Geometria Różniczkowa I wykład ósmy Orientacja przestrzeni wektorowej. Mówimy, że dwie bazy e i f w skończenie-wymiarowej przestrzeniwektorowejv mająjednakowąorientacjęjeślimacierzprzejścia[id] f e madodatni wyznacznik. Relacja jednakowej orientacji jest, jak łatwo sprawdzić, relacją równoważności w zbiorze baz. Dzieli ona zbiór baz na dwie klasy równoważności, które nazywamy orientacjami. Mówimy, że przestrzeń wektorowa jest zorientowana jeśli ma wyróżnioną orientację. Ze względu na własności wyznacznika orientacja bazy e zmienia się na przeciwną jeśli zmienimy znak przy jednym z wektorów bazowych lub zamienimy miejscami dwa wektory bazowe. Niektóre przestrzeniewektorowemająkanonicznąorientację.wprzestrzeni R n kanonicznajestorientacja, której reprezentantem jest kanoniczna baza. Orientacja rozmaitości. Przestrzeń styczna do rozmaitości w punkcie jest skończenie-wymiarową przestrzenią wektorową, więc ma dwie możliwe orientacje. Będziemy mówili, że rozmaitość M jest zorientowana, jeśli przestrzenie styczne we wszytskich punktach mają wybrane orientacje w sposób uzgodniony. Oznacza to, że w dziedzinie każdej mapy(o, ϕ) orientacje we wszystkich punktach są zgodne lub we wszystkich punktach przeciwne niż orientacja zadana przez bazę(,..., ).Zauważmy,żejeślirozmaitośćjestzorientowanatomożnananiejwybrać x 1 x n atlaszgodnyzorientacją.istotnie,niech(o i,φ i ) i I będziedowolnymatlasemnam.konstruujemynowyatlas(u i,ψ i ) i I wnastępującysposób:jeślimapa(o i,φ i )jestzgodnazorientacjąpozostawiamyjąbezzmiankładącu i =O i,ψ i =φ i.jeślibazapochodzącaodmapy (O i,φ i )maorientacjęprzeciwnąkładziemyu i =O i orazjeśliφ i =(x 1,x 2,...,x n )kładziemy ψ i =( x 1,x 2,...,x n ).Orientacjęnarozmaitościmożnateżzadaćwskazującatlas,wktórym wyznaczniki wszystkich macierzy przejścia między pochodzącymi od współrzędnych bazami przestrzeni stycznych są dodatnie. Okazuje się, że nie na wszystkich rozmaitościach da się wybrać orientację. Takie, na których się nie da nazywają się nieorientowalne. Najbardziej znanym przykładem rozmaitości nieorientowalnej jest wstęga Moebiusa. Sięgnijmy do drugiego wykładu w trakcie którego zdefiniowaliśmy wstęgę Moebiusa jako zbiór klas równoważności i wprowadziliśmy na niej struturę rozmaitości różniczkowej wskazując atlas: Przykład 1. W R ] 1, 1[ definiujemy relację równoważności (x,y) (x,y ) x x=k Z, y =( 1) k y. Obserwujemy, że każda klasa równoważności ma reprezentanta w pasku[0, 1[ ] 1, 1[ oraz że odcinkix=0ix=1utożsamiamyzmieniającjednakichorientację. 1
2 DoopisaniawstęgiMoebiusapotrzebnesądwiemapy:zdziedzinąU={[(x,y)]:x/ Z} orazo={[(x,y)]:x ]k 1 2,k+1 2 [}: U O O DlakażdejklasyleżącejwUistniejereprezentant(α,y)taki,żeα ]0,1[.Definiujemyodwzorowanie ϕ:u R 2, ϕ([α,y])=(α,y). DlakażdejklasyleżącejwOistniejereprezentant(β,y)taki,żeβ ] 1 2,2 3 [.Definiujemyodwzorowanie ψ:o R 2, ϕ([β,y])=(β,y). Przyjrzyjmy się jeszcze zamianie współrzędnych. Zbiór O U składa się z dwóch składowych spójnychaib A B WobszarzeAzamianazmiennychmapostaćψ ϕ 1 (α,y) (1+α, y),zaśwobszarze Bzamianatajestidentycznością.Bazyzadawaneprzezmapy(O,ϕ)i(U,ψ)sątakiesamew obszarze B ale inne w obszarze A. W obszarze A zamiana zmiennych prowadzi do macierzy przejścia [ ] 1 0 0 1 z wyznacznikiem 1. Nie da się uzgodnić orientacji drugiej mapy z orientacją pierwszej. Jeśli rozmaitość jest orientowalna, każdy atlas można zastąpić atlasem zgodnym z orientacją, mającym te same dziedziny map. Okazuje się więc, że istotnie wstęga Moebiusa nie jest orientowalna. Rozmaitości orientowalne to np. sfera, walec, torus, rzeczywiste przestrzenie projektywne wymiaru parzystego. Orientowalne są także wszystkie rozmaitości zanurzone, które są poziomicami odwzorowania spełniającego warunki jak w twierdzeniu o definiowaniu powierzchni zanurzonej. Przyjrzyjmy się bliżej sytuacji, gdy powierzchnia S jest poziomicą funkcji F: R n R. JejprzestrzeństycznawpunkciejestjądrempochodnejF ijestpodprzestrzeniąwr n.ze względu na istnienie kanonicznego iloczynu skalarnego można napisać R n =T x S gradf(x).
Ze względu na założenia gradf jest nieznikającym polem wektorowym w punktach S o wartościachwr n.orientacjępowierzchnismożnawybraćnp.wtakisposóbabywkażdympunkcie baza(gradf,f),gdziefjestbaząt x Sbyłazgodnazkanonicznąorientacją R n.łatwosprawdzić, że taki sposób wyboru orientacji jest zgodny. Nieorientowalne są wstęga Moebiusa, butelka Kleina, rzeczywiste przestrzenie projektywne wymiaru nieparzystego. Gładki rozkład jedności: Rozmaitości na których pracujemy to rozmaitości parazwarte. Oznacza to, że dla każdego pokrycia otwartego istnieje drobniejsze od niego pokrycie, które jest lokalnie skończone. Warunek lokalnej skończoności oznacza, że każdy punkt rozmaitości ma otoczenie, którego przecięcia z elementami pokrycia są niepuste jedynie dla skończonej liczby elementów pokrycia. Składowa spójna rozmaitości parazwartej ma też własność, która nazywa się przeliczalnością w nieskończoności. Oznacza to, że istnieje wstępujący ciąg zbiorów zwartych(k i ) i N taki,żek j Int(K j+1 )oraz i NK i =M. Definicja1.GładkimrozkłademjednościnaMzwiązanymzatlasem(O i,ϕ i ) i I nazywamy układgładkichfunkcjiα i onastępującychwłasnościach:(1)suppα i O i,(2)każdypunkt p MmaotoczenieWtakie,żeW suppα i jedyniedlaskończonejliczbyfunkcjiα i,(3) 0 α 1 1, p M i Iα i (p)=1. Twierdzenie 1. Na rozmaitości parazwartej istnieje gładki rozkład jedności. Dowód: Rozkład jedności konstruujemy dla każdej składowej spójnej oddzielnie, dlatego założymyteraz,żemjestspójna.wdalszymciągub r oznaczaćbędzieotwartąkulęwr n o promieniur.używaćbędziemyb 1 ib 3.Potrzebnabędzieteżfunkcja h:r R, h(t)=exp ( 1 (t 2)(t 1) ) dla t ]1,2[, h(t)=0 wprzeciwnymrazie. 3 Definiujemyterazfunkcjęf:[0, [ Rwzorem f(x)= 2 x 2 1 h(t)dt. h(t)dt
4 Funkcjatajestgładka,mawartość1dlax [0,1]oraz0dlax [2, [. Jako rozmaitość parazwarta M jest przeliczalna w nieskończoności, to znaczy można ją wyczerpaćzbioramizwartymi(k i ) i N otejwłasności,żek i IntK i+1.rozpoczynamyoddanegopokryciaotwartego{o i } i I.Ustalmynachwilępunktq M.Istniejep Ntakie,że q K p+1 \K p,istniejetakżei Itakie,żeq O i.bierzemyterazukładwspółrzędnych (V q,ϕ q )wotoczeniuqtaki,żebyϕ q (q)=0ϕ 1 q (B 3) O i,ϕ 1 q (B 3 ) K p+2 \K p 1. Rozważając odpowiednie układy współrzędnych dla wszystkich q M otrzymujemy atlas (V q,ϕ q ) q M.Wszczególnościzbiory{ϕ 1 q (B 1)} qım stanowiąpokrycieotwartevrozmaitości M. Wybierzemy teraz z niego pokrycie przeliczalne, lokalnie skończone: V jest także pokryciem K 1,możnawięczniegowybraćpokrycieskończone.Mamywięc(q 1,...,q j1 )punktówtakich,że {ϕ 1 q jk (B 1 )}stanowiąpokryciek 1.ZbiórK 2 \ IntK 1 teżjestzwarty,więcmapokrycieskończone wybranezv.todajenamkolejne{q j1 +1,...,q j2 }punkty,takie,że{ϕ 1 (B 1 )} k j2 jestpokryciemk 2.Indukcyjnieotrzymujemy(q jp+1,...,q jp+1 )punktówdefiniującychpokryciek p+1 \K p itakie,że{ϕ 1 (B 1 )} k jp+1 stanowiąpokryciek p+1.postępującwtensposóbotrzymujemy przeliczalnepokryciemzbioramiϕ 1 (B 1 ).OczywiścietakżeukładzbiorówU k =ϕ 1 (B 3 )jest pokryciemm.wrazzodwzorowaniamiϕ qk układtentworzyatlasdrobniejszyniżwyjściowe pokrycie(o i ).Łatwoteżprzekonaćsię,żeatlastenjestlokalnieskończony.Używajączdefiniowanejwcześniejfunkcjifdefiniujemyrodzinęfunkcjid k wzorem d k (q)=f( ϕ qk (q) ), jeśli ϕ qk (q) istnieje,wprzeciwnymprzypadku d k (q)=0. Ostatecznie α k (q)= d k(q) id i (q) jestszukanymrozkłademjedności.nośnikkażdejzfunkcjiα j jestzawartywktórymśzezbiorów wyjściowegopokrycia(o i ) Rozkładu jedności można użyć np. do pokazania następującego przydatnego twierdzenia Twierdzenie 2. Na rozmaitości orientowalnej wymiaru n istnieje gładka nieznikająca n-forma i odwrotnie, jeśli taka forma istnieje, to rozmaitość jest orientowalna.
Dowód: Weźmy lokalnie skończony atlas na M taki, że wszystkie zamiany zmiennych mają dodatnijacobian.niech(α i ) i I będzierozkłademjednościzwiązanymztymatlasem.wkażdej dziedziniemapyo i definiujemyformęω i posługującsięwspółrzędnymi(x 1 i,...x n i): Forma ω i =α i dx 1 i dx2 i dxn i. ω= i Iα i dx 1 i dx 2 i dx n i ma żądaną własność, tzn jest nieznikająca w każdym punkcie. Istotnie, niech p M będzie dowolne,niechtakże{i 1,i 2,...i m }będziezbioremindeksówodpowiadającychtymelementom atlasu,któreprzecinająsięzotoczeniemwpunktup.wpunkciepformęωmożnawięczapisać jako m ω(p)= α ik (p)dx 1 i k dx 2 i k dx n i k k=1 Punktpwrazzpewnymotoczeniemleżywdziedziniekażdejzmapzindeksamizezbioru {i 1,i 2,...i m },możemywięcwszystkieskładnikipowyższejsumyzapisaćwjednymukładzie współrzędnych,naprzykładw(x 1 i 1,...x n i 1 ): [ m ω(p)= α i1 (p)+ α ik (p)det ( ] [ϕ ik ϕ 1 i 1 ] ) dx 1 i 1 dx 2 i 1 dx n i 1. k=2 Wszystkie składniki powyższej sumy są dodatnie, zatem cała suma też jest dodatnia, w szczególności nie jest równa zero. Wykażemy teraz, że jeśli istnieje nieznikająca n-forma to rozmaitość jest orientowalna. Niech ω będzie taką formą. Weźmy także atlas składający się z map o spójnych dziedzinach. W każdej zmapformaωmożebyćzapisanawewspółrzędnychjako f(x)dx 1 dx 2 dx n. Ponieważ dziedzina mapy jest spójna funkcja f, jako niezerowa, ma ustalony znak. Jeśli jest to znak dodatni mapę tę pozostawiamy bez zmian, jeśli zaś ujemny mapę zmieniamy na przykład zamieniając pierwszą współrzędną na przeciwną. W ten sposób tworzymy nowy atlas w którym współczynniki funkcyjne przy współrzędnościowych n-formach dla formy ω są dodatnie. Skądinąd wiadomo, że na przecięciu dwóch map współczynniki te różnią się o jacobian zamiany zmiennych. Oznacza to, że wszystkie te jacobiany są dodatnie. Poprawiony przez nas atlas jest zgodny, tzn w szczególności może zadawać orientację na M. Orientację na rozmaitości możemy więc zadać wskazując w zgodny sposób orientację każdej z przestrzeni stycznych, wskazując zgodny atlas lub wskazując niezerową formę. Orientacja zadawana przez formę, to ta orientacja przy której współczynniki funkcyjne w zapisie formy we współrzędnych są dodatnie. Formy tego rodzaju nazywa się często formami objętości. Całkowanie form różniczkowych. Na analizie zdefiniowano całkę Riemanna po nadającym siędocałkowaniaobszarzedwr n.nadającysiędocałkowaniaoznaczałmierzalnywsensie Jordana. Całkę Riemanna definiuje się korzystając z umiejętności liczenia objętości małych kostekwr n,wykorzystujączatemstrukturęmetryczną.narozmaitościniemamytejstruktury, 5
6 a próba skorzystania ze współrzędnych prowadzi do niepowodzenia. Nie możemy zdefiniować całkizfunkcjifnarozmaitościdjakocałkizf ϕ 1 poobszarze,nawetzakładając,że mieści się on w dziedzinie jednej mapy, ponieważ wynik całowania zależał będzie od wybranych współrzędnych.całkawmapie(o,ϕ)to zaścałkawmapie(u,ψ)to f ϕ 1, ψ(d) f ψ 1. Całki te nie są równe, gdyż(zgodnie z twierdzeniem o zamianie zmiennych) f ϕ 1 = f ψ 1 det[ψ ϕ 1 ]. ψ(d) Do całkowania po obszarze na rozmaitości potrzebujemy więc obiektu, który transformuje się z jacobianem zamiany zmiennych, czyli n-formy. Przyjrzyjmy się najpierw uproszczonej sytuacji, gdyobszardmieścisięwdziedziniejednej(anawetdwóch)map.niechtakżeωbędzien-formą nam.jejwyrażeniawewspółrzędnychwobumapach(o,ϕ=(x 1,...,x n ))to Funkcjeaibzwiązanesąrównością ω=a(x)dx 1 dx n, ω=b(y)dy 1 dy n. a(x)=b(ψ ϕ 1 (x))det[ϕ ψ 1 ] zatemcałkimogąróżnićsięconajwyżejoznak. b= b ψ ϕ 1 det[ϕ ψ 1 ] =± ψ(d) Kłopot ze znakiem bierze się z faktu, że wyznacznik jacobianu może być zarówno dodatni jak i ujemny. Wyjściem z tej sytuacji jest zdefiniowanie całki po obszarze zorientowanym. Wybór konkretnej orientacji pozwala używać jedynie współrzędnych zgodnych z orientacją. Możemy już zdefiniować całkę po obszarze D z orientacją ı w uproszczonej sytuacji, gdy cały obszar mieści się w dziedzinie jednej mapy: ω= a ϕ 1, ω=adx 1 dx n (D,ı) gdzie(o,ϕ)jestmapązgodnązorientacją.gdyobszardniemieścisięwdziedziniejednej mapypotrzebujemyrozkładujedności.weźmylokalnieskończonyatlas(o i,ϕ i ) i I zgodnyz orientacjąıirozkładjedności(α i ) i I związanyztymatlasem.wsposóbtrywialnyprawdąjest, że ω(p)= i Iα i ω(p) CałkęzformyωpoobszarzeDzorientacjąımożemyterazzdefiniowaćwzorem (α i ϕ 1 )(ω i ϕ 1 ) (D,ı)= i I ϕ i (D O i ) Dla zwartego obszaru D jedynie skończona liczba składników jest niezerowa. a.
Przykład2.Obliczyćcałkęzformyω=dy dzpofragmenciesferys 2 dlaktóregox 0 iz 0zorientacjązadanąprzezbazęwektory(, )pochodząceodsferycznegoukładu θ ϕ współrzędnych. Formaωzdefiniowanajestna R 3.ŻebyjąscałkowaćpoS 2 trzebająnajpierwobciąćdos 2.W tymceluzapisujemywłożenieκ:s 2 R 3 wewspółrzędnych: κ(θ,ϕ)=(cosϕsinθ,sinϕsinθ,cosθ). Obcięcie formy do sfery realizuje się jako pull-back za pomocą włożenia: κ ω=d(sinϕsinθ) d(cosθ)=(cosϕsinθdϕ+sinϕcosθdθ) ( sinθdθ)= (cosϕsinθd) ( sinθdθ)= cosϕsin 2 θdϕ dθ Kolejność współrzędnych zgodna z orientacją jest(θ, ϕ), więc formę zapisać należy jako ω= cosϕsin 2 θdϕ dθ=cosϕsin 2 θdθ dϕ Obszarcałkowaniawewspółrzędnych(θ,ϕ)to[0, π 2 ] [ π 2,π].Ostatecznie 2 π π ω= cosϕsin 2 2 θ= sin 2 2 θdθ cosϕdϕ= π 4 2=π (D,ı) [0, π 2 ] [ π 2,π 2 ] 0 2 π 2 7