Praca dyplomowa inżynierska

Wydział Matematyki kierunek studiów: matematyka stosowana specjalność Praca dyplomowa inżynierska Dynamika opinii w sieciach bezskalowych Dominik Miażdżyk słowa kluczowe: dynamika opinii model q-wyborcy z antykonformizmem sieć Barabasiego-Alberta krótkie streszczenie: Praca dotyczy modelu q-wyborcy z antykonformizmem z wprowadzoną modyfikacją polegającą na losowaniu z powtórzeniami grupy wpływu. Nadrzędnym celem pracy było sprawdzenie czy istnieje zależność pomiędzy wartością parametru m 0 odpowiadającego za wielkość grafu pełnego w procesie tworzenia sieci Barabasiego- Alberta, a wartością średniej opinii. Zostało przeprowadzone porównanie pomiędzy wynikami symulacji modelu q-wyborcy z antykonformizmem na grafie zupełnym, a wynikami analitycznymi oraz sprawdzenie poprawności implementacji modelu sieci Barabasiego-Alberta. opiekun pracy dyplomowej prof. dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron...... Tytuł/stopień naukowy/imię i nazwisko ocena podpis Do celów archiwalnych pracę dyplomową zakwalifikowano do:* a) kategorii A (akta wieczyste) b) kategorii BE 50 (po 50 latach podlegające ekspertyzie) * niepotrzebne skreślić pieczątka wydziałowa Wrocław, rok

Faculty of Pure and Applied Mathematics Field of study: Applied Mathematics Specialty: Engineering Diploma Thesis Opinion dynamics on free-scale networks Dominik Miażdżyk keywords: opinion dynamic q-voter model with anti-conformity Barabasi-Albert network short summary: The thesis is about q-voter model with anti-conformity with modification, which consists of replacing drawing without repetitions by drawing with repetitions. The main purpose of the paper was to check whether there is a relationship between the value of the parameter m 0 responsible for the size of the complete graph in the process of creating the Barabasi-Albert network, and the value of the average opinion. Comparisons between simulations results of q-voter model with anti-conformity on complete graph and analytical results were made. Also, validation of implementation Barabasi-Albert network model was made. Supervisor prof. dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron...... Title/ degree/ name and surname grade signature For the purposes of archival thesis qualified to: * a) Category A (perpetual files) b) Category BE 50 (subject to expertise after 50 years) * Delete as appropriate Wrocław, 207 stamp of the faculty

Spis treści Wstęp - motywacja i cel pracy 3 2 Struktura układu - sieci złożone 5 2. Podstawowe pojęcia................................ 5 2.. Rozkład stopni wierzchołków...................... 5 2..2 Współczynnik gronowania........................ 5 2..3 Średnia najkrótsza ścieżka........................ 6 2.2 Modele sieci.................................... 6 2.2. Graf pełny................................ 7 2.2.2 Sieć Barabasiego-Alberta......................... 7 3 Procesy dynamiki na sieciach 0 3. Model q-wyborcy z antykonformizmem..................... 0 3.2 Wyniki na grafie zupełnym............................ 3.2. Trajektorie średniej opinii w czasie................... 2 3.2.2 Średnia opinia w modelu q-wyborcy................... 2 3.3 Wyniki na sieci Barabasiego-Alberta....................... 4 4 Wnioski 5 5 Literatura 6

Wstęp - motywacja i cel pracy W celu zrozumienia procesów zachodzących wokół nas próbuje się budować modele matematyczne lub fizyczne opisujące zjawiska społeczne, przyrodnicze, ekonomiczne. Jednym z pierwszych modeli dotyczących zjawisk społecznych był model segregacji rasowej Schellinga wprowadzony w roku 97 []. Opisywał on jak dla dwóch populacji o różnych rasach, przy założonych preferencjach rasowych powstają posegregowane grupy. Duże zainteresowanie analizą obliczeniową zjawisk społecznych przyczyniło się do powstania socjofizyki oraz socjologii obliczeniowej. Nauki te, bazując między innymi na symulacjach komputerowych, umożliwiają analizę wspomnianych wcześniej modeli [2]. Socjofizyka jest wykorzystywana między innymi do symulacji wyników wyborów oraz rozprzestrzeniania się innowacji [3]. Jednym z najpopularniejszych działań w ramach tej gałęzi nauki jest badanie dynamiki opinii, a więc badanie, jaki wpływ na ludzkie decyzje lub opinie ma nacisk odpowiedniej grupy. W tej pracy zostanie przedstawiony model q-wyborcy, który jest modelem agentowym (Agent Based Model) [4]. Oznacza to, że możemy zdefiniować zachowanie agentów poprzez określenie zasad podejmowania decyzji i określenie warunków w jakich funkcjonują oraz realizować dowolną liczbę iteracji w celu otrzymania wyników zachodzących procesów [5]. W rezultacie będziemy przypisywać każdemu elementowi modelu pewna wartość. W przypadku badania dynamiki opinii wartość ta nazywana jest opinią i oznacza zdanie agenta na dany temat, np. ocenę sytuacji w kraju lub preferencję przy wyborze pomiędzy systemami Windows i macos. Ponieważ w wielu przypadkach opinia polega na wyborze jednej z dwóch możliwych odpowiedzi w poniższej pracy będziemy zakładać, że opinia agenta jest binarna i przypiszemy jej wartości ze zbioru {, }. Model q-wyborcy zostanie dodatkowo uzupełniony o szum antykonformistyczny, tak jak zostało to zaproponowane w [6]. Aby przeanalizować wybrany model wybiera się odpowiednią strukturę połączeń (nazywaną siecią lub grafem) pomiędzy jego elementami. Jedną z takich struktur jest graf pełny, w którym każdy element jest połączony ze wszystkimi pozostałymi. Jest to sieć, która znajduje zastosowanie w przypadku opisu modeli o niewielkiej liczbie elementów, np. małych grup społecznych. W wypadku, gdy mamy do czynienia z dużą grupą społeczną (np. obywatele jednego państwa) graf pełny staje się bezużyteczny, ponieważ niemożliwym jest, aby każda osoba miała równoważną relację z pozostałymi członkami. Przeprowadzone przez A.-L.Barabasiego i innych badania nad siecią WWW na Uniwersytecie Notre Dame w Indianie doprowadziły do odkrycia, że sieć te charakteryzuje się potęgowym rozkładem połączeń [7]. Odkryli również, że rozkład ten występuje w wyniku działania dwóch mechanizmów, które zdefiniowali jako mechanizm wzrostu sieci oraz regułę preferencyjnego dołączania węzłów. Na podstawie tych informacji naukowcy utworzyli model sieci rzeczywistej (model Barabasiego-Alberta) o rozkładzie potęgowym [8]. W wyniku dalszych badań dowiedziono, że rozkład potęgowy występuje również w innych sieciach rzeczywistych, takich jak Internet, sieci społecznościowe, sieci cytowań. W poniższej pracy do rozważenia modelu q-wyborcy wybrano sieć Barabasiego-Alberta. Podstawowym celem pracy jest zbadanie jak wpływa wartość parametru, określającego rozmiar grafu pełnego będącego zarodkiem sieci w modelu Barabasiego-Alberta, na stacjonarną wartość średniej opinii w modelu q-wyborcy z antykonformizmem. Zostaną wykonane następujące zadania: implementacja algorytmu modelu q-wyborcy z antykonformizmem oraz sieci Barabasiego-Alberta, wprowadzenie modyfikacji do algorytmu modelu q-wyborcy w celu umożliwienia jego analizy przy pomocy sieci Barabasiego-Alberta, symulacje zmodyfikowanego modelu na grafie pełnym, porównanie wyników symulacji z wartościami teoretycznymi przy wykorzystaniu obliczeń zaprezentowanych w pracach [6, 9], symulacje zmodyfikowanego modelu na sieci Barabasiego-Alberta. Wyniki przeprowadzonych symulacji za pomocą języka 2

programowania Python, zostaną pokazane na wykresach stworzonych w programie MAT LAB. Przedstawione wyżej zagadnienia maja odzwierciedlenie w rzeczywistym świecie i właśnie dlatego są ciekawe w analizie. Każdy człowiek jest członkiem jakiejś społeczności, a także w konsekwencji różnych doświadczeń posiada własne zdanie na dany temat. Dlatego właśnie zająłem się przedstawionym tematem. 3

2 Struktura układu - sieci złożone W poniższym rozdziale zostanie wprowadzone pojęcie sieci oraz wielkości, które charakteryzują analizowany układ. Sieć jest to abstrakcyjna struktura, którą możemy przedstawić w sposób matematyczny jako graf, którego wierzchołki symbolizują elementy układu, a połączenia reprezentują relacje między nimi. W dalszej części pracy będziemy rozważać tylko grafy nieskierowane, co oznacza, że relacje pomiędzy elementami są obustronne. Jest to istotne ze względu na rozważane modele dynamiki opinii, w których będziemy modelować dwukierunkowe interakcje społeczne. Nauka o sieciach wykorzystywana jest w wielu dziedzinach i zapewnia prostą reprezentację złożonych układów z dużą liczbą elementów [8]. 2. Podstawowe pojęcia Będziemy rozważać graf G, który jest parą zbiorów G = (V,E). Zbiór V zawiera wszystkie wierzchołki występujące w grafie V =,2,...,N, natomiast zbiór E będzie złożony z par wierzchołków (i, j), pomiędzy którymi występuje połączenie np. E = {(, 2),(, 3)}. Liczność zbioru V jest równa N i oznacza ona również rozmiar układu. Jeżeli w zbiorze E występuje para i, j będziemy nazywać te dwa wierzchołki sąsiadami, a liczbę sąsiadów węzła i będziemy oznaczać jako stopnień wierzchołka k i. 2 3 0.8 4 P(k) 0.6 0.4 /3 /2 5 6 0.2 0 /6 2 3 4 5 k Rys. 2.: Ilustracja po prawej stronie przedstawia przykładowy graf G = (V,E) o N = 6 wierzchołkach i 7 połączeniach. Zbiory przedstawiają się następująco: V = {, 2, 3, 4, 5, 6} i E = {(,2),(,4),(2,3),(2,4),(3,5),(4,5),(5,6)}. Po lewej stronie zaprezentowano rozkład stopni wierzchołków grafu G 2.. Rozkład stopni wierzchołków W większości rzeczywistych układów nie wszystkie wierzchołki sieci mają taką samą liczbę połączeń. Stąd też potrzebne jest wprowadzenie miary, która będzie nam mówiła o tym jak dużo połączeń posiada dany węzeł. Stopniem wierzchołka będziemy nazywać dyskretną zmienną losową, która określa nam ile połączeń k będzie miał losowo wybrany wierzchołek. Rozkład stopni wierzchołków P(k) zdefiniujemy przez funkcję opisującą prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołka o stopni k. Średni stopień wierzchołka będzie to średnia ważona prawdopodobieństwem ze wszystkich możliwych wartości k: k = N i k i = kp(k). (2.) k 2..2 Współczynnik gronowania Powszechną prawdą jest, że człowiek jest istotą stadną, która dobiera się w grupy. Rozważając sieć stworzoną z wielu wierzchołków wprowadzimy wielkość, która będzie charakteryzowała 4

Rys. 2.2: Schemat przedstawia lokalny współczynnik gronowania dla wierzchołka i oznaczonego kolorem zielonym w trzech sytuacjach. Wierzchołek i ma stopień wierzchołka k i = 3. Linie ciągłe oznaczają istniejące połączenia, a linie przerywane to połączenie nie istniejące. (źródło [0]) naszą sieć pod kątem tworzenia się mniejszych grup. Definiując współczynnik gronowania C i będziemy porównywać liczbę rzeczywistych połączeń pomiędzy sąsiadami E i wierzchołka do wszystkich możliwych połączeń między nimi 2 k i(k i ): C i = 2E i k i (k i ). (2.2) Z równania (2.2) możemy wyciągnąć wniosek, że wartość współczynnika gronowania jest z przedziału [0, ]. Jak widać opisuje on prawdopodobieństwo, że najbliżsi sąsiedzi są również najbliższymi sąsiadami względem siebie. Ze względu na fakt, że współczynnik gronowania jest zdefiniowany względem pojedynczego węzła możemy powiedzieć, że ujawnia on strukturę lokalnego sąsiedztwa i nazwać go lokalnym współczynnikiem gronowania (ang. local clustering coefficient) [0]. Natomiast średni współczynnik gronowania sieci, który będzie uwzględniony w dalszej części pracy, jest równy średniej z poszczególnych współczynników gronowania: C = N i C i. (2.3) 2..3 Średnia najkrótsza ścieżka Następnie wprowadzimy miarę, która będzie nam charakteryzowała sieć pod kątem jej efektywnej wielkości. Niektóre sieci posiadają własność małego świata, co oznacza, że pomimo olbrzymiej liczby wierzchołków odległość między nimi jest stosunkowo niewielka. Zdefiniujmy ścieżkę D,N jako uporządkowanych zbiór różnych wierzchołków (,2,...,N) takich, że para i,i + dla i =,...,N należy do zbioru połączeń E. Długość ścieżki D,N jest to liczba połączeń pomiędzy węzłami oraz N i w tym przypadku jest równa N. Najkrótszą drogę pomiędzy wierzchołkami i oraz j będziemy oznaczać jako δ i, j. Średnia najkrótsza ścieżka jest to średnia najkrótszych dróg pomiędzy wszystkimi wierzchołkami: 2.2 Modele sieci δ = N(N ) δ i, j. (2.4) i, j W tej sekcji zajmiemy się przedstawieniem rodzajów sieci, które będą wykorzystywane w dalszej części pracy. Zaczniemy od najbardziej podstawowej struktury jaką jest graf pełny aby 5

przejść do bardziej skomplikowanych układów. Wśród sieci złożonych możemy wyróżnić dwa rodzaje powszechne w rzeczywistym świecie: sieci małego świata oraz sieci bezskalowe. Do przykładów należałoby zaliczyć sieć internetową lub połączenia samolotowe między miastami. 2.2. Graf pełny Najprostszą strukturą używaną w badaniach jest graf pełny. Składa się on z N wierzchołków, które są parami połączone, czyli istnieją pary (i, j) E dla i, j,2,...,n i j. W rezultacie mamy 2 N(N ) połączeń. Graf pełny stanowi układ, w którym każdy węzeł ma taką samą liczbę sąsiadów, a więc średni stopień wierzchołka k = N, a rozkład stopni wierzchołków można przedstawić P(k) = l i=n. W takim wypadku każdy wierzchołek ma taki sam współczynnik gronowania C i =, a więc C =. Ponadto średnia najkrótsza ścieżka wynosi δ = ponieważ wszystkie wierzchołki są w pełni ze sobą połączone D i, j = dla i, j,2,...,n i j. Rys. 2.3: Graficzna ilustracja grafu zupełnego o N = 9 wierzchołkach (źródło [0]) oraz przykładowej sieci bezskalowej (źródło [8]). Ze względu na bardzo prostą budowę graf zupełny może być bardzo dobrym układem do testowania modeli opartych na interakcjach pomiędzy agentami. W przypadku tego układu należy pamiętać, że każdy wierzchołek jest połączony ze wszystkimi innymi. W rzeczywistym świecie trudno byłoby wyobrazić sobie dużą społeczność, w której każdy oddziałuje na każdego. Dlatego też, graf zupełny interpretuje się jako małą grupę społeczną, w której wszystkie osoby się znają. 2.2.2 Sieć Barabasiego-Alberta Dla wielu układów rzeczywistych rozkład stopni wierzchołków jest potęgowy, tzn. P(k) k α [8]. Korzystając z mechanizmów: wzrostu sieci i preferencyjnego dołączania węzłów, które podali A.L. Barabasi i R.Albert [2], mamy styczność z układem, w którym istnieje wiele wierzchołków, posiadających bardzo małą liczbę sąsiadów oraz kilka węzłów, które mają duży stopień wierzchołka k i. Proces tworzenia sieci rozpoczynamy od skonstruowania grafu pełnego o wielkości m 0. Następnie w każdym kolejnym kroku będziemy dodawać jeden wierzchołek łącząc go z m już obecnymi (m < m 0 ) na podstawie reguły o preferencyjnym dołączaniu węzłów co oznacza, że nowy węzeł będzie się łączył z i-tym istniejącym z prawdopodobieństwem Π zależnym od stopnia wierzchołka k i : Π(k i ) = k i. (2.5) i k i 6

Po wykonaniu t kroków otrzymujemy układ o wielkości N = m 0 +t. Rys. 2.4: Obrazy przedstawiają schemat tworzenia sieci Barabasiego-Alberta. Rozpoczynamy od grafu zupełnego o liczbie węzłów równej m 0 = 2. Następnie dodajemy po jednym wierzchołku, łącząc go z m = 2 już istniejącymi zgodnie z wyliczony prawdopodobieństwem (źródło [8]). Rozkład stopni wierzchołków dla sieci Barabasiego-Alberta ma postać P(k) = k α, a wykładnik jest równy α = 3. Średni stopnień wierzchołka możemy policzyć ze wzoru: k = 2m. (2.6) Korzystając ze wzorów analitycznych możemy wyliczyć średni współczynnik gronowania C ln2 N N oraz stwierdzić że średnia najkrótsza droga rośnie z wielkością układu (2.7) δ lnn lnlnn. (2.8) 7

0 2 siec BA prosta o wykladniku 3 log(p(k)) 4 6 8 0 2 4 6 8 20 0 2 3 4 5 6 7 log(k) Rys. 2.5: Rozkład stopni wierzchołków w sieci Barabsiego-Alberta o wielkości N = 0 3 m 0 = 0 i m =. Wykres przedstawiony jest w skali podwójnie logarytmicznej. Wartości symulowanej sieci oznaczone są niebieskimi punktami. 8

3 Procesy dynamiki na sieciach 3. Model q-wyborcy z antykonformizmem Model q-wyborcy jest jednym z modeli socjofizycznych, w którym parametr q określa liczbę sąsiadów stanowiących grupę wpływu. Został wprowadzony przez Castellano i innych w 2009 roku [4]. Warto wspomnieć, że jest on uogólnieniem modelu wyborcy oraz modelu Sznajdów dla których q jest równe odpowiednio i 2. W niniejszym opracowaniu będziemy rozważać model q-wyborcy uzupełniony o szum antykonformistyczny, analogicznie jak w [6]. W poniższym rozdziale zostanie przedstawiony algorytm modelu, a także zostaną wprowadzone wielkości charakteryzujące dynamikę opinii. Rozważmy dowolną sieć o rozmiarze N. W każdym wierzchołku sieci umieścimy jednego agenta, który będzie przyjmował wartości S i = ± (w dalszej części pracy określane jako spin). Interpretacja takiej zmiennej dynamicznej S i może być bardzo różna w zależności od zagadnienia, które modelujemy (przykładowo, odpowiedzi "tak" lub "nie" na zadawane pytaniu lub kupno nowo wprowadzonego produktu na rynek). W każdym pojedynczym kroku algorytmu losowo wybrany agent może zmienić swoją opinię. Do losowo wybranego spinu, będziemy dobierać q jego sąsiadów. Wybraną grupę sąsiadów będziemy nazywać grupą wpływu lub lobby. Z prawdopodobieństwem p wybrany agent będzie zachowywał się w sposób antykonformistyczny, czyli przyjmował zdanie przeciwne do opinii narzucanej przez wpływającą na niego grupę. Natomiast z prawdopodobieństwem p wybrany spin będzie działał jako konformista i zmieniał opinię na zgodną z grupą wpływu. Jednakże, aby doszło do zmiany opinii grupa wpływu musi być zgodna między sobą. Rys. 3.: Schemat przedstawiający pojedynczy krok algorytmu modelu q-wyborcy z antykonformizmem. Wykonując symulacje modelu q-wyborcy na sieci Barabasiego-Alberta napotykamy na sytuację, w której liczba losowanych sąsiadów może być większa niż liczba sąsiadów q > k i. W celu wykluczenia takich wydarzeń, sąsiadów do grupy wpływu będziemy losować z powtórzeniami tak jak zaproponowano to oryginalnie w [4]. Jednak zanim przejdziemy do rozpoczęcia symulacji, korzystając z metody Monte Carlo, należy przyjąć jakieś warunki początkowe. Możemy przyjąć dowolne założenia dotyczące stanu początkowego układu. W dalszej części pracy będziemy zakładać te najczęściej spotykane: 9

. Warunki początkowe uporządkowane, czyli S i = dla i =,...N 2. Warunki początkowe losowe, czyli S i przyjmuje wartość lub - z równym prawdopodobieństwem P(S i = ) = P(S i = ) dla i =,...N Następną kwestią, którą należy ustalić jest jednostka czasu. Zdefiniujmy jeden krok Monte Carlo (MCS) jako wywołanie zawierające N pojedynczych symulacji opisanego algorytmu. Na podstawie takiego założenia, niezależnie od wielkości układu w czasie MCS istnieje możliwość, aby N agentów zmieniło swoją opinię. Przyjmując podaną konwencję należy zauważyć, że najmniejsza różnica czasu będzie wynosić t = N. Niezależnie od budowy sieci nasz N-elementowy zbiór agentów możemy opisać przez wektor stanów S = (S,S 2,...,S N ). Obserwowanie pojedynczych spinów nie daje informacji dotyczącej stanu w jakim znajduje się cały układ. Wprowadza się zatem wielkości agregujące wartości przyjmowane przez poszczególnych agentów. Jedną z takich wielkości jest średnia opinia (w ujęciu fizycznym możemy mówić o magnetyzacji): m = N N i= S i. (3.) Średnia opinia może przyjmować wartość z zakresu [, ]. Inną przydatną wielkością, która jest powiązana z wyżej przedstawioną, jest koncentracja spinów dodatnich. W prostych słowach jest to stosunek liczby spinów dodatnich N do liczby wszystkich agentów: c = N N = 2N N i= ( + S i ). (3.2) Koncentrację spinów dodatnich możemy interpretować jako prawdopodobieństwo znalezienia agenta, który przyjmuje stan S i =. Przekształcając wzór (3.2) do postaci wzoru (3.3) można zauważyć, że koncentracja jest w rzeczywistości przeskalowaną średnią opinią: c = (m + ). (3.3) 2 W analogiczny sposób możliwe jest zdefiniowanie koncentracji spinów ujemnych (S i = ) i w rezultacie możemy stwierdzić, że c + c =. W dalszej części pracy będziemy używać koncentracji spinów pozytywnych, więc dla uproszczenia notacji przyjmiemy oznaczenie c = c. 3.2 Wyniki na grafie zupełnym W pojedynczym kroku wykonywania algorytmu mogą wystąpić trzy zdarzenia. Możemy zaobserwować wzrost lub spadek o N 2 lub brak zmiany średniej opinii m(t). W przypadku nieskończonego układu możemy zdefiniować prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń: γ + = ( p)( c)c q + p( c) q+, γ = ( p)c( c)c q + pc q+, γ 0 = γ + γ. (3.4) 0

3.2. Trajektorie średniej opinii w czasie Analizując zachowanie układów dochodzimy do wniosku, że istnieje pewna wartość p = p, nazwana wartością krytyczną p, w którego okolicy p ± ε obserwujemy duże fluktuacje wartości średniej opinii. Wykorzystując przedstawione w pracy doktorskiej P. Nyczki [6] analityczne wyprowadzenia dla stanu stacjonarnego, to znaczy takiego, że prawdopodobieństwo wzrostu średniej opinii jest równe prawdopodobieństwu spadku γ + = γ, otrzymujemy wzór na wartość krytyczną prawdopodobieństwa antykonformizmu: p = q 2q. (3.5) 0.5 p<<p* 0.5 p<~p* m(t) 0 m(t) 0 0.5 0.5 0 2000 4000 6000 8000 0000 MCS 0 2000 4000 6000 8000 0000 MCS 0.5 p~>p* 0.5 p>>p* m(t) 0 m(t) 0 0.5 0.5 0 2000 4000 6000 8000 0000 MCS 0 2000 4000 6000 8000 0000 MCS Rys. 3.2: Trajektorie średniej opinii dla modelu q-wyborcy na grafie zupełnym o wielkości N = 0 3 przy grupie wpływu q = 3 oraz ustalonym prawdopodobieństwie antykonformizmu. Zaczynając od lewego górnego wykresu mamy p = 0., 0.33, 0.35, 0.5. Dla p < p obserwujemy stacjonarne zachowanie się układu wokół jednej wartości. W przypadku, kiedy przyjmiemy p < p widzimy częste przejścia pomiędzy dwoma stanami, a dla p > p mamy układ o dużych wahaniach wokół 0. Zakładając p > p widzimy trajektorię, która jest stacjonarna wokół 0. 3.2.2 Średnia opinia w modelu q-wyborcy W pracy P.Nyczki [6] została wyprowadzona zależność pomiędzy koncentracją, a prawdopodobieństwem antykonformizmu: c st ( c st ) q ( c st )c q st p = ( c st ) q+ + c st ( c st ) q ( c st )c q st c q+. (3.6) st Wzór (3.6) został wyprowadzony przy założeniu, że układ jest w stanie stacjonarnym. W takiej sytuacji koncentrację będziemy nazywać stacjonarną. Analogicznie możemy powiedzieć o stacjonarnej średniej opinii m st = 2c st. Przedstawione wyniki eksperymentu opierają się na symulacjach Monte Carlo. Obliczona została wartość średniej opinii po czasie z 900 punktów

trajektorii, po odrzuceniu pierwszych 00 MCS (założony czas dochodzenia do stanu stacjonarnego..2 0.8 q=2 q=3 q=5 q=7 m(p) 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0 0.05 0. 0.5 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Rys. 3.3: Zależność średniej opinii m od prawdopodobieństwa antykonformizmu p w modelu q-wyborcy z antykonformizmem q = 3 dla uporządkowanych warunków początkowych na grafie zupełnym o wielkości N = 0 3. Linie ciągłe to wartości wyliczone analitycznie ze wzoru (3.6). Symbolami zaznaczono wyniki symulacji. p 0.8 0.6 q=2 q=3 q=5 q=7 0.4 0.2 m(p) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.05 0. 0.5 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Rys. 3.4: Zależność średniej opinii m od prawdopodobieństwa antykonformizmu p w modelu q-wyborcy z antykonformizmem q = 3 dla losowych warunków początkowych na grafie zupełnym o wielkości N = 0 3. Linie ciągłe to wartości wyliczone analitycznie. Zaznaczone punkty to wyniki symulacji. p Niezależnie od przyjętych warunków początkowych obserwujemy bardzo podobne zachowanie się symulowanych układów. Najmniejsza wartość p, przy którym wartość średniej opinii zbiega do 0 jest wartością krytyczną prawdopodobieństwa antykonformizmu p. Na podstawie 2

przedstawionych wykresów możemy potwierdzić, że następuje ciągłe przejście fazowe zgodnie z wynikami teoretycznymi [6]. 3.3 Wyniki na sieci Barabasiego-Alberta Tworząc sieć Barabasiego-Alberta przyjmujemy dwa parametry m 0 i N. W przeprowadzonych symulacjach będziemy zakładać, że każdy dołączany wierzchołek będzie łączył się m = już istniejącymi. Zmieniając wartość parametru m 0 przeanalizujemy jaki ma on wpływ na wartość średniej opinii. Korzystając z przedstawionych w rozdziale 2.2.2 zależności wiemy, że rozmiar grafu zupełnego od którego rozpoczynamy budowę sieci Barabasiego-Alberta nie wpływa na rozkład stopni wierzchołków. Możemy wyobrażać sobie, że zwiększając parametr m 0 mamy styczność z bardziej gęstą siecią. m(p) 0.8 0.6 0.4 0.2 m0=0 m0=20 m0=40 m0=80 m0=60 m0=320 m0=640 m0=000 0 0.2 0.4 0 0.05 0. 0.5 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Rys. 3.5: Zależność średniej opinii m od prawdopodobieństwa antykonformizmu p w modelu q-wyborcy z antykonformizmem q = 3 dla uporządkowanych warunków początkowych na sieci Barabasiego-Alberta o wielkości N = 0 3. Zaznaczone punkty to wyniki symulacji dla różnego parametru początkowego m 0. p Zakładając stały rozmiar sieci Barabasiego-Alberta obserwujemy zależność pomiędzy p, a m 0. Na przedstawionym wykresie widzimy, że przy zwiększaniu wartości m 0 przejście fazowe następuje dla większego p. 3

4 Wnioski Naszym celem było zbadanie dynamiki opinii na sieciach bezskalowych. Zajęliśmy się modelem q-wyborcy, który jest jednym z najbardziej interesujących modeli socjofizycznych. Uzupełniliśmy go o szum antykonformistyczny oraz dzięki losowaniu grupy wpływu z powtórzeniami przeprowadziliśmy symulacje na sieci Barabasiego-Alberta. Symulacje Monte Carlo na grafie zupełnym pokazały, że modyfikacja modelu nie wpłynęła na dynamikę opinię w stosunku do algorytmu z losowaniem bez powtórzeń. Przeprowadziliśmy analizę zachowania się układu w czasie. Odwołując się do wykresów (3.2) pokazaliśmy, że dla wartości prawdopodobieństwa antykonformizmu p dużo mniejszego od prawdopodobieństwa krytycznego p układ jest stacjonarny dla określonej wartości średniej opinii m. W przypadku p mniejszego od p obserwujemy przejścia układu pomiędzy dwoma stanami stacjonarnymi. Dla wartości p większej od p wartość średniej opinii m stabilizuje się wokół 0. Następnie sprawdziliśmy zachowanie średniej opinii m w zależności od prawdopodobieństwa antykonformizmu p przy wybranym parametrze rozmiaru grupy wpływ q. Otrzymane wyniki pokrywają się z analitycznie wyprowadzonymi zależnościami niezależnie od wybranych przez nas warunków początkowych, co pokazaliśmy na wykresach (3.3) i (3.4). Można zaobserwować zależność, że przy zwiększaniu parametru q wartość p jest większa. Otrzymany rozkład stopni wierzchołków dla symulowanej sieci Barabasiego-Alberta jest zgodny z analitycznym rozkładem co potwierdza poprawność implementacji algorytmu. Po wykonaniu symulacji modelu q-wyborcy z antykonformizmem na sieci Barabasiego-Alberta można zaobserwować, że parametr m 0 odpowiadający za wielkość początkowego grafu zupełnego ma istotny wpływ na zachowanie średniej opinii (3.5). Otrzymane wyniki prowadzą do wniosku, że w momencie kiedy mamy styczność z gęstszą siecią, wartość krytyczna prawdopodobieństwa antykonformizmu jest większa. Powyższa praca jest tylko niewielkim wycinkiem zakresu badań dynamiki opinii. Istnieje kilka kierunków, które można obrać w celu kontynuacji pracy. Jednym z nich jest analogiczna analiza dynamiki opinii dla innych modeli sieci. Możliwym byłoby również przetestowanie zastosowanego w pracy modelu q-wyborcy z antykonformizmem i grupą wpływu losowaną z powtórzeniami na sieciach rzeczywistych. Ciekawym aspektem byłaby możliwość sprawdzenia czy zaobserwowana zależność wpływu parametru m 0 na wartość p na sieci Barabasiego- Alberta jest również prawdziwa dla modelu q-wyborcy z innymi rodzajami szumu. 4

5 Literatura [] T. Schelling, Dynamic Models of Segregation, Journal of Mathematical Sociology, p. 43-86, (97) [2] C. Castellano, S. Fortunato, V. Loreto, Statistical physics of social dynamics, Rev. Mod. Phys. 8, 59, (2009) [3] S. Galam, Sociophysics: A Physicist s Modeling of Psycho-Political Phenomena (Understanding Complex Systems), Springer-Verlag, Berling, 202 [4] C. Castellano, M. A. Mu?oz, R. Pastor-Satorras Nonlinear q-voter model, Phys. Rev. E 80, 0429 (2009) [5] P. Dzieszko, K. Bartkowiak, K. Giełda-Pinas Agenci w modelowaniu agentowym (ABM), Roczniki Geomatyki 203, Tom XI, Zeszyt 4(6) [6] P. Nyczka, K. Sznajd-Weron, J. Cisło Phase transitions in the q-voter model with two types of stochastic driving Phys. Rev. E 86, 005 (202) [7] A.-L. Barabasi, R. Albert, H. Jeong, G. Bianconi, Power-law distribution of the world wide web, Science, (2000) [8] Albert Laszlo Barabasi Network Science, (205) http://barabasi.com/networksciencebook/ [9] P. Nyczka, Przejścia Fazowe w uogólnionym modelu q-wyborcy na grafie zupełnym (204) [0] A. Jędrzejweski, K. Sznajd-Weron, The role of complex networks in agent-based computational economics, (206) [] R. Albert, H. Jeong, A.-L. Barabasi Error and attack tolerance of complex networks, Nature 406, 378 482, (2000) [2] A.-L. Barabasi and R. Albert, Emergence of scaling in random networks, Science, vol. 286, no. 5439, pp. 509 52, 999 5