II. Wstęp: Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne

II. Wstęp: Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 1 / 65

1 Modelowanie matematyczne w ekonomii i finansach 2 Funkcje - wstępne definicje 3 Wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe i wielomianopodobne 4 Podstawowe własności funkcji: parzystość, nieparzystość i monotoniczność 5 Funkcje wykładnicze i model Malthusa 6 Funkcje okresowe i trygonometryczne 7 Działania na funkcjach, funkcje odwrotne, funkcje popytu i podaży rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 2 / 65

Co to jest modelowanie matematyczne? Modelowanie matematyczne jest to użycie języka matematyki do opisania zachowania jakiegoś układu - najczęściej ze świata rzeczywistego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 3 / 65

Co to jest modelowanie matematyczne? Modelowanie matematyczne jest to użycie języka matematyki do opisania zachowania jakiegoś układu - najczęściej ze świata rzeczywistego. Po opisaniu układu zgodnie z terminologią matematyczną możemy model rozwiązać - czyli spróbować przewidzieć, co w nim się stanie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 3 / 65

Co to jest modelowanie matematyczne? Modelowanie matematyczne jest to użycie języka matematyki do opisania zachowania jakiegoś układu - najczęściej ze świata rzeczywistego. Po opisaniu układu zgodnie z terminologią matematyczną możemy model rozwiązać - czyli spróbować przewidzieć, co w nim się stanie. W ramach tego wykładu będziemy się skupiać na modelowaniu matematycznym w dziedzinach ekonomii i finansów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 3 / 65

Co to jest modelowanie matematyczne? Modelowanie matematyczne jest to użycie języka matematyki do opisania zachowania jakiegoś układu - najczęściej ze świata rzeczywistego. Po opisaniu układu zgodnie z terminologią matematyczną możemy model rozwiązać - czyli spróbować przewidzieć, co w nim się stanie. W ramach tego wykładu będziemy się skupiać na modelowaniu matematycznym w dziedzinach ekonomii i finansów. Obecnie około 95% prac publikowanych w renomowanych czasopismach naukowych z dziedziny ekonomii i finansów zawiera przynajmniej najprostsze modele matematyczne: tak więc, korzystanie z nich (nie mówiąc o publikowaniu) wymaga znajomości matematycznego slangu i podstawowych twierdzeń. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 3 / 65

Pożytki z modelowania matematycznego Dzięki matematyzacji zagadnień ekonomicznych możemy osiągnąć m.in. następujące korzyści: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 4 / 65

Pożytki z modelowania matematycznego Dzięki matematyzacji zagadnień ekonomicznych możemy osiągnąć m.in. następujące korzyści: Zwięzłość i precyzja języka stosowanego w modelu (wspólny język) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 4 / 65

Pożytki z modelowania matematycznego Dzięki matematyzacji zagadnień ekonomicznych możemy osiągnąć m.in. następujące korzyści: Zwięzłość i precyzja języka stosowanego w modelu (wspólny język) Jawne formułowanie wszystkich przyjętych założeń rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 4 / 65

Pożytki z modelowania matematycznego Dzięki matematyzacji zagadnień ekonomicznych możemy osiągnąć m.in. następujące korzyści: Zwięzłość i precyzja języka stosowanego w modelu (wspólny język) Jawne formułowanie wszystkich przyjętych założeń Uogólnienia (stosowanie rozumowania do wielu zagadnień) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 4 / 65

Pożytki z modelowania matematycznego Dzięki matematyzacji zagadnień ekonomicznych możemy osiągnąć m.in. następujące korzyści: Zwięzłość i precyzja języka stosowanego w modelu (wspólny język) Jawne formułowanie wszystkich przyjętych założeń Uogólnienia (stosowanie rozumowania do wielu zagadnień) Możliwość stosowania bogatej aparatury matematycznej (twierdzenia) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 4 / 65

Pożytki z modelowania matematycznego Dzięki matematyzacji zagadnień ekonomicznych możemy osiągnąć m.in. następujące korzyści: Zwięzłość i precyzja języka stosowanego w modelu (wspólny język) Jawne formułowanie wszystkich przyjętych założeń Uogólnienia (stosowanie rozumowania do wielu zagadnień) Możliwość stosowania bogatej aparatury matematycznej (twierdzenia) Możliwość uzyskania uzasadnionych wniosków sprzecznych z intuicją - paradoksów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 4 / 65

Pożytki z modelowania matematycznego Dzięki matematyzacji zagadnień ekonomicznych możemy osiągnąć m.in. następujące korzyści: Zwięzłość i precyzja języka stosowanego w modelu (wspólny język) Jawne formułowanie wszystkich przyjętych założeń Uogólnienia (stosowanie rozumowania do wielu zagadnień) Możliwość stosowania bogatej aparatury matematycznej (twierdzenia) Możliwość uzyskania uzasadnionych wniosków sprzecznych z intuicją - paradoksów. Możliwość wnioskowania o zjawiskach niewykrywalnych innymi metodami (np. o ukrytych informacjach, nieuświadomionych bodźcach) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 4 / 65

Pożytki z modelowania matematycznego Dzięki matematyzacji zagadnień ekonomicznych możemy osiągnąć m.in. następujące korzyści: Zwięzłość i precyzja języka stosowanego w modelu (wspólny język) Jawne formułowanie wszystkich przyjętych założeń Uogólnienia (stosowanie rozumowania do wielu zagadnień) Możliwość stosowania bogatej aparatury matematycznej (twierdzenia) Możliwość uzyskania uzasadnionych wniosków sprzecznych z intuicją - paradoksów. Możliwość wnioskowania o zjawiskach niewykrywalnych innymi metodami (np. o ukrytych informacjach, nieuświadomionych bodźcach) Łatwość eliminacji czynników nieistotnych dla naszych zainteresowań. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 4 / 65

Zastrzeżenia dotyczące modelowania matematycznego Jednakże, używając matematyki w ekonomii trzeba uważać na wiele pułapek: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 5 / 65

Zastrzeżenia dotyczące modelowania matematycznego Jednakże, używając matematyki w ekonomii trzeba uważać na wiele pułapek: Modele są tylko uproszczonym przybliżeniem rzeczywistości rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 5 / 65

Zastrzeżenia dotyczące modelowania matematycznego Jednakże, używając matematyki w ekonomii trzeba uważać na wiele pułapek: Modele są tylko uproszczonym przybliżeniem rzeczywistości Im bliższy rzeczywistości model, tym bardziej jest skomplikowany, co czasem uniemożliwia ścisłe rozwiązanie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 5 / 65

Zastrzeżenia dotyczące modelowania matematycznego Jednakże, używając matematyki w ekonomii trzeba uważać na wiele pułapek: Modele są tylko uproszczonym przybliżeniem rzeczywistości Im bliższy rzeczywistości model, tym bardziej jest skomplikowany, co czasem uniemożliwia ścisłe rozwiązanie Dokładne rozwiązanie przybliżonego modelu nie musi być przybliżonym rozwiązaniem faktycznego układu rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 5 / 65

Zastrzeżenia dotyczące modelowania matematycznego Jednakże, używając matematyki w ekonomii trzeba uważać na wiele pułapek: Modele są tylko uproszczonym przybliżeniem rzeczywistości Im bliższy rzeczywistości model, tym bardziej jest skomplikowany, co czasem uniemożliwia ścisłe rozwiązanie Dokładne rozwiązanie przybliżonego modelu nie musi być przybliżonym rozwiązaniem faktycznego układu Wiele zjawisk ekonomicznych jest niemierzalnych lub niewspółmiernych rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 5 / 65

Zastrzeżenia dotyczące modelowania matematycznego Jednakże, używając matematyki w ekonomii trzeba uważać na wiele pułapek: Modele są tylko uproszczonym przybliżeniem rzeczywistości Im bliższy rzeczywistości model, tym bardziej jest skomplikowany, co czasem uniemożliwia ścisłe rozwiązanie Dokładne rozwiązanie przybliżonego modelu nie musi być przybliżonym rozwiązaniem faktycznego układu Wiele zjawisk ekonomicznych jest niemierzalnych lub niewspółmiernych Trudności w zastosowaniach (sama próba wykorzystania modelu może powodować jego zaburzenie - tzw.krytyka Lucasa) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 5 / 65

Zastrzeżenia dotyczące modelowania matematycznego Jednakże, używając matematyki w ekonomii trzeba uważać na wiele pułapek: Modele są tylko uproszczonym przybliżeniem rzeczywistości Im bliższy rzeczywistości model, tym bardziej jest skomplikowany, co czasem uniemożliwia ścisłe rozwiązanie Dokładne rozwiązanie przybliżonego modelu nie musi być przybliżonym rozwiązaniem faktycznego układu Wiele zjawisk ekonomicznych jest niemierzalnych lub niewspółmiernych Trudności w zastosowaniach (sama próba wykorzystania modelu może powodować jego zaburzenie - tzw.krytyka Lucasa) efekt matematycznej bzdury rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 5 / 65

Zastrzeżenia dotyczące modelowania matematycznego Jednakże, używając matematyki w ekonomii trzeba uważać na wiele pułapek: Modele są tylko uproszczonym przybliżeniem rzeczywistości Im bliższy rzeczywistości model, tym bardziej jest skomplikowany, co czasem uniemożliwia ścisłe rozwiązanie Dokładne rozwiązanie przybliżonego modelu nie musi być przybliżonym rozwiązaniem faktycznego układu Wiele zjawisk ekonomicznych jest niemierzalnych lub niewspółmiernych Trudności w zastosowaniach (sama próba wykorzystania modelu może powodować jego zaburzenie - tzw.krytyka Lucasa) efekt matematycznej bzdury Brak uniwersalności dużej części praw ekonomicznych (raczej tendencje niż fakty, charakter lokalny i historyczny). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 5 / 65

Zastrzeżenia dotyczące dowolnych modeli Warto zauważyć, że większość tych zastrzeżeń można wysunąć wobec dowolnych teorii ekonomicznych, czy posługują się językiem matematycznym, czy też nie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 6 / 65

Zastrzeżenia dotyczące dowolnych modeli Warto zauważyć, że większość tych zastrzeżeń można wysunąć wobec dowolnych teorii ekonomicznych, czy posługują się językiem matematycznym, czy też nie. Taka teoria zawsze w jakiś sposób upraszcza świat rzeczywisty, jest wrażliwa na czynniki niemierzalne i niewspółmierne, nie zawsze nadaje się do zastosowań, może przekonywać nie za pomocą argumentów, ale zręcznego ich opakowania w wyrafinowane słownictwo itp. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 6 / 65

Zastrzeżenia dotyczące dowolnych modeli Warto zauważyć, że większość tych zastrzeżeń można wysunąć wobec dowolnych teorii ekonomicznych, czy posługują się językiem matematycznym, czy też nie. Taka teoria zawsze w jakiś sposób upraszcza świat rzeczywisty, jest wrażliwa na czynniki niemierzalne i niewspółmierne, nie zawsze nadaje się do zastosowań, może przekonywać nie za pomocą argumentów, ale zręcznego ich opakowania w wyrafinowane słownictwo itp. Również ich testowanie jest niezwykle trudne (trudność zachowania klauzuli ceteris paribus). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 6 / 65

Założenie o racjonalności Najczęściej krytykowanym (zazwyczaj w wyniku złego zrozumienia) założeniem modeli matematycznych jest przyjęcie, że podmioty ekonomiczne w modelu (ludzie, firmy, rządy itp.) zachowują się racjonalnie, czyli dążą do osiągnięcia jak największych korzyści (lub jak najmniejszych strat). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 7 / 65

Założenie o racjonalności Najczęściej krytykowanym (zazwyczaj w wyniku złego zrozumienia) założeniem modeli matematycznych jest przyjęcie, że podmioty ekonomiczne w modelu (ludzie, firmy, rządy itp.) zachowują się racjonalnie, czyli dążą do osiągnięcia jak największych korzyści (lub jak najmniejszych strat). Wynika to najczęściej z błędnego rozumienia pojęcia racjonalności. Potocznie pojmowana racjonalność to zachowanie, które większość ludzi uznaje za rozsądne - a często jeszcze jest to spłycane do stwierdzenia: racjonalne jest zachowanie, które daje w efekcie najlepsze skutki finansowe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 7 / 65

Założenie o racjonalności Najczęściej krytykowanym (zazwyczaj w wyniku złego zrozumienia) założeniem modeli matematycznych jest przyjęcie, że podmioty ekonomiczne w modelu (ludzie, firmy, rządy itp.) zachowują się racjonalnie, czyli dążą do osiągnięcia jak największych korzyści (lub jak najmniejszych strat). Wynika to najczęściej z błędnego rozumienia pojęcia racjonalności. Potocznie pojmowana racjonalność to zachowanie, które większość ludzi uznaje za rozsądne - a często jeszcze jest to spłycane do stwierdzenia: racjonalne jest zachowanie, które daje w efekcie najlepsze skutki finansowe. Tak pojmowana racjonalność nie ma wiele wspólnego z tym, co tak naprawdę przez racjonalność rozumiemy w ekonomii i finansach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 7 / 65

Założenie o racjonalności W modelach matematyczno-ekonomicznych zakładamy, każdy podmiot sam wyznacza, co jest dla niego korzystne i w jakim stopniu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 8 / 65

Założenie o racjonalności W modelach matematyczno-ekonomicznych zakładamy, każdy podmiot sam wyznacza, co jest dla niego korzystne i w jakim stopniu. Na przykład racjonalnym dla uzależnionego od narkotyków jest wydanie resztki swoich pieniędzy na kolejną działkę, bo jego zestaw preferencji wskazuje, że ceni on ten narkotyk bardziej niż jakiekolwiek inne potrzeby życiowe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 8 / 65

Założenie o racjonalności W modelach matematyczno-ekonomicznych zakładamy, każdy podmiot sam wyznacza, co jest dla niego korzystne i w jakim stopniu. Na przykład racjonalnym dla uzależnionego od narkotyków jest wydanie resztki swoich pieniędzy na kolejną działkę, bo jego zestaw preferencji wskazuje, że ceni on ten narkotyk bardziej niż jakiekolwiek inne potrzeby życiowe. Racjonalnym ekonomicznie może też być danie jałmużny żebrakowi, o ile pomoc innej osobie z jakichkolwiek przyczyn jest wyżej w skali preferencji danej osoby niż dodatkowe kilka złotych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 8 / 65

Założenie o racjonalności W modelach matematyczno-ekonomicznych zakładamy, każdy podmiot sam wyznacza, co jest dla niego korzystne i w jakim stopniu. Na przykład racjonalnym dla uzależnionego od narkotyków jest wydanie resztki swoich pieniędzy na kolejną działkę, bo jego zestaw preferencji wskazuje, że ceni on ten narkotyk bardziej niż jakiekolwiek inne potrzeby życiowe. Racjonalnym ekonomicznie może też być danie jałmużny żebrakowi, o ile pomoc innej osobie z jakichkolwiek przyczyn jest wyżej w skali preferencji danej osoby niż dodatkowe kilka złotych. Nawet osoby z poważnymi zaburzeniami umysłowymi zazwyczaj działają racjonalnie w sensie ekonomicznym (tylko ich uporządkowanie preferencji jest nie do przyjęcia dla przeciętnego człowieka). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 8 / 65

Założenie o racjonalności W modelach matematyczno-ekonomicznych zakładamy, każdy podmiot sam wyznacza, co jest dla niego korzystne i w jakim stopniu. Na przykład racjonalnym dla uzależnionego od narkotyków jest wydanie resztki swoich pieniędzy na kolejną działkę, bo jego zestaw preferencji wskazuje, że ceni on ten narkotyk bardziej niż jakiekolwiek inne potrzeby życiowe. Racjonalnym ekonomicznie może też być danie jałmużny żebrakowi, o ile pomoc innej osobie z jakichkolwiek przyczyn jest wyżej w skali preferencji danej osoby niż dodatkowe kilka złotych. Nawet osoby z poważnymi zaburzeniami umysłowymi zazwyczaj działają racjonalnie w sensie ekonomicznym (tylko ich uporządkowanie preferencji jest nie do przyjęcia dla przeciętnego człowieka). Tak rozumiane założenie o racjonalności ( każdy dąży do zdefiniowanej przez siebie korzyści ) jest w oczywisty sposób prawdziwe i będzie domyślnym założeniem wszelkich naszych modeli. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 8 / 65

Wnioski Dlatego warto zawsze pamiętać o regułach bezpieczeństwa przy korzystaniu z modeli matematycznych: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 9 / 65

Wnioski Dlatego warto zawsze pamiętać o regułach bezpieczeństwa przy korzystaniu z modeli matematycznych: Model mówi nam co w danej sytuacji MOŻE (albo nie może) się zdarzyć, a nie co zdarzyć się MUSI - dlatego po przeanalizowaniu modelu warto sprawdzić empirycznie, czy nie daje wyników otwarcie sprzecznych z rzeczywistością (choć w ekonomii jest to często bardzo trudne) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 9 / 65

Wnioski Dlatego warto zawsze pamiętać o regułach bezpieczeństwa przy korzystaniu z modeli matematycznych: Model mówi nam co w danej sytuacji MOŻE (albo nie może) się zdarzyć, a nie co zdarzyć się MUSI - dlatego po przeanalizowaniu modelu warto sprawdzić empirycznie, czy nie daje wyników otwarcie sprzecznych z rzeczywistością (choć w ekonomii jest to często bardzo trudne) Należy zawsze pamiętać o założeniach modelu - jeśli założenia są nieprawdziwe, to najlepsza matematyka może nas doprowadzić do fałszywych wniosków (z fałszu może wynikać cokolwiek - reguły implikacji). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 9 / 65

Wnioski Dlatego warto zawsze pamiętać o regułach bezpieczeństwa przy korzystaniu z modeli matematycznych: Model mówi nam co w danej sytuacji MOŻE (albo nie może) się zdarzyć, a nie co zdarzyć się MUSI - dlatego po przeanalizowaniu modelu warto sprawdzić empirycznie, czy nie daje wyników otwarcie sprzecznych z rzeczywistością (choć w ekonomii jest to często bardzo trudne) Należy zawsze pamiętać o założeniach modelu - jeśli założenia są nieprawdziwe, to najlepsza matematyka może nas doprowadzić do fałszywych wniosków (z fałszu może wynikać cokolwiek - reguły implikacji). Zawsze należy zastanowić się nad zakresem stosowalności danego modelu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 9 / 65

Wnioski Dlatego warto zawsze pamiętać o regułach bezpieczeństwa przy korzystaniu z modeli matematycznych: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 10 / 65

Wnioski Dlatego warto zawsze pamiętać o regułach bezpieczeństwa przy korzystaniu z modeli matematycznych: Nie należy poddawać się autorytetowi matematyki - przez to, że praca posługuje się skomplikowanym aparatem matematycznym, nie jest w żadnym sensie bardziej naukowa albo bardziej prawdziwa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 10 / 65

Wnioski Dlatego warto zawsze pamiętać o regułach bezpieczeństwa przy korzystaniu z modeli matematycznych: Nie należy poddawać się autorytetowi matematyki - przez to, że praca posługuje się skomplikowanym aparatem matematycznym, nie jest w żadnym sensie bardziej naukowa albo bardziej prawdziwa. Należy uważać na to, czy matematycznie możliwe operacje mają sens ekonomiczny (dodawanie godzin do kilometrów). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 10 / 65

Wnioski Dlatego warto zawsze pamiętać o regułach bezpieczeństwa przy korzystaniu z modeli matematycznych: Nie należy poddawać się autorytetowi matematyki - przez to, że praca posługuje się skomplikowanym aparatem matematycznym, nie jest w żadnym sensie bardziej naukowa albo bardziej prawdziwa. Należy uważać na to, czy matematycznie możliwe operacje mają sens ekonomiczny (dodawanie godzin do kilometrów). Z drugiej strony, nie należy twierdzić, że dany model jest bezwartościowy tylko dlatego, że jest znacząco uproszczony w stosunku do rzeczywistości: brak natychmiastowych zastosowań nie oznacza braku zwiększenia naszej wiedzy o ludzkiej naturze i mechanizmach ekonomicznych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 10 / 65

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 11 / 65

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 11 / 65

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 11 / 65

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 11 / 65

Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór f (X ) = {y Y : x X : f (x) = y} to zbiór wartości funkcji f. Elementy tego zbioru to wartości funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 11 / 65

Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 12 / 65

Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 12 / 65

Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Znane ze szkoły ciągi, czyli funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych. (a n = a(n)). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 12 / 65

Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Znane ze szkoły ciągi, czyli funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych. (a n = a(n)). Funkcja na zbiorze państw, przyporządkowująca każdemu państwu jego największego partnera handlowego (spośród innych państw). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 12 / 65

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 13 / 65

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 13 / 65

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 13 / 65

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 13 / 65

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 13 / 65

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Funkcja użyteczności (w zależności) od nakładów lub od wyboru koszyka dóbr Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 13 / 65

Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Funkcja użyteczności (w zależności) od nakładów lub od wyboru koszyka dóbr Funkcja zysku (w zależności) od wielkości inwestycji Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 13 / 65

Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 14 / 65

Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 14 / 65

Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) f (x) = y x 2 + y 2 = 1, X = Y = [ 1, 1] (bo dla x = 0 przyjmowałaby 2 różne wartości) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 14 / 65

Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) f (x) = y x 2 + y 2 = 1, X = Y = [ 1, 1] (bo dla x = 0 przyjmowałaby 2 różne wartości) relacja rodzeństwa na zbiorze ludzi, która każdemu człowiekowi przypisuje wszystkich jego braci i siostry (bo niektórym argumentom nie przypisywałaby żadnych wartości, a innym kilka). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 14 / 65

Równość funkcji Należy pamiętać, że nawet funkcja rzeczywista nie składa się tylko z przepisu czyli wzoru obliczenia wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, ale też z samej dziedziny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 15 / 65

Równość funkcji Należy pamiętać, że nawet funkcja rzeczywista nie składa się tylko z przepisu czyli wzoru obliczenia wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, ale też z samej dziedziny. Równość funkcji Mówimy, że funkcja f jest równa funkcji g jeśli D f = D g i x Df f (x) = g(x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 15 / 65

Równość funkcji-przykład f (x) = x 4, D f = R f (x) = x2 4x, D x f = R \ {0} Te funkcje nie są równe, bo mają różną dziedzinę. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 16 / 65

Zawężenie Jeśli, wspominając o funkcji, nic nie mówimy o dziedzinie, to zakładamy, że jest ona maksymalna możliwa. Dlatego czasem mówimy o zawężeniu funkcji do jakiegoś zbioru (jeśli chcemy, by dziedzina funkcji została sztucznie zmniejszona). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 17 / 65

Zawężenie Jeśli, wspominając o funkcji, nic nie mówimy o dziedzinie, to zakładamy, że jest ona maksymalna możliwa. Dlatego czasem mówimy o zawężeniu funkcji do jakiegoś zbioru (jeśli chcemy, by dziedzina funkcji została sztucznie zmniejszona). Zawężenie Niech f : X Y i A X. Wtedy f A : A Y taka, że a A f A (a) = f (a) nazywana jest zawężeniem funkcji f do zbioru A. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 17 / 65

Wykres i miejsce zerowe Wykres funkcji Wykresem funkcji f nazywamy zbiór par (x, y) X Y, takich, że f (x) = y. Oznaczamy go przez graph f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 18 / 65

Wykres i miejsce zerowe Wykres funkcji Wykresem funkcji f nazywamy zbiór par (x, y) X Y, takich, że f (x) = y. Oznaczamy go przez graph f. Miejsce zerowe Miejscem zerowym lub pierwiastkiem funkcji f nazywamy każdy x X taki, że f (x) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 18 / 65

Wykres i miejsce zerowe-przykład f (x) = x 4, D f = R rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 19 / 65

Wykres i miejsce zerowe-przykład f (x) = x 4, D f = R Na rysunku wykres funkcji f. Jej jedynym miejscem zerowym jest 4. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 19 / 65

Wiadomości ze szkoły Wiadomości ze szkoły, które powinni Państwo znać zawarte będą w pliku Wstępne informacje o funkcjach elementarnych, który można znaleźć wśród notatek do kursu na stronie www.kosiorowski.edu.pl. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 20 / 65

Wiadomości ze szkoły Wiadomości ze szkoły, które powinni Państwo znać zawarte będą w pliku Wstępne informacje o funkcjach elementarnych, który można znaleźć wśród notatek do kursu na stronie www.kosiorowski.edu.pl. Jeśli Państwo tych informacji i umiejętności nie mają - polecam rozdział 1 (repetytorium) wskazanej w bibliografii książki Gurgula i Sudera Matematyka dla kierunków ekonomicznych Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 20 / 65

Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 21 / 65

Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. Powinni Państwo także wiedzieć: ile najwyżej pierwiastków rzeczywistych ma wielomian danego stopnia, że wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, jaki jest warunek podzielności wielomianu przez dwumian postaci x a, kiedy liczba całkowita lub wymierna może być pierwiastkiem wielomianu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 21 / 65

Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. Powinni Państwo także wiedzieć: ile najwyżej pierwiastków rzeczywistych ma wielomian danego stopnia, że wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, jaki jest warunek podzielności wielomianu przez dwumian postaci x a, kiedy liczba całkowita lub wymierna może być pierwiastkiem wielomianu. Dodatkowo Państwo powinni umieć: rozwiązywać równania kwadratowe, rozkładać wielomian na czynniki pierwsze (jeśli ma on pierwiastki całkowite lub wymierne), dzielić przez siebie wielomiany, rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 21 / 65

Uwaga o funkcjach liniowych Wielomiany pierwszego stopnia (czyli funkcje postaci f (x) = ax + b) są często w szkole i literaturze ekonomicznej nazywane liniowymi. Również podczas wykładu, na opisanie zależności reprezentowane takimi funkcjami często będziemy używać słowa liniowe. Jednak ściśle, funkcjami liniowymi są tylko te, dla których b = 0 (pojęciem odwzorowania liniowego szczegółowo zajmiemy się na algebrze). Matematycznie prawidłową nazwą są funkcje afiniczne (czyli takie, które od liniowych różnią się dodaniem pewnej stałej). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 22 / 65

Identyczność - oznaczenie Jednym z najprostszych wielomianów jest tzw. identyczność na liczbach rzeczywistych, czyli funkcja dana wzorem f (x) = x. Jej definicję możemy uogólnić na funkcje o dowolnych dziedzinach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 23 / 65

Identyczność - oznaczenie Jednym z najprostszych wielomianów jest tzw. identyczność na liczbach rzeczywistych, czyli funkcja dana wzorem f (x) = x. Jej definicję możemy uogólnić na funkcje o dowolnych dziedzinach. Identyczność Niech X będzie dowolnym zbiorem (niekoniecznie podzbiorem R). Wtedy funkcję f : X X, taką, że x X f (x) = x nazywamy identycznością na zbiorze X i oznaczamy przez id X lub I X (a czasem tylko I ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 23 / 65

Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 24 / 65

Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Powinni Państwo także wiedzieć/umieć: jak wyznaczać miejsca zerowe funkcji wymiernej, jak sprowadzać funkcje wymierne do wspólnego mianownika, jak rozwiązywać równania i nierówności z funkcją wymierną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 24 / 65

Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Powinni Państwo także wiedzieć/umieć: jak wyznaczać miejsca zerowe funkcji wymiernej, jak sprowadzać funkcje wymierne do wspólnego mianownika, jak rozwiązywać równania i nierówności z funkcją wymierną. Pamiętamy o zasadzie: znak ilorazu (jeśli ma sens) jest równy znakowi iloczynu (pomocne w rozwiązywaniu nierówności wymiernych). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 24 / 65

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 25 / 65

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 25 / 65

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 25 / 65

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą.dla innych funkcji potęgowych, trzeba dopasować dziedzinę do wykładnika. Jeśli a jest liczbą ujemną, to z dziedziny musimy usunąć 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 25 / 65

Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 i x 1 x a a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą.dla innych funkcji potęgowych, trzeba dopasować dziedzinę do wykładnika. Jeśli a jest liczbą ujemną, to z dziedziny musimy usunąć 0. Jeśli zaś a = p jest ułamkiem q nieskracalnym oraz q jest parzyste, to liczby ujemne też nie należą do dziedziny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 25 / 65

Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 26 / 65

Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 26 / 65

Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. Innymi słowy, funkcja wielomianopodobna to funkcja różniąca się od wielomianu tym, że zmienna występuje w niej w potęgach niekoniecznie naturalnych. Ma wiele własności podobnych do wielomianu, ale należy uważać na jej dziedzinę i dostosować ją do jej składowych funkcji potęgowych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 26 / 65

Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. Innymi słowy, funkcja wielomianopodobna to funkcja różniąca się od wielomianu tym, że zmienna występuje w niej w potęgach niekoniecznie naturalnych. Ma wiele własności podobnych do wielomianu, ale należy uważać na jej dziedzinę i dostosować ją do jej składowych funkcji potęgowych. Przykład: f (x) = x 5 2 3x 2 + 7 x + 1 x 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 26 / 65

Parzystość i nieparzystość funkcji Pojęcie parzystości i nieparzystości funkcji jest znane ze szkoły - proszę sobie przypomnieć definicję i jak się parzystość/nieparzystość sprawdza, a także jak rozpoznać funkcję parzystą/nieparzystą po wykresie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 27 / 65

Różnowartościowość funkcji Co prawda to też było w szkole, ale jest to na tyle ważne, że przypomnę: Injekcja (funkcja różnowartościowa) Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (lub injekcją), jeśli nie przyjmuje nigdy tej samej wartości dla dwu różnych argumentów, czyli a,b X (a b f (a) f (b)) lub też (sformułowanie równoważne) a,b X (f (a) = f (b) a = b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 28 / 65

Różnowartościowość funkcji - przykład f (x) = 2x + 1 jest różnowartościowa g(x) = x 2 nie jest różnowartościowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 29 / 65

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 30 / 65

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 30 / 65

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 30 / 65

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 30 / 65

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Dla funkcji g(x) = x 2 wystarczy podać kontrprzykład: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 30 / 65

Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Dla funkcji g(x) = x 2 wystarczy podać kontrprzykład: otóż g( 1) = 1 = g(1), co przeczy różnowartościowości tej funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 30 / 65

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 31 / 65

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 31 / 65

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 31 / 65

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 31 / 65

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 31 / 65

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 31 / 65

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Równanie x 2 = 4 możemy zamienić na x 2 = 2 2, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 31 / 65

Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Równanie x 2 = 4 możemy zamienić na x 2 = 2 2, ale teraz zniknięcie kwadratu nie doprowadzi nas do równoważnej postaci - otrzymamy tylko x = 2, tracąc drugi możliwy pierwiastek: x = 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 31 / 65

Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f zachodzi a < b f (a) < f (b). jeśli dla każdych a, b A Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 32 / 65

Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 32 / 65

Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Jeśli w powyższych zdaniach mamy do czynienia tylko ze słabymi nierównościami między f (a) i f (b), to mówimy o funkcjach słabo rosnących/malejących lub niemalejących/nierosnących. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 32 / 65

Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Jeśli w powyższych zdaniach mamy do czynienia tylko ze słabymi nierównościami między f (a) i f (b), to mówimy o funkcjach słabo rosnących/malejących lub niemalejących/nierosnących. Jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca w zbiorze A, to mówimy, że jest monotoniczna w tym zbiorze. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 32 / 65

Monotoniczność funkcji - przykład Domyślnie, jeśli nie mówimy w jakim zbiorze funkcja jest rosnąca/malejąca, zakładamy, że jest ona rosnąca/malejąca w całej swojej dziedzinie. f (x) = x 3 jest rosnąca. g(x) = x 2 nie jest monotoniczna. Jest malejąca w (, 0] i rosnąca w [0, ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 33 / 65

Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 34 / 65

Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! f (x) = x 3 3x jest rosnąca w przedziale (, 1] i w przedziale [1, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 34 / 65

Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! f (x) = x 3 3x jest rosnąca w przedziale (, 1] i w przedziale [1, + ).Natomiast nie można powiedzieć, że jest rosnąca w (, 1] [1, + ), gdyż np. f ( 1) = 2 > 2 = f (1), a 1 < 1, co przeczy warunkowi funkcji rosnącej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 34 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 35 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 35 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 35 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 35 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 35 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Dlatego, jeśli mamy założenie x > 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < 2 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 35 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Dlatego, jeśli mamy założenie x > 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < 2 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w [0, + ) zniknąć kwadrat z obu stron równania, otrzymując x < 2 (i łącznie z założeniem początkowym x (0, 2)). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 35 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 36 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 36 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 36 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 36 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. Równanie x 2 < 4 możemy zamienić na x 2 < 2 2, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 36 / 65

Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. Równanie x 2 < 4 możemy zamienić na x 2 < 2 2, ale teraz zniknięcie kwadratu nie doprowadzi nas do równoważnej postaci - otrzymamy tylko x < 2, tracąc drugi konieczny warunek: x > 2 (a np. x = 3 spełnia x < 2, a nie spełnia wyjściowej nierówności x 2 < 4). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 36 / 65

Monotoniczność i różnowartościowość funkcji Monotoniczność i różnowartościowość Funkcja monotoniczna jest różnowartościowa, ale twierdzenie odwrotne do tego nie musi być prawdziwe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 37 / 65

Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 38 / 65

Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zawsze R, jej zbiorem wartości R +. Funkcja taka zawsze jest monotoniczna: malejąca dla 0 < a < 1, rosnąca dla a > 1 (z tego korzystamy przy rozwiązywaniu równości i nierówności). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 38 / 65

Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zawsze R, jej zbiorem wartości R +. Funkcja taka zawsze jest monotoniczna: malejąca dla 0 < a < 1, rosnąca dla a > 1 (z tego korzystamy przy rozwiązywaniu równości i nierówności). Należy sobie przypomnieć twierdzenia o działaniach na funkcjach wykładniczych (na wykładnikach potęg). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 38 / 65

Model nieograniczonego rozwoju populacji Rozważmy populację, której rozmnażania się nie ograniczają ani zasoby, ani terytorium. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 39 / 65

Model nieograniczonego rozwoju populacji Rozważmy populację, której rozmnażania się nie ograniczają ani zasoby, ani terytorium. Załóżmy, że każda para rodziców ma średnio trójkę dzieci. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 39 / 65

Model nieograniczonego rozwoju populacji Rozważmy populację, której rozmnażania się nie ograniczają ani zasoby, ani terytorium. Załóżmy, że każda para rodziców ma średnio trójkę dzieci. Wtedy każde kolejne pokolenie będzie około 1, 5 raza liczniejsze i rozwój liczebności populacji będzie odzwierciedlać funkcja f (x) = 1, 5 x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 39 / 65

Hipoteza Malthusa Wielebny Thomas Malthus (zdjęcie z Wikipedii) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 40 / 65

Hipoteza Malthusa Thomas Malthus pod koniec XVIII wieku zaobserwował, że ludność kolonii brytyjskich w Ameryce Północnej (a potem Stanów Zjednoczonych) podwajała się co dwadzieścia kilka lat. Wielebny Thomas Malthus (zdjęcie z Wikipedii) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 40 / 65

Hipoteza Malthusa Wielebny Thomas Malthus (zdjęcie z Wikipedii) Thomas Malthus pod koniec XVIII wieku zaobserwował, że ludność kolonii brytyjskich w Ameryce Północnej (a potem Stanów Zjednoczonych) podwajała się co dwadzieścia kilka lat. Stąd wysnuł wniosek, że populacja przyrasta wykładniczo. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 40 / 65

Hipoteza Malthusa Z drugiej strony, prawo malejącej produktywności krańcowej wskazuje, że jeśli przybywać będzie ludzi, a ilość ziemi zostanie taka sama, to produkcja żywności będzie rosnąć wolniej niż populacja. Wielebny Thomas Malthus (zdjęcie z Wikipedii) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 41 / 65

Hipoteza Malthusa Wielebny Thomas Malthus (zdjęcie z Wikipedii) Z drugiej strony, prawo malejącej produktywności krańcowej wskazuje, że jeśli przybywać będzie ludzi, a ilość ziemi zostanie taka sama, to produkcja żywności będzie rosnąć wolniej niż populacja. Inne obserwacje spowodowały założenie, że produkcja żywności będzie rosnąć liniowo. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne 41 / 65