High level programming in quantum computer science

Transkrypt

1 High level programming in quantum computer science Autor: Promotor: prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 23 grudnia 2008

2 Plan wystąpienia 1 Wstęp Motywacja Teza pracy 2 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem 3 Wysokopoziomowe struktury programistyczne w programowaniu kwantowym Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 4 Przykład zastosowania 5 Wyniki i wnioski

3 Plan wystąpienia Wstęp Motywacja Teza pracy 1 Wstęp Motywacja Teza pracy 2 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem 3 Wysokopoziomowe struktury programistyczne w programowaniu kwantowym Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 4 Przykład zastosowania 5 Wyniki i wnioski

4 Motywacja Wstęp Motywacja Teza pracy Wykorzystanie kwantowych systemów informatyki pozwala na efektywniejsze rozwiązywanie niektórych problemów informatycznych. Algorytmy Istnieją algorytmy kwantowe, np.: wyszukiwania w nieuporządkowanym zbiorze, poszukiwania dzielników liczb, badania, czy element znajduje się w zbiorze, rozwiązywania układów równań liniowych, które wymagają mniejszej liczby operacji elementarnych niż ich odpowiedniki klasyczne.

5 Motywacja Wstęp Motywacja Teza pracy Protokoły Protokoły kwantowe pozwalają na: ustalenie bezpiecznego klucza, teleportację stanu kwantowego.

6 Motywacja Wstęp Motywacja Teza pracy Gry Wykorzystanie splątania przez graczy pozwala na uzyskanie większych wartości wygranych. Istnieją gry, w których gracz wykorzystujący zasady kwantowe ma całkowitą kontrolę nad wynikiem gry.

7 Motywacja Teza pracy Problem W jaki sposób zapisać program operujący na kwantowym systemie informatycznym? Jak szum pojawiający się w takich systemach obniża ich sprawność? Rozwiązanie Użyć dedykowanego kwantowego języka programowania, dającego możliwość efektywnego wykorzystania abstrakcyjnych konstrukcji programistycznych, jednocześnie wspierającego modelowanie i symulację procesów dekoherencji.

8 Pojęcia podstawowe Wstęp Motywacja Teza pracy Bramka kwantowa macierz unitarna. Elementarne bramki kwantowe: CNot, SU(2). Obwód kwantowy ciąg bramek kwantowych. Kanał kwantowy dowolna operacja na stanie kwantowym zgodna z zasadami mechaniki kwantowej. Dekoherencja nieodwracalny proces fizyczny, w wyniku którego następuje utrata informacji; inaczej szum kwantowy. Proces kwantowy algorytm, protokół lub gra kwantowa. Wysokopoziomowy język programowania język programowania niezależny od sprzętu, zaopatrzony w abstrakcyjne struktury programistyczne.

9 Motywacja Teza pracy Teza pracy Wysokopoziomowy opis obwodów kwantowych z uwzględnieniem nieunitarnych kanałów kwantowych pozwala na badanie zjawiska dekoherencji w procesach kwantowych.

10 Plan wystąpienia Wstęp Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem 1 Wstęp Motywacja Teza pracy 2 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem 3 Wysokopoziomowe struktury programistyczne w programowaniu kwantowym Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 4 Przykład zastosowania 5 Wyniki i wnioski

11 Stan Wstęp Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem Stan (mieszany) układu (komputera) kwantowego to macierz: ρ = ρ hermitowska, eig (ρ) 0 dodatnio półokreślona, Tr (ρ) = 1 o śladzie jeden. Taką macierz nazywamy macierzą gęstości.

12 Kanały kwantowe Wstęp Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem Kanały kwantowe przeprowadzają macierze gęstości w macierze gęstości. Zatem operator Φ( ) 1 musi zachowywać ślad, hermitowskość i dodatniość: Tr (ρ) = 1, ρ 0, ρ = ρ Tr (Φ(ρ)) = 1, Φ(ρ) 0, Φ(ρ) = Φ(ρ), (1) 2 musi być liniowy: ( ) Φ p i ρ i = i i p i Φ (ρ i ), (2) 3 i całkowicie dodatni: ( ) ρ i, ξ i 0 n N (Φ I n ) ρ i ξ i = i i Φ (ρ i ) ξ i 0. (3)

13 Operatory Krausa Wstęp Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem W ogólności kanał kwantowy Φ może być opisany w postaci operatorów Krausa {E k }: Φ(ρ) = E k ρe k, (4) k gdzie operatory spełniają warunek zupełności: E k E k = I. (5) [NC00] k

14 Szum w układach kwantowych Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem Źródłem szumu (dekoherencji) w układzie kwantowym jest interakcja układu z otoczeniem. W dalszych rozważaniach analizuję model szumu, w którym błędy pojawiają się niezależnie z jednakowym prawdopodobieństwem na każdym qubicie. Zakładam, że szum działa na układ w dyskretnych momentach czasu.

15 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem Kanały kwantowe modelujące szum w układzie kwantowym 1/3 Rodziny kanałów jednoqubitowych kanał depolaryzujący (podmienia stan na stan całkowicie losowy) { 1 3α/4I, α/4 [ ], α/4 [ ] [ 0 i i 0, α/4 1 0 ] } 0 1, zmniejszający amplitudę ( 1 0 ) ] [, {[ α 0 α 0 0 ]}, zmniejszający fazę (niszczący względną fazę pomiędzy stanami bazowymi): {[ ] [ ]} α, α,

16 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem Kanały kwantowe modelujące szum w układzie kwantowym 2/3 Rodziny kanałów jednoqubitowych cd. zmiana fazy, { 1 αi, α [ ]}, zmiana bitu { 1 αi, α [ ]}, zmiana bitu i fazy { [ 1 αi, α 0 i ]} i 0, gdzie α [0, 1] reprezentuje poziom szumu w układzie.

17 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem Kanały kwantowe modelujące szum w układzie kwantowym 3/3 Rozszerzenie do kanałów wieloqubitowych Z n jednoqubitowych operatorów Krausa {e k } tworzymy n N operatorów {E k } o wymiarze 2 N, tworząc kanał Φ(ρ) = k E kρe k : Φ(ρ) = n i 1,i 2,...i N =1 e i1 e i2... e in ρe i 1 e i 2... e i N. (6)

18 Plan wystąpienia Wstęp Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 1 Wstęp Motywacja Teza pracy 2 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem 3 Wysokopoziomowe struktury programistyczne w programowaniu kwantowym Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 4 Przykład zastosowania 5 Wyniki i wnioski

19 Operacje na pamięci kwantowej 1/2 Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Aplikacja kanału kwantowego K i na pamięci kwantowej: ρ t+1 = i K i ρ t K i. (7) Dodanie n qubitów do pamięci kwantowej: ρ t+1 = ρ t 0 }. {{.. 0 } 0 }. {{.. 0 }. (8) n n Usunięcie n qubitów r = {q i1,..., q in } : ρ t+1 = Tr r (ρ t ). (9)

20 Operacje na pamięci kwantowej 2/2 Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Unitarna ewolucja U pamięci kwantowej: Pomiar w bazie obliczeniowej: ρ t+1 = Uρ t U. (10) ρ t+1 = i i i ρ t i i, (11) P (i) = Tr ( i i ρ t ), (12) gdzie i indeksuje stany bazy obliczeniowej. [Oem03]

21 Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 1/5 Kwantowe wyrażenie warunkowe Pseudokod qbit q0; qbit q1; if (q0) G1(q1); else G2(q1); Obwód kwantowy q 0 q 1 G 1 G 2

22 Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 2/5 Zastosowanie operatora logicznego lub Pseudokod qbit q1; qbit q2; qbit q3; qbit q4; Obwód kwantowy q 1 q 2 if (q1 or q2) G1(q3); else G2(q4); q 3 G 1 G 1 G 1 q 4 G 2

23 Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 3/5 Zastosowanie operatora arytmetycznego mniejszy niż Pseudokod qreg[4] r; qbit q1; qbit q2; quantum-octave r=newregister(4); q1=newregister(1); q2=newregister(1); if (r<3) G1(q2); else G2(q1); qif(... qrlt(qureg(q1),3),... {G1,qureg(q2)},... {G2,qureg(q1)})

24 Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 4/5 Zastosowanie operatora arytmetycznego mniejszy niż Obwód kwantowy r 0 r 1 r 2... r 3 q 1 G 2 G 2 G 2 q 2 G 1 G 1 G 1

25 Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 5/5 Zastosowanie wskaźnika kwantowego Pseudokod Obwód kwantowy q 0 qreg[2] r1; qreg[2] r2; if(*r1) G(r2); q 1 q 2 G q 3 G q 4 G q 5 G

26 Plan wystąpienia Wstęp Przykład zastosowania 1 Wstęp Motywacja Teza pracy 2 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem 3 Wysokopoziomowe struktury programistyczne w programowaniu kwantowym Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 4 Przykład zastosowania 5 Wyniki i wnioski

27 Przykład zastosowania quantum-octave język opisu procesów kwantowych Zaimplementowany jako biblioteka funkcji dla środowiska GNU/Octave, oparty na modelu macierzy gęstości, implementujący m.in.: zarządzanie pamięcią kwantową (implementacja modelu QRAM), złożone kwantowe wyrażenia warunkowe, kanały kwantowe, funkcje do analizy stanów kwantowych. Zawiera w sumie około 90 funkcji interfejsu programisty.

28 Wstęp Przykład zastosowania Obarczony szumem kwantowy algorytm wyszukiwania 1/ H n Iteruj N π 4 razy Dyfuzja Wyrocznia x ( 1) f(x) x H n 0 0 x x H n Szum ρt+1=φ(ρt) dlax>0. Rysunek: Schemat algorytmu wyszukiwania obarczonego szumem [Gro96]

29 Przykład zastosowania Obarczony szumem kwantowy algorytm wyszukiwania 2/4 Jaki jest maksymalny poziom szumu, dla którego kwantowy algorytm wyszukiwania jest bardziej wydajny od algorytmu klasycznego? Zakładamy, że jeżeli algorytm nie zadziała poprawnie, to zostaje on powtórzony. Niech k = N 2 / π 4 N będzie maksymalną liczbą wywołań algorytmu, dla której algorytm kwantowy jest wydajniejszy niż algorytm klasyczny. Liczymy minimalną wartość prawdopodobieństwa prawidłowego wykonania algorytmu wyszukiwania, dla której uzyskujemy wynik z poziomem ufności C. p t = min p { 1 (1 p) k C }. (13)

30 Przykład zastosowania Obarczony szumem kwantowy algorytm wyszukiwania 3/4 prawdopodbieństwo znalezienia szukanego elementu poziom szumu α kanał depolaryzujący kanał zmniejszający amplitudę kanał zmniejszający fazę p t dla poziomu ufności 95% p t dla poziomu ufności 99% Rysunek: Obarczony szumem algorytm wyszukiwania na 6 qubitach

31 Przykład zastosowania Obarczony szumem kwantowy algorytm wyszukiwania 4/4 prawdopodbieństwo znalezienia szukanego elementu poziom szumu α kanał negujący bit kanał negujący fazę kanał negujący bit i fazę p t dla poziomu ufności 95% p t dla poziomu ufności 99% Rysunek: Obarczony szumem algorytm wyszukiwania na 6 qubitach

32 Gra w magiczny kwadrat Przykład zastosowania Przebieg gry w magiczny kwadrat: W grze bierze udział dwoje graczy: Alicja i Bob. Są oni odseparowani od siebie i nie mogą się komunikować. Przed rozgrywką mogą ustalić strategię. Celem graczy jest wypełnienie liczbami binarnymi jednej kolumny i jednego wiersza kwadratu 3 na 3 według następujących zasad: w kolumnie suma liczb musi być parzysta, w wierszu suma liczb musi być nieparzysta. Alicja dostaje wylosowany numer kolumny, Bob dostaje wylosowany numer wiersza. Alicja wypełnia jedną kolumnę zgodnie z zasadami, Bob wypełnia jeden wiersz. Gra jest wygrana, jeżeli na przecięciu zadanego wiersza i zadanej kolumny Alicja i Bob podali tę samą liczbę. W przeciwnym przypadku gra jest przegrana.

33 Gra w magiczny kwadrat Przykład zastosowania Magiczny kwadrat Sumy kolumn są parzyste, sumy wierszy są nieparzyste: /0 = 1 = 1 = 0/ /0 Taki kwadrat nie istnieje. Nie ma strategii klasycznej, która daje prawdopodobieństwo wygranej równe jeden.

34 Gra w magiczny kwadrat Przykład zastosowania Kwantowe rozwiązanie problemu Istnieje strategia kwantowa, która daje prawdopodobieństwo wygranej jeden. Wymaga ona, by gracze współdzielili stan splątany Ψ = 1 2 ( )[Mer90]. Co się dzieje, gdy stan jest mieszany? ( P a,b (α) = Tr Φ α ( Ψ Ψ ) ) ξ k ξ k k a,b {1,2,3} (14)

35 Gra w magiczny kwadrat Przykład zastosowania Gra w magiczny kwadrat zaimplementowana w quantum-octave ie 1 f u n c t i o n r e t = MagicSquare ( a, b ) i n S t a t e = 1/2 k e t ( [ ] ) 1/2 k e t ( [ ] ) /2 k e t ( [ ] ) + 1/2 k e t ( [ ] ) ; g l o b a l g a m e s t a t e 5 g a m e s t a t e = s t a t e ( i n S t a t e ) ; g a m e s t a t e = l o c a l c h a n n e l (... 7 c h a n n e l ( d e p o l a r i z i n g, a l p h a ), [ 1 : 4 ], 4 ), g a m e s t a t e ) ; 9 f o r s t e p = [ 1 : 3 ] a l i c e b i t s =a l i c e ( a, s t e p ) ; 11 b o b b i t s=bob ( b, s t e p ) ; w o r l d ( s t e p ) ; 13 e n d f o r 15 r e t =( a l i c e b i t s ( b)== b o b b i t s ( a ) ) ; e n d f u n c t i o n

36 Przykład zastosowania f u n c t i o n a l i c e b i t s =a l i c e ( a, s t e p ) 2 g l o b a l g a m e s t a t e ; A{1} = 1/ s q r t ( 2 ) [ I ; 0 I 1 0 ; 0 I 1 0 ; I ] ; 4 A{2} = 1/2 [ I 1 1 I ; I 1 1 I ; I 1 1 I ; I 1 1 I ] ; A{3} = 1/2 [ ; ; ; ]; 6 s w i t c h ( s t e p ) 8 case 1 g a m e s t a t e=e v o l v e ( kronp (A{a }, i d ( 2 ) ), g a m e s t a t e ) ; 10 case 2 g a m e s t a t e=a p p l y c h a n n e l ( l o c a l c h a n n e l ( c h a n n e l ( om ), [ 1, 2 ], 4 ), g a m e s t a t e ) ; case 3 14 a1 = abs ( p t r a c e ( game state, [ 3, 4 ] ) ) ; 16 i f a1==s t a t e ( k e t ( [ 0, 0 ] ) ) a l i c e b i t s = [ 0, 0, 0 ] ; 18 e l s e i f a1==s t a t e ( k e t ( [ 0, 1 ] ) ) a l i c e b i t s = [ 0, 1, 1 ] ; 20 e l s e i f a1==s t a t e ( k e t ( [ 1, 0 ] ) ) a l i c e b i t s = [ 1, 0, 1 ] ; 22 e l s e i f a1==s t a t e ( k e t ( [ 1, 1 ] ) ) a l i c e b i t s = [ 1, 1, 0 ] ; 24 e n d i f e n d s w i t c h 26 e n d f u n c t i o n

37 Przykład zastosowania f u n c t i o n b o b b i t s=bob ( b, s t e p ) 2 g l o b a l g a m e s t a t e ; B{1} = 1/2 [ I I 1 1 ; I I 1 1 ; 1 1 I I ; I I 1 1 ] ; 4 B{2} = 1/2 [ 1 I 1 I ; 1 I 1 I ; 1 I 1 I ; 1 i 1 I ] ; B{3} = 1/ s q r t ( 2 ) [ ; ; ; ] ; 6 s w i t c h ( s t e p ) 8 case 1 g a m e s t a t e=e v o l v e ( kronp ( i d ( 2 ),B{b }), g a m e s t a t e ) ; 10 case 2 g a m e s t a t e=a p p l y c h a n n e l ( l o c a l c h a n n e l ( c h a n n e l ( om ), [ 3, 4 ], 4 ), g a m e s t a t e ) ; case 3 14 b1 = abs ( p t r a c e ( game state, [ 1, 2 ] ) ) ; 16 i f b1==s t a t e ( k e t ( [ 0, 0 ] ) ) b o b b i t s = [ 0, 0, 1 ] ; 18 e l s e i f b1==s t a t e ( k e t ( [ 0, 1 ] ) ) b o b b i t s = [ 0, 1, 0 ] ; 20 e l s e i f b1==s t a t e ( k e t ( [ 1, 0 ] ) ) b o b b i t s = [ 1, 0, 0 ] ; 22 e l s e i f b1==s t a t e ( k e t ( [ 1, 1 ] ) ) b o b b i t s = [ 1, 1, 1 ] ; 24 e n d i f e n d s w i t c h 26 e n d f u n c t i o n

38 Przykład zastosowania f u n c t i o n w o r l d ( s t e p ) 2 g l o b a l g a m e s t a t e ; s w i t c h ( s t e p ) 4 case 2 g a m e s t a t e=c o l l a p s e ( measurecompbasis ( g a m e s t a t e ) ) ; 6 e n d s w i t c h e n d f u n c t i o n

39 Przykład zastosowania Gra w magiczny kwadrat pod wpływem szumu 1 1 Prawdopodobieństwo wygranej P (α) kanał depolaryzuj acy próg klasyczny Prawdopodobieństwo wygranej P (α) kanały neguj ace próg klasyczny Prawdopodobieństwo wygranej P (α) Współczynnik błȩdu α kanał zmniejszaj acy amplitudȩ próg klasyczny Prawdopodobieństwo wygranej P (α) Współczynnik błȩdu α kanał zmniejszaj acy fazȩ próg klasyczny Współczynnik błȩdu α Współczynnik błȩdu α

40 Plan wystąpienia Wstęp Wyniki i wnioski 1 Wstęp Motywacja Teza pracy 2 Kanały kwantowe Kanały kwantowe obarczone szumem 3 Wysokopoziomowe struktury programistyczne w programowaniu kwantowym Operacje na pamięci kwantowej Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 4 Przykład zastosowania 5 Wyniki i wnioski

41 Wyniki 1/3 Wstęp Wyniki i wnioski W wyniku prac nad rozprawą doktorską uzyskano następujące rezultaty: Implementacja biblioteki / języka quantum-octave do programowania i symulacji procesów kwantowych. Wyniki opublikowano w: P. Gawron, J. A. Miszczak. Simulations of quantum systems evolution with quantum-octave package. Annales UMCS Informatica AI, 1(2), P. Gawron, J. A. Miszczak. Numerical simulations of mixed states quantum computation. International Journal of Quantum Information, 3(1): , pięciu innych publikacjach.

42 Wyniki 2/3 Wstęp Wyniki i wnioski Implementacja i symulacja kwantowego algorytmu wyszukiwania oraz przeprowadzenie analizy wpływu szumu na wydajność algorytmu. Wyznaczenie wartości parametru szumu, dla których algorytm kwantowy jest bardziej wydajny od klasycznego. Planowana publikacja w Theoretical and Applied Informatics. Symulacja i analiza kwantowego błądzenia losowego poddanego działaniu szumu w przypadkach, gdy szum oddziaływuje na cały system lub tylko na monetę. Planowana publikacja w Theoretical and Applied Informatics.

43 Wyniki 3/3 Wstęp Wyniki i wnioski Prosta analiza wpływu szumu na grę w obracanie grosza. Kwantowa implementacja schematu Parrondo na małej liczbie qubitów, która naśladuje klasyczny schemat. Opublikowane w: P. Gawron, J. A. Miszczak. Quantum implementation of Parrondo paradox. Fluctuation and Noise Letters, 5(4), Implementacja, symulacja i analiza wpływu szumu na prawdopodobieństwo sukcesu w grze w magiczny kwadrat. Opublikowane w: P. Gawron, J. A. Miszczak, J. Sładkowski. Noise effects in quantum magic squares game. International Journal of Quantum Information, 6(1 supp), Analiza wpływu szumu na prawdopodobieństwo wygranej graczy w kwantowej grze Monty ego Halla. W przygotowaniu do publikacji w Fluctuation and Noise Letters.

44 Wnioski Wstęp Wyniki i wnioski Zaprezentowano nowy wysokopoziomowy język opisu procesów kwantowych, oparty na modelu macierzy gęstości. Wykorzystano stworzony języki do analizy szumów w procesach kwantowych. Wykazano, że szum ma znaczący wpływ na wynik działania procesów kwantowych. W szczególności może on prowadzić do zmniejszenia ich wydajności. Jednakże w przypadku gier kwantowych może on zwiększać prawdopodobieństwo wygranej któregoś z graczy. Wykazano, że wysokopoziomowy opis obwodów kwantowych z uwzględnieniem nieunitarnych kanałów kwantowych pozwala na efektywne badanie zjawiska dekoherencji w procesach kwantowych.

45 Literatura Wstęp Wyniki i wnioski L. Grover. A fast quantum mechanical algorithm for database search. In Proc. 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computation, pages , New York, NY, ACM Press, New York. N. David Mermin. Simple unified form for the major no-hidden-variables theorems. Phys. Rev. Lett., 65(27): , Dec M. A. Nielsen and I. L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, B. Oemer. Structured Quantum Programming. PhD thesis, Technical University of Vienna, 2003.

46 Wyniki i wnioski Dziękuję za uwagę.