4. Zależności między współrzędnymi tłowymi i terenowymi

Transkrypt

1 4. Zależności między wsółrzędnymi tłowymi i terenowymi Oracowanie zdjęć fotogrametrycznych, srowadzające się do określenia terenowych wsółrzędnych omierzonych unktów, może yć rzerowadzone - jak już wiadomo - metodą ciągłą (autogrametryczną) lu unktową. Punktowe rozwiązanie jest oarte o omiar wsółrzędnych tłowych (za omocą stereokomaratora lu monokomaratora); do omiaru wsółrzędnych tłowych można wykorzystać również cyfrową stację fotogrametryczną. Stoień złożoności oliczeń zależy od rodzaju zdjęć. Poszczególne warianty, oczynając od najrostszego do najardziej ogólnego, zostaną rozatrzone w odrozdziałach Naziemne wcięcia kątowe Przyrównaliśmy orzednio fotogrametryczne wyznaczanie ołożenia unktu do rzestrzennego wcięcia w rzód. Różnica rzede wszystkim srowadza się do ominięcia kątów, ale w szczególnych wyadkach i ta droga oliczeń ywa stosowana. Dlatego rzedstawimy zależności omiędzy wsółrzędnymi tłowymi (zdjęcia oziomego) i kątami : oziomym - α i ionowym β Z rysunku 4.1 wynikają zależności: tg α = x c k z cosα tgβ = /4.1/ c k c k Rys Odwzorowanie unktu na zdjęciu oziomym, jego wsółrzędne tłowe i kąty. Znając orientację osi kamery - na rzykład jej azymut - można oliczyć wsółrzędne, stosując rzestrzenne wcięcie w rzód. Nie tym jednak sosoem rzerowadza się oliczenia fotogrametryczne; można je wykonać ardziej rosto, o czym mówią nastęne rozdziały Zdjęcia normalne W rzyadku zdjęć oziomych, normalnych, wcięcie w rzód rozwiązujemy w oarciu o zależności wynikające z rys Przyjmujemy ortogonalny układ wsółrzędnych o oczątku w unkcie O 1 (środek rzutów na stanowisku lewym), oś Y skierowaną zgodnie z osią kamery, oś X rosnącą w rawo, oś Z - ionowo w górę. 43

2 Rys Odwzorowanie unktu P na zdjęciu normalnym - rzut oziomy. Znając wsółrzędne tłowe x, z (zdjęcie lewe), i x (zdjęcie rawe) możemy zaisać dla unktu P: Y : c k = :, gdzie = x - x, X : x = Y :c k Z : z = Y : c k z czego wynikają zależności: Y = c k X = x' Z = z' /4.2/ W rzyadku analogicznych zdjęć lotniczych (gdyy udało się wykonać zdjęcia ściśle ionowe, oydwa z tej samej wysokości), wzory 4.2 rzyjmą ostać: Z = c k X = x' Y = y' /4.3/ 4.3. Zdjęcia oziome, zwrócone Rys Odwzorowanie unktu P na zdjęciach oziomych, zwróconych w lewo. W rzyadku zdjęć oziomych, gdy osie kamer - wzajemnie równoległe - nie są rostoadłe do azy, można dla unktu P zaisać zależność: Y : c k = (O L K + KL) : 44

3 gdzie: O L K = cosψ, KL = x.. sinψ : c k skąd: x" sinψ Y = cos ψ + lu: Y Y Y = ( cosψ + x" sinψ ) X = x' Z = z' /4.4/ W rzyadku zdjęć zwróconych w rawo, w nawiasie wzoru na Y należy zmienić znak (+) na (- ). Dla analogicznych zdjęć lotniczych: Z Z Z = ( cosψ + x" sinψ ) X = x' Y = y' /4.5/ Z ionowymi zdjęciami lotniczymi, równoległymi, nierostoadłymi do azy mieliyśmy do czynienia wtedy, gdyy zostały wykonane z różnej wysokości Przestrzenne wsółrzędne tłowe W rzyadku zdjęć o dowolnej orientacji, rzestrzenne wcięcie w rzód staje się ardziej złożone, ale stosunkowo rosto można je rozwiązać sosoami fotogrametrii analitycznej. W tym celu wrowadzimy ojęcie rzestrzennych wsółrzędnych tłowych (rys.4.4, 4.5). Rys Odwzorowanie unktu P na zdjęciu oziomym, r - wektor wodzący unktu P i jego składowe (x, y, z) - rzestrzenne wsółrzędne tłowe unktu P. Znając wsółrzędne tłowe (x, z ) unktu P (rys. 4.4) możemy określić składowe wektora r : x = x, y = c k, z = z, co można zaisać macierzowo: x' r = z' /4.6/ Macierz ta zawiera rzestrzenne wsółrzędne tłowe unktu na zdjęciu oziomym. Analogicznie można zaisać rzestrzenne wsółrzędne tłowe zdjęcia ionowego (wg. rys. 4.5): x' r = y' c k /4.7/ 45

4 Rys Odwzorowanie unktu P na zdjęciu ionowym, wektor wodzący unktu P i jego składowe (x, y, z) - rzestrzenne wsółędne tłowe unktu P 4.5. Macierz transformacji W rzyadku zdjęć lotniczych o dowolnej orientacji (w raktyce - dla zdjęć rawie ionowych ), określenie składowych wektora r w rzestrzennym układzie tłowym (x, y, z) wymaga uwzględnienia kątów: ω, ϕ, κ (rys. 4.7). Składowe te można oliczyć wg. zależności macierzowej: x x' = y M y' /4.8/ z c k gdzie M oznacza macierz orotu (3x3), zwaną także macierzą transformacji; zawiera ona funkcje sinus i cosinus kątów ω, ϕ, κ. Rys.4.6. Przestrzenny układ wsółrzędnych tłowych zdjęcia nieionowego. 46

5 Z z κ y y x x κ z z ϕ y y ω ϕ κ ϕ ω x x y x z ω Rys.4.7. Elementy transformacji rzestrzennych wsółrzędnych tłowych. x κ x ϕ z ω Postać macierzy transformacji M można wyrowadzić, dokonując kolejno trzech transformacji łaskich, zgodnie z rys Orót o kąt κ (wokół osi z, w łaszczyżnie x, y) : x κ = x cosκ + y y κ = y cosκ - x z κ = z analogicznie o kolejnym orocie o kąt ϕ (wokół osi y, w łaszczyżnie xz): x κϕ = x κ cos ϕ + y κ y κϕ = y κ z κϕ = z κ cosϕ - x κ i wreszcie - o kolejnym orocie - o kąt ω (orót wokół osi x w łaszczyżnie yz), otrzymamy wartości : x κϕω, y κϕω, z κϕω, które ędą szukanymi składowymi wektora r (x, y, z), co można zaisać: x cosκ cosϕ = y sinω cosκ + cosω z cosω cosκ + sinω cosϕ sinω + cosω cosκ cosω + sinω cosκ x' sinω cosϕ y' cosω cosϕ c k /4.9/ Zaisana owyżej macierz orotu M, jest macierzą ortogonalną, co oznacza że suma kwadratów elementów każdej kolumny jest równa 1, zaś suma iloczynów odowiadających soie elementów w każdych dwu kolumnach jest równa Warunki: kolinearności i komlanarności Jeśli umiemy określić składowe wektora r (wg. wzoru 4.7), to możemy rozwiązać wcięcie w rzód, zaisując wielkości znane (x, y, c k ), oraz szukane wsółrzedne terenowe unktu P (X, Y, Z) w zależności zwanej równaniem kolinearności lu warunkiem kolinearności (czyli wsółliniowości - wektorów r i R wg. rys. 4.8): R = λ. M. r (4.10) gdzie: λ- skalar stanowiący wsółczynnik skalowy (łatwy do eliminacji w trakcie oliczeń), zaś macierzowy zais wsółrzędnych wektora R zawiera wsółrzędne terenowe unktu P: X R = Y Z /4.11/ 47

6 Jest oczywiste, że wcięcie w rzód wymaga zaisania równań kolinearności dla oydwu zdjęć rzedstawionych na rys Na ogół do rozwiązania wcięcia w rzód stosuje się równanie komlanarności (czyli wsółłaszczyznowości wektorów: azy B, R 1 i R 2 ). Jak wiadomo, warunkiem wsółłaszczyznowości wektorów jest zerowa wartość ich iloczynu mieszanego, czyli r r r B R R 0 (4.12) 1 2 = Rys.4.8. Wektory równań kolinearności i komlanarności. Zais warunku kolinearności najczęściej jest wykorzystywany do fotogrametrycznego wcięcia wstecz - określenia elementów orientacji zewnętrznej (a więc nie tylko wsółrzędnych środka rzutów X o, Y o, Z o, ale także kątów κ, ϕ, ω ). Danymi do wcięcia wstecz są wsółrzędne fotounktów - zidentyfikowanych na zdjęciach unktów o znanych wsółrzędnych terenowych (X, Y, Z). W tym rzyadku równanie 1.11 rozisujemy ardziej szczegółowo: X X Y Yo Z Z o o r = λ M /4.13/ Powyższe informacje o stosowanych w fotogrametrii metodach analitycznych, należy uzuełnić kilkoma uwagami końcowymi. Oisane metody analityczne zakładają ostęowanie oliczeniowe w którym określa się elementy orientacji oszczególnych zdjęć, ay nastęnie wyliczyć wsółrzędne terenowe unktów. Odmienne ostęowanie jest raktykowane w rzyadku samokaliracyjnego rozwiązywania sieci wiązek: już na etaie ustalania elementów orientacji wiązki są łączone w jedną, wsólną, rzestrzenną sieć geometryczną, rzy uwzględnieniu warunków rzecinania się wszystkich jednoimiennych romieni do unktów oiektu omiaru. W jednym etaie wylicza się zarówno elementy orientacji zdjęć (wraz z łędami orazowania), jak i szukane wsółrzędne 48

7 unktów. Dla wielu zdjęć tworzy się rzestrzenną sieć rzecinających się kierunków - do unktów znanych jak i wyznaczanych. Takie ostęowanie rzynosi znaczne korzyści: orzez silne związanie geometryczne sieci rzestrzennej można ograniczyć liczę unktów kontrolnych; także z unktu widzenia zasad wyrównania oserwacji, takie ostęowanie jest ardziej orawne. Niewiadome (w tym łędy orazowania) są wyznaczane nie tylko na odstawie unktów kontrolnych, ale z wszystkich unktów mierzonych na wielu zdjęciach. Ten sosó rozwiązania sieci wiązek nosi nazwę samokaliracji Charakteryzuje go złożoność algorytmów i orogramowania. Wymagana jest znaczna licza nadliczowych zdjęć. Na otrzey oracowania zdjęć niemetrycznych (lu metrycznych o nieewnych elementach orientacji) stworzono metodę kaliracji w trakcie rozwiązywania zadania omiarowego ( ng. on the jo calliration). Jej zasady oisano w literaturze [ ]. Podstawę ostęowania oliczeniowego stanowią jak wiadomo unkty kontrolne. Licza i rozmieszczenie unktów kontrolnych zależą od zastosowanej metody. Bez unktów kontrolnych oywają się oczywiście najmniej racochłonne - metody oarte na danych nominalnych; oliczenie wsółrzędnych rzerowadza się o wrowadzeniu danych olowych do odowiednich wzorów. Wśród metod zakładających korekcję, najoularniejsze są korekcje kątowych elementów orientacji kamery wystarczają do tego 3 unkty kontrolne (dla każdego zdjęcia); w rzyadku korekcji łędów orazu niezędna jest znajomość 5 8 unktów (dla każdego zdjęcia). Najmniejsze wymagania wziąwszy od uwagę liczę stosowanych zdjęć mają rozwiązania sieci wiązek rozwiązywane na drodze samokaliracji 3 unkty XYZ. Jak wynika z wcześniejszych rozważań, w klasycznych rozwiązaniach oierających się na geometrii odoieństw ewien rolem stwarza znalezienie wartości kątowych elementów orientacji wiązki, uwikłanych w funkcje wyrazów ortogonalnej macierzy orotu. Z tego owodu, większość oeracji oliczeniowych wymagała ostęowania iteracyjnego. Niedogodność ta nie wystęuje w rozwiązaniach analitycznych wywodzących się z geometrii rzutowej, którym oświęcono nastęny rozdział Przekształcenia oarte o geometrię rzutową Geometria rzutowa zajmuje się rzekształceniami utworów geometrycznych w rzestrzeni rzutowej. Za rzestrzeń rzutową uważa się rzestrzeń euklidesową wzogaconą o elementy niewłaściwe: unkt niewłaściwy (rostej), rostą niewłaściwą (łaszczyzny), łaszczyznę niewłaściwą (rzestrzeni). Przekształcenia rzutowe są rezultatem: rzutowania (z unktu dla nas najważniejsze, alo z rostej), lu rzecinania (łaszczyzną dla nas najważniejsze, lu rostą). Utwory to ziory elementów zasadniczych (unktów, rostych, łaszczyzn); dla nas najważniejszymi utworami są: łaszczyzna unktów (ziór unktów należących do tej samej łaszczyzny), wiązka rostych (ziór rostych rzestrzeni mających jeden wsólny unkt), rzestrzeń unktów (ziór unktów rzestrzeni). Pojęcie elementów niewłaściwych należy rozumieć nastęująco: roste równoległe mają wsólny unkt niewłaściwy (w ± ), łaszczyzny równoległe rzecinają się we wsólnej rostej niewłaściwej (w ), rzestrzeń unktów osiada łaszczyznę niewłaściwą (w ). Utworami wzajemnie rzutowymi nazywamy takie utwory, które owstały w wyniku skończonej liczy rzekształceń rzutowych (rzutowań, lu rzecinań); dadzą się one zawsze srowadzić do ołożenia ersektywicznego tzn. do ołożenia w którym jeden jest rzutem lu rzecięciem drugiego; rzykład takich rzekształceń ilustuje rys

8 Fotomaa Zdjęcie lotnicze Maa Teren Rys Łańcuch rzekształceń rzutowych omiędzy terenem a fotomaą Wzajemną rzutowość dwóch łaszczyzn unktów (n. łaszczyzny fotogramu i łaskiej owierzchni elewacji udynku, czy łaskiego terenu) określają cztery elementy homologiczne w naszym rzyadku cztery ary odowiadających soie unktów, od warunkiem, że żadne trzy nie leżą na tej samej rostej. Zaisem matematycznym który określa wzajemną rzutowość tych utworów są równania: x = ax + Y + c dx + ey +1 fx + gy + h y = /4.14/ dx + ey +1 Licza wystęujących wsółczynników (a... h) otwierdza wcześniejsze twierdzenie - cztery ary unktów, dla których możemy zaisać (łącznie) 8 równań, ozwalają oliczyć wartości 8 wsółczynników. Zależności te oatruje się zastrzeżeniem matematycznym wykluczającym rzynależność trzech unktów do jednej rostej. We wzorach tych, XY i xy to ortokartezjańskie układy wsółrzędnych (n. wsółrzędne tłowe i terenowe). Inną arę utworów, których wzajemna rzutowość może mieć raktyczne znaczenie stanowią: łaszczyzna unktów (fotogramu) i rzestrzeń unktów (mierzonego oiektu). Zais matematyczny tej zależności jest znany od nazwą DLT (ang. Direct Linear Transformation ezośrednia transformacja liniowa): x = ax + Y + cz + d ex + fy + gz +1 hx + jy + kz + l y = /4.15/ ex + fy + gz +1 Ze względu na liczę wsółczynników (11) zależność ta nazywana jest także jedenastoarametrową. 50