FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe a współczynnik kierunkowy b wyraz wolny Szczególnie ważny w postaci kierunkowej jest współczynnik kierunkowy (a), który decyduje o monotoniczności funkcji (gdy jest dodatni, funkcja jest rosnąca; ujemny - malejąca; gdy wynosi zero, to funkcja jest stała). Przykłady: y = 3x -2 (a = 3, b = - 2) y = -2x +5 (a = - 2, b=5) y = x +8 (a = 1, b = 8) y = -x +6 (a = - 1, b = 6) Szczególnym przypadkiem funkcji liniowej jest funkcja: y = ax (współczynnik b wynosi 0) Wykres funkcji tego rodzaju zawsze przechodzi przez początek układu współrzędnych - punkt (0,0). Na podstawie wzoru funkcji liniowej możemy określić jej własności oraz narysować jej wykres w układzie współrzędnych. Wykres Aby narysować wykres funkcji liniowej, należy wykonać dwie następujące po sobie czynności. Powstawanie wykresu funkcji przedstawimy na przykładzie: y = -2x + 4 I. Za pomocą wzoru określamy kilka punktów należących do funkcji (minimum 2). W tym celu wybieramy wartości x, podstawiamy je do wzoru i obliczamy wartości y. Wartości x i y pomocniczo możemy zapisywać w tabeli:
Otrzymujemy więc punkty: (0,4), (1,2), (2,0) II. Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i łączymy je prostą. FUNKCJA LINIOWA WŁASNOŚCI Określenie własności funkcji polega na ustaleniu kilku podstawowych cech danej funkcji, które przedstawiono poniżej. Ponadto pokażemy, jak sprawdzić czy dany punkt należy do wykresu funkcji.
Monotoniczność Monotoniczność dotyczy zależności między wzrostem argumentów i wartości funkcji. Najłatwiej (dla każdego typu funkcji) ocenić ją na podstawie wykresu. Mając do czynienia z funkcją liniową, równie łatwo można określić ją na podstawie wzoru. Funkcja liniowa może być: - rosnąca - malejąca - stała Monotoniczność na podstawie wzoru funkcji, określamy za pomocą współczynnika a, który nazywamy współczynnikiem kierunkowym funkcji. Gdy współczynnik kierunkowy (a) jest dodatni (a>0), funkcja jest rosnąca Piszemy: Funkcja jest rosnąca, lub zapisujemy symbolicznie:. Gdy współczynnik kierunkowy (a) jest ujemny (a<0), funkcja jest malejąca Piszemy: Funkcja jest malejąca, lub zapisujemy symbolicznie:. - Gdy współczynnik kierunkowy (a) wynosi 0, funkcja jest stała Piszemy: Funkcja jest stała, lub zapisujemy symbolicznie:. Monotoniczność na podstawie wykresu funkcji określamy na oko, oceniając czy wykres funkcji unosi się do góry (patrząc od lewej do prawej), w dół, czy jest linią poziomą. Przykłady:
Miejsce zerowe Jest to taki argument (x), dla którego wartość (y) wynosi 0. UWAGA: Funkcja stała nie ma miejsca zerowegoz wyjątkiem funkcji y = 0, która ma ich nieskończenie wiele. Mając do dyspozycji wzór funkcji, szukamy miejsca zerowego, podstawiając za y wartość 0 i z tak powstałego równania liczymy x (czyli miejsce zerowe). Piszemy: Miejsce zerowe funkcji wynosi: x = 2 Mając do dyspozycji wykres, szukamy punktu przecięcia wykresu z osią x i odczytujemy wartość argumentu (x), który jest miejscem zerowym.
Punkty przecięcia z osiami Mając do dyspozycji wzór funkcji, szukamy: - punktu przecięcia z osią x - podstawiając za y wartość 0 i z tak powstałego równania liczymy x (tak jak miejsce zerowe, bo graficznie miejsce zerowe znajduje się w punkcie przecięcia z osią x). Punkt przecięcia z osią x ma więc współrzędne: (-3,0) - punktu przecięcia z osią y podstawiając za x wartość 0 i obliczając y. Punkt przecięcia z osią y ma więc współrzędne: (0,12)
Mając do dyspozycji wykres, odczytujemy współrzędne obu punktów z wykresu. Punkt przecięcia z osią 0X: (-2,0) Punkt przecięcia z osią 0Y: (0,4) Sprawdzenie czy dany punkt należy do wykresu funkcji Aby sprawdzić czy dany punkt należy do wykresu funkcji, należy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i wykonać obliczenia po obu stronach powstałego równania, aby sprawdzić, czy lewa strona będzie równała się prawej. Jeżeli tak jest, to dany punkt należy do wykresu funkcji, jeżeli nie, znaczy to, że dany punkt nie należy do wykresu funkcji. Sprawdź czy punkty: A= (1,2); B=(-2,3) należą do wykresu funkcji: y = 3x-1. Punkt (1,2) należy do wykresu funkcji, a punkt (-2,3) nie należy.
Mając do dyspozycji wykres funkcji, wystarczy znaleźć dany punkt w układzie współrzędnych jeżeli leży on na prostej, która jest wykresem funkcji, to dany punkt należy do wykresu funkcji, jeżeli nie, znaczy to, że nie należy. Sprawdź czy punkty: (1,2); (-2,3) należy do wykresu funkcji: y = 3x-1. Punkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji, a punkt B=(-2,3) nie należy. Zadanie 1 Narysuj wykres funkcji. y = -x y = 2x + 1 y = -3x + 4 y = 5x -7 Zadanie 2 Na podstawie niżej podanych wzorów funkcji: - określ monotoniczność, - podaj miejsce zerowe, - punkty przecięcia z osiami, - sprawdź czy punkt A=(1,3), należy do wykresu funkcji. y = 5x -2 y = -3x + 12 y = 7 Zadanie 3 Na podstawie niżej przedstawionych wykresów funkcji: - określ monotoniczność, - podaj miejsce zerowe,
- punkty przecięcia z osiami, - sprawdź czy punkt A=(-2,4), należy do wykresu funkcji.
WARUNEK RÓWNOLEGŁOŚCI PROSTYCH Każda funkcja liniowa jest równaniem prostej. Dwie proste są równoległe, gdy ich wzory mają ten sam współczynnik kierunkowy (a). Proste k oraz l są równoległe ( l k) Obliczanie wzoru prostej równoległej do danej Podaj wzór prostej równoległej do prostej: y = 4x -5, jeżeli przechodzi przez punkt (1, -3). Aby poznać wzór prostej musimy obliczyć jej współczynniki (a i b). Na wstępie nie znamy wartości żadnego z nich. Możemy jedynie zapisać kierunkowy wzór funkcji liniowej: Korzystamy z informacji zawartych w zadaniu. Po pierwsze: prosta ma być równoległa do prostej y = 4x + 5, co oznacza, że ma ten sam współczynnik kierunkowy. Dlatego w miejsce a we wzorze, możemy wpisać liczbę 4: W tym momencie brakuje nam jeszcze wartości współczynnika b. Po drugie: szukana prosta, przechodzi przez punkt (1, -3). Możemy podstawić współrzędne punktu do wzoru i z tak powstałego równania obliczyć b.
Gdy znamy współczynnik b, wystarczy podstawić go do wzoru i w ten sposób otrzymujemy pełny wzór szukanej prostej: WARUNEK PROSTOPADŁOŚCI PROSTYCH Dwie proste są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe mają przeciwne znaki i są w stosunku do siebie liczbami odwrotnymi, czyli zachodzi równość: Przykładowo: jeżeli współczynnik kierunkowy pierwszej funkcji wynosi 4, to współczynnik kierunkowej drugiej powinien wynosić: Proste k oraz l są prostopadłe ( l k). Warunek prostopadłości tak jak warunek równoległości, wykorzystuje się jeszcze w dwóch sytuacjach: - w celu określenia wzoru funkcji prostej prostopadłej do danej, co przedstawimy w tym punkcie, - w zadaniach z parametrem, co zostanie przedstawione dalej.
Obliczanie wzoru prostej prostopadłej do danej. Mowa tu o zadaniach, w których podana jest funkcja, do której szukana prosta jest prostopadła oraz punkt przez jaki przechodzi. Podaj wzór prostej prostopadłej do prostej: y = 3x -5, jeżeli przechodzi ona przez punkt (-6, 5). Aby poznać wzór prostej zapisanej pod postacią kierunkowej, musimy obliczyć jej współczynniki (a i b). Na wstępie nie znamy wartości żadnego z nich. Możemy jedynie zapisać kierunkowy wzór funkcji liniowej: Korzystamy z informacji zawartych w zadaniu. Po pierwsze: prosta ma być prostopadła do prostej y = 3x -5. Oznacza to, że współczynnik kierunkowy szukanej funkcji powinien być liczbą przeciwną i odwrotną do liczby 3, czyli: W tym momencie brakuje nam jeszcze wartości współczynnika b Po drugie: szukana prosta, przechodzi przez punkt (-6, 5). Możemy podstawić współrzędne punktu do wzoru i z tak powstałego równania obliczyć b. Gdy znamy współczynnik b, wystarczy podstawić go do wzoru i w ten sposób otrzymujemy pełny wzór szukanej prostej: WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH Dwie proste na płaszczyźnie mogą być do siebie równoległe, pokrywać się lub przecinać w jednym punkcie (w tym: mogą przecinać się pod kątem prostym, lub innym kontem).
Gdy mamy określić, jak położone są względem siebie dwie proste, najlepiej sprawdzać poszczególne możliwość. 1) Czy proste są równoległe? 2) Czy proste się pokrywają? 3) Czy proste przecinają się pod kątem prostym? 4) Czy przecinają się pod innym kontem? UWAGA: Wystarczy sprawdzić pierwsze trzy możliwości. Jeżeli żadna nie dotyczy rozpatrywanych przez nas prostych, oznacza to, że musi zachodzić przypadek czwarty (pierwsze trzy punkty możemy rozpatrywać w dowolnej kolejności). Wiemy już jak sprawdzić ewentualność pierwszą i trzecią ( warunek równoległości i warunek prostopadłości prostych). Przedstawimy teraz jak sprawdzić czy dwie proste się pokrywają: Dwie proste się pokrywają, gdy ich wzory w postaci kierunkowej są identyczne: ALTERNATYWNY SPOSÓB Wzajemne położenie dwóch prostych można sprawdzić, rozwiązując układ równań złożony ze wzorów obu prostych. W trakcie rozwiązywania układu, okazuje się z jakim rodzajem układu mamy do czynienia, a rodzaj układu determinuje, jakie jest wzajemne położenie dwóch prostych. - gdy układ jest nieoznaczony, proste się pokrywają, - gdy układ jest sprzeczny, proste są równoległe, - gdy układ jest oznaczony, proste przecinają się w jednym punkcie (rozwiązując układ, otrzymamy jednocześnie współrzędne przecięcia obu prostych). Czasem jednak rozwiązanie układu nie wystarcza. Mowa tu o przypadku w którym okazuje się, że proste przecinają się w jednym punkcie. Wtedy należy dodatkowo ustalić, czy proste są prostopadłe, czy nie. Dane są proste: Zapisujemy układ równań, a następnie rozwiązujemy go :
Okazało się, że proste przecinają się w jednym punkcie [mamy nawet współrzędne tego punktu: (1, 6)]. Należy jeszcze sprawdzić, czy proste przecinają się pod kątem prostym Korzystając z podanych w zadaniu postaci kierunkowych prostych, wystarczy sprawdzić, czy spełniony jest warunek prostopadłości prostych. Współczynnik a prostej l wynosi 4, a prostej k wynosi -3. Współczynniki mają przeciwne znaki, ale nie są w stosunku do siebie liczbami odwrotnymi. Oznacza to, że proste nie przecinają się pod kątem prostym. Odpowiedź: Proste przecinają się w jednym punkcie, pod kątem innym, niż kąt prosty. OKREŚLANIE WZORU FUNKCJI, MAJĄC DANE DWA NALEŻĄCE DO NIEJ PUNKTY Aby poznać pełen wzór funkcji, musimy określić jej współczynniki (a i b): Gdy mamy dwa punkty, należące do jej wykresu, wystarczy podstawić współrzędne obu punktów do ogólnego wzoru postaci kierunkowej i rozwiązać układ równań, złożony z powstałych równań.
Szukana prosta przechodzi przez punkty: A(-2, 4), B(3, -11) Podstawiamy osobno oba punkty do wzoru: Punkt A(-2, 4): Punkt B(3, -11): Zapisujemy układ równań złożony z otrzymanych równań: Rozwiązujemy układ równań wybraną przez nas metodą, aby otrzymać współczynniki funkcji (a i b). Gdy znamy już oba współczynniki, podstawiamy je do wzoru:
ZADANIA Z PARAMETREM Zadania z parametrem możemy podzielić na dwie podstawowe grupy: - zadania związane z monotonicznością, - zadania związane z warunkiem prostopadłości i równoległości. Zadania związane z monotonicznością. Funkcja liniowa jest: - rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy (a) jest większy od zera, - malejąca, gdy współczynnik kierunkowy (a) jest mniejszy od zera, - stała, gdy współczynnik kierunkowy (a) jest równy zero. Dana jest funkcja: Jak wiemy współczynnik kierunkowy (a), to liczba stojąca przed x. Tu nie mamy do czynienia z jedną liczbą. Przed x stoi całe wyrażenie (2m-6) i to wyrażenie jest współczynnikiem kierunkowym podanej funkcji. Parametrem w tym wyrażeniu jest zmienna m. UWAGA: Parametr może przyjmować symbol jakiejkolwiek litery (nie musi to być litera m ). Zadania dotyczące monotoniczności mogą się ograniczać do zapytania o jeden rodzaj monotoniczności (np. dla jakiej wartości parametru m funkcja jest malejąca? ). My rozpatrzymy wszystkie ewentualności, czyli zbadamy monotoniczność w zależności od parametru m. - Dla jakiej wartości m, funkcja jest rosnąca? Skoro funkcja jest rosnąca, gdy a jest większe od zera, zapisujemy: Rozwiązanie nierówności wystarczy zapisać przedziałem (nie musimy zaznaczać wyniku na osi):
- Dla jakiej wartości m, funkcja jest malejąca? Skoro funkcja jest malejąca, gdy a jest mniejsze od zera, zapisujemy: - Dla jakiej wartości m, funkcja jest stała? Skoro funkcja jest stała, gdy a wynosi zero, zapisujemy: UWAGA: Możemy natrafić na bardziej złośliwe przykłady, w których najpierw należy przekształcić nieco wzór, aby wyznaczyć jakie wyrażenie będzie stanowić współczynnik kierunkowy. Dopiero po przekształceniu wzoru możemy określić a = (m + 4) i postępować dalej, jak przedstawiono to wcześniej.
Zadania związane z warunkiem prostopadłości i równoległości. Dla jakiej wartości m, proste l: y = (m-1)x + 4 oraz k: y = -6x - 7, są równoległe? Warunek równoległości dla postaci kierunkowej mówi, że współczynniki kierunkowe prostych muszą być równe. Zapisujemy więc: Odpowiedź: Proste l oraz k są równoległe dla m = -5. Dla jakiej wartości parametru m, proste l: y = (m-1)x + 4 oraz k: y = -6x - 7, są prostopadłe? Warunek prostopadłości dla postaci kierunkowej mówi, że współczynniki kierunkowe prostych muszą mieć przeciwne znaki i być w stosunku do siebie liczbami odwrotnymi (. ( ( : (-6) Odpowiedź: Proste l oraz k są prostopadłe dla. Zadanie 1. Narysuj wykresy funkcji.
Zadanie 2. Podaj wzór prostej równoległej do prostej l : y = -x + 2 i przechodzącej przez punkt A = (-2, 5). Zadanie 3. Podaj wzór prostej prostopadłej do prostej l : 4x - 2y + 16 = 0 i przechodzącej przez punkt A = (6, -4).
Zadanie 4. Określ wzajemne położenie prostych.
Zadanie 5. Podaj wzór prostej, przechodzącej przez punkty: A = (6, -7 ), B = (-2, 1).
Zadanie 6. Dla jakiej wartości parametru m podane funkcje są: rosnące, dla jakiej stałe, a dla jakiej malejące. Zadanie 7. Dla jakiej wartości parametru m podane proste są prostopadłe, a dla jakiej równoległe?