Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011

1 Rynkowe stopy procentowe Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp 2 3 Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa

Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp Obserwujemy wiele różnych stóp procentowych, z których każda na swój sposób określa cenę pieniądza w czasie i premię za ryzyko związane z obrotem instrumentami finansowymi w których instrumentem bazowym jest dana stopa. Głównymi rodzajami ryzyka wycenianymi w stopie są ryzyko kredytowe emitenta długu, przedrozliczeniowe stron transakcji, ryzyko płynności rynku na którym odbywa się obrót danym instrumentem.

Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp Główne typy rynkowych stóp procentowych Stopy skarbowe - stopy po których rządy (skarby) państw pożyczają pieniądze rentowności bonów skarbowych (w przypadku amerykańskich bonów skarbowych stopa dyskonta) stopy dochodowości obligacji skarbowych Stopy międzybankowe - stopy instrumentów, które są przedmiotem transakcji zawieranych między bankami stopy lokat/depozytów - w tym stopy referencyjne typu LIBOR, WIBOR, EURIBOR stopy kontraktów wymiany procentowej FRA, OIS, IRS Stopy dochodowości papierów komercyjnych - stopy dochodowości papierów wartościowych emitowanych przez przedsiębiorstwa (banki, korporacje), jednostki samorządu terytorialnego (gminy, miasta)

Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp Uwagi Do niedawna zwykło się uważać stopy skarbowe za stopy wolne od ryzyka kredytowego. W krajach, które suwerennie mogą zarządzać swoim pieniądzem, dług emitowany przez te kraje w swojej walucie, można wciąż uważać za wolny od ryzyka kredytowego (tego kraju). Dług rządowy emitowany w walucie zagranicznej, na przykład polskie EURO obligacje, zawiera w sobie już dodatkowe ryzyko polegające na tym, że rząd ten nie będzie w stanie obsługiwać tego długu z powodu niemożności wymiany swojej waluty na walutę długu.

Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp Stopy procentowe są bezpośrednio obserwowane na rynku, to znaczy, są kwotowane lub są ogłaszane przez uprawnionych agentów (stopy referencyjne), wynikają (są implikowane), przez odpowiednie transformacje, z cen pewnych instrumentów - na przykład, stopy dochodowości (wewnętrzne stopy zwrotu) obligacji, stopy forward implikowane z cen kontraktów futures na depozyty (Eurodollar futures), stopy zerokuponowe - stopy dochodowości hipotetycznych obligacji zerokuponowych, które są związane z czynnikami dyskontowymi dopasowanymi do cen określonej grupy instrumentów finansowych. W matematyce finansowej używa się również stóp teoretycznych, które nie są obserwowalne na rynku, na przykład chwilowa (krótkoterminowa) stopa spot, chwilowa (krótkoterminowa) stopa forward.

Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp Annualizacja stóp procentowych Odległość między dwoma datami wyznaczającymi okresu czasu wyrażamy liczbami rzeczywistymi, to jest w latach (rok jest jednostką czasu), bowiem stopy procentowe będziemy zawsze podawać zannualizowane, tzn. w skali jednego roku. Ułamek roku to funkcja yf (T 1, T 2, baza) sparametryzowana tzw. bazą stopy procentowej, określająca specyficzny dla tej stopy sposób kalkulacji długości okresu czasu, wyznaczonego przez datę początku T 1 oraz datę jego końca T 2, wyrażonego liczbą rzeczywistą. Będziemy też pisać umownie T 2 T 1 = yf (T 1, T 2, baza).

Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp Przykłady ułamków roku dla bazy stopy ACT/365 yf (T 1, T 2, ACT /365) = liczba_dni od T 1 do T 2 365 dla bazy stopy ACT/360 yf (T 1, T 2, ACT /360) = liczba_dni od T 1 do T 2 360 dla bazy stopy 30/360 yf (T 1, T 2, 30/365) = liczba_dni 30 od T 1 do T 2 360 gdzie liczba_dni 30 między dwoma datami jest liczona przy założeniu, że każdy pełny miesiąc w tym okresie ma 30 dni.

Czynnik dyskontowy Czynnik dyskontowy DF (t, T ) to wielkość, która sprowadza do chwili t wartość przepływu pieniężnego CF (T ) następującego w chwili T, to znaczy, NPV (t, CF (T )) = DF (t, T ) CF (T ) Zatem, w szczególności, jeżeli istnieje obligacja zerokuponowa zapadająca w chwili T, to DF (t, T ) = DF (t, T ) gdzie B(t, T ) jest bieżącą ceną tej obligacji za jednostkę nominału i wówczas te dwa pojęcia możemy używać wymiennie.

Wartość strumienia przepływów pieniężnych Niech C(t i ) oznacza przepływ pieniężny, który następuje w chwili t i t. Wartość strumienia (portfela) przepływów {C(t i )} i=1,...,n (w tej samej walucie) w chwili t wynosi P(t) = n DF (t, t i )C(t i ). (2.1) i=1 Jeśli t jest chwilą bieżącą, wielkość P(t) nazywamy wartością bieżącą strumienia {C(t i )} i=1,...,n i zwykle oznaczamy symbolem NPV (t). Ponieważ wiele instrumentów finansowych można przedstawić w postaci strumienia przepływów pieniężnych, wzór (2.1) jest podstawowym modelem wyceny takich instrumentów.

Krzywa czynników dyskontowych czyli funkcja [t, + ) T DF (t, T ) jest fundamentalnym pojęciem używanym w inżynierii finansowej. Podstawowe własności DF (t, T ) DF (t, T ) < 1 dla 0 t < T DF (T, T ) = 1 obserwując w chwili t 0: funkcja DF (t, ) jest malejąca, to jest DF (t, T 1 ) > DF (t, T 2 ) dla każdych t T 1 < T 2 funkcja DF (t, ) jest różniczkowalna (to jest założenie) dla ustalonego T : (0, T ) t DF (t, T ) jest procesem stochastycznym

Wyznaczenie krzywej czynników dyskontowych odbywa się przez dopasowanie krzywej czynników dyskontowych DF (t, T ) do obserwowanych cen wybranej grupy instrumentów finansowych, tak by wycena z modelu tych instrumentów wyznaczona z zastosowaniem tej krzywej była zgodna z cenami rynkowymi tych instrumentów. Sens tworzenia krzywych czynników dyskontowych Krzywa czynników dyskontowych odzwierciedla w jednolity spójny sposób informację o wartości pieniądza w czasie i cenie za ryzyko związane z obrotem grupą instrumentów do cen których została ona dopasowana.

Główne kategorie krzywych czynników dyskontowych krzywe obligacyjne - dopasowane do cen obligacji krzywe międzybankowe - dopasowane do cen instrumentów handlowanych na rynku międzybankowym krzywe swapowe - zbudowane na depozytach, FRA, IRS krzywe OIS -zbudowane na kontraktach OIS krzywe dwuwalutowe swapowe - zbudowane na kontraktach FX swap, CIRS Krzywa czynników dyskontowych jest w procesie jej wyznaczania pozbawiona specyfiki związanej z atrybutami instrumentów finansowych na bazie których była wyznaczona co ułatwia jej stosowanie na potrzeby wyceny lub analizy ryzyka.

Uwagi By zaznaczyć walutę (CUR) w której dyskontowany jest przepływ pieniężny będziemy czasami stosować notację DF CUR (t, T ) W teorii modeli stóp procentowych definiuje się również stochastyczny czynnik dyskontowy ( T ) D(t, T ) = exp r u du gdzie r t jest krótko-terminową (chwilową) stopą natychmiastową (o tej stopie będziemy mówić w dalszej części wykładu). W ramach tej teorii pokazuje się, że B(t, T ) = E Q (D(t, T ) F t ) gdzie F t jest tzw. filtracją (zasobem informacji dostępnej do chwili t włącznie). t

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Stopa zerokuponowa dla terminu T to stopa dochodowości hipotetycznej obligacji zerokuponowej zapadającej w chwili T, której bieżąca wartość wynosi DF (t, T ). W zależności od przyjętego mechanizmu kapitalizacji stopy dochodowości w powyższej definicji otrzymujemy różnego rodzaju stopy zerokuponowe.

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Zerokuponowa stopa prosta L(t, T ) dla okresu [t, T ] to wewnętrzna stopa zwrotu obligacji zerokuponowej zapadającej w chwili T wyznaczona jako stopa o tzw. prostej kapitalizacji odsetek skąd DF (t, T ) = 1 1 + (T t)l(t, T ) L(t, T ) = 1 1 DF (t, T ) T t DF (t, T ) (2.2) (2.3)

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Zerokuponowa stopa kapitalizowana w sposób ciągły R(t, T ) dla okresu [t, T ] to wewnętrzna stopa zwrotu obligacji zerokuponowej zapadającej w chwili T wyznaczona jako stopa o tzw. ciągłej kapitalizacji odsetek skąd DF (t, T ) = 1 exp ((T t)r(t, T )) ln DF (t, T ) R(t, T ) = T t (2.4) (2.5)

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Zerokuponowa stopa kapitalizowana m-krotnie Y m (t, T ) dla okresu [t, T ] to wewnętrzna stopa zwrotu obligacji zerokuponowej zapadającej w chwili T wyznaczona jako stopa o tzw. m-krotnej (w ciągu roku) kapitalizacji odsetek DF (t, T ) = ( 1 1 + Ym(t,T ) m ) m(t t) (2.6) skąd ( ) 1 Y m (t, T ) = m 1 DF (t, T ) 1/(m(T t)) (2.7)

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Uwagi Korzystając z warunków (2.2), (2.4), oraz (2.6) możemy wyprowadzić formuły wiążące wzajemnie stopy L(t, T ), R(t, T ), oraz Y m (t, T ). Wszystkie te stopy wyrażają to samo, tj. koszt pieniądza w czasie i premię za ryzyko wbudowane w instrumenty do cen których krzywa czynników została dopasowana, z tym że każda w na swój sposób. Określenie R(t, T ) jako stopa kapitalizowana w sposób ciągły jest uzasadnione przez następujący fakt. Mianowicie, jeśli granica lim m Y m (t, T ) istnieje, to lim Y m(t, T ) = R(t, T ) m Definiując stopy zerokuponowe, należy zwrócić uwagę na sposób obliczania długości okresu czasu (tzw. ułamek roku, czyli wielkość T t).

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Ponieważ krzywa swapowa jest określona jedynie przez wartości czynników dyskontowych DF (t, T i ) dla standardowych tenorów T i (i = 1,..., p), które odpowiadają czasom trwania instrumentów użytych do ich wygenerowana, należy jeszcze wyspecyfikować metodę interpolacji metodę ekstrapolacji przy pomocy których wyznacza się wartości DF (t, T ) dla dowolnych tenorów T.

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Przykład interpolacji Dla T i T T i+1 określamy DF (t, T ) = ( DF (t, T i ) ) 1 τ ( DF (t, Ti+1 ) ) τ (2.8a) gdzie τ = T T i T i+1 T i Przykład ekstrapolacji Dla t T < T 1 lub T > T p określamy DF (t, T ) = ( DF (t, T i ) ) T /T i gdzie i = 1 lub p (2.8b)

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa W matematycznym modelowaniu stóp procentowych operuje się również pewnymi abstrakcyjnymi teoretycznymi stopami procentowymi. Jedną z takich stóp jest Krótko-terminowa (chwilowa) stopa natychmiastowa (ang. spot short interest rate), zdefiniowana w następujący sposób r(t) = lim R(t, T ) T t + Dla oznaczenia tej stopy będziemy również używać symbolu r t.

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Z powyższej definicji, oraz z własności funkcji DF (t ) wynika, że r t = DF (t, T ) ln DF (tt) lim ln = T t + T t T ln DF (t, T ) T =t Można również pokazać, że lim L(t, T ) = r(t) T t + Z tego powodu za rynkowy odpowiednik stopy chwilowej czasami przyjmuje się krótko terminową stopę lokat/depozytów na rynku międzybankowym.

Definicje stóp zerokuponowych Interpolacje i ekstrapolacje Chwilowa stopa natychmiastowa Dynamikę struktury stóp procentowych próbuje się modelować formułując stochastyczne równania różniczkowe dla odpowiednio dobranych stóp procentowych. Podstawowa klasa modeli stóp procentowych dotyczy stopy chwilowej r t = r(t). Jednym z takich modeli jest następujący model Hull-White a gdzie a i σ są stałymi, dr t = (θ(t) ar t )dt + σdw t θ(t) pewną funkcją deterministyczną. Model Hull-White a jest modelem z powrotem do średniej - stopa krótko terminowa powraca do średniej θ(t)/a w tempie a. Parametry modelu (funkcję θ, stałe a i σ) dobiera się w taki sposób by dopasować go bieżącej struktury stóp procentowych.