Splątanie w układach wielocząstkowych

Uniwersytet Jagielloński w Krakowie Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Instytut Fizyki im. M. Smoluchowskiego Splątanie w układach wielocząstkowych Praca licencjacka na kierunku Fizyka Teoretyczna Jakub Janarek nr albumu 1089010 Praca wykonana pod kierunkiem: prof. dra hab. Karola Życzkowskiego Instytut Fizyki UJ, Zakład Optyki Atomowej Kraków, czerwiec 2015 1:9413104583

Oświadczenie autora pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Kraków, 26 czerwca 2015 Podpis autora pracy Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Kraków, 26 czerwca 2015 Podpis kierującego pracą 2:5006069581

Streszczenie W pracy omówiliśmy podstawy splątania kwantowego w układach dwu- oraz wielocząstkowych. Zaprezentowaliśmy dwie metody graficzne służące do analizowania splątania w układach kwantowych. Reprezentacja grafowa opiera się na konstruowaniu stanów kwantowych na podstawie nieskierowanych grafów prostych, w których krawędzie można utożsamiać z nielokalnym oddziaływaniem pomiędzy cząstkami. Reprezentacja piktograficzna służy graficznemu przedstawianiu stanów wielocząstkowych. Dzięki swojej konstrukcji umożliwia badanie właściwości stanów poprzez analizę symetrii występującej na piktogramach i samopodobieństwu. Łącząc obie reprezentacje znaleźliśmy trzy klasy stanów grafowych, których piktogramy są samopodobne, a także posiadają pewne symetrie. Są to grafy liniowe, cykle oraz grafy pełne, zdefiniowane dla dowolnej liczby cząstek. Dodatkowo zaproponowaliśmy ograniczenia na entropię splątania wyżej wymienionych stanów grafowych. 3:7729917987 1

Spis treści Wstęp 3 1 Splątanie w układach wielocząstkowych 4 1.1 Splątanie w układach dwucząstkowych....................... 4 1.2 Splątanie w układach trój- i wielocząstkowych................... 5 2 Grafowa reprezentacja stanów kwantowych 7 2.1 Nielokalne bramki kwantowe............................. 7 2.2 Grafy i stany grafowe................................. 8 2.3 Podstawowe własności oraz przykłady........................ 10 2.4 Grafy trójwierzchołkowe............................... 11 2.5 Analiza grafów czterowierzchołkowych....................... 13 3 Piktograficzna reprezentacja stanów kwantowych 17 3.1 Wprowadzenie..................................... 17 3.2 Przykłady piktogramów............................... 18 3.3 Obrazowanie splątania kwantowego......................... 22 4 Połączenie reprezentacji 24 4.1 Piktogramy dla grafów N-linii stany L N..................... 24 4.2 Piktogramy dla grafów N-cykli stany C N.................... 26 4.3 Piktogramy dla grafów N-pełnych stany K N.................. 26 Podsumowanie 29 Bibliografia 30 Aneks I Miara Schmidta 31 Aneks II Niezmienniki czystych stanów 3-qubitowych 32 Aneks III k-jednorodne stany kwantowe i kwadraty łacińskie 34 4:3282265178 2

Wstęp Jednym z najbardziej fundamentalnych zjawisk, w których przejawia się mechanika kwantowa, jest splątanie. Główną cechą tego zjawiska jest występowanie nielokalnych korelacji pomiędzy składnikami układu, mające całkowicie odmienny charakter od przypadku klasycznego. Rozpatrzmy wielocząstkowy układ składający się z N cząstek, których stany należą do pewnych podprzestrzeni. Zgodnie z teorią klasyczną, stan całego układu będzie zawsze należeć do iloczynu kartezjańskiego tych podprzestrzeni. W teorii kwantowej, stan każdego z podukładów jest związany z przestrzenią Hilberta H (i). Tak więc cały układ będzie opisywany w przestrzeni będącej iloczynem tensorowym H = N i H (i). Dzięki zasadzie superpozycji możemy zapisać całkowity stan układu jako: k ψ = α j ψ (1) j ψ (2) j... ψ (N) j, j=1 gdzie α i C, a stany podukładów ψ (i) j H (i). Oczywistym jest, że nie zawsze możliwe będzie przedstawienie całego stanu układu jako pojedynczego wektora stanu (przypadek, gdy k = 1). Ogólnie przyjmuje się nazywać układ splątanym, gdy nie istnieje jego reprezentacja zawierająca tylko jeden iloczyn stanów poszczególnych podukładów. W praktyce używane są także macierze gęstości ρ = ψ ψ, pozwalające na wygodniejsze analizowanie zależności oraz korelacji pomiędzy podukładami. Układ jest splątany, jeśli jego macierz gęstości ρ nie jest wypukłą kombinacją stanów iloczynowych: ρ n j p j ρ (1) j ρ (2) j... ρ (N) j, gdzie ρ (i) j = ψ (i) j ψ (i) j, a p j R. Splątanie może występować jedynie w układach wielocząstkowych. Ze względu na liczbę cząstek w badanych układach możliwe są do wyznaczenia różne cechy charakterystyczne splątania. Przypadki dwucząstkowe zostały dobrze opisane a także zrozumiane, jednak dla trzech i więcej cząstek problemy znacznie się komplikują, co utrudnia lub uniemożliwia łatwą analizę i klasyfikację splątania. Celem niniejszej pracy jest próba zbadania splątania w wielocząstkowych stanach czystych przy pomocy reprezentacji graficznych. Obrazując poszczególne stany poprzez innego rodzaju obiekty możliwa staje się analiza oraz wyciągnięcie nowych wniosków. Wykorzystane zostały metody grafowa oraz piktograficzna 1. 1 Pierwotnie została ona nazwana przez jej autorów metodą qubistyczną (zob. [13]). Jednakże pozwoliliśmy sobie zmienić tę nazwę na piktograficzną, gdyż jak piktogramy służy wyrażeniu pewnego przekazu za pomocą prostych obrazów. 5:5227312213 3

Rozdział 1 Splątanie w układach wielocząstkowych 1.1 Splątanie w układach dwucząstkowych Dla dwucząstkowych stanów czystych najczęściej wykorzystywanym narzędziem w analizie splątania jest rozkład Schmidta 1. Każdy znormalizowany stan czysty ψ (AB) należący do przestrzeni H = H (A) H (B) możemy zapisać w formie rozkładu Schmidta 2 : ψ AB = k n=1 pn ψ n (A) ψ n (B), (1.1) gdzie stany ψ n (A) H (A) oraz ψ n (B) H (B) tworzą ortogonalne bazy odpowiednich przestrzeni, a współczynniki p n 0 i n p n = 1. Najmniejsza możliwa liczba k nazywana jest rzędem Schmidta ψ (AB). Zauważyć przy tym trzeba, iż różne stany mają różne rozkłady Schmidta, a także nie istnieje proste rozszerzenie rozkładu Schmidta na stany mieszane. Rozkład Schmidta pozwala na badanie splątania w układach dwucząstkowych. Stan ψ AB wtedy i tylko wtedy nie jest splątany, jeśli w rozkładzie Schmidta tylko jeden współczynnik p n jest niezerowy. Wynika stąd, że każdy stan, który posiada więcej niezerowych czynników jest splątany. Miarą splątania w takich układach może być entropia splątania, zdefiniowana jako: k E(ψ) = p n log p n, (1.2) n=1 gdzie p n są współczynnikami Schmidta. Entropia splątania zależy tylko od współczynników Schmidta, z czego wynika, że nie zależy od wyboru bazy i nie zmienia się pod wpływem lokalnych, unitarnych transformacji. Rozkład Schmidta związany jest z każdą miarą splątania, jaką możemy wprowadzić na układach dwucząstkowych. Jeśli d = dim H, a entropia splątania stanu wynosi E(ψ) = log d to stany takie nazywamy maksymalnie splątanymi. Przykładami takich stanów są stany Bella: Φ ± = 1 2 ( 00 ± 11 ), (1.3) Ψ ± = 1 2 ( 01 ± 10 ). (1.4) 1 Bywa on również nazywany bi-ortogonalnym lub polarnym. 2 Więcej informacji można znaleźć w [4]. 6:1064918647 4

Istotną obserwacją jest to, że zredukowany ślad po dowolniej z części stanów Bella równy jest macierzy jednostkowej: tr A ( Φ Φ ) = tr B ( Φ Φ ) = 1 2 1. (1.5) Oznacza to, że stan drugiej z cząstek jest maksymalnie zmieszany nie mamy o niej żadnej informacji. 1.2 Splątanie w układach trój- i wielocząstkowych W układach mających więcej niż dwie cząstki, splątanie może być znacznie bardziej skomplikowane, gdyż możemy rozważać częściową separowalność stanów. Inaczej mówiąc, układ może być zbudowany w taki sposób, że jedynie część cząstek będzie ze sobą splątana. To znakomicie rozszerza możliwości badania splątania, ale równocześnie uniemożliwia łatwą analizę nawet dość prostych przypadków. Problemem także staje się wyznaczenie miary splątania. W przypadku dwucząstkowym możliwe było to tylko i wyłącznie przy wykorzystaniu rozkładu Schmidta. Dla większej liczby cząstek istnieje wiele propozycji miar splątania, należą do nich: tangle 3, związany z hiperwyznacznikami tensorów, świadczący o tym ile cząstek w układzie jest splątanych; miara Schmidta 4, związana z uogólnionym rozkładem Schmidta lub miara geometryczna mówiąca o odległości do najbliższego stanu separowalnego. Jednak żadna z nich nie pozwala na bezwzględne rozstrzyganie o splątaniu, w każdym możliwym aspekcie. Ponadto wyznaczanie tych wielkości jest zadaniem trudnym obliczeniowo, nawet przy stosowaniu metod przybliżonych. W przypadku trzech qubitów cząstek o spinie 1/2, istnieją dwa bardzo ważne stany splątane. Pierwszym z nich jest stan 5 GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger) 6 : GHZ = 000 + 111, (1.6) a także stan W: W = 100 + 010 + 001. (1.7) Stanowią one jedyne dwa stany 3-qubitowe, które nie są dwuseparowalne, jednak o różnych własnościach. Nie istnieje lokalna, unitarna transformacja, pozwalająca na przejście pomiędzy nimi 7. Przykładową różnicą może być to, że dla stanu GHZ wszystkie 1-qubitowe stany zredukowane ρ A = tr BC (ρ GHZ ) = 1, (1.8) są maksymalnie zmieszane, co nie zachodzi dla stanu W. Oba stany można łatwo uogólnić na 3 Nazwa w języku angielskim. Choć istnieje odpowiednie tłumaczenie splątanie, poplątanie, wydaje nam się, że podawanie poplątania jako miary splątania nie jest odpowiednie. 4 Więcej informacji znaleźć można w Aneksie I. 5 Od tego miejsca, dla wygody zapisu, będziemy pomijać współczynniki normalizacyjne. 6 Stan ten został podany w pracy [2]. 7 Więcej informacji znaleźć można w pracy [3]. 7:5065850277 5

większą liczbę cząstek. Dla układu składającego się z N qubitów możemy zapisać: GHZ N = 0 N + 1 N, (1.9) W N = 100... 0 + 010... 0 +... + 00... 01. (1.10) Oczywiście istnieją także inne stany, które można łatwo wskazać w wielocząstkowych układach; niektóre z nich pojawią się w dalszej części pracy. Choć istnieją łatwe przepisy na uogólnienia trójcząstkowych stanów na układy wielocząstkowe, to ich analiza, podobnie jak ich właściwości, jest znacznie bardziej skomplikowana. Dlatego w badaniach nad splątaniem układów wielocząstkowych bardzo często próbuje się znaleźć reprezentacje pozwalające na badanie stanów przy wykorzystaniu innych obiektów. Wykorzystanie innych narzędzi często pozwala na odkrycie nowych, niezauważonych dotychczas cech badanych struktur. Z tego względu rozwijanie nowych, użytecznych reprezentacji jest bardzo istotną dziedziną badań splątania kwantowego. 8:4359203388 6

Rozdział 2 Grafowa reprezentacja stanów kwantowych 2.1 Nielokalne bramki kwantowe Na kwantowych odpowiednikach bitów, nazywanych qubitami 1, można wykonywać różnego rodzaju operacje. Podstawowy podział rozróżnia operacje lokalne, odpowiadające zmianie stanu tylko i wyłącznie jednego qubitu, oraz operacje nielokalne, których wynik zależy od stanu większej części układu niż pojedynczy qubit. Bramki działające na qubitach reprezentujemy przez macierze 2 k 2 k, gdzie k jest liczbą qubitów, na które działa dana bramka. Wszystkie te operacje muszą być unitarne. Do podstawowych bramek lokalnych należą bramki Pauliego, odpowiadające różnym obrotom sfery Blocha o kąt π wokół odpowiednich osi. Na przykład bramka X, odpowiada klasycznej bramce negacji NOT. Kolejną bramką lokalną jest bramka Hadamarda zdefiniowana jako: H = 1 1 1. (2.1) 2 1 1 Macierz reprezentująca bramkę Hadamarda zapisaliśmy w bazie obliczeniowej, to znaczy { 0, 1 }. Działając bramką H na stany bazowe otrzymujemy wyniki: H 0 = 1 2 ( 0 + 1 ) = +, (2.2) H 1 = 1 2 ( 0 1 ) =. (2.3) Kolejną ważną ogólną bramką jest bramka zmiany fazy, której działaniem jest pozostawienie stanu 0 bez zmiany, natomiast odwzorowania stanu 1 na e iφ 1. W języku macierzowym przestawiana jest jako: R φ = 1 0. (2.4) 0 e iφ Bramki nielokalne są bardziej skomplikowane. Do podstawowych należą wszystkie bramki kontrolowane oraz bramka SWAP, która zamienia stany określonych qubitów. Najważniejszą bramką kontrolowaną jest CNOT (Controlled NOT ), której działanie wykorzystuje bit roboczy oraz bit kontrolny. Jeśli bit kontrolny jest w stanie 1, to na drugi z qubitów (bit roboczy) działamy operacją NOT. Mając do dyspozycji 2 qubity możemy skonstruować 4 stany bazowe. 1 Jeśli kwantowe bity mogą przyjmować d stanów, nazywane są quditami. Dla d = 3 i d = 4 mówimy o qutrytach i qukwartach (nazwy spolszczone przez autora). 9:1033007632 7

Jeśli przyjmiemy, że pierwszy z qubitów jest bitem kontrolnym, a drugi roboczym, to macierz reprezentująca bramkę CNOT będzie wyglądać następująco: 00 00 01 01 10 11 11 10 1 0 0 0 0 1 0 0 U CNOT = 0 0 0 1 0 0 1 0 (2.5) Jeśli natomiast bitem kontrolnym będzie drugi qubit, a roboczym pierwszy, to postać bramki ulegnie zmianie: 1 0 0 0 0 0 0 1 U CNOT =. (2.6) 0 0 1 0 0 1 0 0 Ogólnie jeśli rozpatrzymy dowolną bramkę (unitarną): X = x 00 x 01, (2.7) x 10 x 11 to bramka kontrolowana U CX będzie miała postać blokową. Jeśli założymy, że bit kontrolny i bit roboczy są w takiej samej kolejności, jak dla pierwszej bramki CNOT, to U CX będzie mogła być zapisana jako: 1 0 0 0 0 1 0 0 U CX =. (2.8) 0 0 x 00 x 01 0 0 x 10 x 11 Najważniejszą cechą bramek kontrolowanych jest to, że zamiana kolejności bitów zazwyczaj całkowicie zmienia ich postać. Dla konstrukcji stanów grafowych najważniejszą jest bramka CZ (Controlled Z ). Jej szczególną cechą jest symetria ze względu na zamianę bitów kontrolnego i roboczego. Ma ona postać diagonalną z pierwszymi trzema 1 i ostatnią 1. Jej działanie można zapisać jako U CZ j k = ( 1) j k j k, (2.9) gdzie indeksy j i k przyjmują wartości 0 lub 1. Dzięki takiemu przedstawieniu w sposób oczywisty widać wspominaną symetrię. 2.2 Grafy i stany grafowe Pojęcie grafu pochodzi z matematyki i z pewnością wszystkim jest dobrze znane. Jednak dla przypomnienia oraz ujednolicenia oznaczeń przedstawimy podstawowe definicje związane z grafami. W najprostszym ujęciu graf składa się z wierzchołków oraz krawędzi je łączących. Na 10:8400652374 8

płaszczyźnie wierzchołki reprezentowane są przez punkty, natomiast krawędzie przez krzywe. W pracy będziemy wykorzystywać nieskierowane grafy proste, czyli takie, w których nie ma pętli oraz wielokrotnych krawędzi. Ujmując matematycznie powyższe cechy, grafem G nazywamy parę G = (V, E), (2.10) gdzie zbiór V N nazywany jest wierzchołkami, a zbiór E [V ] 2 krawędziami. Zbiór E składa się z par elementów należących do V, pomiędzy którymi istnieje krawędź, bez wyróżniania żadnego z nich (graf jest nieskierowany) 2. Dla każdego grafu G opisywanego przez definicję (2.10) możemy stworzyć macierz sąsiedztwa Γ G. Określa ona to, które z wierzchołków są połączone. Jeśli V = {a 1, a 2,..., a N } to Γ G jest symetryczną macierzą o wymiarach N N. Elementy macierzy są zdefiniowane następująco: 1 jeśli {a i, a j } E (Γ G ) ij = (2.11) 0 w przeciwnym przypadku Kolejną definicją jest sąsiedztwo wierzchołka a. Jest to zbiór N a V, którego elementami są wierzchołki połączone krawędziami z a. Precyzyjniej ujmując: N a = {b {a, b} E}. (2.12) Z każdym grafem G = (V, E) możemy związać pewien stan czysty 3 należący do przestrzeni H V = (C 2 ) V. Każdemu wierzchołkowi przypisujemy qubit. Wierzchołkowi a możemy przypisać także operator hermitowski K (a) G lub wykorzystując definicję sąsiedztwa N a : K (a) G = σ (a) x b V = σ (a) x ( ) σ (b) Γab z. (2.13) b N a σ (b) z, (2.14) Przez oznaczenie σ (a) i rozumiemy operator Pauliego, działający na qubit numerowany przez wierzchołek a. Dla każdego grafu G mającego N wierzchołków, mamy N tego typu operatorów. Są one niezależne oraz komutują. Zgodnie z mechaniką kwantową zbiór operatorów {K (a) G } a V definiuje zbiór komutujących obserwabli opisujących układ qubitów, związanych z wierzchołkami V. Operatory te mają wspólną bazę wektorów własnych, nazywanych stanami grafowymi, które stanowią bazę przestrzeni H V. Dla wygody wybieramy tylko jeden z stanów grafowych, któremu odpowiada wartość własna równa jedności: K (a) G G = G. (2.15) 2 Bardziej szczegółowe informacje o grafach można znaleźć w podręczniku o grafach [12]. 3 Przedstawiamy tu tylko fragment teorii zawartej w pracy [7]. 11:7724031107 9

Istnieje też wygodniejsza metoda wyznaczania stanów grafowych G. Polega ona na zadziałaniu kompletem operatorów unitarnych dla stan początkowy określony jako + V ; stan ten jest kombinacją wszystkich stanów bazowych dla danej liczby qubitów. Stan G możemy zapisać jako: G = U {a,b} + V, (2.16) {a,b} E gdzie + dany jest wzorem (2.2). Operator U {a,b} związany z wierzchołkami a i b, dla qubitów jest bramką CZ: 1 0 0 0 U {a,b} 0 1 0 0 =. (2.17) 0 0 1 0 0 0 0 1 Ze względu na symetrię tej bramki, krawędzie grafu nie muszą być skierowane. Ponadto kolejność działania operatorami związanymi z różnymi krawędziami nie powoduje otrzymania innego stanu grafowego. Dzięki temu możliwa jest tak prosta reprezentacja stanów przez nieskierowane grafy proste. Dwa stany kwantowe mogą okazać się równoważne po wykonaniu pewnych lokalnych unitarnych operacji. Dwa grafy G(E, V ) oraz G (E, V ) różniące się zbiorem krawędzi nazywamy LU-równoważnymi jeśli istnieje lokalne, unitarne odwzorowanie U takie, że: G = U G. (2.18) Należy jednak zwrócić uwagę na to, że LU-równoważność grafów jest różna od równoważności grafów rozumianej matematycznie 4. 2.3 Podstawowe własności oraz przykłady Przy omawianiu stanów grafowych należy zwrócić uwagę na to, jak niewielką liczbę stanów obejmują. Po pierwsze służą one do obrazowania jedynie stanów czystych, które tworzą zbiór o znacznie mniejszym wymiarze od zbioru stanów mieszanych. Po wtóre, stany grafowe przedstawiają jedynie kombinacje wszystkich stanów bazowych z współczynnikami liczbowymi ±1. Dla N qubitów mamy łącznie 2 N stanów bazowych, więc wszystkich stanów grafowych może być co najwyżej 5 2 2N. Jeśli jednak popatrzymy na liczbę możliwych stanów od strony budowy grafu to stwierdzimy, że liczba ta jest całkowicie inna. Liczbę grafów, a więc także stanów grafowych 6, możemy wyznaczyć w następujący sposób: z N wierzchołków wybieramy 2 i ustalamy, czy pomiędzy nimi istnieje krawędź. Daje to całkowitą liczbę grafów równą 2 (N 2). Przykładowo dla N = 3 liczbę grafów, jaką otrzymamy, to 2 3 = 8. Wcześniejsze rozważania doprowadziłyby nas do wniosku, że jest ich 2 8. Należy jeszcze zastanowić się nad tym, czy pewne zmiany w grafach prowadzą nas do innych fizycznie wyników. Jeśli rozpatrzymy graf składający się 4 Grafy są matematycznie równoważne, jeśli istnieje permutacja wierzchołków pozwalająca na otrzymanie równych (takich samych) grafów. Zob. [12]. 5 Nie uwzględniamy tego, że niektóre stany są sobie równoważne po przemnożeniu przez 1. 6 W tym rachunku nie uwzględniamy LU-równoważności. 12:5508714917 10

z 3 wierzchołków z jedną tylko krawędzią, to możemy otrzymać łącznie 3 takie grafy. Jednak numeracja wierzchołków reprezentujących qubity nie ma wpływu na splątanie badanego stanu. Poza opisaną sytuacją mogą także występować grafy, które są LU-równoważne. Z tego względu najważniejszym zadaniem i problemem przy badaniu stanów grafowych jest wyznaczanie klas grafów prowadzących do takich samych rodzajów splątania. Ze względu na konstrukcję jaka została przedstawiona powyżej, krawędź pomiędzy dwoma wierzchołkami można traktować jako pewnego rodzaju nielokalne oddziaływanie. Niekoniecznie oznacza to wprowadzanie splątania do układu. Można wysnuć odwrotny wniosek: jeśli pewien wierzchołek nie będzie przyłączony do reszty grafu, to z pewnością nie będzie splątany z pozostałymi qubitami. Oznacza to, że stan będzie separowalny. 2 1 Rys. 2.1. Graf przedstawiający stan Bella Graf znajdujący się na rysunku 2.1 odpowiada dwóm qubitom, pomiędzy którymi istnieje oddziaływanie (przypadek bez krawędzi jest trywialny). Wyliczony stan kwantowy odpowiadający temu grafowi 7 to Ψ 2 = 00 + 01 + 10 11. (2.19) Okazuje się, że po wykonaniu lokalnych operacji 1 H (gdzie H zadane jest wzorem (2.1)) powyższy stan sprowadza się do stanu Bella. Niestety ujawnia się tutaj pewna niewygodna cecha reprezentacji grafowej zawsze otrzymujemy kombinację wszystkich stanów bazowych dla danej liczby qubitów. Względem stanu + N zmieniają się współczynniki przy tylko niektórych składnikach. To utrudnia analizę 8 stanów dla dużych N, gdyż problem upraszczania stanów sprowadza się do wyznaczania miary Schmidta. 2.4 Grafy trójwierzchołkowe Jak powyżej wspomnieliśmy, istnieje 8 grafów trójwierzchołkowych. Jednak po odrzuceniu tych, które różnią się jedynie permutacją wierzchołków 9, pozostają tylko 4 różne grafy. Pierwszy z nich, nie zawierający żadnych krawędzi jest trywialny, a odpowiada mu stan całkowicie separowalny. Kolejnym grafem, jaki zanalizujemy, jest graf przedstawiony na rysunku 2.2. Warto zwrócić uwagę, że jest to graf z rysunku 2.1, do którego dołożono wierzchołek, natomiast nie połączono go do reszty grafu. Zgodnie z podaną wcześniej intuicją, spodziewanym wynikiem powinien być 7 Kolejność cząstek w stanach odpowiada numeracji wierzchołków. 8 Przypominamy, całkowita liczba stanów bazowych rośnie wykładniczo z N. 9 Są równoważne w sensie matematycznym. 13:9386857127 11

3 1 2 1 2 3 Rys. 2.2. Graf przedstawiający stan Bella z separowalnym qubitem Rys. 2.3. Graf przedstawiający stan GHZ stan lokalnie równoważny stanowi 10 Bell 0. Wynikiem działania odpowiednich bramek na stan początkowy jest Ψ 3 = 000 + 001 + 010 + 011 + 100 + 101 110 111. (2.20) Rzeczywiście, wykonując operacje lokalne, możemy przedstawić go jako stan Bell 0. Ze względu na to, że operacje te nie są trudne do wyznaczenia, nie będziemy ich tutaj podawać. Graf znajdujący się na rysunku 2.3 posiada wszystkie wierzchołki połączone w jedną strukturę. Spodziewać się zatem można znalezienia dość dużego splątania w układzie. Otrzymany stan to Φ 3 = 000 + 001 + 010 011 + 100 + 101 110 + 111. (2.21) Podobnie jak wcześniej, wykonując operacje lokalne, możemy sprowadzić powyższy stan do struktury, która jest znana. Tym razem jest to stan GHZ: 000 + 111. 3 1 2 Rys. 2.4. Graf przedstawiający stan GHZ, inaczej niż na rys. 2.3 Ostatnim grafem trójwierzchołkowym, który pozostał nam do zanalizowania jest graf pełny K 3 (rys. 2.4). W intuicyjnej interpretacji przedstawia oddziaływanie każdej cząstki z każdą. 10 Przez ket Bell rozumiemy dowolny stan ze stanów Bella (zob. równania (1.3) i (1.4)). 14:1519730597 12

Uzyskany stan to: K 3 = 000 + 001 + 010 011 + 100 101 110 111. (2.22) Po wykonaniu tych samych operacji lokalnych, co w przypadku stanu z grafu 2.3, otrzymuje się stan K 3 = 000 + 011 + 101 110, (2.23) który z pozoru nie przypomina żadnego dobrze znanego stanu trójcząstkowego. Jednak wykorzystując fakt badania stanów czystych możemy przeprowadzić analiza wykorzystującą niezmienniki 3-qubitowych stanów czystych (zob. Aneks II). Wyliczając wartości niezmienników dla tego stanu stwierdzono, że wykazuje on ten sam typ splątania co stan GHZ. Jest to bardzo ważny wynik, gdyż oznacza, że w reprezentacji grafowej w ogóle nie ujawnia się stan W. Podsumowując: dla grafów trójwierzchołkowych możemy wyodrębnić tylko dwie klasy splątania oraz stan całkowicie separowalny. Jedną z nich jest odpowiadająca stanowi GHZ, natomiast druga jest separowalna, gdzie jedna z cząstek nie jest splątana z resztą układu. 2.5 Analiza grafów czterowierzchołkowych W przypadku czterech qubitów mamy łącznie 2 6 = 64 grafy. I w tym przypadku możemy wykorzystać to, że niektóre grafy są równoważne. Daje nam to w sumie 11 klas równoważnych grafów 11. Podobnie jak wcześniej, jednym z grafów jest graf pusty odpowiadający stanowi całkowicie separowalnemu. Grafy mające jedną lub dwie krawędzie przedstawione zostały na rysunkach 2.5 oraz 2.6. Ze względu na wcześniej przeprowadzone rozważania można od razu stwierdzić, że związane są one ze stanami Bella oraz GHZ. Graf z jedną krawędzią odpowiada stanowi Bella z dołączonymi dwoma separowalnymi qubitami, natomiast kolejny stanowi GHZ wraz z jednym separowalnym qubitem. Analogicznie, gdybyśmy rozpatrzyli graf 2.4 z jednym dodatkowym wolnym wierzchołkiem, otrzymany stan kwantowy odpowiadałby (równoważność lokalna) stanowi wyznaczonemu wcześniej z dodatkową separowalną cząstką: Φ 4 = ( 000 + 011 + 101 110 ) 0. (2.24) Kolejnymi interesującymi przypadkami są linia oraz cykl 12. W przypadku 3-qubitowym stany otrzymane z takich grafów były stanem GHZ. Ciekawym wnioskiem była równoważność tych grafów. Rozważane przypadki grafów 4-wierzchołkowych znajdują się na rysunkach 2.7 oraz 2.8. Obliczony stan kwantowy dla linii to L 4 = 0000 + 0001 + 0010 0011 + 0100 + 0101 0110 + 0111 + + 1000 + 1001 + 1010 1011 1100 1101 + 1110 1111. (2.25) 11 W matematycznym rozumieniu równoważności grafów. 12 W dalszej części pracy do określania trzech szczególnych typów grafów jakimi są linia, cykl oraz graf pełny będziemy używali określeń 3-linia, 3-cykl oraz 3-pełny. W ogólnym przypadku dla N wierzchołków: N-linia, N-cykl oraz N-pełny. 15:2676850253 13

3 2 1 4 4 1 2 3 Rys. 2.5. Graf przedstawiający stan Bella z dwoma separowalnymi qubitami Rys. 2.6. Graf przedstawiający stan GHZ z separowalnym qubitam Po przekształceniach lokalnych otrzymujemy uproszczoną postać: L 4 = 0000 + 0111 + 1100 + 1011. (2.26) Podobnie stan związany z cyklem to: C 4 = 0000 + 0001 + 0010 + 0011 + 0100 0101 0110 + 0111 + + 1000 1001 1010 + 1011 + 1100 + 1101 + 1110 + 1111, (2.27) a po lokalnych przekształceniach: C 4 = 0000 + 0111 + 1100 + 1011. (2.28) 4 4 1 3 1 3 2 2 Rys. 2.7. Linia 4-wierzchołkowa Rys. 2.8. Cykl 4-wierzchołkowy 16:6140992603 14

Okazuje się, że stany kwantowe odpowiadające tym grafom są takie same. Zatem otrzymaliśmy podobną własność jak grafów 3-wierzchołkowych, w których linia oraz cykl były LUrównoważne. Warto jednak zauważyć, że nie otrzymaliśmy odpowiednika stanu GHZ dla 4- qubitów. Wybrane przedstawienie cyklu (graf 2.8) nie jest przypadkowe. Choć fizycznie zamiana kolejności cząstek nie powinna zmienić rodzaju splątania występującego w układzie, to może bardzo skomplikować wykazywanie równości stanów. W tym przypadku wystarczyło jedynie kilka przekształceń lokalnych. Ogólnie należałoby odwołać się do odpowiednich niezmienników splątania dla układów 4-qubitowych. Z tego względu także trudno pokusić się o stwierdzenie, że dla każdej liczby cząstek linia oraz cykl będą prezentowały stany o jednakowym splątaniu. 4 1 3 2 Rys. 2.9. 4-wierzchołkowy graf pełny Ostatnim grafem, jaki rozważamy w tej części, jest 4-wierzchołkowy graf pełny K 4 (rys. 2.9). Dla grafów 3-wierzchołkowych graf pełny oraz cykliczny były takie same. Graf ten posiada znacznie więcej krawędzi, niż poprzednie, które rozważano. Biorąc pod uwagę interpretację mówiącą o tym, że każda krawędź jest pewnym oddziaływaniem nielokalnym pomiędzy qubitami, można sądzić, że stan taki będzie posiadać bardzo duże splątanie. Jednak pewien nadmiar 13 krawędzi może także nie prowadzić do zwiększenia splątania całego układu. Dodatkowe krawędzie implikują zmiany znaku przy stanach tworzących bazę, można więc łatwo sobie wyobrazić, że pewne ustawienia krawędzi mogą praktycznie znosić swoje działanie. Wyliczony stan dla 4-wierzchołkowego grafu pełnego to K 4 = 0000 + 0001 + 0010 0011 + 0100 0101 0110 0111 + + 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 + 1111. (2.29) Wykonanie odpowiednich transformacji lokalnych prowadzi do interesującego wyniku: K 4 = 0 ( 000 + 011 + 101 110 ) 1 ( 111 + 100 + 010 001 ). (2.30) 13 Nie podejmujemy się w tym miejscu dokładniejszej analizy tego stwierdzenia. 17:1058598327 15

Pierwszą obserwacją jest to, że pierwsze cztery wyrazy (lewa część stanu) i kolejne cztery (prawa część stanu) są do siebie podobne. Gdyby na jedną z części zadziałano operacją X otrzymano by drugą część. Kolejna ciekawa własność tego stanu polega na tym, że wyrazy znajdujące się w lewym nawiasie odpowiadają dokładnie stanowi uzyskiwanemu z pełnego grafu 3-wierzchołkowego. Jeśliby zdefiniować K 3 = X K 3, gdzie K 3 przedstawione jest wzorem (2.23), rozważany tutaj stan można zapisać jako: K 4 = 0 K 3 1 K 3. (2.31) 18:4135364885 16

Rozdział 3 Piktograficzna reprezentacja stanów kwantowych 3.1 Wprowadzenie Jeśli rozpatrzymy układ dwóch qubitów, to stany bazowe będą dane jako: 00, 01, 10 oraz 11. Możemy podzielić kwadrat jednostkowy na cztery pola, którym przypiszemy odpowiednie stany bazowe, zgodnie z regułą 1 : 00 lewy górny róg, 01 prawy górny róg, 10 lewy dolny róg, 11 prawy dolny róg. W ten sposób otrzymujemy kwadrat pierwszego poziomu. Każdy z otrzymanych tak kwadratów (zob. rys. 3.1) możemy znów podzielić na cztery mniejsze, odpowiednio konstruując stany. W ten sposób otrzyma się kwadrat posiadający 16 pól, każde odpowiadające jednemu ze stanów z bazy czterech qubitów (zob. rys. 3.2). Każdy z mniejszych kwadratów nazywamy kwadratem drugiego poziomu. 00 01 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 10 11 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Rys. 3.1. Mapa dla dwóch qubitów Rys. 3.2. Mapa dla czterech qubitów Procedurę dzielenia kwadratów na mniejsze można wykonywać iteracyjnie, otrzymując kwadrat o wymiarze 2 N/2 2 N/2, gdzie N jest liczbą rozpatrywanych qubitów. Po k-tym podziale na mniejsze części, nazywamy je kwadratami k-tego poziomu. Warto zauważyć, że N musi być parzyste. Jeśli N jest nieparzyste, to możliwe jest wpisanie stanów bazowych do prostokąta (zob. rys. 3.3), lecz konstrukcja przebiega nieco inaczej 2. 1 Przedstawiamy tu tylko fragment rozważań zawartych w pracy [13], a także dysertacji doktorskiej [14]. 2 Należy rozszerzać stany bazowe pionowo oraz poziomo, na przemian. 19:1815246294 17

000 010 00 01 02 001 011 10 11 12 100 110 101 111 20 21 22 Rys. 3.3. Mapa dla trzech qubitów Rys. 3.4. Mapa dla dwóch qutrytów Otrzymane w ten sposób podziały kwadratu (bądź prostokąta) pozwalają na wygodną reprezentację stanów kwantowych. Należy odpowiednim polom przypisać skalę szarości (nie biorąc pod uwagę fazy), lub dwa kolory (co pozwala na uwzględnienie fazy). Intensywność koloru określa wielkość modułu współczynnika stojącego przy odpowiednim stanie bazowym. Brak koloru lub kolor biały oznacza zerowanie się takiego współczynnika. Oczywiście możliwe jest także stosowanie tego schematu dla quditów cząstek przyjmujących d różnych stanów. Załóżmy, że stany qutrytów to 0, 1 oraz 2. W takim przypadku początkowa mapa dla dwóch cząstek będzie miała 9 pól, w odróżnieniu od 4 dla dwóch qubitów. Schemat takiej mapy znajduje się na rysunku 3.4. Na rysunku można zauważyć, że blok 2 2 od lewego górnego rogu jest dokładnie taki sam jak mapa dwuqubitowa (rys. 3.1). Całość schematu można rozszerzać na większe liczby cząstek otrzymując mapy 3 N/2 3 N/2, gdzie N jest liczbą qutrytów. Podobnie można stosować tę procedurę dla dowolnych quditów tworząc coraz bardziej złożone mapy. Istnieją także innego rodzaju odwzorowania. Różnią się one ułożeniem podstawowych stanów dla 2 cząstek lub kształtem mapy. Przykładem mogą być mapy trójkątne polegające na podziale trójkąta na trójkąty podobne i odpowiednie wpisywanie stanów bazowych do otrzymanego schematu. Najważniejszą cechą opisywanych tutaj odwzorowań graficznych jest wykorzystywanie samopodobieństwa w konstrukcjach map. Kwadraty dzielone są na coraz mniejsze kwadraty, a trójkąty na trójkąty podobne. Dzięki temu zwiększając liczbę cząstek otrzymuje się ciekawą fraktalną strukturę mapy, co bezpośrednio przenosi się na wyniki piktograficznego przedstawiania stanów kwantowych. Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że pewne cechy związane z samopodobieństem zauważalne są dopiero przy odpowiednio dużej liczbie cząstek. 3.2 Przykłady piktogramów Ze względu na to, że dla parzystych liczb cząstek piktogramy są kwadratowe, co podnosi graficzność prezentacji wyników, w niniejszej pracy będziemy rozważać tego typu układy. Umożliwi to łatwą obserwację symetrii oraz samopodobieństwa. Poniżej przedstawiliśmy 3 proste przykłady ukazujące pewne ważne cechy takiej reprezentacji. 3 Wszystkie piktogramy przedstawione w pracy stworzyliśmy opierając się na kodzie w Mathematice dostępnym na stronie [15]. 20:6863786735 18

Na rysunku 3.5 ukazaliśmy stany z czterema qubitami. Pierwszy z nich to stan 0000. Kolejne dwa to odpowiednio uogólniony stan GHZ 4 dla czterech qubitów 0000 + 1111 oraz uogólniony stan W 4 : 1000 + 0100 + 0010 + 0001. Można zauważyć, że dla dowolnej liczby cząstek uogólniony stan GHZ będzie reprezentowany jedynie przez zakolorowane pola odpowiednio w lewym górnym i prawym dolnym rogu. Podobnie, dla uogólnionych stanów W, wszystkie zakolorowane pola będą leżeć wzdłuż brzegów mapy (niekoniecznie połączone). Ostatnim ze stanów ukazanych na rysunku 3.5 jest stan 1-jednorodny 4 dla 4 qubitów: φ 4 = 0000 + 0011 + 0101 + 0110 + 1001 + 1010 + 1100 + 1111. (3.1) Analizując powyższe przykłady można zaobserwować jak na otrzymywanych obrazach zaczynają powstawać pewnego rodzaju symetrie, zależności i podobieństwa. (a) pojedynczy stan 0000 (b) stan GHZ 4 (c) stan W 4 (d) stan φ 4 Rys. 3.5. Proste przykłady reprezentacji piktograficznej W wyżej wymienionych przykładach stany nie różniły się w żaden sposób fazą. Jednak jeśli tak jest, należy wykorzystać także drugi kolor. Przyjmujemy, że kolor czerwony (ciepły) oznacza znak dodatni czynnika fazowego, natomiast niebieski (zimny) znak ujemny. Na rysunku 3.6 pokazany został stan ψ 4 = 0000 + 0011 0101 0110 1001 1010 + 1100 + 1111. (3.2) Występowanie samopodobieństwa oraz bardziej złożonych struktur na piktogramach znacząco zależy od liczby cząstek w układzie. Liczba pól na mapie rośnie wykładniczo z N, więc dla N = 2 lub 4 pól jest zdecydowanie za mało. Ciekawe struktury oraz zachowania fraktalne 4 Stan ten był użyty w pracy [16]. 21:6405955191 19

Rys. 3.6. Stan ψ 4 możemy obserwować dopiero wtedy, gdy możliwe jest wyodrębnienie kwadratów wyższego poziomu. Rozważmy przykład dla N = 12 qubitów. Na rysunku 3.7 znajdują się reprezentacje dwóch stanów iloczynowych. Zdefiniowane są one następująco: I N = (α 0 + β 1 ) N. (3.3) W poniższych przykładach α = 3/5 oraz β = ±4/5. Ważną cechą tych stanów jest to, że z założenia są one faktoryzowalne. Bardzo łatwo zauważyć, że obrazy dzielą się na mniejsze podobrazy o bardzo podobnym wyglądzie. Dokładnie rzecz ujmując wszystkie kwadraciki k-tego poziomu wyglądają tak samo, jeśli znormalizuje się intensywność koloru. Wniosek ten jest bardzo ważny, powrócimy do niego w części dotyczącej splątania. Gdyby α = β otrzymalibyśmy jednorodnie zakolorowany obraz, przy każdym stanie bazowym mielibyśmy taki sam współczynnik liczbowy. (a) α/β = 3/4 (b) α/β = 3/4 Rys. 3.7. Stany iloczynowe dla N = 12 cząstek Ostatnim przykładem dla qubitów są tak zwane stany Dicke a 5 wypełnione w połowie. Ogólnie, stany Dicke a są kombinacją liniową wszystkich stanów bazowych posiadających n wzbudzeń. Przez wzbudzenie rozumiemy qubit w stanie 1. W naszym przypadku wybieramy 5 Zob. praca [1]. 22:1000570695 20

(a) N = 4 (b) N = 6 (c) N = 8 (d) N = 10 Rys. 3.8. Stany Dicke a wypełnione w połowie dla różnych liczb cząstek n = N/2. Liczbę składników wyznacza symbol Newtona N. N/2 Przykładowo, dla N = 4 stan Dicke a składa się z 6 elementów: D 4 = 0011 + 1010 + 1001 + 0110 + 0101 + 0011. (3.4) Konstrukcja ta wydaje się być bardzo prosta. Na rysunku 3.8 przedstawione zostały stany Dicke a dla różnych liczb qubitów. Pierwszy oraz drugi rysunek (N = 4 lub 6) nie wydają się w żaden sposób wyjątkowe. Jednak rysunki dla kolejnych N ukazują fraktalną strukturę otrzymywanych obrazów. Podobnie, jeśli n będzie miało inną wartość, wykonane piktogramy będą posiadały cechy struktury fraktalnej. Jednak w zależności od tego jakiego rodzaju ułamek całkowitej liczby cząstek stanowi n, struktury ujawnią się dopiero dla wyższych liczb cząstek. Warto zauważyć, że w używanej tutaj reprezentacji stany ferromagnetyczne wszystkie qubity w stanie 0 (spin w dół) lub wszystkie w stanie 1 (spin w górę) znajdują się w lewym górnym rogu lub prawym dolnym rogu. Analogicznie, stany antyferromagnetyczne (stany z naprzemiennie ułożonymi spinami), znajdują się w lewym dolnym i prawym górnym rogu. We wstępnie zaznaczyliśmy, że możliwe jest wykorzystywanie tej metody odwzorowywania stanów opisujących np. qutryty. Poniżej przedstawiamy stan Ψ 4 3 = 0000 + 0112 + 0221 + 1011 + 1120 + 1202 + 2022 + 2101 + 2210. (3.5) 23:4997037108 21

Rys. 3.9. Stan Ψ 4 3 powiązany z łamigłówką Sudoku Jest to stan 2-jednorodny 6 dla czterech qutrytów. Ma on bardzo szczególną cechę. Do jego konstrukcji wykorzystuje się kwadrat greko-łaciński 7 o wymiarach 3 3, przyjmujący wartości ze zbioru {0, 1, 2} {0, 1, 2}. Każdemu elementowi w kwadracie greko-łacińskim można przypisać położenie wykorzystując indeksy {0, 1, 2} {0, 1, 2}. Z tego względu każdy składnik stanu ma unikalne dwa człony. W języku reprezentacji piktograficznej pierwszy człon, złożony z stanów pierwszych dwóch cząstek, decyduje o tym, w którym kwadracie pierwszego poziomu zostanie umieszczony kolor. Stany dwóch kolejnych cząstek określają położenie wewnątrz kwadratu pierwszego poziomu. Dzięki temu, że żadna z tych dwóch współrzędnych się nie powtarza, zaznaczone pola po złożeniu do jednego, wybranego kwadratu pierwszego poziomu wypełniłyby go całkowicie. Można zauważyć także, że mapa ma wymiary 9 9, a wybrane pola odpowiadają wpisaniu jednej liczby w japońską łamigłówkę Sudoku. 3.3 Obrazowanie splątania kwantowego Najciekawszą właściwością piktograficznego przedstawienia stanów kwantowych jest możliwość zaobserwowania splątania w układzie. Uprzedzając dalsze rozważania, chcemy podkreślić słowo zaobserwowanie. Nie zostanie tutaj podana szczegółowa miara splątania układów wielocząstkowych przy wykorzystaniu piktogramów, a jedynie pewne ograniczenie na entropię splątania. Stan układu możemy zawsze rozseparować na część lewą L oraz prawą P. Lewa część będzie związana z pierwszymi 2k cząstkami (od 1 do 2k), a prawa z pozostałymi (od 2k + 1 do N). Wartość k jest dowolna. Wykorzystując rozkład Schmidta 8 możemy zapisać: r Ψ = λ i ψi L ψi R, (3.6) i=1 bazy, do których należą ψ L i oraz ψ R i są ortonormalne, λ i są współczynnikami Schmidta, natomiast r jest rzędem rozkładu Schmidta. Wielkość r może być traktowana jako miara splątania 6 Stan ten pochodzi z pracy [16]. 7 Szczegóły konstrukcji oraz dokładniejsze właściwości umieszczone zostały w Aneksie III. 8 Zob. [4]. 24:8603231061 22

układu gdy r = 1, układ jest faktoryzowalny. Ogólnie, entropia splątania układu nie może być większa od log(r). W reprezentacji piktograficznej część lewa stanów odpowiada podziałowi w większej skali, natomiast część prawa mniejszej. Niech { x } będzie przestrzenią Hilberta lewej części. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że cząstkami jakie badamy są qubity. Jeśli k = 1, to { x } = { 00, 01, 10, 11 }. Możemy łatwo stwierdzić, że elementom zbioru { x }, związanym z qubitami od 1 do 2k, odpowiada pierwsze k podziałów na ćwiartki. Jeśli podzielimy piktogram na macierz o wymiarach 2 k 2 k kwadratów, to każdemu z nich będziemy mogli przypisać jeden element ze zbioru { x }. Każdą z takich części oznaczamy przez x. Możemy rozpisać lewą część stanu wykorzystując zbiór { x }: ψ L i = x ψ L ix x. (3.7) Dalej, każdy stan prawy ψi R może zostać wrysowany do kwadratów k-tego poziomu, wykorzystując standardową procedurę. Każdy taki obraz oznaczamy przez R i. Wstawiając równanie (3.7) do rozkładu Schmidta (3.6) możemy wyznaczyć część obrazu całego stanu w ćwiartce x: r C(x) = λ i ψixr L i. (3.8) i=1 Najważniejszym wnioskiem z powyższego równania jest stwierdzenie, że dla każdej części k- tego poziomu obraz jest kombinacją liniową r piktogramów związanych z prawą częścią stanu z różnymi wagami. Oznacza to, że rząd rozkładu Schmidta dla pewnego podziału stanu na część lewą i prawą, ma bezpośredni związek z wymiarem podprzestrzeni rozpiętej przez kwadraty k- tego poziomu. To pozwala nam na oszacowanie entropii splątania badanego stanu. Jeśli na poziomie kwadratów k-tego poziomu znajduje się p różnych kwadratów, to blok pierwszych 2k qubitów ma rząd rozkładu Schmidta mniejszy bądź równy p, a więc entropia splątania S jest mniejsza bądź równa od log(p). Przykładowo, jeśli wszystkie podobrazki są takie same, to r = 1, a układ jest separowalny, tak jak widoczne było to dla stanów iloczynowych I N, danych równaniem (3.3). Ze względu na konstrukcję tego rozumowania, aby znaleźć dokładną wartość rzędu r, należałoby znaleźć liczbę poszczególnych podstawowych cegiełek dla każdej skali. Jednak, z reguły, jest to trudne do wykonania wizualnie. Za przykład posłuży analiza stanów znajdujących się na rysunku 3.5. W przypadku pierwszego stanu, w kwadracie pierwszego poziomu znajduje się tylko jedno zamalowane pole, z tego względu r = 1, a entropia splątania S = 0. Jest to wynik poprawny, gdyż stan ten jest całkowicie separowalny. W przypadku GHZ 4 w kwadratach pierwszego poziomu mamy dwa różne podobrazy, r = 2, zatem S 1. W przypadku stanu GHZ 4 S = 1. Podobnie w przypadku stanu W 4 możemy wydzielić dwa różne podobrazy. Jeśli zwrócimy uwagę na stan Dicke a D 4 (rysunek 3.8), to zobaczymy tam 3 różne podstawowe obrazki. Nasze oszacowanie entropii w takim przypadku to S log 3. W rzeczywistości entropia takiego stanu wynosi log 3 1. 3 25:1058768521 23

Rozdział 4 Połączenie reprezentacji We wcześniejszych rozdziałach omówiliśmy dwie graficzne reprezentacje stanów kwantowych. Ważną cechą, która je odróżnia jest to, że grafy służą do konstruowania stanów kwantowych, natomiast reprezentacja piktograficzna pozwala jedynie na obrazowanie już wyznaczonych stanów kwantowych. Stany grafowe stają się trudne w analizie dla dużej liczby cząstek, gdyż liczba grafów, które są istotnie różne, staje się dość duża. Ponadto szybko rośnie liczba składników, co znacznie utrudnia analizę (zob. Aneks I). Z kolei piktogramy wymagają odpowiedniej liczby cząstek by pewne cechy stanów mogły zostać zauważone 1. Z tego względu narzuca się pomysł wykorzystania obu cech tych reprezentacji stworzenia wielocząstkowych stanów za pomocą grafów i przedstawienia ich na piktogramach. Żeby pokusić się o analizę własności stanów opisujących układy wielocząstkowe wybraliśmy takie grafy, które w sposób łatwy można uogólniać na większe liczby cząstek. Dlatego zdecydowaliśmy się na analizę trzech rodzajów grafów: linii, cykli oraz grafów pełnych. Bez względu na liczbę cząstek w układzie posiadają one bardzo specyficzne cechy, które nie zmieniają się przy powiększeniu, bądź zmniejszeniu układu. Podobnie było ze stanami iloczynowymi lub stanami Dicke a 2. Postępując podobnie jak w Rozdziale 3, narysowaliśmy odpowiednie stany zwiększając liczbę cząstek i zestawiając obrazy razem. To pozwoliło na łatwiejszą analizę graficznych właściwości przedstawionych obrazów. Liczby cząstek, dla których wykonaliśmy piktogramy odpowiednich stanów grafowych to: 6, 8, 10 oraz 12. Ze względu na to, że rysunki dla 14 cząstek posiadałby ogromną liczbę punktów, traciły na przejrzystości, dlatego zaniechaliśmy ich prezentacji. Przedstawione piktogramy wypełnione zostały w całości. Ze względu na konstrukcję stanów grafowych pokolorowane zostały tylko i wyłączanie dwoma kolorami odpowiadającymi przeciwnym znakom +/. Można się spodziewać, że otrzymywane stany grafowe dla dużych liczb cząstek także będą mogły być uproszczone, co miałoby wpływ na ostatecznie otrzymywany piktogram. Jednak, celem analizy polegającej na narysowaniu piktogramów wprost, jest poznanie pewnych właściwości badanych stanów jak najmniejszym kosztem. 4.1 Piktogramy dla grafów N-linii stany L N Piktogramy wykonane dla grafów liniowych znajdują się na rysunkach 4.1-4.4. Pierwszym ogólnym wnioskiem jest stwierdzenie samopodobieństwa występującego na kolejnych obrazach. Dokładniejsza analiza rysunku 4.1 prowadzi do wniosku, że składa się on z trzech mniejszych 1 Można powiedzieć, że piktogramy zyskują na rozdzielczości. Większa liczba cząstek w układzie, prowadzi do uzyskania mniej ziarnistego obrazu stanu. 2 Zdefiniowaliśmy oraz opisaliśmy je w przykładach w Rozdziale 3.2. 26:8785158953 24

Rys. 4.1. 6-linia, stan L 6 Rys. 4.2. 8-linia, stan L 8 Rys. 4.3. 10-linia, stan L 10 Rys. 4.4. 12-linia, stan L 12 obrazków (kwadratów pierwszego poziomu), w których dwa (na przykład pierwszy oraz drugi) stanowią odbicia lustrzane, a także (obrazy drugi i czwarty) posiadają jedynie zmienioną fazę o 1. To oznacza, że taki obraz można uzyskać poprzez odpowiednie odbicia oraz zmianę koloru 3 tylko jednej części. Kolejną ważną obserwacją jest to, że każdy następny obraz przedstawiający stany dla większych liczb cząstek posiada dokładnie taką samą cechę. Pierwszy i drugi kwadrat pierwszego poziomu są swoimi odbiciami lustrzanymi, a drugi oraz czwarty są odbiciami fazowymi. Co więcej, w otrzymanych obrazach można bardzo łatwo doszukać się samopodobieństwa. Obraz 6-linii jest pierwszym kwadratem pierwszego poziomu piktogramu 8-linii, podobnie dla kolejnych. Wszystkie powyższe obrazy mają także inną wspólną cechę dla podziałów na kwadraty drugiego oraz wyższych poziomów cały piktogram zbudowany jest z 4 podstawowych obrazków. W takiej sytuacji, zgodnie z podaną przez nas teorią w Rozdziale 3.3, możemy wysnuć wniosek 3 Zamiana kolorów oznacza zmianę fazy o czynnik 1. 27:4735989161 25

dotyczący entropii splątania dla podziałów stanu na części 2k oraz N 2k qubitów. Całość formułujemy w poniższej hipotezie. Hipoteza 4.1 Jeśli N jest parzystą liczbą cząstek, a L N jest stanem związanym z N-linią, to dla każdego k, takiego że 1 < k < N/2, zachodzi ograniczenie na entropię splątania S dla podziału stanu na część 2k oraz N 2k qubitów: S (Tr 2k L N L N ) 2 log 2. (4.1) 4.2 Piktogramy dla grafów N-cykli stany C N Obrazy wykonane dla grafów cyklicznych przedstawione zostały na rysunkach 4.5-4.8. Podobnie jak wcześniej, obrazy posiadają dużą symetrię. Jeśli rozpatrzylibyśmy tylko pierwszy kwadrat pierwszego poziomu, wystarczyłoby wykonać dwa prostopadłe odbicia, aby otrzymać każdy piktogram. Cechą odróżniającą cykl od linii jest fakt, że rysunki dla mniejszych liczb cząstek nie są składowymi piktogramów większej liczby cząstek. Każdy z obrazów posiada w środku rejon, gdzie wszystkie najmniejsze kwadraty są niebieskie. Oczywiście związane jest to z symetrią, jednak nie pozwala na tak proste pomnażanie obrazów muszą się one nieco zmieniać. Analogicznie do poprzedniego przypadku możemy wyznaczyć liczbę podstawowych obrazków jakie tworzą piktogramy na różnych poziomach podziału. Wszystkie kwadraty pierwszego poziomu są różne. Dla kwadratów drugiego oraz wyższych poziomów, bez względu na rozmiar układu, zawsze jesteśmy w stanie wskazać tylko 8 różnych cegiełek, które tworzą całość. To pozwala nam na oszacowanie entropii splątania. Hipoteza 4.2 Jeśli N jest parzystą liczbą cząstek, a C N jest stanem związanym z N-cyklem, to dla każdego k, takiego że 1 < k < N/2, zachodzi ograniczenie na entropię splątania S dla podziału stanu na część 2k oraz N 2k qubitów: S (Tr 2k C N C N ) 3 log 2. (4.2) Zgodnie z powyższą hipotezą, dla określonych podsystemów, entropia splątania N-cykli jest większa od entropii N-linii. Należy zwrócić uwagę także na inną sprawę. W Rozdziale 2 w przypadkach 3-linii oraz 3-cyklu oraz 4-linii i 4-cyklu otrzymywaliśmy stany, których splątanie było takie samo. Wyrysowane tutaj piktogramy dla większych liczb cząstek nie są identyczne, choć bardzo podobne. Szczególnie widoczne jest to na obrazach przedstawiających układy 10- i 12-cząstkowe. Piktogramy mają praktycznie takie same lewe górne kwadraty pierwszego poziomu, różnicą są jedynie symetrie służące do otrzymania reszty obrazu. 4.3 Piktogramy dla grafów N-pełnych stany K N Grafy pełne generują bardzo ważną własność każda cząstka oddziałuje nielokalnie ze wszystkimi pozostałymi. Oczywiście, tak jak napisaliśmy wcześniej, nie musi oznaczać to maksy- 28:4787456158 26

Rys. 4.5. 6-cykl, stan C 6 Rys. 4.6. 8-cykl, stan C 8 Rys. 4.7. 10-cykl, stan C 10 Rys. 4.8. 12-cykl, stan C 12 malnego splątania w układzie. Podobnie do poprzednich piktogramów, rysunki 4.9-4.12 można otrzymać przez odpowiednie odbicia tylko jednego z kwadratów pierwszego poziomu. Ponadto, dokładnie tak jak w przypadku N-linii możemy rozwijać większe obrazki wykorzystując mniejsze. Ta symetria była złamana w przypadku N-cykli. Wykorzystywane tutaj symetrie są nieco bardziej skomplikowane musimy użyć symetrii względem środka jednego z wybranych kwadratów pierwszego poziomu lub symetrię zamiany koloru. W zależności od N pojawiają się złożenia tych działań. Występuje tu zatem pewna analogia to piktogramów N-linii 4. Na tej podstawie można wysnuć wniosek, że całe obrazy składają się tylko z 4 podstawowych cegiełek 5. Rzeczywiście, wizualna analiza to potwierdza, zawsze możemy wyznaczyć maksymalnie 4 podstawowe obrazki. Podobnie jak wcześniej, pozwala nam to na oszacowanie entropii splątania. 4 Występowało tam jedno odbicie oraz zamiana kolorów. 5 Dla podziałów na co najmniej kwadraty drugiego poziomu. 29:8035524982 27

Rys. 4.9. 6-pełny, stan K 6 Rys. 4.10. 8-pełny, stan K 8 Hipoteza 4.3 Jeśli N jest parzystą liczbą cząstek, a K N jest stanem związanym z grafem N- pełnym, to dla każdego k, takiego że 1 < k < N/2, zachodzi ograniczenie na entropię splątania S dla podziału stanu na część 2k oraz N 2k qubitów: S (Tr 2k K N K N ) 2 log 2. (4.3) Ciekawym wynikiem jest również to, że całe obrazy są symetryczne względnej przekątnej biegnącej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu. Piktogramy N-linii nie wykazywały symetrii wcale, natomiast N-cykle miały dwie osie symetrii położone na środkach boków. Rys. 4.11. 10-pełny, stan K 10 Rys. 4.12. 12-pełny, stan K 12 30:9439387834 28

Podsumowanie W zaprezentowanej pracy omówiliśmy dwie różne reprezentacje stanów kwantowych pozwalające na analizowanie i badanie splątania. Bardzo ważną cechą obu reprezentacji jest możliwość wykorzystywania cech innego rodzaju obiektów (grafów lub piktogramów) do analizy stanów z przestrzeni Hilberta. Dokładne, analityczne badanie splątania wielocząstkowego jest zadaniem bardzo trudnym i złożonym. Dlatego poszukiwanie innych sposobów pozwalających na ich analizę jest bardzo ważne także w kontekście przyszłej pracy. Uzyskiwanie wniosków na polu innych obiektów, które można przetłumaczyć na cechy splątania kwantowego może prowadzić do odkrycia pewnych nieznanych dróg w podejściu matematycznym. W ramach badania stanów związanych z grafami prostymi przebadaliśmy dokładnie trójwierzchołkowe grafy dla qubitów. Wyznaczyliśmy także wszystkie stany kwantowe, które można z nich otrzymać. W przypadku grafów zbudowanych z czterech wierzchołków nie ukazaliśmy pełnej analizy wszystkich możliwych 11 grafów. Jednak zaprezentowaliśmy pewne interesujące przypadki takie jak grafy cykliczny, liniowy oraz pełny. Ciekawym wnioskiem jest LU-równoważność grafów liniowego oraz cyklicznego dla czterech cząstek. Ponadto w analizie wykazaliśmy związek 4-wierzchołkowego grafu pełnego z 3-wierzchołkowym grafem pełnym. Zaprezentowaliśmy także nieznaną szerzej metodę piktograficznego przedstawiania stanów kwantowych. Wykorzystując samopodobną budowę można bardzo łatwo tworzyć mapy służące przedstawianiu układów o dużej liczbie cząstek. Zilustrowaliśmy najważniejsze przykłady oraz cechy pozwalające na badanie stanów kwantowych. Jedną z najciekawszych własności jest możliwość szacowania entropii splątania związana z badaniem liczb podstawowych cegiełek tworzących pełny obraz. Wykorzystując obie reprezentacje wybraliśmy trzy rodziny grafów, które nie zmieniają pewnej wybranej cechy przy zwiększaniu liczby cząstek N tworzących układ. Są to grafy liniowe, cykle oraz grafy pełne. Odpowiadają im stany L N, C N oraz K N. Wykazaliśmy, że otrzymywane w ten sposób piktogramy wykazują symetrie oraz cechy samopodobieństwa, dzięki czemu możliwe staje się szacowanie entropii splątania. Zaproponowane przez nas ograniczenia to S < 2 log 2 dla stanów L N i K N oraz S < 3 log 2 dla C N. Oczywiście praca ta stanowi jedynie wstęp do badań jakie można przeprowadzić wykorzystując przedstawione tu wyniki. Otrzymywane z grafów piktogramy posiadały pewne symetrie, których związek z rodzajami grafów nie jest w pełni jasny. Kolejnym krokiem mogłoby być zbadanie innego rodzaju grafów. Ponadto obie metody umożliwiają badanie stanów opisujących qudity, co także stanowi kolejną drogę rozwoju przedstawionych tutaj wyników. 31:2967319067 29