Matematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej skomplikowanego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło zagadnień poruszanych podczas wykładu, więc nie musi być związane z zadaniami z ćwiczeń. W szczególności, zagadnienia nieporuszane na ćwiczeniach (np. kontrakty terminowe) mogą się pojawić w pytaniu teoretycznym. Żeby sprecyzować zakres wiedzy, którą Państwo powinni znać, poniżej przedstawiam listę 55 zagadnień, które mogą się pojawić jako takie pytanie lub jedno z tych pytań z namiarami na to, gdzie można znaleźć przynajmniej część odpowiedzi. Zastrzeżenie: zadanie na egzaminie nie musi brzmieć dokładnie tak jak jedno z zagadnień wypisanych poniżej - może być sumą dwóch pytań (np. łącząc pytanie 1 i 2 mogę zapytać: Co to jest lokata terminowa? Wyjaśnić na jej przykładzie co to jest nominalna stopa procentowa i czym się różni od stopy zwrotu? ), może być fragmentem danego pytania (np. mogę zapytać o wypowiedź twierdzenia o NPV inwestycji o pojedynczym nakładzie z pytania 20 bez pytania o jego dowód) lub jego lekkim przeformułowaniem (np. pytanie 47 może być zadane następująco: Wymienić trzy najprostsze modele wyceny akcji na podstawie zdyskontowanych dywidend i wyjaśnić, jakie są ich założenia ). Jednak mogę zagwarantować, że znajomość odpowiedzi na wszystkie poniższe pytania pozwoli bez problemu odpowiedzieć na każde pytanie teoretyczne, które pojawi się na egzaminie. Nie wymagam uczenia się definicji na pamięć, zwłaszcza, że zwykle i na prezentacjach są przedstawione nieformalnie! Jak najbardziej można na każde pytanie odpowiadać własnymi słowami, za pomocą przykładów itp., byle pokazać, że rozumie się jak najwięcej aspektów zagadnienia. Uwaga! Wzory nie są odpowiedziami na te pytania (chyba, że jest to wyraźnie w pytaniu napisane), choć do odpowiedzi mogą prowadzić - należy słownie opisać sens konkretnych pojęć, a za samo wypisanie wzorów, które z danym pojęciem się kojarzą, punktów nie będzie. 1. Lokaty 1. Co to jest lokata terminowa? Wyjaśnić na jej przykładzie pojęcia odsetek, oprocentowania, modelu oprocentowania, nominalnej stopy procentowej, stopy zwrotu i kapitalizacji, okresu stopy i okresu kapitalizacji. (prezentacja 1a, slajdy 4,6,7,10,11) 2. Co to jest nominalna stopa procentowa i czym się różni od stopy zwrotu? (prezentacja 1a, slajdy 7,10,15; prezentacja 1b slajd 12; prezentacja 3a slajd 16) 3. Czym się różni stopa względna od efektywnej? Kiedy stosujemy jedną, a kiedy drugą? (prezentacja 1a, slajd 9,14; prezentacja 1b, slajd 12,13,27, prezentacja 2a, slajd 12, prezentacja 2b, slajd 5; prezentacja 3a slajd 16 i wiele innych później) 4. Co to jest kapitalizacja? Czym się różnią od siebie założenia modelu kapitalizacji z góry i z dołu oraz modelu kapitalizacji prostego i złożonego? (prezentacja 1a, slajdy 11,13,16,17) 5. Przy tej samej zadanej stopie procentowej r i kapitalizacji zgodnej, czy kapitał szybciej przyrasta według modelu prostego, czy złożonego? Odpowiedź uzasadnić za pomocą odpowiednich obliczeń (prezentacja 1a, slajd 20, ewentualnie 21) 6. W jakich inwestycjach właściwym modelem jest kapitalizacja prosta, a w jakich złożona? (prezentacja 1a, slajd 22, 23, prezentacja 7 dla kapitalizacji prostej, wszystkie inne dla złożonej) 7. Jaka jest różnica między kapitalizacją dyskretną a ciągłą? W jakich rzeczywistych sytuacjach kapitalizacja ciągła jest naturalnym opisem inwestycji finansowej? Jak, znając wzory obowiązujące dla kapitalizacji dyskretnej wyprowadzić wzór na akumulację kapitału przy kapitalizacji ciągłej? (prezentacja 1a, slajd 39,40 prezentacja 10 ) 8. Co to znaczy, że warunki oprocentowania dwóch lokat są równoważne lub, że jedna lokata jest bardziej opłacalna dla inwestora od drugiej? Czy pojęcia te są zależne od czasu trwania tych lokat? Odpowiedź ująć w kontekście kapitalizacji prostej i złożonej. (prezentacja 1b, slajdy 9-11,21,22,28-30) 9. W jaki sposób zyski z lokat mogą być opodatkowane? Jaka jest stopa zwrotu po opodatkowaniu z lokaty jeśli stopa zwrotu przed opodatkowaniem wynosi r, stopa opodatkowania wynosi p i rozważamy tylko jeden okres kapitalizacji? Ile wynosi obecnie podatek od zysków kapitałowych w Polsce? (prezentacja 1b, slajdy 32-33) 2. Przeciętna stopa zwrotu i inflacja
2 10. Co to jest przeciętna stopa zwrotu danej lokaty o zmiennym oprocentowaniu? Co to jest przeciętna stopa inflacji o zadanym okresie w danym czasie? Czy zmieniając okres przeciętnej stopy zwrotu/przeciętnej stopy inflacji używamy stopy względnej, czy efektywnej? (prezentacja 2a, slajd 4,12; prezentacja 2b, slajd 5,14) 11. Co, w ramach kursu matematyki finansowej, rozumiemy przez inflację? Co to jest stopa inflacji w danym okresie? Czy zmieniając okres stopy inflacji używamy stopy względnej, czy efektywnej? Co to jest indeksacja/waloryzacja? (prezentacja 2b, slajd 4,5,6,13) 12. Czym się różni nominalna i realna wartość kapitału? Co to jest indeksacja/waloryzacja? Co to jest realna stopa zwrotu z lokaty? (prezentacja 2b, slajd 3,6,7,13) 13. Przyjmując za znane stopy inflacji, realnej i efektywnej stopy procentowej wyprowadzić wzór Fishera i wzór na realną stopę procentową przy danej stopie nominalnej i inflacji. Opisać wszystkie zmienne we wzorze Fishera. Jaką zależność muszą spełniać okresy stóp w tym wzorze? (prezentacja 2b, slajd 10,11) 3. Teoria akumulacji kapitału i mierniki opłacalności inwestycji 14. Co oznacza aprecjacja kapitału? Czym jest zasada aprecjacji kapitału? Jaki jest podstawowy wniosek z tej zasady, który jest podstawą problemów matematyki finansowej? Co jest miarą prędkości aprecjacji kapitału? Co to jest aktualizacja, oprocentowanie i dyskontowanie? Co to znaczy, że kapitały są równoważne? Czy zależy to od czasu, na który są zaktualizowane? (prezentacja 3a, slajdy 5,12,14-16,18-20) 15. Jak, poza istnieniem ryzyka i inflacji, możemy uzasadnić występowanie zjawiska aprecjacji kapitału? (prezentacja 3a, slajd 9-12) 16. Co to jest preferencja czasowa i w jaki sposób jest ona związana z pojęciem stopy procentowej (prezentacja 3a, slajd 10-11,15) 17. Co oznacza reguła 70? Wyprowadzić wzór, na którym się opiera. Na jej podstawie oszacować po jakim mniej więcej czasie podwoi się kapitał zainwestowany na 5% rocznie. (prezentacja 3a, slajdy 31-33) 18. Co to jest: inwestycja finansowa, inwestycja finansowa o pojedynczym nakładzie? Podać 5 istotnie różnych przykładów inwestycji finansowych, którymi zajmowaliśmy się w tym semestrze (prezentacja 3b, slajdy 4-5, założenie lokaty, udzielenie pożyczki, wypłacanie renty z kapitału, zakup weksla/bonu, zakup akcji, zakup obligacji) 19. Zdefiniować wartość bieżącą netto inwestycji (opisem, nie wzorem). Podać jej interpretację (związaną z porównaniem z inną inwestycją). Jakie są wady tego miernika oceny inwestycji? (prezentacja 3b, slajdy 8-9,13-14,19) 20. Jaka jest dziedzina funkcji NPV? Podać wypowiedź twierdzenia o wartości bieżącej netto inwestycji o pojedynczym nakładzie i udowodnić to twierdzenie (lub przynajmniej opisać, jak się je dowodzi i z czego się korzysta w tym dowodzie). Jaki jest wniosek z tego twierdzenia dla istnienia i jednoznaczności wewnętrznej stopy zwrotu? (prezentacja 3b, slajdy 20-23) 21. Podać definicję wewnętrznej stopy zwrotu z inwestycji. W jaki sposób stosujemy ją do porównywania inwestycji? Jakie są założenia przy których takie porównania są słuszne? Czy IRR jest wrażliwa na skalę inwestycji? (prezentacja 3b, slajdy 26-28,31). Które z poniższych stóp są wewnętrznymi stopami zwrotu z inwestycji zgodnymi z tą definicją : stopa nominalna lokaty (nie), stopa efektywna lokaty (tak), stopa realna (tak, jeśli działamy na wartościach realnych kapitału), stopa r używana w tabeli spłaty długu (tak), stopa zwrotu z weksla (nie), stopa YTM z obligacji (nie), stopa oprocentowania kuponów obligacji (nie), bezpieczna stopa zwrotu rozważana do wyceny kontraktów terminowych (tak)? 22. Czy wewnętrzna stopa zwrotu jest zdefiniowana poprawnie i jednoznacznie dla każdej inwestycji? Jeśli tak, udowodnić ten fakt, jeśli nie to opisać, jak można skonstruować kontrprzykłady (lub przynajmniej podać powody, dla których tak się dzieje) i warunki wystarczające, by IRR była poprawnie i jednoznacznie zdefiniowana. (prezentacja 3b, slajdy 32-37) 23. W jaki sposób w praktyce można w przybliżony sposób wyznaczyć IRR dowolnej inwestycji, dla której jest ona jednoznacznie wyznaczona? (wskazówka: własność Darboux, regula falsi) (prezentacja 3b, slajdy 39-41)
24. Podać definicję średniego czasu trwania inwestycji i motywację stojącą za tym miernikiem. W jakich jednostkach jest wyrażony? W jaki sposób stosujemy średni czas trwania do porównania inwestycji? (prezentacja 3b, slajdy 45, 48-50) 25. Podać dwie interpretacje średniego czasu trwania inwestycji: potoczną i ścisłą (ekonomiczną). W jaki sposób stosujemy średni czas trwania do porównania inwestycji? Udowodnić obliczeniami ścisłą interpretację średniego czasu trwania (prezentacja 3b, slajdy 50, 52-56). 4. Strumienie płatności: wkłady 26. Wyjaśnić różnicę w założeniach między modelem złożonym i mieszanym kapitalizacji strumienia płatności. Wyjaśnić, dlaczego model złożony jest w ramach tego kursu traktowany jako domyślny model kapitalizacji strumieni płatności. (prezentacja 4, slajdy 7-8,21) 27. Wyprowadzić wzór na wartość przyszłą strumienia płatności w modelu złożonym z dołu. (prezentacja 4, slajdy 10-11) 5. Strumienie płatności: renty 28. Co to jest: renta, rata renty, renta czasowa, renta wieczysta, renta geometryczna (prezentacja 5, slajdy 3,15,23) 29. Podać przykład inwestycji finansowych, dla których właściwymi modelami są: renta czasowa stała (zakup obligacji kuponowej, wynagrodzenie za pracę etatową, spłata długu długoterminowego równymi ratami łącznymi), renta wieczysta stała (zakup konsoli, zakup akcji w modelu stałych dywidend), renta geometryczna (zakup akcji w modelu Gordona-Shapiro) 30. Wyprowadzić wzór na wartość aktualną (lub kapitał początkowy) renty wieczystej z dołu. (prezentacja 5, slajdy 17-18) 31. Załóżmy, że po wypłaceniu N rat renty o stałej wysokości R, na koniec N-tego okresu płatności zostałby nam jeszcze kapitał K N, który nie jest wystarczający do wypłacenia N + 1-szej raty o tej samej wysokości. Chcemy wypłacić go w ramach ostatniej raty. Jaka będzie wysokość tej raty jeśli będzie to rata a) zwiększona, b) zmniejszona w stosunku do R jeśli płatności następują I. z dołu, II. z góry. (prezentacja 5, slajdy 36-40) 6. Strumienie płatności: długi 32. W jakim sensie można rozumieć dług jako inwestycję finansową? (prezentacja 6, slajd 3,60) 33. Co to jest część kapitałowa raty długu? Dlaczego części kapitałowe różnych rat można do siebie dodawać, mimo, że są spłacane w różnych momentach czasu? Czemu jest równa suma tych części (wyprowadzić to matematycznym obliczeniem)? Czy można dodawać tak samo raty łączne lub ich części odsetkowe? (prezentacja 6, slajd 16-19) 34. Co to jest część odsetkowa raty długu? Jaki sens ma dodawanie do siebie rat odsetkowych spłaty długu? W jaki sposób od wielkości tej raty zależy, czy dług bieżący rośnie, czy maleje? Czy część odsetkowa raty to to samo co odsetki spłacone w danej racie? (prezentacja 6, slajd 17, 19-21) 35. Jakie jest założenie modelu spłat długu równymi ratami łącznymi? Jak w tym modelu zmienia się: dług bieżący, części kapitałowe i odsetkowe kolejnych rat? (prezentacja 6, slajd 30, 40) 36. Jakie jest założenie modelu spłat długu równymi ratami kapitałowymi? Jak w tym modelu zmienia się: dług bieżący, części odsetkowe kolejnych rat i kolejne raty łączne? (prezentacja 6, slajd 41, 50) 7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe 37. Co to jest dyskonto handlowe? Jaka jest różnica pomiędzy dyskontem lub dyskontowaniem matematycznym/rzeczywistym, a dyskontem/dyskontowaniem handlowym? Jakie są podobieństwa różnice między dyskontem handlowym a odsetkami? (prezentacja 7, slajd 7-8,30) 38. Jak brzmi zasada dyskonta handlowego prostego? Co to jest stopa dyskontowa dla dyskonta handlowego prostego? W jaki sposób należy przeliczać ją na inne okresy stopy?(prezentacja 7, slajd 11,13) 39. Co to jest weksel? Czym różni się od innych omawianych papierów wartościowych? W jakich sytuacjach się go używa? Na czym polega dyskontowanie i redyskontowanie weksla? Czym są: wartość nominalna i aktualna weksla, termin zapadalności weksla, stopa dyskontowa weksla i stopa procentowa zwrotu z weksla? (prezentacja 7, slajd 16-17,19, prezentacje 8, 9 - o akcjach i obligacjach) 3
4 40. Dlaczego w wycenie weksla stosuje się model dyskonta handlowego prostego, a nie typowe modele kapitalizacji złożonej? Jakie to generuje problemy dla wyceny z punktu widzenia matematyki finansowej? (prezentacja 7, slajd 18-19,24,29,33-34) 41. Co to znaczy, że weksle są równoważne? Czy pojęcie równoważności weksli zależy od czasu, na który ich wartość aktualizujemy? Uzasadnić czemu tak nie jest lub podać przykład, jeśli tak jest. (prezentacja 7, slajd 24-29) 42. Przyjmując za znane definicje stopy procentowej i dyskontowej wyprowadzić wzór na stopę procentową równoważną stopie dyskontowej danego weksla w danym dniu. (prezentacja 7, slajdy 30-31) 43. Co rozumiemy przez stopę zwrotu z weksla, dlaczego i jak się różni od standardowej stopy IRR inwestycji? (prezentacja 7, slajdy 18,33-35) 44. Co to jest bon skarbowy i według jakiego modelu jest wyceniana jego wartość aktualna? (prezentacja 7, slajdy 18,36-37) 8. Papiery wartościowe: obligacje 45. Co to jest obligacja i czym różni się od innych omawianych papierów wartościowych? Co to jest wartość nominalna i aktualna (cena) obligacji, co to są kupony i okres zapadalności obligacji? Do czego są używane? (prezentacja 8, slajdy 3-4, prezentacje 7, 9 - o akcjach i wekslach) 46. Na jakie rodzaje dzielimy obligacje z punktu widzenia sposobu uzyskiwania dochodów z obligacji? Opisać te typy obligacji i jakie dochody z nich otrzymuje ich posiadacz. (prezentacja 8, slajdy 6,9,11,15) 47. Czym są i czym się różnią stopy: IRR, YTM oraz oprocentowania kuponów dla inwestycji w obligację kuponową? Jakie są między nimi zależności (jeśli są)? (prezentacja 8, slajdy 9-10,23) 9. Papiery wartościowe: akcje 45. Co to jest akcja i czym różni się od innych omawianych papierów wartościowych? Co rozumiemy przez cenę (wartość bieżącą) akcji? Jakiego typu dochody można osiągać z posiadania akcji? (prezentacja 9, slajdy 3,8-9 prezentacje 7, 8 - o obligacjach i wekslach) 46. Na jakim założeniu opiera się model zdyskontowanych dywidend? Jak powstaje wzór wynikający z tego modelu (nie chodzi mi o przekształcenia matematyczne, ale o ideę)? (prezentacja 9, slajdy 17-21) 47. Jakie są założenia następujących modeli wyceny akcji: model stałej dywidendy, model Gordona- Shapiro, model dwufazowy? (prezentacja 9, slajdy 22-24,27) 48. Wyprowadzić wzór na wycenę akcji według modelu Gordona-Shapiro (prezentacja 9, slajdy 24-25) 10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe 49. Co to jest instrument pochodny? Co powinien zawierać? Od czego zależy jego wartość? Co to jest termin wykonania instumentu pochodnego, instrument bazowy, otwarcie pozycji, wypłata, sprawiedliwa wycena i sprawiedliwa cena instrumentu pochodnego? (prezentacja 10, slajdy 3,5,7,11,12 ) 50. Co to jest pozycja krótka i długa dla dowolnych instrumentów finansowych i w szczególności kto je zajmuje dla instrumentów pochodnych i kontraktu terminowego forward? Co to jest krótka sprzedaż i co o niej zakładamy przy wycenie instrumentów pochodnych? (prezentacja 10, slajdy 5,6,13,15 ) 51. Czym się różnią symetryczne i niesymetryczne instrumenty pochodne? Jakie są ich przykłady? (prezentacja 10, slajd 8 ) 52. Co to jest arbitraż i jakie założenie na jego temat stosujemy przy wycenie instrumentów pochodnych? (prezentacja 10, slajdy 13-14 ) 53. Co to jest wolna od ryzyka stopa procentowa? Co o niej zakładamy przy wycenie instrumentów pochodnych? (prezentacja 10, slajdy 13,16 ) 54. Co to są kontrakty terminowe forward i futures, czym się różnią w sensie prawnym i matematycznofinansowym? Co to jest cena rozliczenia, termin rozliczenia, instrument bazowy, cena forward? (prezentacja 10, slajdy 5,20-23,26 )
55. Opisać wzory (obydwa) na sprawiedliwą wycenę kontraktu forward oraz opisać wszystkie oznaczenia w nich występujące (prezentacja 10, slajdy 24,32 ). 5