Wykład 11 i 12 Równania Maxwella. Prąd elektryczny.

Wykład 11 i 12 Równania Maxwella. Prąd elektryczny. z y x 11.1 RÓŻNICZKOWE PRAWO GAUSSA i co z niego wynika... Niech ładunek będzie rozłożony w objętości V (o nieskończenie małych bokach x, y, z ) i wierzchołku w punkcie (x,y,z) z ciągłą gęstością r (x,y,z). Wytworzone przez ten ładunek pole elektryczne będzie również zmieniać się w przestrzeni w sposób ciągły. Rozpatrzmy dwie przeciwległe ścianki (rys.) i i obliczmy strumień pola przez nie przenikający. Strumień przez ścianki prostopadłe do osi x wynosi : (11.1) Ponieważ różnica natężeń ( zapisać jako: ) jest z założenia bardzo mała, możemy ją (11.2) (11.3) 1

Prawo Gaussa postać różniczkowa c.d. Wobec tego mamy: (11.4) Podobnie liczymy strumień przez ścianki prostopadłe do pozostałych osi: (11.5) Całkowity strumień wyniesie: ( div E) V (11.6) Wyrażenie w nawiasie jest z definicji dywergencją pola wektorowego E. Zapisując to z użyciem operatora nabla: ( E) V Możemy to przeczytać: dywergencja pola elektrycznego w danym punkcie jest równa strumieniowi pola elektrycznego na jednostkę objętości. (11.7) 2

Prawo Gaussa postać różniczkowa Ostatecznie całkowity strumień pola elektrycznego przenikający przez element objętości dv określa równość: (11.8) d ( dive) dv Strumień przenikający przez dowolny obszar o objętości V otrzymamy, całkując pow. wyrażenie po tej objętości: divedv (11.9) Powyższe r-nie porównujemy z prawem Gaussa: Ostatecznie otrzymujemy RÓŻNICZKOWE PRAWO GAUSSA: E S V E ds dive 1 0 0 V ( r) dv lub V E ( r) 0 0 (11.10) dv (11.11) Lokalny związek między natężeniem pola elektrycznego a gęstością ładunku w danym punkcie. 3

o Jeżeli w pewnym obszarze nie ma ładunków dywergencja natężenia pola zanika. Takie pola nazywa się często bezźródłowym. o W miejsce natężenia pola możemy wstawić gradient potencjału ( ): E Prawa elektryczności E grad (11.12) Otrzymaliśmy: divgrad 2, taki operator nazywamy laplasjanem. (11.13) Otrzymaliśmy w ten sposób równanie Poissone'a: (11.14) Jest to równanie różniczkowe umożliwiające znalezienie potencjału w przestrzeni, w której znamy rozkład ładunku. Do jego rozwiązania potrzebne są zwykle również warunki brzegowe. 4

Prawa elektryczności o Jeżeli w danym obszarze nie ma ładunków otrzymujemy równanie nazywane równaniem Laplace'a: (11.15) Do jego rozwiązania potrzebujemy jedynie warunków brzegowych. Obydwa równania należą do najbardziej fundamentalnych w elektrodynamice teoretycznej, występują również w mechanice ośrodków ciągłych, teorii grawitacji, zjawiskach transportu i wielu innych dziedzinach nauki i techniki. Dodatek matematyczny Twierdzenie Gaussa Ostrogradskiego ( zastosowane w wyprowadzeniu RPG) F ds S V div F dv (11.16) Wiąże całkę powierzchniową dowolnej funkcji wektorowej F po zamkniętej powierzchni S z całką objętościową po objętości V ograniczonej powierzchnią S i orzeka, że strumień wektora F przez powierzchnię zamkniętą S jest równy całce objętościowej z dywergencji pola wektorowego F po objętości V ograniczonej powierzchnią S. 5

11.4. ROTACJA POLA WEKTOROWEGO Rotacja pola wektorowego Definicja Rotacją pola wektorowego określone następująco: A [ P, Q, R], nazywamy pole wektorowe rota A. R Q P R Q P ( ) i ( ) j ( ) k. y z z x x y (11.17) 6

WŁASNOŚCI ROTACJI: Rotacja pola wektorowego Niech, będą różniczkowalnymi polami wektorowymi, a będzie różniczkowalnym polem skalarnym. Wtedy: 1) 2) A B rot( ka lb) krota lrotb, gdzie k, l R; rot( A) rota ( grad ) CYRKULACJA Definicja (uogólniona) Cyrkulacją (krążeniem) dla danego pola wektorowego po konturze zamkniętym L, nazywamy wielkość: gdzie: dl - wektor styczny do krzywej. Cyrkulacja jest wielkością skalarną A F dl L F (11.18) F 7

Cyrkulacja pola wektorowego c.d. ZWIĄZEK CYRKULACJI Z ROTACJĄ: Twierdzenie Stokes a (twierdzenie o rotacji), wiąże całkę liniową z funkcji wektorowej F po zamkniętym konturze L z całką powierzchniową po powierzchni S ograniczonej przez kontur L : F dl ( F) ds rot F ds (11.19) L S S Czyli cyrkulacja wektora F po konturze L jest równa strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię S. 8

ROTACJA POLA WEKTOROWEGO 11.1. FIZYCZNA INTERPRETACJA ROTACJI Wiadomym jest, że praca przy przesunięciu ładunku wykonana na drodze zamkniętej jest równa zeru: ds Korzystając z def. cyrkulacji policzmy wartość całki po zamkniętym konturze (rys.) skierowanym zgodnie z osią z ( d s ) z, leżącym w płaszczyźnie xy: (11.20) 9

Elektryczność Korzystając z definicji rotacji, składowa zetowa rotacji: (11.21) Całkowita cyrkulacja wokół elementu powierzchni : d ( rote) ( ds) z z (11.22) Jest to różniczkowa postać TWIERDZENIA STOKESA. W postaci całkowej ma ono postać: L E dl S ( E) ds Zerowanie się wszystkich składowych rotacji możemy zapisać : (11.24) S ( rot E) ds (11.23) lub z symbolicznie użyciem operatora nabla: (11.25) 10

Elektryczność WNIOSKI : Pole, którego rotacja zanika nazywa się bezwirowym. Możemy próbować sobie wyobrazić, że niemożliwe jest wytworzenie pola elektrycznego o zamkniętych liniach sił. Siła kulombowska jest siłą zachowawczą, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku między dwoma punktami nie zależy od drogi przesunięcia. Praca wykonana w polu sił elektrycznych przy przesunięciu ładunku po drodze zamkniętej jest równa zeru. Pole elektryczne jest polem potencjalnym, to znaczy istnieje taka skalarna funkcja położenia f, zwana potencjałem, że (11.26) Pole elektryczne jest bezwirowe, to znaczy jego rotacja zanika w całej przestrzeni: (11.27) 11

I RÓWNANIE MAXWELLA DLA POLA ELEKTRYCZNEGO 11.2 Prawo Gaussa (postać całkowa i różniczkowa)- PODSUMOWANIE Prawo Gaussa: (postać całkowa prawa Gaussa) E 1 E ds r dv ( ) A V Q (2.1) gdzie: S powierzchnia obejmująca objętość V. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Strumień pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do całkowitego ładunku elektrycznego zamkniętego przez tą powierzchnię. Inaczej mówiąc, prawo Gaussa głosi, że pole elektryczne jest polem źródłowym. Istnieją ładunki elektryczne, które wytwarzają pole elektryczne. 12

Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny Prawo Gaussa : (postać różniczkowa prawa Gaussa) div lub div D E ( r) ( r) gdzie: jest to gęstość ładunku [C/m 3 ], 0 D (2.2) 0 E r Carl Friedrich Gauss (1777-1855) (2.3) Pole elektryczne jest polem źródłowym. Postać prawa Gaussa, czy to całkowa, czy różniczkowa, są sobie równoważne. Przejście między nimi umożliwia twierdzenie Gaussa Ostrogradzkiego. 13

Elektryczność 11.3. BEZWIROWOŚĆ POLA ELEKTROSTATYCZNEGO Przypomnijmy def. pracy wykonanej przy przesunięciu ładunku między dwoma punktami: W( r1 r2 ) r 2 F dl q r 1 Pole elektryczne jest polem zachowawczym, zatem praca wykonana po dowolnej drodze zamkniętej równa się zero. (3.2) otrzymujemy: dw E dl 1 0 Korzystając z prawa Stokes a: L E dl rot E 0 0 r r 1 L 2 E dl (3.1) E dl rote ds 0 S podstawową własność pola elektrostatycznego: POLE ELEKTROSTATYCZNE JEST BEZWIROWE. (3.3) 14

Elektryczność 11.4. DIPOL ELEKTRYCZNY (z gr. dipolos - dwa bieguny) ( nawiązanie do w.10) Dipol elektryczny, to układ dwóch ładunków: +q i q odległych o stałą odległość d. Wektor [1C m] (4.1) nazywa się momentem elektrycznym dipola ( moment dipolowy). d p qd Wektor ma kierunek prostej łączącej ładunki i zwrot od ładunku ujemnego do dodatniego.. 15

Część IV. Elektromagnetyzm 11.5.1 Oddziaływanie dipola z polem elektrycznym Wypadkowa siła, działająca na dipol umieszczony w zewnętrznym, jednorodnym polu elektrycznym jest równa zeru, ponieważ siły działające na ładunki +q i -q równoważą się. Jednak umieszczenie dipola elektrycznego o momencie dipolowym p w polu elektrycznym o natężeniu E, powoduje, że na dipol zaczyna działać moment siły ( moment skręcający) (rys. ): (5.2) Ponieważ: moment skręcający dipol wyraża się wzorem: M F qe (E natężenie zewnętrznego pola elektrycznego, F i -F siły działające na ładunki +q i q). Wobec tego:, p E (5.4) (5.3) 16

Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny Liczbowa wartość momentu skręcającego dipol wynosi: M pe sin (5.5) W przypadku gdy dipol jest ustawiony równolegle lub antyrównolegle do kierunku pola ( ), to wartość momentu M = 0. Praca wykonana przez siły elektrostatyczne przy obrocie dipola od początkowego położenia, określonego kątem 1 do końcowego położenia określonego kątem 2 wynosi: (5.6) (znak wynika z faktu, ze przy obrocie dipola kąt maleje). 17

Obliczając całkę (16) otrzymujemy: Część IV. Elektromagnetyzm (5.7) Prace W można wyrazić jako: (5.8) gdzie Ep1 i Ep2 -oznaczają energie potencjalna dipola, nachylonego do kierunku pola pod kątem 1 i 2. Energie potencjalna dipola w polu elektrycznym określa zatem wzór: (5.9) który można zapisać w postaci wektorowej jako: ( lub w postaci U p E ) (5.11) Ep p E (5.10) 18

PODSUMOWANIE: Część IV. Elektromagnetyzm Moment siły działający na dipol będzie obracał dipol ustawiając go równolegle do linii natężenia pola elektrycznego, gdyż w takim położeniu dipol elektryczny minimalizuje swoją energię potencjalną (patrz wzór). Dipol elektryczny ma maksymalną energię, gdy dipol jest antyrównoległy do E. Pole elektryczne działa porządkująco na zbiór chaotycznie skierowanych dipoli elektrycznych. 19

Elektryczność 11.6. Polaryzacja elektryczna i indukcja elektryczna Wektor indukcji pola elektrycznego, również określany, jako wektor przesunięcia, jest zdefiniowany jako: D 0 E P (6.1) gdzie: P wektor polaryzacji. Jest on wprost proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego, co zapisujemy : P 0 E (6.2) Po podstawieniu wzoru (5.13) do (5.12) otrzymamy zależność opisującą wartość, indukcji pola elektrycznego: D E P ( 1 E 0 0 ) 0 E (6.3) o Współczynniki : o 1 - ozn. podatność elektryczną dielektryka., to względna przenikalność elektryczną dielektryka, (6.4) 20

11.7. Prąd elektryczny. 11.7.1 Natężenie i gęstość prądu. Ładunki puszczamy w ruch. Dotychczas były rozpatrywane zjawiska związane z nieruchomymi ładunkami elektrycznymi. Obecnie będziemy rozpatrywać ładunki w ruchu - zajmiemy się prądem elektrycznym. Nośnikami ładunku w metalu (np. drut miedziany) są poruszające się swobodnie (nie związane z poszczególnymi atomami) elektrony tzw. elektrony przewodnictwa. Bez pola elektrycznego te elektrony poruszają się (dzięki energii cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach. Elektrony swobodne zderzają się z atomami (jonami) przewodnika zmieniając swoją prędkość i kierunek ruchu zupełnie tak jak cząsteczki gazu zamknięte w pojemniku. Rys. Chaotyczny ruch cieplny elektronów (strzałki szare) i uporządkowany ruch elektronów w polu elektrycznym (strzałki czerwone). (Źródło: http://home.agh.edu.pl) 21

Prąd elektryczny Rys. Chaotyczny ruch cieplny elektronów (strzałki szare) i uporządkowany ruch elektronów w polu elektrycznym (strzałki czerwone). (Rys. źródło: http://home.agh.edu.pl) Jeżeli rozpatrzymy przekrój poprzeczny S przewodnika, jak na rysunku powyżej, to elektrony w swoim chaotycznym ruchu cieplnym przechodzą przez tę powierzchnię w obu kierunkach i wypadkowy strumień ładunków przez tę powierzchnię jest równy zeru. Przez przewodnik nie płynie prąd. Ruchowi chaotycznemu nie towarzyszy przepływ prądu. Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków. Przyłożenie napięcia U (różnicy potencjałów ΔV) pomiędzy końcami przewodnika wytwarza pole elektryczne E, które działa siłą na ładunki, powodując ich ruch w określonym kierunku w przewodniku. Ruch chaotyczny każdego elektronu zostaje zmodyfikowany. W przewodniku płynie prąd elektryczny. Na rys. zaznaczona jest prędkość ruchu elektronów (strzałki czerwone),uzyskana dzięki przyłożonemu polu elektrycznemu. 22

Prąd elektryczny c.d. Kierunek przepływu prądu zależy od kierunku ruchu oraz od znaku przemieszczających sie ładunków. Przyjmuje się, ze prąd płynie od punktu (punktów) o wyższym potencjale do punktu (punktów) o niższym potencjale. Zatem umowny kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunków dodatnich. Dla określenia wielkości prądu wprowadza sie pojecie NATĘŻENIA (I): I dq dt i definiujemy jako zmianę ilości ładunku, przepływającego przez poprzeczny przekrój przewodnika S, do czasu jego przepływu. W przypadku, gdy płynący prąd jest stały powyższe równanie sprowadza się do prostego ilorazu: (7.2) I Q t 1C 1 A (7.1) 1 s natężenie prądu jest równe ilorazowi ładunku elektrycznego, jaki przepłynął przez powierzchnię, do czasu przepływu. 23

Część IV. Elektromagnetyzm Definicja 1C 1 A 1 s (7.3) Amper (1A) jest to prąd, jaki przepływa przez przewodnik, gdy przez jego poprzeczny przekrój przewodnika, przepływa ładunek 1 Coulomba w czasie 1s. Definicja -gęstość prądu ( j ). Powyższe równania j d I ds (7.4) 24

Rezystywność Definicja oporu właściwego ( ). W wielu przypadkach, tak jest w metalach, wektor gęstości prądu ( ) jest proporcjonalny do natężenie pola elektrycznego (E), które oddziaływuje j na nośniki prądu elektrycznego znajdujące się w objętości przewodnika, wtedy: (7.5) E j i określa definicję oporu właściwego ( ). Wielkość ta charakteryzuje materiały pod względem przewodnictwa elektrycznego. Definicja Odwrotność oporu właściwego, to konduktywność ( 1 j E stąd, 1S ( A/ m 2 ) ( N / C), przewodnictwo właściwe): ( A/ m 2 ) ( V / m) Jednostką przewodnictwa jest simens (1S) Powyższe równanie nosi nazwę mikroskopowego prawa Ohma. Materiał spełniający to prawo nazywamy opornikiem ohmowym. E j, [ ] [1 m] A V m (7.6) 25

Przewodnictwo metali i półprzewodników Wielkością charakteryzującą zdolność substancji do przewodzenia prądu jest jej opór właściwy ρ. Ze względu na wielkość oporu właściwego wszystkie substancje dzielą się na: 1. Przewodniki Przewodnikami są ciała, w których istnieją tzw. ładunki swobodne mogące poruszać się wewnątrz tych ciał. Typowymi przedstawicielami przewodników są metale - pierwiastki, których atomy posiadają jeden lub dwa elektrony na zewnętrznych powłokach elektronowych zwanych powłokami walencyjnymi. Elektrony walencyjne uwalniają się od swoich atomów przy łączeniu się takich atomów w większe zespoły, i nie zajmują określonych miejsc w sieci krystalicznej, lecz mogą poruszać się swobodnie między zjonizowanymi atomami metalu. W związku z tym, nazywamy je elektronami swobodnymi lub elektronami przewodnictwa. 26

Charakterystyka materiałów Przewodnictwo właściwe metali opisuje wzór: (7.7) Gdzie: e- oznacza ładunek nośnika prądu, n - koncentrację, μ ruchliwość nośników. Koncentracja określa liczbę nośników w jednostce objętości natomiast ruchliwość jest to prędkość, jaką uzyskuje nośnik ładunku pod działaniem jednostkowego pola elektrycznego. Koncentracja n elektronów swobodnych w metalu jest duża i nie zależy od warunków zewnętrznych, w tym od temperatury. Natomiast ruchliwość nośników maleje ze wzrostem temperatury, ponieważ są one wydajniej rozpraszane w wyniku wzrostu amplitudy drgań atomów w sieci krystalicznej. Obserwujemy więc zmniejszanie się przewodnictwa metalu (czyli wzrost jego oporu) wraz ze wzrostem temperatury. 27

1. Półprzewodniki Rys. Schemat struktury krzemu z domieszkowym atomem fosforu. Półprzewodnik typu n ( jest donorem.) Rys.źródło: http://www.labfiz2p.if.pw.edu.pl/ Prąd elektryczny w półprzewodnikach Typowymi przedstawicielami półprzewodników samoistnych są german (Ge) i krzem (Si). Pierwiastki te należą do IV grupy układu okresowego, mają po cztery elektrony walencyjne i każdy z tych elektronów tworzy wiązanie z jednym z czterech najbliższych sąsiednich atomów. W niskich temperaturach elektrony walencyjne w półprzewodnikach nie są elektronami swobodnymi i nie mogą przemieszczać się w krysztale półprzewodnik jest izolatorem. Oderwanie elektronu walencyjnego od atomu jest możliwe, ale wymaga dostarczenia odpowiedniej ilości energii, nie mniejszej od pewnej minimalnej wartości zwanej energią aktywacji. Uwolniony elektron może brać udział w przewodzeniu prądu. Jednym ze sposobów dostarczenia energii elektronom jest zwiększenie energii termicznej poprzez podwyższenie temperatury kryształu. Wartość energii aktywacji E wyrażana jest w elektronowoltach: 1 ev = 1,6 10-19 J; (1 ev to energia, jaką uzyskuje ładunek 1 elektronu w polu elektrycznym o różnicy potencjałów 1 V). 28

Rys. Tworzenie pary nośników elektron dziura w półprzewodniku Prąd elektryczny w półprzewodnikach W przewodzeniu prądu w półprzewodniku uczestniczą nie tylko elektrony swobodne. W wyniku oderwania się elektronu od atomu powstaje wolne miejsce, tzw. dziura, która łatwo może być zapełniona przez elektron z sąsiedniego wiązania. W efekcie dziury przemieszczają się w stronę przeciwną do ruchu elektronów, zachowują się więc jak swobodne ładunki dodatnie. Jeśli mamy do czynienia z półprzewodnikiem czystym i bez defektów wewnętrznych, to koncentracja dziur i elektronów swobodnych jest taka sama i przewodnictwo, w tym przypadku, nazywane jest przewodnictwem samoistnym. Koncentracja nośników samoistnych w półprzewodniku jest niewielka i ulega istotnej zmianie ze zmianą warunków zewnętrznych, takich jak temperatura czy oświetlenie. Dla krzemu: 29

Półprzewodniki domieszkowane Rys. Schemat energetyczny półprzewodnika zawierającego dwa rodzaje domieszek. E Liczbę dziur lub elektronów w półprzewodnikach możemy bardzo łatwo zwiększyć nie tylko przez zmianę warunków zewnętrznych, ale także przez odpowiednie domieszkowanie kryształu. Jeśli wprowadzimy do czterowartościowego półprzewodnika niewielką ilość pierwiastka pięciowartościowego (jak fosfor, antymon), zwiększamy liczbę elektronów swobodnych. Taki półprzewodnik jest półprzewodnikiem typu n, a zjonizowane atomy domieszkowe dostarczające jeden elektron nazywane są donorami. Obecność atomów trójwartościowych (jak bor, aluminium) w germanie lub krzemie powoduje zwiększenie liczby dziur, ponieważ atomy takie mają trzy elektrony walencyjne, które utworzą wiązania tylko z trzema elektronami atomu germanu lub krzemu. Czwarte wiązanie pozostanie niepełne tworzy dziurę, która może być łatwo zapełniona przez elektron z sąsiedniego atomu Ge lub Si. Taki półprzewodnik jest półprzewodnikiem typu p, a atomy domieszkowe zwiększające liczbę dziur nazywamy akceptorami. 30

Poziom Fermiego Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie o energii E opisuje funkcja Fermiego-Diraca: (7.8) gdzie: EF jest energią (poziomem) Fermiego. Przewodnictwo właściwe półprzewodnika, w którym koncentracja elektronów swobodnych i dziur wynosi odpowiednio ρe i ρp przedstawione jest wzorem: (7.9) gdzie:, są to ruchliwości elektronów i dziur. Ze wzrostem temperatury następuje wzrost przewodnictwa właściwego, ponieważ silnie wzrasta koncentracja nośników w półprzewodniku. Występujące niewielkie zmniejszenie ruchliwości μ nośników swobodnych ma znaczenie drugorzędne. W efekcie, opór półprzewodnika wyraźnie maleje ze wzrostem temperatury. 31

Wiadomości uzupełniające. Pasmowy model przewodnictwa W ciele stałym, poziomy energetyczne elektronów ulegają rozszczepieniu, tworząc pasma energii dozwolonych rozdzielone pasmami zabronionymi. Elektrony mogą posiadać wyłącznie energie leżące w zakresie pasm dozwolonych. Poziomy walencyjne tworzą pasmo walencyjne lub inaczej pasmo podstawowe, a powyżej tego pasma utworzone zostaje pasmo przewodnictwa. Pasma te rozdzielone są pasmem wzbronionym, nazywanym przerwą energetyczną Eg. 32

Pasmowy model przewodnictwa c.d. oprzewodnictwo prądu elektrycznego związane jest z obecnością elektronów w paśmie przewodnictwa. Jeżeli w danym materiale pasmo to jest puste, a pasmo walencyjne pełne, to taki materiał jest izolatorem (Rys.1a). odobre przewodniki, jakimi są metale, charakteryzują się tym, że pasma walencyjne i przewodnictwa stykają się ze sobą, lub nawet zachodzą na siebie (Rys. 1b). omateriały takie, o właściwościach pośrednich między właściwościami metali i izolatorów, nazwano półprzewodnikami (Rys. 1c). Energia potrzebna elektronowi do przeskoku z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa nazywa się energią aktywacji przewodnictwa samoistnego. Domieszkowanie półprzewodnika związane jest z wprowadzeniem w zakresie przerwy energetycznej poziomów donorowych (blisko pasma przewodnictwa) lub akceptorowych (blisko pasma walencyjnego), co znacznie zmniejsza energię niezbędną do generacji elektronów swobodnych bądź dziur. Przerwa energetyczna dla germanu wynosi 0,68 ev, a dla krzemu 1,10 ev. Zgodnie z tymi wartościami, w temperaturze pokojowej tylko w przypadku germanu występuje przewodnictwo samoistne, natomiast krzem ma jedynie przewodnictwo domieszkowe w tej temperaturze. 33

Prąd elektryczny c.d. 11.8 Prawo Ohma (dla U = const.) Jeżeli do przewodnika przyłożymy stałe napięcie U (różnicę potencjałów ΔV), to przez przewodnik płynie prąd, którego natężenie I jest proporcjonalne do przyłożonego napięcia. Otrzymana zależność, to PRAWO OHMA ( z 1826r.) U const. (8.1) I Stosunek napięcia przyłożonego do przewodnika do natężenia prądu przepływającego przez ten przewodnik jest stały i nie zależy ani od napięcia ani od natężenia prądu. 34

Elektryczność Definicja oporu elektrycznego Iloraz : R U I (8.2) S nazywamy oporem elektrycznym (R) danego przewodnika. (8.3) Opór prostoliniowego przewodnika z Załóżmy, że różnica potencjałów V V B V a dzieli końce przewodnika, co generuje pole elektryczne w przewodniku o natężeniu E i przepływ prądu o natężeniu I. Jeżeli pole jest jednorodne, to: V V V Zwiążemy teraz opór właściwy ( ) z oporem R: B a b a E dl E l (8.4) E j ( V / l) ( I / S) R S l (8.5) 35

Elektryczność Ostatecznie otrzymujemy opór prostoliniowego przewodnika z prądem: R l S (8.6) Materiał spełniający podane wyżej równanie, nosi nazwę materiału ohmowego. Tutaj rozpatrujemy tylko takie materiały. W tej klasie znajdują się metale. Warto dodać, że opór elektryczny (czy też opór właściwy) materiałów ohmowych zależy od temperatury. 36

Część IV. Elektromagnetyzm 37

ZALEŻNOŚĆ OPORU OD TEMPERATURY. A. DLA PRZEWODNIKÓW. R( T) R0 R0T (8.7) gdzie: R0 oznacza opór w temperaturze 0 C=273K, α- temperaturowy wsp. oporu ele. T T T 0 różnicę temperatur w skali Kelvina. nadprzewodnik ρ0 Rysunki przedstawiają zależność oporu właściwego (ρ) od temperatury dla różnych materiałów. ρ0 - oporność resztkowa (zależna od rodzaju i koncentracji defektów stałych). Temp. Tk krytyczna 38

Część IV. Elektromagnetyzm B. DLA PÓŁPRZEWODNIKÓW Zależność oporu półprzewodnika od temperatury jest nieliniowa i można przedstawić następująco: E R( T) Ae 2kT (8.8) gdzie: A - wielkość stała ( współczynnik proporcjonalności); ΔE = Eg/2, to energia aktywacji. Jest energią potrzebną do przeniesienia elektronu do pasma przewodnictwa. Eg przerwa energetyczna; T -temperatura w skali Kelvina; k- stała Boltzmanna. W półprzewodniku samoistnym energia aktywacji E równa jest szerokości przerwy wzbronionej. W półprzewodnikach domieszkowych E określa bezwzględną wartość odległości energetycznej poziomu donorowego od pasma przewodnictwa lub poziomu akceptorowego od pasma walencyjnego. 39

Część IV. Elektromagnetyzm 11.8.2. Mikroskopowa (lub wektorowa) postać prawa Ohma (Związek pomiędzy gęstością prądu, a natężeniem pola elektrycznego w przewodniku). 1 (8.9) j E, E j (8.10) (8.11) (8.10) (8.11) 44

Część IV. Elektromagnetyzm 11.9 PRACA I MOC PRĄDU ELEKTRYCZNEGO Rozpatrzmy zamknięty układ elektryczny przedstawiony na rysunku. I U Układ zawiera opór R. Napięcie między okładkami baterii wynosi U V V b V a 0. Niech ładunek dq zostanie przemieszczony przez baterię, to praca wykonana przez napięcie U, przy przesunięciu tego ładunku wynosi: dw U dq U I dt (9.1) 45

PRACA I MOC PRĄDU Całkowita praca wykonana w czasie t będzie równa: W t t dw 0 0 U I dt U I t (9.2) Praca ta zamienia się w ciepło i jest to ciepło Joula-Lenza. Z drugiej strony ten sam ładunek płynący przez opornik w obwodzie traci swoją energię wskutek zderzeń z atomami opornika. Jeżeli zaniedbamy oporność baterii i przewodów Łączących, to płynący ładunek nie traci dodatkowo energii. Zatem strata energii ładunku dq wynosi: P dw dt U I I 2 R 2 U R (9.3) Otrzymany wzór określa także moc dostarczaną obwodowi przez baterię! Definicja Moc prądu: P dw dt U I (9.4) (9.5) 46

Siła elektromotoryczna 11.10. Siła elektromotoryczna (SEM). Do wytworzenia prądu stałego niezbędne jest urządzenie, utrzymujące stałą różnicę potencjałów miedzy końcami przewodnika. Źródło energii - np.: bateria, akumulator, prądnica, komórka fotowoltaiczna płynącej w każdym obwodzie elektrycznym nazywane jest źródłem siły elektromotorycznej (SEM). Mówimy o źródle tej energii jako o pompie ładunków, która powoduje przemieszczanie się ładunków elektrycznych z punktu o mniejszym potencjale do punktu o potencjale wyższym. Przypomnijmy, że prąd elektryczny płynie od punktów o wyższym potencjale do punktów o potencjale niższym. Wartość siły elektromotorycznej ( ε ), definiuje się za pomocą wzoru: Jednostką siły elektromotorycznej jest wolt (V). (10.1) Siła elektromotoryczna (ε) określa więc pracę konieczną do przeniesienia jednostkowego ładunku w kierunku rosnącego potencjału. 47

Siła elektromotoryczna 11.11. Użyteczne prawa i zależności dla obwodu zamkniętego. Rozpatrzymy teraz obwód elektryczny przedstawiony na rys. Załóżmy najpierw, że bateria ma zerowy opór wewnętrzny oraz, że różnica potencjałów między dodatnim i ujemnym jej zaciskiem jest równa Oznacza to, że (10.2) Uruchomienie przepływu prądu w obwodzie elektrycznym jest wynikiem procesu zamiany energii chemicznej na elektryczną. Zauważmy, że SEM to ilość energii chemicznej potrzebnej do uwolnienia jednostkowego ładunku elektrycznego. Proces ten zachodzi w baterii. Ze względu na zachowawczy charakter pola elektrostatycznego praca W potrzebna do przemieszczenia ładunku po krzywej zamkniętej, tj. po obwodzie zamkniętym wynosi zero. (10.3) 48

Siła elektromotoryczna Rozważmy pkt. a na poniższym schemacie. Obchodzimy obwód zamknięty zgodnie z ruchem wskazówek zegara zaczynając od punktu a. Przejście przez SEM oznacza wzrost potencjału o wartość ε. Przejście przez rezystor oznacza spadek napięcia równy U V I R Jeśli opory przewodników i opór wewnętrzny zaniedbamy, to (10.4) stąd: (10.5) 49

W rzeczywistości bateria ma Siła niezerowy elektromotoryczna opór elektryczny, więc rzeczywisty obwód ma postać: Różnica potencjałów na zaciskach baterii jest teraz równa: (10.6) Ponieważ pole jest zachowawcze, otrzymujemy PRAWO OHMA DLA UKŁADU ZAMKNIĘTEGO: (10.7) Graficznie spadek napięcia w powyższym obwodzie (rys ). Zauważmy, że najwyższy potencjał ma w obwodzie dodatni zacisk baterii. i Moc prądu w obwodzie zamkniętym wynosi: (10.8) (10.9) 50

11.10.2 Prawa Kirchhoffa Prawa elektryczności W przypadku złożonych obwodów elektrycznych w celu obliczenia płynących w nich prądów i napięć na ich elementach wygodnie jest korzystać z praw Kirchhoffa. W każdym obwodzie możemy wyróżnić tzw. węzły i oczka. Przez węzeł rozumiemy punkt połączenia co najmniej trzech przewodów (rys.) n i1 n I i I j1 j 0 (10.10) Rys. 1. Rozgałęzienie prądu (do I prawa Kirchhoffa). 51

Część IV. Elektromagnetyzm (10.11) n i n I i R i 0 i1 i1 Rys.2. Oczko prądu - dowolnych zamkniętych fragmentów obwodu -rys. ). WNIOSEK: Uogólnione prawo Ohma stanowi szczególny przypadek drugiego prawa Kirchhoffa. 52

Część IV. Elektromagnetyzm UMOWNE KIERUNKI OBCHODZENIA OBWODÓW: Przy stosowaniu II prawa Kirchhoffa należy przestrzegać określonej konwencji, dotyczącej znaków prądów i sił elektromotorycznych. A) Zwykle wybiera się w dowolny sposób kierunku obiegu oczka (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie). Prąd o kierunku zgodnym z kierunkiem obiegu oczka przyjmujemy za dodatni, w przeciwnym przypadku za ujemny. B) Siłę elektromotoryczną uważamy za dodatnią, jeżeli powodowałaby ona przepływ prądu w kierunku zgodnym z kierunkiem obiegu oczka, a za ujemną w przeciwnym przypadku. Przykład Zastosowanie praw Kirchhoffa do obwodu przedstawionego na rys. 2. I 1R1 I2R2 I3R3 I4R4 1 2 3 4 Rys. 2. 53

11.11. ŁĄCZENIE OPORNIKÓW b) Łączenie równoległe oporników: Część IV. Elektromagnetyzm W wielu sieciach mamy do czynienia z wieloma opornikami połączonymi równolegle lub (i) szeregowo. Często musimy znaleźć oporność zastępczą układu szeregowo lub równolegle połączonych oporników. Na podstawie praw Kirchhoffa można łatwo otrzymać wzory, określające wypadkowy opór przewodników, a) Łączenie szeregowe oporników Przykład (tablica). Wyznaczyć opór zastępczy dla dwóch oporników połączonych szeregowo. N i R (11.1) R i 1 R N i Ri Przykład (tablica). Wyznaczyć opór zastępczy dla dwóch oporników połączonych równolegle. 1 (11.2) 54

Część IV. Elektromagnetyzm 11.12. Kondensatory i dielektryki 11.12.1 Pojemność elektryczna kondensatora Układ dwóch przewodników ( lub płytek),odizolowanych wzajemnie oraz od otoczenia, który może gromadzić ładunek elektryczny, przy przyłożonej różnicy potencjałów, nazywamy kondensatorem (rys.), a te przewodniki okładkami kondensatora. Rysunek przedstawia kondensator płaski, w którym przewodniki (okładki) stanowią dwie równoległe płytki przewodzące o polu powierzchni S. Podłączona bateria transportuje ładunki z jednej płyty kondensatora na drugą, dopóki napięcie między płytami kondensatora nie zrówna się z napięciem baterii. Naładowany kondensator: są to dwie płytki (okładki) naładowane identycznym ładunkiem co do wartości, lecz o przeciwnym znaku, tj. +q i q; q reprezentuje bezwzględną wartość ładunku. 55

Część IV. Elektromagnetyzm Wielkością charakteryzującą kondensator jest jego pojemność, którą definiujemy następująco: [1F ]=[ 1C/1V]. (12.1) Pojemnością elektryczną nazywamy stosunek ładunku kondensatora do różnicy potencjałów (napięcia) między okładkami. Jednostką pojemności elektrycznej jest farad (F): Jeden farad jest wiec pojemnością przewodnika, na którym ładunek jednego kulomba wytwarza potencjał jednego volta. Farad jest stosunkowo dużą jednostką pojemności; w praktyce pojemność wyraża sie zwykle w podwielokrotnościach farada, np. mikrofaradach (1μF = F), nf, pf. Należy zauważyć, że stałej dielektrycznej próżni można przypisać wymiar: (7.2) Wartość : 56

Pojemność (C) zależy od: (a) kształtu, rozmiaru i wzajemnego położenia płytek (b) materiału który wypełnia przestrzeń pomiędzy płytkami. Podział kondensatorów : A) ze względu na konstrukcję : Część IV. Elektromagnetyzm o elektrolityczne (dielektrykiem jest cienka warstwa tlenku, a osadzona elektrolitycznie na okładzinie dodatniej, drugą okładziną jest elektrolit); Zdj. Kondensatory stałe różnych typów i pojemnościach. Źródło: pl.wikipedia.org o poliestrowe - foliowe (dielektrykiem jest folia poliestrowa); o ceramiczne (dielektrykiem jest specjalna ceramika); o powietrzne (dielektrykiem jest powietrze). B) kształt okładzin: o płaski; ocylindryczny; o sferyczny; oizolowany przewodzący przedmiot (ziemia jest drugą okładką). Rys. Przekrój cylindrycznego kondensatora, pokazujący powierzchnię gaussowską o promieniu r. źródło:h.r.w. Rys. 26-6, str. 632 57

Część IV. Elektromagnetyzm 11.12.2. Obliczanie pojemności kondensatora płaskiego Rys. Kondensator płaski. źródło: http://www.mif.pg.gda.pl/kfze Składa się on z dwóch przewodzących, równoległych płytek o powierzchni S każda, umieszczonych w odległości d << w porównaniu z liniowymi rozmiarami płytek (rys. ). Można przyjąć, ze pole elektryczne kondensatora jest w przybliżeniu równe sumie pól dwóch nieskończonych płaszczyzn, naładowanych różnoimiennie z gęstością powierzchniową (por. w. 10). Biorąc pod uwagę kierunki pola elektrycznego, Wytworzonego przez ładunki na każdej z okładek można stwierdzić, ze na zewnątrz kondensatora całkowite natężenie pola elektrycznego E = 0 a miedzy okładkami kondensatora natężenie pola jest dwukrotnie większe, niż w przypadku pojedyncze naładowanej płaszczyzny: (12.2) 58

Część IV. Elektromagnetyzm (12.3) (12.4) (12.5) Zauważmy, że pojemność zależy od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego położenia. Oznacza to, że dla kondensatorów o innej geometrii obowiązują inne wzory. Równanie powyższe obowiązuje dla kondensatora płaskiego znajdującego się w próżni. Zależność pojemność kondensatora od przenikalności elektrycznej ośrodka omówimy później. 59

11.12.3. ENERGIA KONDENSATORA Część IV. Elektromagnetyzm dw U dq CU du (12.6) E C U 0 U du 1 2 CU 2 1 2 QU 2 Q 2C (12.7) 11.12.4 Łączenie kondensatorów A) Łączenie równoległe kondensatorów C N C i i (12.8) 60

Część IV. Elektromagnetyzm B) Łączenie szeregowe kondensatorów 1 C N i 1 C i (12.9) Przykład. 61

Część IV. Elektromagnetyzm 1 X C C (12.11) I U X C (12.10) 62

Część IV. Elektromagnetyzm 11.13 Własności materii a przenikalność elektryczna materiałów 63

Część IV. Elektromagnetyzm Tablica. Przykładowe wartości przenikalności elektrycznej Dielektryki tworzą materiały, zbudowane z cząsteczek niepolarnych, czyli cząsteczek, które nie posiadają trwałych elektrycznych momentów dipolowych. Obecności pola elektrycznego powoduje indukowanie momentu dipolowego, poprzez przesunięcie środków ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych. Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji elektronowej. Pole elektryczne porządkuje jednocześnie dipole elektryczne zgodnie ze zwrotem pola. Jest to polaryzacja kierunkowa. Cząstki niepolarne to cząstki o budowie symetrycznej, jak: H 2, N 2, O 2,czy gazy szlachetne. 64

Część IV. Elektromagnetyzm Paraelektryki to materiały, których cząsteczki posiadają trwały elektryczny moment dipolowy również w nieobecności pola elektrycznego. Są to tzw. cząstki polarne. Doskonałym przykładem jest cząsteczka wody (H 2 O) ( rys.). W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego paraelektryki nie wykazują pola elektrycznego, ponieważ dipole elektryczne są zorientowane w sposób przypadkowy, chaotyczny, i pola dipoli wzajemnie się znoszą. 65

Część IV. Elektromagnetyzm Rys. Wiązania cząsteczek wody 66

Część IV. Elektromagnetyzm Trzeci rodzaj materii: Ferroelektryki, są to materiały wykazujące pole elektryczne również w nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego. Charakterystyczną cechą ferroelektryków jest struktura domenowa, która powoduje np. występowanie histerezy elektrycznej. Podobnie histerezę magnetyczną obserwujemy w ferromagnetykach. Pod względem własności magnetycznych materiały dzielimy na diamagnetyki, paramagnetyki i ferromagnetyki. 67

KONIEC 68