Symetria w fizyce materii - Przekształcenia symetrii w dwóch i trzech wymiarach - Wprowadzenie w teorię grup; grupy symetrii - Wprowadzenie w teorię reprezentacji grup - Teoria grup a mechanika kwantowa
Przykłady symetrii w przyrodzie: Symetria odbiciowa Symetria trzykrotna Symetria dwunastokrotna Symetria cząsteczek chemicznych: a) benzen C 6 H 6, b) metan CH 4, c) jon [FeF 6 ] 3-2
Symetria figur i brył geometrycznych: Symetrie cząsteczek i symetrie (punktowe) struktur krystalicznych ciał stałych są takie jak figur i brył geometrycznych 3
Niektóre przekształcenia symetrii kwadratu: Zbiór operacji symetrii kwadratu: 4
Zbiór operacji symetrii równoległoboku: Zbiór operacji symetrii trójkąta równobocznego: 5
Definicja grupy Grupa symetrii Zbiór elementów symetrii (figury, bryły cząsteczki kryształu) stanowi grupę. Nazywamy ją grupą symetrii. Przykładem mogą być grupy symetrii: kwadratu równoległoboku czy trójkąta równobocznego. 6
W przypadku kryształu ciała stałego elementy a, b, c... oznaczają geometryczne operacje symetrii kryształu tj. operacje, które pozostawiają kryształ niezmienniczym takie jak translacje i rotacje. Taką operację oznaczymy jako α R, gdzie α oznacza kąt obrotu wektora położenia danego r punktu względem pewnej osi ( α jest operacją obrotu) R - wektor przesunięcia. Działanie operacji obrotu i translacji na wektor r. Nie musi być spełniony warunek przemienności mnożenia: 7
Operacje symetrii kryształu Operacje symetrii kryształu tworzą specjalną grupę przestrzenną kryształu. Istnieje 230 różnych grup przestrzennych w przestrzeni trójwymiarowej. Dla większości kryształów każdy element może być wyrażony jako iloczyn elementu grupy translacji i grupy punktowej która zawiera bądź to obroty (operacje obrotów) bądź iloczyny obrotów i inwersji. Takie grupy przestrzenne nazywamy symmorficznymi. Nazwa grupy punktowe bierze się stąd, że wszystkie elementy symetrii takie jak: osie symetrii i płaszczyzny symetrii przecinają się w jednym punkcie. W przestrzeni trójwymiarowej istnieją 32 grupy punktowe, natomiast w dwóch wymiarach istnieją grupy punktowe. Dalsze rozważania będą prowadziły do zaznajomienia się z grupami punktowymi. 8
Symetrie w trzech wymiarach podstawowe symetrie W 3D obiekty o skończonych rozmiarach mogą mieć następujące symetrie (przekształcenia, operacje symetrii): 1) odbicia od płaszczyzn symetrii, 2) obroty wokół osi ustawionych w różny sposób w przestrzeni, 3) inwersję, 4) obroty zwierciadlane. Symetrie sześcianu: Podzielmy każdą z 6. ścian sześcianu na 8 trójkątów. Każda z operacji symetrii prowadzi do zamiany wybranego trójkąta na jakiś inny. Trójkątów jest 48 stąd 48 różnych operacji symetrii. 9
Płaszczyzny odbicia sześcianu: trójkąt A 1 B 1 C 1 przechodzi w AB 1 C 1 lub A 1 B 1 C 1 Inwersja sześcianu Czterokrotny obrót zwierciadlany 10
Różne rodzaje obrotów dwukrotnych sześcianu Obroty trzykrotne i Sześciokrotne obroty zwierciadlane sześcianu 11
Operacje symetrii a elementy symetrii Operacja symetrii przeprowadza układ (bryłę geometryczną ciało. cząsteczkę, kryształ,) w położenie równoważne nieodróżnialne od początkowego, chociaż niekoniecznie identyczne Element symetrii obiekt geometryczny (linia, płaszczyzna lub punkt), względem którego dokonuje się operacji symetrii. Oba pojęcia są ze sobą ściśle związane. Poniżej przykłady dla 3D: Elementy symetrii: - płaszczyzny symetrii, - osie symetrii (dwu-, trzy-, cztero-, - pięcio-, sześcio- i.td. krotne), - inwersja, - osie zwierciadlane (niewłaściwe). Operacje symetrii: - odbicia od płaszczyzn symetrii, - obroty wokół osi może być kilka obrotów wokół tej samej osi, - operacja inwersji, - obroty wokół osi + odbicia względem płaszczyzny do niej prostopadłej. 12
Elementy symetrii sześcianu, którym odpowiada 48 operacji symetrii: - 9 płaszczyzn zwierciadlanych, - 13 osi obrotu: trzy osie obrotu czterokrotnego, sześć dwukrotnego i cztery trzykrotnego, - Inwersję, - obroty zwierciadlane. Symetria sześcianu, ośmiościanu i kubooktaedru są takie same 13
14
Elementy symetrii czworościanu (tetraedru), którym odpowiada 24 operacje symetrii : - 6 płaszczyzn zwierciadlanych, - 11 osi obrotu: trzy osie obrotu dwukrotnego i cztery trzykrotnego, - obroty zwierciadlane. Osie obrotu czworościanu 15
Obrót zwierciadlany czworościanu Cząsteczka CH 4 Atom As w krysztale Si 16
Symetrie innych cząsteczek: Cząsteczka chlorowodoru Cząsteczka wody Cząsteczka amoniaku Cząsteczka benzenu 17
Tabele grupowe Tabela grupowa trójkąta: Tabela grupowa kwadratu: Rząd grupy ilość elementów grupy (dla grup skończonych): - dla grupy przekształceń trójkąta 6, - dla grupy przekształceń kwadratu 8, - grupy przekształceń tetraedru 24, - grupy przekształceń sześcianu 48, - grupy przekształceń sześciokąta 12. 18
Tabele grupowe dla innych grup: n liczb zespolonych postaci z m = exp(i2pm/n), gdzie m= 0, 1,2, 3, dla n = 4: +1, +i, -1, -i. Figura ma tylko symetrie obrotowe i identyczną tabelę grupową. Zadanie Wykaż, że tabela obok ma identyczną strukturę jak pozostałe tabele grupowe. 19
Podgrupy Podzbiór H elementów grupy G stanowi grupę nazywaną podgrupą grupy G. Podgrupa zawierające całą grupę G i wyłącznie element jednostkowy nazywamy podgrupami niewłaściwymi. Podgrupy grupy kwadratu 20
Podgrupy grupy obrotów sześciokrotnych Twierdzenie Lagrage a Rząd grupy jest dzielnikiem rzędu podgrupy 21
Klasy elementów sprzężonych Dla danej grupy G, klasą elementów sprzężonych z elementem a nazywamy zbiór wszystkich elementów sprzężonych z a czyli o postaci: c = bab -1, które uzyskamy gdy b przebiega wszystkie elementy grupy. Zauważmy, że: 1. beb -1 = b(eb -1 ) =bb -1 =e, 2. Klasa jest podzbiorem G, ale nie jest (zazwyczaj) grupą. Klasy grupy kwadratu 22
Przykład tworzenia klas: E tworzy klasę zawierającą 1 element E: Elementy A, B, C tworzą osobną klasę. Osobną klasę tworzą również elementy D,F 23
Klasy operacji symetrii przykład C 4v Sens geometryczny klas symetrii. Dwie operacje symetrii należą do tej samej klasy jeżeli jedna z nich działa tak samo jak druga w nowym układzie współrzędnych otrzymanym w wyniku przekształcenia pewną operacją symetrii. 24
Macierze transformacji: obrotów, odbić, inwersji, w dwóch wymiarach Macierz transformacji tożsamościowej: Macierz inwersji: 25
Macierz obrotu o kąt a : Stąd: 26
Macierz obrotu o kąt -a : Zauważmy, że oraz, że Przykłady macierzy obrotu: 27
Wyznacznik macierz obrotu o kąt a : Ślad macierzy obrotu: Macierz odbicia: 28
Macierz odbicia: Inna postać macierzy odbicia: 29
Przykłady macierzy odbicia: Odbicie od linii pionowej (osi x 2 ) y=0; cos2y=1, sin2y=0: Odbicie od linii poziomej (osi x 1 ) y=p/2; cos2y=-1, sin2y=0: Odbicie od linii nachylonej pod kątem -p/4; y=p/4, cos2y=0, sin2y=1: Odbicie od linii nachylonej pod kątem -p/6; y=p/3, cos2y=-1/2, sin2y= : 3/2 30
Przykłady macierzy odbicia: Wyznacznik macierzy odbicia: Ślad macierzy odbicia: 31
Przekształcenie funkcji: Nowa funkcja ma g(x) w punkcie x ma taką wartość jaką miała stara funkcja f(x) w punkcie y, gdzie wektor y jest wektoremx obróconym o kąt a. stąd, 32
Macierze przekształceń sprzężonych : Jeżeli w grupie c jest sprzężone do b: To dla odpowiednich macierzy przekształceń : Wyznacznik macierzy sprzężonej: Ślad macierzy sprzężonej: det C = det A 33
Macierze transformacji: obrotów, odbić, inwersji, w trzech wymiarach Macierze symetrii grupy sześcianu Przekształcenie tożsamościowe: Inwersja: Obrót czterokrotny wokół osi x 1 : Obrót wokół osi trzykrotnej x 1 =x 2 =x 3 : 34
Odbicie od płaszczyzny x 2 x 3 : Przekształcenia wektora pod wpływem symetrii sześcianu 35
Macierze symetrii ostrosłupa o podstawie trójkątnej Bryła ma sześć elementów symetrii: 1. tożsamość, 2. obroty C 3 i C 2 3 względem osi pokrywającej się z wysokością, 3. trzy płaszczyzny symetrii przechodzące przez wysokość. C 3 2 = Σ 1 = Σ 3 = 36
Punktowe grupy symetrii Nazwa grupy punktowe bierze się stąd, że wszystkie elementy symetrii takie jak: osie symetrii i płaszczyzny symetrii przecinają się w jednym punkcie. W przestrzeni trójwymiarowej istnieją 32 grupy punktowe. Będziemy używać oznaczeń grup punktowych wprowadzonych przez Schoenfliesa. Ogólne nazwy grup mają postacie: C n, D n, C nh, C nv, D nh, D nd, S n, gdzie elementami symetrii są oś n-krotna (może być niewłaściwa) oraz mogą być płaszczyzny symetrii przechodzące przez tę oś, prostopadłe do niej osie dwukrotne oraz prostopadła do osi C n płaszczyzna horyzontalna h. T, T h, T d,o, O h, I, I h, które zawierają osie symetrii wyższych rzędów. Dwie ostatnie grupy nie dotyczą ciał krystalicznych a jedynie cząsteczek. Aby przybliżyć elementy symetrii tych grup rozpatrzmy wielościany foremne zwane bryłami platońskimi 37
Bryły platońskie 38
Operacje symetrii odpowiadające poszczególnym bryłom. Tetraedr (czworościan) grupa T d 24. elementowa: Oktaedr (ośmiościan) i sześcian grupa T d 48. elementowa: Dwunastościan (dodekaedr) i dwudziestościan (zikosaedr) grupa I h 39