Kurs logiki rozmytej - pomoc Wojciech Szybisty 2009
Spis treści 1 Wymagania 3 2 Zawartość strony internetowej 3 3 Obsługa apletów 6 3.1 Aplet Rodzaje funkcji przynależności...................... 6 3.2 Aplet Działania logiczne na zbiorach rozmytych................ 9 3.3 Aplet Uogólnione działania na zbiorach rozmytych.............. 11 3.4 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wzorem).............. 12 3.5 Aplet Działania na relacjach rozmytych.................... 13 3.5.1 Działania na relacjach rozmytych..................... 13 3.5.2 Rzutowanie relacji............................. 15 3.5.3 Składanie relacji.............................. 16 3.5.4 Generator relacji.............................. 18 3.6 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wektorem)............. 19
1 Wymagania 3 Internetowy kurs logiki rozmytej - obsługa 1 Wymagania Do poprawnego wyświetlania strony wymagana jest przeglądarka internetowa z włączoną obsługą JavaScript. Aby poprawnie zostały wyświetlone aplety wymagana jest obecność w systemie środowiska uruchomieniowego Javy (JRE) w wersji 1.6 lub wyższej. 2 Zawartość strony internetowej Strona domowa zawiera podstawowe informacje o stronie(rysunek 1). Rysunek 1: Strona www - Strona domowa. Kurs zawiera podstawy logiki rozmytej. Zebrane są tutaj definicje oraz wzory z zakresu zbiorów rozmytych, relacji rozmytych oraz logiki rozmytej. Do wybranych działów dodane są interaktywne aplety, dzięki którym możemy sprawdzić omawiane zagadnienia. (Rysunek 2) Aplety zawiera wszystkie aplety. Znajduje się tutaj także pomoc w formie instrukcji obsługi poszczególnych apletów (rysunek 3). Do pobrania zawiera pomoce w postaci plików PDF. Dostępna jest tu również okienkowa wersja Internetowego kursu logiki rozmytej. Aplikację możemy ściągnąć i używać na własnym komputerze bez konieczności dostępu do internetu (rysunek 4).
2 Zawartość strony internetowej 4 Rysunek 2: Strona www - Kurs. Rysunek 3: Strona www - Aplety.
2 Zawartość strony internetowej 5 Rysunek 4: Strona www - Do pobrania. Pomoc zawiera przeglądarkę pdf wyświetlającą dostępne pliki pomocy (rysunek 5): kurs logiki rozmytej, opis i obsługa apletów, przykładowe zadania i ich rozwiązania za pomocą apletów. Rysunek 5: Strona www - Pomoc. Linki. Umieszczono tutaj odnośniki do stron internetowych z tematyki logiki rozmytej (rysunek 6). Sekcje podzielono na trzy kategorie: Strony zawierające aplety.
3 Obsługa apletów 6 Strony w języku angielskim. Strony w języku polskim. Rysunek 6: Strona www - Linki. 3 Obsługa apletów W rozdziale tym przedstawiono wszystkie aplety. Opisane zostały panele poszczególnych apletów. Panele te widoczne są na dołączonych rysunkach, na których zaznaczono i ponumerowano opisywane obszary. 3.1 Aplet Rodzaje funkcji przynależności Aplet przedstawia różne rodzaje funkcji przynależności takie jak: trójkątna, trapezoidalna, gaussowska, dzwonowa, sigmoidalna. Możemy tutaj zmienić parametry każdej z funkcji i zobaczyć jak będzie się ona zmieniać. Panel apletu widoczny jest na rysunku 7 W aplecie tym mamy dostępne następujące funkcjonalności: 1. Wybór funkcji przynależności w rozwijalnym menu mamy do wyboru następujące funkcje: trójkątna, trapezoidalna, gaussowska, dzwonowa,
3.1 Aplet Rodzaje funkcji przynależności 7 Rysunek 7: Aplet Rodzaje funkcji przynależności sigmoidalna. Po wyborze jednej z opcji pojawiają się odpowiednie pola parametrów funkcji oraz są one wypełniane wartościami domyślnymi. 2. Panel wykresów zawiera wykres jednej lub kilku funkcji, marker wartości funkcji oraz opis parametrów funkcji przynależności: wykresy funkcji uniwersum funkcji przynależności stanowi zazwyczaj zbiór liczb rzeczywistych. Tutaj jednak dla ułatwienia zapisu programistycznego takiej funkcji przyjęto jako zbiór rozmyty składający się ze 101 elementów. Uniwersum jest dzielone na 100 odcinków o takiej samej długości (101 punktów). Kolejne punkty połączone liniami dają wykres funkcji. Gdy w panelu wykresu jest kilka funkcji mają one następujące kolory: wykres pierwszej funkcji ma kolor zielony, drugiej karmazynowy, natomiast funkcja wynikowa ma kolor czarny. W tym aplecie mo-
3.1 Aplet Rodzaje funkcji przynależności 8 żemy obserwować wykres tylko jednej funkcji, stąd jej zielony kolor. marker oznaczony niebieską pionową linią. Pozwala na odczytanie wartości funkcji w danym punkcie uniwersum. Wartość ta widoczna jest nad górnym końcem markera. Wartość funkcji może być odczytana jedynie w jednym ze 101 punktów wykresu. Rozwiązaniem tej niedogodności może być zawężenie uniwersum, wtedy uzyskujemy dokładniejsze wartości. Wartość funkcji w danym punkcie wyświetlana jest z dokładnością do trzech miejsc znaczących. opis parametrów funkcji w aplecie tym na wykresie pojawiają się opisy parametrów wybranej funkcji przynależności. Np. dla funkcji trapezoidalnej będą to punkty łamania, a dla funkcji gaussowskiej punkt środkowy. W kolejnych apletach ta funkcja jest wyłączona. 3. Pole zmiany położenia markera po wpisaniu wartości, marker ustawia się w wybranym punkcie uniwersum. Podawana wartość jest zaokrąglana tak, aby pokrywała się z najbliższym ze 101 punktów wykresu. 4. Suwak dostępny suwak pozwala na zmianę położenia markera na wykresie. 5. Parametry funkcji przynależności dostępne pola pozwalają na określenie wyglądu wybranej funkcji. Po wpisaniu wartości parametrów klikając na przycisk Ustaw aplet wyrysuje wykres danej funkcji. Dostępne funkcje przynależności mają różną liczbę parametrów, jak i różne litery je opisujące. Pola parametrów zmieniają się w zależności od wybranej funkcji. Jeśli wpiszemy niepoprawne wartości, pola zmienią kolor na czerwony, a wykres funkcji nie wyrysuje się. Podawane wartości parametrów zaokrąglane są tak, aby pokrywały się z najbliższymi ze 101 punktów wykresu. 6. Panel zmiany uniwersum dostępny panel pozwala na określenie uniwersum dla funkcji przynależności. Mamy dostępne pola do wpisu dolnej oraz górnej granicy uniwersum. Po kliknięciu na przycisk Ustaw wyrysowana zostaje funkcja o parametrach jak poprzednio, ale ze zmienionym uniwersum. Jeśli wpiszemy niepoprawne wartości dolnej lub górnej granicy, pola zmienią kolor na czerwony, a wykres funkcji nie wyrysuje się. 7. Panel właściwości funkcji wyświetla następujące własności funkcji: nośnik, jądro, wysokość, normalność oraz wypukłość. Nośnik oraz jądro reprezentowane są jako zbiory liczb, dla których przyjęto następujące oznaczenia: [, ] przedział zamknięty (, ) przedział otwarty {x} pojedynczy element zbioru zbiór pusty
3.2 Aplet Działania logiczne na zbiorach rozmytych 9 suma zbiorów Wysokość funkcji przynależności jest liczbą rzeczywistą, natomiast normalność i wypukłość reprezentowane są poprzez słowa tak oraz nie. Nośnik, jądro oraz wypukłość obliczane są na zbiorze 101 punktów funkcji przynależności, dlatego też w małej ilości przypadków wyniki mogą być nie dość dokładne. 3.2 Aplet Działania logiczne na zbiorach rozmytych Aplet prezentuje działania na zbiorach rozmytych. Zbiór rozmyty przedstawiony jest za pomocą funkcji przynależności. Panel apletu widoczny jest na rysunku 8. Rysunek 8: Aplet Działania logiczne na zbiorach rozmytych W aplecie tym mamy dostępne następujące funkcjonalności: 1. Funkcja A zawarte w aplecie działania logiczne wykonywane są w większości przypadków na dwóch zbiorach rozmytych A i B. Wyjątkiem jest dopełnienie A i dopełnienie B, które są działaniami wykonywanymi na pojedynczych zbiorach. Panel ten pozawala na określenie pierwszego z nich. Do wyboru mamy kilka różnych funkcji przynależności
3.2 Aplet Działania logiczne na zbiorach rozmytych 10 tj.: trójkątna, trapezoidalna, gaussowska, dzwonowa oraz sigmoidalna. Po wyborze jednej z opcji pojawiają się odpowiednie pola parametrów funkcji oraz są one wypełniane wartościami domyślnymi. Przycisk Ustaw służy do ustawiania funkcji przynależności A o podanych parametrach. Gdy parametry funkcji są poprawne, zostaje wyrysowany wykres, w przeciwnym razie, pola parametrów zmieniają kolor na czerwony, a wykres nie wyrysuje się lub jeśli wcześniej istniał jest usuwany. 2. Funkcja B panel podobny do opisanego wyżej z tym, że ustawienia dokonywane są dla zbioru B. 3. Panel wykresów panel wykresów został dokładniej opisany w podrozdziale 3.1. Tutaj na panelu może się pojawić do trzech wykresów funkcji. 4. Panel wyboru działań logicznych mamy dostępne następujące działania logiczne na zbiorach rozmytych: inkluzja A B, inkluzja B A, dopełnienie A, dopełnienie B, równość A = B, suma wyłączająca A B, suma A B, różnica A B, przecięcie A B, Wynik działania inkluzji oraz równości przedstawiony jest jako tekst pojawiający się w górnej części wykresu. Pozostałe działania powodują wyrysowanie wykresu otrzymanego zbioru. Jeśli któryś z argumentów działania nie jest ustawiony nie otrzymamy żadnego wyniku. 5. Panel zmiany uniwersum zmiana dolnej i górnej granicy uniwersum. Panel ten został szczegółowo opisany w podrozdziale 3.1. 6. Panel własności funkcji na panelu pojawiają się własności wybranego zbioru rozmytego. Panel ten został szczegółowo opisany w podrozdziale 3.1. 7. Panel wyboru funkcji - w panelu tym możemy wybrać, dla którego wykresu ustawiony jest marker wartości funkcji oraz dla której funkcji będą wyświetlane jej własności.
3.3 Aplet Uogólnione działania na zbiorach rozmytych 11 8. Panel odległości - w panelu tym wyświetlana jest odległość Hamminga i euklidesowa (względna oraz bezwzględna) pomiędzy funkcjami A i B. Odległości liczone są dla n = 101 (liczba punktów wykresu funkcji). 3.3 Aplet Uogólnione działania na zbiorach rozmytych Aplet prezentuje uogólnione działania na zbiorach rozmytych. Zbiór rozmyty przedstawiony jest za pomocą funkcji przynależności. Panel apletu widoczny jest na rysunku 9. Działania uogólnione zostały przedstawione w podrozdziale??. Rysunek 9: Aplet Uogólnione działania na zbiorach rozmytych W aplecie tym mamy dostępne następujące funkcjonalności: 1. Funkcja A panel ustawień dla zbioru A. Opisany został on szczegółowo w podrozdziale 3.3. 2. Funkcja B panel ustawień dla zbioru B. Opisany został on szczegółowo w podrozdziale 3.3. 3. Panel wykresów Panel wykresu nie różni się od panelu opisanego w podrozdziale 3.2. 4. Panel zmiany uniwersum zmiana dolnej i górnej granicy uniwersum. Panel ten został szczegółowo opisany w podrozdziale 3.1.
3.4 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wzorem) 12 5. Panel wyboru negacji mamy do wyboru: negacja A negacja funkcji A, negacja B negacja funkcji B. Negacja obliczana jest ze wzoru: n (a) = (1 a p ) 1 p, gdzie p > 0 6. Panel wyboru T-normy do wyboru mamy następujące T-normy: a 1 b, a 2 b, a 3 b, a m b, 7. Panel wyboru S-normy do wyboru mamy następujące S-normy: a 1 b, a 2 b, a 3 b, a m b, 8. Panel własności funkcji na panelu pojawiają się własności wybranego zbioru rozmytego. Panel ten został szczegółowo opisany w podrozdziale 3.1. 9. Panel odległości w panelu tym wyświetlana jest odległość Hamminga i euklidesowa pomiędzy funkcjami A i B. Panel ten został szczegółowo opisany w podrozdziale 3.2. 10. Panel wyboru funkcji w panelu tym możemy wybrać dla którego wykresu ustawiony jest marker wartości funkcji oraz własności której funkcji są wyświetlane. 3.4 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wzorem) Aplet prezentuje wnioskowanie rozmyte. Panel apletu widoczny jest na rysunku 10 1. Przycisk Ustaw funkcję A definiujemy zbiór wejściowy A. 2. Przycisk Ustaw funkcję B definiujemy zbiór wyjściowy B. 3. Przycisk Ustaw funkcję A definiujemy przesłankę (zbiór A ). 4. Panel wyboru implikacji do wyboru mamy kilka różnych implikacji takich jak: Łukasiewicz, Reichenbach, Dienes, Zadeh, minimum oraz iloczyn.
3.5 Aplet Działania na relacjach rozmytych 13 Rysunek 10: Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wzorem) 5. Panel wyboru T-normy do wyboru mamy cztery podstawowe T-normy: a 0 b, a 1 b, a 2 b, a m b. 6. Przycisk Wnioskuj użycie przycisku rozpoczyna proces wnioskowania. Wniosek pojawia się jako na wyjściowym panelu wykresów jako wykres o kolorze karmazynowym. 7. Panel wykresów na panelu wejściowym widzimy wykresy funkcji A oraz funkcji A. Na panelu wyjściowym widzimy wykresy funkcji B oraz wniosku B. 8. Przycisk Zmień uniwersum dla każdego z paneli mamy możliwość zmiany uniwersum. 3.5 Aplet Działania na relacjach rozmytych Aplet ten zawiera trzy panele: działania na relacjach rozmytych, rzutowanie relacji oraz składanie relacji. Istnieje możliwość zmiany wymiarów relacji jednak są one ograniczone. Wymiar relacji nie może być mniejszy niż 1x1 oraz większy od 5x5. 3.5.1 Działania na relacjach rozmytych Aplet prezentuje działania na relacjach rozmytych, takie jak: inkluzja, równość, dopełnienie, iloczyn, suma, różnica, suma wyłączająca (exor), iloczyn algebraiczny, suma algebraiczna
3.5 Aplet Działania na relacjach rozmytych 14 oraz relacja zwykła najbliższa relacji rozmytej. Relacje A, B i R mają takie same wymiary, aby było możliwe wykonanie w/w działań. Panel apletu widoczny jest na rysunku 11. Rysunek 11: Aplet Działania na relacjach rozmytych W aplecie tym mamy dostępne następujące funkcjonalności: 1. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie długości wszystkich relacji o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie długości wszystkich relacji o 1. 2. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie wysokości wszystkich relacji o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie wysokości wszystkich relacji o 1. 3. Przycisk * użycie przycisku powoduje otworzenie okna generatora relacji dla relacji A. Generator relacji został opisany w dalszej części w podrozdziale 3.5.4. 4. Przycisk * użycie przycisku powoduje otworzenie okna generatora relacji dla relacji B. Generator relacji został opisany w dalszej części w podrozdziale 3.5.4. 5. Relacja A pierwsza z relacji na której przeprowadzane są działania. Można uzupełnić ją ręcznie lub użyć generatora relacji.
3.5 Aplet Działania na relacjach rozmytych 15 6. Relacja B druga z relacji na której przeprowadzane są działania. Można uzupełnić ją ręcznie lub użyć generatora relacji. 7. Relacja R relacja wynikowa. Zawiera wynik wybranego działania dla relacji A i/lub B. 8. Panel wyboru działań do wyboru mamy następujące działania: inkluzja A B, inkluzja B A, równość A = B, dopełnienie A, dopełnienie B, iloczyn A B, suma A B, różnica A B, exor A B (suma wyłączająca), iloczyn alg. A B (iloczyn algebraiczny), suma alg. A + B (suma algebraiczna), r. najbliższa A (relacja zwykła najbliższa relacji rozmytej A). Po dokonaniu wyboru automatycznie pojawia się wynik działania. Dla działań inkluzji i równości relacja R wypełniona zostaje zerami a wynik działania wyświetlany jest jako tekst w polu nad relacją. W pozostałych przypadkach wynikiem wybranego działania jest relacja R. 3.5.2 Rzutowanie relacji Aplet przedstawia różne typy rzutowania relacji takie jak: rzutowanie na relacji R na X, rzutowanie relacji R na Y oraz rzutowanie globalne. Rzutowanie relacji obliczane jest automatycznie po wprowadzeniu zmian w relacji R. Panel apletu widoczny jest na rysunku 12. W aplecie tym mamy dostępne następujące funkcjonalności: 1. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie długości relacji R o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie długości relacji R o 1. 2. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie wysokości relacji R o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie wysokości relacji R o 1.
3.5 Aplet Działania na relacjach rozmytych 16 Rysunek 12: Aplet Rzutowanie relacji 3. Przyciski * użycie przycisku powoduje otworzenie okna generatora relacji. Generator relacji został opisany w dalszej części w podrozdziale 3.5.4. 4. Relacja R relacja dla której wykonujemy rzutowania. Relację można uzupełnić ręcznie lub przy użyciu generatora relacji. 5. proj (R) wynik rzutowania relacji R na X. X 6. proj (R) wynik rzutowania relacji R na Y. Y 7. h(r) wynik globalnego rzutowania relacji R. 3.5.3 Składanie relacji Aplet przedstawia działanie złożenia dwóch relacji. Dostępne są dwa typy złożenia: maxmin oraz max-iloczyn. Panel apletu widoczny jest na rysunku 13. W aplecie tym mamy dostępne następujące funkcjonalności:
3.5 Aplet Działania na relacjach rozmytych 17 Rysunek 13: Aplet Składanie relacji 1. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie wysokości relacji A o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie wysokości relacji A o 1. 2. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie długości relacji A oraz wysokości relacji B o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie długości relacji A oraz wysokości relacji B o 1. 3. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie długości relacji B o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie długości relacji B o 1. 4. Przyciski * użycie przycisku powoduje otworzenie okna generatora relacji dla relacji A. Generator relacji został opisany w dalszej części w podrozdziale 3.5.4. 5. Przycisk * użycie przycisku powoduje otworzenie okna generatora relacji dla relacji B. Generator relacji został opisany w dalszej części w podrozdziale 3.5.4. 6. Relacja A pierwsza z relacji dla której wykonujemy złożenie. Relację można uzupełnić ręcznie lub przy użyciu generatora relacji.
3.5 Aplet Działania na relacjach rozmytych 18 7. Relacja B druga z relacji dla której wykonujemy złożenie. Relację można uzupełnić ręcznie lub przy użyciu generatora relacji. 8. Relacja R wynik złożenia relacji A i B. 9. Panel wyboru złożenia mamy do wyboru dwa typy złożeń: złożenie typu max-min, złożenie typu max-iloczyn. Po wybraniu jednej z opcji w relacji R pojawia się wynik złożenia relacji A i B. 3.5.4 Generator relacji Okno Generator relacji służy do generowania relacji rozmytych różnymi metodami np, iloczyn kartezjański, wypełnienie losowe czy wypełnienie liczbą. Gdy ponownie wywołamy okno generatora relacji do zbiorów A i B oraz do relacji R zostaną wczytane dane z poprzedniego wywołania. Rysunek 14: Generator relacji W okienku tym mamy dostępne następujące funkcjonalności: 1. Przycisk L wypełnia zbiór A losowymi liczbami. 2. Przycisk 0 zeruje zbiór A. 3. Przycisk L wypełnia zbiór B losowymi liczbami.
3.6 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wektorem) 19 4. Przycisk 0 zeruje zbiór B. 5. Zbiór B jeden z rozmytych zbiorów pomocniczych. 6. Zbiór A jeden z rozmytych zbiorów pomocniczych. 7. Relacja R relacja rozmyta. 8. Panel wyboru metody generacji relacji mamy do wyboru kilka rodzajów metod generacji: iloczyn kart. (min) relacja R generowana jest jako wynik iloczynu kartezjańskiego (minimum) zbiorów A i B, iloczyn kart. (*) relacja R generowana jest jako wynik iloczynu kartezjańskiego (iloczyn) zbiorów A i B, losowo relacja R wypełniana jest losowymi liczbami, zeruj relacja R wypełniana jest zerami, liczba relacja R wypełniana jest podaną liczbą. 9. Przyciski OK i Anuluj wciśnięcie przycisku OK powoduje, że zapisywane są zmiany w relacji R. Wciśnięcie przycisku Anuluj powoduje, że nie zapisywane są zmiany w relacji R. Oba przyciski zamykają okno generatora relacji. 3.6 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wektorem) Aplet przedstawia proces wnioskowania rozmytego dla systemu z jednym wejściem i jednym wyjściem. Wnioskowanie rozmyte oparte opisane jest w podrozdziale??. Do wyboru mamy kilka implikacji oraz różne T-normy. Panel apletu widoczny jest na rysunku 15. W aplecie tym mamy dostępne następujące funkcjonalności: 1. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie rozmiaru zbioru B o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie rozmiaru zbioru B o 1. Oba przyciski wpływają pośrednio na rozmiar relacji A B, oraz zbioru B. 2. Przyciski - i + użycie przycisku - powoduje zmniejszenie rozmiaru zbioru A o 1. Użycie przycisku + powoduje zwiększenie rozmiaru zbioru A o 1. Oba przyciski wpływają pośrednio na rozmiar relacji A B, oraz zbioru A. 3. Przycisk L użycie przycisku powoduje wypełnienie zbioru B losowymi liczbami. 4. Przycisk L użycie przycisku powoduje wypełnienie zbioru A losowymi liczbami. 5. Przycisk 0 zeruje zbiór A.
3.6 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wektorem) 20 Rysunek 15: Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wektorem) 6. Przycisk 0 zeruje zbiór B. 7. Zbiór rozmyty A zbiór wejściowy. Możemy go uzupełnić ręcznie lub wygenerować losowo używając przycisku L. 8. Zbiór rozmyty B zbiór wyjściowy. Możemy go uzupełnić ręcznie lub wygenerować losowo używając przycisku L. 9. Panel wyboru implikacji do wyboru mamy kilka różnych implikacji takich jak: Łukasiewicz, Reichenbach, Dienes, Zadeh, minimum oraz iloczyn. 10. Relacja A B relacja opisująca zbiór reguł wnioskowania. 11. Zbiór rozmyty A przesłanka na podstawie której wnioskowany zbiór B. 12. Zbiór rozmyty B zbiór wynikowy. Zbiór wnioskowany ze zbioru A poprzez relację A B. 13. Panel wyboru T-norm do wyboru mamy cztery podstawowe T-normy: a 0 b, a 1 b, a 2 b, a m b. 14. Przycisk Oblicz relację A B i wnioskuj B generuje relację A B na podstawie wybranej implikacji, a następnie wnioskuje zbiór B ze zbioru A poprzez relację A B przy użyciu wybranej T-normy.
SPIS RYSUNKÓW 21 Spis rysunków 1 Strona www - Strona domowa........................... 3 2 Strona www - Kurs................................. 4 3 Strona www - Aplety................................ 4 4 Strona www - Do pobrania............................. 5 5 Strona www - Pomoc................................ 5 6 Strona www - Linki................................. 6 7 Aplet Rodzaje funkcji przynależności...................... 7 8 Aplet Działania logiczne na zbiorach rozmytych................ 9 9 Aplet Uogólnione działania na zbiorach rozmytych.............. 11 10 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wzorem).............. 13 11 Aplet Działania na relacjach rozmytych.................... 14 12 Aplet Rzutowanie relacji............................. 16 13 Aplet Składanie relacji.............................. 17 14 Generator relacji.................................. 18 15 Aplet Wnioskowanie rozmyte (zbiór dany wektorem)............. 20