Sygnały losowe i ich analiza. Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki Łódzkiej

Transkrypt

1 Sygnały losowe i ich analiza

2 Sygnały biologiczne Modele deterministyczne st Modele stochastyczne nt EKG Sygnały biologiczne zakłócenia EMG (artefakty) x t st nt 2

3 Modele sygnałów Przykłady! Sygnały Modele deterministyczne Modele stochastyczne x Okresowe t xt nt Harmoniczne Poliharmoniczne Złożone Nieokresowe Stacjonarne Niestacjonarne Quasi-okresowe Ergodyczne Przejściowe Nieergodyczne Inne Modele chaosu deterministycznego 3

4 Sygnał losowy a sygnał stochastyczny sygnał deterministyczny (próbki można przewidywać z dużą dokładnością) sygnał losowy (niemożliwe przewidywanie wartości próbek sygnału, można tylko określić zadane parametry sygnału)? t=t 4 t

5 Sygnały losowe stacjonarne i ergodyczne Sygnały stacjonarne Momenty statystyczne wyznaczane dla danej realizacji w czasie (np. średnia, wariancja) nie podlegają zmianom w czasie. Sygnały ergodyczne Momenty statystyczne (np. średnia, wariancja) wyznaczane w czasie i dla różnych zbiorów realizacji są sobie równe. Sygnały ergodyczne Sygnały stacjonarne 5

6 Sygnały losowe stacjonarne i ergodyczne 5 X (t ) X (t N- ) t t N- Sygnał losowy jest ergodyczny jeżeli: 5 X (t ) X (t N- ) tn in X iconst 5 t N i N -5 t X i tn const X N- (t ) X N- (t N- )

7 Sygnał losowy (parametry) Dokładny przebieg sygnału losowego, nie jest możliwy do wyznaczenia - można charakteryzować tylko jego odpowiednio zdefiniowane parametry statystyczne. Jako zapis (obserwacja) pewnego procesu losowego, sygnał losowy można interpretować jako zmienną losową i opisywać ją za pomocą wielkości i zależności probabilistycznych tj. wartość oczekiwana, odchylenie standardowe, funkcja autokorelacji. Dla stacjonarnych sygnałów losowych parametry te nie zmieniają się w funkcji czasu. 7

8 Przykład - sygnał EEG Dla sygnału elektroencefalograficznego można zastosować model stochastyczny. Sygnał EEG jest wynikiem aktywności elektrycznej wielkiej liczby* komórek neuronowych Czas [s] *) W niektórych pracach dowodzi się, że procesy percepcji neuronowej polegają na synchronizacji czasowej specjalizowanych populacji komórek neuronowych 8

9 Rytm serca 9 Rytm prawidłowy charakter zmienności o naturze fraktalnej Rytm nieprawidłowy (niewydolność serca ) widoczne oscylacje szybkości rytmu (~/min)

10 Rytm serca Rytm serca w poważnej niewydolności serca rytm zbyt regularny Arytmia serca (fibrylacja przedsionków) sygnał ma charakter losowy

11 Sygnał losowy wartość oczekiwana Wartość oczekiwana - sygnał ciągły: E xt xpxdx x #Python #see also random? x=random.randn() expected=x.mean() Wartość oczekiwana (estymata)- sygnał dyskretny: E N N 2N n nn xn xnpn xn x n nn kolejne próbki sygnału są jednakowo prawdopodobne

12 Sygnał losowy - wariancja Wariacja (średnia kwadratów odchyleń od wartości oczekiwanej)- sygnał ciągły: 2 E 2 2 x t x x t x pxdx Wariancja - sygnał dyskretny: #Python x=random.randn() std_dev=x.std() variance=x.var() 2 2N nn nn 2N x n x x n x nn nn 2

13 Sygnał losowy funkcja autokorelacji Sygnał ciągły: R xt xt Sygnał dyskretny: R n n dt m xnxn m #Python x=random.randn() R=correlate(x,x,mode= full ) plot(r) #usuń składową DC x=x-x.mean() R=correlate(x,x,mode= full ) plot(r) Pamiętaj o usunięciu składowej stałej sygnału! 3

14 Funkcja autokorelacji sygnału losowego (rozkład Gaussa N(, )=N(,)) przesunięcie 4

15 Funkcja autokorelacji sygnału harmonicznego przesunięcie x 4 5

16 Funkcja autokorelacji - ćwiczenie Ćwiczenie komputerowe: funkcja autokorelacji. Załaduj zadany sygnał EKG ( ecg_s.mat ). 2. Napisz procedurę do wyznaczania i wyświetlania funkcji autokorelacji sygnału dyskretnego o zadanej długości N. 3. Porównaj długość otrzymanej funkcji autokorelacji z długością sygnału. 4. Jakie własności funkcji autokorelacji zauważasz? 5. Zastanów się jakie zastosowanie może mieć funkcja autokorelacji w przetwarzaniu sygnałów? 6

17 Funkcja autokorelacji sygnału EKG 6 x przesunięcie [s] 7

18 Funkcja korelacji wzajemnej Sygnały ciągłe: R xy xt yt Sygnały dyskretne: dt #Python R=correlate(x,y,mode= full ) R xy n n m xnyn m Pamiętaj o usunięciu składowej stałej sygnałow! 8

19 Funkcja korelacji wzajemnej - ćwiczenie Ćwiczenie komputerowe: Detekcja zespołu QRS za pomocą wzorca QRS. Załaduj zadany sygnał EKG ( ecg_mit.mat ). 2. Wyznacz wzorzec zespołu QRS. Zastosuj ten wzorzec do detekcji zespołów QRS w sygnale EKG. 3. Zachowaj otrzymane wyniki do porównania z innymi metodami detekcji zespołu QRS w sygnale EKG. 9

20 Funkcja korelacji wzajemnej 4 QRS pattern ECG signal sample sample 2

21 Funkcja korelacji wzajemnej kor=xcorr(ecgsignal,qrspattern) 6 ECG signal x Cross correlation function

22 Funkcja korelacji wzajemnej kor=xcorr(ecgsignal,qrspattern); ECG signal x 5 4 Cross correlation function

23 Funkcja korelacji wzajemnej Wyznaczanie opóźnienia w sygnale radarowym: X(t) t Y(t) r xy (t) T t T t

24 Gęstość widmowa mocy sygnału losowego (ang. power spectral density - PSD) Funkcja autokorelacji sygnału losowego jest przebiegiem deterministycznym zatem, można wyznaczyć widmo Fouriera tego przebiegu i badać rozkład mocy sygnału w dziedzinie częstotliwości R X j X j X j 2 FT xx Ćwiczenie komputerowe: Wyznacz PSD sygnału EKG przez wyznaczenie kwadratu widma a następnie zastosuj funkcję psd. Porównaj otrzymane wyniki. 24

25 Power Spectral Density - PSD x 5 FFT PSD

26 Współczynnik korelacji Podobieństwo dwóch sygnałów można badać za pomocą współczynnika korelacji: kowariancja r xy xy x y N N n x n x yn 2 x n x yn y N n n y 2 - r xy #Python corrcoef? 26

27 Współczynnik korelacji - przykład Wyznacz współczynnik korelacji pomiędzy danymi a i b: a b [, 2, 3] [ 3,4, 2] r xy.6934 r xy N N n x n x yn 2 xn x yn y N n n y 2

28 Współczynnik korelacji Ćwiczenie: Utwórz trzy wektory:. Wektor x którego elementami jest wzrost osób w grupie wyrażony w metrach 2. Wektor x 2 którego elementami jest waga osób wg porządku z wektora x (nie oszukiwać!) 3. Wektor x 3 którego elementami jest rozmiar buta osób w grupie Wyznacz: współczynniki korelacji pomiędzy tymi wektorami i wskaż która para wektorów jest najbardziej podobna 28

29 Rozkłady zmiennych losowych ciągłych Rozkład równomierny (jednostajny): p x x x dla dla x x innych x x Rozkład Laplace a: p x 2 e 2 x Rozkład normalny (Gaussa): p x x 2 2 e

30 Rozkłady zmiennych losowych Laplace a Gaussa.3.2. jednostajny

31 Szum o rozkładzie Gaussa (biały) #Python sigma= x=sigma*random.randn() bins=linspace(-5,5,5) hist(x,bins, normed= True ) x,

32 Szum o rozkładzie równomiernym #Python range= y=range*random.rand() bins=linspace(-,.5,5) hist(y,bins, normed= True ) x.5!.2 Paweł 2 Strumiłło, 3 Instytut 4 Elektroniki 5 6 Politechniki 7 Łódzkiej

33 Proces Markowa p xn/ xn, xn 2,, x pxn / xn 6 4 RR Czy ciąg {RR, RR 2,, RR n, } jest procesem Markowa? 33

34 Rozkłady punktowe - rozkład Poissona p Z Rozkład Poissona ma zastosowanie w obserwacji niezależnych zjawisk o małym prawdopodobieństwie sukcesu (np. zjawiska rozpadu promieniotwórczego). Prawdopodobieństwo zaobserwowania j zdarzeń w zadanym przedziale czasu t: t j t j! j E Z e t gdzie oznacza średnią liczbę zdarzeń występujących w czasie t. Zastosowanie: w modelowaniu interwałów R-R sygnału EKG, sygnału EMG, serii impulsów wytwarzanych w komórkach 34 neuronowych, kontroli jakości,., D 2 Z

35 Rozkład Poissona p Z t.4.2. =3 = j 5 5 j j Proces Poissona opisuje tzw. procesy bez pamięci, w których liczba bieżących zdarzeń w jednostce czasu nie zależy od ich liczby w przeszłości 35

36 Przykład procesu Poissona (Heart Rate Variability HRV) RR(n) RR(n=25) RR Liczba uderzeń serca na minutę n

37 Zagadnienie regresji liniowej Rozpatrzmy przypadek regresji liniowej: y x gdzie: x - zmienna niezależna, y - zmienna zależna, - zakłócenia (np. błąd pomiaru),, - współczynniki regresji. 37

38 Regresja liniowa (y i, x i ) Optymalna prosta regresji? y x 38

39 Estymacja liniowej funkcji regresji Zadanie regresji: Załóżmy, że mamy P obserwacji (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x P, y P ), poszukujemy współczynników a, a, dla których uzyskamy najdokładniejszy opis zależności pomiędzy zmiennymi x i y. Rozwiązanie: Estymaty współczynników można wyznaczyć na drodze poszukiwania minimum sumy kwadratów błędów: i y i ( x) yi yˆ i obserwacja model regresji liniowej 39

40 Estymacja liniowej funkcji regresji Suma kwadratów błędów (ang. summed squared error - SSE) SSE P i 2 i P i 2 y ( x ) i ˆ ˆ i zgodnie z ideą metody sumy najmniejszych kwadratów błędów zaproponowanej przez Gaussa w XIX wieku; poszukujemy minimum tego wyrażenia. 4

41 4 Estymacja liniowej funkcji regresji ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( 2 P i y i x i SEE ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( 2 P i y i x i SEE tzw. układ normalny równań Minimum znajdujemy wyznaczając pochodne cząstkowe względem obu współczynników i przyrównujemy je do zera:

42 Estymacja liniowej funkcji regresji Układ normalny równań posiada rozwiązanie: ˆ yśr ˆ x śr ˆ P i x x y y i P x i xśr i śr i 2 śr 42

43 Estymacja liniowej funkcji regresji ˆ ˆ Source: Wikipedia

44 Estymacja liniowej funkcji regresji Regresja wyższych rzędów: tj. y Podobnie jak dla regresji pierwszego rzędu, poszukujemy współczynników przez przyrównanie do zera pochodnych cząstkowych: i xi xi N xin, i,, P N yi jxij, i,, P j ( SEE) ˆ j, j,n i otrzymujemy N+ równań z N+ niewiadomymi. 44

45 45 Regresja wielomianowa: Przykłady regresji nieliniowej: Inne modele regresji P i x x x y N in N i i i,, 2 2 i i i x i x i x i e y y e y

46 Rekonstrukcja trajektorii układu dynamicznego Takens (98)udowodnił, że można odtwarzać własności trajektorii układu dynamicznego na podstawie próbek jednowymiarowego zapisu aktywności badanego układu: y k yk, yk t,, yk D t T dla odpowiednio dużego wymiaru D wektora y(k) (ang. time delay embedding) 46

47 Rekonstrukcja trajektorii układu dynamicznego Praktyczne znaczenie tw. Takensa dla badania układów dynamicznych to dowód o istnieniu zależności: y k t Fyk? na podstawie, której można wyznaczać prognozę próbki y(k+)t sygnału odwzorowującego zachowanie badanego układu. 47

48 Rekonstrukcja trajektorii dla rytmu serca x k t t 7ms t 4ms x kt Normalny rytm serca Fibrylacja komór t pierwsze zero funkcji autokorelacji ciągu y(k) 48

49 Chaos deterministyczny Rozważmy prosty układ dynamiczny: x n axn xn Symulujący zmianę liczności x populacji w ograniczonym środowisku. Liczność ta jest znormalizowana do zakresu,, zatem parametr a przyjmuje wartości z zakresu,4. Jest to tzw. równanie logistyczne. 49

50 Chaos deterministyczny.8.6 x(n+).4 tzw. odwzorowanie kwadratowe x(n) n 3.6xn xn x 5

51 Chaos deterministyczny

52 Chaos deterministyczny Właściwości procesów charakteryzujących się deterministycznym ruchem chaotycznym: mogą być generowane przez proste układy dynamiczne*, dynamika ma nieprzewidywalny charakter losowy (tzw. dziwne atraktory tj. orbity ograniczone, rozbieżne i nieokresowe) demo Matlab dynamika silnie zależna od warunków początkowych ( efekt motyla ) *) R, May: lepiej by nam się żyło gdyby uwzględniano fakt, że proste układy dynamiczne niekoniecznie prowadzą do prostej ewolucji dynamicznej. 52

53 Analiza sygnałów losowych. Sygnały losowe a sygnały deterministyczne 2. Momenty statystyczne 3. Funkcja autokorelacji 4. Funkcja korelacji wzajemnej 5. Współczynnik korelacji 6. Gęstość widmowa mocy 7. Rozkłady statystyczne 8. Dynamika systemów 53