3. Statystyczna Obróbka wyników pomiaru

1 ĆWICZENIE NO 3 3. Statystyczna Obróbka wyników pomiaru Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest praktyczne poznanie przez studentów statystycznej obróbki wyników pomiaru w tej czesi, która jest niezbędna w szacowania niepewności wyniku. 3.1. Teoria 3.1.1. Błąd pomiaru a niepewność wyniku pomiaru Pomiar jest to proces, w którym w sposób doświadczany, przypisujemy pewne wartości liczbowe charakteryzujące właściwości obiektu lub procesu fizycznego w taki sposób, aby opisać ten obiekt lub proces. Dzięki temu nasza wiedza o obiekcie czy procesie staje się pełniejsza, jest bogatsza, bardziej kompletna. Do celów pomiarowych używa się przyrządów pomiarowych lub zespołów przyrządów pomiarowych nierzadko wspomaganych komputerami i wówczas mam do czynienia z komputerowo wspomaganymi pomiarami. Dzięki zastosowaniu komputerów mamy możliwość sterowania procesem pomiarowym, gromadzenia znacznej liczby wyników pomiaru, których obróbka i właściwa prezentacja stają się głównym zadaniem współczesnego metrologa. Obliczanie niepewności wyniku pomiaru, a w tym statystyczna obróbka wyników pomiaru są obowiązkowe z punktu widzenia poprawności zapisu wyniku pomiaru. W procesie pomiarowym staramy się poznać wielkość prawdziwą wielkości mierzonej lub zbiór parametrów opisujących badany obiekt lub proces, lecz de facto wartości prawdziwej wielkości mierzonej nie poznamy, a co najwyżej możemy wyznaczyć węższy lub szerszy przedział, który na określonym poziomie ufności pokrywa wielkość prawdziwą wielkości mierzonej. Błąd pomiaru jest to różnica pomiędzy wartością pomierzoną a wartością prawdziwą.: ε n n praw (3.1) gdzie: błąd ε n w n-tym pomiarze jest defilowany jako różnica pomiędzy aktualnym wynikiem pomiaru n, a wartością prawdziwą, praw zdefiniowaną lub obliczoną wartością wielkość podlegającej pomiarowi. Oczywiste jest, że można spierać się czy znamy lub czy możemy poznać wartość prawdziwą wielkości mierzonej, ale dla celów inżynierskich możemy przyjąć, że wartość prawdziwa jest wartością określoną w najdokładniejszy jak tylko potrafimy sposób np. poprzez porównanie jej w wysokiej klasy standardem. Jeżeli jako wartości prawdziwą wielkości mierzonej wprowadzi się pojecie wartości poprawnej czyli tej wyznaczanej lub obliczanej w najdokładniejszy sposób, wówczas możemy przyjąć, że wyznaczenie wartości średniej jest takim sposobem uzyskiwania wartości poprawnej. Wartość średnia z N pomiarów można obliczyć jako średnią arytmetyczną zgodnie z (3.) 1 N 1 + + 3 + L+ N n (3.) N n 1 N gdzie: N całkowita liczba próbek (zebranych pomiarów),

+ 1 + + 3 + L N wyniki kolejnych pomiarów - średnia arytmetyczna z N wyników W miejsce wartości prawdziwej można wprowadzić pojęcie wartości poprawnej, p praw, która jest najlepszą estymatą wartości prawdziwej, a w miejsce błędu się błąd pozorny p, wówczas nie budzi to kontrowersji w stosunku do posługiwania się pojęciem błędu i wartości prawdziwej. Tak wiec p p (3.3) a wartości średnia równa się wartość i poprawnej: 1 N p n (3.4) N n 1 Należy zwrócić uwagę, że n występujące w (3.) i (3.4) jest wartością kolejnego wyniku, który musi być otrzymany już w najlepszy z możliwych sposobów, w tym skorygowany o wartość korekcyjną, która jest znany np. z procesu kalibracji, zastosowanej metody pomiarowej co jest znane z fizyki pomiaru lub i innych znanych systematycznych wpływów jak wpływ środowiska zewnętrznego. Przykładowo takim czynnikiem wpływającym jest temperatura, która powoduje zmianę warunków pomiaru i o ten wpływ może być skorygowany pojedynczy wynik pomiaru w serii pomiarowej, co może objawiać się wpływem o charterze periodyczny (np. sinusoidalny) lub np. linowym w postaci stałego trendu w serii pomiarów. Możliwość eliminacji takich wpływów w czasie pomiarów występuje wtedy i tylko wtedy, gdy znane są chwile czasowe otrzymywanych poszczególnych wyników cząstkowych. Na ys. 3.1a przedstawiono 51 próbek symulacyjnych wyników pomiaru, zbieranych co 1 s, które są zanieczyszczone trendem liniowym i okresowym sinusoidalnym ys. 3.1 wyniki symulacji pomiaru obarczone niepewnościami typu, oraz trendem liniowo zmiennym w czasie i zakłóceniami periodycznymi sinusoidalnymi ys. 3.1 b) zakłócenie liniowo zmienne w czasie wyodrębnione z wyników pomiaru ys. 3.1 c) Zakłócenie sinusoidalne wyodrębnione w wynikach ys. 3.1d) ozrzuty wyników wokół wartości średniej charakterze przypadkowym o rozkładzie Gaussa.

Na ys 3.1b) zakłócenie liniowo zmienne w czasie wyodrębnione z wyników pomiaru, 3.1c) Zakłócenie sinusoidalne wyodrębnione w wynikach, a na rys 3.1d) ozrzuty wyników wokół wartości średniej charakterze przypadkowym o rozkładzie Gaussa. Jeżeli dla zbiorów wyników z ryz 3.1a-d) wykonamy histogramy wówczas otrzymamy wykresy przedstawione na rys 3. a-3.d) UWG: Histogram to jeden z graficznych sposobów przedstawiania rozkładu cechy. Składa się z szeregu prostokątów umieszczonych na osi współrzędnych. Prostokąty te są z jednej strony wyznaczone przez przedziały klasowe wartości cechy, natomiast ich wysokość jest określona przez liczebności (lub częstości) elementów wpadających do określonego przedziału klasowego): patrz http://pl.wikipedia.org/wiki/histogram Na ys. 3. przedstawiono takie histogramy dla 4 przypadków:, gdy próbka nie jest zanieczyszczona zakłóceniami (3..d), zanieczyszczona zakłóceniami o charakterze liniowym (3. b), okresowym sinusoidalnym (3. c) oraz oboma tymi zakłóceniami: jednocześnie (3. a): ys. 3. a Wartość średnia 5.1195 odchylenie standardowe s n 1.86 ys. 3. b Wartość średnia 5.1195 odchylenie standardowe s n 1 3.10 ys. 3. c Wartość średnia 0.0095 odchylenie standardowe s n 1 1.68 ys. 3. d Wartość średnia 0.0095 odchylenie standardowe s n 1 0.98 Jeżeli liczby pomiarów w poszczególnych podprzedziałach podzielimy przez liczbę wszystkich pomiarów, uzyskujemy częstość występowania wyników w poszczególnych podprzedziałach. Taki histogram jest rozkładem empirycznym i można go przybliżyć rozkładem Normalnym πσ w którym: p () - funkcja gęstości prawdopodobieństwa ( ) 1 ( ) σ p e (3.5) - różnica pomiędzy bieżąca wartością a jej średnią arytmetyczną σ - odchylenie standardowe- parametr rozkład, który dla n s σ n 3

ys. 3.3 Przejście od histogramu do funkcji gęstości prawdopodobieństwa Jeżeli oznaczyć: z i przyjąć, że 0, wówczas od rozkładu Gaussa przechodzimy do σ rozkładu Gaussa standaryzowanego, który ma bardzo szczególna rolę w wyznaczaniu niepewności wyniku pomiaru na określonym poziomie ufności, co jest dalej rozwinięte. a) b) ys 3.4 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (a) i dystrybuanta (b) dla 0. 03 i σ, 51 Znormalizowana funkcja gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta dla 0 i σ 1 Przedstawiono na ys. 3.7 0.45 0.40 0.35 0.30 0.5 0.0 0.15 0.10 0.05 0.00-5.00-4.00-3.00 -.00-1.00 0.00 1.00.00 3.00 4.00 5.0 0.00-5.00-4.00-3.00 -.00-1.00 0.00 1.00.00 3.00 4.00 5.0 a) b) ys 3.5 a) p (z) - funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Normalnego (Gaussa) b) P(z) skumulowana funkcja opisana równaniem dla wartości średniej 0 i odchylenia standardowego σ 1 czyli tzw znormalizowanego rozkładu Normalnego którym: 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.0 0.10 z σ 4

Zależność pomiędzy funkcją gęstości prawdopodobieństwa i skumulowaną funkcja gęstości prawdopodobieństwa zwaną również dystrybuantą dla zmiennej nieznormalizowanej, jest następująca: z P( z) p( z ) d (3.6) i odwrotnie dp( z) p( z) (3.7) dz ównanie 3.7 może być interpretowane jako prawdopodobieństwo, że z przyjmuje wartość mniejszą niż a. Prawdopodobieństwo, że z leży pomiędzy a i b (tj. a < z < b ) może być zapisane jako: b a b P [ a < X b] P( b) P( a) p( z) dz p( z) dz p( z) dz (3.8) a Interpretacja geometryczna funkcji gęstości prawdopodobieństwa przedstawiono na rys 1.3 ys. 3.6 Graficzna interpretacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa skumulowanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa Pole powierzchni zawarte pomiędzy osią o i funkcja gęstości prawdopodobieństwa równe jest 1, natomiast skumulowana funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest całką z funkcji gęstości prawdopodobieństwa liczoną od do bieżącej wartości Prawdopodobieństwo, że pomiędzy σ Lσ wynosi p 0, 683, a pomiędzy σ Lσ wynosi p 0, 95. Stosując tą teorię do obliczania niepewności, należy stwierdzić, ze jeżeli uzyska się funkcję częstotliwości występowania błędów (histogram błędów) w funkcji błędów pozornych odniesionych do odchylenia standardowego z próby, wówczas taki rozkład jest rozkładem normalnym czyli: w przedziale od σ Lσ znajdzie się 95% wyników, czyli na poziomie ufności p 0, 95 błędy będą w przedziale ss Lsn. Zatem wartość prawdziwa wielkości mierzonej Y będzie pokryta przez przedział: Zapis wówczas wyniku pomiaru ma formę następującą: s y n + s n (3.9) Y - wielkość mierzona - najlepsza estymata wartości wielkości mierzonej Y s n - niepewności - wartość określająca przedział na określonym poziomie ufności (n.p. p 0. 95. Uogólniając zapis nierówności 3.9 można zapisać, ze dla dowolnego poziomu ufności p y kσ Y y + kσ (3.10) gdzie k - jest zmienną losową zależną od poziomu ufności p 5

a jeszcze bardziej ogólnie: y U Y y + U (3.11) gdzie U jest niepewnością na poziomie ufności p Na ys. 3.9 przedstawiono interpretacje graficzna przedziału ufności. ys. 3..7. Interpretacja graficzna Przedział pokrywający wielkość prawdziwą wielkości mierzonej wyniku pomiaru i niepewności wyniku pomiaru Oprócz niepewności o charterze przypadkowym, które podlegają rozkładowi Normalnemu, a przy małej liczbie pomiarów (do 30) rozkładowi t-studenta, ozkład t-studenta Dla stosunkowo małej liczy pomiarów np. do 30 celowe jest stosowanie rozkładu ys. 3.8. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Normalnego (Gaussa) i rozkład t-studenta. ozkład t-studneta, to ten niższy i szerszy Dla rozkładu t-student wartości współczynników k zależą od liczby stopni swobody i od wymaganego poziomu ufności. Istotne jest tu wyraźnie zaznaczyć, że dla rozkładu normalnego i dla rozkładu t-studenta dla 31 pomiarów (30 stopni swobody) k, 04 wobec wartość k 1,96 dla rozkładu normalnego óżnica więc pomiędzy rozkładem t-studenta i Normalnym począwszy do 31 pomiarów wynosi więc 0,04 w odniesieniu do wartości poprawnej. Tak więc zastosowanie rozkładu Normalnego w miejsce studenta spowodowało by, ze niepewność wyniku pomiaru byłaby obarczona 4% błędem (metody), ale proszę wziąć pod uwagę łatwość z jaką obecnie możemy wykonać pomiary wielokrotnie używając komputerów do wspomagania procesu pomiaru. 6

Tab. 3.1 Współczynniki rozszerzenia k dla rozkładu t-studenta; ν - jest liczbą stopni swobody równa liczbie obserwacji (wyników minus jeden). ν p 0. 90 p 0. 95 p 0. 99 p 0. 999 1 6.31 1.71 63.66 636.6.9 4.30 9.93 31.60 3.35 3.18 5.84 1.9 4.13.78 4.60 8.61 5.0.57 4.03 6.87 6 1.94.45 3.71 5.96 7 1.89.37 3.50 5.41 8 1.86.31 3.36 5.04 9 1.83.6 3.5 4.78 10 1.81.3 3.17 4.59 11 1.80.0 3.11 4.44 1 1.78.18 3.06 4.3 13 1.77.16 3.01 4. 14 1.76.14.98 4.14 15 1.75.13.95 4.07 16 1.75.1.9 4.0 17 1.74.11.90 3.97 18 1.73.10.88 3.9 19 1.73.09.86 3.88 0 1.7.09.85 3.85 1 1.7.08.83 3.8 1.7.07.8 3.79 3 1.71.07.8 3.77 4 1.71.06.80 3.75 5 1.71.06.79 3.73 6 1.71.06.78 3.71 7 1.70.05.77 3.69 8 1.70.05.76 3.67 9 1.70.05.76 3.66 30 1.70.04.75 3.65 40 1.68.0.70 3.55 60 1.67.00.66 3.46 10 1.66 1.98.6 3.37 1.65 1.96.58 3.9 y ksn( n 1) Y y + ksn( n 1) (3.1) Niepewność U jest obliczana na określonym poziomie ufności, i tak poziom ufności p0,95, oznacza, że z prawdopodobieństwem 95% przedział y U Y y + U pokrywa wartość prawdziwa wielkości mierzonej. Niepewności obliczane na podstawie serii pomiarów są to niepewności typu, z jej wartością standardowa u i przedziałem wyznaczającym granice U przedziału pokrywającego wartość prawdziwa wielkości mierzonej zgodnie z powyższymi zasadami. Oprócz niepewności obliczanej metoda typu, elementem składowym niepewności całkowitej jest jeszcze niepewność obliczana innymi metodami niż na podstawie serii pomiarów. Jest to niepewność obliczana metoda typu B, której wartość standardowa jest oznaczana symbolem: u B. Na podstawie niepewności standardowej obliczanej metoda typu i metodą typu B, po ich geometrycznym zsumowaniu, czyli obliczeniu pierwiastka kwadratowego z sumy ich kwadratów otrzymuje się niepewność łączną (3.13), która umożliwia obliczenie granic przedziału niepewności zgodnie ze wzorem 3.14. u c u + ub (3.13) gdzie : uc -niepewność standardowa łączna, u - komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu (na podstawie serii pomiarów), ub - komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu B (nie na podstawie serii pomiarów a innych danych niż seria pomiarów). 7

B U ku c k u + u (3.14) Współczynnik k we wzorze 3.14 jest zmienną losową odpowiadają łącznemu rozkładowi niepewności typu i typu B niepewności standardowej łącznej. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa niepewności łącznej nie ani rozkładem Normalnym ani t-studenta, chociaż w przybliżeniu dopuszcza się stosowanie współczynników k odpowiadających tym rozkładom, dla niepewności łącznej. Należy jednak pamiętać, że jest to przybliżenie. 3.1.. Obliczanie niepewności metodą typu B Źródłem informacji do obliczania niepewności typu B, są wszystkie inne dane niż te które uzyskano z serii pomiarów. Zalicza się do nich: dane uzyskane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów, doświadczenie lub ogólna znajomość zachowania się i właściwości odpowiednich materiałów i przyrządów pomiarowych, dane techniczne pochodzące ze specyfikacji technicznej producenta, dane uzyskane ze świadectw wzorcowania i z innych certyfikatów, Producent przyrządów pomiarowych wśród danych technicznych przyrządu podaje parametry umożliwiające wyznaczenie granicznych wartości błędów, które wraz z wartością wskazaną przez dany przyrząd określają przedział, który pokrywa wartość prawdziwa wielkości. O ile intuicyjnie zgadzamy się, ze wykonując serię pomiarów, najbardziej zbliżonym wynikiem jest wartość średnia wyniku pomiaru najwięcej wyników pomiarów będzie skupionych wokół tej wartości, i częstość wyników spada wraz z oddalaniem się od wartości średniej, a błąd od wartości zerowej to w przypadku niepewności typu B, częstość występowania wyników charakteryzuje się innymi rozkładami niż Normalny czy t-studenta i funkcja gęstości prawdopodobieństwa może być o rozkładzie równomiernym (jednakowe prawdopodobieństwa w całym przedziale), trójkątny, trapezoidalny, w kształcie litery U, trapezoidalny ze zboczami logarytmicznymi lub inny. Najczęściej mamy do czynienia z rozkładem jednostajnym, którego funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest linią prostą, a dystrybuanta prostą o stałym nachyleniu (rys. 3.9). ys:. 3.9 a) Przedział < y lim ; y + lim > pokrywający wartość prawdziwą wielkości mierzonej Y ; b) funkcja gęstości prawdopodobieństwa przy założeniu, ze rozkład jest równomierny, c) 8

dystrybuanta lim granica błędu wyznaczona metoda typu B. W celu zaznajomienia czytelnika z rozkładem równomiernym czyli o funkcji gęstości prawdopodobieństwa o stałej wartości, przeprowadzono eksperyment, który jest symulacja pomiarów, których częstotliwość pojawiania się w przedziale < y lim ; y + lim > jest jednakowa. Na rysunku 3.10a przedstawiono błędy pozorne dla N1000 pomiarów, w którym wartości lim 1. Na rys 3.10b częstości występowania tych błędów w zakres < 1 ; 1 > dzieląc cały przedziałów na 100 podprzedziałów; w każdym z podprzedziałów pojawiło się średnio po 10 wyników, czyli częstość wynosi 10/10000,01, a na rys 3.10c kolejne sumy częstości występowania wyników z ryz. 3.1b. a) b c) ys. 3.10. Wyniki symulacji 1000 pomiarów, których błędy pomiaru równomiernie rozkładają się w przedziale <-1;1>. a) Błędy pozorne: wartości średnia 0, 000, a odchylenie standardowe s n 1 0,58 1/ 3 b)) Wykres częstości występowania błędów pozornych w kaczym ze 100 równych podprzedziałów dla 1000 pomiarów o granicach błędów <-1;1> (w każdym podprzedziale średnio występuje po 10 pomiarów czyli częstość10/1000 0,01), c) Wykres sum częstości występowania błędów w przedziale <-1;1> czyli dystrybuanta eksperymentalna rozkładu równomiernego (linia prosta o równaniu: y 0,5 + 0. 5 ) Jeżeli pomiarów wykonalibyśmy nieskończenie wiele, a liczba podprzedziałów byłaby również nieskończenie duża, otrzymuje się postać analityczną postać funkcji gęstości i rozkładu jednostajnego i jej dystrybuantę, co już zilustrowano na rys 3.9. 9

Przykład liczbowy 1 (miernik analogowy): Dla woltomierza analogowego producent podał, że na zakresie pomiarowym 300 V, wartości błędu odniesiona do zakresu (300 V) wynosi 0,5. Wartość 0,5 jest wartością wyrażona w % i odniesiona do zakresu czyli 300 V. Za pomocą tego woltomierza na zakresie 300 V pomierzono napięcie i wskazanie wynosiło V1 30V. lim Obliczyć wartość graniczną lim oraz wartość względna δ V1 V1 Obliczenia: 0.5 lim 1,5 V lim 300V 1, 5V a wartość względna δ V1 0,0065 0,63% 100 V 30V 1 Przykład liczbowy (miernik cyfrowy): Dla woltomierza analogowego producent podał, że na zakresie pomiarowym 300 V, wartości błędu odniesiona do zakresu (300 V) wynosi 0,05 oraz 0,1 w stosunku do wartości wskazywanej przez miernik. Wartość 0,05 jest wartością wyrażona w % i odniesiona do zakresu czyli 300 V a wartość 0,1 jest też wyrażona w % w stosunku do wartości odczytu. Za pomocą tego woltomierza na zakresie 300 V pomierzono napięcie i wskazanie wynosiło V1 30V. lim Obliczyć wartość graniczną lim oraz wartość względna δ V1 V1 Obliczenia: 0,05 0,1 lim 300V + 30 0,15V + 0,3V 0, 38V a wartość względna 100 100 lim 0,38V δ V1 0,00165 0,17 % V 30V 1 Uwaga: wartość niepewności wyniku pomiaru przedstawia się w postaci liczby z dwoma cyframi znaczącymi niezależnie czy jest to wartość w jednostkach czy bez miana, lecz jeżeli jest to wynik pośredni brany w dalszych obliczeniach np. obliczaniu niepewności złożonej bierze się pod uwage liczbę cyfr wynikająca z poprzednich obliczeń bez zaokrąglania. Obliczone w obu przypadkach wartości lim umożliwiają na sformułowanie przedziału pokrywającego wartość prawdziwą wielkości mierzonej w postaci: y lim Y y + lim (3.15) lecz nie uwzględniono tutaj niepewności typu wynikającej z serii pomiarów, oraz nie uwzględniono poziomu ufności p np. p 0.95%. W celu uwzględnienia obu składników w niepewności wyniku należy ustalić reguły ich łącznego obliczania w niepewności a takich reguł dostarcza nam matematyka ściślej rachunek prawdopodobieństwa. Na podstawie granic dla rozkładu jednostajnego zgodnie z oznaczeniami jak na rys. 3.1 można obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe niezbędne w obliczaniu standardowej niepwności łącznej typu i typu B Przykład obliczenia wartości średniej i odchylenia standardowego dla funkcji gęstości rozkładu jednostajnego 10

ys 3.1 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego, Z definicji funkcja gęstości prawdopodobieństwa, i stałym rozkładzie w przedziale <a; b> wyraża się wzorem 3.16: ( ) p 1 b a (3.16) Wartość średnia dla funkcji ciągłej definiowana jest wzorem 3.17: y E( ) f ( )d (3.17) Dla przedziału <a; b> b b 1 ( ) ( b a ) d pd d y E( ) f b a a a b + a ( b a) (3.18) Wariancja zgodnie z definicją wariancji (kwadratu odchylenia standardowego): Wariancja σ E( ) f ( )d (3.19) Dla przedziału <a; b> Wariancja σ E( b a ) pd b a f ( ) d 1 d b a 3 3 ( b a ) b 3( b a) 3 + ab + a (3.0) Dla przypadku, gdy: zależnością 3.1: b i a wówczas kwadrat odchylenia standardowego wyraża się ( ) + ( ) + ( ) σ (3.1) 3 3 stąd niepewność standardowa równa odchyleniu standardowemu wynosi u σ (3.) 3 Gdy lim niepewność standardowa przyjmuje wartość u σ lim 3 a lim jest wartością graniczna błędy o rozkładzie równomiernym W tab. zestawiono wzory do obliczeń niepewności standardowych dla różnych typowych funkcji gęstości prawdopodobieństwa 11

Tab. Funkcje gęstości prawdopodobieństwa i ich niepewności standardowe ozkład Normalny (Gauss) s u n ozkład t-studenta ozkład równomierny (prostokątny) u n k 1 ( ) n k ( n 1) u 3 ozkład trójkątny u 6 ozkład trapezoidalny u L + 6 H ozkład typu U u Obliczanie łącznej niepełności standardowej funkcji złożonych Obliczanie łącznej niepewności standardowej typu I B niepewności oraz niepewności funkcji złażonej jest określone matematyczna funkcja odnoszącej się do odchyleń standardowych w których odchylenia są niepewnościami standardowych (równanie 3.3): N N 1 N f f f ( y) u ( i ) + u( i, j ) u (3.3) i 1 i 1 j i+ 1 i j w którym: Y f ( X1, X,..., X N ) (3.4) Y jest funkcja złożone, o N składnikach pośrednich, wielkości X 1, X,..., X N Estymatą wielkości Y, jest y, otrzymywane na podstawie zależności 3.18 poprzez wprowadzenie estymat N wielkości składowych X 1, X,..., X N, które oznaczamy przez 1,,..., N. Otrzymuje się wówczas zależność 3.5: y f..., (3.5) ( ) 1,, Niepewność standardowa wyniku y, nazywana niepewnością złożoną ( y) niepewność, która jest dodatnim pierwiastkiem wariancji dla funkcji złożonej. u ( y) ównanie 1.15 bazujące na rozwinięciu funkcji Y f ( X X.... ) N u reprezentowana jest przez 1,, X N w szeregu aproksymującego ta funkcje w szereg Taylora jest nazywane jako prawo propagacji niepewności. f Pochodne cząstkowe oblicza się w punktach X i i. i We wzorze 1.15 u ( i ) to odchylenia standardowe stowarzyszone z i kowariancji stowarzyszonej z i i j., a ( ) u i, j jest estymatą 1

Detekcja i eliminacja błędów nadmiernych Dokonując statystycznej analizy wyników pomiaru, zawsze należy zastanowić się czy nie zawierają one błędów nadmiernych spowodowanych omyłkami oraz czy nie zawierają trendów periodycznych lub nieperiodycznych. Takie wpływy na próbkę wyników obrabianą statystyczną analizę usunąć z wyników, a w opracowaniu zawrzeć stosowne informacje. W celu identyfikacja błędów nadmiernych można zastosować np. kryterium 3σ polegające na tym, że wszystkie wyniki, które nie spełniają zależności gdzie N n 1 ( ) i i 3sn 1 (3.6) sn 1 (3.7) N 1 13

Metoda techniczna pomiaru rezystancji i identyfikacja błędów pomiarowych ozważmy obwód pomiarowy wa obwody pomiarowe, które metodą pośrednią, umożliwiają pomiar rezystancji Na rysunku 1. 3 przedstawiono obwód z. ys 3.15 Schemat pomiaru rezystancji metodą techniczną, a Układ przy zadanej wartości prądu, b) układ przy zadanej wartości napięcia ozważmy układ pomiaru rezystancji z zadaną wartością prądu. Napięciu wskazywane przez woltomierz jest równe napięciu na amperomierzu i badanej rezystancji.: V V + V I stąd: : V V I ( ) V + V V apr I V Tak więc błąd wynikający z metody wynosi:: apr (3.8) (3.9) loading. (3.30) a jego wartość względna: δ loading *100 % Poniżej przestawiono przykładowe obliczenia dla mierników: analogowych i cyfrowych W poniższych V FS U n FS ang. Full Scale ange n wartość nominalna. (3.31) 14

Przykład dla pomiarów wykonanych za pomocą przyrządów analogowych o przyrządów cyfrowych - woltomierz o zakresie: V FS 150V, klasy woltomierz o zakresie V FS 50 V o dokładności: 0, 5 wskazał wartość dokładność z danych technicznych V V 150,0V, 0.04 % ± 1.5 mv wskazał V V 100,65V : : - amperomierz o zakresie: I FS 0,750m amperomierz o zakresie: I FS 1,00000 o klasy dokładności 0, wskazał wartość prądu dokładność z danych technicznych I 0, 5 I 0,500 rezystancja wewnętrzna 0.04% ± 10µ i rezystancji wewnętrznej z amperomierza wynosi: 0. Ω. pomiarów: 1. 50Ω Vv 100.0V apr 00. 0 Ω wówczas I 0.500 apr Vv 100.65 V 01. 3 Ω I 0.500 apr loading apr apr loading apr 00.0 Ω 0, Ω 199.8 Ω 01.3 Ω 1.5 Ω 199.8 Ω Względne błedy metody pomiaru (efekt obciążenia przez amperomierz) wynoszą: loading 0. Ω loading 1.5 Ω δ 100% 0.1001 % δ 100% 0.75071 % 199.8 Ω 199.8 Ω 0.75 % 0.1 % Obliczenie maksymalnego błędu- najgorszy przypadek Maksymalny błąd pomiaru rezystancji lim, lub jego wartość względna δ lim lim / wynoszą: lim VFS I FS δ limv + δ lim limv limi lim + VV I VV I lim X 150V 0.750 0.5% + 0.% 0.75% + 0.3% 1.05% 100V 0.500 limv 0.04% *100.65V + 1.5mV X 4mV + 1.5mV 5.5mV limi 0.04% *0.5 + 10µ 10µ + 10µ 0µ lim 5.5mV 0µ + 100.65V 0.5 0.055% + 0.044% 0.0695% 0.070% lim 1.05% 199,8 Ω.1Ω 199.8Ω ±.1Ω lim 0.0695% 00 Ω 0.1385 Ω 0.14Ω 199.8Ω ± 0.14Ω Obliczenie niepewności na zadanym poziomie ufności Procedura obliczania niepewności wyniku pomiaru na określonym poziomie ufności tym różni się od najgorszego przypadku, że zakłada poziom zaufania do wyniku np. p 0, 95, p 0, 99, p 0, 997, co jest logiczne bo zawsze mogą pozostać jakieś wątpliwości co do poprawności pomiarów czy obliczeń pomimo należytej staranności. 15

Ponieważ dalej będzie statystyczna analiza wyników pomiarów dl kompletności takiej analizy należy i kompletności zapisu wyniku pomiaru należy zawsze dokonać analizy niepewności typu B Tak więc: niepewność typu B oblicza się dla funkcji złożonej, gdyż wynik pomiaru rezystancji jest obliczany jako iloraz wskazań woltomierza i amperomierza. Zastosowanie ma tutaj wzór na względną niepewność odniesioną do wartości rezystancji mierzonej, gdyż jego postać jest zbliżona do wcześniej omówionego najgorszego przypadku ( U vrel U B ) u U rel k( p) u rel k( p) k ( p) uvrel + uirel (3.3) u rel - względna niepewność standardowa pomiaru rezystancji u - niepewność standardowa pomiaru rezystancji k ( p) - współczynnik rozszerzenia dla splotu dwóch w tym przypadku rozkładów względnych gęstości prawdopodobieństwa błędów woltomierza i amperomierza, które S rozkładami jednostajnymi. u - względna niepewność standardowa pomiaru napięcia V rel u Irel - względna niepewność standardowa pomiaru prądu u Vrel 1 1 limv 1 δ limv VFS δ V (3.33) 3 3 V 3 V δ V - względny błąd graniczny pomiaru napięcia - wartość bezwzględna błędu granicznego pomiaru napięcia limv δ limv - względny błąd graniczny woltomierza V - wskazanie woltomierza V V - zakres pracy woltomierza (Full Scale ange) FS u I rel V V 1 1 lim 1 δ lim I FS δ I (3.34) 3 3 I 3 I δ I - względny błąd graniczny pomiaru prądu - wartość bezwzględna błędu granicznego pomiaru prądu lim δ lim - względny błąd graniczny amperomierza I - wskazanie amperomierza I - zakres pracy amperomierza (Full Scale ange) FS 1 + β β (1 p) k ( p) 3 (3.35) 1 + β uvrel β (3.36) uirel oznacza splot dwóch rozkładów prostokątnych Przykład obliczeń: u u Vrel Irel 1 δ 3 1 δ 3 limv lim V I V V I FS FS 1 0.5 10 150 100% 3 100 1 0. 10 0.75 100% 3 0.500 1 0.75% 3 1 0.3% 3 (3.37) (3.38) uv rel 3 0.75 β.5 (3.39) u 3 0.3 I rel 16

1+ β β (1 p) 1+.5.5 (1 0.95) k ( 0.95) 3 3 1. 797 (3.40) 1+ β 1+.5 Względna niepewność na poziomie ufności p 0, 95 U rel ( 0.95) Vrel k u + u Irel 1 1.797 0.75 + 3 1.797 0.467 0.838% Bezwzględna (w jednostkach miary) niepewność pomiaru rezystancji 1 0.30 3 (3.41) U U 0.838 10 199.8 1.674 1.7 Ω (3.4 rel zapis końcowy wyniku: 199.8Ω ± 1. 7 Ω (3.43) 17

3.. Wykonanie ćwiczenia (sala ogólna) Statystyczna obróbka wyników pomiaru Kolejność czynności 1. Połączyć układ pomiarowy zgodnie ze schematem: a) b) ys 1. Schemat podłączenia amperomierza i woltomierza do pomiaru rezystancji przy zadanej wartości a) prądu, przełącznik S w poz., b)przy zadanej wartości napięcia (przełącznik S w poz. B). - badany rezystor V - woltomierz cyfrowy (multimetr na zakresie pomiaru napięcia 5 V) DC Voltage anges* 500.0 mv, 5.000 V, 50.00 V, 500.0 V, 1000 V; DC ccuracy* ±(0.07% + 1 ct.) (TX1) - amperomierz cyfrowy (mulytimetr na zakresie pomiaru prądi5 m) DC/C Current anges* 500.0 µ, 5.000 m, 50.00 m, 500.0 m, 5.000, 10.00 (3 minutes) DC ccuracy* ±(0.% + ct.) S - przełącznik Zasilacz prądu stałego (zalecany zakres 0 5 V). Na zasilaczu ustawić wartość napięcia do 5 V Pomiar przy zadanej wartości prądu 18

3. Przełącznik S w poz. a. Wartość napięcia ustalić ok. 5V, odczytać wartość prądu i napięcia, wyniki zanotować w Tab. 1. b. Podłączyć woltomierz tak, aby pomierzyć spadek napięcia na amperomierzu (ok. 40mV) przy niezmiennej wartości prądu przepływającego przez amperomierz. Pomiar ten służy do V obliczenia oporności wewnętrznej amperomierza:. I a) Tab. 1 temperatura otoczenia t... o C Obliczenia: I V V V I δ obc m V Ω V Ω Ω % 4.750 4.990 1050.5 0.40 50.5 1000.0 5.05 ezystancja, która jest sumą ezystancji amperomierza ' V I V... V ezystancja wewnętrzna amperomierza:... I i badanej rezystancji ' ezystancja badana przy zadanej wartości pradu: I... Błąd metody, gdybyśmy nie uwzględnili rezystancji wewnętrznej amperomierza wyniósłby: δ Iobc 100 %... I c. Obliczyć wartość graniczne błędów amperomierza korzystając z danych zadeklarowanych przez producenta a potwierdzonych w procesie kalibracji przyrządu na etapie jego wytwarzania Dla amperomierza I 0,% * wskazanie amperomierzaw m + 0. 000 m niepewność standardowa pomiary amperomierzem tej wielkości wynosi: u BI 3 d. Obliczyć wartość graniczne błędów woltomierza korzystając z danych zadeklarowanych przez producenta a potwierdzonych w procesie kalibracji przyrządu na etapie jego wytwarzania Dla woltomierza V 0,07% * wskazanie woltomierza V + 0. 0001V niepewność standardowa pomiaru woltomierzem tej wielkości wynosi: u BV 3 e. Obliczenie niepewności standardowej pomiaru rezystancji w/w metodą oblicz się ze wzoru ub( V + I ) ubv + ubi V I f. Dalsze obliczenia zgodnie z instrukcją odpowiadająca rozkładowi trójkątnemu Wartości względne oznaczane symbolem rel (relaive- względne) oblicza się dzieląc wartości błędów poprzez wartości wskazywane i wówczas wartość względna niepewności pomiaru rezystancji wyrażona jest zależnością: ub( V + I ) u relb( V + I ) urelbv + urelbi 19

Pomiar przy zadanej wartości napięcia 4. Przełącznik S w poz. (pomiar przy zadanej wartości napięcia). a. ustawić wartość napięcia zasilacza tak, aby woltomierz wskazywał napięcie ok. 5V, odczytać i zanotować w tabeli wartości prądu i napięcia. V V I I V I V δ Vobc U rel U V m Ω m m Ω % % Ω 4.750 4.750 1000.0 0.0005 4.7495 1000.1-0.01 0.7.7 Obliczenia: ezystancja, która jest sumą równolegle połączonych rezystancji: badanej i '' V '' VV woltomierza V ze wskazań mierników obliczamy... + V I ezystancja wewnętrzna woltomierza podana przez producenta wynosi: V 10 MΩ. '' '' V ezystancja badana przy zadanej wartości napięcia V... V 1 V Błąd metody, gdybyśmy nie uwzględnili rezystancji wewnętrznej woltomierza wyniósłby: '' δ Vobc.100%... V b. Obliczyć wartość graniczne błędów amperomierza korzystając z danych zadeklarowanych przez producenta a potwierdzonych w procesie kalibracji przyrządu na etapie jego wytwarzania Dla amperomierza I 0,% * wskazanie amperomierzaw m + 0. 00 m niepewność standardowa pomiary amperomierzem tej wielkości wynosi: u BI 3 c. Obliczyć wartość graniczne błędów woltomierza korzystając z danych zadeklarowanych przez producenta a potwierdzonych w procesie kalibracji przyrządu na etapie jego wytwarzania Dla woltomierza V 0,07% * wskazanie woltomierza V + 0. 001V niepewność standardowa pomiaru woltomierzem tej wielkości wynosi: u BV 3 d. Obliczenie niepewności standardowej pomiaru rezystancji w/w metodą oblicz się ze wzoru ub( V + I ) ubv + ubi V I e. Dalsze obliczenia zgodnie z instrukcją odpowiadająca rozkładowi trójkątnemu Wartości względne oznaczane symbolem rel (relaive- względne) oblicza się dzieląc wartości błędów poprzez wartości wskazywane i wówczas wartość względna niepewności pomiaru rezystancji wyrażona jest zależnością: ub( V + I ) u relb( V + I ) urelbv + urelbi 0

Zestawienie wyników w tabeli: δ Vobc U rel U δ Vobc U rel U Ω Ω Ω % % Ω % % Ω Pomiary z zastosowaniem sytemu pomiarowego: multimetry podłączone do komputera za pośrednictwem interfejsu C 3C w celu jednoczesnego zbierania danych z obu mierników. Zastosowana aplikacja ponad zbieranie wyników z woltomierza i amperomierza oblicza wartość rezystancji oraz wykonuje histogramy oddzielenie dla wartości prądu i napięcia oraz rezystancji. Zadaniem studentów jest zebranie N indywidualnych pomiarów prądu i napięcia i następnie obliczenie. a) Otworzyć folder Ćwiczenie Nr 3 b) Naciskać na skrót: wykonanie Cw 3 (aplikacja nazywa się: T1 czytaj raz.vi (front panel) Panel Frontowy: wpisujemy liczbę pomiarów i liczbe podprzedziałów histogramów do poszcególnych zakladk przechodzi się używając palca wskazujacego z Tools c) Wpisać liczbę pomiarów np. 104, liczbę przedziałów np. 17 d) Nacisnąć ikonę białej strzałki w lewym górnym rogu UN programu, strzałka przechodzi kolor czarny, odczekać aż powróci do kolru białego koniec pomiarów. e) W zakładkach Prąd, Napięcie, ezystancja obejrzec wyniki i przekopiować do własnego dokumentu w do formacie WOD f) Otworzyć folder Ćwiczenie Nr 3 i następnie folder Wyniki Studentów. W tym folderze w pliku otwieranym za pomocą arkusza kalkulacyjnego EXCELL w kolumnie pierwszej znajduje się numer pomiaru, w drugiej wartość napięcia i w trzecie prądu. g) (uwaga kropki jako delimitery zamienić na przecinki) h) Korzystając z arkusza kalkulacyjnego (PODCZS TWNI ZJĘĆ LBOTOYJNYCH) wykonać następujące obliczenia: a. Wartości rezystancji jako iloraz V / I 1

N N N Vi I i b. Wartość średnia: Vśr 0 i i ; I śr 0 i i ; śr 0 N N N c. Wartości: minimalna i maksymalną z N wyników: V min, V ma I min, I ma ; min, ma Vma Vmin d. Obliczyć szerokość przedziału h liczba przedziaów( np.17 dla N 104) e. Wyznaczyć granice przedziałów do których będziemy kwalifikować pojedyncze wyniki: min, ( min ; min + h > ;.., aż do wartości maksymalnej < ma gdzie dla prądu zastąpić I, napięcia zastąpić V, dla rezystancji zastąpić f. Każdemu z tych podprzedziałów przy porządkować liczbę wyników, która w ich się zawiera g. Wykonać wykres: wartości granic j przedziałów na osi a na osi y liczby pomiarów w( j) w tych podprzedziałach Wykres częstość występowania pomiarów w( j) w j 15 podprzedziałach W wynikach przedstawionych w aplikacji liczby pomiarów w poszczególnych przedziałach zostały podzielone przez sumaryczna liczbę wszystkich wyników, a na osi poziomej w miejsce wartości rezystancji, napięcia i prądu wartości względne błędów pozornych odniesione do odchylenia standardowego. Błędy pozorne tworzy się odejmując od każdego wyniku wartości średnią i i śred Odchylenie standardowe charakteryzujące rozrzut wokół wartości średniej oblicza się ze wzoru: N ( i ) i 1 sn 1 N 1 sn 1 Odchylenie standardowe dla wartość średniej wyraża się zależnością: sn( n 1) N Od wartości próbek zgromadzonych z pomiarów wyłoniono trendy liniowy, który usunięto ze zgromadzonych próbek, jako czynnik ochrakterze systematycznym. W teoria niepewności, niepewności standardowa obliczona na podstawie serii pomiarów, dla rozkładu Gaussa, jest równa odchyleniu standardowemu o oznaczana jest symbolem u gdyż jest to niepewność obliczana metodą typu (na podstawie serii pomiarów): u s n ( n 1) Obliczenie niepewności standardowej łączącej niepewności typu i B jest sumą geometryczna niepewności obliczonej metodą typu i metoda typu B i wyraża się zależnością: gdzie : u c u + u B

uc -niepewność standardowa łączna, u - komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu (na podstawie serii pomiarów), ub - komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu B (nie na podstawie serii pomiarów a innych danych niż seria pomiarów). Niepewność całkowita wyrażana na na poziomie ufności p wyraża się zależnością B U ku c k u + u w której współczynnik k jest zmienną losową odpowiadają łącznemu rozkładowi niepewności typu i typu B niepewności standardowej łącznej. Dla uproszczenia można w wielu przypadkach w praktyce przyjąć, ze ten współczynnik k na poziomie ufności p 0, 95. Innym sposobem wyznaczenia niepewności całkowitej jest skorzystanie z programów obliczania niepewności U z pominięciem współczynnika k. Prąd zakładka prąd panelu frontowego (odczytujemy i kopiujemy wyniki do sprawozdania 3

Napięcie zakładka napięcie panelu frontowego (doczytujemy i kopiujemy wyniki do sprawozdania ezystancja zakładka rezystancja panelu frontowego (doczytujemy i kopiujemy wyniki do sprawozdania 3.3. Wnioski Wnioski powinny dotyczyć a) dokładności typu i typu B b) wpływu usunięcia linii trendu z wyników poamiaru 3.4. Literatura 1. Guide to the Epression of Uncertainty in Measurement, I wydanie 1993, poprawione i dodrukowane w roku 1995, International Organization for Standardization (Genewa, Szwajcaria). Wydanie polskie: Wyrażanie niepewności pomiaru. Prz ewodnik. Główny Urząd Miar, 1999. 4

3.. Wykonanie ćwiczenia (sala KSP) Obiektem badawczym w ćwiczeniu jest czterozaciskowy opornik wzorcowy o wartości 1000 1000 Ω i klasie dokładności 0, 1. Wykonanie ćwiczenia polega na wielokrotnym pomiarze (10, 31, 104) wartości jego rezystancji, za pomocą multimetru cyfrowego NI DMM 4060, wykonanego jako modułu wewnętrznego komputera na złączu PCI i statystycznej obróbki otrzymanych wyników dla 10, 31 i 104 wyników oraz wyznacza się niepewność standardową typu dla tych 3 przypadków. Następnie na podstawie danych technicznych multimetru, oblicza się niepewność standardowa metodą typu B,, niepewność standardową łączna i przedział, który na poziomie ufności p 0, 95 pokrywa wartość prawdziwą mierzonej rezystancji opornika wzorcowego. Wyniki pośrednie w postaci histogramów należy przedstawić w formie graficznej jako rezultat obliczeń w dowolnym programie matematycznym lub arkuszu kalkulacyjnym np. EXCELL albo starannie przeanalizowanych wyników otrzymanych z wirtualnego przyrządu pomiarowego, rozszerzającego funkcje multimetru o statystyczna obróbkę wyników pomiaru dostępnego na stanowisku pomiarowym. Ćwiczenie należy zakończyć wysnuciem wniosku czy opornik wzorcowy spełnia deklarowana dokładność i czy multimetr NI DMM 4060 jest przyrządem, który może być uzyty w procesie weryfikacji klasy dokładności tego opornika wzorcowego. Pomocnym w tym wniosku jest wspólny wykres na którym naniesiony jest deklarowany producenta przedział niepewności opornika wzorcowego i deklarowany przedział niepewności typu B przez producenta i wynik statystycznej analizy serii 104 wyników pomiaru 3..1. Układ połączeń ange ys. 3.16 Układ podłączenia DMM NI 4560. czterozaciskowy opornik wzorcowy obiekt badany w ćwiczeniu Dane techniczne multimetru DMM 4060 w doniesieniu do pomiaru rezystancji Etended Ohm (> MΩ) 4 Hour (5 C ± 1 C) 90 Day (5 C ± 10 C) 1 Year (5 C ± 10 C) Temperature Coefficient (% of reading/ C ± Ω/ C) 0.1% ± 6 kω 0.1% ± 60 kω 0.1% ± 60 kω 0.007% ± 6 kω.00000 MΩ* 0.01% ± 9 Ω 0.077% ± 7 Ω 0.080% ± 7 Ω 0.007% ± Ω 00.000 kω 0.01% ± 5 Ω 0.077% ± Ω 0.080% ± Ω 0.007% ± Ω 0.0000 kω 0.006% ± 0.09 Ω 0.04% ± 0.3 Ω 0.07% ± 0.3 Ω 0.000% ± 0.0 Ω.00000 kω 0.006% ± 0.05 Ω 0.04% ± 0. Ω 0.07% ± 0. Ω 0.000% ± 0.0 Ω 00.000 Ω 0.006% ± 0.05 Ω 0.04% ± 0. Ω 0.07% ± 0. Ω 0.000% ± 0.0 Ω ccuracy numbers are for the 4-wire resistance mode 5 1/ digits with autozero on and include the effects of full-scale and zero-scale errors, temperature variation, linearity, and noise. *With autozero on or while scanning, and when large resistance with capacitive loads is measured, additional delay time is required. Producent stwierdza, że graficzną wartość dokładności, którą deklaruje dla tego multimetru na podstawie certyfikatu kalibracji oblicza się według zależności: (. % * wartość wskazana ± Ω). Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu błędu jest funkcja jednostajną 5

(prostokątną). Przykład: dla wartości wskazanej przez multimetr 1000,00Ω na zakresie pomiarowy 000,00Ω - 0.07% 1000,00Ω + 0,Ω 0,7Ω + 0,Ω 0, 47Ω Fig. 3.17 Widok stanowiska pomiarowego z DMM, PCI 4060 w slocie komputerowym PCI 3... Wykonanie pomiarów 1. Uruchomić program ćwiczenie 3 (skrót na pulpicie: skrót do Cieczenia 3 ). Wprowadzić nastawy u stawienia: a. - omomierz do pomiaru rezystancji z 4-zaciskami, b. - zakres pomiarowy 000 Ω c. - dokładność omomierza z parametrów technicznych przyrządu pomiarowego d. - zadeklarować liczbę pomiarów 104, e. - czasokres pomiędzy poszczególnymi pomiarami np. 0 ms może być inny po uzgodnieniu z prowadzącym) 3. - uruchomić pomiary (naciskając na ikobne białej strzałki w lewym górnym rogu) Strzałka przyjmie kolor czarny, a po zakończeniu działania alikacji powróci do koloru białego) a. pomiary wykonujemy dla 10, 31 i 104 powtórzeń (prowadzący może zalecić inne liczby pomiarów) 4. - po zakończeniu: pomiarów dla 10, 31 i 104 próbek: a. - przekopiować wartości i wykresy do własnego pliku wykonanie sprawozdania, b. - przekopiować na własny nośnik zapisany automatycznie utworzony plik z pomiarami, który ma nazwę: WYN_008 nr XXX.lvm, zapisywany w folderze: pulpit/wynik studentów, po wcześniejszym otwarciu go i zapisaniu w formacie (nazwa).ls lub (nazwa).tt. c. pomiary wykonujemy dla 10, 31 i 104 powtórzeń (prowadzący może zalecić inne liczby pomiarów) 5. Obliczenia można wykonać (zgodnie z poniższymi wskazówkami korzystając np. z arkusza kalkulacyjnego lub np. z graficznego środowiska LabView, którego licencja CMPUS dostępną jest na wielu komputerach w Politechnice Łódzkiej w tym w Wydziałowej Pracowni Komputerowej Wydz. El. El. Informatyki i utomatyki zbiór z wynikami ora aplikacje w Labview można przekopiować na własny nośnik 6

3..3. Obliczenia Kolejność obliczeń dla 10, 31 i 104 wyników pomiaru a) z sporządzić wykres i f (t) N b) obliczyć wartość średnia rezystancji 1 N i i 1 c) obliczyć błąd pozorny każdego wyniku pomiaru i i i i d) kwadrat błędu pozornego ( ) ( ) ( ) i i 1 ( i ) e) odchylenie standardowe pojedynczego wyniku pomiaru sn 1 n 1 n 1 f) sprawdzić, czy w zborze wyników nie ma wyników obarczonych nadmiernym błędem (kryterium 3 σ poprzez wyłączenie z wyników pomiaru tych które nie spełniają poniższej nierówności: i 3sn 1. Wyniki obarczone błędem nadmiernym należy wyłączyć z obliczeń i ponownie obliczyć wartość średnia, błędy pozorne, odchylenie standardowe i powtórnie zbadać czy nie ma konieczności eliminacji kolejnych wyników obarczonych błędem grubym g) dla wyników pomiarów nie zawierających błędów pomiarowych nadmiernych należy wykonać histogram tak aby na osi pionowej była częstotliwość względna błędów pozornych w poszczególnych podprzedziałach wokół wartość średniej błędów pozornych (częstotliwość odniesioną do liczby wszystkich pomiarów otrzymuje się przez podzielenie liczby pomiarów w podprzedziale przez liczbę wszystkich pomiarów). Należy zauważyć, ze częstotliwość występowania pomiarów odpowiada prawdopodobieństwu ich wystąpienia w danym podprzedziale. Na osi poziomej wyznaczyć wartości środkowe podprzedziałów odniesione do wartości odchylenia standardowego s n 1 f) dla tak wyznaczonych i narysowanych histogramów należy wyznaczyć metoda najmniejszych kwadratów najkorzystniejszą funkcje rozkładu Normalnego i nanieść ja na wykres z histogramem g) Obliczyć niepewność standardową wyznaczana metodą typu (na podstawie serii pomiarów Fig. 1.5 Widok stanowiska pomiarowego z DMM, PCI 4060 w slocie komputerowym PCI Za pomocą multimetru podłączonego do komputera należy wykonać serię 104 pomiarów, i dla 104 oraz pierwszych 31 i 18 pomiarów dokonać statystycznej obróbki wyników pomiarów, tak aby wyznaczyć: 1. Obliczyć wartość średnią. Obliczyć odchylenie standardowe z próby 3. Wyeliminować błędy nadmierne stosując kryterium 3 σ, o ile występuję i powtórzyć operuje od początku (1), jeżeli nie przejść do punktu 4 4. Obliczyć odchylenie standardowe średniej 5. Wykonać histogram błędów 6. Wyznaczyć metoda najmniejszych kwadratów najkorzystniejszą funkcję ozkładu Normalnego w stosunku do uzyskanych wyników pomiaru χ 7. Test Obliczenia od 1-7 powtórzyć oddzielnie dla 31, 18 i 104 wyników z próby. Wyniki zestawić w tabeli: N 7

Tab 3.3 zestawienie wyników Liczba pomiarów 31 18 104 Wartość średnia Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe średniej Histogram błędów liczba dla liczby 5 9 11 podprzedziałów: Wyznaczyć najkorzystniejszą funkcję ozkładu Normalnego W tabeli podać nową wartość odchylenia standardowego χ Wynik testu Niepewność wyniku pomiaru na poziomie ufności p 0, 95 Wartość średnia n i 1 n Błąd pozorny n 1 ( ) ( ) s n 1 n 1 Niepewność standardowa typu u s mean n n 1 ( ) 1 n ( n 1) n 1 ( ) n s ( n 1) n Obliczyć niepewność Type na podstawie danych multimetru cyfrowego to 1 1 u B ( FS ) limω δ m Ω + δ a Ω Ω 3 3 gdzie: lim Ω błąd w części multiplikatywnej I addytywnej multimetru na zakresie rezystancji, δ mω δ Ω, a multiplikatywny I addytywny składnik błędu pomiaru multimetrem wartosci ze specyfikacji multimetru. Niepwenośc łaczna u u + u B przyjąc współczynnik k dla poziomu ufności p 0, 95 U k( p) u Test χ χ N ( i p( i )) p( ) i 8

Dodatek widok panelu sterowania przyrządu wirtualnego Multimetru NI DMM 4060 z dodatkowymi funkcjami statystycznej obróbki wyników pomiaru i obliczania niepewności wyniku pomiaru z zastosowaniem algorytmu splotu rozkładów błędów cząstkowych wpływających na dokładność wyniku pomiaru ys. 1Wygląd Dane deklarowane przez użytkownika: tryb pracy czas pomiędzy kolejnymi próbkami pomiarowymi, dolna i górna wartość wielkości mierzonej, liczba obserwacji, wymagany poziom ufności, zakres pomiarowy przyrządu, składowe błędu deklarowane przez producenta multimetru. ys. Wyniki pomiaru: wartość, średnia, przedział pokrycie czyli dotychczas zwany niepewnością, wyniku pomiaru, poziom ufności oraz wartość bieżąca, minimalna i maksymalna wartość w próbce ys. 3 Graficzna forma wyników: kolejne obserwacje, histogram, funkcje gęstości prawdopodobieństwa oraz splot funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta 9