Fizyka 2 Wyk»ad W6 1 Moment pedu w mechanice kwantowej Z zasady odpowiednioñci: r h. We wspó»rz dnych kartezja½skich: We wspó»rz dnych sferycznych

Transkrypt

1 Fizyka Wyk»ad W6 1 Moment pedu w mechanice kwantowej Z zasady odpowiednioñci: We wspó»rz dnych kartezja½skich: y x - x y = i L x z - z x = i L z y - y z = i L z y x h h h ˆ ˆ ˆ We wspó»rz dnych sferycznych φ φ φ θ θ θ φ φ θ θ θ i = - L + ctg - = i L + ctg = i L z y x h h h ˆ sin cos ˆ cos sin ˆ r =-i p L=r r h r r r ˆ ˆ

2 Fizyka Wyk»ad W6 Jak widać: jedna składowa (z-towa) jest wyróŝniona. Ma to znaczenie wtedy gdy symetria sferyczna rozwaŝanego problemu zostanie złamana przez wprowadzenie wyróŝnionego kierunku w przestrzeni. Przykład: Zewnętrzne pole magnetyczne wyznacza taki wyróŝniony kierunek. Zamiast modu»u (długości) wektora momentu p du wprowadza si operator kwadratu momentu p du: L we współrzędnych sferycznych ^ = -h 1 sin ^ L = Lˆ x + Lˆ y + Lˆ 1 sinθ + θ θ sin θ φ θ Operatory momentu p du posiadaj nast pujce w»asnoñci: Operator kwadratu momentu pedu i operator jednej składowej momentu pędu komutują ^ [L, Lˆ z ] = 0 z

3 Fizyka Wyk»ad W6 3 a pozosta»e operatory nie komutuj ze sob: [ Lˆ [ Lˆ x y, Lˆ, Lˆ y z ] = Lˆ ] = Lˆ [ Lˆ z, Lˆ x ] = Lˆ y Wniosek: modu» (a raczej jego kwadrat) wektora momentu p du oraz jedn jego sk»adow moóna mierzyƒ jednoczeñnie. Uwaga: wyróŝniona składowa z-towa to ta, która odpowiada wyróŝnionemu kierunkowi w przestrzeni. Taki kierunek powstaje na skutek złamania symetrii sferycznej np. gdy przyłoŝymy zewnętrzne pole magnetyczne do badanego układu. Wypadkowe wewnętrzne pola sił w kryształach teŝ wyróŝniają kierunek w przestrzeni. operator kwadratu momentu p du oraz operator z-towej sk»adowej posiadaj wspólne funkcje w»asne (bo operatory te komutują) Lˆ z Y l,m ( θ, φ )= h m Y l,m ( θ, φ ) ^ L Y l,m ( θ, φ )= h l (l +1) Y l,m ( θ, φ ) gdzie Y m ( θ, ) s funkcjami kulistymi (są to funkcje nie elementarne). l, φ z x

4 Fizyka Wyk»ad W6 4 Przykład: Kilka pierwszych takich funkcji ma nast pujc postaƒ m (w notacji równowaŝnej Y ( θ, φ ) Y ( θ, φ )): l lm

5 Fizyka Wyk»ad W6 5 Przykład: Gęstość prawdopodobieństwa związana z kilkoma przykładowymi funkcjami sferycznymi:

6 Fizyka Wyk»ad W6 6 DoÑwiadczenie Zeemana: Przykładając pole magnetyczne do atomów gazu, Zeeman zbadał własności orbitalnego momentu magnetycznego związanego z elektronem na orbicie atomowej. Eksperyment znajdziecie odtworzony na stronie: qm/index.html {hyperlink: za pomocą programu Zeeman Spectroscopy { W eksperymencie tym, Zeman powoli zwiększał działające na atomy pole magnetyczne (elektromagnes po lewej strony obrazu) i obserwował widma optyczne (górny rysunek widm). Bez zewnętrznego pola magnetycznego otrzymano jedynie pojedynczy prąŝek (pojedyncza zielona linia)

7 Fizyka Wyk»ad W6 7 W symulacji załoŝono, Ŝe w atomie moŝe zajść tylko przejście kwantowe pomiędzy dwoma poziomami atomowymi: orbital d z 6-tej powłoki atomowej (6d) oraz orbital p z 7-mej powłoki (7p) (znaczenie tych symboli zostanie wyjaśnione poniŝej). Uwaga: na stronie internetowej jest błąd: oznaczenia orbitalu d pomylono z orbitalem p a oznaczenia orbitalu s z orbitalem d PrzyłoŜenie zewnętrznego pola magnetycznego powoduje rozszczepienie poziomów atomowych na kilka i zwielokrotnienie przejñƒ kwantowych. Orbital d rozszczepia się na 5 a orbital p na 3. Powoduje to zwielokrotnienie liczby linii widmowych jak na rysunku obok.

8 Fizyka Wyk»ad W6 8 Dzieje się tak dlatego, Ŝe: Wiadomo z doświadcze½ z przep»ywem prądu w zwojach drutu w polu magnetycznym: moment p du prądu elektrycznego w zwoju wiąŝe si z dipolowym momentem magnetycznym r e r µ r L = - L me Elektron krąŝąc po zamkniętej orbicie elektronowej teŝ posiada moment pędu zupełnie jak elektron poruszający się w zwoju drutu. W przypadku elektronu na powłoce atomowej rzut momentu pędu na kierunek wyróóniony (kierunek pola magnetycznego w tych doñwiadczeniach) jest skwantowany: e h µ - m= µ m Lz = B me gdzie m e masa elektronu µ B jest sta» fizyczn (magneton Bohra). m = - l, -l+1,..,0,..., l-1, l Skwantowanie rzutu momentu pędu (dyskretne wartości liczby kwantowej m) oznacza, Ŝe moment pędu w 3-wymiarowej przestrzeni nie moŝe się ustawić dowolnie a jedynie pod ściśle określonym kątem do kierunku wyróŝnionego przez pole magnetyczne (kwantyzacja przestrzenna momentu pędu).

9 Fizyka Wyk»ad W6 9 Jak wynika z kwantowego modelu atomu (patrz rozdział poniŝej): orbitalom oznaczanym literą p odpowiada liczba kwantowa l = 1. Zatem magnetyczna liczba kwantowa m moŝe być równa -1,0 lub 1. Daje to 3 orbitale, które są zdegenerowane bez zewnętrznego pola magnetycznego ich energia jest jednakowa => zachowują się jak 1 poziom energetyczny dopóki nie włączymy zewnętrznego pola magnetycznego. Gdy włączymy pole magnetyczne kaŝdy moment pędu uzyskuje energię dodatkową: r r E = µ B = µ B = mb dod L µ z B Prowadzi to do rozszczepienia poziomu atomego na 3 orbitale o róŝnej energii. Stopień rozszczepienia jest więc zaleŝny od pola magnetycznego B Podobnie orbitalom oznaczonym literą d odpowiada liczba kwantowa l = a zatem i m = -,-1,0,1, (w programie na stronie Visual Quantum Mechanics jest błąd! W rzeczywistości sa tam pokazane orbitale to 6d oraz 7p; widać to po tym jak się one rozszczepiają w polu magnetycznym). Struktura subtelna widma optycznego: Okazuje się, Ŝe kaŝda z linii widocznych w spektrogramie, po przyłoŝeniu jeszcze silniejszego pola magnetycznego niŝ na rysunkach powyŝej ulega dalszemu rozszczepieniu, tym razem na linie. Jest to skutek wewnętrznego momentu pędu elektronu tzw. spinu.

10 Fizyka Wyk»ad W6 10 Spinowy moment p du Jest to wewn trzny moment p du czstek elementarnych. Nie ma nic wspólnego z rzeczywistym obrotem czstki wokó» w»asnej osi. W»asnoÑci spinu czstki moŝna wyprowadziƒ na gruncie relatywistycznej mechaniki kwantowej. Wynik doñwiadczenia Zeemana w silnych polach magnetycznych wskazuje, óe elektrony posiadaj w»asny magnetyczny moment dipolowy, którego rzut moóe mieƒ tylko wartoñci: tzn. S z = ± ½. Spin posiadają nie tylko pojedyncze cząstki takie jak elektrony, protony czy neutrony. DoÑwiadczenie Sterna Gerlacha: Wizka atomów srebra przechodzc przez niejednorodne pole magnetyczne uleg»a rozsczepieniu na wiazki.

11 Fizyka Wyk»ad W6 11 WyjaÑnienie: atomy srebra występują w postaci dwóch izotopów jednego o parzystej liczbie nukleonów w jądrze atomowym i drugiego o nieparzystej ich liczbie. Jdra atomowe posiadajce nieparzystą liczbę nukleonów maj spin, którego rzut ma długość n /, gdzie n = 3,5,7,... Jdra atomowe o parzystej liczbie nukleonów posiadaj jdrowy moment spinowy, którego rzut ma długość n gdzie n = 1,,3,... Podsumowujc wyniki doñwiadcze½: Czstki dziel si na fermiony obdarzone spinowym momentem p du n+1 h gdzie n = 0,1,,3,... Przykład: elektrony, protony, neutrony oraz bozony gdy ich ca»kowity spin jest n, gdzie n = 1,,3... Przykład: foton, wiele cząstek złoŝonych jak fonony, magnony, pary Coopera (tj. nośniki prądu w stanie nadprzewodnictwa) Zobaczymy później, Ŝe ten podział cząstek ma nie tylko znaczenie formalne: mają one istotnie róŝne własności statystyczne. Wpływa to na wiele zjawisk fizycznych takuch jak struktura elektronowa ciał stałych i zjawisko nadprzewodnictwa.

12 Fizyka Wyk»ad W6 1 Ze spinem czstki zwizany jest magnetyczny moment dipolowy a jego rzut moŝe przyjąć tylko wartości: e h µ = - ms = µ B ms ; ms = me r r r Oznacza to, óe ca»kowity moment p du atomu wynosi J = L + S S z ± ale ca»kowity dipolowy moment magnetyczny atomu r r µ r J = - µ B ( L + S ) dlatego, óe magneton spinowy jest razy wi kszy od magnetonu Bohra. A wi c moment magnetyczny ca»ego atomu nie jest równoleg»y do ca»kowitego momentu p du atomu. Komplikuje to w»asnoñci magnetyczne jonów, czstek i cia» stalych, gdzie liczba cząstek jest duŝa a ich orbitalne momenty pędu i spinowe orbitalne momenty pędu dodają się w złoŝony sposób. 1 r r S µ = - e m e r S

13 Fizyka Wyk»ad W6 13 Budowa atomu model atomu wodoropodobnego Cel: wyznaczyƒ poziomy energetyczne i funkcje falowe elektronu poruszajcego si w potencjale jdra atomowego o»adunku Z e gdzie Z liczba porzdkowa atomu. Przyblióenie: zak»adamy, óe jadro atomu jest nieruchome Potencja»: 1 Ze V ( r, θ, φ )= - 4π ε 0 r Problem ma symetri sferyczn => naleóy rozwizaƒ równanie Schrödingera we wspó»rz dnych sferycznych pˆ r +V(r) (r, θ, φ )= Eψ (r, θ, φ ) m ψ Okazuje si, óe po zapisaniu laplasjanu we wspó»rz dnych sferycznych ^ p + L ˆ r r +V(r) ψ (r, θ, φ )= Eψ (r, θ, ) m mr φ

14 Fizyka Wyk»ad W6 14 Operator kwadratu momentu p du jest zaleŝny jedynie of katów θ oraz φ. Sugeruje to postaƒ rozwizania: ψ (r, θ, φ )= R(r) Y lm( θ, φ ) i prowadzi do separacji zmiennych w zwyk»y sposób: ^ Y( θ, φ )= β Y( θ, φ ) prl ˆ r +V ef (r) R(r)= β R(r) m gdzie potencja» efektywny dzia»ający na elektron h l (l +1) V ef ( r )=V(r)+ m r a liczba kwantowa l jest zwizana z operatorem kwadratu momentu p du poprzez ^ L Y l,m ( θ, φ )= h β Y l, m ( θ, φ ) Widaƒ, óe kwantowe w»asnoñci momentu p du wp»ywaj silnie na w»asnoñci elektronu w atomie.

15 Fizyka Wyk»ad W6 15 Rozwizanie obu równa½ daje gdzie ρ l - ψ n l m ( r, θ, φ )= ρ e Lnl ( ρ ) Ylm ( θ, φ ) ρ h m E r a Y lm ( θ, φ ) s funkcjami sferycznymi natomiast L nl (ρ) s to wielomianami Laguerre. n = 1,,3... g»ówna liczba kwantowa - okreñla pow»ok atomow energia elektronu E ~ 1/ n l = 0,1,,3,..., n-1 orbitalna liczba kwantowa Przyjęto oznaczać orbitale literami s,p,d,f w zaleŝności od wartości liczby kwantowej l m = -l, -l+1,...,0,...,l-1,l magnetyczna liczba kwantowa Degeneracja orbitali atomowych: jednej wartoñci energii (zadanej przez wartoñƒ n) moóe odpowiadaƒ wiele orbitali okreñlonych przez liczb kwantow l. Dodatkowo trzeba uwzgl dniƒ jeszcze spin elektronu - dochodzi jeszcze czwarta liczba kwantowa (magnetyczna liczba kwantowa) m s = ± 1/.

16 Fizyka Wyk»ad W6 16 Przyk»ad: funkcja falowa elektronu w atomie wodoropodobnym dla n = 1 oraz l = m = Zr = 100 e me 0 1 Z ψ π a 4π ε 0 _ gdzie a0 = jest to tzw. promie½ orbity Bohra. me Prawdopodobie½stwo znalezienia elektronu wewntrz warstwy sferycznej o promieniu r i gruboñci dr wynosi: P(r)dr = ψ (r) 4 r dr 100 π

17 Fizyka Wyk»ad W6 17 Funkcja falowa elektronu w atomie wodoru dla n = 1 i l=0 oraz m = 0 n = oraz l = m =0

18 Fizyka Wyk»ad W6 18 n = 3 oraz l = m =0 n = 4 oraz l = m =0

19 Fizyka Wyk»ad W6 19 n = oraz l =1 i m =0 n = oraz l =1 i m= ±1

20 Fizyka Wyk»ad W6 0 n = 3 l =, m = 0 n = 3 l = oraz m =±1 n = 5

21 Fizyka Wyk»ad W6 1 l = 3 m = ±1 n = 5 l = 4 m = ±1

22 Fizyka Wyk»ad W6 Wewnątrz jądra atomowego znajdują się nukleony protony oraz neutrony. Protony mają ładunek dodatni więc odpychają się nawzajem siłą Coulomba. To, Ŝe jądra atomowe są stabilne wynika z oddziaływań jądrowych. MoŜna ich działanie przybliŝyć za pomocą studni potencjału oddziałującej na nukleony. Stąd juŝ prosta droga do modelu powłokowego jądra atomu. Schemat poziomów energetycznych nukleonów w jądrze pokazuje poniŝszy obok: Na lewo podane są liczby kwantowe l a w środku liczby kwantowe j. Liczby w kółkach pokazują liczbę nukleonów, które wypełniają wszystkie poziomy o mniejszej energii. Model ten wyjaśnia wiele cech pierwiastków w układzie tablicy Mendelejewa. M. in. moŝna wykazać, jakie pierwiastki izotopy są stabilne (wyspy stabilności) a jakie będą niestabilne (promieniotwórcze). Wyjaśnia teŝ zachowanie izotopów pod wpływem napromieniowania tego izotopu promieniowaniem przenikliwym.