NONLINEAR BOUNDARY CONDITION FOR ELECTROMAGNETIC FIELD PROBLEMS NIELINIOWE ELEKTROMAGNETYCZNE ZAGADNIENIE I SFORMUŁOWANIE JEGO WARUNKÓW BRZEGOWYCH

Transkrypt

1 ELEKTRYKA 2009 Zeszyt 2 (210) Rok LV Marcin SOWA, Dariusz SPAŁEK Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach NONLINEAR BOUNDARY CONDITION FOR ELECTROMAGNETIC FIELD PROBLEMS Summary. A brief introduction to modifying the well-known boundary conditions in electromagnetic field problems is given in the paper. It helps to reduce costs of the numerical analysis of an electromagnetic field. This modification forms the fourth boundary condition which is introduced on the basis of Maxwell s equations and includes the previous works. This work presents the start point and aim for further analysis. The further work concerns one additional series term added to the conductive nonlinearity. Keywords: electromagnetic field analysis, nonlinear conductivity NIELINIOWE ELEKTROMAGNETYCZNE ZAGADNIENIE I SFORMUŁOWANIE JEGO WARUNKÓW BRZEGOWYCH Streszczenie. W niniejszym artykule przedstawiono wpływ nieliniowej konduktywności jako właściwości umożliwiającej sformułowanie nieliniowego warunku brzegowego dla pól elektromagnetycznych. Odwołano się także do poprzednich prac, w których nieliniowość w polu elektromagnetycznym była omawiana. W niniejszym artykule zwracamy szczególną uwagę na przebieg czasowy wektorowego potencjału magnetycznego przy zastosowaniu nieliniowej konduktywności. Słowa kluczowe: analiza pola elektromagnetycznego, nieliniowa konduktywność 1. INTRODUCTION The classical electromagnetic theory [1] defines three linear boundary conditions. The third condition covers the first two and is of the form: f 1 o f w (1) n (1=0 Dirichlet boundary condition, 0=0 Neumann boundary condition, 1 0 and 1 0 Hankel boundary condition). Temperature field problems also introduce these boundary

2 52 M. Sowa, D. Spałek conditions [6] plus an additional fourth nonlinear [5] which is brought by the differential equation of the radiation law: T 4 4 n σ( T T f ). (2) n The electromagnetic field has phenomena which lead to a nonlinear boundary problem [4]. This nonlinear boundary condition is then defined [2] by the formula: 3 f f 0 f w. (3) n n On the basis of Maxwell equations we define a boundary value problem for an axially symmetric problem of the electromagnetic field. 2. PHYSICAL INTERPRETATION A problem with various layers is introduced in which one is of a nonlinear conductivity. This nonlinearity is given by the formula of an even function of electric field strength: 2 4 ( E) E 4E... 2nE. (4) This relation can be used for approximating nonlinear conductor conductivity. It is also valid for some semiconductors. For the problem discussed, one layer of such conductivity will be brought under consideration, while the rest of the analyzed region will be linear. For simplicity only the first term of conductive nonlinearity (4) is added in this article. The problem is presented in Fig.1. It is in a cylindrical coordinate system. 2n Fig. 1. The energetic cable cross-section Rys. 1. Przekrój poprzeczny kabla energetycznego Assuming axial symmetry for the problem and a forced current along the core, the electric field strength has only the component along the z axis: E 1 z Ez. (5) Thus the magnetic field strength has only the angular axis componen which in terms of magnetic vector potential gives:

3 Nonlinear boundary and the electric field strength: B rota 1 Az, (6) r A E 1 A z. (7) t With the above equations taken into account a differential equation of second order can be derived for the magnetic vector potential, which has only the component: A 1 A.(8) z The forced current in the core is assumed to have only the first time harmonic. Another simplification to this problem is that the electric displacement current is omitted, which gives the following form of the differential equation: 1 A ( r ) ( γ κa 2 ) A. (9) r r r The continuity of magnetic and electric field strengths formulate the linear boundary conditions on the edges of the core and insulation. z 3. FORMULATION OF NONLINEAR BOUNDARY CONDITION Applying the method of small parameter [3] we assume the vector magnetic potential as a series: 2 A( a( b( c(.... (10) In conjunction with the equation (9) a set of differential equations is obtained with each series term having their own differential equation dependent on the solution of the previous. For example the first two equations are: 1 a ( r ) γa 0, (11) r r r 1 b 3 ( r ) γb a. (12) r r r The analytical solution [2], which is time consuming to obtain even with only two series terms taken into accoun is of the form of odd harmonic functions. Each i-th consecutive term is a sum of odd harmonic functions from 1 up to 2i-1. The magnetic vector potential has the following form for the first time harmonic for the first two terms [2]: ( 3 1 A A Ca( C b (. (13) In this article we only take into account the first two terms of (10) this approximation s accuracy is further on checked.

4 54 M. Sowa, D. Spałek Through mathematical derivation the nonlinear boundary condition for this electromagnetic field problem is evaluated [2]: the magnetic vector potential for r = R is equal (13) and its derivative: da da( R) βc. (14) dr dr The term b which appears due to nonlinearity vanishes at the surface hence: db( R) 0. (15) dr Taking into account (13), (14) and (15), the nonlinear boundary condition at r = R is written as: 1 da κ da 3 A ( ), (16) βk dr k βdr 1 which for the nonlinearity parameter κ 0 gives the linear, third boundary condition: 3 1 da A. (17) βk dr 1 The boundary condition is only a reminder in this article. It is not utilized here because a forced current in the core already forces distributions of the electromagnetic field. The data is given as follows: the radii are Rc = 0,07 m; R = 0,10 m; Rg = 0,13 m; the conductivity in the layers: C = S S ; I = 0 ; S = 0,510 6 S ; the magnetic m m m permeabilities: I = C = 0; S = 200; the nonlinear conductivity parameter: = S m ; V the amplitude of the forced current in the core: I0 = 1,13 ka; the pulsation of the forced rad current: =250. s A numerical procedure evaluating the equation (9) has been applied in order to compare an accurate result (close to a possible full analytical result if all terms of (10) were to be taken into account) with the approximation (13). Higher harmonics are not compared because the second term contains only parts of the first and third harmonic. The current is forced in the core which causes this part and the insulation to be linear. Which is why the influence of the nonlinearity parameter is best visible at the edge of the nonlinear shield. As a function of time the periodic solutions are presented in Fig.2. The time t is with respect to the function of the forced current being The full result is assumed as a sum of odd harmonic functions: I( t) I0sin( ωt). (18) 1 ( A2 i1( i2 A ( A. (19)

5 Nonlinear boundary Fig. 2. First harmonic of the magnetic vector potential at the edge of the nonlinear shield Rys. 2. Pierwsza harmoniczna magnetycznego potencjału wektorowego na brzegu nieliniowego ekranu The first time harmonic at the edge of the screen has the form of the time function: A ( t) Bsin( ωt ). (20) The magnetic vector potential calculated using the first harmonic functions of the first and second term of the series (10) has the amplitude and phase shift with respect to (18) equal respectively -1,5495 mwb and -0,6966 rad. Using a numerical method and evaluating the (9) equation we obtain these parameters equal respectively -1,5269 mwb and -0,654 rad. The shift differs by 0,68% of the period and the amplitude is greater by 1,48% meaning that at least for the first time harmonic the analytical solution [2] is reliable when taking into account only the first two terms of (10). 4. INFLUENCE OF THE NONLINEARITY PARAMETER The nonlinear parameter adds the possibility of forming a nonlinear boundary condition in the form of (16). With application of a linear boundary condition for the discussed problem the values of electric and magnetic energy could not be properly calculated [2]. The nonlinearity parameter has a great effect on the generation of higher harmonics in the nonlinear shield. In this article we focus our attention on the first harmonic and it s changes due to the parameter. The current in the shield is calculated using the equation: I ( t) J( t) ds. (21) S With the relation (7) and knowing that the electric field strength (and thus the current density) have only the z axial component the first time harmonic of the current in the nonlinear shield can be calculated and compared with the case where the screen has a linear

6 56 M. Sowa, D. Spałek conductivity ( 0 ). Using the notation (20) with respect to the forced current (18) the amplitudes of the total shield current first harmonic are: B linear 408,8A, (22) B nonlinear 4629,9 A. (23) and the shifts: linear 1,2874 rad, (24) nonlinear 1,2281rad. (25) The phase shifts by only 0,94% of the period but the amplitude rises by 113,26% when the nonlinear parameter appears. 5. CONCLUSIONS The dependence of conductivity on the electric field strength causes the differential equation of magnetc vector potential to be of nonlinear form. This nonlinearity also allows to introduce a nonlinear boundary condition. However this is an academic approach the parameters of conductivity may depend on material properties and here they are just assumed values. Moreover, the nonlinearity parameter is positive, which means that the conductivity increases with electric field strength this is the reason for the rise in the first harmonic s amplitude of the total current flowing through the screen in the nonlinear case. The phase shifted only slightly with respect to the total current in the core. The analytical solution proposed is laborious to obtain but its approximation (first two terms of the (10) equation) allow for a satisfying result in comparison with the accurate one for the first time harmonic. This accurate result was obtained numerically and contained all time harmonics. In the future the generation of higher harmonics in the shield will be analyzed. Aside from the formulation of the nonlinear boundary condition another work will focus on discussing the influence of the boundary condition s parameters on the phenomena appearing inside the bounded region. This article serves as an introductory step and needs more work done in the above described directions. BIBLIOGRAPHY 1. Suffczyński M.: Electrodynamics. PWN, Warsaw Spałek D.: Fourth Boundary Condition For Electromagnetic Field. Journal of Technical Physics 41, Warsaw 2000.

7 Nonlinear boundary McLachlan N.W.: Równania różniczkowe zwyczajne nieliniowe w fizyce i naukach technicznych. PWN, Warsaw Sosnowski J.: The pinning phenomena in the high temperature superconductors. XX Seminar on Fundamental of Electrotechnics and Circuit Theory SPETO. Proc.Vol.II 1997, p Sucec J.: Heat transfer. Wm. C. Brown, Szargut J. (ed.), Białecki R., Fic A., Kurpisz K., Nowak A., Rudnicki Z., Skorek J.: Modelowanie numeryczne pól temperatury. WNT, Warsaw Wpłynęło do Redakcji dnia 5 sierpnia 2009 r. Recenzent: Prof. dr hab. inż. Henryk Rawa Omówienie W klasycznej teorii pól elektromagnetycznych zdefiniowane są trzy warunki brzegowe, w których pierwsze dwa zawarte są w trzecim [1]. W polach temperaturowych istnieją analogiczne warunki brzegowe [5, 6] oraz może być także zdefiniowany czwarty, nieliniowy warunek brzegowy. Nasz punkt widzenia jest taki, że dla pól elektromagnetycznych można także zdefiniować nieliniowy warunek brzegowy, szczególnie jeżeli istnieją zjawiska w polach elektromagnetycznych [4], które prowadzą do sformułowania nieliniowych relacji na granicy obszarów o parametrach nieliniowych. Wybierając parametr warunkujący nieliniowość, skupiamy się na konduktywności i modelujemy ją jako parzystą funkcję natężenia pola elektrycznego (zamiast stałej). W tym artykule rozważono przewodność jako funkcję opisaną wyrazem stałym i wartością zależną od drugiej potęgi natężenia pola elektrycznego. Do analizy wybieramy zagadnienie osiowo symetryczne. Otrzymujemy nieliniowe równanie różniczkowe drugiego stopnia, co otwiera drogę do rozwiązania. W obszarze liniowym stosujemy tradycyjne rozwiązania oparte na funkcjach Bessela. Dla warstwy nieliniowej używamy metody małego parametru do rozdzielenia wyrazów magnetycznego potencjału wektorowego. Otrzymujemy układ równań różniczkowych, które są po kolei rozwiązywane. Sumując składowe rozwiązania, możemy otrzymać satysfakcjonujące rozwiązanie. Otrzymywanie analitycznych składowych rozwiązań jest jednak żmudne, gdyż wymaga po kolei rozdzielenia funkcji w każdym równaniu na wszystkie zawarte w nim harmoniczne przez wykorzystanie tożsamości trygonometrycznych. W tym artykule jednak przedstawiamy tylko dwa pierwsze wyrazy dodane, które zawierają pierwszą i trzecią harmoniczną. Proponujemy nieliniowy warunek brzegowy sprowadzający się do warunku Hankela dla ośrodków liniowych po obu stronach brzegu. Z wykorzystaniem rozwiązań otrzymujemy

8 58 M. Sowa, D. Spałek wzór dla nieliniowego warunku brzegowego, który dla parametru nieliniowości w konduktywności równemu zero przyjmuje postać trzeciego warunku brzegowego. Porównujemy prąd płynący przez ekran energetycznego kabla w przypadku liniowej konduktywności ekranu elektromagnetycznego z przypadkiem, gdy konduktywność jest nieliniowa i zależna od natężenia pola elektrycznego. Możliwe jest zredukowanie numerycznej analizy [2], lecz jest wymagane zastosowanie nieliniowego warunku brzegowego. Dla nieliniowej konduktywności, korzystając z trzeciego warunku brzegowego, nie otrzymamy prawidłowego rozkładu wartości pola elektromagnetycznego, gdy redukcja ta zostanie zastosowana. Wyniki zostały otrzymane przy użyciu oprogramowania Matlab. Na przyszłość planowane są sprawdzenia wyników przez programy napisane samodzielnie w platformie C++. W planach jest także dodanie wyższych potęg w funkcji konduktywności oraz inne przykłady, w których nieliniowość zostanie zastosowana.