Duże siły osiowe w belkach na dwuparamrtrowym podłożu o zmiennych współczynnikach

Transkrypt

1 ATAMAN Magdalena 1 SZCZEŚNIAKWacław 2 Duże siły osiowe w belkach na dwuparamrtrowym podłożu o zmiennych współczynnikach WSTĘP Zadania dotyczące belek na podłożach sprężystych o zmiennych współczynnikach sztywności, z dużą siłą osiową występują bardzo rzadko w literaturze przedmiotu. Ważność takiego zagadnienia jest pierwszoplanowa przede wszystkim w zadaniach mechaniki nawierzchni kolejowej. W pracy [1] analizowano belkę o swobodnych końcach obciążoną statycznie i spoczywającą na podłożu Winklera o liniowo zmiennym współczynniku podłoża, uzyskując rozwiązanie analityczne w postaci szeregów potęgowych. Inne prace [2-10] uogólniają rozwiązania zadania na inne podłoża, ale bez uwzględnienia dużych sił osiowych ściskających, pojawiających się w torach kolejowych przy przejazdach pociągów z dużymi prędkościami. Niniejsza praca dotyczy belek spoczywających na dwuparametrowym podłożu Pasternaka i poddanych działaniu dużych sił osiowych. Skomplikowane różniczkowe równanie równowagi analizowanego układu rozwiążemy numerycznie. 1 BELKA Z DUŻĄ SIŁĄ OSIOWĄ NA DWUPARAMETROWYM PODŁOŻU PASTERNAKA O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH Rozpatrujemy sprężystą belkę Bernoulliego-Eulera o swobodnych końcach i o stałym prostokątnym przekroju poprzecznym, spoczywającą na podłożu Pasternaka opisanym dwoma parametrami. Podłoże jest jednokierunkowe i dwustronne. Na belkę działa duża ściskająca siła osiowa, jak na rysunku 1. Podstawowe równania statyki belki obciążonej w środku siłą skupioną, w takim przypadku, zapisujemy w następujący sposób: (1) W równaniu równowagi oznacza ugięcie belki, jest sztywnością na zginanie, oznaczają szerokość i wysokość belki, natomiast oznaczają odpowiednio moment zginający i siłę poprzeczną w belce. Równanie (1) 2 rozwiązujemy przy następujących czterech statycznych warunkach brzegowych na początku i na końcu belki. (2) 1 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Lądowej, Warszawa, Armii Ludowej 16 Tel.: , m.ataman@il.pw.edu.pl 2 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Lądowej, Warszawa, Armii Ludowej 16 Tel.: , w.szczesniak@il.pw.edu.pl 1523

2 Warunki brzegowe (2) oznaczają zerowanie się momentu zginającego i siły poprzecznej na początku oraz na końcu belki. Rys. 1.Schemat statyczny belki o swobodnych końcach z dużą siłą osiową na dwuparametrowym podłożu Pasternaka Równanie (1) 2 rozwiązujemy przy warunkach brzegowych (2) wprowadzając różne wielkości siły osiowej od zera do siły krytycznej w belce nieskończenie długiej, równej.parametry geometryczne i mechaniczne belki oraz podłoża przyjmujemy na podstawie pracy Dineva [2]. W przykładzie przyjęto następujące dane:. Rys.2.Wpływ dużej siły osiowej na ugięcia belki na podłożu Rys. 3. Wykresy momentów zginających w belce na podłożu przy dużych siłach osiowych 1524

3 Rys. 4. Wykresy sił poprzecznych w belce na podłożu przy dużej sile osiowej Rys. 5. Wykresy kątów obrotów przekrojów belki na podłożu przy dużej sile osiowej 2 BELKA Z DUŻĄ SIŁĄ OSIOWĄ NA DWUPARAMETROWYM PODŁOŻU PASTERNAKA O ZMIENNTCH WSPÓŁCZYNNIKACH W niniejszym rozdziale analizujemy również sprężystą belkę Bernoulliego-Eulera o swobodnych końcach i o stałym, prostokątnym przekroju poprzecznym, spoczywającą na podłożu Pasternaka opisanym dwoma parametrami. Podłoże jest jednokierunkowe i dwustronne. Na belkę działa duża ściskająca siła osiowa, jak w rozdziale 1 i jak na rysunku 1. Współczynniki podłoża tym razem są zmienne. W literaturze przedmiotu [1-10] autorzy przyjmują różne rodzaje zmienności współczynnika podłoża, przede wszystkim modelu Winklera, od liniowej do krzywoliniowej zmienności. Poniżej podamy kilka propozycji opisu tego modelu podłoża zaczerpniętego z literatury: (3) Do dalszych rozważań przyjmujemy dwa współczynniki podłoża opisane następującymi wzorami: Równanie równowagi belki (2) w takim przypadku ma postać:. (4) Równanie (5) rozwiązujemy numerycznie przy tych samych parametrach mechanicznych i geometrycznych oraz przy tych samych warunkach brzegowych. Wyniki rozwiązania pokazano na rysunkach 6 i 7. (5) 1525

4 Rys. 6. Wykresy ugięcia belki z dużą siła osiową spoczywającej na podłożu o zmiennych współczynnikach: Rys. 7.Wykresy ugięcia belki z dużą siła osiową spoczywającej na podłożu o zmiennych WNIOSKI współczynnikach: Referat dotyczy belki sprężystej Bernoulliego-Eulera spoczywającej na dwuparametrowym, jednokierunkowym podłożu Pasternaka. Na belkę działa statyczna siła skupiona lub równomiernie rozłożone obciążenie ciągłe. Dodatkowo belka jest obciążona dużą ściskającą siłą osiową. Równanie równowagi rozwiązano bezpośrednio korzystając z pakietu Wolframa MATHEMATICA, przy wyprowadzonych statycznych warunkach brzegowych belki o swobodnych końcach. Przeanalizowano dwa typy podłoża o stałych i zmiennych parametrach. W przypadku podłoża o zmiennych parametrach równania równowagi belki rozwiązano numerycznie stosując procedurę NDSolve. Opracowanie może być wykorzystane przez projektantów torów kolejowych i ław fundamentowych. Streszczenie W pracy przeanalizowano sprężystą belkę Bernoulliego-Eulera o swobodnych końcach spoczywającą na dwuparametrowym, jednokierunkowym podłożu Pasternaka. Na belkę działa w środku rozpiętości siła skupiona lub równomiernie rozłożone obciążenie ciągłe. Dodatkowo belka jest obciążona dużą ściskającą siłą osiową. Belkę przeanalizowano przy różnych wartościach siły osiowej. W pierwszej części pracy rozważano podłoże o stałych współczynnikach, natomiast w drugiej części rozwiązano zadanie przy współczynnikach zmieniających się na długości belki. Równania równowagi belki rozwiązano bezpośrednio i numerycznie. Wyniki rozwiązania przedstawiono na rysunkach. W opracowaniu zamieszczono wykaz literatury dotyczącej podłoży i belek na podłożach jedno i wieloparametrowych o stałych i zmiennych współczynnikach. Wyniki opracowania mogą być wykorzystane przez projektantów fundamentów i ław fundamentowych oraz projektantów nawierzchni drogowych i kolejowych. 1526

5 Large axial forcesin the beams resting on the two-parameter foundation with variable coefficients Abstract In the paper the elastic Bernoulli-Euler beam of free ends resting on two-parameter, unidirectional Pasternak foundation is analyzed. Two cases of loading are considered: concentrated force applied to the middle point of the beam and uniformly distributed load. In addition, the beam is subject to large compressive axial force. The beam was analyzed at various values of axial force. In the first part of the paper foundation with constant coefficients was considered, while the second part of the paper is devoted to the foundation with coefficients changing along the beam. The equations of the beam equilibrium were solved directly and numerically. Results of solution are shown in the figures. The article presents a numerous items of literature concerning elastic foundations and beams resting on one or multi-parameter foundations with constant or variable coefficients. BIBLIOGRAFIA 1. Szcześniak W., Nagórski T., Sitek M.,Analiza statyczna belki na sprężystym podłożu Winklera o zmiennym liniowo współczynniku sztywności. Theoretical Foundations of Civil Engineering XIII, Warszawa 2005, pp Dinev D.,Analytical Solution of Beam on Elastic Foundation by Singularity Functions. Engineering MECHANICS, Vol. 19,2012, No.6, pp Malijev A.S., Bałki na uprugomosnowanii s pieremiennym po ich dliniekoefficientom posieli. Trudy Leningradskogo Instytuta Inżynierow Promyszlennogo Stroitielstwa. Wypusk 6, 1938, GONTU, str Jemielita G., Szcześniak W.,Sposoby modelowania podłoża. Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej, Budownictwo, z.120, Warszawa 1993, str Iancu-BogdanTeodoru, VasileMuşat,Beam Elements on Linear Variable Two-Parameter Elastic Foundation. BuletinulInstitutuluiPolitehnic Din Iaşi, TomulLiv (Lviii), Fasc. 2, 2008, SecţiaConstrucţii. Arhitectură. 6. Oni S. T., Awodola T. O., Dynamic (2005): Dynamic response to moving concentrated masses of uniform Rayleighbeams resting on variable Winkler elastic foundation. Journal of the Nigerian Association of Mathematical-Physics. Vol. 9. pp Awodola T. O., Flexural motions under moving concentrated masses of elastically supported rectangular plates resting on variablewinkler elastic foundation.latin American Journal of Solids and Structures.Vol. 11, No 9 (2014). 8. Ojih P.B., IbiejugbaM.A., Adejo B.O., Dynamic response under moving concentrated loads of non-uniform Rayleigh beam resting on Pasternak foundation. Pelagia Research LibraryAdvances in Applied Science Research, 2013, 4(4): AlevKacar, H. Tugba Tan, Metin O. Kaya,Free vibration analysis of beams on variable Winkler elastic foundation by using the differential transform method.mathematical and Computational Applications, Vol. 16, No. 3, pp , Soldatos K.P., Selvadurai A.P.S., Flexure of beams resting on hyperbolic elastic foundations. International Journal of Solids Structures 21 (1985), Zhou D., A general solution to vibrations of beams on variable Winkler elastic foundation. Computers & Structures 47 (1993), Ma X., Butterworth J.W., Clifton G.C., Static analysis of an infinite beam resting on a tensionless Pasternak foundation. European Journal of Mechanics A/Solids 28 (2009), Oni S.T., Awodola, T.O. (2010):Dynamic response under a moving load of an elastically supported non-prismatic Bernoulli-Euler beam on variable elastic foundation. Latin American Journal of Solids and Structures. 7, pp

6 14. Oni S.T., Awodola, T.O.,(2011): Dynamic behaviour under moving concentrated masses of simply supported rectangular plates resting on variable Winkler elastic foundation. Latin American Journal of Solidsand Structures (LAJSS), vol. 8, pp Oni S.T., Awodola T.O., Dynamic response under a moving load of an elastically supported nonprismatic Bernoulli-Euler beam on variable elastic foundation. Latin American Journal of Solids and Structures, 7:3-20, Avramidis I.E., Morfidis K., Bending of beams on three-parameter elastic foundation. International Journal of Solids and Structures 43, 2006, pp Barkan D.D., Dynamics of bases and foundations. McGraw-Hill Book Company, Inc Chonan S.,The elastically supported Timoshenko beam to an axial force and moving load. Int. J. mech. Scien. 1975, Vol. 17, pp Dutta S.C., Roy R.,A critical review on idealization and modelling for interaction among soilfoundation-structure system. Computers and Structures 80 (2002), pp El-Mously M., Fundamental frequencies of Timoshenko beams mounted on Pasternak foundations. Journal of Sound and Vibration 228(2), 1999, pp GirijaVallabhan C.V., Das Y.C., Parametric study of beams on elastic foundations. Journal of Engineering Mechanics, Vol. 114, No.12, 1988, pp Hetényi M., Beams on elastic foundations. University of Michigan Press, Ann Arbor Kerr A.D.: Viscoelastic Winkler foundation with shear interactions. Proceedings ASCE, Vol. 87, No EM3, 1961, pp Radeş M., Steady-state response of a finite beam on a Pasternak-type foundation. Int. J. Solids Structures, Vol. 6, 1970 pp Szcześniak W., Analiza statyczna, dynamiczna i stateczność nawierzchni drogowej i kolejowej. Prace Naukowe Politechniki Radomskiej. Transport nr 2(11), Radom 2000, str Wang T.M., Gagnnon L.W., Vibration of continuous Timoshenko beam on Winkler-Pasternak foundation. Journal of Sound and Vibration, 58, 1978 pp Coşkun İ., The response of a finite beam on a tensionless Pasternak foundation subjected to a harmonic load. European Journal of Mechanics A/Solids 22, 2003, pp Radeş M., Dynamic analysis of a Pasternak-type inertial foundation. Rev. Roum. Sci. Techn. Méc. Appl., Tome 16, No 5, 1971, pp Saito H., Terasawa T., Steady-state vibrations of a beam on the Pasternak foundation for moving loads. Journal of Applied Mechanics, Vol. 47, 1980, pp Пастернак П.Л., Основыновогометодарасчетажестких и гибкихфундаментовнаупругомосновании. Труды МИСИ, выпуск 14, Москва, 1954, стр Пастернак П.Л., Основыновогометодарасчетафундаментовнаупругомоснованииприпомощидвухкоэфициент овпотели. ГИЛСА, Москва,