Praca domowa nr 3. WPPT, kierunek IB. Grupa1. Praca i energia mechaniczna, tw. o pracy i energii, zasada zachowania energii mechanicznej. Równania ruchu (cd). 1. A) Z wysokości 11,5 m spadł pionowo lecący na głowę człowieka szklany, ostry kawałek rozbitej butelki o masie 0,3 kg i powierzchni ostrza 10-7 m 2. Ten kawałek szkła wbił się na głębokość 0,001 m w kość czaski. Jaka była średnia wartość siły uderzenia oraz ciśnienie wywierane na czaszkę ze strony spadającej rozbitej butelki? B) Mała kulka stacza się po zjeżdżalni zakończonej pętlą o promieniu R 1 m (rys. obok). Jaka powinna być wysokość H zjeżdżalni, aby kulka: (a) nie odpadła od pętli, gdy praca na rzecz siły tarcia wyniosłaby 15% początkowej wartości energii mechanicznej; (b) odpadła na wysokości h 1, 5R, gdyby praca na rzecz siły tarcia wyniosłaby 10% początkowej wartości energii mechanicznej? 2. A) Piłka spada z wysokości h na podłogę i odbija się od niej wielokrotnie. Jaką prędkość początkową należy nadać piłce, aby po 10 odbiciach wzniosła się na początkową wysokość h. Wiadomo, że podczas każdego odbicia piłka traci 5% swojej energii. B) Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono w dół pod kątem /6 do kierunku pionowego z prędkością V 0 = 8 m/s. Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła V k = 21V 0. Wyznacz h. Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. Jaka byłaby prędkość końcowa ciała rzuconego w opisany sposób z wys. h, gdyby straty energii mechanicznej związane z oporami powietrza wyniosły 10% początkowej energii mechanicznej? 1
3. A) Blok o masie m = 15 kg jest przesuwany po poziomej powierzchni pod działaniem stałej siły F = 70 N skierowanej pod kątem 20 do poziomu. Blok przesunięto o s = 5,0 m, a współczynnik tarcia kinetycznego µ k = 0,30. Obliczyć pracę: (a) siły F ; (b) składowej pionowej wypadkowej siły działającej na blok; (c) siły grawitacji; (d) siły tarcia. B) Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość początkową V 0 = 5m/s. Ciało uderzyło o ziemię z prędkością V k = 35 m/s. Z jakiej wysokości H zostało rzucone? Jaką prędkość V 1 miało to ciało w chwili, gdy przebyło drogę s 1 = H/6? Ile sekund trwał ruch ciała? Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. Jaka byłaby prędkość końcowa ciała rzuconego w opisany sposób z wys. H, gdyby straty energii mechanicznej związane z oporami powietrza wyniosły 7% początkowej energii mechanicznej? 4. A) Kula o masie m = 0,005 kg i prędkości v = 600 m/s zagłębiła się w drewnie na głębokość d = 4 cm. Korzystając z twierdzenia o pracy i energii wyznaczyć średnią wartość siły oporu działającej na kulę. Zakładając, że siła oporu jest stała, obliczyć czas hamowania kuli w drewnie. B) Sterowiec porusza się na wysokości H = 1,5 km w kierunku poziomym z prędkością u = 2 m/s. Ze sterowca wyrzucono kulkę metalową, nadając jej poziomą prędkość początkową v = 5m/s (względem sterowca) w chwili, gdy przelatywał on nad wierzchołkiem masztu stacji radiowej stojącego na płaskim terenie. Wyznaczyć wektor prędkości V 1 na wysokości H/3 oraz w momencie zderzenia z ziemią. Opory powietrza zaniedbać. Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. Jaka byłaby prędkość końcowa kulki rzuconej w opisany sposób z wys. H, gdyby straty energii mechanicznej związane z oporami powietrza wyniosły p% początkowej energii mechanicznej? 2
5. A) Dolna powierzchnia budowalnego młota kafara jest odległa o h = 5,3 m od górnej powierzchni stojącego nieruchomo pionowo i wbijanego w grunt betonowego słupa budowlanego. Środek masy spadającego pionowo w dół młota o masie m = 120 kg przemieścił się na odległość s = 5,42 m. Z jaką średnią siłą F działał młot na słup w trakcie wbijania słupa? Jaką wartość prędkości v miał środek masy kafara w chwili, gdy młot kafara uderzał w słup? B) Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono w górę pod kątem /6 do poziomo z prędkością V 0 = 5 m/s (jest to rzut ukośny z wysokości h). Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła V k = 17V 0. Wyznacz h, zaniedbując opory powietrza. Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi wzniosło się ciało? Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi wzniosłoby się to ciało rzucone w opisany sposób, gdyby straty energii mechanicznej związane z oporami powietrza wyniosły 5% początkowej energii mechanicznej? 6. A) Sanki o masie 10 kg ześlizgują się ze zbocza góry. Długość zbocza wynosi 20 m, kąt jego nachylenia względem płaskiego terenu wokół góry wynosi 30 stopni. Współczynnik tarcia na całej drodze sanek f = 0.01. Jaką odległość przebędą sanki na poziomym odcinku po zjechania do zbocza? B) Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo do góry z prędkością V 0 = 5 m/s. Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła V k = 5V 0. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi wzniosło się ciało? Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. Jaka byłaby prędkość końcowa ciała rzuconego w opisany sposób na wys. h, gdyby straty energii mechanicznej związane z oporami powietrza wyniosły 9% początkowej energii mechanicznej? 3
7. A) Ciało o masie 0,5 kg ślizga się po poziomym szorstkim torze kołowym o promieniu 2 m. Jego prędkość początkowa wynosiła 8 m/s, a po jednym pełnym obrocie spadła do wartości 6 m/s. Wyznaczyć pracę sił: a) tarcia, b) dośrodkowej. Obliczyć współczynnik tarcia. Po jakim czasie ciało to się zatrzyma? Ile wykona obrotów do zatrzymania się? B) Klocek został pchnięty w górę wzdłuż równi pochyłej z prędkością początkową v 0 = 9 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1 a kąt nachylenia równi wynosił /6. Jaką drogę S wzdłuż równi w ruchu w górę pokona klocek? Jaką prędkość będzie miał podczas zsuwania się w dół po przebyciu drogi S/2 i kiedy zsunie się z równi? Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z pojęcia energii mechanicznej. 8. A) Klocek został pchnięty w górę wzdłuż równi pochyłej o kącie nachylenia /6z prędkością początkową v 0 = 12 m/s. Jaką drogę S wzdłuż równi w ruchu w górę pokona klocek? Jaką prędkość będzie miał zsuwając się z równi po przebyciu drogi S/2 i kiedy zsunie się z równi? Rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. B) Rozwiąż to zadanie, dla współczynnika tarcia wynoszącego 0,2; rozwiąż to zadanie dwoma sposobami: korzystając z drugiej zasady dynamiki oraz z pojęcia energii mechanicznej. Zadania C. zaczerpnięto z rozdziału 6. podręcznika https://openstax.org/details/books/fizyka-dla-szkół-wyższych-polska. 4
Grupa 2. Zasada zachowania pędu Poniższy rysunek dotyczy zadań C) 1. A) Neutron zderza się czołowo, idealnie sprężyście ze spoczywającym atomem węgla 12 C 6. Jaka część początkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana 12 C 6? Jeśli początkowa energia kinetyczna neutronu wynosiła 1,60 10 23 J, to jakie energie kinetyczne uzyskały w wyniku zderzenia atom 12 C 6 i neutron? Przyjąć, że masa protonu jest równa masie neutronu, która wynosi 1,6ˑ10-27 kg. B) C) Proszę znaleźć środek masy układu 3 tarcz o grubości 0.04m każda i równych promieniach 0.06 m, jeśli S 1 wypełnia niob, S 2 tantal, a trzecią ren; patrz rys. zamieszczony na początku grupy 2. 5
2. A) Wagon o ciężarze 280 kn, poruszający się z prędkością 1,5 m/s, zderza się z innym wagonem o ciężarze 210 kn, poruszającym się po tym samym torze i w tym samym kierunku z prędkością 0,9 m/s. Jeśli zderzenie wagonów jest idealnie niesprężyste (wagony sczepiają się), to: a) ile wynosi ich prędkość po zderzeniu?; b) jaki jest ubytek energii kinetycznej w tym zderzeniu? B) C) Proszę znaleźć środek masy układu 3 tarcz o grubości 0.06m każda i równych promieniach 0.03 m, jeśli S 1 wypełnia technet, S 2 osm, a trzecią ruten; patrz rys. zamieszczony na początku grupy 2. 3. A) Granat lecący w pewnej chwili z prędkością v = 10 m/s rozerwał się na dwa odłamki. Większy odłamek, którego masa stanowiła w = 60% masy całego granatu, kontynuował lot w pierwotnym kierunku, lecz ze zwiększoną prędkością v 1= 25 m/s. Znaleźć kierunek i wartość prędkości mniejszego odłamka. B) C) Proszę znaleźć środek masy układu 3 tarcz o grubości 0.08m każda i równych promieniach 0.05 m, jeśli S 1 wypełnia skand, S 2 itr, a trzecią molibden; patrz rys. zamieszczony na początku grupy 2. 4. A) Na dwóch pionowych niciach o długościach L wiszą stykające się ze sobą dwie identyczne kulki o masach m. Środek masy jednej kulki podniesiona na wysokość d ponad położenie pierwotne i następnie swobodnie puszczono. W zderzeniu oba ciała sczepiły się. Obliczyć wysokość, na którą wzniesie się środek masy układu. B) C) Proszę znaleźć środek masy układu 3 tarcz o grubości 0.03m każda i równych promieniach 0.07 m, jeśli S 1 wypełnia nikiel, S 2 chrom a trzecią tytan; patrz rys. zamieszczony na początku grupy 2. 5. A) Na poziomo poruszający się z prędkością 10 m/s wózek o masie 5 kg spadła pionowo cegła o masie 3 kg. Ile wynosiła po tym prędkość wózka i cegły? B) Ołowiany pocisk o masie 0,1 kg lecąc poziomo uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie 50 kg i grzęźnie w nim. Po zderzeniu wózek odjeżdża z prędkością 1 m/s. Jaka była prędkość pocisku przed zderzeniem? B) C) Proszę znaleźć środek masy układu 3 tarcz o grubości 0.07m każda i równych promieniach 0.07 m, jeśli S 1 wypełnia aluminium, S 2 polon a trzecią wolfram; patrz rys. zamieszczony na początku grupy 2. 6
6. A) Stwierdzono, że dwa ciała o jednakowych masach i jednakowych wartościach prędkości początkowej poruszają się po ich całkowicie niesprężystym zderzeniu z prędkością o wartości równej połowie wartości ich prędkości przed zderzeniem. Wyznacz kąt między wektorami prędkości tych ciał przed zderzeniem oraz pokaż, ze środek masy przed i po zderzeniu porusza się z taką samą wartością. B) C) Proszę znaleźć środek masy układu 3 tarcz o grubości 0.01m każda i równych promieniach 0.03 m, jeśli S 1 wypełnia srebro, S 2 złoto a trzecią ołów; patrz rys. zamieszczony na początku grupy 2. 7. A) Stoisz na idealnie gładkim lodzie. Piłka o masie 0,4 kg, której pozioma prędkość w chwili uderzenia o Twoje ciało o masie 60 kg, wynosi 24 m/s. Jeśli złapiesz piłkę, to z jaką prędkością będziesz się poruszał i w jakim kierunku? Pokaż, że prędkość środka masy układu ma przed i po zderzeniu taką samą wartość. Jeśli piłka odbije się od Ciebie i następnie poruszać się będzie w kierunku przeciwnym z poziomą prędkością 8 m/s, to jaka będzie Twoja prędkość? B) C) Proszę znaleźć środek masy układu 3 tarcz o grubości 0.03m każda i równych promieniach 0.04 m, jeśli S 1 wypełnia złoto, a dwie pozostałe są miedziane; patrz rys. zamieszczony na początku grupy 2. 8. A) Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości stykają się a ich środki mas znajdują się na tej samej wysokości. Kula o masie M zostaje odchylona od pionu tak, że jej środek ciężkości wznosi się na wysokość h i zostaje puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wzniesie się ta kula po zderzeniu doskonale niesprężystym z drugą kulą o masie m. B) C) Proszę znaleźć środek masy układu 3 tarcz o grubości 0.02m każda i równych promieniach 0.05 m, jeśli S 1 wypełnia miedź, a dwie pozostałe są aluminiowe; patrz rys. zamieszczony na początku grupy 2.. Grupa 3. Dynamika bryły sztywnej i zasada zachowania momentu pędu 1. A) Na końcach nieważkiej nici, przerzuconej przez blok o promieniu R = 10 cm i momencie bezwładności względem środka masy I 0 = 0.005 kg m 2, zawieszono ciężarki o masach m 1 = 2 kg i m 2 = 3 kg. Lżejszy z nich znajduje się o d = 2 m niżej od cięższego. Po jakim czasie znajdą się one na tej samej wysokości, jeśli puścimy je swobodnie? Przyjmij przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s 2. Wszelkie opory ruchu pominąć, nić nie ślizga się po bloku. Zakładając, że blok ma kształt jednorodnego walca oblicz jego masę. B) Wyobraźmy sobie, że po wyczerpaniu paliwa jądrowego Słońce zacznie kurczyć się stając się kulistym białym karłem o średnicy kuli ziemskiej. Przyjmując niezmienność masy Słońca obliczyć jego okres obrotu wokół własnej osi. Obecnie okres obrotu Słońca to 25 dób. C) 7
2. A) Z jaką siłą należy przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła rozpędowego o momencie bezwładności I 0 i promieniu r, aby zatrzymać je po upływie czasu t, jeżeli wiruje ono z prędkością kątową 0? Współczynnik tarcia wynosi f. B) Dziewczynka o masie m 1, trzymając w ręce kamień o masie m 2 stoi na brzegu nieobracającej się karuzeli o promieniu R i momencie bezwładności I, która może obracać się bez tarcia. W pewnej chwili dziewczynka rzuca poziomo z prędkością v kamień pod kątem względem promienia karuzeli. Ile wynosi po rzuceniu kamienia energia kinetyczna i prędkość kątowa karuzeli z dziewczynką? C) 3. A) Jednorodny walec o masie 20 kg i promieniu 20 cm owinięto żyłką, do końca której przyłożono siłę F = 20N. Walec toczy się (rys. obok po lewej stronie) po poziomej płaszczyźnie bez poślizgu. Ile wynosi: a) przyspieszenie liniowe i kątowe walca względem jego środka masy; b) kierunek i wartość siły tarcia działającej na walec; c) energia kinetyczna ruchu obrotowego walca oraz jego całkowita energia kinetyczna po czasie 5 s (założyć, że początkowo walec spoczywał). B)Na środku stolika stoi człowiek i trzyma w wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu? Moment bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I. C) 4. A) Na jednorodnym krążku o masie M i promieniu R nawinięta jest nierozciągliwa linka, której jeden z końców umocowany jest u sufitu. Oblicz przyspieszenie kątowe i liniowe środka ciężkości krążka oraz naciąg linki, jeżeli w pewnej chwili krążek zaczął spadać swobodnie. B) Biała myszka o masie m siedzi na skraju jednorodnego krążka 8
o masie 10m, który może obracać się swobodnie wokół swojej osi, jak karuzela. Początkowo mysz i krążek obracają się łącznie z prędkością kątową. W pewnej chwili mysz zaczyna iść ku środkowi krążka i zatrzymuje się w połowie drogi. (a) Ile wynosi przy tym zmiana prędkości kątowej układu mysz krążek? (b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej układu po przemieszczeniu się myszy do początkowej energii kinetycznej tego układu? (c) Dzięki czemu zmieniła się energia kinetyczna układu? C) 5. A) Dwie masy: M i m są połączone prętem o długości L i znikomo małej masie. Pokazać, że moment bezwładności względem osi prostopadłej do pręta jest najmniejszy dla osi przechodzącej przez środek masy układu. B) Dziecko o masie m = 40 kg stoi na środku kołowej karuzeli o masie M = 80 kg i promieniu R = 2m obracającej się z prędkością kątową 3,4 rad/s. B) Dziecko rozpoczyna wędrówkę od środka karuzeli. Ile wynosi jej prędkość kątowa w chwili, gdy dziecko znajduje się na środku? Jak zmieni się energia kinetyczna układu, gdy dziecko przejdzie na brzeg karuzeli? C) 6. A) Dziewczynka o masie m 1 stoi na brzegu nieobracającej się karuzeli o promieniu R i momencie bezwładności I 0, która może obracać się bez tarcia. W pewnej chwili dziewczynka rzuca poziomo z prędkością v kamień o masie m 2 pod kątem /3 względem promienia karuzeli. Ile wynosi po wyrzuceniu kamienia prędkość kątowa karuzeli z dziewczynką? B) Układ mechaniczny tworzą trzy jednakowe, cienkie pręty, każdy o długości L i masach m połączone w kształt litery H (patrz rysunek obok). Wyznaczyć moment bezwładności tej bryły względem wskazanej na rysunku osi obrotu oraz przyspieszenie kątowe układu po przyłożeniu siły F tworzącej kąt /3 z płaszczyzną, w której leży układ mechaniczny. C) 9
7. A) Słońce porusza się z prędkością liniową 250 km/s wokół środka Drogi Mlecznej (DM), od którego dzieli je odległość 2,2 10 20 m. Jaka jest prędkość kątowa Słońca? Ile lat trwa obrót Słońca wokół środka DM? Ile takich obrotów wykonało Słońce, które istnieje około 4,5 mld lat? B) C) Płyta CD o masie m i promieniu r wiruje z prędkością kątową ω w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek. W pewnej chwili spada na płytę z góry kawałek gumy do żucia o masie M i przykleja się do płyty w odległości r/3 od jej brzegu. Ile wynosi prędkość CD bezpośrednio po przyklejeniu się gumy? 8. A) Szpulkę w kształcie walca o promieniu R puszczono, trzymając nieruchomo za koniec odwijającej się nici. Z jakim przyspieszeniem opada szpulka? Ws-ka: Należy napisać równania ruchu postępowego środka masy walca oraz ruchu obrotowego walca. B) Drewniana listwa o długości l = 0,4 m i masie m = 1 kg może się obracać dookoła osi prostopadłej do niej i przechodzącej przez jej środek. W koniec listwy trafia pocisk o masie m 1 = 0,01 kg, lecący z prędkością v 1 = 200 m/s w kierunku prostopadłym do osi i do listwy. Znaleźć prędkość kątową, z jaką listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk. C) Wrocław, 29 października 2018 W. Salejda 10
11