Transformacje Fouriera

Transkrypt

1 DFT, FFT, Periodogram Lomba-Scargle a Gdańsk, 19 listopada 2009

2 O co chodzi? Wszystko opiera się na teorii Fouriera, że każdą funkcję można aproksymować przy pomocy sinusów. Dlatego badaną funkcję traktujemy jak złożenie sinusów o różnej częstotliwości. Badany sygnał rozkładamy na poszczególne sinusy i badamy ich częstotliwości (przy pomocy odpowiednich funkcji), po czym robimy wykres amplitudy od częstotliwości.

3 Do czego to służy? Elektronika, elektrotechnika. Przekaz sygnałów (komórki). Kompresja obrazów (jpg, mpg). Odszumowanie - na wykresie amplitudy od częstotliwości likwidujemy wartości sinusów o małych amplitudach i o dużych częstotliwościach, po czym przy pomocy transformaty odwrotnej otrzymujemy sygnał, ale już oczyszczony.

4 Historia teorii Fouriera W 1807 roku Fourier chciał opublikować swoją pracę na temat użycia sinusoid do reprezentacji rozkładów temperaturowych. Znalazło się tam stwierdzenie, że każdy ciągły periodyczny sygnał może być przedstawiony jako suma odpowiednio dobranych sinusów. Ze względu na to Lagrange blokował wydanie tej pracy, gdyż uważał, że to nieprawda, np. dla sygnałów z rogami. Praca została opublikowana po śmierci Lagrange a, w roku 1822.

5 Kategorie Pojęcie Transformacja Fouriera można rozbić na cztery kategorie: 1 Fourier Transform - dla ciągłych i aperiodycznych sygnałów. 2 Fourier Series - dla ciągłych i periodycznych sygnałów. 3 Discrete Time Fourier Transform - dla dyskretnych i aperiodycznych sygnałów. 4 Discrete Fourier Transform - dla dyskretnych i periodycznych sygnałów. Każda z tych transformacji może być podzielona na wersję rzeczywistą i zespoloną.

6 Transformacja - ilustracja

7 Transformacja rzeczywista i urojona - ilustracja

8 Rzeczywista DFT DFT zmienia sygnał wejściowy, składający się z N punktów na dwa sygnały wyjściowe po N/2 + 1 punktów, które zawierają amplitudy sinusów i cosinusów. Jest to zmiana z domeny czasowej (time domain) na częstotliwościową (frequency domain). Zmiana może przebiegać też w drugą stronę, przy pomocy transformacji odwrotnej. Wzory na transformatę są następujące (ozn. k - częstotliwość): ReX [i] = N 1 i=0 x[i] cos (2πki/N), N 1 ImX [i] = x[i] sin (2πki/N). i=0

9 Zmiana domeny - Ilustracja

10 Transformacja odwrotna Wzór na transformatę odwrotną jest następujący: N/2 N/2 x[i] = ReX [k] cos (2πki/N) + ImX [k] sin (2πki/N), k=0 k=0 gdzie ReX [k] = ReX [k] ImX [k] N/2, ImX [k] = N/2

11 Wprowadzenie Szybka Transformata Fouriera (FFT) jest jedną z metod obliczania DFT. Daje takie same rezultaty jak inne metody, powodując redukcje czasu obliczeń niekiedy nawet setki razy. Wprowadzenie tego algorytmu przez Cooley a and Tukey a w 1965 roku ( An algorithm for the machine calculation of complex Fourier Series, Mathematics Computation, Vol. 19, 1965, pp ) wywołało gwałtowny wzrost zainteresowania zastosowaniem transformacji Fouriera. W rzeczywistości, algorytm został odkryty co najmniej 100 lat wcześniej - stosował go np. Gauss. Brakowało mu jednak komputera, by uczynić ten wynik użytecznym.

12 Plakat

13 Podstawowe informacje FFT jest oparta na zespolonej DFT. Algorytm zazwyczaj wymaga N = 2 k liczby danych (zwykle bierze się danych). Pierwszym krokiem jest dekompozycja sygnału złożonego z N punktów na N sygnałów o długości 1. Później następuje odwrotne sortowanie bitów. Każdemu pojedynczemu sygnałowi przyporządkowujemy widmo częstotliwości, czyli wartość tego sygnału. Następnie należy poukładać sygnały z powrotem, ale już w domenie częstotliwości.

14 Dekompozycja - ilustracja

15 Odwrotna dekompozycja bitów

16 Dlaczego periodogram? Wielu naukowców jest zainteresowanych szukaniem periodycznych wzorów w seriach czasowych, jednak najpowszechniejsza FFT może być stosowana tylko dla równoodległych danych bez brakujących wyników, co nie zawsze jest osiągalne. Dla takich danych lepiej nadaje się periodogram Lomba - Scargle a. Lomb był astrofizykiem. W 1976 roku zaproponował, by zamiast produkować fałszywe dane, które pasowałyby do algorytmu FFT, dopasowywać funkcje do krzywych sinusoidalnych przy pomocy metody najmniejszych kwadratów. Scargle rozwinął pracę Lomba, definiując w 1982 roku periodogram Lomba-Scargle a.

17 Algorytm Dany jest szereg czasowy y(t i ), 1 i N. Aby zamodelować go do periodyczności, tworzymy szereg Y (t i ) = η(t i ) + ε(t i ), gdzie η(t i ) jest periodyczną funkcją z najmniejszym dodatnim okresem T, tzn. η(t i + T ) = η(t i ), a ε(t i ) to sekwencja nieobserwowalnych losowych błędów ze średnią zero i homogeniczną wariancją σ 2. Wtedy średnia szeregu czasowego to y = 1 N N y(t i ), i=1 a wariancja błędu może być oszacowana przez: ˆσ 2 = 1 N 1 N [y(t i ) y] 2. i=1

18 Wzór na periodogram Inaczej niż w analizie Fouriera, której używa się częstotliwości Fouriera, tu zakładamy, że jest M częstotliwości testowych f 1, f 2,..., f M, a odpowiadające im częstotliwości kątowe to ω j = 2πf j dla j = 1,..., M. Za M przyjmujemy zwykle N 0, czyli ilość niezależnych częstotliwości, gdzie N 6, ,193N + 0,00098N 2.

19 Uwagi o algorytmie 1 Algorytm Scargle a był dosyć wolnym algorytmem. Dopiero w 1989 roku Press i Rybicki zaproponowali użycie FFT do obliczania periodogramu, co bardzo przyspieszyło algorytm. Ilość danych powinna wynosić co najmniej 10 6.

20 Uwagi o algorytmie 1 Algorytm Scargle a był dosyć wolnym algorytmem. Dopiero w 1989 roku Press i Rybicki zaproponowali użycie FFT do obliczania periodogramu, co bardzo przyspieszyło algorytm. Ilość danych powinna wynosić co najmniej Istnienie wyrażeń z τ czyni periodogram niezmienniczym na przesunięcia w źródle czasu.

21 Uwagi o algorytmie 1 Algorytm Scargle a był dosyć wolnym algorytmem. Dopiero w 1989 roku Press i Rybicki zaproponowali użycie FFT do obliczania periodogramu, co bardzo przyspieszyło algorytm. Ilość danych powinna wynosić co najmniej Istnienie wyrażeń z τ czyni periodogram niezmienniczym na przesunięcia w źródle czasu. 3 Postać wzoru na P(ω j ) sprawia, że analiza periodogramu jest równoważna dopasowywaniu sinusoid przy pomocy metody najmniejszych kwadratów.

22 Uwagi o algorytmie 1 Algorytm Scargle a był dosyć wolnym algorytmem. Dopiero w 1989 roku Press i Rybicki zaproponowali użycie FFT do obliczania periodogramu, co bardzo przyspieszyło algorytm. Ilość danych powinna wynosić co najmniej Istnienie wyrażeń z τ czyni periodogram niezmienniczym na przesunięcia w źródle czasu. 3 Postać wzoru na P(ω j ) sprawia, że analiza periodogramu jest równoważna dopasowywaniu sinusoid przy pomocy metody najmniejszych kwadratów. 4 Jeśli szereg czasowy y(t i ) jest szumem, wtedy rozkład mocy w P(ω j ) jest wykładniczy, co pozwala oszacować prawdopodobieństwo, czy dany pik jest prawdziwym sygnałem czy losowym szumem.

23 Podział widma mocy Stosując FFT, można dokonać podziału widma mocy (widmo to kwadrat modułu Transformaty Fouriera) na kilka częstotliwości oraz ich ilościowej oceny. Zwykle stosuje się 5 minutowe nagrania RR-ów. HF (0,15 0,4Hz) - wynika z niemiarowości oddychania, opisuje działanie układu przywspółczulnego (spowolnienie SA podczas wydechu). LF (0,04 0,15Hz) - wynika z opóźnień w pętli baroreceptorowej, opisuje działanie obu układów: współczulnego i przywspółczulnego.

24 Podział widma mocy - cd. VLF (0,0033 0,04Hz) - łączy się ją z regulacją termiczną ciała i aktywnością chemoreceptorów, zależne od odruchów naczynio-ruchowych i termoregulacyjnych z udziałem układu renina - angiotensyna - aldosteron (RAA) ULF (0 0,0033Hz) - jej główne podłoże to zmiany dzienno - nocne. Dlatego jest obliczana tylko w nagraniach 24-godzinnych. Oblicza się również współczynnik LF/HF (który ma opisywać równowagę współczulno - przywspółczulną, ale jest kontrowersyjny ze względu na brak pewności co do interpretacji LF) oraz całkowitą moc widma (odzwierciedla aktywność całego układu autonomicznego).

25 Przykładowe widmo

26 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku 1 Ze względu na różnice w interpretacji, zawsze należy podawać długość odcinka, z którego liczono widmo.

27 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku 1 Ze względu na różnice w interpretacji, zawsze należy podawać długość odcinka, z którego liczono widmo. 2 Mechanizm fizjologiczny, który chcemy interpretować, nie może zmieniać się podczas badania - należy sprawdzać stabilność, używając standardowych testów statystycznych.

28 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku 1 Ze względu na różnice w interpretacji, zawsze należy podawać długość odcinka, z którego liczono widmo. 2 Mechanizm fizjologiczny, który chcemy interpretować, nie może zmieniać się podczas badania - należy sprawdzać stabilność, używając standardowych testów statystycznych. 3 Optymalna częstość próbkowania to Hz.

29 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku 1 Ze względu na różnice w interpretacji, zawsze należy podawać długość odcinka, z którego liczono widmo. 2 Mechanizm fizjologiczny, który chcemy interpretować, nie może zmieniać się podczas badania - należy sprawdzać stabilność, używając standardowych testów statystycznych. 3 Optymalna częstość próbkowania to Hz. Za mała częstość może spowodować jitter (krótkookresowe odchylenie od ustalonych, okresowych charakterystyk sygnału) w szacowaniu punktu odniesienia fali R, co znacznie zmienia widmo.

30 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku 1 Ze względu na różnice w interpretacji, zawsze należy podawać długość odcinka, z którego liczono widmo. 2 Mechanizm fizjologiczny, który chcemy interpretować, nie może zmieniać się podczas badania - należy sprawdzać stabilność, używając standardowych testów statystycznych. 3 Optymalna częstość próbkowania to Hz. Za mała częstość może spowodować jitter (krótkookresowe odchylenie od ustalonych, okresowych charakterystyk sygnału) w szacowaniu punktu odniesienia fali R, co znacznie zmienia widmo. Mniejsza częstotliwość (koniecznie co najmniej 100Hz) ma rację bytu tylko przy dodatkowym użyciu algorytmów oczyszczających ten punkt.

31 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Ważny jest wybór punktu odniesienia dla QRS (sprawdzone metody: pochodna i próg, szablon, korelacja).

32 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Ważny jest wybór punktu odniesienia dla QRS (sprawdzone metody: pochodna i próg, szablon, korelacja). 2 Na widmo mogą wpływać uderzenia ektopowe, arytmie, brakujące dane i efekty szumu.

33 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Ważny jest wybór punktu odniesienia dla QRS (sprawdzone metody: pochodna i próg, szablon, korelacja). 2 Na widmo mogą wpływać uderzenia ektopowe, arytmie, brakujące dane i efekty szumu. Zredukować je może odpowiednia interpolacja (lub regresja liniowa itp.) uderzeń serca lub funkcji autokorelacji.

34 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Ważny jest wybór punktu odniesienia dla QRS (sprawdzone metody: pochodna i próg, szablon, korelacja). 2 Na widmo mogą wpływać uderzenia ektopowe, arytmie, brakujące dane i efekty szumu. Zredukować je może odpowiednia interpolacja (lub regresja liniowa itp.) uderzeń serca lub funkcji autokorelacji. Najlepsze są krótkie i pozbawione tych kłopotów dane.

35 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Ważny jest wybór punktu odniesienia dla QRS (sprawdzone metody: pochodna i próg, szablon, korelacja). 2 Na widmo mogą wpływać uderzenia ektopowe, arytmie, brakujące dane i efekty szumu. Zredukować je może odpowiednia interpolacja (lub regresja liniowa itp.) uderzeń serca lub funkcji autokorelacji. Najlepsze są krótkie i pozbawione tych kłopotów dane. Uwzględniając popsute dane, należy badać wpływ dodatkowych pobudzeń itp. na wyniki i podawać, jak wiele danych zostało usuniętych / zinterpolowanych.

36 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Dane do analizy spektralnej można najczęściej zobrazować jako zależność różnic R i R i 1 od R i (czyli mamy sygnał nieregularnie próbkowany w czasie) - nazywamy to Discrete Event Series (DES).

37 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Dane do analizy spektralnej można najczęściej zobrazować jako zależność różnic R i R i 1 od R i (czyli mamy sygnał nieregularnie próbkowany w czasie) - nazywamy to Discrete Event Series (DES). 2 Widmo sygnału HRV jest liczone zarówno z tachogramu odstępów RR (czas trwania RR vs numery kolejnych uderzeń), jak i z (regularnie próbkowanej) interpolacji DES (by mieć ciągły sygnał) lub z widma pojedynczych uderzeń (w funkcji czasu) odpowiadających rozpoznanym kompleksom QRS. Dla metod nieparametrycznych (jak FFT) poleca się dwie pierwsze metody, dla parametrycznych - DES.

38 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Standardy dla metod nieparametrycznych (opartych na FFT) powinny zawierać formułę interpolacji DES, częstotliwość próbkowania interpolacji DES, ilość próbek użytych do obliczania widma i użyte okno widmowe (najczęściej: Hanna, Hamminga i trójkątne).

39 Wytyczne do badań widma według Guidelines dla HRV z 1996 roku - cd. 1 Standardy dla metod nieparametrycznych (opartych na FFT) powinny zawierać formułę interpolacji DES, częstotliwość próbkowania interpolacji DES, ilość próbek użytych do obliczania widma i użyte okno widmowe (najczęściej: Hanna, Hamminga i trójkątne). 2 Standardy dla metod parametrycznych powinny zawierać typ użytego modelu, ilość próbek, częstotliwość centralną dla każdego ze składników widma i ilość parametrów modelu.

40 Parametry analizy częstotliwościowej

41 Związek miedzy analizą czasową a częstotliwościową

42 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika Rozdział 2 - Standard Measurement of Heart Rate Variability LF i HF mierzy się zwykle w absolutnych jednostkach mocy (ms 2 ), a czasem w jednostkach znormalizowanych (względna wartość każdego składnika widma do całkowitej mocy minus VLF). To pozwala pokazać zbalansowane zachowanie między dwoma gałęziami AUN.

43 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika Rozdział 2 - Standard Measurement of Heart Rate Variability LF i HF mierzy się zwykle w absolutnych jednostkach mocy (ms 2 ), a czasem w jednostkach znormalizowanych (względna wartość każdego składnika widma do całkowitej mocy minus VLF). To pozwala pokazać zbalansowane zachowanie między dwoma gałęziami AUN. Za główne części składowe VLF uznaje się czynniki nieharmoniczne, które są zaburzane przez algorytmy usuwające trend. Dlatego VLF dla krótkich nagrań to raczej wątpliwa miara.

44 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika Rozdział 2 - Standard Measurement of Heart Rate Variability LF i HF mierzy się zwykle w absolutnych jednostkach mocy (ms 2 ), a czasem w jednostkach znormalizowanych (względna wartość każdego składnika widma do całkowitej mocy minus VLF). To pozwala pokazać zbalansowane zachowanie między dwoma gałęziami AUN. Za główne części składowe VLF uznaje się czynniki nieharmoniczne, które są zaburzane przez algorytmy usuwające trend. Dlatego VLF dla krótkich nagrań to raczej wątpliwa miara. Przy braku stacjonarności, interpretacja widma mocy jest dużo gorsza. Fizjologiczne mechanizmy odpowiedzialne za LF i HF nie są stacjonarne dla 24-godzinnych nagrań.

45 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Metody związane z analizą HRV są dobre do przewidywania arytmii i nagłej śmierci sercowej, jednak nie rozumiemy w pełni ich fizjologicznego znaczenia. Przyczyny są następujące: 1 złożoność relacji między impulsem nerwowym, uwolnieniem neurotransmitera i rozrusznikową działalnością SA, 2 różnice w wynikach osób zdrowych i z dysfunkcją lewej komory, 3 różnice w interpretacji dla parametrów z krótkich pomiarów i z 24-godzinnych nagrań, 4 lekki wpływ leków odpowiedzialnych za autonomiczną modulację SA na HRV.

46 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Motywacją do badań nad zastosowaniem technik widmowych w analizie HRV była możliwość zidentyfikowania okresowych oscylacji i skorelowania ich z nerwowymi wyładowaniami nerwów współczulnych i przywspółczulnych.

47 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Motywacją do badań nad zastosowaniem technik widmowych w analizie HRV była możliwość zidentyfikowania okresowych oscylacji i skorelowania ich z nerwowymi wyładowaniami nerwów współczulnych i przywspółczulnych. HF odpowiada regulowanym wagalnie wpływom oddychania na długość cyklu. Łatwo to pokazać, przesuwając centralną częstotliwość tego składnika w lewo lub w prawo poprzez odpowiednio zmniejszanie lub zwiększanie tempa oddechu. Jednakże oddychanie wpływa również na dynamikę sercowo-naczyniową, co w efekcie może powodować nienerwowe efekty w funkcji SA.

48 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Aby badać równowagę między LF i HF niezależnie od ich absolutnych wartości, zaproponowano współczynnik LF/HF. Parametr ten jest odpowiedni do badania autonomicznej kontroli SA podczas eksperymentów, w których doprowadza się do współczulnych i przywspółczulnych pobudzeń. Nadaje się również do sytuacji, gdy zwiększona jest modulacja współczulna i zmniejszona przywspółczulna (np. ostra faza zawału). Problemy z interpretacją są jednak większe dla nagrań 24-godzinnych oraz dla pacjentów ze spadkiem funkcji komorowych i tachykardią.

49 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Kłopoty z LF Interpretacja LF jako indeksu modulacji współczulnej jest bardziej skomplikowana, gdyż moc i centralna częstotliwość LF są wrażliwe na różne czynniki.

50 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Kłopoty z LF Interpretacja LF jako indeksu modulacji współczulnej jest bardziej skomplikowana, gdyż moc i centralna częstotliwość LF są wrażliwe na różne czynniki. U zdrowych pacjentów w kontrolowanych warunkach wzrost LF jest związany np. ze wzrostem aktywacji współczulnej przy zwiększania kąta pionizacji.

51 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Kłopoty z LF Interpretacja LF jako indeksu modulacji współczulnej jest bardziej skomplikowana, gdyż moc i centralna częstotliwość LF są wrażliwe na różne czynniki. U zdrowych pacjentów w kontrolowanych warunkach wzrost LF jest związany np. ze wzrostem aktywacji współczulnej przy zwiększania kąta pionizacji. Podczas wysiłku fizycznego, wzrost LF jest obserwowany jedynie na początku, natomiast podczas forsownych ćwiczeń bardzo spada całkowita moc, dominuje HF i występuje duże VLF.

52 Zmiana widma po omdleniu

53 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Dlatego LF nie może być uważany jako absolutny miernik aktywności współczulnej, gdyż wiele oscylacji w tym zakresie częstotliwości wynika z nerwowych i nienerwowych czynników, które mogą różnić się u różnych pacjentów i przy różnych schorzeniach.

54 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 5 - Physiological Understanding of HRV Components Dlatego LF nie może być uważany jako absolutny miernik aktywności współczulnej, gdyż wiele oscylacji w tym zakresie częstotliwości wynika z nerwowych i nienerwowych czynników, które mogą różnić się u różnych pacjentów i przy różnych schorzeniach. Ostatecznie, analiza widmowa HRV powinna być ograniczona do krótkich nagrań w kontrolowanych warunkach, aby lepiej mierzyć i bezpieczniej interpretować składniki LF i HF. Przy jednoczesnych pomiarach ciśnienia tętniczego i aktywności oddechowej, analiza widmowa pozwala badać wpływ ciśnienia na okres bicia serca (i na odwrót).

55 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 11 - Heart Rate Variability in Healthy Populations: Correlates and Consequences HF - marker aktywności przywspółczulnej niski poziom mocy HF oznacza niższe zaangażowanie aktywności przywspółczulnej. LF odpowiada kombinacji modulacji współczulnej i przywspółczulnej niski poziom mocy LF oznacza niższą aktywność przywspółczulną, wyższa współczulną lub obie.

56 Uwagi o badaniu HRV z książki Malika - cd. Rozdział 11 - Heart Rate Variability in Healthy Populations: Correlates and Consequences Zmiany HR i HRV z wiekiem HF spada od wieku 20 lat, a LF od ok. 40 lat (ok. 15% na każde 10 lat życia). Współczynnik LF/HF - brak związku z wiekiem. U niemowląt dominuje aktywność współczulna. Wczesny spadek HF oznacza, że aktywność przywspółczulna spada pierwsza i koło 50 lat znów układ współczulny zaczyna dominować. W różnych badaniach populacyjnych zaobserwowano spadek LF i HF wraz z wiekiem oraz mniejsza moc LF i większą lub równą HF u kobiet.

57 Program Kubios HRV Analysis

58 Nierównoodległe dane - PROBLEM

59 Nierównoodległe dane - rozwiązania 1 Obliczanie widma z tachogramu RRów.

60 Nierównoodległe dane - rozwiązania 1 Obliczanie widma z tachogramu RRów. Możliwość zniekształcenia, widmo jako funkcja cykli na uderzenie, a nie częstotliwości.

61 Nierównoodległe dane - rozwiązania 1 Obliczanie widma z tachogramu RRów. Możliwość zniekształcenia, widmo jako funkcja cykli na uderzenie, a nie częstotliwości. 2 Interpolacja funkcji interwałów tak, by była równo próbkowana (np. metodą sześciennego klina (cubic splin)).

62 Nierównoodległe dane - rozwiązania 1 Obliczanie widma z tachogramu RRów. Możliwość zniekształcenia, widmo jako funkcja cykli na uderzenie, a nie częstotliwości. 2 Interpolacja funkcji interwałów tak, by była równo próbkowana (np. metodą sześciennego klina (cubic splin)). 3 Widmo rachunków (counts) - oparte na integral pulse frequency modulator (IPFM), który modeluje SA.

63 Pierwsze przetwarzanie sygnałów 1 Usunięcie wszystkich artefaktów.

64 Pierwsze przetwarzanie sygnałów 1 Usunięcie wszystkich artefaktów. 2 Usunięcie trendów (bo powodują niestacjonarność). Są dwa podejścia do niestacjonarności: usuwanie wszelkich niestacjonarności - reprezentatywność tego, co pozostanie, jest jednak dyskusyjna, usuwanie wolnych niestacjonarnych trendów przed analizą. Detrending opiera się zwykle na wielomianach pierwszego lub wyższych rzędów. Używana jest też metoda smoothness priors.

65 Obliczanie gęstości widma mocy 1 Metody nieparametryczne - oparte na FFT. Szybszy algorytm, łatwość algorytmu.

66 Obliczanie gęstości widma mocy 1 Metody nieparametryczne - oparte na FFT. Szybszy algorytm, łatwość algorytmu. 2 Metody parametryczne - oparte na autoregresji. Lepsze wyniki dla krótkich odcinków. Możliwość wyróżnienia poszczególnych składników widma - stąd popularność. Trudność wyboru rzędu modelu, możliwość pojawienia się ujemnych składników widma.