Opracowanie danych doświadczalnych część 1 Jan Kurzyk Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej wersja z 15.10.2010
Pomiar to zespół czynności, których celem jest uzyskanie miary danej wielkości fizycznej, czyli liczby określającej ile razy wartość mierzonej wielkości fizycznej mieści się w wartości wielkości tego samego typu przyjętej za wartość jednostkową (jednostkę miary) tej wielkości fizycznej. Nie istnieją pomiary dokładne KaŜdy pomiar obarczony jest niepewnością dlatego wynik pomiaru musi zawierać nie tylko liczbę określającą wartość zmierzonej wielkości, ale równieŝ niepewność tego pomiaru. 2
Wielkości fizyczne, które mierzymy są (zwykle) wielkościami mianowanymi, tzn. wielkościami, którym przypisano odpowiednie jednostki miar. Dlatego kompletny wynik pomiaru musi zawierać jednostkę miary, w której podano zarówno oszacowaną wartość zmierzoną oraz jej niepewność. Pomiar wyznacza przedział wartości, w jednostkach miary mierzonej wielkości, w którym z określonym prawdopodobieństwem (tzw. poziomem ufności) moŝemy spodziewać się usytuowania wartości wielkości mierzonej. 3
Przykładowy wynik pomiaru napięcia elektrycznego U = (230,0±0,1) [V] oznacza, Ŝe wartość zmierzonego napięcia mieści się w przedziale od 229,9 V do 230,1 V z prawdopodobieństwem zaleŝnym od sposobu określenia niepewności pomiaru. Zapis wartości prędkości światła w próŝni wzięty z tablic fizycznych c = 299 792,458 km/s oznacza, Ŝe z duŝym prawdopodobieństwem (bliskim jedności) prędkość światła nie róŝni się od podanej o więcej niŝ ±0,001 km/s. 4
Pomiar moŝe być wykonywany bezpośrednio lub pośrednio. Pomiarem bezpośrednim jest pomiar wielkości fizycznej za pomocą przyrządu pomiarowego wyskalowanego bezpośrednio w jednostkach mierzonej wielkości, np. pomiar napięcia elektrycznego woltomierzem, pomiar grubości blachy śrubą mikrometryczną itp. Wykonując pomiar pośredni danej wielkości fizycznej wykonujemy pomiary bezpośrednie innych wielkości fizycznych, takich które według znanej nam zaleŝności matematycznej wiąŝą się z wielkością fizyczną, którą chcemy zmierzyć. Przykłady pomiarów pośrednich: - mierząc długość i okres wahań wahadła prostego moŝemy wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego, - mierząc średnicę i wysokość walca moŝemy zmierzyć jego objętość itp. 5
Animacja pomiaru za pomocą suwmiarki (źródło: Wikipedia). 6
7
Śruba mikrometryczna wskazuje 18 + 0,5 + 0,03 = 18,53 mm 8
9
Źródła niepewności pomiarów niedoskonała definicja wielkości mierzonej niedoskonała realizacja definicji wielkości klasa dokładności przyrządów pomiarowych błędy odczytu wskazań przyrządów wynikające np. z niedoskonałości ludzkich zmysłów stosowanie przybliŝonych wzorów, przybliŝonych wartości stałych matematycznych i niepewności innych wielkości fizycznych mających wpływ na wynik pomiaru pośredniego niedoskonałość metody pomiarowej niepełna wiedza o wpływie otoczenia na pomiar 10
Charakter niepewności pomiarowych sprawia, Ŝe zarówno definicja jak i sposób obliczania niepewności pomiarowych nie jest jednoznacznie określony. Dlatego teŝ sposoby określania niepewności pomiarowych jak i sama terminologia zmieniają się. Rezultatem międzynarodowych, aktualnie zalecanych uzgodnień w tym zakresie jest dokument Guide to Expression of Uncertainty in Measurement opublikowany w 1995 roku przez Międzynarodową Organizację Normalizacyjną ISO (International Organization for Standardization) w porozumieniu z szeregiem światowych organizacji naukowo technicznych (zob. http://physics.nist.gov/uncertainty). Oficjalnym tłumaczeniem tego dokumentu na język polski jest dokument WyraŜenie Niepewności Pomiaru. Przewodnik. Warszawa, Główny Urząd Miar 1999 r. 11
Lista instytucji i organizacji, które brały udział w opracowaniu dokumentu Guide to Expression of Uncertainty in Measurement ISO International Organization for Standardization (Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna), BIMP Bureau International des Poids et Measures (Międzynarodowe Biuro Miar), IEC International Electrotechnical Commission (Międzynarodowa Komisja Elektrotechniczna), IFCC International Federation of Clinical Chemistry (Międzynarodowa Federacja Chemii Klinicznej), UIPAC International Union of Pure and Applied Chemistry (Międzynarodowa Unia Chemii Czystej i Stosowanej), UIPAP - International Union of Pure and Applied Physics (Międzynarodowa Unia Fizyki Czystej i Stosowanej), OMIL International Organization of Legal Metrology (Międzynarodowa Organizacja Metrologii Prawnej), NIST National Institute of Standards and Technology (Narodowy Instytut Standardów i Technologii) 12
Wszystkie osoby wykonujące profesjonalne pomiary powinny stosować nazewnictwo, symbolikę, sposoby wyliczania niepewności i zapisu wyników pomiarów zgodne z zaleceniami tego dokumentu. Dotyczy to nie tylko pomiarów wykonywanych przez fizyków, gdyŝ teoria niepewności pomiarowych dotyczy wszelkiego rodzaju pomiarów we wszystkich naukach doświadczalnych. 13
W dokumencie WyraŜenie Niepewności Pomiaru. Przewodnik niepewność pomiaru jest zdefiniowana następująco: Niepewność pomiaru jest związanym z rezultatem pomiaru parametrem, charakteryzującym rozrzut wyników, który moŝna w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej. Z definicji wynika, Ŝe nie ma jednoznacznej miary niepewności, czyli Ŝe moŝliwe są róŝne miary niepewności. Najczęściej posługujemy się niepewnością standardową, której miarą jest odchylenie standardowe (zdefiniujemy je później) oraz niepewnością maksymalną. Niepewność maksymalna wraz z wartością zmierzoną określa przedział, w którym z prawdopodobieństwem graniczącym z pewnością mieści się rzeczywista wartość mierzonej wielkości. Odchylenie standardowe określa ten przedział z 14 prawdopodobieństwem ok. 0,68.
Oprócz tych typów niepewności moŝna uŝywać niepewności charakteryzujących się innymi poziomami ufności. UWAGA: W dokumencie WyraŜenie Niepewności Pomiaru. Przewodnik wyróŝnia się dwa typy niepewności: niepewność standardową oraz niepewność rozszerzoną. Przy czym niepewność rozszerzoną wylicza się mnoŝąc niepewność standardową przez współczynnik rozszerzenia o wartości mieszczącym się w przedziale między 2 a 3. 15
x 0 x x 0 -S x x 0 +S x x - x 0 x + x Przykład rozrzutu pomiarów wielkości x wokół wartości rzeczywistej x 0 i dwie miary niepewności: standardowa u(x) i maksymalna x. 16
Niepewność podajemy w tych samych jednostkach, w których podajemy wartość zmierzoną. Tego typu niepewność nazywamy niepewnością bezwzględną. MoŜemy równieŝ podawać niepewność względną. Niepewność względną definiujemy jako stosunek niepewności bezwzględnej i wartości zmierzonej x u w = x Niepewność względną często podajemy w procentach. u w x = x 100 Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową. Dzięki temu moŝemy jej uŝywać do porównywania dokładności pomiarów róŝnych wielkości fizycznych. 17
Przykłady L.p. 1 2 3 4 Wynik pomiaru L = (8520 ± 21) mm d = (11,5 ± 0,6) µm t = (554,56 ± 0,07) s U = (230,1 ± 0,5) V niepewność względna procentowa 0,25% 5,2% 0,013% 0,22% 5 m = (0,00733 ± 0,00017) kg 2,3% Z powyŝszych pomiarów najdokładniejszy jest pomiar 3, a najmniej dokładny pomiar 2. Pomiary 1 i 4 wykonano z porównywalną dokładnością. Porównywalną dokładność mają równieŝ pomiary 2 i 5. 18
Przyglądając się podanym wyŝej wynikom pomiarów i ich niepewności względnej warto zwrócić uwagę na fakt, Ŝe czym dokładniejszy pomiar tym więcej tzw. cyfr znaczących zawiera wynik pomiaru. Cyfry znaczące - są to wszystkie cyfry danej liczby poza początkowymi zerami. Na przykład liczba 120,0 ma 4 cyfry znaczące, a liczba 0,00071 ma 2 cyfry znaczące. Wartość zmierzoną musimy podawać tak, aby dopiero ostatnia cyfra znacząca lub co najwyŝej dwie ostatnie cyfry znaczące były cyframi niepewnymi Wartości zmierzone w przykładach 1 i 4 z poprzedniej tabeli mają 4 cyfry znaczące i mają porównywalną niepewność względną. Wartości zmierzone w przykładach 2 i 5 mają 3 cyfry znaczące i porównywalna niepewność względną, która jest jednocześnie o rząd wielkości większa od niepewności względnej pomiarów 1 i 4. Wartość zmierzona w przykładzie 3 ma 5 cyfr znaczących i ten pomiar jest najdokładniejszy spośród pomiarów z powyŝszej tabeli. 19
Oprócz niepewności w procesie pomiarowym mogą występować błędy. Zasadniczą róŝnicą między błędami a niepewnościami jest fakt, Ŝe błędy, w przeciwieństwie do niepewności, moŝemy wyeliminować (niepewności występują zawsze). Błędy mogą wynikać np. z niesprawności przyrządu pomiarowego, złej metody pomiarowej lub pomyłki osoby mierzącej. Szczególnym rodzajem błędu, najprostszym do zauwaŝenia i usunięcia jest tzw. błąd gruby (pomyłka). Przykładem takiego błędu moŝe być odczyt z niewłaściwej skali przyrządu pomiarowego lub zły zapis wyniku pomiaru (np. wpisanie do arkusza liczby 89,5 zamiast 98,5). Teoria niepewności pomiarowych nie obejmuje problemów wynikających z błędów pomiarowych. Błędy pomiarowe naleŝy wyeliminować. Czasami nie jest to proste, gdyŝ pewnych błędów moŝemy być nieświadomi. 20
Wyniki pomiarów masy spoczynkowej elektronu w latach 1920-1975. (źródło: A.K.Wróblewski, J.A.Zakrzewski, Wstęp do fizyki, tom 1) 21
22 Wyniki pomiarów prędkości światła w latach 1920-1975. (źródło: A.K.Wróblewski, J.A.Zakrzewski, Wstęp do fizyki, tom 1)
Oprócz grupy błędów grubych błędy moŝemy podzielić na błędy systematyczne i przypadkowe. Błędy systematyczne w tych samych warunkach zawsze w ten sam sposób wpływają na wynik pomiaru. Źródłem takiego błędu moŝe być np. niewyzerowany przed pomiarem przyrząd pomiarowy, śpieszący lub spóźniający stoper, obserwator (np. odczytujący wskazania pod niewłaściwym, ale zawsze takim samym kątem paralaksa), zła metoda pomiarowa. Błędy przypadkowe mogą powstawać np. na skutek przypadkowo zmieniających się warunków pomiaru. 23
Niepewności pomiarowe, podobnie jak błędy, mogą mieć równieŝ charakter systematyczny i przypadkowy. Niepewności systematyczne moŝemy bardzo często ograniczyć do niepewności wynikających z własności przyrządu pomiarowego oraz zdolności obserwatora do oceny połoŝenia wskazówki między działkami skali. Na niepewność systematyczną pomiaru bezpośredniego składają się: 1. d x niepewność wynikająca ze skończonego odstępu pomiędzy działkami skali lub połoŝenia dziesiętnego ostatniej cyfry na wyświetlaczu przyrządu cyfrowego 2. k x niepewność wynikająca z niepewności wzorcowania (klasy) przyrządu podawanej przez producenta 3. 0 x niepewność odczytu połoŝenia wskazówki wynikająca z jej szerokości 4. e x niepewność pomiaru wynikająca z drgań wskazówki lub zmieniających się wartości na wyświetlaczu mierników cyfrowych 24
ad 1. W sytuacji, gdy moŝemy dokonać odczytu pośredniego pomiędzy dwiema najbliŝszymi działkami skali przyrządu niepewność wynikająca ze skończonego odstępu między działkami skali będzie zaleŝała od szerokości tego odstępu oraz zdolności obserwatora do określenia połoŝenia wskazówki w ułamkach działki. Umownie przyjmujemy, Ŝe kaŝdy obserwator moŝe tego dokonać z dokładnością do połowy odstępu między działkami skali. Czyli jeśli np. mierzymy długość L blachy za pomocą taśmy mierniczej, na której działki skali są w odległości 1 mm, przyjmujemy, Ŝe d L = 0,5 mm. 25
ad 1. c.d. W niektórych przypadkach odczytanie wartości pomiędzy działkami skali jest niemoŝliwe. Jest tak np. w przypadku stopera mechanicznego. Skala takiego stopera ma działki co 0,2s ale wskazówka nie porusza się płynnie lecz przeskakuje co 0,2s i dlatego d t = 0,2s, a nie 0,1s. Podobnie jest gdy uŝywamy mierników cyfrowych. ZałóŜmy, Ŝe ostatnia cyfra na wyświetlaczu cyfrowego woltomierza pokazuje setne części wolta, wówczas przyjmujemy, Ŝe d U = 0,01 V, a nie 0,005 V. 26
ad 2. Niepewność wynikająca z klasy przyrządu dotyczy m.in. mierników elektrycznych. Klasa przyrządu podawana jest zwykle w postaci liczby określającej niepewność w procentach. Pokazany powyŝej woltomierz ma klasę 0,5. Oznacza to, Ŝe niepewność pomiaru wynikająca z cechowania tego woltomierza wynosi 0,5%, czyli 0,5/100 wybranego zakresu pomiarowego (np. podczas pomiarów na zakresie 750V, k U = 0,5 750V/100 = 3,75V. Niepewność tego typu liczymy według wzoru k x = k Z 100 gdzie k klasa przyrządu (w procentach), Z zakres pomiarowy. 27
ad 3. Jeśli szerokość wskazówki jest znacząca w porównaniu z odstępem między działkami skali, to ocena połoŝenia wskazówki jest utrudniona co wprowadza dodatkową niepewność. Przyjmujemy, Ŝe wartość tej niepewności jest równa szerokości wskazówki wyraŝonej jednostkach skali przyrządu. Np. jeśli wskazówka ma szerokość równą połowie odstępu między działkami, który w jednostkach skali wynosi 5g, to 0 m = 2,5g. ad 4. Jeśli wskazówka wykonuje drgania (lub ostatnie cyfry na wyświetlaczu cyfrowego przyrządu zmieniają się), to niepewność odczytu wynikający z tego faktu szacujemy podając zakres tych zmian. 28
Maksymalna niepewność systematyczna jest sumą wymienionych wyŝej niepewności x s = d x + k x + x + x. 0 e Najczęściej jednak mamy do czynienia z pierwszym z tych przyczynków do niepewności systematycznej, pozostałe nie występują lub są znikomo małe w porównaniu z pierwszym. Niepewność systematyczną traktujemy jak niepewność o charakterze maksymalnym, czyli przypisujemy jej poziom ufności równy 1. 29
KaŜdy pomiar bezpośredni rozpoczynamy od wykonania krótkiej serii (trzech do pięciu) pomiarów. Dalsze postępowanie będzie zaleŝało od wyników tych pomiarów. W najprostszej sytuacji wszystkie wyniki serii próbnej będą identyczne. Będzie tak wówczas, gdy niepewności systematyczne będą dominowały nad niepewnościami przypadkowymi ze względu na małą dokładność uŝytego przyrządu pomiarowego (małą w porównaniu z niepewnościami przypadkowymi). 30
Przykłady próbnych serii pomiarów średnicy monety o nominale 2 zł wykonanych przyrządami o róŝnej dokładności 1. przy pomocy przymiaru kreskowego z podziałką milimetrową 21,5 mm; 21,5 mm; 21,5 mm 2. przy pomocy suwmiarki o dokładności 0,1 mm 21,5 mm; 21,5 mm; 21,5 mm 3. przy pomocy suwmiarki o dokładności 0,05 mm 21,50 mm; 21,50 mm; 21,50 mm 4. przy pomocy śruby mikrometrycznej o dokładności 0,01 mm 21,51 mm; 21,54 mm; 21,51 mm; 21,53 mm; 21,52 mm 31
W przypadkach 1, 2 i 3 o niepewności pomiaru decydują niepewności systematyczne związane z rodzajem zastosowanego przyrządu (jego dokładnością). Wyniki pomiarów 1, 2 i 3 są następujące: 1. D = (21,5 ± 0,5) mm 2. D = (21,5 ± 0,1) mm 3. D = (21,50 ± 0,05) mm W trzecim przypadku musimy na wynik pomiaru wpływają nie tylko niepewności systematyczne, ale równieŝ przypadkowe i ocena niepewności pomiaru wymaga stosowania innych metod, które poznamy w dalszej części wykładu. 32