowa-Galerkina do równania równowagi dynamicznej () wymaga oznaczenia jego lewej strony jako funkcji podlegajcej ortogonalizacji i zapisania warunku ortogonalizacji. Funkcja podlegajca ortogonalizacji to: G, D w S T k S T k warunek ortogonalizacji ma posta: A, g, da 0 G, h w, g t przy czym g, jest czynnikiem ortogonalizujcym odpowiadajcym prawej stronie funkcji ugicia (9). Ostatecznie warunek ortogonalizacji przedstawia si nastpujco: 0 G, sin sin msin d d 0. (4) ozwizanie warunku ortogonalizacyjnego (4) prowadzi do nastpujcego równania róniczkowego ruchu powoki: d L L s L d a gdzie: - bezwymiarowa amplituda funkcji ugicia, h g E h t - bezwymiarowy czas, 4 so s E h - bezwymiarowy parametr obcienia powierzchniowego, 0, (5) 0

Dynamical Stability Problem of a Spherical Shell Under Circumferential Uniformly Distributed Li - stae zalene od kta, liczby m i liczby Poissona. Obcienie powoki, czyli równolenikowa sia powierzchniowa, zmienia si w czasie. Przyjto, e bezwymiarowy parametr obcienia powierzchniowego jest nastpujc funkcj czasu: s c, (6) gdzie: c - prdko obcienia. ównanie ruchu powoki mona rozwiza tylko w sposób przybliony. Wykorzystano do tego celu metod unge-kutta. Stosowano warunki pocztkowe: d 0 ; f o, 0. (7) d 4. Przykad liczbowy i wnioski Do rozwizania metod unge-kutta równania ruchu powoki (5) potrzebne s wartoci staych Li. Wartoci tych staych dla wybranych wartoci przy = 0, podano w tablicy. Naley zaznaczy, e równanie (7) nie ma rozwiza dla o wartociach 6, 0, 5 4, co wynika z przyjtej postaci funkcji ugicia i funkcji si. Celem rozwizania zagadnienia statecznoci jest wyznaczenie obcienia krytycznego. Przyjto nastpujce kryterium utraty statecznoci [] : powoka traci stateczno, gdy bezwymiarowa amplituda ugicia osiga warto odpowiadajc gruboci, czyli przy. Obcienie krytyczne jest wtedy okrelane nastpujco: skr c kr, (8) gdzie: - czas krytyczny. kr 6.00 c = 0,05; m = ; fo = -0,05 Bezwymiarowa amplituda 4.00.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 40.00 50.00 Bezwymiarowy czas ys.. Sposób wyznaczania kr Fig.. Geometric illustration of the critical time

S. Joniak Czas krytyczny wyznacza si z wykresów we wspórzdnych, uzyskiwanych z rozwiza równania (5) przy ustalonych wymiarach powoki, dla rónych wartoci liczby m. Jest to najkrótszy czas potrzebny do osignicia przez bezwymiarow amplitud ugicia wartoci równej. Warto liczby m wyznaczajca czas krytyczny to warto krytyczna tej liczby - m kr ; liczba ta okrela form utraty statecznoci. Sposób wyznaczania czasu krytycznego pokazano na rysunku. Tab.. Wspóczynniki równania ruchu Tab.. The coefficients of the equation of motion L L L m 5 5 5,774 7,756,0,70956 0,070904 0,044507 5,8475,7654 4,6460 5,49 0,090874 0,04 4,74,9 6,969 8,870 0,0976 0,097 4 8,7 47,86 9,49 0,88 0,0958 0,9 5 86,75 95,807,565,5478 0,09870 0,4 6 7,595 78,8,878 6,574 0,09445 0,4747 4.00.00 Bezwymiarowa amplituda.00.00 c = 0,0; m = ; fo = 0,05 0.00 0.00 40.00 80.00 0.00 60.00 Bezwymiarowy czas ys.. Przebieg zjawiska przy c = 0,0 Fig.. Dynamical path of motion (c = 0,0) Na rysunkach i 4 pokazano rozwizania równania (7) dla rónych prdkoci obcienia (rozwizania pokazane na rysunkach, i 4 sporzdzono dla i f o 0,05 ; wartoci liczby m podane na tych rysunkach to wartoci m kr ). Jak z rysunku wida proces utraty statecznoci przy prdkoci c 0,0 rozpoczyna si drganiami o wzrastajcej stopniowo amplitudzie. Gdy amplituda osignie potrzebn warto nastpuje jej gwatowny wzrost

Dynamical Stability Problem of a Spherical Shell Under Circumferential Uniformly Distributed i powoka traci stateczno zgodnie z przyjtym kryterium. Po okresie gwatownego wzrostu amplitudy powoka ponownie wpada w drgania; s to drgania nieliniowe. Podobnie zjawisko przebiega przy c 0,. Nieco odmiennie przedstawia si to przy prdkoci c, 0. uch jest tu na pocztku ruchem nieokresowym (rys. 4), potem nastpuje gwatowny wzrost ugicia powoki i utrata statecznoci, a nastpnie pojawiaj si nieliniowe drgania. 6.00.00 c =,0; m = ; fo = 0,05 Bezwymiarowa amplituda 8.00 4.00 0.00 0.00.00.00.00 4.00 5.00 Bezwymiarowy czas ys. 4. Przebieg zjawiska przy c =,0 Fig. 4. Dynamical path of the motion (c =,0) Aby oceni wpyw wymiarów powoki oraz prdkoci obcienia na warto obcienia krytycznego rozwizywano równanie (5) dla rónych wartoci tych wielkoci. Wyniki oblicze zamieszczono w tablic (liczby stojce w nawiasach przy wartociach momentów krytycznych to liczby m kr ) Tab.. Wartoci obcie krytycznych ( f o 0, 05 ) Tab.. Values of the critical load ( f 0, 05 ) o s kr c= 0,0 c = 0, C =,0,0 (),4 (),9 () 5, (),4 (),86 ()

S. Joniak Z porównania wartoci bezwymiarowego parametru obcienia krytycznego zamieszczonych w tablic wynikaj nastpujce wnioski: - warto obcienia krytycznego wzrasta wraz ze wzrostem prdkoci obcienia, - wzrost kta zwiksza odporno powoki na utrat statecznoci. Literatura [] Musztari, G., M., Galimow, K., Z., Nieliniejnaja tieoria uprugich oboloczek, Tatknigizdat, Kaza 957. [] Wolmir, A., S., Nieliniejnaja dinamika plastinok i oboloczek, Izd. Nauka, Moskwa 97. [] Joniak, S., Nonlinear stability problem of spherical shell loaded with torque, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 4,, pp. 57-544, Warsaw 00. [4] Joniak, S., Energetic method of solving the stability problem of a semi-spherical shell loaded with torque, Journal of theoretical and Applied Mechanics, 4,, pp 49-56, Warsaw 004. 4