4. Charakerysyki sayczne Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji II. Sayczny i dynamiczny pis układów 4.. Wprwadzenie paramery pisu sayczneg Sayczny mdel układu pwsaje przez uprszczenie mdelu dynamiki (p..., przy czym uprszczenie mże być wyknane: - na eapie knsrukcji mdelu - pmija się zjawiska, kóre decydują własnściach dynamicznych, czyli magazyny masy, energii,... (p., - jak uprszczenie równań mdelu, przez wyzerwanie wszyskich funkcji pchdnych. Charakerysyka sayczna jes graficzną prezenacją zależnści pmiędzy zmiennymi wejściwymi i wyjściwymi mdelu sayczneg. Określenie, kóre ze zmiennych układu są wejściami a kóre wyjściami wynika z inerpreacji fizycznej mdelu warści na wejściach są zdeerminwane przez źródła niezależne d sanu bieku (usalane pza granicami bieku a warści na wyjściach są efekem działania pisywanych prcesów. Warści pzsałych paramerów mdelu wynikają głównie z wymiarów gemerycznych bieku i własnści fizycznych maeriałów w kreślnych warunkach. T, że są warści sałe, jes zawsze wynikiem przyjęych załżeń (np. własnści maeriałów nie zależą d emperaury, ciśnienia, ip.. Ddać: Jak prakycznie zrealizwać eksperymen mający na celu wyznaczenie charakerysyk saycznych i dynamicznych dla pmieszczenia grzewaneg grzejnikiem elekrycznym regulwanej mcy? Zmienną wyjściwą jes emperaura wewnąrz pmieszczenia 4.. Przykład układ sprężyn Układ na Rys. II- przedsawia prse płączenie dwóch sprężyn różnych współczynnikach szywnści c i c, na kóre działa siła F. Jeśli w ym układzie nie będzie uwzględniany wpływ masy i sił arcia (p..4, mdel układu ma psać układu równań algebraicznych: c c F = c + c ( (II- F = c ( Rys. II-. Płączenie dwóch sprężyn Siła F jes zmienną wejściwą układu, namias płżenia kńców sprężyn i są zmiennymi wyjściwymi. D prwadzenia badań symulacyjnych knieczna jes znajmść warści współczynników c i c, kóre mżna bliczyć na pdsawie znajmści kszału i maeriału sprężyny. Mżna je również wyznaczyć na pdsawie pmiaru warści zmiennych w wybranym punkcie pracy (F,,, kóre należy pdsawić d układu (II- i rzwiązać względem c i c : F F c = raz c = (II- Jedn z pdsawwych badań pisaneg układu plega na wyznaczeniu charakerysyk saycznych. Mżna je naryswać rzwiązując układ (II- ze względu na zmienne wyjściwe: F c + c = raz = F (II-3 c c c W peracji ryswania wykresów (Rys. II- wskazane jes wykrzysanie wekrów warści zdefiniwanie wekra warści zmiennej wejściwej F raz wzru d wygenerwania wekrów wielkści wyjściwych (za pśrednicwem zmiennej lub bezpśredni jak paramer funkcji pl: F=[::]; %wekr warści wejściwych =c*f; %wekr warści wyjściwych figure; pl(f, ; figure; pl(f, (c+c./(c*c./f; F F Rys. II-. Charakerysyki sayczne układu Pnieważ mdel (II- jes liniwy, więc wszyskie pwyższe działania mżna również zapisać i wyknać macierzw. Jeśli siła i przesunięcia są zmiennymi układu, macierzwy zapis mdelu ma psać: Pchdna z definicji zmiana warści d w czasie d, czyli d/d, a w sanie równwagi nie ma zmiany warści (d= - 3 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji + = c c c lub symblicznie F = C (II-4 F c c gdzie F i wekry zmiennych, C macierz współczynników. Sąd wekr zmiennych wyjściwych : = C F (II-5 Mżna eż przy użyciu macierzy wyznaczyć warści współczynników na pdsawie pmiarów siły i przesunięć (F,,. W ym celu mdel (II- należy zapisać w psaci: = c lub symblicznie F = Xc (II-6 F c gdzie ym razem F i c wysępują w rli wekrów zmiennych, a X w rli macierzy współczynników (wyznacznych na pdsawie warści,, c pzwala wyznaczyć warści wekra c: c = X F (II-7 Ręczne wyknywanie peracji ma macierzach mże być kłpliwe (np. przy dwracaniu dużych macierzy, ale prgramy symulacyjne są wyspecjalizwane w eg ypu działaniach. Są jednak peracje na warściach, więc: nie będzie mżliwści analizy wzru funkcji (pżyeczne, chć nie zawsze knieczne, ław bliczyć pjedyncze warści, np. współczynniki c i c ze wzru (II-7, rudniej wygenerwać i krzysać z wekrów warści zmiennej, kóra już jes wekrem, na przykład w celu naryswania charakerysyk saycznych na pdsawie wzru (II-5 należy wygenerwać i perwać na elemenach macierzy, np.: (... ( n =... C, pl(f(,:, (,:, F(,:, (,:,... (... ( n F(... F( n 4.3. Pyania i zadania generwanie charakerysyk saycznych (LAB Pdzielić przykłady u, zadania przenieść 4.3.. Charakerysyki układu elekryczneg Przedmiem klejnej analizy jes dzielnik napięcia (Rys. II-3. Za pmcą pencjmeru R mżna usawić warść napięcia na bciążeniu R lub prąd bciążenia i (. Zmienne wejściwe napięcie U, rezysancja R. R i U Zmienne wyjściwe prąd i, napięcie u. R R u Rys. II-3. Dzielnik napięcia Napisz wzór/wzry pisujące zależnści napięć i prądów w układzie. Załóżmy, że warści rezysancji są nieznane, ale mżna zmierzyć wybrane warści napięć i prądów w układzie. Przyjmij przykładwe warści wybranych napięć i prądów (warści bliczeniwe, i na ej pdsawie wyznacz warści rezysancji. 3 Wyznacz wzry na zmienne wyjściwe układu. 4 Przyguj skryp d naryswania charakerysyk saycznych układu. 5 Kiedy rzeba uwzględnić rezysancje przewdów łączących? Jak wpłynie na pis układu? Należy rzróżniać wekr warści zmiennej (np. F,, i wekr zmiennych wejściwych F (składający się z warści i zmiennej F czy wyjściwych (zawierający zmienne i. - 3 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji 4.3.. Charakerysyki sayczne pmieszczenia z grzejnikiem Dla pmieszczenia z grzejnikiem elekrycznym (Rys. II-4 mżna sknsruwać bilans ciepła ( dsarczaneg przez grzejnik mcy q g i ciepła racneg: przez zewnęrzne ściany (współczynnik sra K cw, przez sufi (współczynnik sra K cwp i przez dach ( współczynniku sra K cp. = q g K cw ( Twew Tzew K cwp ( Twew T p T zew T p K cp (II-8 K cwp = K cwp ( Twew T p K cp ( T p Tzew q g Jeśli sufi byłby dsknale izlwany (K cwp =, mdel byłby T wew Kcw znacznie prsszy: = q K T T g cw wew zew (II-9 Rys. II-4. Pmieszczenie z grzejnikiem ( Mdel (II-8 ma dwie zmienne wejściwe: mc grzejnika elekryczneg (q g i emperaurę na zewnąrz (T zew. Z wyknanych pmiarów wiadm, że w warunkach bliczeniwych (nminalnych dla q g = W i T zew =- C, emperaura wewnąrz pmieszczenia T wew wynsi C a na pddaszu T p wynsi C. Wyznacz wzry d bliczania paramerów mdelu (K cw, K cwp, K cp na pdsawie dsępnych danych pmiarwych raz załżenia, że sra K cwp =,5K cw. Wyznacz wzry na zmienne wyjściwe T wew i T p w funkcji zmiennych wejściwych i paramerów. Przyguj skryp d ryswnia charakerysyk saycznych układu, kóry zawiera: - definicje warści nminalnych (bliczeniwych, np. QgN=;... - bliczenie paramerów (wzry, np. Kcw=...;... - generacja wykresów (wekrw raz pis wykresu i si Uwagi: - dbierz realne zakresy zmiennych wejściwych na charakerysykach, - pisz wykresy (sie, rdziny krzywych, użyj siaki, wprwadź zróżnicwanie linii dla pszczególnych wykresów, - znacz na wykresach punk dpwiadający warścim bliczeniwym. Dla wyznacznych mdeli dynamiki napisać równania sayczne Jak zdjąć charakerysyki sayczne na biekcie? - 3 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji 5. Rzwiązania analiyczne - Funkcje czasu wykresy rzwiązań analiycznych 5.. Wprwadzenie Własnści dynamiczne pwdują, że reakcje bieku na zmiany nie zachdzą naychmias, c mżna zabserwwać na wykresach czaswych (p.... W przypadku prsych, liniwych mdeli bieków mżna wyznaczyć wzór funkcji pisujący e reakcje, czyli rzwiązanie równania różniczkweg (p..4.. Ze względu na własnści dynamiki najbardziej ineresująca jes część swbdna eg rzwiązania, decydująca sabilnści rzwiązania, a złżna ze składwych psaci: Ae α α, Ae sin ( ω + ϕ, A m e α. Przykłady i uprszczenie algrymu w pdsawwych badaniach dynamiki 5.. Przewidywanie własnści funkcje ekspnencjalne (LISTA/3 W prakyce inżynierskiej pisany algrym rzwiązywania równań różniczkwych mżna zacznie uprsić. Jak przykład psłuży rzwiązanie równanie drugieg rzędu w gólnej psaci: a & + a & ( + a ( = b u( (II- ( I. Rzwiązanie swbdne Równanie charakerysyczne (I-34 mżna ław napisać wprs na pdsawie równania różniczkweg (I-3 - w analizwanym przypadku ma n nasępującą psać: a λ + a λ + a (II- = Sąd wyznaczamy dwa pierwiaski (λ, λ równania charakerysyczneg: a + a λ =, λ =, gdzie = a 4aa a a Załóżmy, że są dwa różne pierwiaski rzeczywise, więc rzwiązanie swbdne będzie psaci: λ ( = A e λ + A e s - 33 - (II- (II-3 II. Rzwiązanie wymuszne W przypadku równań różniczkwych pisujących bieky i układy aumayki dużą użyecznść mają rzwiązania przy sałym wymuszeniu u( dla >, czyli funkcje sałej warści raz wymuszenia skkwe i impulswe (Rys. II-5. u u u u u k u k u p Rys. II-5. Sałe wymuszenie dla > Wszyskie e przypadki pzwalają wyznaczać rzwiązanie wymuszne na pdsawie równania sayczneg: a = bu (II-4 Rzwiązanie wymuszne w ( przy sałym wymuszeniu u(=u k, ma psać: b (II-5 w( = k = uk = k ukł uk (u? a Warść b / a nazywamy wzmcnieniem układu k ukł przy sałym wymuszeniu. (u??? W szczególnych przypadkach wymuszenia skkweg ( i impulsweg δ( rzymujemy: - dla u(=( jes u k =, sąd w ( = k = b / a (II-6 - dla u(=δ( jes u k =, sąd w ( = k = Współrzędne (u k, k, kóre pisują układ w sanie równwagi, nazywamy punkem równwagi. Układ liniwy mże mieć ylk jeden punk równwagi (jes jedn rzwiązanie równania sayczneg. III. Rzwiązanie gólne λ λ = A e + Ae ( + k (II-7 IV. Rzwiązanie szczególne W rzwiązaniu gólnym wysępują dwa paramery A i A, kóre są wyznaczane dla knkrenych warunków pcząkwych. Wybór warunków pcząkwych zależy d celu badania.!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji Badania z wymuszeniem sałej warści (u k zazwyczaj służą d pkazania ewlucji sanu układu d różnych warunków pcząkwych d/d punku równwagi (Rys. II-6. - 34 - k Rys. II-6. Przykłady ewlucji sanu układu ( = w, &( = w. Załóżmy, że szukamy rzwiązania (II-7 dla warunków pcząkwych: Warści paramerów A i A mżna więc wyznaczyć z układu równań: λ (II-8 w = A e + Ae + k w = A + A + k λ w = Ae + λ Ae w = A + λ A c prwadzi d rzwiązania: λ ( k w + w ( w + w (II-9 k A =, A = λ λ Wyznaczając w en spsób rzwiązanie szczególne równania (II- przy sałym wymuszeniu k i dla zadanych warunków pcząkwych ( = w, &( = w rzymujemy: λ ( k w + w λ λ k w + w ( (II- λ ( = e + e + k λ λ Warunki pcząkwe mgą być zadane również w psaci &( = w, & ( = w. Wówczas... (ddać układ równań i przeliczenie na warunki (, & ( Badania z wymuszeniem skkwym są ypwymi k k badaniami w aumayce, a ich celem jes wyznaczenie p p reakcji układu na skkwą zmianę warści wejściwej (u p u k, zadawaną w sanie równwagi układu. Rys. II-7. Przykłady reakcji na wymuszenie skkwe Pnieważ zazwyczaj analiza zachwania układów dyczy reakcji na niewielkie zakłócenia wkół eg sanu, pcząkwy punk równwagi nazywa się również punkem pracy. T znacza, że w warunkach pcząkwych wszyskie pchdne są równe zer: & ( =, & ( =, (II- c mżna wyrazić również w równważnej psaci jak: b &( =, ( = p, gdzie p = up. a (II- Wbec eg warści paramerów A i A w rzwiązaniu (II-7 będą wyznaczane z nasępująceg układu równań: λ p = A e + Ae + k p = A + A + k λ = Ae + λ Ae = A + λ A (II-3 Sąd dpwiedź na wymuszenie skkwe (u p u k równania (II-, czyli rzwiązanie szczególne : λ ( k p λ ( k p (II-4 λ ( = e + e + k λ λ λ λ Szczególnym przypadkiem dpwiedzi na wymuszenie skkwe jes dpwiedź skkwa, c znacza, że wymuszenie u( jes skkiem jednskwym (, ak więc: - warść kńcwa k =b /a, pnieważ u k =, - pcząkwy san równwagi wynsi (= p =, pnieważ pcząkwa warść wymuszenia u(= (są zerwe warunki pcząkwe. Odpwiedź skkwa h( równania (II- ma więc psać: (II-5 λk λ λ k λ λ = + e + k = k λ λ λ h( e + e e λ λ λ λ Badania z wymuszeniem impulswym są akże ypwe dla aumayki i plegają na wyznaczeniu reakcji na impulswe zakłócenie pjawiające się w sanie równwagi układu. W badaniach analiycznych wykrzysuje się dpwiedź impulswą, czyli dpwiedź na ereyczny impuls δ(. Pdczas bliczeń pjawia się jednak prblem, kóry wynika ze szczególnych własnści funkcji impulswej w chwili, c wymaga zasswania rzszerzneg pjęcia funkcji (dysrybucji. W!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc k
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji prakyce wykrzysuje się własnść układów liniwych, z kórej wynika, że dpwiedź impulswa jes pchdną dpwiedzi skkwej. Sąd dpwiedź impulswa k( równania (II- ma psać: λ λ λ λ λ λ λ (II-6 λ k( = k e e = k ( e e λ λ λ Rzwiązania równań różniczkwych pierwszeg rzędu raz równań rzędu w przypadku zesplnych pierwiasków równania charakerysyczneg przedsawin w Załączniku B. (II-7 5.3. Wykresy rzwiązań i przewidywanie własnści (LISTA/3 5.3.. Składniki rzwiązania swbdneg Funkcje będące przedmiem badań są złżeniem (sumą funkcji ekspnencjalnych i/lub ilczynu akiej funkcji z funkcją sinusidalną: Ddać przykład skrypu generwanie funkcji sin, inepreacja paramerów funkcji (w czy f Składnikami rzwiązania swbdneg są funkcje ypu ekspnencjalneg (Rys. II-8 i ilczyny akich funkcji z funkcją sinusidalną (Rys. II-9. W bu przypadkach jeśli współczynnik α w wykładniku funkcji ekspnencjalnej jes ujemny, funkcja a z biegiem czasu zanika d zera. W prakyce inżynierskiej ineresujące są ylk przebiegi ych funkcji dla. Ae α α>, A= e α sin(ω e α - α=, A= α=, A=- α>, A=- α<, A= α<, A=- Rys. II-8. Przykładwe wykresy ±e a Rys. II-9. Przykładwe wykresy e a sin(ω Z punku widzenia zasswania w aumayce ineresujące są przebiegi ych funkcji ylk dla >. Warści funkcji w chwili = wynikają z załżnych warunków pcząkwych. Ddać szybkści zanikania, inerpreacja parameru ω. 5.3.. Płżenie biegunów na płaszczyźnie zesplnej a składniki rzwiązania swbdneg Znając bieguny układu mżna przewidzieć charakerysyczne cechy jeg rzwiązania swbdneg, a ym samym reakcji bieku na zmiany wymuszenia. Wysarczy nawe rienacyjna infrmacja płżeniu biegunów na płaszczyźnie zesplnej, na przykład: a e b f c g º Naszkicuj składwe rzwiązania swbdneg każdeg z układów a g (* d.pisać jak º Naszkicuj przykładwą dpwiedź skkwą raz impulswą układu (* e.pisać jak 3º Czy rzwiązanie jes sabilne? Odpwiedzi na pyania 3 mżna sprawdzić symulacyjnie rysując wykresy składwych swbdnych z dpwiedni dbranymi paramerami λ ( 5.4. Zadania badanie przebiegu złżnych funkcji (LAB 3 5.4.. Paramery i własnści złżnych funkcji (gólnie Celem pierwszych symulacji jes wygenerwanie wykresów kilku ypów funkcji (, kóre wysępują w rzwiązaniach równań różniczkwych i mgą mieć różny przebieg w zależnści d warści paramerów: d α> α< -e α e α -e α - 35 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
α + a ( = Ae, α ( = Ae sin ω + ϕ +, b ( α α c ( = Ae + Ae +, α α ( = Ae + A e sin ω + ϕ + d ( Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji º Spróbuj przewidzieć mżliwe psacie wykresów funkcji a-d dla >.. º Nasępnie napisz skryp, kóry dla pszczególnych funkcji rysuje ich składniki raz pełny przebieg (. Dbierz różne warści paramerów aby uzyskać charakerysyczne psacie wykresów: - w funkcji a zbadaj wpływ warści paramerów A, α,, - w funkcji b zbadaj wpływ warści paramerów α, ω, φ, - w funkcjach c i d zaprpnuj kilka zesawów paramerów, kóre zilusrują różne przypadki sumwania składwych w zależnści d warści paramerów α i i A i : - warści prównywalne: α α <, - warści ujemne, znacznie różne d siebie: α <, α <, α >> α, - warści różnych znaków: α <, α >, α >> α. Pgrupuj wykresy ak aby z jednej srny graniczyć ilść generwanych brazów, a z drugiej umżliwić prównanie przebiegów (prównywane przebiegi na jednym brazie, brazy w ej samej skali,... 3º Prównywanie przebiegów na pdsawie brazów prwadzi jedynie d rezulaów jakściwych. Zaprpnuj wskaźniki, kóre pzwliłyby na prównać wykresy w spsób ilściwy. 5.4.. Płżenie biegunów a przebiegi czaswe Ilusracja d 5... Jak dwrzyć całe rzwiązanie na pdsawie płżenia biegunów, np. dpwiedź skkwą, dwłując się d rzwiązania r.r. napisać pełne rzwiązanie i wyplwać 5.4.3. Zadania i pyania Wykresy funkcji ( wygenerwane w punkcie 5.4. pisują reakcje różnych bieków na pewne wymuszenia. º Jaką psać mają równania różniczkwe, kórych rzwiązaniem są funkcje (? º C mżna pwiedzieć ych pszczególnych biekach: jaki jes rząd układu, ile i jakie bieguny ma układ, czy jes sabilny,? 3º Przedsaw bieguny zbadanych układów na płaszczyźnie zesplnej. 4º Kóre z paramerów funkcji ( zależą d warunków pcząkwych. 5º Pdziel rzwiązania na składwą swbdną i wymuszną. Pdaj psać wymuszenia. 6º Naszkicuj przykładwą dpwiedź bieku na wymuszenie impulswe (. 7º Jak zmieni się psać rzwiązania równania różniczkweg jeśli wysąpią bieguny wielkrne? Przykład ładwanie i rzładwanie kndensara? Przykłady innych bardz prsych układów? - 36 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji 6. Symulacyjne rzwiązywanie równań różniczkwych 6.. Wprwadzenie rzwiązanie analiyczne i symulacyjne Badanie dynamiki bieków pisanych prsymi, liniwymi równaniami różniczkwymi lub układami akich równań mżna przeprwadzić rzwiązując analiycznie równanie różniczkwe, na przykład medą klasyczną (p..4.. Nie zawsze jednak przebny jes dkładny wzór rzwiązania. A przede wszyskim nie zawsze jes mżliwie uzyskanie eg wzru, czyli analiyczne rzwiązanie równania różniczkweg, zwłaszcza gdy jes n nieliniwe. Równania różniczkwe liniwe/nieliniwe mżna rzwiązywać również symulacyjnie za pmcą algrymów całkwania numeryczneg, kóre pzwalają wyznaczyć zachwanie bieku przy zadanym wymuszeniu i wybranych warunkach pcząkwych. Zasady knsrukcji i weryfikacji pprawnści schemaów symulacyjnych ych równań są akie same dla równań liniwych i nieliniwych. Oczywiście schemay układów liniwych są znacznie prssze. Symulacyjną medę badania mdeli rzeczywisych układów wybiera się zwykle wówczas gdy badania analiyczne są zby złżne. T znacza akże, że rudn cenić wiarygdnść uzyskanych wyników, b rudn je przewidzieć. Tymczasem dświadczenie pkazuje, że nawe pdczas ryswania prsych schemaów częs zdarzają błędy pmyłka w płączeniu, zły znak funkcji, paramer, ip. Sąd bardz ważnym eapem badań symulacyjnych jes weryfikacja pprawnści przygwaneg schemau przed rzpczęciem badań. Prpnwana meda piera się na wykrzysaniu symulacji dwlneg sanu równwagi bez żadnych zakłóceń (p. 6... Zakłada się, że pzyywnie zweryfikwany schema nie będzie edywany pdczas badań, c pzwli uniknąć przypadkwych błędów. Wbec eg schema pwinien być sparameryzwany, a prgram badań realizwany za pmcą skrypów. Prpnwana meda weryfikacji nie zapewnia ujawnienia wszyskich mżliwych błędów, ale sprawdza się w większści przypadków. Pdczas właściwych badań mżna zmieniać punk pracy (zależny d u i zakłócenie (du graniczając się jedynie d zmian w skrypcie. Jeśli ddakw skk warści wejściwej du będzie przesunięy w czasie (skk w chwili >, mżna sbie zapewnić pwarzalną knrlę pprawnści na wykresach pdczas ypweg badania reakcji na wymuszenie skkwe na dcinku wykres pwinien przedsawiać zawsze san równwagi (Rys. II-4. 6.. Definiwanie mdeli pprzez knsrukcję schemau symulacyjneg (LAB 4 6... Zasady knsrukcji D symulacyjneg rzwiązania równania różniczkweg (układu równań różniczkwych mżna wykrzysać graficzny spsób definiwania badanych mdeli, dsępny w prgramie Malab+Simulink lub Scilab+Xcs [5]. Tab. II-. Pdsawwe blki d definiwania schemaów mdeli Operacja Malab/Simulink Scilab/Xcs Ocave całkwanie Inegrar INTEGRAL_f --- wzmcnienie Gain GAINBLK_f sumar Sum BIGSOM_f sygnał wejściwy Sep STEP_FUNCTION sygnał czasu Clck CLOCK_c Równanie (układ równań należy przekszałcić w en spsób, aby p lewej srnie zsała najwyższa pchdna zmiennej wyjściwej, np.: a 3& && ( + a&& ( + a& ( + a ( = bu( & &&( = ( a&& ( a& ( a( + bu( (II-8 a3 Ryswanie schemau pwyższeg równania rzpczyna się d łańcucha blków całkujących (Inegrar na wyjściu sanieg blku będzie dsępne, czyli szukane rzwiązanie, a na wejściu pierwszeg będzie pdany sygnał najwyższej pchdnej badaneg równania (& & : i medy całkwania numeryczneg, np. w [/r.3], [9/r.7.] Uprządkwany skryp pmaga knrlwać pprawnść warści paramerów w klejnych symulacjach, np. ławiej zauważyć błąd w krókim skrycie niż przez przeglądanie paramerów w blkach na schemacie. - 37 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji & &( & &( & ( ( Rys. II-. Pierwszy eap knsrukcji schemau równania 3.rzędu łańcuch blków całkujących Na wejście łańcucha należy skierwać sygnał najwyższej pchdnej, sknsruwany z blków na pdsawie równania (II-8. Charakerysyczne pęle pwsające pmiędzy wejściami i wyjściami nie sanwią prblemu dla ieracyjnych algrymów całkwania numeryczneg, pnieważ pęle e zawierają blki całkujące z warunkami pcząkwymi (Rys. II-. u u+du Rys. II-. Schema równania 3.rzędu i skryp (m-plik Skryp: a=; a=; a=5; a3=; b=; u=; =b*u/a; =; =; du=; =; Na schemacie mżna wpisywać bezpśredni warści wszyskich przebnych paramerów, lub używać zmiennych Malaba (Scilaba, kóre zsaną zainicjwane przed uruchmieniem symulacji najlepiej w skrypcie. Dzięki zasswaniu zmiennych uzyskuje się uniwersalny schema, kóry mżna uruchamiać dla różnych zesawów paramerów. Na schemacie Rys. II- uży zmiennych a, a, a, a3, b kóre pełnią rlę paramerów równania, a akże zmiennych, i d kreślenia warunków pcząkwych, raz u i du d sparameryzwania funkcji wejściwej (Rys. II-. u Każdy sygnał wejściwy będzie definiwany jak wymuszenie u+du skkwe sparameryzwane za pmcą zmiennych ypu san u pcząkwy u i zmiana warści du (Rys. II-. Jeśli du=, na wyjściu blku Sep będzie sała warść. Rys. II-. Paramery wymuszenia skkweg (blku Sep Warunki pcząkwe dla równania różniczkweg mżna usalić za pmcą paramerów Iniial cndiin w blkach całkujących (dmyślnie e paramery mają warść zer. Na schemacie Rys. II- warunki pcząkwe zsały przekazane za pśrednicwem zmiennych i, dpwiadających warścim & ( i (. Jeśli warunki pcząkwe są kreślne przez warści & &( i & (, należy przeliczyć cc je na warści & ( i (. Ma miejsce na przykład przy uruchamianiu symulacji d sanu równwagi, czyli dla warunków & ( = & ( =. Pdsawienie warści & &( i & ( d równania (II-8 umżliwia bliczenie warści (, c znacza, że w blkach całkujących zsaną pdsawine warści = i =u/c (bliczne w skrypcie. Przeprwadzenie symulacji zaczyna się d uruchmienia skrypu za pmcą kmend dsępnych w menu edyra lub przez wywłanie nazwy pliku w knie Malaba (Scilaba. Także w knie edyra graficzneg dsępne są kmendy d uruchmienia symulacji dla daneg schemau i d kreślenia paramerów algrymu bliczeniweg (np. czas symulacji. bserwacja rzwiązania rejesracja rzwiązania (yp array rejesracja czasu (yp array Zaleca się żeby nazwy skrypów i schemaów były różne (niezależnie d różnicy rzszerzeń w nazwach plików, pnieważ prgramy symulacyjne inerpreują napkane nazwy w kreślnej klejnści (kmenda/funkcja, zmienna, schema, skryp i realizują pierwszą wyszukaną mżliwść w gólnści badane układy mgą mieć więcej niż jedn wejście - 38 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji Najprsszy spsób prezenacji wyników symulacji zasswanie na schemacie blku ypu scylskp (np. Scpe, przeznaczneg przede wszyskim d bserwwania wykresów warści na bieżąc pdczas symulacji. Wykresy mżna również naryswać p zakńczeniu symulacji za pmcą funkcji pl na pdsawie warści zarejesrwanych na przykład za pmcą blku Scpe lub T wrkspace. Operacja Malab/Simulink Scilab/Xcs Ocave Blk ypu scylskp Scpe Cscpe --- Blk zbierania danych T wrkspace TOWS_c --- Aby dwrzyć dany wykres knieczny jes wekr warści zmiennej raz wekr czasu, zawierający mmeny czasu (warści zmiennej, w kórych zsały wyznaczne warści rzwiązania. W celu pymalizacji bliczeń częs sswane są zmienn-krkwe algrymy całkwania i, a wówczas warści wekra czasu zmieniają się nierównmiernie. Warści zmiennych i czasu mgą być rejesrwane w psaci ddzielnych wekrów lub w psaci srukury zawierającej wekr warści i wekr czasu (w Malabie yp zmiennej kreśla się w blku rejesrującym T wrkspace, w Scilabie zawsze jes srukura ime+values. 6... Pprawnść charakerysyk czaswych i punky pracy Pprawne wyknanie badania reakcji na wymuszenie skkwe sygnału wejściweg wymaga by en skk był jedyną przyczyną zmian bserwwanych w układzie, znaczy, że musi być pdany na układ znajdujący się w sanie równwagi. W badaniach symulacyjnych mżna zrealizwać na dwa spsby: uruchmić symulację d dwlnych warunków pcząkwych, pczekać aż układ djdzie d sanu równwagi i wówczas pdać skk, z równania sayczneg wyznaczyć san równwagi dla pcząkwej warści sygnału wejściweg u i uruchmić symulację przyjmując jak warunki pcząkwe punk równwagi skk mżna pdać d razu na pcząku symulacji. Pierwszy spsób wymaga dłuższeg czasu symulacji i mżna g realizwać ylk w przypadku układów sabilnych (p. 7.. Drugi spsób wymaga przeprwadzenia ddakwych bliczeń (wyznaczenia sanu równwagi, ale jes bardziej gólny (układy liniwe/nieliniwe, sabilne/niesabilne i daje ddakwe mżliwści. War przygwać schema i skryp badaneg układu w en spsób aby uruchamiać symulację d dwlneg sanu równwagi na przykład w przypadku jedneg równania z jednym wejściem mżna zrealizwać w nasępujący spsób: użyć na schemacie zmiennych u (warść pcząkwa w blku skku i (warunek pcząkwy w kńcwym blku całkującym, zainicjwać warść u i wyliczyć warść dla daneg u na pdsawie wzru na san równwagi najlepiej w skrypcie. Ddakw mżna przesunąć mmen wysąpienia zmiany warści na wejściu: u( = u dla <, u(=u +du, dla >= (Rys. II-3. Wówczas na wyjściu układu d chwili bserwujemy san równwagi a reakcja układu mże pjawić się dpier d chwili (Rys. II-4, c pwierdza, że jedyną przyczyną reakcji układu jes zmiana sygnału wejściweg. u u k du u Rys. II-3. Przesunięe wymuszenie skkwe k Rys. II-4. Reakcja układu w sanie równwagi na skkwą zmianę warści na wejściu Na przebiegach czaswych Rys. II-3 i Rys. II-4 mżna zabserwwać czas i spsób przejścia układu z pcząkweg punku pracy (punk u, na charakerysyce saycznej d punku kńcweg (u k, k. Reakcje układów liniwych nie zależą d punku pracy (. i Parz: sał- i zmienn-krkwe algrymy całkwania numeryczneg np. weryfikację pprawnści schemau (parz II. - 39 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji W badaniach dynamiki układów wyznacza się również dpwiedź na zakłócenie impulswe i jeśli jes impuls Diraca δ(, mówimy dpwiedzi impulswej układu. Funkcja δ( impuls jednskwej pwierzchni, ale nieskńczenie króki i nieskńczenie wyski, więc prakycznie niewyknalny (i fizycznie, i symulacyjnie. Wbec eg ssuje się przybliżenia, na przykład impuls prskąny pwierzchni równej, zrealizwany za pmcą dwóch sygnałów skkwych przesunięych w czasie. Ddac rysunek (suma skków 6..3. Aumayzacja badań uruchamianie symulacji w rybie wsadwym Realizacja prgramu badań za pmcą skrypów zapewnia nie ylk dkumenację przyjęych załżeń (np. warści paramerów. Zarówn Malab jak i Scilab ferują akże mżliwść uruchamiania symulacji w rybie wsadwym (Tab. II-, c w płączeniu z elemenami prgramwania (pęle, insrukcje warunkwe pzwala zaumayzwać pwarzające się peracje, na przykład uruchamianie symulacji dla różnych zesawów paramerów i zbirczą prezenację wyników. Tab. II-. Funkcje d uruchamiania symulacji w rybie wsadwym Malab/Simulink Scilab/Xcs Uruchmienie symulacji sim cs_simulae Funkcje skjarzne simge simse ladxcslibs imprxcsdiagram Prgramy symulacyjne wykazują duże różnice w spsbie realizacji eg zadania ze względu na zesaw funkcji i ich działanie. Fragmeny skrypów w Tab. II-3 zawierają przykład pęli, kóra uruchamia symulacje dla schemau równania różniczkweg zapisaneg w pliku mdel. Zakłada się, że zmienna a jes paramerem mdelu, namias i są zmiennymi w blkach zbierania danych umieszcznych na schemacie. Efekem działania są wykresy przebiegów czaswych zmiennej i na ddzielnych rysunkach i w różnych klrach. Tab. II-3. Przykład skrypu z uruchamianiem symulacji Malab Scilab ladxcslibs(; imprxcsdiagram('mdel.cs'; //wrzy scs_m f=figure; hld n; grid n; n=figure(; se(gca(, 'au_clear', 'ff'; se(gca(, 'grid', [,]; f=figure; hld n; grid n; n=figure(; se(gca(, 'au_clear', 'ff'; se(gca(, 'grid', [,]; klr='rgb'; klr=['r', 'g', 'b']; ab_a=[,, 5]; ab_a=[,, 5]; fr i=:3 fr i=:3 a=ab_a(i; a=ab_a(i; []=sim('mdel'; scics_simulae(scs_m; figure(f; pl(,,klr(i; figure(n; pl(.ime,.values, klr(i; figure(f; pl(,,klr(i; figure(n; pl(.ime,.values, klr(i; end end W skrypcie Malaba wykrzysan fak, że funkcja uruchamiająca symulację (sim ma mżliwść zwracania warści, między innymi wekra czasu, kóry zsał pdsawiny pd zmienną i wykrzysany w funkcji pl. W ej syuacji zmienne i rejesrwane przez blki zbierania danych (T wrkspace mgą zamias srukury mieć psać prseg wekra (pcja Mari. Scilab nie udsępnia akich pcji dane w blku zbierania danych (TOWS_c zawsze mają psać srukury. Malab i Scilab różnią się eż znacznie w spsbie zmiany paramerów bliczeniwych, akich jak czas symulacji, wybór i paramery algrymu całkwania. Są ne przechwywane w pliku ze schemaem i mgą być zadawane pdczas edycji schemau. W rybie wsadwym mżna jednak uruchmić symulację z innymi paramerami niż e zapamięane ze schemaem. Częs dyczy czasu symulacji w Malabie pdaje się g jak paramer funkcji sim, a w Scilabie zmienia się elemen w srukurze scs_m, wrzącej się aumaycznie p wczyaniu schemau za pmcą funkcji imprxcsdiagram. 6.3. Przykłady i zadania (LAB 4 6.3.. Badanie własnści układu.rzędu Celem badań jes uzyskanie rzwiązania równania różniczkweg medą symulacyjną i prównanie z rzwiązaniem analiycznym. Badanim zsanie pdane prse, liniwe równanie różniczkwe. rzędu: a & + a ( = bu( (II-9 ( - 4 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc
Dynamika układów pdsawy analizy i symulacji Przykładem bieku pisaneg eg ypu równaniem jes na przykład (p. : pjedynczy zlinearyzwany zbirnik z wypływem cieczy (I-54, pjedynczy magazyn ciepła (I-6, sprężyna płączna z łumikiem (I-69 czy bwód elekryczny z cewką i rezysancją (I-77. Pnieważ równanie (II-9 bardz ław jes rzwiązać analiycznie, pzwli sprawdzić pprawnść rzwiązania symulacyjneg. Należy dbrać paramery a, a, b ak aby układ był sabilny alb wybrać jeden z przykładwych bieków fizycznych pierwszeg rzędu. Nasępnie zbudwać schema równania w śrdwisku Malab/Simulink lub Scilab/Xcs i przygwać skryp inicjujący warści paramerów, w ym również paramery sygnału wejściweg (u, du raz warunki pcząkwe (. º Wygeneruj rzwiązania ( dla sałej warści wejściwej (du= różnej d i dla różnych warunków pcząkwych: a & ( =, b & (, c ( =, d ( i różne d punku równwagi. Jaki wpływ na rzwiązanie ma warść sygnału wejściweg, np. u= raz u=? Dlaczeg niekóre symulacje generują wykres sałej warści a inne nie? º Zweryfikuj rzymane wykresy przez prównanie z analiycznym rzwiązaniem równania różniczkweg narysuj rzwiązanie pełne i jeg składwe (swbdną i wymuszną. 3º Wyknaj symulacje, kóra generuje: a dpwiedź skkwą, znaczy dla wymuszenia skkweg ( (warść pcząkwa wymuszenia u= i przyrs warści du= w chwili czas= i d sanu usalneg (warunek pcząkwy & ( = ; b dpwiedź na wymuszenie skkwe (zn. dwlna warść pcząkwa wymuszenia u i dwlny przyrs warści du; Dla knrli pprawnści wyknania symulacji przesuń mmen pdawania skku (czas>, ak by był widać pcząkwy san równwagi układu 4º Wyknaj symulacje, kóra generuje dpwiedź impuswą... Opisać gólnie zasady. 6.3.. Prównanie dpwiedzi analiycznych i symulacyjnych Przykład (rzeczywise bieguny a & ( + b& ( + c( = bu( (II-3 Przypadki: Wymuszenie u( =, warunki pcząkwe & ( =, ( =, Wymuszenie u( =, warunki pcząkwe & &( =, & ( =, 3 Odpwiedź skkwa układu, czyli u( = (, 4 Odpwiedz impulswa, czyli u( = δ(. Rzwiąż analiycznie i na pdsawie rzwiązani narysuj wykresy. Nasępnie sam zrealizuj symulacyjnie. Odpwiedzi muszą być idenyczne. Opisać gólnie zasady. - 4 -!!! RĘKOPIS PWr (wer.skryp57.dc