Podstawy techniki cyfrowej zima Wykład dr inż. Rafał Walkowiak

Podobne dokumenty
Podstawy techniki cyfrowej zima Wykład dr inż. Rafał Walkowiak

Podstawy techniki cyfrowej zima Wykład dr inż. Rafał Walkowiak

Podstawy techniki cyfrowej cz1

ELEKTRONIKA CYFROWA. Materiały y pomocnicze do wykład sem.. 1

Bardzo krótki wstęp do elektroniki cyfrowej

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

Podstawy układów logicznych

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Podstawy Techniki Cyfrowej Układy komutacyjne

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

WSTĘP DO INFORMATYKI

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Tranzystor JFET i MOSFET zas. działania

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

INSTYTUT CYBERNETYKI TECHNICZNEJ POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ ZAKŁAD SZTUCZNEJ INTELIGENCJI I AUTOMATÓW

Minimalizacja form boolowskich

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Matematyczne Podstawy Informatyki

Podstawy programowania obiektowego

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne

H L. The Nobel Prize in Physics 2000 "for basic work on information and communication technology"

Technika Cyfrowa 1 wykład 1: kody. Dr inż. Jacek Mazurkiewicz Katedra Informatyki Technicznej

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia i ich zastosowań w przemyśle" POKL

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

ćwiczenie 202 Temat: Układy kombinacyjne 1. Cel ćwiczenia

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Architektura komputerów Wykład 2

Podstawy Automatyki. Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

4. UKŁADY FUNKCJONALNE TECHNIKI CYFROWEJ

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Badanie regularności w słowach

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Zadania do wykładu 1, Zapisz liczby binarne w kodzie dziesiętnym: ( ) 2 =( ) 10, ( ) 2 =( ) 10, (101001, 10110) 2 =( ) 10

H L. The Nobel Prize in Physics 2000 "for basic work on information and communication technology"

WYKŁAD 7 CYFROWE UKŁADY SCALONE

CYFROWE UKŁADY SCALONE. Technologia planarna

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych

Koszt literału (literal cost) jest określony liczbą wystąpień literału w wyrażeniu boolowskim realizowanym przez układ.

Ćw. 1: Systemy zapisu liczb, minimalizacja funkcji logicznych, konwertery kodów, wyświetlacze.

Lekcja na Pracowni Podstaw Techniki Komputerowej z wykorzystaniem komputera

Dr inż. Jan Chudzikiewicz Pokój 117/65 Tel Materiały:

Bramki logiczne Podstawowe składniki wszystkich układów logicznych

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Architektura systemów komputerowych Laboratorium 5 Kodowanie liczb i tekstów

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Arytmetyka liczb binarnych

Układy cyfrowe. Najczęściej układy cyfrowe służą do przetwarzania sygnałów o dwóch poziomach napięć:

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne

SZTUCZNA INTELIGENCJA

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

Układy Logiczne i Cyfrowe

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Wielkość analogowa w danym przedziale swojej zmienności przyjmuje nieskończoną liczbę wartości.

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Transkrypt:

Podstwy techniki cyfrowej zim 27 Wykłd dr inż. Rfł Wlkowik

Litertur. Podstwy Techniki Cyfrowej, Brry Wilkinson, WKiŁ 2 2. Podstwy projektowni ukłdów logicznych i komputerów, M.M.Mno, Ch.R.Kime, WNT 27 3. Komputerowe projektownie ukłdów cyfrowych, T.Łub, B.Zbierzchowski, WKiŁ, 2 4. Podstwy projektowni ukłdów cyfrowych, Cezry Zieliński, PWN 22 5. Język VHDL: projektownie progrmowlnych ukłdów logicznych, Kevin Shkill, WNT 24 6. Ukłdy cyfrowe, Zbiór zdń z rozwiąznimi, J.Tyszer, G.Mruglski, Wydwnictwo PP 7. Ukłdy Sclone TTL w systemch cyfrowych, J. Pienkos, J. Turczyński, WkiŁ, 994 2

Zkres przedmiotu Wstęp: rytmetyk binrn, lgebr Boole, kody binrne, BCD, podstwowe funkcje logiczne, sposoby przedstwini funkcji logicznych - postcie knoniczne, minimlizcj funkcji logicznych, łączn minimlizcj funkcji logicznych, hzrd. Technologie CMOS,TTL i ich wpływ n włściwości użytkowe ukłdów, brmki logiczne. Ukłdy kombincyjne: multipleksery i demultipleksery; komprtory, łączenie komprtorów; kodery, dekodery, trnsltory kodów; sumtory: sumtory binrne, dziesiętne. Podstwowe elementy sekwencyjne: ztrzsk RS, ztrzsk D, przerzutniki: D, JK, T; prmetry czsowe, rejestry szeregowe, równoległe, przesuwne, rejestry liczące. Liczniki: synchroniczne i synchroniczne, binrne, dziesiętne; łączenie liczników, syntez liczników, skrcnie liczników, tktownie systemów cyfrowych, częstotliwości mksymlne liczników; Automty synchroniczne: Moor, Melego, grf i tblic przejść utomtu, minimlizcj stnów, kodownie stnów, funkcje przejść i wyjść i implementcj utomtu n przerzutnikch. Język opisu sprzętu VHDL : jednostki projektowe, obiekty, typy, typy rozstrzyglne, instrukcje współbieżne i sekwencyjne, komponenty, strukturlny i behwiorlny opis ukłdów, przykłdowe relizcje ukłdów kombincyjnych, sekwencyjnych, utomtów. Ukłdy progrmowlne: ROM, PLD, PLA, PAL, FPGA. Syntez wyższego poziomu: implementcj ukłdów cyfrowych dl relizcji lgorytmów przetwrzni dnych;, opisy ukłdu: sieć dziłń lgorytmu, digrm synchronicznego ukłdu sekwencyjnego, digrm synchronicznego ukłdu sekwencyjnego ze zintegrowną ścieżką dnych; projekt: schemt strukturlny, opis ukłdu cyfrowego w języku opisu sprzętu. Ukłdy mikroprogrmowlne w sterowniu ukłdmi cyfrowymi. Pmięci: sttyczne i dynmiczne, RAM, CAM, łączenie pmięci, prmetry, cykle zpisu i odczytu. Współprc ukłdów cyfrowych z otoczeniem; wprowdznie i wyprowdznie dnych, wyświetlnie sttyczne i dynmiczne. Sposoby orgnizcji systemów cyfrowych: itercj w czsie i przestrzeni. Automty synchroniczne, minimlizcj liczby stnów i kodownie stnów, przykłdy implementcji. 3

Podstwowe informcje orgnizcyjne Zliczenie: 2 sprwdziny n ćwiczenich i egzmin Ocen - średni wżon. Sprwdzin z określonego mteriłu ćwiczeń : n ćwiczenich i n osttnim wykłdzie. Egzmin w sesji egzmin nleży zliczyć. Wrunek konieczny do zwolnieni z egzminu min 8 % obecności n wykłdch ze sprwdzną obecnością. 4

Systemy cyfrowe System cyfrowy to ukłd powiąznych ze sobą elementów projektowny w celu relizcji tkich zdń jk: przetwrznie informcji (w tym obliczeni) sterownie urządzenimi i innymi systemmi i obiektmi (np. silniki, zwory, piece itp.) Przetwrzne informcje zpisne są z pomocą wrtości z określonego ogrniczonego zbioru (np. cyfr w różnych systemch liczeni). 5

Systemy liczeni * Co już wiemy: [, str 5-22] Pozycyjne systemy liczeni dziesiętny, dwójkowy (NKB), ósemkowy, szesnstkowy Konwersje liczb między systemmi, konwersje liczb ułmkowych Systemy uzupełnieniowe: Uzupełnienie do K - Uzupełnienie liczby N o n cyfrch zpisnej w systemie o podstwie K definiujemy jko liczbę równą: K n N liczb w kodzie Uzupełnienie do K jest reprezentown przez wrtość różnicy K n i N (wyrżoną w systemie o podstwie K) Np. liczb dziesiętn trzy cyfrow K= n=3 liczb z systemu dziesiętnego 345 zpisn w systemie uzupełnieniowym do m postć 655, liczb 345 w systemie dziesiętnym: 345=345 (zer nieznczące) Liczb 345 w systemie uzupełnienie do : 655=99655 (dziewiątki nieznczące) Liczb dwójkow w systemie uzupełnienie do 2 m postć lub (jedynki nieznczące) wrtość 3 uzupełni 5 do 8, wrtość 59 uzupełni 5 do 64 * Litertur: Wilkinson, Strony 5-28 6

Reprezentcje liczb binrnych ze znkiem Reprezentcj znk moduł ZM njstrszy bit określ znk liczby, pozostłe bity bez zminy Reprezentcj uzupełnieniow RU to bit znku i zstosownie kodu U2 dl liczb ujemnych bit znku () i moduł liczby dodtniej w NKB, bit znku () i moduł liczby ujemnej w kodzie U2, njbrdziej znczące jedynki możn usunąć z zpisu Przykłd -8, moduł 8 u2(8)= -8= RU()=RU() 8=RU() N ZM(N) RU(N) N2 ZM(N2)=RU(N2) -8-7 -7 6-6 5-5 4-4 3-3 2-2 - 7

Reprezentcj uzupełnieniow Binrn liczb dodtni jest zpisywn n wystrczjącej liczbie pozycji i uzupełnin zermi n pozycjch brdziej znczących: (3) = () 2 = () 2 Binrn liczb ujemn jest zpisywn: w uzupełnieniu do 2 i poprzedzon n pozycji njstrszej i uzupełnion jedynkmi n pozycjch brdziej znczących: (-3) = () UZ = () UZ Gdy njstrszy bit U2 = jest bitem znku, nie potrzeb umieszczć przed kodem U2-8 D = UZ Notcj uzupełnieniow liczb binrnych pozwl n dodwnie liczb dodtnich i ujemnych relizowne przez sumtor zprojektowny dl liczb wyrżonych w NKB. 8

Dodwnie liczb ujemnych wykorzystnie notcji UZ -3 +(-2) () = -5-3 +2 = - -3 +5 () = 2 Przeniesienie jest ignorowne, wynik poprwny gdy przeniesieni: n njstrszy bit i z njstrszego bitu są jednkowe. 9

Odejmownie liczb dodwnie liczby przeciwnej (3d) + (-5d) ------------- (-2d) (5d) + (-3d) ---------------- (2d) Binrn liczb ujemn bit znku i liczb binrn w uzupełnieniu do 2 = 22 (d) Wyznczenie liczby w kodzie U2 Medtod : negcj bitów dodnie jedynki = -22 (d) Metod 2: Negcj bitów brdziej znczących -strszych niż njmniej znczący bit równy. -> dodtkowy bit niepotrzebny dl -4 -> konieczny dodtkowy bit dl -5 ->

Odejmownie binrne D dodtni U ujemn D U= D+D=D (sprwdzenie przepełnieni) D D2 = D gdy (D>D2) lub U gdy (D<D2) U-D= U + U = U (sprwdzenie przepełnieni)

Dodwnie liczb przepełnienie (3d) + (3d) ------------- (6d) wynik dodtni poprwnie (-3) + (-3) ---------------- (-6) wynik ujemny poprwnie (5d) + (5d) ---------------- -(6d) Wynik ujemny - niepoprwny (-5) + (-5) ----------------- (6) wynik dodtni - niepoprwny Wynik niepoprwny przepełnienie ndmir - gdy przeniesieni n njwyższą pozycję i z njwyższej pozycji są różne. 2

Kody dwójkowe niewgowe pozycj binrn nie posid wgi Kod cyfr 2 3 4 5 6 7 8 9 Z ndmirem 3 Gry Wtts Johnson Wskźników 7 segmentowych 7 2 6 3 5 4 3

Kody dwójkowo-dziesiętne Do reprezentcji cyfr dzisiętnych cyfr dziesiętnych (,,2,3,4,5,6,7,8,9) zkodownych z pomocą ciągu 4 bitów (ciąg ten dostrcz 6 kombincji n 4 bitch) 6 kombincji jest niewykorzystnych. Wrinty kodów dwójkowo-dziesiętnych: Kody wgowe pozycj binrn posid przypisną wgę Kody niewgowe pozycj binrn nie posid wgi 4

Kody dwójkowo-dziesiętne wgowe kod Nturlny NKB Aiken Wgi cyfr 842 2*42 242 742 84-2- 2 3 4 5 6 7 8 9 5

Kody detekcyjne kod z 2 z 5 2 z 7 Bin z Bitem przystości Wgi-> cyfr 98765432 niewgowy 5432 842 BP 2 3 4 5 6 7 8 9 Kody z kontrolą przystości i ze stłą liczbą jedynek pozwlją n wykrycie pewnych błędów przy przesyłniu słów kodowych. 6

Cyfry dziesiętne kodowne w NKB kod BCD 842 Dziesiętny chrkter informcji lecz kodownie NKB cyfr 2345 ()= (BCD) 4 pozycje cyfr dziesiętnych Dodwnie liczb w kodzie BCD relizowne tk jk dodwnie liczb binrnych, lecz: wystąpienie podczs dodwni liczb przeniesieni n pozycję kolejnej cyfry dziesiętnej (kolejne 4 bity) wymg skorygowni (czyli dodni wrtości 6) n tej pozycji, z której przeniesienie wystąpiło wystąpienie wyniku n 4 bitch (jednj pozycji cyfry dziesiętnej) spoz zkresu (-5) wymg skorygowni wyniku czyli dodni wrtości 6 n tej pozycji cyfry dziesiętnej, któr nie jest poprwn; może wystąpić przeniesienie, które nleży uwzględnić n kolejnej pozycji (le bez korekcji pozycji bieżącej), możliw również propgcj przeniesieni np. dl liczb 3456 +6545. 7

Dodwnie w kodzie BCD 89 +8 ----- 7 + ----------------------- przeniesienie -> korekcj ------------------------ wrtość spoz przedziłu ->korekcj ------------------------ przeniesienie bez konieczności korekcji 8

Kody lfnumeryczne Kody służące do kodowni znków w systemch cyfrowych, w urządzenich współprcujących z komputerem, np. drukrki, ekrny lfnumeryczne. Przykłdmi kodów lfnumerycznych są kody: ASCII ISO-7, ISO 8859, Unicode, Windows-25. Kod ASCII ISO-7 7 bitowy pełny zbiór zwier 28 znków, pierwsze 33 znki służą do sterowni systemu drukowni lub wyświetlni, pozostłe znki to: duże i młe litery, cyfry, znki przestnkowe i inne. 9

Kod ISO-7 2

Algebr Boole * Nrzędzie mtemtyki (lgebr logiki) służąc do opisu i projektowni systemów cyfrowych. Zmienne boolowskie mogą przyjąć jedn z dwóch wrtości lub są to zmienne binrne (jednobitowe) Podstwowe funkcje lgebry Bool Iloczyn logiczny I (AND),,,, (lterntywne oznczeni) Sum logiczn LUB (OR),,+,,,, (lterntywne oznczeni) Negcj NIE (NOT) lini nd zmienną,, (lterntywne oznczeni) Funkcj boolowsk (logiczn, przełączjąc) jest dziłniem n zmiennych boolowskich i przyjmuje wrtości ze zbioru {,}. Algebr Boole jest zgodn z nstępującymi postultmi: * Litertur Wilkinson 35-53 2

Notcj: Postulty Huntington () Z = {,} zbiór wrtości, b dowolne zmienne binrne A Domknięcie dziłń: + b Z AB Z A2 Elementy stłe: Istnieją tkie i : += i = A3 Przemienność: +b=b+ b= b A4 Rozdzielność: (b+c)=b+c +(bc)=(+b)(+c) również mnożeni względem dodwni A5 Istnienie negcji: dl istnieje : + = = 22

Postulty Huntington (2) Zsd dulności: Wyrżenie dulne powstnie poprzez zminę opertorów binrnych i stłych: +, +,, Wrtościowni (prwd, fłsz) wyrżeni prostego i dulnego jest jednkowe. np wyrżenie proste: (b+c)=b+c Wyrżenie dulne: +(bc)=(+b)(+c) 23

Przeksztłcnie funkcji logicznych Dl minimlizcji postci wyrżeń (funkcji) boolowskich służą tożsmości i twierdzeni lgebry boole. Minimlizcj pozwl n uzysknie prostszej, tńszej implementcji funkcji tńsz implementcj m mniej skłdników orz/lub skłdniki prostsze. 24

Twierdzeni lgebry Boole Idempotentność (łc. tki sm) +=, = Jednoznczność negcji dl kzdego istnieje tylko jeden element Domincj - dl kżdego = += Podwójn negcj dl kzdego zchodzi Pochłninie - +(b)= (+b)= 25

Twierdzeni lgebry Boole Uproszczenie (+b)+ b=+b(+ )=+b Minimlizcj - Łączność (+b)+c=+(b+c) (b) c= (b c) Konsensus (zgod) Wystrczy jedn dl b i c, wystrczy jedno dl b i c b b) ( ) ( b b b b b b ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c b c b c b c b c b c b 26

Prwo de Morgn b c... b c b c... b c... 27

Funkcje logiczne dwóch zmiennychi ich wrtości zmienne binrne b Wrtości b b b b Równnie Nzw Skrót rgumentów funkcji funkcji Nzwy Wrtości funkcji b b b b ( b)+(b ) +b (+b) (b)+( b ) b +b +b (b) Stł Zero Iloczyn logiczny Zkz przez b Identyczn z Zkz przez Identyczn z b Sum modulo Sum logiczn Negcj sumy Równowżność Negcj b Implikcj b Implikcj Implikcj b negcj iloczynu Stł AND XOR OR NOR EQU NAND 28

Populrne funkcje logiczne Szczególnie populrne AND, OR, NAND, NOR, XOR,NOT XOR wrtość funkcji równ dl różnych rgumentów Zleżności dl XOR (sum wyłczn) i XNOR (równowżność): b= b+b =(+b)( +b ) (b) = b=b =b+ b =( +b)(+b ) = = Różne interpretcje logiczne wielowejściowych brmek XOR/XNOR. Njczęściej brmk wykryw nieprzystą liczbę jedynek (XOR) lub przystą liczbę jedynek XNOR. 29

System funkcjonlnie pełny - SFP Zbiór funkcji pozwljący n przedstwienie Wyrżenie kżdej innej funkcji logicznej. 3 przykłdy S.F.P: {NAND}, {OR,AND,NOT}, {NOR} 3

Sposoby przedstwini funkcji logicznych Tblic prwdy Nr kombincji x x x 2*** x n- f 2 3 4 5 * * * 2 n - *** *** *** Wrtości funkcji np. nr we wy 2 3 Nr kombincji wejść, wrtości kombincji wejść, odpowidjące wejściu wrtości n wyjściu Zwier wszystkie kombincje zero-jedynkowe zmiennych niezleżnych i odpowidjące im wrtości funkcji 3

Sposoby przedstwini funkcji logicznych Tblice Krnugh Kombincji wejść odpowid pole tblicy, w polu umieszczmy włściwą dl kombincji wrtość. Sąsiednie (w poziomie i pionie tkże cyklicznie) pol tblicy Krnugh odpowidją kombincji rgumentów różniącej się jedną wrtością. N rysunku zpisno kombincje wejść nie wrtości b funkcji b c Tblic dl funkcji 2 i 3 zmiennych wejściowych 32

Reprezentcj funkcji logicznych z pomocą tblic Krnugh b b dc c b - oznczenie wrtości dowolnej n wyjściu 33

Sposoby przedstwini funkcji logicznych Dysjunkcyjn (lterntywn) postć knoniczn: n 2 Y f x, x,..., x n j I j Gdzie: U to sum j I j ozncz minterm - iloczyn zmiennych niezleżnych dl j-tej kombincji zmiennych =; zwier zmienną prostą gdy bit zmiennej jest równy lub zmienną znegowną gdy bit zmiennej jest równy np. zerow kombincj wejść: : minterm - x x x 2 x 3 (wrtość wyrżeni dl tej kombincji wrtości zmiennych wynosi jeden) j wrtość funkcji odpowidjąc j-tej kombincji zmiennych term wyrżenie skłdjące się ze zmiennych i symboli funkcyjnych 34

Dysjunkcyjn postć knoniczn przykłd Iloczyny zmiennych bc in S Cout b c in b c in 2 bc in 3 bc in 4 b c in 5 b c in 6 bc in 7 bc in S = b c in + b c in + bc in + bc in +b c in +b c in + bc in +bc in S = b c in + bc in +b c in + bc in S = (,2,4,7) gdzie liczby oznczją numer kolejny iloczynu (mintermu) dl którego wrtość funkcji = (nleży okreslić wgę (,2,4) zmiennej; w przykłdzie: jest njbrdziej znczącym bitem - wg =4) 35

Sposoby przedstwini funkcji logicznych Koniunkcyjn (iloczynow) postć knoniczn: Y f,,..., x x j Gdzie: S j ozncz mxterm - sumę zmiennych niezleżnych dl j-tej kombincji zmiennych = ; zwier zmienną prostą gdy bit tej zmiennej jest równy lub zmienną znegowną gdy bit kombincji jest równy Np. zerow kombincj wejść : ; sum dl tej kombincji: x +x +x 2 +x 3, wrtość wyrżeni dl tej kombincji zmiennych wynosi j ozncz wrtość funkcji odpowidjącej j-tej kombincji zmiennych. x n 2 n j S j 36

Konjunkcyjn postć knoniczn - przykłd sumy bc in S Cout +b+c in +b+c in 2 +b +c in 3 +b +c in 4 +b+c in 5 +b+c in 6 +b +c in 7 +b +c in S = (+ +b+c in ) (++b+c in )(++b +c in )(++b +c in ) (+ +b+c in )(+ +b+c in )(+ +b +c in )(+ +b +c in ) S = (+b+c in ) (+b +c in )( +b+c in )( +b +c in ) S=(,3,5,6) gdzie liczby oznczją numer kolejny sumy (mxterm) dl której wrtość funkcji = 37

Minimlizcj wyrżeń logicznych Postć knoniczn nie jest njprostsz Kryterium kosztu: Redukcj liczby skłdników funkcji (liczb brmek) Redukcj liczby literłów (liczb wejść brmek) Minimlizcj to przeksztłcnie postci knonicznej do postci równowżnej tńszej wg przyjętej funkcji kosztu Przykłd: f(,b,c,d)= (5,7,3,5)= d cb +d cb+dcb +dcb=c Minimlizcj liczby skłdników z 4 do i liczby literłów z 4 do 2 Zpis funkcji f()= (5,7,3,5)+d(,3,4) ozncz brk konkretnego wymgni n wrtość funkcji (dowoln wrtość lub ) dl,3 i 4 kombincji wejść. 38

Złożeni: Sitk Krnugh wg zmiennych ustlon np. : od njniższej wgi,b,c,d Dl n zmiennych: Prostokątn tblic zwierjąc 2 n pól, kżde pole reprezentuje jeden minterm (mxterm), mintermy odpowidjące sąsiednim polom różnią się wrtością tylko jednej zmiennej. b b b c 3 2 dc 3 2 2 3 4 5 7 6 4 5 7 6 2 3 5 4 8 9 39

Twierdzenie o minimlizcji b+b =(b+b )= reguł sklejni b c b f(,b)= Σ(,2)= b + b= (b+b )= Uzsdnienie do sklejni sąsiednich pól sitki. Powstjącą grupę opisuje wyrżenie iloczynowe posidjące mniejszą liczbę zmiennych (usuwmy z opisu grupy tę zmienną, któr dl pól przyjmuje różne wrtości b, pozostje ), zmienn, któr dl grupy przyjmuje wrtość pozostje w opisie (iloczynowym) grupy jko zmienn znegown ( zmienn prost) F(,b,c)= Σ (,3,5,7)=c b +c b+cb +cb= c +c= Sklejmy poziomo usuwjąc zmienną b, sklejmy pionowo usuwjąc zmienną c, pozostje tylko dl opisu grupy, - proste gdyż przyjmuje wrtość dl wszystkich pól. 4

Twierdzenie o minimlizcji reguł sklejni F(,b) = Π(,)=( +b)(+b)= + b+b+b=b b c b Uzsdnienie do sklejni sąsiednich pól sitki. Powstjącą grupę opisuje wyrżenie sumcyjne posidjące mniejszą liczbę zmiennych (usuwmy z opisu grupy tę zmienną, któr dl sąsiednich pól przyjmuje różne wrtości -, pozostje b=), zmienn, któr dl grupy przyjmuje wrtość pozostje w opisie (sumcyjnym) grupy jko zmienn prost( zmienn znegown) F(,b,c)= Π(,2,4,6)=(+b+c)(+b +c)(+b+c )(+b +c ) = Sklejmy poziomo usuwjąc zmienną b, sklejmy pionowo usuwjąc zmienną c, dl opisu grupy pozostje tylko, proste gdyż przyjmuje wrtość (dl wszystkich pól). 4

Minimlizcj sklejeni dl jedynek i zer, funkcj dopełnieniow b dc dc b 3 2 4 5 7 6 2 3 5 4 8 9 Funkcj f(,b,c,d)= (,,2,3,8,9,)+d(5,3) f=c d +c +b grup poziom, grup nrożn, grup pionow f=c (d +b + ) 42

Metod tblic Krnugh minimlizcji funkcji logicznej TABLICE. Przygotownie tblic dl dnej liczby zmiennych i wpisnie wrtości w polch. W polch w krtórych wrtość jest nieokreslon nleży wpisć symbol nieokresloności np. SKLEJENIA. Nrysowć obwiednie łączące pol tworzące możliwie njwiększe obszry. Obwiednie łączą sąsiednie pol z jedynkmi (dl postci sumcyjnej funkcji) [pol z zermi (dl postci iloczynowej funkcji)]. Sąsiedztwo tkże cykliczne. Obwiednie pokrywją grupy pól tworzące prostokąt (,2,4,8,6 pól). Funkcj. Zpisnie postci minimlnej funkcji w oprciu o wykonne sklejeni (obwiednie), (sum iloczynów- kżd grup wykorzystn do opisu to skłdnik sumy), kżde pole z musi być pokryte przez dowolną grupę uwzględnioną w zpisie. Uwg: Pol ze znkmi nieokreśloności możn łączyć z dowolnymi innymi polmi (jedynek lub zer w zleżności od postci funkcji) dl uzyskni mksymlnych sklejeń. 43

Terminologi minimlizcji Impliknt: kżdy minterm (iloczyn) dl którego funkcj jest równ lub grup mintermów z wrtością funkcji lub Ø które możn skleić. Impliknt prosty: impliknt, którego nie możn rozszerzyć przez sklejeni w tblicy Krnugh. Impliknt istotny: impliknt prosty zwierjący ten minterm z wrtoscią funkcji =, który nie występuje w żdnym innym implikncie prostym. 44

Terminologi minimlizcji Implicent: kżdy mxterm (sum) dl którego funkcj jest równ lub grup mxtermów z wrtością funkcji lub Ø które możn skleić. Implicent prosty: Implicent, którego nie możn rozszerzyć przez sklejeni w tblicy Krnugh. Implicent istotny: Implicent prosty zwierjący ten mxterm z, który nie występuje w żdnym innym implikncie prostym. 45

Metod minimlizcji dwupoziomowej (wersj sum iloczynów). Wygeneruj wszystkie impliknty proste. 2. Utwórz pokrycie funkcji (wrtości z ) z pomocą minimlnej liczby implikntów. Tblic pokryci. Dl określeni postci funkcji nie korzystjącej wyłącznie z implikntów kluczowych nleży wykonć tblicę pokryci. Uwg: Impliknty istotne są koniecznymi elementmi pokryci funkcji. 46

Metod minimlizcji dwupoziomowej (wersj iloczyn sum). Wygeneruj wszystkie implicenty proste. 2. Utwórz pokrycie funkcji (wrtości z ) z pomocą minimlnej liczby implicentów. Tblic pokryci. Dl określeni postci funkcji nie korzystjącej wyłącznie z implicentów kluczowych nleży wykonć tblicę pokryci. Uwg: Implicenty istotne są koniecznymi elementmi pokryci funkcji 47

Przykłd dc b Impliknty proste: c, dc, db, d Impliknty istotne: c, d,db Impliknty istotne wystrczą do minimlnego pokryci funkcji F(d,c,b,)= c+d +db F(d,c,b,)= (d+c)(+d)( +b) 48

Przykłd Relizcj funkcji n brmkch NAND bądź NOR przejście między rodzjmi funkcji - zstosownie prw demorgn F(d,c,b,)= (c+d +db) =((c) (d ) (db) ) F(d,c,b,)= (d+c)(+d)( +b) = ((d+c) +(+d) +( +b) ) 49

Metod Quine -McCluskey. Utwórz grupy kombincji zmiennych (z wrtością funkcji =) posidjące jednkow liczbę w ich reprezentcji binrnej. Jest to utworzenie początkowych implikntów. 2. Utwórz wszystkie impliknty przez połączenie implikntów jednej grupy z implikntmi kolejnej grupy jest to możliwe jeżeli reprezentcje binrne kombincji zmiennych różnią się wrtością jednej zmiennej, zzncz wykorzystne do łączeni impliknty (nie będą już dlej wykorzystywne). 3. Powtrzj krok 2 bzując n implikntch uzysknych w poprzedniej itercji 2 kroku. 4. Niewykorzystne w połączenich impliknty tworzą zbiór implikntów prostych. Wybierz minimlny zbiór implikntów prostych z pomocą tblicy pokryci lub funkcji Petric. 5

Metod Quine -McCluskey genercj implikntów prostych wygodn dl funkcji wielu zmiennych Funkcj f(,b,c,d)= (,,2,3,8,9,)+d(5,3) 2 3 2 8 3 5 9 3, -,2 -,8 -,3 -,5 -,9-2,3-2, - 8,9-8, - 5,3-9,3 -,,2,3,2,8, --,,8,9 --,5,9,3 Impliknty proste d c -- c -- c b -- b 5

Metod Quine -McCluskey tblic pokryci mintermów 2 3 8 9,,2,3,2,8, --,,8,9 --,5,9,3 W kolumnch tblicy uwzględnimy tylko mintermy z określonymi dl funkcji wrtościmi Impliknty istotne Mintermy pokryte przez impliknty istotne Możliwe wrinty funkcji o minimlnej liczbie implikntów: F=d c +c + c b F=d c +c + b 52

Przykłd 2 metod Petrick jeśli tblic pokryci nie wystrcz Pozwl n wyznczenie minimlnego zbioru implikntów prostych (nie dotyczy implikntów istotnych) Przykłd: Jeden impliknt istotny, 5 implikntów prostych możn wykorzystć do pokryci 5 mintermów, Pokrycie wystąpi, gdy zstosujemy impliknty dl których funkcj Petrick przyjmuje wrtość jeden Px w równniu ozncz wykorzystnie impliknt x FP=(P +P )(P + P2 )(P2 + P3 )(P3 + P4 )(P4 + P5 ) = PP3P5+ PP2P4+PP2P4 Zpis czytmy : pokrycie wystąpi gdy użyjemy impliknt ( lub ) i ( lub 2) i (2 lub 3) i (3 lub 4) zpewni to pokrycie odpowiednio 7,5,4, i 2 kombincji 53 z

54

dc b Minimlizcj funkcji wielowyjściowych F b F2 b F*F2 dc dc Wyznczenie implikntów prostych dl: funkcji optymlizownych i wszystkich iloczynów funkcji - (powyżej 6 implikntów prostych w 3 grupch). Znjdownie pokryci minimlną liczbą spośród wszystkich implikntów (tblic pokryci): impliknt iloczynu dwóch funkcji (zielony) pokryw mintermy obu funkcji 55

Komputerowo wspomgnie minimlizcji funkcji logicznych Znlezienie pokryci minimlnego jest problemem NP-trudnym. Ze względu n trudność problemu dl dużych instncji stosowne są metody przybliżone. brk genercji wszystkich implikntów zpewnienie pokryci funkcji przez wybrny zbiór implikntów 56