O informatyce kwantowej

O informatyce kwantowej Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Posiedzenie PTM Gliwice Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33

Plan wystąpienia 1 Wstęp Motywacja Opis formalny obliczeń kwantowych Język Qubit Dwa qubity 3 Operacje kwantowe Bramki unitarne Bramki jednoqubitowe Bramki dwuqubitowe Obwody kwantowe Splątanie Pomiar 4 Algorytm Deustsch a 5 Model macierzy gęstości Macierz gęstości Operacje kwantowe na macierzach gęstości Ewolucja unitarna Rozszerzenie macierzy gęstości Usunięcie podsystemu Dowolna ewolucja układu kwantowego Pomiar macierzy gęstości Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 / 33

Motywacja Wstęp Motywacja Informatyka kwantowa jest to dziedzina wiedzy zajmująca się zastosowaniem praw mechaniki kwantowej do przesyłania i przetwarzania informacji. Poza czysto utylitarnym podejściem do badań w tej dziedzinie ważne są również (a może przede wszystkim) fundamentalne zagadnienia takie jak: czym jest informacja, jaka jest relacja informacji z materią, jakie są granice fizyczne możliwości przetwarzania i transmisji informacji. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 3 / 33

Wstęp Motywacja Zakres badań informatyki kwantowej Kwantowa teoria informacji: zagadnienia fundamentalne: entropia, splątanie, pojemność kanałów kwantowych, kwantowa korekcja błędów, protokoły kwantowe, kryptografia kwantowa, obliczenia kwantowe: modele obliczeń kwantowych, obwody kwantowe, algorytmy kwantowe, kwantowe języki programowania. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 4 / 33

Opis formalny obliczeń kwantowych Podstawowe definicje Język Przez ψ oznaczamy wektor ket z d wymiarowej przestrzeni Hilberta H d. ψ jest etykietą wektora. Przez ψ oznaczamy wektor dualny bra do wektora ψ. Iloczyn skalarny wektorów oznaczamy przez tzw. braket ψ φ = i ψ i φ i. ψ A φ oznacza iloczyn skalarny między ψ a A φ. Operatory liniowe działające na przestrzeni H d będziemy czasem oznaczać przez ket-bra ( x y ) ψ = x y ψ = y ψ x. Znakiem będziemy oznaczać iloczyn tensorowy. Zapisy ψ φ skracamy do ψ φ lub nawet ψφ. Znak A T transpozycję, A sprzężenie zespolone a A oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 5 / 33

Qubit Opis formalny obliczeń kwantowych Qubit Podstawową jednostką w informatyce kwantowej jest qubit, o którym mówimy, że jest to elementarny układ kwantowy mający dwa stany podstawowe. Definicja Qubit jest to zbiór wektorów o długości jeden w H. Mówimy, że dwa qubity są w tym samym stanie gdy różnią się o skalar zespolony o module 1 (czynniku fazowmym). W celu opisania stanu qubitu wybieramy bazę ortonormalną w dwu-wymiarowej przestrzeni Hilberta. Następujące wektory tworzą tzw. bazę obliczeniową: [ 1 0 = 0 ], 1 = [ 0 1 jest ona standardowa w obliczeniach kwantowych. Stan ψ qubitu jest zadany liniową kombinację wektorów bazowych gdzie α + β = 1 oraz α, β C. ], (1) ψ = α 0 + β 1, () Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 6 / 33

Opis formalny obliczeń kwantowych Qubit Zatem stan qubitu może być sparametryzowany przez trzy liczby rzeczywiste. ψ = e iγ ( cos θ 0 + eiφ sin θ 1 ), (3) gdzie γ, θ, φ R, a e iγ stanowi czynnik fażowy. Liczby rzeczywiste θ i φ mogą być interpretowane jako współrzędna punktu na trójwymiarowej sferze Blocha o promieniu jeden. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 7 / 33

Sfera Blocha Opis formalny obliczeń kwantowych Qubit Sfera Blocha jest wygodną reprezentacją graficzną qubitu. Rysunek: Sfera Blocha Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 8 / 33

Dwa qubity Opis formalny obliczeń kwantowych Dwa qubity Operacją matematyczną, która odpowiada złączeniu dwóch qubitów jest iloczyn tensorowy. Mając dane stany dwóch qubitów ψ i φ : ψ = [ ] α β = α 0 + β 1, φ = [ ] γ = γ 0 + δ 1, (4) δ ich łączny stan zapisujemy w taki sposób: αγ ψ φ = αδ βγ = αγ 0 0 + αδ 0 1 + βγ 1 0 + βδ 1 1, (5) βδ bądź w skrócie: αγ 00 + αδ 01 + βγ 10 + βδ 11. (6) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 9 / 33

Rejestry kwantowe Opis formalny obliczeń kwantowych Rejestry kwantowe N-qubitowy rejestr kwantowy jest opisywany przez wektory w przestrzeni H N = C C... C. (7) Zazwyczaj wybieramy w tej przestrzeni naturalną bazę ortonormalną (obliczeniową) { x i } N 1 i=0, gdzie x i są ciągami binarnymi o długości N. Stan ψ rejestru jest zatem opisany przez wektor w bazie obliczeniowej: ψ = N 1 i=0 gdzie współczynniki a i spełnianiają równanie: N 1 i=0 a i x i, (8) a i = 1. (9) Zatem odrzucając globalną fazę, stan N-qubitowego rejestru kwantowego jest opisany przez N 1 liczb zespolonych. Możemy to porównać do N-bitowego rejestru klasycznego, który jest opisany N liczbami naturalnymi. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 10 / 33

Bramki kwantowe Operacje kwantowe Bramki kwantowe Stany kwantowe (czyste) to wektory zespolone o długości jeden. Operacje, które przeprowadzają stany w stany nazywamy bramkami kwantowymi. Są one reprezentowane przez macierze unitarne t.j. UU = I. Przejścia między stanami są obliczane poprzez pomnożenie stanu z lewej strony przez macierz unitarną: ψ 1 = U ψ 0. (10) Łatwo zauważyć, że obliczenia kwantowe są odwracalne Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 11 / 33

Bramki jednoqubitowe Operacje kwantowe Bramki kwantowe Istnieją cztery bramki jednobitowe Identyczność 0 0 1 1, Negacja 0 1 1 0, Reset 0 0 1 0, Set 0 1 1 1. Bramek jednoqubitowych istnieje nieskończenie wiele. Stanowią one nadzbiór bramek klasycznych. Możemy zapisać bramki klasyczne w języku macierzy. Identyczność (I) i negacja (N ot) są prawidłowymi operacjami kwantowymi: I = [ 1 0 0 1 ], Not = [ 0 1 1 0 ]. (11) Reset (P 0 ) i set (P 1 ) mogą być zapisane jako macierze rzutowe: [ ] [ ] 1 0 0 0 P 0 =, P 0 0 1 =, (1) 0 1 jednakże nie są one operacjami unitarnymi i zatem nie mogą być stosowane wprost w informatyce kwantowej. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33

Operacje kwantowe Bramki kwantowe Pierwszą bramką, którą wprowadzimy, która nie ma odpowiednika klasycznego jest bramka Hadamarda: H = 1 [ ] 1 1. (13) 1 1 Ta bramka przekształca stan 0 w 1 ( 0 + 1 ) oraz stan 1 w 1 ( 0 1 ). Inna bramka w informatyce kwantowej, to: [ ] 1 0 Z =, (14) 0 1 która przekształca 0 w siebie samego, a 1 w 1. Zbiór wszystkich bramek jednoqubitowych może być sparametryzowany czterema liczbami rzeczywistymi α, β, γ, δ w następujący sposób: U(α, β, γ, δ) = e iα [ e iβ 0 0 e iβ ] [ cos( γ ) sin( γ ) ] [ sin( γ ) cos( γ ) e iδ 0 0 e iδ ]. (15) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 13 / 33

Bramka CNOT Operacje kwantowe Bramki kwantowe Najbardziej popularną bramką dwuqubitową jest bramka CN ot. Pierwszy qubit nazywamy kontrolnym, drugi docelowym. Jeżeli qubit kontrolny jest w stanie 1 to wyjście qubitu docelowego jest negowane. Zachowanie tej bramki można podać przez poniższe równanie: CNot x, y = x, x y, (16) gdzie oznacza dodawanie modulo. W zapisie macierzowym bramka CN ot wygląda następująco: 1 0 0 0 CNot = 0 1 0 0 0 0 0 1. (17) 0 0 1 0 CNot jest odpowiednikiem bramki XOR z tą różnicą, że drugi bit jest kopiowany na drugie wyjście. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 14 / 33

Splątanie Operacje kwantowe Bramki kwantowe Stan kwantowy, który opisuje pojedynczy qubit nie jest zbytnio interesujący. Ciekawe zjawiska pojawiają się gdy mamy do dyspozycji dwa qubity. Weźmy stan dwuqubitowy 00. Wpierw aplikujemy bramkę Hadamarda H na pierwszym qubicie: H I 00 = 1 ( 00 + 10 ). (18) bramkami kwantowymi Potem aplikujemy bramkę CN ot: CNot 1 ( 00 + 10 ) = 1 ( 00 + 11 ) = Φ +. (19) Teraz weźmy oba qubity α 0 + β 1 i γ 0 + δ 1, ich iloczyn Kroneckera wynosi: (α 0 + β 1 ) (γ 0 + δ 1 ) = αγ 00 + αδ 01 + βγ 10 + βδ 11. (0) Jeżeli będziemy chcieli zapisać stan Φ + w następujący sposób: 00 + 11 = αγ 00 + αδ 01 + βγ 10 + βδ 11, (1) to otrzymamy układ równań αγ = 1, αδ = 0, βγ = 0 i βδ = 1. Ten układ równań nie ma rozwiązań! Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 15 / 33

Splątanie cd. Operacje kwantowe Bramki kwantowe Stan Φ + nie może zostać zapisany jako iloczyn tensorowy stanów rozłącznych qubitów. Takie stany nazywamy splątanymi. Stany splątane nie mogą być rozpatrywane jako kombinacje podsystemów, muszą być traktowane jako całość. Splątanie jest bardzo ważną cechą systemów kwantowych. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 16 / 33

Obserwable Operacje kwantowe Obserwable Dotychczas mówiliśmy o reprezentacji stanów kwantowych. Jednakże stany kwantowe nie mogą zostać zaobserwowane bezpośrednio w wyniku eksprymentu. Wielkości fizyczne, które mogą być zmierzone nazywamy obserwablami. Obserwabla Obserwablą nazywamy mierzalną wielkość fizyczną. Reprezentowana jest ona przez operator hermitowski M = M Jednocześnie mamy użyteczne twierdzenie: jeżeli M = M, to M = n a n P n, () gdzie P n P m = P n δ nm, P n = I oraz a n σ(m). Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 17 / 33

Pomiar Operacje kwantowe Pomiar Mając dany operator rzutowy P n = ψ n ψ n, który odpowiada wynikowi pomiaru a n i stan φ, prawdopodobieństwo p uzyskania wartości a n w wyniku pomiaru φ może zostać policzone w następujący sposób: p(a n ) = φ ( ψ n ψ n ) φ = φ ψ n ψ n φ = P n φ (3) Po pomiarze rzutowym, system będzie w stanie: φ 1 = P n φ φ Pn φ. (4) Oznacza to, że pomiar dają wynik losowy i że pomiar zmienia stan układu. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 18 / 33

Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 1/4 Algorytm Deustsch a Załóżmy, że mamy czarną skrzynkę nazywaną zwyczajowo wyrocznią. Ta skrzynka oblicza funkcję f : {0, 1} {0, 1}. Nie wiemy czy ta funkcja jest stała tzn. f(0) = f(1), czy różnowartościowa tzn. f(0) = f(1). W przypadku klasycznym musimy zapytać wyroczni dwa razy ażeby zbadać, do której z powyższych klas f należy. W przypadku klasycznym możemy rozwiązać ten problem zapytując wyrocznię tylko raz. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 19 / 33

Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a /4 Algorytm Deustsch a Bramka U f jest rewersyjną implementacją funkcji f, symbol oznacza pomiar. 0 H x x H U f 1 H y y f(x) Rysunek: Obwód kwantowy opisujący działanie algorytmu Deutsch a. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 0 / 33

Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 3/4 Algorytm Deustsch a Algorytm jest następujący: Przygotuj stan: Ψ = 0 1, Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33

Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 3/4 Algorytm Deustsch a Algorytm jest następujący: Przygotuj stan: Ψ = 0 1, zasotsouj bramkę Hadamarda H na stanie Ψ, uzyskasz Ψ 1 = 0 + 1 0 1 = 1 ( 00 01 + 10 11 ). (5) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33

Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 3/4 Algorytm Deustsch a Algorytm jest następujący: Przygotuj stan: Ψ = 0 1, zasotsouj bramkę Hadamarda H na stanie Ψ, uzyskasz Ψ 1 = 0 + 1 0 1 = 1 ( 00 01 + 10 11 ). (5) zastosuj bramkę U f : x y x f(x) y) : Ψ = 1 ( 0 f(0) 0 0 f(0) 1 + 1 f(1) 0 1 f(1) 1 ) = { ± 0 + 1 ± 0 1 0 1 0 1 dla f stałej, dla f różnowartościowej. (6) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33

Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 4/4 Algorytm Deustsch a Zastosuj H I na stanie Ψ ; uzyskasz: Ψ 3 = { ± 0 0 1 ± 1 0 1 dla f stałej, dla f różnowartościowej. (7) Zmierz stan pierwszego qubitu, dostaniesz: 0 w przypadku funkcji stałej, 1 w przypadku funkcji różnowartościowej. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 / 33

Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa 1/3 Teleportacja kwantowa Teleportacja kwantowa, to protokół mający na celu przesłanie stanu qubitu z wykorzystaniem splątanej pary qubitów i dwóch bitów informacji. q A H q B H q C Z X Rysunek: Obwód teleportacji kwantowej Niech jest pewny dowolnym stanem qubitu. Chcemy go przenieść z qubitu A na C. φ A = α 0 + β 1 (8) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 3 / 33

Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 4 / 33

Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) ψ ABC 1 = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B + 1 B ) 0 C (30) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 4 / 33

Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) ψ ABC 1 = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B + 1 B ) 0 C (30) ψ ABC = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B 0 C + 1 B 1 C ) (31) = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 0 B 0 C + β 1 A 1 B 1 C ) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 4 / 33

Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) ψ ABC 1 = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B + 1 B ) 0 C (30) ψ ABC = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B 0 C + 1 B 1 C ) (31) = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 0 B 0 C + β 1 A 1 B 1 C ) ψ ABC 3 = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 1 B 0 C + β 1 A 0 B 1 C ) (3) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 4 / 33

Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) ψ ABC 1 = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B + 1 B ) 0 C (30) ψ ABC = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B 0 C + 1 B 1 C ) (31) = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 0 B 0 C + β 1 A 1 B 1 C ) ψ ABC 3 = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 1 B 0 C + β 1 A 0 B 1 C ) (3) ψ ABC 4 = 1 (α 0 A0 B 0 C + α 1 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + α 1 A 1 B 1 C (33) +β 0 A 1 B 0 C β 1 A 1 B 0 C + β 0 A 0 B 1 C β 1 A 0 B 1 C ) (34) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 4 / 33

Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa 3/3 Teleportacja kwantowa Jeżeli Alicja w wyniku pomiaru zmierzy 00 to przeprowadzi swój stan w 0 A 0 B i quibt C będzie w stanie α 0 C + β 1 C czyli będzie, to pierwotny stan qubitu A. W pozostałych przypadkach mamy: wynik pomiaru stan Alicji stan Boba korekcja 01 0 A 1 B α 1 C + β 0 C X 10 1 A 0 B α 0 C β 1 C Z 11 1 A 1 B α 1 C β 0 C XZ W ten sposób przy użyciu bitów informacji i stanu splątanego można przesłać stan qubitu. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 5 / 33

Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa Teleportacja kwantowa realizacja Rysunek: Układ teleportacji stanu jonów 70Yb. [P. Maunz, S. Olmschenk, D. Hayes, D.N. Matsukevich, L.-M. Duan, and C. Monroe. Heralded Quantum Gate between Remote Quantum Memories. Physical Review Letters 10, 5050 (009).] Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 6 / 33

Przykłady zastosowań Zastosowania informatyki kwantowej Inne zastosowania informatyki kwantowej Kwantowa dystrybucja klucza, gęste kodowanie, wyszukiwanie w nieuporządkowanym zbiorze, znajdowanie dzielników liczby, rozwiązywanie układów równań liniowych, sprawdzanie czy element znajduje się w zbiorze,... Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 7 / 33

Literatura Literatura Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 000 Krzysztof Giaro, Marcin Kamiński, Wprowadzenie do algorytmów kwantowych, Exit, 003 Hirvensalo Mika, Algorytmy kwantowe, WSiP, 004 arxiv.org/archive/quant-ph baza preprintów artykułów www.quantiki.org wiki i vortal o informatyce kwantowej Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 8 / 33

Literatura Dziękuję za uwagę. http://zksi.iitis.pl Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 9 / 33