Zadanie Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne puntu trafienia (, Y ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie normalnym N ( 0, σ ). Punt (0,0) uznajemy za środe tarczy, zatem + Y jest odległością od środa. Oddano n niezależnych strzałów (, Y ),...,( n, Yn ). Oblicz wartość oczeiwaną odległości od środa najlepszego ze strzałów, czyli ( Y,..., n Yn ) E min + +. πσ n (B) πσ n πσ n σ n πσ n Wsazówa: Zmienna losowa min( + Y n + Y ) Można sorzystać z fatu, że ( / ),..., Γ 3 = π. n ma rozład wyładniczy.
Zadanie W urnie znajduje sie 0 ul Amarantowych, 0 ul Białych i 0 ul Czarnych. Losujemy bez zwracania ul. Niech A oznacza liczbę wylosowanych ul Amarantowych, B oznacza liczbę wylosowanych ul Białych, C oznacza liczbę wylosowanych ul Czarnych. Oblicz współczynni orelacji zmiennych losowych corr( A, B) A i B, (B) 30 30 30 Wsazówa: Var ( A + B + C) = 0.
Zadanie 3 Wyonujemy rzuty ostą do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby ocze otrzymane w olejnych rzutach tworzą ciąg ściśle rosnący. 6 (B) 6 6 6! 6! 6! 3
Zadanie Dysponujemy danymi o liczbie szód zgłoszonych przez lientów,,..., w ciągu n lat. Niech S i (n) oznacza sumaryczną liczbę szód dla lienta numer i w ciągu n lat. Wiemy, że S ( n),..., S ( n) są niezależnymi zmiennymi o rozładzie Poissona. Mamy też pewne przypuszczenia dotyczące intensywności pojawiania się szód, czyli wartości oczeiwanych tych zmiennych, ale nie jesteśmy ich pewni. Weryfiujemy hipotezę statystyczną H : dla ażdego i =,...,, zmienna losowa (n) ma rozład Poissona z 0 parametrem nλ i. Hipotetyczne intensywności λ,...,λ są danymi, ustalonymi liczbami dodatnimi. Używamy pewnej odmiany testu chi-wadrat: obliczamy statystyę χ = i= ( Si( n) nλ i) nλ i Jai jest rozład graniczny tej statystyi, jeśli H jest prawdziwa i n?. χ 0 S i rozład χ z stopniami swobody (B) rozład χ z stopniami swobody pewien rozład prawdopodobieństwa mający gęstość, nie należący do rodziny rozładów χ. zdegenerowany rozład prawdopodobieństwa, supiony w puncie 0 rozład χ z n stopniami swobody
Zadanie 5 Rozważamy model K obietów obserwowanych przez T oresów czasu, gdzie zarówno K ja i T są dużymi liczbami. Przyjmujemy następujące założenia: dla ażdego =,,..., K oraz t =,,..., T warunowy rozład zmiennej losowej t, przy danej wartości zmiennej µ jest rozładem normalnym o wartości oczeiwanej i wariancji (,σ ) µ ; dla ażdego =,,..., K rozład zmiennej losowej µ jest rozładem normalnym o wartości oczeiwanej i wariancji ( µ,a ). Przyjmijmy typowe oznaczenia dla średnich obietowych i średniej ogólnej: T T = t,, =,,..., K, oraz =. T t= K t= Międzyobietową i wewnątrzobietową sumę wadratów odchyleń oznaczmy: K T K SSB = ( ), SSW = ( t, ) = t= = Wiadomo, że zmienne losowe SSB i SSW są niezależne, σ { } ( ) E SSB = K a +, E { SSW} = K( T ) σ T Dobierz stałą const ta, aby wartość oczeiwana wyrażenia: SSW σ const wyniosła. SSB a T + σ (B) const = const = const = const = T const = T K TK K TK K TK 3 ( T ) ( T ) ( T ) K ( K + )( T ) K ( K + )( T ) Uwaga (dopisana po egzaminie): Wyni stanowi podstawę onstrucji nieobciążonego estymatora współczynnia credibility z, a doładniej jego dopełnienia ( z). Wyni ten prowadzi do wniosu, że na zwięszenie precyzji predycji µ na drodze uwzględnienia danych o pozostałych grupach (collateral data) możemy liczyć dopiero wtedy, gdy liczba grup K wyniesie co najmniej. 5
Zadanie 6 Załóżmy, że,..., jest próbą z rozładu normalnego (, N µ σ ) o nieznanej wartości oczeiwanej i nieznanej wariancji, zaś jest zmienną losową z tego samego rozładu, niezależną od próbi. Interpretujemy zmienną jao olejną obserwację, tóra pojawi się w przyszłości, ale obecnie jest nieznana. Zbuduj,,przedział ufności [ L U ] = [ L(,..., ), U (,..., )] 5, 5 oparty na próbce,..., tai, że { } 95 Pr L (,..., ) 5 U (,..., ) = 0., przy tym żądamy, żeby przedział był symetryczny, tzn. tutaj oznaczeń: = =, = ( ) = i i S i i 3 ( L + U ) =.. Używamy (B) L = 3. 558 S, U = + 3. 558 S L =. 59 S, U = +. 59 S L = 3. 8 S, U = + 3. 8 S L = 3. 0 S, U = + 3. 0 S L = 0. 558 S, U = + 0. 558 S 6
Zadanie 7 Niech,,..., 9 będzie próbą z rozładu normalnego N (µ,) o nieznanej wartości oczeiwanej i znanej wariancji σ =. Rozpatrzmy zadanie testowania hipotezy H0 : µ = 0 przeciwo alternatywie H : µ = 0. 5. Należy zbudować tai test, dla tórego suma prawdobodobieństw błędów I i II rodzaju, oznaczanych odpowiednio przez α i β jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość α + β. 0.000 (B) 0.66 0.336 0.0500 0.533 7
Zadanie 8 Wetor losowy (,Y ) ma łączny rozład prawdopodobieństwa dany następującą tabelą: Y = Y = = ( θ ) θ 3 = θ 3 ( θ ) gdzie θ (0,) jest nieznanym parametrem. Na podstawie 5-elementowej próbi z tego rozładu, (, Y ),...,( 5, Y5) obliczono estymator najwięszej wiarogodności θˆ. Oblicz wariancję estymatora, Var (θˆ ). (B) θ ( θ ) Var ( ˆ) θ = 5 Var ( ˆ) θ = 3 0 θ ( θ ) Var ( ˆ) θ = 0 θ ( θ ) Var ( ˆ) θ = 5 θ Var ( ˆ) θ = 5 8
Zadanie 9 Niech,..., n,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie wyładniczym o gęstości α x α e dla x > 0; f ( x) = 0 w przeciwnym przypadu. Niech N będzie zmienną losową niezależną od,..., n,..., o rozładzie Poissona z parametrem λ. Niech Y { }, min =,..., N 0 gdy gdy N = 0. N > 0; Oblicz E ( N Y = y) przy założeniu, że y > 0. + λ y e α (B) α y e λ y λe α λ y e α y αλe α 9
Zadanie 0 Rozważmy trzy zdarzenia losowe E, C, C w pewnej przestrzeni probabilistycznej. Niech E, C C oznaczają zdarzenia przeciwne. Wiemy, że Ω, Zdarzenia C,C są niezależne i Pr( C ) = Pr( C ) = p ; Pr( E C ) = Pr( E C ) = Pr( E C C) = r ; Pr( E C C ) =. Oblicz Pr( C E). p (B) p r p + p r + p 0
Egzamin dla Atuariuszy z 7 maja 003 r. Prawdopodobieństwo i Statystya Arusz odpowiedzi * Imię i nazwiso...k L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Puntacja C B 3 C B 5 A 6 A 7 E 8 D 9 A 0 A * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Aruszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.