ELEKTRYKA 2013 Zeszyt 2-3 (226-227) Rok LIX Tadeusz BIAŁOŃ, Marian PASKO Politechnika Śląska w Gliwicach STABILNOŚĆ OBSERWATORÓW O NIEPROPORCJONALNYCH SPRZĘŻENIACH ZWROTNYCH NA PRZYKŁADZIE OBSERWATORÓW STRUMIENI MAGNETYCZNYCH SILNIKA INDUKCYJNEGO Streszczenie. W artykule przedstawiono trzy struktury liniowych, nieproporcjonalnych obserwatorów pełnego rzędu, zastosowanych do odtwarzania strumieni magnetycznych silnika indukcyjnego. Każdy z zaprezentowanych obserwatorów wymaga wprowadzenia w jego strukturze modyfikacji, mających na celu zapewnienie stabilności. Opisano przyczyny niestabilności i podano warunki stabilności. Słowa kluczowe: obserwator całkujący, obserwator z dodatkowymi integratorami, obserwator proporcjonalno-całkujący, silnik indukcyjny STABILITY OF OBSERVERS WITH NON-PROPORTIONAL FEEDBACKS ON THE EXAMPLE OF MAGNETIC FLUXES OBSERVERS OF THE INDUCTION MOTOR Summary. The paper presents three structures of linear, full-order, non-proportional state observers, applied to reconstruction of magnetic fluxes of an induction motor. Each of presented observers requires modifications to be introduced to its structure, in order to provide observer s stability. Reasons of instability are discussed and stability conditions are given. Keywords: integral observer, observer with integrators, proportional-integral observer, induction motor 1. WSTĘP W teorii sterowania i systemów znanych jest wiele różnych struktur obserwatorów Luenbergera. Jak do tej pory, szersze zastosowanie w układach napędowych z silnikami indukcyjnymi znalazł tylko jeden z nich, najbardziej podstawowy, obserwator proporcjonalny [1]. Obserwatory o innych typach sprzężeń zwrotnych, pomimo iż zapewniają potencjalnie lepszą jakość odtwarzania zmiennych stanu, są stosowane sporadycznie [2, 3, 4, 5, 6].
24 T. Białoń, M. Pasko Głównymi przyczynami są skomplikowany dobór wzmocnień obserwatorów nieproporcjonalnych oraz konieczność stosowania dodatkowych modyfikacji ich struktur w celu zapewnienia stabilności. Przedmiotem rozważań są trzy typy obserwatorów o nieproporcjonalnych sprzężeniach zwrotnych. Obserwator proporcjonalno-całkujący [7, 8, 9, 10], w porównaniu do obserwatora proporcjonalnego, zapewnia silniejsze tłumienie błędów odtwarzania, co jest efektem występowania narastającego w czasie sygnału wyjściowego sprzężenia zwrotnego, narastającego tak długo, jak błędy odtwarzania mają wartości różne od zera. Obserwator proporcjonalny z dodatkowymi integratorami [11, 12, 13] umożliwia poprawę jakości odtwarzania zmiennych stanu, zapewniając możliwość tłumienia skutków występowania w obiekcie obserwowanym szybkozmiennych sygnałów zakłóceń o nieznanych wartościach. Zmodyfikowany obserwator całkujący [7, 8, 13, 14, 15], w stosunku do obserwatora proporcjonalnego, charakteryzuje się zwiększoną odpornością na zakłócenia zawarte w podawanych na wejście obserwatora wielkościach wyjściowych obiektu obserwowanego. 2. SILNIK INDUKCYJNY JAKO OBIEKT OBSERWOWANY Podstawą do syntezy obserwatorów jest model matematyczny silnika indukcyjnego o postaci liniowego systemu dynamicznego o n zmiennych stanu zawartych w wektorze x, p wymuszeniach dostępnych pomiarowo zawartych w wektorze u, z niedostępnych pomiarowo zakłóceniach zawartych w wektorze d oraz q odpowiedziach (wyjściach) zawartych w wektorze y:, (1) Macierz stanu A ma wymiary n n, macierze wejściowe B 1 i B 2 mają wymiary odpowiednio n z i n p, a macierz wyjściowa C ma wymiary q n. Macierze A, B 1, B 2 i C mają stałe wartości elementów zależne od parametrów schematu zastępczego silnika, dodatkowo, wartości elementów macierzy stanu A zależą od prędkości kątowej silnika, traktowanej jako wolnozmienny parametr [13, 16]. Kolejne wektory przyjmują następujące postaci:, (2)
Stabilność obserwatorów o nieproporcjonalnych 25 gdzie: u s, u s napięcia zasilania uzwojenia stojana w stacjonarnym, prostokątnym układzie współrzędnych - [16]; i s, i s prądy uzwojenia stojana silnika; s, s, r, r strumienie magnetyczne sprzężone z uzwojeniami stojana i wirnika silnika; elektryczna prędkość kątowa wirnika silnika, szybkozmienne, niedostępne pomiarowe zakłócenia nakładające się na przebieg wolnozmiennej prędkości kątowej. Postać wektora d wynika z poczynionego założenia, iż wykorzystywana w obserwatorze prędkość kątowa silnika jest sumą dwóch wartości, rzeczywistej i wolnozmiennej, oraz zakłóceń o nieznanych wartościach. Zakłócenia te mogą być np. błędami odtwarzania prędkości kątowej, gdy obserwator współpracuje z mechanizmem adaptacji [1]. Składnik równania stanu obiektu obserwowanego (1) zawierający wektor d jest wykorzystywany tylko w trakcie syntezy obserwatora z dodatkowymi integratorami. Podczas syntezy pozostałych obserwatorów jest on pomijany. 3. OBSERWATORY NIEPROPORCJONALNE I ICH STABILNOŚĆ Każdy z rozważanych obserwatorów w pewnych warunkach pracuje w sposób niestabilny. Pomimo faktu, iż przyczyny niestabilności są różne, zawsze są one związane z obecnością integratorów w sprzężeniach zwrotnych obserwatorów. Integratory, będące źródłem problemów ze stabilnością, oznaczono na rysunku 1 kropkami. Jednym z możliwych rozwiązań problemów ze stabilnością jest zastąpienie integratorów w sprzężeniach zwrotnych inercjami pierwszego rzędu. Jest to rozwiązanie już wcześniej stosowane w niektórych typach estymatorów strumieni magnetycznych silnika indukcyjnego [17], mające jednak wpływ na właściwości dynamiczne obserwatorów. 3.1. Obserwator proporcjonalno-całkujący Do odtwarzania zmiennych stanu obiektu (1) można zastosować obserwator proporcjonalno-całkujący (PI) opisany równaniem stanu:. (3) Macierze wzmocnień K P i K I odpowiednio członu proporcjonalnego i całkującego mają takie same wymiary n q. Przez oznaczono wektor zmiennych stanu odtwarzany w obserwatorze. Niestabilność obserwatora PI wynika z postaci jego macierzy stanu. Można wykazać [9], że dla dowolnych wartości wzmocnień zawartych w macierzach K P i K I rząd macierzy stanu obserwatora jest opisany zależnością:
26 T. Białoń, M. Pasko. (4) Rys. 1. Schematy blokowe liniowego obiektu dynamicznego oraz obserwatorów o nieproporcjonalnych sprzężeniach zwrotnych Fig. 1. Block diagrams of a linear dynamic system and observers with non-proportional feedbacks Z nierówności (4) wynika, że niezależnie od doboru wzmocnień, obserwator PI zmiennych stanu silnika indukcyjnego (n = 4, q = 2) ma zawsze co najmniej dwie zerowe wartości własne, gdyż rząd jego macierzy stanu jest co najmniej o 2 mniejszy od wymiarów tej macierzy. Obserwator nie spełnia więc warunku koniecznego stabilności wg Lapunowa. Po zastąpieniu integratorów członu całkującego inercjami o odwrotnościach stałych czasowych zawartych w n-elementowym wektorze c, nierówność opisująca rząd macierzy stanu obserwatora przyjmuje postać:
Stabilność obserwatorów o nieproporcjonalnych 27. (5) Z nierówności (5) wynika, że stabilność obserwatora PI po modyfikacji zależy tylko i wyłącznie od doboru jego wzmocnień. Metody doboru wzmocnień oraz wyniki badań laboratoryjnych przedstawionego obserwatora PI opisano w pracach [9, 10]. Wpływ modyfikacji struktury na wartości własne przykładowego obserwatora PI strumieni magnetycznych silnika indukcyjnego przedstawiono na rysunku 2. 3.2. Obserwator z dodatkowymi integratorami Wartości zmiennych stanu obiektu z niedostępnymi pomiarowo zakłóceniami (1) można odtwarzać przy wykorzystaniu obserwatora proporcjonalnego z dodatkowymi integratorami, opisanego równaniem stanu:, (6) gdzie: liczba dodatkowych integratorów; macierz wzmocnień członu proporcjonalnego K ma wymiary n q; macierze wzmocnień zespołu dodatkowych integratorów od K 1 do K mają wymiary z q. Zespół dodatkowych integratorów, na rysunku 1 zaznaczony linią przerywaną, ma za zadanie kompensować skutki występowania w obiekcie obserwowanym niedostępnych pomiarowo zakłóceń. Liczba dodatkowych integratorów jest dowolna. Zalecane jest [11], aby liczba integratorów była tym większa, im szybciej w czasie zmieniają się wartości sygnałów zakłóceń zawartych w wektorze d. Należy jednak zwrócić uwagę, iż im większa jest liczba dodatkowych integratorów, tym trudniej jest dobrać wzmocnienia obserwatora. Z każdym kolejnym dodatkowym integratorem liczba wzmocnień rośnie o z q. O ile wcześniej rozpatrywany obserwator PI przed modyfikacją zawsze nie jest asymptotycznie stabilny dla obiektów, które mają więcej zmiennych stanu niż odpowiedzi, o tyle obserwator z dodatkowymi integratorami jest niestabilny dla pewnej klasy obiektów obserwowanych. Przynależność do tej klasy nie zależy od relacji pomiędzy liczbami zmiennych stanu i wyjść, lecz od struktur kolejnych macierzy obiektu. I tak, obserwator
28 T. Białoń, M. Pasko z dodatkowymi integratorami zawsze nie jest asymptotycznie stabilny (ma osobliwą macierz stanu), niezależnie od wartości wzmocnień, gdy macierze obiektu obserwowanego spełniają nierówność [12]:. (7) Rys. 2. Wpływ modyfikacji struktury obserwatorów na ich właściwości dynamiczne Fig. 2. Influence of introduced modifications on observers dynamical properties Można wykazać, że do tej klasy obiektów obserwowanych należy również silnik indukcyjny opisany równaniami (1) [12, 13]. Po zastąpieniu dodatkowych integratorów inercjami, nierówność (7) przyjmuje postać:
Stabilność obserwatorów o nieproporcjonalnych 29. (8) Nierówność (8) jest zawsze nieprawdziwa dla każdego obiektu obserwowanego, którego macierz stanu A jest macierzą nieosobliwą. Należy zauważyć, że osobliwość macierzy A systemu dynamicznego oznacza, że co najmniej jedna spośród zmiennych stanu tego systemu jest kombinacją liniową zmiennych pozostałych, model matematyczny obiektu został więc utworzony nieprawidłowo. Po zmodyfikowaniu struktury obserwatora jego stabilność zależy tylko i wyłącznie od wartości jego wzmocnień. Wpływ wprowadzonych modyfikacji na wartości własne przykładowego obserwatora z dwoma dodatkowymi integratorami przedstawiono na rysunku 2. Wyniki badań laboratoryjnych obserwatorów z dodatkowymi integratorami, współpracujących z mechanizmem adaptacji prędkości kątowej, przedstawiono w pracach [12, 13]. 3.3. Zmodyfikowany obserwator całkujący Ostatnim z rozważanych obserwatorów jest zmodyfikowany obserwator całkujący, opisany równaniami:, (9) gdzie przez oznaczono wektor zmiennych stanu obserwatora, który w przypadku obserwatora zmodyfikowanego całkującego, a w odróżnieniu do obserwatorów PI i proporcjonalnego z dodatkowymi integratorami, nie jest wprost odpowiednikiem wektora stanu obiektu obserwowanego x. Z tej przyczyny obserwator ten, w odróżnieniu do poprzednio rozważanych, ma równanie wyjścia. Kolejną istotną różnicą w stosunku do pozostałych dwóch obserwatorów jest umieszczenie integratora poza pętlą sprzężenia zwrotnego od zmiennych stanu obserwatora (rys. 1). Konsekwencją takiego umieszczenia integratora jest fakt, iż nie ma on wpływu na wartości własne obserwatora. Dlatego też w przypadku zmodyfikowanego obserwatora całkującego nie występuje problem niestabilności strukturalnej, obecny w obserwatorach poprzednio rozważanych. Stabilność asymptotyczna obserwatora zmodyfikowanego całkującego (w rozumieniu Lapunowa) jest więc zawsze możliwa do osiągnięcia na drodze odpowiedniego doboru jego wzmocnień. Integrator całkujący sygnały zawarte w wektorze y należy jednak zastąpić
30 T. Białoń, M. Pasko inercją, ze względu na możliwość występowania w całkowanych sygnałach stałowartościowych zakłóceń, związanych np. z dryftem zera przetworników pomiarowych. Obecność tego typu zakłóceń powoduje liniowe narastanie sygnałów wyjściowych integratora, co w praktycznej realizacji, w odpowiednio długim czasie, zawsze prowadzi do powstania błędów związanych z wyjściem wartości sygnałów poza dopuszczalny zakres wynikający z przyjętego formatu liczb. W przypadku silnika indukcyjnego niestabilność pracy tego typu obserwatorów ujawnia się więc dopiero podczas ich praktycznej realizacji. Efekt liniowego narastania sygnałów wyjściowych integratora pod wpływem niewielkiej zawartości składowej stałej ilustrują wyniki symulacji przedstawione na rysunku 2. Symulacja przedstawia rozruch silnika i skokowe załączenie momentu obciążenia. Silnik zasilono bezpośrednio z trójfazowej sieci sztywnej. Przez r i r oznaczono moduł strumienia wirnika silnika oraz względny błąd jego odtwarzania w obserwatorze. Wyniki badań laboratoryjnych oraz metody doboru wzmocnień zmodyfikowanych obserwatorów całkujących opisano w pracach [13,14,15]. 4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI Każdy z zaprezentowanych obserwatorów nieproporcjonalnych w pewnych warunkach może być niestabilny, a jego prawidłową pracę można zapewnić zastępując integratory sprzężenia zwrotnego członami inercyjnymi. Stałe czasowe inercji powinny być na tyle małe, aby części rzeczywiste wartości własnych obserwatora miały wartości dużo mniejsze od zera, a zakłócenia stałowartościowe, które mogą się pojawić w sygnałach wejściowych obserwatora (związane np. z dryftem zera przetworników pomiarowych), nie miały tendencji do kumulowania się. Natomiast małe wartości stałych czasowych inercji powodują osłabienie działania sprzężeń zwrotnych obserwatorów, obniżając jakość odtwarzania zmiennych stanu. BIBLIOGRAFIA 1. Kubota H., Matsuse K., Nakano T.: DSP-based speed adaptive flux observer of induction motor. IEEE Trans. on Ind. Appl. 1993, No. 2 (29), p. 344-348. 2. Kim H. S., Lee C. H., Ahn H. U., Kim S. B.: Sensorless Speed Control of Induction motor Using observation Technique. Jour. of the Korean Society of Marine Eng. 1999, No. 1 (23), p. 96-102. 3. Gaddouna B., Ouladsine M., Rachid A., El Hajjaji A.: State Estimation of an Induction machine using a Reduced Order PI Observer. IEEE Conference CESA 1998, p. 1022-1026.
Stabilność obserwatorów o nieproporcjonalnych 31 4. Gao Z., Habetler T. G., Harley R. G., Colby R. S.: A Sensorless Adaptive Stator Winding Temperature Estimator for Mains-Fed Induction Machines With Continuous-Operation Periodic Duty Cycles. IEEE Trans. On Ind. Appl. 2008, No. 5 (44), p. 1533-1542. 5. Gao Z.: Sensorless Stator Winding Temperature Estimation for Induction Machines. PhD thesis, Georgia Institute of Technology, 2006. 6. Espinoza-Trejo D. R., Campos-Delgado D. U., Martinez-Lopez F. J.: Variable Speed Evaluation of a Model-Based Fault Diagnosis Scheme for Induction Motor Drives. IEEE Symposium ISIE 2010, p. 2632-2637. 7. Busawon K. K., Kabore P.: On the design of integral and proportional integral observers. Proc. of the American Control Conference 2000, p. 3725-3729. 8. Busawon K. K., Kabore P.: Disturbance attenuation using proportional integral observers. International Jour. of Control 2001, No. 6 (74), p. 618-627. 9. Białoń T., Lewicki A., Pasko M., Niestrój R.: PI observer stability and application in an induction motor control system. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences 2013, No. 3 (61), p. 595-598. 10. Białoń T., Lewicki A., Pasko M., Niestrój R.: Parameter selection of an adaptive PI state observer for an induction motor. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences 2013, No. 3 (61), p. 599-603. 11. Guo-Ping J., Suo-Ping W., Wen-Zhong S.: Design of observer with integrators for linear systems with unknown input disturbances. Electronics Letters 2000, No. 13 (36), p. 1168-1169. 12. Białoń T., Lewicki A., Niestrój R., Pasko M.: Stability of a proportional observer with additional integrators on the example of the flux observer of induction motor. Przegląd Elektrotechniczny 2011, No. 4 (87), p. 142-145. 13. Białoń T.: Zastosowanie obserwatorów Luenbergera do odtwarzania zmiennych stanu silnika indukcyjnego. Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2010 [online]. Dostępny w WWW: http://delibra.bg.polsl.pl 14. Białoń T., Lewicki A., Pasko M.: Zastosowanie całkującego obserwatora Luenbergera w multiskalarnym układzie sterowania silnika indukcyjnego. Przegląd Elektrotechniczny 2009, No. 3 (85), s. 52-55. 15. Białoń T., Lewicki A., Pasko M.: Zastosowanie układów całkujących odpornych na składową stałą w całkującym obserwatorze zmiennych stanu silnika indukcyjnego. Wiadomości Elektrotechniczne 2008, No. 11, s. 12-16.
32 T. Białoń, M. Pasko 16. Paszek W.: Dynamika maszyn elektrycznych prądu przemiennego. Helion, Gliwice 1998. 17. Hu J., Wu B.: New Integration Algorithms for Estimating Motor Flux over a Wide Speed Range. IEEE Trans. on Power Electronics 1998, Vol. 5 (13), p. 969-977. Dr inż. Tadeusz BIAŁOŃ, Prof. dr hab. inż. Marian PASKO Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Informatyki ul. Akademicka 10 44-100 Gliwice e-mail: Tadeusz.Bialon@polsl.pl Marian.Pasko@polsl.pl