Wyznaczanie struktur logicznych sieci procesorów o łagodnej degradacji i strukturze 4-wymiarowego hipersześcianu

Transkrypt

1 Bi u l e t y n WAT Vo l. LXI, Nr, 2012 Wyznaczanie struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze -wymiarowego hiersześcianu Roman Kulesza, Zbigniew Zieliński Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział ybernetyki, Instytut Teleinformatyki i Automatyki, Warszawa, ul. S. Kaliskiego 2, r.kulesza@ita.wat.edu.l, z.zielinski@ita.wat.edu.l Streszczenie. W artykule rozwinięto metodę generowania struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji tyu -wymiarowy hiersześcian, zaroonowaną w artykule [8], oraz rzedstawiono sosób zastosowania tej metody do wyznaczenia obrazów geometrycznych cyklicznych i acyklicznych struktur roboczych takiej sieci o co najmniej czterech rocesorach. Wyznaczono szeregi rzeliczające etykietowanych oraz nieetykietowanych struktur roboczych sieci. Słowa kluczowe: informatyka, diagnostyka systemowa, struktura logiczna sieci, sieci tyu sześcian, systemy z tolerancją błędów 1. Wrowadzenie Sieć rocesorów ma strukturę logiczną tyu sześcian -wymiarowy, jeżeli jej toologię rzedstawia taki sójny graf zwykły, którego węzły można oisać wymiarowymi wektorami binarnymi (etykietami) w ten sosób, że odległość Hamminga między wektorami oisującymi węzły rzyległe równa się jeden. W sieciach rocesorów o łagodnej degradacji nie dokonuje się narawy (ani wymiany) rocesora, który uległ uszkodzeniu, lecz blokuje się dostę do niego, a nowa (zdegradowana) sieć kontynuuje funkcjonowanie od warunkiem, że sełnia określone wymagania. Projektowanie oraz użytkowanie omawianych sieci rodzi wiele roblemów analitycznych [1, 2, 9, 10, 11, 1, 18] wynikających, między innymi, z otrzeby efektywnego wykorzystania wszystkich rocesorów sieci, ustalenia zasad wybierania

2 29 R. Kulesza, Z. Zieliński zdegradowanej struktury logicznej sieci lub zakończenia jej życia oraz wybierania sosobu diagnozowania systemowego sieci zdegradowanej. Do rozwiązywania owyższych roblemów niezbędna jest znajomość liczebności zbiorów możliwych zdegradowanych struktur logicznych sieci o określonych właściwościach oraz ich dogodna rerezentacja geometryczna. W artykule [8] zaroonowano metodę generowania struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji tyu -wymiarowego sześcianu rzez ich odowiednie komonowanie z wzorców, które są odowiednimi odgrafami sześcianu -wymiarowego. Istotą tej metody są działania algebraiczne na tak zwanej skondensowanej ostaci struktury, która jest odgrafem sześcianu -wymiarowego o odowiednio oisanych węzłach i krawędziach. elem niniejszego artykułu jest wzbogacenie metody rzedstawionej w [8] o działania na skondensowanej ostaci struktury, które ułatwiają określenie liczebności zbiorów sójnych odgrafów sześcianu -wymiarowego określonego wymiaru oraz wyznaczenie szeregów rzeliczających etykietowane i nieetykietowane struktury robocze sieci o co najmniej czterech rocesorach. Artykuł składa się z czterech części oraz odsumowania. W części drugiej rzyomniano (w dużym skrócie) odstawy metody komonowania struktur roboczych sieci rzedstawione w artykule [8]. W częściach trzeciej oraz czwartej rzedstawiono metody działań na skondensowanych ostaciach struktur do wyznaczenia obrazów geometrycznych (odowiednio) struktur cyklicznych oraz acyklicznych i odano wyznaczone szeregi rzeliczające takie struktury. W odsumowaniu sformułowano wnioski wynikające z wyników rzedstawionych w artykule. 2. Podstawy metody komonowania struktur Strukturę logiczną sieci rocesorów nazywamy strukturą tyu sześcian -wymiarowy (, jeżeli rzedstawia ją taki sójny graf zwykły H = EU, (E zbiór rocesorów, U zbiór dwukierunkowych linii transmisji danych między rocesorami), którego węzły można oisać -wymiarowymi wektorami binarnymi (etykietami) w ten sosób, że odległość Hamminga między wektorami oisującymi węzły rzyległe równa się jeden [6]. Graf H nazywa się hiersześcianem -wymiarowym. Graf H jest grafem regularnym stonia, to jest takim, że stoień () e = Ee () (E(e) zbiór węzłów rzyległych do węzła e E) każdego węzła grafu jest równy oraz jego odgrafy, które są cyklami rostymi, są rzędu arzystego. Graf H ( > ) nie jest grafem lanarnym. Niech H oznacza graf H o etykietowanych węzłach, a G( H ) oraz G( H ) odowiednio zbiór sójnych nieetykietowanych oraz etykietowanych odgrafów grafu H rzędu.

3 Wyznaczanie struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze Graf H będziemy rzedstawiać w ostaci takiej komozycji lanarnych grafów bliźniaczych H i H (rys. 2.1), że a b * = a b = U( H ) { U( H ) U( H ) U }( U 2 ). EH = EH EH oraz ( ) { ( a) ( b)} Rys Sześciany H oraz H = H H a b Strukturę G GH ( ) traktujemy jako komozycję odgrafów EG ( ) H a i EG ( ). H b Graf EG ( ) nazywamy wzorcem indukującym strukturę G w klasie komozycji H a ( G), ( G), ( G) ( ( G) ( G) ), gdzie ( G) = E( EG ( ) ) ( x { ab, }) a b a b x H x oraz ( G) = { u UG ( ):( Eu ( ) E( EG ( ) ) ) ( Eu ( ) E( EG ( ) ) )} (E(u) zbiór węzłów incydentnych z krawędzią u). Zbiór wzorców GH ˆ ( a ), które mogą indukować struktury G G ( H ), ( ) oraz liczebność ( G )( G GH ˆ ( a )) gruy węzłowej grafu Gʹ, rzedstawiono w [8] (rys. 2.2). Ha Hb Rys Zbiór GH ˆ ( a ) wzorców, które mogą indukować struktury G ( ) ( ) H (odano liczebność gruy węzłowej grafu G GH ˆ ( a ) Niech BE ( ) ( E EH ( x ), x ( ab, )) oznacza zbiór węzłów bliźniaczych zbioru E. Jako kanoniczny rerezentant struktury G GH ( ) wybierzemy taki odgraf K(G) grafu H a, który jest sumą grafów EG ( ) i BE ( ( EG ( ) )) o wyróżnionych węzłach bliźniaczych grafu G i tych krawędziach, które nie są krawędziami Ha Hb Ha grafu EG ( ), a więc H a

4 296 R. Kulesza, Z. Zieliński KG EG BE EG BEG EH ( ) = ( ) ( ( ( ) )) ; { ( ( )) ( a )}; Ha Hb Ha { BU ( ( EG ( ) )) \ U( EG ( ) )}. Hb Ha Graf K(G) nazywamy skondensowaną ostacią struktury G GH ( ). Węzły zbioru { BEG ( ( )) EH ( a )} oznaczamy rzez ich wytłuszczenie, a krawędzie zbioru { BU ( ( EG ( ) )) \ U( EG ( ) )} rzedstawiamy w ostaci linii rzerywanych. Hb Ha Dla rzykładu (rys. 2.) struktura Gʹ jest indukowana rzez wzorzec G 6 (rys. 2.2) w klasie komozycji 5,5,, a struktura G rzez wzorzec G 12 w klasie komozycji,,2. Grafy K(Gʹ) i K(G ) są skondensowanymi ostaciami struktury Gʹ i struktury G. Rys. 2.. Przykłady skondensowanych ostaci struktur Gʹ i G. Struktury cykliczne Niech G ( H ) oraz G ( H ) oznaczają zbiory cyklicznych, odowiednio nieetykietowanych oraz etykietowanych sójnych odgrafów grafu H rzędu. Zauważmy, że [ G G ( H )] [( GKG ( ( )) GH ˆ ( )) ( : ( ek, ) > 1) a * e E = + + * * ( :{ Ee ( ) { E E}} ) ( EGKG ( ( ( ))) E E )], e E (.1) gdzie G(K(G)) oznacza wzorzec skondensowanej ostaci struktury G, GH ˆ ( a ) * zbiór sójnych wzorców, E = { EKG ( ( )) \ EGKG ( ( ( )))} oraz E EGKG ( ( ( ))). * * * Niech K, K ( G ), K ( G, ) oraz Ψ ( G ) oznaczają (odowiednio) zbiór skondensowanych ostaci struktur cyklicznych rzędu, zbiór takich ostaci * ˆ struktur indukowanych rzez wzorzec G GH ( a ), zbiór takich ostaci struktur indukowanych rzez wzorzec G * w klasie komozycji oraz zbiór komozycji, w których wzorzec G * indukuje strukturę cykliczną rzędu. * Ponieważ K = K ( G, ) oraz graf H -wymiarowe odsześciany bliźniacze, to dzieli się na dwa * * G Gˆ ( H ) Ψ ( G ) a

5 Wyznaczanie struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze G H K G K K (.2) * ( ) = [2 ( )] ( ( )) ( ), K K gdzie G * (K) oznacza wzorzec skondensowanej ostaci K oraz * [ ˆ : { E E} ; ; ] [ ( ) 1]i ( G G Ha ) K E = GE K = * [ ˆ : { E E} ; ; ] [ ( ) 0]. ( G G Ha ) K E = GE K = Wyznaczenie więc liczby sójnych etykietowanych struktur cyklicznych określonego rzędu nie nastręcza secjalnych roblemów. Po rostych, lecz żmudnych rzekształceniach otrzymujemy szereg rzeliczający takie struktury G ( H, x) = x + 16x + 120x + 512x + 116x x x 192x 688x 112x 128x 0x 2 x. (.) Wyznaczenie liczby sójnych nieetykietowanych struktur cyklicznych tyu H określonego rzędu nastręcza roblemy wynikające z tego, że różne wzorce dla różnych klas komozycji struktury mogą indukować struktury izomorficzne. Zauważmy, że znacznie łatwiej jest wykluczyć niż stwierdzić odobieństwo orównywanych struktur, bowiem jeżeli wartości dowolnie wybranej charakterystyki (cechy) orównywanych struktur są różne, to struktury te nie są odobne, natomiast stwierdzenie, że struktury są odobne, wymaga (w ogólnym rzyadku) uewnienia się, że istnieje ermutacja węzłów rzekształcająca jedną strukturę w drugą. harakterystykami efektywnie wykluczającymi odobieństwo struktur tyu H są (między innymi) liczba a (G) węzłów stonia a w grafie G oraz jego odgraf zawierający węzły stonia a, bowiem [ a {1,...,} : a( G ) a( G )] [ G = G ] oraz [ { e EG ( ): ( e ) = a} G = { e EG ( ): ( e ) = a} G ] [ G = G ]. Zauważmy, że wartość a (K 1 ) można wyznaczyć bezośrednio z grafu K, bowiem 1 ( K a ) = { e { EK ( ) \ E }: ( e ) = a } + * + { e E: ( e, G) = a 1} + { e { E \ E } : Ee ( ) E = a 1} + + = * * * * { e E : Ee ( ) { E E} a 1}, (.) gdzie * * E = { e E:{ Ee ( ) E} }.

6 298 R. Kulesza, Z. Zieliński Oznaczmy: m eg e Ee e a a e EG G G H a(, ) = { ( ) : ( ) = } ( {2,,}, ( ), ( ), ); ( ) meg (, ) = m(, eg), m(, eg), m(, eg); 2 Λ ( G) = { = (,, ) : ( : meg (, ) = )}; 1 2 e E( G) ( ) = { e EG ( ): meg (, ) = }; MG ( ) =, ( ) Λ ( ( ) i i 1). G x + Macierz M(G) jest macierzą stoni węzłów rzyległych do węzłów struktury cyklicznej, ale nie ma owodów, aby w analogiczny sosób określić taką macierz dla struktury acyklicznej. Zauważmy, że M( H ) = [ ], a jeżeli odgraf G grafu H jest cyklem rostym rzędu, to MG ( ) = [0 0 2 ]. Macierz M(G) ozwala w stosunkowo rosty sosób stwierdzić izomorfizm orównywanych struktur tyu H. Zauważmy, że jeżeli MG ( ) = MG ( )({ G, G } G( H)), to G = G, bowiem w jednym z takich właściwych grafów cyklicznych G * i G **, różnych od cykli * ** * ** rostych, że [ MG ( ) = MG ( )] [ G = G ] istnieje obwód rzędu niearzystego, co rzeczy własności grafu tyu H, a dla struktur, które są cyklami rostymi, teza jest oczywista. Wektor (K 1 ) i macierz M(K 1 ) można wyznaczyć bezośrednio z ostaci skondensowanej K struktury G = K 1, bowiem: 1 [ e { EGK ( ( )) \ E }] [ ( ek, ) = ( ek, )] ; 1 1 [ e E ] [( ( ek, ) = ( egk, ( )) + 1) ( ( Be ( ), K ) = * = Ee ( ) { E E} + 1)] ; * 1 * [ e E] [ ( Be (), K ) = Ee () { E E}]. (.5) 1 Dla rzykładu (rys..1) struktura K G ( ) 12 H jest indukowana rzez wzorzec G 2 (rys. 2.2) o czterech węzłach oznaczonych (wyróżnionych na rysunku) w klasie komozycji 7,5,. 1 1 Stonie węzłów ( ek, )/ ( Be ( ), K ) określono zgodnie z zależnością (.5), z czego wyznaczamy (K 1 ) = (2, 6, ) oraz macierz M(K 1 ).

7 Wyznaczanie struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze Redukowanie struktur izomorficznych w określonym zbiorze struktur tyu H wykonywane jest (z reguły) rzez dzielenie tego zbioru na odzbiory o różnych wartościach umiejętnie wybranych charakterystyk struktur i (w razie otrzeby) ostateczne rozstrzygnięcie (o odobieństwie struktur) rzez wyznaczenie macierzy stoni węzłów rzyległych do węzłów orównywanych struktur. Generowanie struktur tyu H metodą komozycji indukuje (między innymi) zbiór K skondensowanych ostaci struktur cyklicznych rzędu, który (w ogólnym rzyadku) odwzorowuje (nieetykietowane) struktury izomorficzne. Niech R ( K ) oznacza taki odzbiór zbioru K, w którym nie ma ary elementów izomorficznych. Mówimy, że zbiór R ( K ) jest zredukowanym (o elementy izomorficzne) zbiorem K. Oeracja redukcji zbioru K jest oczywiście oeracją arbitralną. Oznaczmy Ρ( R ( K ), ) { { \ ( )}: }( ( K = K K R K K = K K R K )). Zbiór ΡR ( ( K ), K) jest zbiorem tych elementów zredukowanych w zbiorze K, które są izomorficzne względem elementu K R( K ) oraz K Ρ( R ( K ), K), bowiem dowolny element zbioru R ( K ) jest izomorficzny względem samego siebie. Oczywiście 1 [ G ( H ) = R( K ) ] [ ( K ) = ( GK ( )) ( K )], K P( R( K ), K) (.6) gdzie (G(K)) oraz (K) oznaczają (odowiednio) gruę węzłową (liczebność zbioru rzekształceń automorficznych) wzorca ostaci skondensowanej K oraz tej ostaci. Dla rzykładu (rys..2), zgodnie z zależnością.1, otrzymujemy zbiór K 1 i wartości ( K)( K K 1). Wartości (K 1 ) (wyznaczone zgodnie z zależnością.5) wyodrębniają w zbiorze K 1 trzy odzbiory { K1, K5, K9},{ K2, K}i { K, K6, K7, K 8}, w których mogą być struktury wzajemnie izomorficzne. Srawdzamy, że M( K ) = M( K ), M( K ) = M( K ) oraz M( K ) = M( K ) = M( K ), a więc e m(e, K 1 ) M(K 1 ) B(1) B(2) B() B(5) B(7) Rys..1. Ilustracja sosobu wyznaczenia wektora (K 1 ) i macierzy M(K 1 ) bezośrednio z ostaci skondensowanej K 6 8

8 00 R. Kulesza, Z. Zieliński ( G ) 5. 1 H = Zbiór G ( ) 1 H rzedstawiono (rys..) w ostaci obrazów geometrycznych dogodnych do celów zarządzania siecią rocesorów (obrazów o możliwie minimalnej liczbie rzecięć linii krawędziowych) oraz określono (zgodnie z zależno- ścią.6) liczbę (G) sosobów rzyisania etykiet węzłom struktury G G ( ). 1 H Rys..2. Zbiór K 1 skondensowanych ostaci struktur cyklicznych rzędu czternastego Rys... Obrazy geometryczne struktur zbioru G ( ) 1 H Powyższy rzykład nie ilustruje (w ełni) złożoności obliczeniowej wyznaczania obrazów geometrycznych struktur zbiorów G ( H )( ) za omocą działań na zbiorach K, bowiem zależy ona w sosób wykładniczy od wartości K (tab..1). Tabela K Po żmudnych rzekształceniach otrzymujemy szereg rzeliczający sójne nieetykietowane struktury cykliczne tyu H określonego rzędu G ( H, x) = x + x + 5x + 8x + 1x + 1x + 1x x 6x 2x 2x 0 x x. (.7) Dwadzieścia wybranych (z 77) obrazów geometrycznych cyklicznych struktur roboczych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze logicznej tyu H rzedstawiono na rysunku..

9 Wyznaczanie struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze Rys... Wybrane (z 77) obrazy geometryczne cyklicznych struktur roboczych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze logicznej tyu H (odano liczbę struktur o określonym obrazie) Duża różnorodność roboczych struktur logicznych takiej sieci rocesorów dobrze charakteryzuje rodzaj roblemów wystęujących (między innymi) rzy wyznaczaniu strategii diagnozowania systemowego sieci [11, 18, 19].. Struktury acykliczne Rozatrzymy struktury acykliczne, które nie są drzewami. AD \ A D Oznaczmy G ( H ) = { G( H )\ G ( H )} i otraktujmy strukturę G G ( H ) jako takie rozszerzenie (nadgraf) grafu G G AD \ ( H ) ( ) o k = > 0 węzłów, że U ( G) G = G (U (G) zbiór krawędzi cyklicznych grafu G). AD \ AD \ Oznaczmy G ( G ) = { G G ( H ) : U ( G ) G = G }( G G ( H )). AD \ Zbiór G ( G ) jest więc zbiorem takich rozszerzeń grafu cyklicznego Gʹ, które są niezmiennicze względem liczby cyklomatycznej grafu Gʹ. Niech G, k( H G ( H )) oznacza zbiór rozszerzeń wszystkich grafów zbioru G ( H ) o k węzłów.

10 02 R. Kulesza, Z. Zieliński AD \ Oczywiście G ( H ) = G, k( H G ( H )) oraz 1 1 k [( k > k ) ( G, k ( H G ( H )) = )] [( G, k ( H G ( H )) = )], AD \ a więc wyznaczanie struktur zbioru G ( H ) i określanie liczby \ ( G) ( G G AD ( H )) można srowadzić do sekwencyjnego wyznaczania zbiorów K = { K K : K G ( H G ( H ))}( k = 1 1,...)., k, k Zauważmy, że [ G ( G ) ] [( :{ Ee (, H) { EK ( ) E( K)}} = ) AD \ * e { E( G( K))\ E ( K)} a = = * ( : ( { Ee (, H) ( ( ))} 1) ( { (, ) ( )} 1)], e { E( Ha )\ E( K)} a EGK Ee Ha E K 1 AD \ 1 rzy czym K Goraz ( EK = ( ) = ) ( G ( K ) = ), bowiem [ G ( G ) ] [ :{ EeH (, ) EG ( )} = 1]. AD \ e { E( H )\ E( G )} (.1) Dla rzykładu (rys..1) zgodnie z zależnością (.1) określono liczbę \ K AD ( Ki, k ) rozszerzeń różnych struktur cyklicznych o ostaci skondensowanej K i o k węzłów. Rys..1. Ilustracja określenia (zgodnie z zależnością.1) liczby cyklicznej K i o k węzłów \ K AD ( Ki, k ) rozszerzeń struktury Po niezbyt trudnych, ale żmudnych rzekształceniach otrzymujemy szeregi rzeliczające sójne etykietowane oraz nieetykietowane struktury acykliczne, które nie są drzewami AD G ( H, x) = 16x + 276x + 116x + 20x x x 1968x 720x 192 x, AD G ( H, x) = x + 6x + 2x + 26x + 27x + 21x + 9x + x + x. (.2) (.)

11 Wyznaczanie struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze... 0 Rozatrzymy struktury acykliczne, które są drzewami. * * Sójny graf K= EU, ; EU ; ( E EH ( a), U UH ( a), E EU, U) o tak oznaczonych węzłach i krawędziach, że [ ] e E:{ E( e, K) E } e { Ee \ }:{ Ee (, Ha ) E } [( e, e ) U], jest skondensowaną ostacią drzewa tyu H wtedy i tylko wtedy, gdy jego liczba cyklomatyczna (K) równa się zero oraz zbiór E jest zbiorem wewnętrznie stabilnym ( :{ EeK (, ) E } = ), e E bowiem tylko wtedy 1 ( K ) = ( K). D Struktury zbioru G ( H )( ) mogą więc być indukowane tylko rzez wzorce zbioru { ˆ G GH ( a ) : ( G ) = 0} (rys. 2.2), rzy czym [ 10] [ G D ( H ) = ]. Dla rzykładu (rys..2) grafy K1 i K2 oraz K, które owstały (odowiednio) z wzorców (rys. 2.2) G 7 i G 10 oraz G 8 w klasach komozycji 5,,1 i,,2 oraz 5,,2, są skondensowanymi ostaciami struktury D ( G G ) D 8 H oraz struktury G G ( ). 9 H D D Rys..2. Skondensowane ostacie struktur G G ( H ) oraz G G ( H ) 8 9 Rys... Wybrane (z 19) obrazy geometryczne acyklicznych struktur roboczych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze logicznej tyu H (odano liczbę struktur o określonym obrazie)

12 0 R. Kulesza, Z. Zieliński Po rostych rzekształceniach otrzymujemy szeregi rzeliczające (odowiednio) etykietowanych oraz nieetykietowanych drzew tyu H określonego rzędu oraz D G ( H, x) 20x 62x 18x 720x 528x 192x = (.) G H x x x x x x x D (, ) = (.5) Dwadzieścia wybranych (z 18) obrazów geometrycznych acyklicznych struktur roboczych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze logicznej tyu H rzedstawiono na rysunku.. 5. Podsumowanie Stosując metodę komonowania struktur logicznych tyu sześcian -wymiarowy z wzorców -wymiarowych (zaroonowaną w artykule [8]) oraz metody działań algebraicznych na skondensowanej (do sześcianu -wymiarowego) ostaci określonej klasy takiej struktury (zaroonowane w niniejszym artykule), wyznaczono liczebności zbiorów sójnych etykietowanych G ( ) H oraz nieetykietowanych G ( ) H struktur roboczych o rocesorach, sieci rocesorów o łagodnej degradacji i ierwotnej strukturze logicznej tyu -wymiarowy hiersześcian. Wyodrębniono zbiory struktur cyklicznych, acyklicznych o liczbie cyklomatycznej większej od zera oraz drzew, wyznaczono szeregi rzeliczające i obrazy geometryczne struktur tych klas i określono liczbę struktur roboczych sieci o określonym obrazie geometrycznym. Obrazy geometryczne struktur (z uwagi na objętość artykułu) rzedstawiono tylko dla wybranych struktur roboczych sieci. Uzyskane wyniki mają raktyczne znaczenie dla oceny własności sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze logicznej tyu H w zależności od stonia jej degradacji (liczby rocesorów wyeliminowanych z sieci) oraz dla wybrania najkorzystniejszego (w określonym sensie) sosobu diagnozowania takiej sieci o określonej strukturze roboczej [11, 18, 19]. Artykuł włynął do redakcji r. Zweryfikowaną wersję o recenzji otrzymano w maju 2012 r. Literatura [1] A. aruso, S. hessa, P. Maestrini, P. Santi, Diagnosability of Regular Systems, J. Algorithms, 1, 1, 2002, [2].P. hang, P.L. Lai, J.J.M. Tan, L.H. Hsu, Diagnosability of t-onnected Networks and Product Networks under the omarison Diagnosis Model, IEEE Trans. omut., 5, 200, [] G.Y. hang, G.H. hen, G.J. hang, (t, k)-diagnosis for Matching omosition Networks, IEEE Trans. omut., 55, 1, 2006,

13 Wyznaczanie struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji i strukturze [] G.Y. hang, G.H. hen, G.J. hang, (t, k)-diagnosis for Matching omosition Networks under the MM* Model, IEEE Trans. omut., 56, 1, 2007, [5] S.H. Hsieh, Y.S. hen, Strongly Diagnosable Product Networks Under the omarison Diagnosis Model, IEEE Trans. omut., 57, 6, 2008, [6] R. Kulesza, Podstawy diagnostyki sieci logicznych i komuterowych, Instytut Automatyki i Robotyki, Wydział ybernetyki Wojskowej Akademii Technicznej, Warszawa, 2000, 222. [7] R. Kulesza, Problemy rzeliczania otymalnych struktur oiniowania diagnostycznego, Biuletyn Instytutu Automatyki i Robotyki, Wojskowa Akademia Techniczna, Warszawa, 20, 200, -21. [8] R. Kulesza, Z. Zieliński, Metoda generowania struktur logicznych sieci rocesorów o łagodnej degradacji tyu -wymiarowego sześcianu, Biul. WAT, 60,, 2011, [9] R. Kulesza, Z. Zieliński, Wnikliwość diagnozowania sieci rocesorów metodą orównawczą, Systemy czasu rzeczywistego. Postęy badań i zastosowania, Warszawa, WKŁ, 2009, [10] R. Kulesza, Z. Zieliński, Diagnosis resolution of rocessors network using the comarison method, Przegląd Elektrotechniczny (Electrical Review), 9, 2010, [11] R. Kulesza, Z. Zieliński, The life eriod of the hyercube rocessors network diagnosed with the use of the comarison method, Monograhs on System Deendability, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, [12] P.L. Lai, J.J.M. Tan,.H. Tsai, L.H. Hsu, The Diagnosability of the Matching omosition Network under the omarison Diagnosis Model, IEEE Trans. omut., 5, 8, 200. [1] P.L. Lai, J.J.M. Tan,.P. hang, L.H. Hsu, onditional Diagnosability Measures for Large Multirocessor Systems, IEEE Trans. omut., 5, 2, Feb. 2005, [1] A. Senguta, A.T. Dahbura, On Self-Diagnosable Multirocessor Systems: Diagnosis by the omarison Aroach, IEEE Trans. omut., 1, 11, Nov. 1992, [15] A.K. Somani, O. Peleg, On Diagnosability of Large Fault Sets in Regular Toology-Based omuter Systems, IEEE Trans. omut., 5, 8, 1996, [16] D. Wang, Diagnosability of Hyercubes and Enhanced Hyercubes under the omarison Diagnosis Model, IEEE Trans. omut., 8, 12, 1999, [17] X. Yang, Y.Y. Tang, Efficient Fault Identification of Diagnosable Systems under the omarison Model, IEEE Trans. omut., 56, 12, 2007, [18] Z. Zieliński, Ł. Strzelecki, R. Kulesza, Diagnosability characterization of the -dimensional cube tye soft degradable rocessors network, Monograhs on System Deendability Problems of Deendability and Modelling, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2011, [19] Z. Zieliński, R. Kulesza, Okres życia sieci rocesorów o strukturze logicznej tyu sześcian -wymiarowy diagnozowanej metodą orównawczą, Biuletyn Instytutu Automatyki i Robotyki, Wojskowa Akademia Techniczna, Warszawa, 0, 2011, R. Kulesza, Z. Zieliński Determination of logical structures of -dimensional hyercube rocessors network with soft degradation Abstract. In the work, the formal model of the logical structure of a -dimensional hyercube rocessor network and the method of a comosition structure were develoed based on the method roosed

14 06 R. Kulesza, Z. Zieliński in [8]. The method for determining geometrical form of logical network cyclic and acyclic working structures with the use of oerations on the roosed condensed structure form was resented. ounting series for labelled and unlabelled working structures were determined. Keywords: informatics, system level diagnosis, network logical structure, hyercube network, faulttolerant systems