Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek
Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać, jednak w dłuższym okresie czasu zaobserwujemy wyraźny średni wzrost. Badania wykazują, że cena jednostki jest dobrze opisana niesymetrycznym rozkładem, w którym wartość maksymalna jest zdecydowanie bardziej oddalona od wartości średniej, niż wartość minimalna. Przyjmuje się, że takim rozkładem może być rozkład lognormalny $50,00 $45,00 $40,00 $35,00 $30,00 $25,00 $20,00 $15,00 $10,00 $5,00 $0,00 Price Paths 0 20 40 60 80 100 120 140 Day
Wahania ceny jednostki P t = P 0 e N P t to cena w momencie t P 0 to cena początkowa e N to wskaźnik wzrostu N to wartość uzyskiwana z rozkładu normalnego o średniej μ (ang. Drift=Dryf) i odchyleniu σ (ang. Volatility=zmienność) Parametry te uzyskuje się zwykle ze średniej rocznej stopy przyrostu ceny oraz odchylenia standardowego stopy przyrostu Jeżeli np. średni roczny przyrost ceny wynosi 12% a roczne odchylenie standardowe 30% to odpowiednie miesięczne parametry równają się 1% (=12/12) oraz 8,6% (=30/12 0,5 ) Pamiętajmy o pierwiastku!
Wahania ceny jednostki Aby wyznaczyć cenę P t należy cenę początkową P 0 przemnożyć przez wskaźnik e N (wskaźnik wzrostu). Wskaźnik ten uzyskamy generując najpierw wartość N z rozkładu normalnego a następnie wstawiając wyznaczoną wartość jako parametr funkcji EXP(). Formuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego to: Rozkład.Normalny.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie) Formuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego o średniej 0 i odchyleniu 1: Rozkład.Normalny.S.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie)
Stopa przyrostu ceny P t P exp[( 0.5 ) t Z t 0 2 ] μ to średnia procentowa stopa zwrotu z akcji (dryf) σ to odchylenie standardowe dla wzrostu ceny (zmienność) Z to standaryzowana zmienna losowa o rozkładzie normalnym Wartości μ i σ podawane są w postaci liczby, np. μ =0.06 oznacza 6% średni wzrost ceny. Obie wielkości są mierzone dla tej samej jednostki czasu, np. 1 roku
Opcje Opcja to prawo a nie obowiązek Wartość opcji jest zależna od ceny waloru, będącego przedmiotem transakcji: określonego papieru wartościowego (akcja, obligacja, bon skarbowy), waluty, indeksu giełdowego, stopy procentowej etc. Walor ten nazywa się instrumentem pierwotnym (underlying instrument), a opcja (option) utworzona na jego bazie instrumentem pochodnym (derivative instrument)
Opcje Opcja jest to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą) dająca nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym dniu w przyszłości po określonej cenie w zamian za opłatę. Pod koniec okresu, na jaki wystawiono opcję, czyli w terminie jej wygaśnięcia, kończy się prawo związane z opcją. Opcja europejska jest instrumentem terminowym, dla którego wykonanie może nastąpić tylko w ostatnim dniu okresu jej życia. Nie można jej wykonać wcześniej ani, oczywiście, później
Opcje europejskie Przykład: opcja kupna Cena wykonania (cena realizacji opcji, ang. excercise, strike price) opcji to 100 zł z terminem wykonania za 6 miesięcy (data wygaśnięcia opcji, expiration, strike date). Jeżeli w dniu wykonania wartość waloru (ang. intrinsic value) będzie równa 105 zł, wykonując opcję odnotujemy zysk równy 5 zł minus premia opcyjna. Jeżeli w dniu wykonania wartość waloru będzie równa 90 zł, nie podejmiemy decyzji o wykupie opcji. Nasza strata będzie równa tylko wartości wpłaconej premii opcyjnej.
Opcje kupna na WIG20 Na warszawskiej giełdzie notowane są opcje na WIG20 ich wartość zależy od wartości indeksu WIG20. Notowania opcji podawane są w punktach. Wartość opcji to kurs przemnożony przez mnożnik, który wynosi 10 zł. Np., wartość opcji notowanych po 17,6 pkt to 176 zł.
Wycena opcji na akcję Polecenie 1: Chcemy prześledzić ścieżkę zmiany wartości ceny akcji spółki X w ciągu roku (z krokiem 1 miesiąca oraz z krokiem 1 roku). Należy wykorzystać notowania spółki X z pliku Notowania.xls, zakładka Notowania 1 1. Obliczyć dryf i zmienność z pliku Notowania w ujęciu miesięcznym i rocznym 2. Przeprowadzić dwie symulacje z wykorzystaniem modelu Hulla (model błądzenia geometrycznego): (1) z krokiem miesięcznym i (2) z krokiem rocznym 3. Wykonać 500 powtórzeń dla obu symulacji 4. Wyznaczyć średnią cenę akcji i ryzyko dla obu symulacji
Polecenie 1 Wykonujemy 500 powtórzeń
Wycena opcji na akcję Polecenie 2: Chcemy zbadać, jaka będzie dobra cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą symulacji) Musimy określić średnią wartość zysku z opcji, zdyskontowaną do chwili 0, przy założeniu, że cena akcji zmienia się w warunkach niezależnych od ryzyka. Wartość czynnika dyskontującego niezależnego od ryzyka to e (-r * t) gdzie r - stopa procentowa wolna od ryzyka, t moment wygaśnięcia opcji na akcję
Polecenie 2 L4=MAX(K4-E8;0) N4=MAX(E8-K4;0)
Polecenie 3 Polecenie 3: Chcemy zbadać, jaka będzie dobra cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą modelu Blacka-Scholesa)
Polecenie 3 C17=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C15) C18=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C16)
Wycena opcji Polecenie 4: Chcemy określić efektywność portfela inwestycyjnego składającego się z akcji (pozycja długa) i opcji na akcję (pozycja długa). Inwestor kupuje jedną akcję Spółki X po 28,50 zł oraz jedną opcję call na akcję (po około 5,30 zł). Policzymy wartość portfela na dzień wykonania opcji. W symulacji ceny akcji za pół roku, wykorzystujemy tym razem rzeczywistą stopę zwrotu, a nie stopę wolną od ryzyka! W symulacji zysku z opcji nie przeprowadzamy operacji dyskontowania Zadanie: sporządzić histogram procentowych stóp zwrotu
Polecenie 4 I6=E6*EXP((E13-0,5*E14^2)*E8+E14*ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(LOS())*PIERWIASTEK(E8)) J6=MAX(I6-E7;0) K6=I6+J6 L6=(K6-E11)/E11 J7=MAX(E7-I6;0) K7=I6+J7 L7=(K7-F11)/F11 E10= pobrane z modelu wyceny opcji F10= pobrane z modelu wyceny opcji
Polecenie 4 Który portfel jest portfelem zabezpieczającym przed ryzykiem? Dlaczego? Uzasadnij
Zadanie domowe Zad.1. Porównaj obie symulacje z Polecenia nr 1 Zad.2. Porównaj obie wyceny opcji (Polecenie nr 2 i nr 3). Należy sporządzić histogram procentowych stóp zwrotu i uwzględnić go w porównaniu