Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Przypomnienie modelu matematycznego opisującego niezawodność elementu naprawialnego. Koncepcja symulacyjnego badania niezawodności elementu naprawialnego metodą Monte-Carlo. Napisanie programu pozwalającego na obliczenie przybliżenia funkcji gotowości elementu naprawialnego. 1. Model matematyczny elementu naprawialnego Rozważany jest element naprawialny działający w następujący sposób: Element w chwili początkowej (t = 0) jest sprawny, działa i po upływie pewnego czasu, którego rozkład określa funkcją F(t), uszkadza się. Rozpoczyna się naprawa, której czas trwania opisany jest zmienną losową o dystrybuancie G(t). Po zakończeniu naprawy element znowu staje się sprawny i cykl powtarza się. Rozkłady czasu pracy elementu i czasu jego naprawy są wykładnicze, czyli Stany niezawodnościowe elementu można określić tak S 0 S 1 - element sprawny - element uszkodzony Graf stanów niezawodnościowych będzie wyglądał następująco
Rys. 1. Graf stanów elementu naprawialnego Przejścia pomiędzy stanami następują w wyniku zdarzeń. W analizowanym systemie można określić dwa zdarzenia: uszkodzenie, które powoduje przejście ze stanu sprawności do stanu uszkodzenia i zakończenie naprawy, po wystąpieniu, którego następuje przejście ze stanu uszkodzenia do stanu sprawności. Celem analizy jest znalezienie funkcji prawdopodobieństw P 0 (t) i P 1 (t), czyli określenie prawdopodobieństw znajdowania się w chwili czasu t w danym stanie. Jeśli tak jak to założono powyżej (1), rozkłady czasów pracy i naprawy elementu są rozkładami wykładniczymi to: i W związku z tym macierz przejść pomiędzy stanami systemu ma postać Zakłada się ponadto, że w chwili początkowej (t =0) system jest sprawny a więc warunek początkowy ma postać (3) ponadto zachodzi oczywisty związek pomiędzy prawdopodobieństwami P 0 (t) i P 1 (t) Problem znalezienia prawdopodobieństw P 0 (t) i P 1 (t) sprowadza się, więc do zadania rozwiązania układu równań różniczkowych (2) (4) z warunkiem początkowym (3). (5)
Rozwiązanie układu (5) można uzyskać metodą transformaty Laplace'a. W pierwszym kroku procedury należy wyznaczyć macierz skąd dalej, korzystając z ogólnej zależności w postaci otrzymuje się rozwiązania układu w dziedzinie operatorowej Aby otrzymać rozwiązanie w dziedzinie czasu, trzeba najpierw rozwiązać równanie algebraiczne Pierwiastkami równania są Ostatnim krokiem procedury wyznaczania rozwiązania jest zastosowanie wzoru pozwalającego obliczyć poszukiwane prawdopodobieństwa P 0 (t) i P 1 (t) W przypadku rozwiązywanego zadania wzór dla prawdopodobieństwa P 0 (t) wraża się jako Po wykonaniu przejść granicznych otrzymuje się ostatecznie rozwiązanie P 0 (t) w postaci Rozwiązanie P 1 (t) najłatwiej jest uzyskać wykorzystując wzór (4). (6) Funkcja gotowości określona wzorem określająca prawdopodobieństwo, że element w chwili czasu t znajdzie się w stanie sprawności (stanie należącym do zbioru stanów S + ) wyraża się w prosty sposób jako (7)
Natomiast liczbową charakterystykę określająca gotowość tzw. współczynnik gotowości można wyznaczyć jako wartość asymptotyczną funkcji gotowości, czyli przy czym prawdopodobieństwa P i są asymptotycznymi wartościami prawdopodobieństw P i (t). Dla rozważanego wyżej elementu występuje tylko jeden stan sprawności (stan 0), czyli funkcja gotowości A(t) wyrażona wzorem (7) przyjmuje w konsekwencji postać (8) Współczynnik gotowości A można obliczyć wykonując przejście graniczne we wzorze (6). W efekcie otrzymuje się wynik w stosunkowo prostej postaci. Przebieg funkcji gotowości dla elementu naprawialnego o wykładniczych rozkładach czasu do uszkodzenia i czasu naprawy przedstawia rysunek 2. (9) Rys.2. Funkcja gotowości elementu naprawialnego (X = 0.001, p = 0.01 ) Jak widać po dostatecznie długim czasie gotowość, czyli prawdopodobieństwo sprawności stabilizuje się wokół asymptoty określonej wzorem (9).
2. Badanie niezawodności elementu naprawialnego metodą symulacji Monte-Carlo W poprzednim punkcie przeanalizowano najprostszy z możliwych przypadek systemu naprawialnego (pojedynczy element przy wykładniczych rozkładach czasów niesprawności i naprawy). Mimo prostoty systemu, znalezienie rozwiązania w postaci prawdopodobieństw przebywania w stanach jako funkcji czasu nie było wcale aż tak łatwe. Należało rozwiązać układ dwóch równań różniczkowych liniowych. W przypadku systemów bardziej skomplikowanych, liczba równań zaczyna rosnąć. Dla przykładu, gdyby analizować zaproponowaną metodą system zbudowany z dwóch elementów naprawialnych, trzeba by rozwiązać układ czterech równań, dla systemu składającego się z trzech elementów równań byłoby już 8 a dla 10 elementów 1024. Sensowne jest zastanowić, czy nie ma innej metody, która pozwalałaby łatwiej rozwiązać problem, być może jedynie w przybliżeniu. Można zaproponować następującą procedurę symulacyjną, która pozwoli na wykonanie eksperymentów prowadzących do oszacowania charakterystyk probabilistycznych badanego systemu. 1. Napisać program symulacyjny pozwalający na generowanie przebiegu zmian stanu systemu w czasie. 2. Używając programu napisanego w punkcie 1 wygenerować dostatecznie dużo przebiegów czasowych zmian stanu. 3. Oszacować poszukiwane charakterystyki niezawodności (np. odpowiednie prawdopodobieństwa ) uśredniając realizacje wygenerowane w punkcie 2. Dla opisanego poprzednio przypadku systemu złożonego z jednego elementu naprawialnego program symulacyjny, który pozwala na generację przebiegu czasowego zmian stanu może wyglądać na przykład tak:
Przykładowe wywołanie funkcji z argumentami: lambda = 1000, (średni czas do uszkodzenia, λ = 0.001 ) mi = 100, (średni czas naprawy,μ= 0.01) t = 2000, (chwila zakończenia symulacji) draw = 1, (rysowanie wykresu czasowego) spowoduje narysowanie przebiegu czasowego zmian stanu elementu naprawialnego, który został pokazany na rys. 3
Rys.3. Wykres zmian stanu w czasie Jak można łatwo zauważyć na wykresie w momencie zakończenia symulacji (t = 2000) element jest sprawny, czyli jego stan przyjmuje wartość 0, funkcja zwróci więc liczbę 0. 3. Zadania do wykonania Posługując się podaną powyżej funkcją realizacja(lambda, mi, t, draw) spróbować wykonać następujące analizy: Kilkakrotnie wywołać funkcję zmieniając czas symulacji ( argument t ) i zaobserwować jak wyglądają przebiegi czasowe zmian stanu. Napisać funkcję gotowosc(t, n) pozwalającą wyznaczyć oszacowanie wartości funkcji gotowości A(t) elementu naprawialnego w chwili t. Aby to zrobić, należy zgodnie z punktem 2 procedury opisanej w poprzednim punkcie, wielokrotnie (n razy) uruchomić program generacji przebiegów zmian stanu w czasie i wyznaczyć oszacowania funkcji gotowości A(t) ze wzoru: gdzie k - liczba wywołań funkcji realizacja(lambda, mi, t, draw), których w chwili t osiągnięto stan sprawności (stan 0), n - liczba wszystkich wywołań funkcji realizacja(lambda, mi, t, draw) wykonywanym eksperymencie. Uwaga: argument draw należy ustawić w tym przypadku na 0 aby uniknąć wielokrotnego rysowania przebiegów czasowych
Sprawdzić jak wyznaczone oszacowanie zależy od liczny powtórzeń n. Napisać program rysujący przebieg funkcji gotowości elementu naprawialnego (podobnej do tej na rysunku 2) wywołując n razy funkcję gotowosc(t, n) dla różnych wartości zmiennej t. 4. Literatura 1. Grabski F., Jaźwiński J., Metody bayesowskie w niezawodności i diagnostyce, Wydawnictwo WKŁ 2001 2. Maksymiuk J., Niezawodność maszyn i urządzeń elektrycznych, Wydawnictwo Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2003 3. Wendy L. Martinez, Angel Martinez, Jeffrey Solka, Exploratory Data Analysis with MATLAB, Second Edition, Wydawnictwo CRC PR INC