Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie
|
|
- Szymon Szulc
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie 9. OSIOWE ROZIĄGIE I ŚISIE 9.. aprężenia i odkształcenia Osiowe rozciąganie pręta pryzmatycznego występuje wówczas, gdy układ sił zewnętrznych po jednej stronie przekroju poprzecznego pręta redukuje się do wypadkowej prostopadłej do przekroju, zaczepionej w jego środku ciężkości i skierowanej zgodnie z normalną zewnętrzną. Wypadkową tę nazywamy siłą osiową lub podłużną i w przypadku gdy jej zwrot jest zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej nazywamy siłą rozciągającą a jej współrzędnej przypisujemy znak dodatni. aszym zadaniem będzie wyznaczenie elementów macierzy naprężeń i odkształceń w dowolnym punkcie pręta, bo te wielkości określają w nim stan naprężenia i odkształcenia oraz współrzędnych wektora przemieszczenia. Rozważmy więc, pokazany na rys. 9. pręt pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego, określony w układzie osi (X, Y,Z), w którym oś X jest osią pręta, a osie (Y, Z) są osiami centralnymi jego przekroju poprzecznego. Pręt wykonany jest z izotropowego, jednorodnego, liniowo sprężystego materiału o stałych materiałowych E oraz ν. Z Y v (, 0, 0) Z Y τ z τ y X σ I II I X Rys. 9. Dokonajmy myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzućmy część II a do części I przyłóżmy układ sił wewnętrznych, który symbolicznie zaznaczymy przez jego miary tzn. naprężenia σ, τ, τ zaczepione w dowolnie wybranym punkcie przekroju poprzecznego. y z Z twierdzenie o równoważności odpowiednich układów sił wewnętrznych i zewnętrznych wynika, że: S M { WI } S { Z II }, S y { WI } S y { Z II }, S z { WI } S z { Z II }, { W } M { Z }, M { W } M { Z }, M { W } M { Z }, 0 I 0 II 0 y I 0 y II 0z I 0z II (9.) rzuty sum i momentów zredukowanego układu sił wewnętrznych przyłożonych do części I oraz układu sił zewnętrznych przyłożonych do części II, są sobie równe. Zgodnie z powyższym możemy w rozważanym przypadku napisać poniższe związki: 7
2 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie, ( τ y z + τ z y) σ d τ d y d 0, 0, τ z d 0, σ z d 0, σ y d 0. Równania (9.) możemy nazwać równaniami równowagi, gdyż wynikają z twierdzenia o równoważności układów sił wewnętrznych i zewnętrznych udowodnionego na podstawie warunków równowagi układu sił działających na ciało. Z równań (9.) nie można wyznaczyć σ, τ, τ, gdyż to funkcje trzech zmiennych i aby je y z (9.) określić, zajmiemy się analizą deformacji bryły po przyłożeniu obciążeń. W oparciu o przyjęte założenia odnośnie materiału, jak i hipotezę płaskich przekrojów ernoulliego przyjmiemy, że obraz deformacji pręta po przyłożeniu obciążeń jest taki jak to pokazuje rys. 9.. konfiguracja początkowa Z Y b b konfiguracja aktualna h h D D X l l Rys. 9. l nalizując ten obraz deformacji pręta po przyłożeniu obciążeń przyjmiemy, że: pole przemieszczeń jest w nim jednorodne, odkształcenia kątowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zero, odkształcenia liniowe związane są zależnością: ε y ε z ν ε. Powyższe obserwacje pozwalają napisać następujące zależności: ε l l l l, l ε y b b γ 0, γ 0, γ 0. y yz z b b, b ε z h h h h, h azwiemy je równaniami geometrycznymi gdyż są wynikiem analizy geometrii pręta po deformacji. Mając odkształcenia możemy, korzystając z równań fizycznych Hooke a, elementy macierzy naprężeń: wyznaczyć 7
3 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie ( ε + ε y + ε z ) σ E ε σ E ν ε ν + + ν ( ε + ε + ε ) σ 0 E ν σ y ε y + y z + y, ν ν ( ε + ε + ε ) σ 0 E ν σ z ε z + y z + z, ν ν τ y Gγ y τ y 0 ; τ yz Gγ yz τ yz 0 ; τ z Gγ z τ z 0. ależy teraz wrócić do równań równowagi (9.) w celu sprawdzenia czy otrzymane w oparciu o przypuszczone pole przemieszczeń naprężenia spełniają te obiektywne zależności i aby wyrazić siły wewnętrzne poprzez siły zewnętrzne. Zerowanie się naprężeń stycznych powoduje, że równania drugie, trzecie i czwarte są spełnione. Z równania pierwszego otrzymamy σ d E ε d odkształcenia liniowe są równe:,, a ponieważ pole odkształceń jest jednorodne, to ε E, (9.) i naprężenia normalne wynoszą: σ. (9.4) Wstawiając powyższe do dwóch ostatnich równań równowagi otrzymujemy: σ d 0 z d z 0 σ d 0 y d y 0 bo osie (Y, Z) są osiami centralnymi i momenty statyczne przekroju poprzecznego liczone względem nich są równe zero. Tak więc ostatecznie macierze naprężeń i odkształceń przy osiowym rozciąganiu mają postać: 0 0 T σ 0 0 0, T ε E ν 0 E 0 0 ν. (9.5) E W praktyce inżynierskiej bardzo ważne jest określenie wydłużenia pręta, czyli przemieszczenie jego końca l. Jeśli pole przemieszczeń w pręcie jest jednorodne to łatwo wyznaczymy zmianę jego długości bez potrzeby całkowania odkształceń: l l ε l. (9.6) l E E 7
4 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Podobnie możemy wyznaczyć zmiany wymiarów (zmniejszenie) przekroju poprzecznego pręta: b h b ν oraz h ν. E E a końcu tej części naszych rozważań należy powiedzieć, że wyprowadzone zależności mogą być stosowane, w tej formie, zarówno dla przypadku rozciągania jak i ściskania osiowego. W tym drugim przypadku wypadkowa ma zwrot przeciwny do normalnej zewnętrznej, a jej współrzędnej przypisujemy znak ujemny. Przy czym w przypadku ściskania, tj. gdy <0 konieczne jest dodatkowe sprawdzenie czy pręt jest w stanie równowagi statecznej. 9.. naliza stanu naprężenia i odkształcenia W analizowanym przypadku występuje jednoosiowy i jednorodny stan naprężenia scharakteryzowany jednym tylko naprężeniem normalnym w przekroju poprzecznym pręta, które jest równocześnie maksymalnym naprężeniem głównym w przypadku rozciągania (rys.9.) i minimalnym w przypadku ściskania. Pozostałe dwa naprężenia główne są równe zeru a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocześnie prostopadłe do osi pręta. Z σ σ ma σ z σ min σ z σ min 0 0 X σ σ ma Rys. 9. Ekstremalne naprężenia styczne występują w przekrojach nachylonych pod kątem 45 do osi pręta (rys. 9.) i równają się połowie naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym. oło Mohra dla rozważanego przypadku pokazane jest na rys σ v σ o 45 o 45 Z σ σ τ σ τ σ σ σ X τ v σ v σ min σ z 0 τ τ σ v ma σ σ σ v ma O O σ σ v τ v σ σ v σ Rys
5 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Układ (rozkład) sił wewnętrznych w przekroju poprzecznym pręta pokazuje rys Z Y X I σ Rys. 9.5 Wartości naprężeń normalnych w tym przypadku nie zależą o współrzędnych y oraz z więc można ich rozkład, nie tracąc czytelności, rysować płasko, jak to zostało pokazane na rys Z σ Z σ X lub X Rys. 9.6 Stan odkształcenia jest też jednorodny ale trójosiowy. Odkształcenia liniowe w kierunku równoległym do osi pręta są maksymalne w przypadku rozciągania i minimalne w przypadku ściskania. Pozostałe dwa odkształcenia główne są sobie równe, a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocześnie prostopadłe do osi pręta. 9.. Energia sprężysta pręta rozciąganego lub ściskanego osiowo Znajomość elementów macierze naprężeń i odkształceń pozwala na wyznaczenie gęstości energii sprężystej i energii sprężystej dla rozważanego przypadku obciążenia pręta. Podstawienie zależności (9.5) do (8.8) daje: Φ, i stąd energia sprężysta pręta o długości l i polu przekroju poprzecznego E rozciąganego (ściskanego) osiowo stałą siłą o wartości wynosi: U Φ dv dv d d E E l d E V V 0 0 l l E. 75
6 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W przypadku konstrukcji złożonej z wielu prętów o różnych długościach oraz przekrojach poprzecznych obciążonych osiowo siłami podłużnymi jej energia sprężysta wynosi: U n l i i 0 i E i d, (9.7) gdzie sumowanie należy wykonać po wszystkich przedziałach charakterystycznych Zasada de Saint-Venanta Wnioski mówiące o jednorodności rozkładu naprężeń czy odkształceń w pręcie rozciąganym osiowo mogą budzić pewne zastrzeżenia, jeśli popatrzymy na różne, występujące w praktyce inżynierskiej, przypadki obciążeń, które redukują się do siły rozciągającej zaczepionej w środku ciężkości przekroju poprzecznego. Można przypuszczać, że sposób przyłożenia obciążenia będzie miał wpływ na rozkład naprężeń i odkształceń. I tak istotnie jest, ale tylko w bliskim sąsiedztwie obszaru przyłożenia obciążenia. Mówi o tym zasada de Saint-Venanta, która jest jednym z naszych podstawowych założeń i którą potwierdzają badania doświadczalne (szczególnie wyraźnie badania elastooptyczne). Zasadę tę można sformułować następująco: jeżeli na pewien niewielki obszar ciała w równowadze działają rozmaicie rozmieszczone, ale statycznie równoważne obciążenia, to w odległości znacznie przekraczającej wymiary tego obszaru wywołują one praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia (rys. 9.7). / / / 9.5. Spiętrzenie naprężeń Rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym rozciąganego pręta pryzmatycznego jest równomierny. W przypadku rozciąganych prętów o zmiennym przekroju poprzecznym naprężenia normalne nie mają stałych wartości. metodami teorii sprężystości zagadnienie rozciąganego pręta w kształcie klina (rys. 9.8) pokazuje zmienność naprężeń normalnych i dodatkowo występowanie naprężeń σ ma stycznych. Wartość naprężenia maksymalnego σ ma w stosunku do wartości naprężenia nominalnego σ n wzrasta wraz z Rys. 9.8 kątem. Przy / o 0 naprężenie maksymalne jest o. % większe od nominalnego, a przy 0 jest już większe o % co dowodzi, że gdy przekrój zmienia się łagodnie, to z dostateczną dokładnością w obliczeniach można stosować wzory jak dla prętów pryzmatycznych. o 76
7 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W przypadku gwałtownej zmiany kształtu lokalny wzrost naprężenia może być znaczny. W pokazanym na rys. 9.9 rozciąganym płaskowniku z otworem w jego pobliżu występuje duży wzrost naprężeń, nazywany spiętrzeniem lub koncentracją naprężeń. Szczególnie duża koncentracja naprężeń występuje w przypadku ostrych nacięć (rys. 9.0) i wówczas mówimy o efekcie karbu, który może prowadzić do powstania pęknięcia, a następnie do zniszczenia elementu. nalizą propagacji szczelin zajmuje się mechanika pękania, która obecnie ze względu na ważność i złożoność problemów, z którymi ma do czynienia stanowi autonomiczny przedmiot mechaniki. σ n σ ma σ n σ ma Rys. 9.9 Rys Podstawowe dane doświadczalne. Statyczna próba rozciągania W dotychczasowych naszych rozważaniach zetknęliśmy się już z takimi wielkościami, jak moduł Younga i współczynnik Poissona. Są one charakterystyczne dla danego materiału i nazwaliśmy je ogólnie stałymi materiałowymi. Wspomnieliśmy również, że dla każdego materiału istnieją pewne charakteryzujące go wielkości sił między cząsteczkowych, po przekroczeniu których traci on swoją spójność (niszczy się). Te jak i inne jeszcze wielkości określające własności mechaniczne materiału, mogą być wyznaczone jedynie na drodze doświadczalnej. Sposób i warunki przeprowadzania odpowiednich badań laboratoryjnych są określone bardzo precyzyjnymi przepisami, podanymi w Polskich ormach. Jednym z podstawowych badań jest statyczna próba rozciągania, gdyż, jak w żadnym innym doświadczeniu, statyczne i kinematyczne warunki brzegowe jakim podlega badana próbka są najbliższe tym, które zakładane są w modelu teoretycznym. Realizowane w próbce stany naprężenia i odkształcenia reprezentowane są przez dwie wielkości: naprężenia normalne σ w przekroju poprzecznym badanej próbki oraz odkształcenia liniowe ε w kierunki jej osi. Obie te wielkości można wyznaczyć z prostych pomiarów podczas badania i, co więcej, związek między nimi σ Eε zawiera stałą materiałową jaką jest moduł Younga E. Dalej przedstawimy najważniejsze wyniki próby rozciągania stali, wykonanej w sposób określony normą P-76/H-040. Dla innych materiałów powszechnie stosowanych w konstrukcjach budowlanych (beton czy drewno) obowiązują inne normy ale z uwagi na przyjęte założenia o własnościach analizowanych przez nas konstrukcji stal jest modelowym materiałem i dlatego nią się przede wszystkim zajmiemy. Wykonane zgodnie z podaną normą próbki (zwykle o przekroju kołowym) stali rozciągane są osiowo w maszynach wytrzymałościowych najczęściej aż do zniszczenia próbki. Podczas próby rejestrowane są zmiany wielkości siły rozciągającej i wymiarów próbki, dzięki czemu 77
8 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie można sporządzić tzw. wykres rozciągania w układzie miękkiej pokazuje rys.9.. a osi odciętych mamy odkształcenie liniowe włókien równoległych do osi pręta, σ wyznaczane ze wzoru G l ε gdzie: L 0 - pierwotna długość L 0 σ ε. Wykres rozciągania stali odcinka próbki (długość pomiarowa), którego F wydłużenia l są rejestrowane. R e a osi rzędnych występują naprężenia R S D normalne w przekroju poprzecznym pręta, R H wyznaczane ze wzoru: σ, gdzie: - siła rozciągająca próbkę, ε 0 O rejestrowaną podczas badania, 0 - pole pierwotnego przekroju poprzecznego próbki.. Rys. 9. Ponieważ podczas wykonywania próby pole przekroju poprzecznego próbki maleje, to te naprężenia są wielkościami umownymi. Omówimy krótko poszczególne charakterystyczne części wykresu rozciągania. a prostoliniowym odcinku O odkształcenia są liniowo zależne od naprężeń i znikają po zdjęciu obciążenia. Tak więc własności materiału są liniowo sprężyste i największe naprężenie, przy którym te własności jeszcze występują R H, nazywamy granicą proporcjonalności albo granicą stosowania prawa Hooke a. a krzywoliniowym odcinku, kończącym się naprężeniem R, materiał jest jeszcze sprężysty ale zależność między S naprężeniami i odkształceniami jest nieliniowa. R S nazywamy granicą sprężystości, po jej przekroczeniu w materiale zaczynają występować trwałe (plastyczne) odkształcenia. W punkcie wykresu, któremu odpowiadają naprężenia R e, w próbce narastają znaczne odkształcenia: 0 do 5 razy większe niż przy granicy sprężystości, przy stałych a nawet malejących naprężeniach. Zjawisko to nazywamy płynięciem materiału (część D określana jest jako platforma płynięcia), a naprężenie R e - wyraźną granicą plastyczności. Płynięcie materiału kończy się w punkcie D, w którym zmienia się charakter wykresu. Przyrost odkształceń wymaga przyrostu naprężeń, materiał się wzmocnił i sytuacja taka trwa aż do punktu F, któremu odpowiada największa siła uzyskana w czasie próby. aprężenia odpowiadające temu punktowi R m, nazywamy wytrzymałością na rozciąganie. W momencie badania, któremu odpowiada na wykresie rozciągania punkt F, w próbce tworzy się przewężenie, tzw. szyjka i prawie natychmiast próbka w tym miejscu ulega zerwaniu. Podczas próby rozciągania prócz wyznaczenia wyżej opisanych granicznych wartości naprężeń możemy wyznaczyć moduł Younga i liczbę Poissona. Moduł Younga to nic innego jak tangens kąta nachylenia liniowej części wykresu rozciągania: σ E tg. ε Rejestrując zmianę średnicy próbki d podczas próby możemy wyznaczyć odkształcenia liniowe w kierunku poprzecznym do osi pręta : R m naprężenia rzeczywiste H 78
9 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie d ε, gdzie : d 0 - pierwotna średnica próbki. pop d 0 Liczbę Poissona otrzymujemy dzieląc odkształceń liniowe w kierunku poprzecznym przez odkształcenia liniowe w kierunku równoległym do osi próbki: ν ε pop ε. Wyżej wspomniano, że naprężenia na wykresie rozciągania są naprężeniami umownymi, gdyż otrzymane zostały przez podzielenie siły rozciągającej przez początkowe pole przekroju poprzecznego. aprężeniami rzeczywistymi nazywać będziemy iloraz siły przez aktualne pole powierzchni przekroju. W początkowym stadium próby rozciągania między tymi dwoma naprężeniami nie ma istotnych różnic, pojawiają się one dopiero pod koniec platformy płynięcia. Przebieg zmian naprężeń rzeczywistych na rys.9. pokazany został linią przerywaną. Wykres rozciągania na rys. 9. pokazuje cechy i zachowanie się stali miękkiej nazywanej też stalą niskowęglową bo zawartość węgla w jej składzie nie przekracza 0.0 %. Stal o takiej charakterystyce jest powszechnie stosowana w budowlanych konstrukcjach stalowych. a rys. 9. naszkicowane zostały wykresy rozciągania innych metali. Widoczny jest brak w pewnych materiałach wyraźnej granicy plastyczności R e. W takich σ MPa przypadkach posługujemy się umowną granicą plastyczności oznaczaną przez R 0. i definiowaną jako naprężenie, przy którym stal twarda trwałe odkształcenia liniowe wynoszą 0. %. W przypadku statycznej próby ściskania (sposób jej wykonania w przypadku metali 800 można znaleźć w normie P-57/H-040) w zakresie naprężeń poniżej granicy stal miękka plastyczności charakter wykresu ściskania w 400 układzie σ ε nie odbiega od wykresu rozciągania. Stal miękka, aluminium czy miedź miedź mają granicę proporcjonalności, ε % sprężystości i plastyczności nieomal identyczną jak przy rozciąganiu. Przy większych naprężeniach charakter wykresu się zmienia i jest to powodowane wpływem aktualnej geometrii badanej próbki - zwiększa się pole jej przekroju poprzecznego. 0 0 Rys
10 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie a wielkości mechaniczne materiałów niewątpliwy wpływ mają różne czynniki zewnętrze, przykładowo można wymienić temperaturę, wilgotność czy czas. To, jak znaczną zmianę wielkości mechanicznych będą one powodować zależy między innymi od rodzaju materiału. iżej bardzo pobieżnie, omówione zostaną niektóre aspekty wpływu temperatury i czasu na zachowanie się stali. Wpływ temperatury na granicę plastyczności R e i wytrzymałość na rozciąganie R m pokazuje rys. 9.. Podwyższona temperatura aktywizuje własności reologiczne stali polegające, najprościej mówiąc, na zmianie deformacji w czasie przy stałych obciążeniach. Wśród zjawisk (procesów) reologicznych ciał stałych zwykle rozróżnia się zjawisko pełzania określane jako wzrost odkształceń w czasie przy stałych naprężeniach i zjawisko relaksacji definiowane jako spadek naprężeń w czasie przy stałych odkształceniach σ MPa Rys. 9. R m R e T o Długotrwała próba rozciągania stali w podwyższonej temperaturze tj. próba pełzania (warunki i sposób jej wykonania podany jest w normie P-57/H-040) pokaże przebieg zmian odkształceń w czasie przy stałym naprężeniu, których wykres, tzw. krzywą pełzania przedstawia rys Wynikiem próby relaksacji byłaby krzywa relaksacji pokazująca zmianę naprężeń w czasie przy stałych odkształcenia naszkicowana na rys ε zniszczenie σ krzywa pełzania krzywa relaksacji σ const t ε const t Rys.9.4 Rys.9.5 W metalach procesy reologiczne wyraźnie się zaznaczają przy temperaturach powyżej ich temperatury topnienia. Zjawiska reologiczne, zwłaszcza zjawisko relaksacji ma negatywny wpływ za zachowanie się konstrukcji. Ono jest przyczyną spadku sił sprężających w konstrukcjach sprężonych czy rozluźniania się połączeń śrubowych i nitowanych. W tablicy poniżej, podane są wartości charakterystyk mechanicznych i stałych materiałowych dla niektórych materiałów. Ponieważ wielkości te bardzo zależą od składu chemicznego, obróbki cieplnej, obróbki plastycznej jak i innych czynników (np. wilgotności w przypadku drewna) podane wartości należy traktować orientacyjnie, skupiając uwagę na 80
11 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie tym z jakim rzędem wielkości mamy do czynienia. W nawiasach podana jest wytrzymałość przy ściskaniu. Materiał Stal konstrukcyjna StSX,StSY Wytrzymałość na rozciąganie MPa R m Granica plastyczności R e MPa Wytrzymałość obliczeniowa R r MPa Moduł Younga E GPa Liczba Poissona ν Gęstość masy ρ kg/m luminium Miedź Żeliwo szare Ołów rąz Dural eton 50. (6).54 (7.7) 8.6 /6 500 Szkło Drewno- sosna (wzdłuż włókien) Podstawowe zasady i warunki projektowania Mając wyznaczone stany naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia dla przypadku osiowego rozciągania prętów pryzmatycznych mamy podstawy do projektowania takich elementów konstrukcji inżynierskich. a tym przykładzie tego przypadku omówione zostaną podstawowe pojęcia i procedury związane z projektowaniem przy bardziej złożonych przypadkach obciążenia czy elementach konstrukcji. ędzie to w większym stopniu omówienie zasad wymiarowania niż projektowania, gdyż przy projektowaniu oprócz zasad wymiarowania niezbędna jest znajomość przepisów zwanych normami budowlanymi, które będą szczegółowo omawiane w przedmiotach konstrukcyjnych jak konstrukcje stalowe, betonowe, żelbetowe czy drewniane. ędzie to raczej omówienie zasad wymiarowania niż projektowania, gdyż przy projektowaniu oprócz zasad wymiarowania niezbędna jest znajomość przepisów zwanych normami budowlanymi, które będą szczegółowo omawiane w przedmiotach konstrukcyjnych jak konstrukcje stalowe, betonowe, żelbetowe czy drewniane. Zobaczymy później, w trakcie studiowania wymienionych przedmiotów konstrukcyjnych, że w wielu przypadkach, formuły czy zależności podane w normach, które są obowiązujące w procesie projektowania będą dość odległe od zasad wymiarowania podanych w tym jak i innych podręcznikach wytrzymałości materiałów. Przyczynę tego stanu można przede wszystkim upatrywać w tym, że wytrzymałość materiałów posługuje się w swych rozważaniach idealnym teoretycznym modelem materiału, konstrukcji, jak i schematach jej zniszczenia, normy zaś starają się ująć w globalny i uproszczony sposób najbardziej istotne mechaniczne aspekty zachowania się elementów konstrukcji. Stąd np. wytrzymałość materiałów zazwyczaj określa warunki dla naprężeń w punkcie a normy formułują warunki nośności dla przekroju. iemniej jednak nie ma sprzeczności w tych dwóch podejściach i co więcej znajomość zasad wymiarowania jest niezbędna do zrozumienia i racjonalnego stosowania normowych zasad projektowania. Jak już wcześniej powiedzieliśmy materiał, kształt i wymiary konstrukcji muszą być dobrane w taki sposób, aby była ona odpowiednio wytrzymała, sztywna i stateczna. Jeżeli konstrukcja 8
12 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie lub jej część przestaje przenosić obciążenie, do przeniesienia którego została przeznaczona lub też gdy nie odpowiada założonym warunkom użytkowania, mówimy, że znajduje się w stanie granicznym. Możemy wyróżnić dwa stany graniczne: stan graniczny nośności i stan graniczny użytkowania. Stan graniczny nośności związany jest z wystąpieniem zniszczenia ciągłości materiału w punkcie lub obszarze, zmiany konstrukcji w mechanizm, uszkodzeniem spowodowanym zmęczeniem materiału, utratą stateczności przez część lub całą konstrukcję. Stan graniczny użytkowania natomiast związany jest z wystąpieniem nadmiernych przemieszczeń, uszkodzeń związanych z korozją, nadmiernych drgań itp. Warunki, które konstrukcja musi spełnić, wynikające z obu stanów granicznych formułowane będą w postaci nierówności, w których w stanie granicznym nośności będzie występować pewna graniczna wartość naprężeń, a w stanie granicznym użytkowania graniczna wartość przemieszczeń związana z warunkami użytkowania. Te graniczne wartości naprężeń, wyznaczane na podstawie doświadczeń (np. próby rozciągania czy ściskania) i analizy probabilistycznej otrzymanych z nich wyników, gwarantują bezpieczny stan materiału w danym punkcie i nazywane są jego wytrzymałością charakterystyczną. Ponieważ w procesie projektowania konstrukcji mogące wystąpić liczne czynniki przypadkowe, związane np. z niedokładnością danych o geometrii konstrukcji, jej obciążeniach czy błędach wykonania, do obliczeń przyjmowana jest wytrzymałość obliczeniowa, będąca ilorazem wytrzymałości charakterystycznej i współczynników materiałowych spełniających rolę współczynników bezpieczeństwa. W praktyce projektowej dowiemy się, że wytrzymałość obliczeniowa jest związana nie tylko z samym materiałem ale również z rodzajem konstrukcji. Polska orma do obliczania i projektowania ogólnobudowlanych konstrukcji stalowych P-90/-000 wyróżnia tylko jedną wytrzymałość obliczeniową stali oznaczaną przez f d (modyfikowaną współczynnikami liczbowymi dla innych przypadków obciążenia), podczas gdy norma obowiązująca przy projektowaniu mostów P-8/S-0005 wyróżnia wytrzymałość obliczeniową stali elementów konstrukcji mostowych pracujących na rozciąganie i ściskanie osiowe, rozciąganie przy zginaniu R, na ścinanie R, na docisk powierzchni przylegających R, na docisk t powierzchni stycznych R dh. W normach związanych z konstrukcjami betonowymi, żelbetowymi, drewnianymi i murowymi występują jeszcze inne wielkości. Dlatego też w toku naszych dalszych rozważań, nie umniejszając zasadniczo ich ogólności, będziemy się posługiwać jedynie pojęciami wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu R, przy rozciąganiu R r i przy ścinaniu R t. W przypadku materiału izonomicznego (np. stal) i naprężeń normalnych, używać będziemy jednej wytrzymałości obliczeniowej R. W związku z powyższym warunki wymiarowania prętów osiowo rozciąganych będą miały postać: ze względu na stan graniczny nośności maσ ma R r ze względu na stan graniczny użytkowania l ma l ma l dop. E d c 8
13 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W przypadku prętów osiowo ściskanych w miejsce wytrzymałości obliczeniowej przy rozciąganiu R r należy wstawić wytrzymałość obliczeniową przy ściskaniu R c, przy czym musimy pamiętać, że pręt musi być w stanie równowagi statecznej i warunki jej zapewnienia będą sformułowane w toku dalszych wykładów Przykłady Przykład Wyznaczyć średnice kołowego stalowego pręta o skokowo zmiennym przekroju poprzecznym obciążonym jak na rysunku jeśli wytrzymałość obliczeniowa stali R 65 MPa. Po określeniu wymiarów przekroju poprzecznego obliczyć przemieszczenia wzdłuż osi pręta u ( ) i zmianę średnicy w przekroju największej siły podłużnej, jeśli moduł Younga E 05 GPa, a liczba Poissona ν 0.. Średnice wyznaczymy z warunku nośności i wpierw należy wyznaczyć siły osiowe w pręcie. Jest to proste zadanie w analizowanym przykładzie i ich rozkład pokazany jest na rysunku. u d 00 k 00 k D d.0 m 0.5m 0.5m 50 k () k Średnica na odcinku : π d 4 R R 450* 0 d * 0 65* 0 Przyjęto do wykonania d 6 0 cm. Średnica na odcinku D:. m ma D D R D ma R D u() mm π d 4 50* 0 d * 0 65* 0 Przyjęto do wykonania d 5 cm.. m Przemieszczenia wzdłuż osi pręta (wydłużenia) u ( ) : ε ( ) d u d ( ) d u gdy () jest stałe to ( ) Stąd w rozważanym przykładzie: 0 < <.0 m u ( ) 0.78 ( π 6 4) ( ) ε ( ) d u( ) ε ( ) d u( ) 0 0 ( ) E u i wydłużenie jest liniową funkcją współrzędnej. E *0 0.78*0 9 05*0 *0 d 8
14 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie ( ) u l 0.78 *0 - m 0.78 mm..0 < <.5 m u u ( ) l 50* *0 *0 ( π 5. 4) (.5) l l + l ( )*0.5 < <.0 m ( ) l *0 ( ).8*0 m.8 mm u ( ) l 50* *0 *0 ( π 5. 4) (.5) l + 0.4*0 (.5) u (.0) l l + l + l ( ) *0 D D.5*0 m.5 mm. Zmiana wymiarów średnicy w miejscu największej siły podłużnej wynosi: d 450 *0 ν d 0. 6*0 0.04* 0 9 E 05*0 *0 ( π 6 4) m mm. Warto zwrócić uwagę jak małe są wielkości przemieszczeń i zmiany wymiarów w stosunku do początkowych wymiarów konstrukcji. Potwierdza to zasadność przyjęcia założenia zasady zesztywnienia jak i późniejsze założenia o małych odkształceniach. Przykład Pręt pryzmatyczny, jak na rysunku, obciążony jest tylko ciężarem własnym. Wyznaczyć ( ), σ ( ) i u ( ) jeśli znane są jego: pole przekroju, ciężar objętościowy γ, długość l oraz moduł sprężystości podłużnej E. Obliczyć długość zerwania jeśli wytrzymałość na rozciąganie wynosi R m. Wyznaczenie sił podłużnych: ( ) ( l ) γ ; ma ( ) ( 0 ) l γ Siły podłużne zmieniają liniowo wzdłuż osi pręta i osiągają maksymalną wartość w utwierdzeniu. ( ) aprężenia normalne: σ ( ) ( l ) γ ; maσ σ ( 0 ) lγ Wartości naprężeń też zmieniają się liniowo wzdłuż osi pręta, osiągają maksymalną wartość w utwierdzeniu i ta maksymalna wartość nie zależy od pola przekroju poprzecznego pręta. u : Przemieszczenia wzdłuż osi pręta (wydłużenia) ( ) ε u ( ) ( ) d u d 0 ( ) ( ) 0 d u σ γ d E E ( ) ε ( ) d u( ) ε ( ) γ E ( l ) d ( l ) 0 d γ [ l ] ( l ) E l ( ) 84
15 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie ma u u ( l) γ l l E Przemieszczenia są kwadratową funkcją współrzędnej i osiągają swą największą wartość na końcu pręta, przy czym wartość ta nie zależy od pola przekroju poprzecznego pręta. Wykresy poszukiwanych funkcji pokazuje rysunek poniżej. l ( ) lγ σ Długość zerwania l R to długość pręta, obciążonego jedynie ciężarem własnym, przy której największe w nim naprężenia normalne będą równe wytrzymałości na rozciąganie (można powiedzieć: długość przy której zerwie się pod ciężarem własnym). Zatem: ma σ Rm lr γ Rm lr γ Jak widać długość zerwania l R jest stałą materiałową. Przykładowe wielkości długości zerwania: drewno sosnowe.5 km, stal niskowęglowa 4.8 km, stal wysokowęglowa 9. km, duraluminium 6.9 km. ( ) l γ u ( ) γ l E Przykład a m długości ławy fundamentowej o przekroju prostokątnym bh wykonanej z betonu o ciężarze objętościowym γ k/m przekazuje się równomiernie rozłożone obciążenie ze ściany q 50 k/m. Wyznaczyć potrzebną szerokość fundamentu b jeśli jej wysokość h.5 m, a wytrzymałość obliczeniowa gruntu na ściskanie, na którym jest on posadowiony wynosi R c,g 0. MPa h b q 50 k/m.0 m Siła przekazywana z fundamentu na grunt wynosi: q* + γ * h* b* Z warunku nośności wynika: b* R c,g q* + γ * h* b* R b* c,g 50* 0 + * 0 *. 5* b 6 0. * 0 b. 5 m. b Przykład adproże wykonane z belki dwuteowej 00 przekazuje na mur obciążenie w postaci siły P 60 k. Obliczyć potrzebną długość oparcia belki przyjmując, że naprężenie obliczeniowe muru na ściskanie R c,m.0 MPa. 85
16 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie P Z warunku nośności wynika: a P s* a P 60* 0 Rc,m a a a. * 0 m 6 s* R 9* 0 * * 0 c,m s9 cm Przyjęto do wykonania a 5cm. W dwóch ostatnich powyższych przykładach warto zauważyć jak schemat obliczeniowy (pręt pryzmatyczny osiowo obciążony) daleko odbiega od rzeczywistej konstrukcji. Przykład Wyznaczyć nacisk na m długości przyczółka mostu jaki wywiera płyta żelbetowa o grubości h 4 cm przy wzroście temperatury T 5 jeśli moduł sprężystości podłużnej betonu E 8.6 GPa a współczynnik rozszerzalności liniowej T 0-5 /. Płyta przylega ściśle do obu przyczółków. Wydłużenie rozpiętości płyty l w przypadku jej swobodnego podparcia byłoby równe l T T l. Skrócenie jej rozpiętości na skutek przyłożenia ściskającej siły wynosi l l/e. Porównanie obu tych wielkości daje równość: l 5 9 T T l T T E h 0 * 5* 8. 6* 0 * * 0 k. E * h* Widać z powyższego, że ta siła (a jest ona bardzo duża) nie zależy od rozpiętości płyty mostowej. Oczywiście szerokość potrzebnej szczeliny dylatacyjnej będzie od niej zależała. Przykład Dobrać potrzebny przekrój pręta w pasie dolnym podanej stalowej kratownicy, jeśli wytrzymałość obliczeniowa stali R 5 MPa. Przekrój pręta ma być złożony z dwóch kątowników równoramiennych. Po wyznaczeniu przekroju obliczyć nośność tego pręta. m a 00 k 00 k 00 k 00 k 00 k 50 k 50 k m 6* m 00 k 00 k Siłę w pręcie wyznaczymy metodą Rittera. Warunek równowagi odciętej lewej części kratownicy daje: L Σ M 0 00 * 4 50 * 4 00 * * k (pręt jest rozciągany) 86
17 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Potrzebne pole przekroju poprzecznego wyznaczamy z warunku granicznego nośności: R R 00 *0 9.0 *0 6 5*0 4 m 9.0 cm. Przyjęto z tablic profili walcowanych 45/45/6, których pole przekroju poprzecznego 0. cm (najbliższe w tablicach ale większe od obliczonego). 45 mm Przez nośność pręta rozumiemy największą siłę podłużną którą może przenieść bez utraty ciągłości. Z warunku nośności otrzymujemy nośność pręta : ma R ma R ma 0. * 5* 0 9. * 0. Przykład Wyznaczyć potrzebne wymiary przekrojów poprzecznych prętów danego układu przegubowo-prętowego jeśli: wytrzymałość obliczeniowa stali R 65 MPa i wytrzymałość obliczeniowa drewna przy ściskaniu R c,d 0 MPa. Po wyznaczeniu wymiarów określić położenie punktu po deformacji, jeśli moduły sprężystości podłużnej stali i drewna wynoszą : E s 05 GPa i E d 9 GPa..0 m stal d drewno a 4.0 m P 4 k Siły w prętach wyznaczymy z warunków równowagi sił działających na węzeł. Σ X 0; cos 0 Σ Y 0; sin P 0.0 k (pręt ściskany) 40.0 k (pręt rozciągany) Y X P 4 k Wymiary przekrojów poprzecznych prętów wyznaczymy z warunku granicznego nośności. Pręt drewniany; ściskany: Rc, d a R c, d a 5.66 *0 m Przyjęto do wykonania a 6.0 cm. Skrócenie pręta *0 0*0 6 Pręt stalowy; rozciągany: π d Rs R 4 d.76 *0 m Przyjęto do wykonania d.8 cm. Wydłużenie pręta s 40*0 65*0 6 87
18 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie l E d l *0 *4 9 9 *0 *6 *0 0.95*0 m. l E s l 40*0 9 05*0 * 0.8*0 m. *5 ( π.8 4) *0 Ze względu na bardzo małe skrócenie i wydłużenie prętów, położenia punktu po deformacji poszukiwać będziemy na prostych prostopadłych do pierwotnych kierunków prętów, tak jak to jest pokazane na rysunku obok, nazywanym planem przemieszczeń. W przyjętym układzie odniesienia współrzędne ' wektora przemieszczenia (, ) u v mają wartości: u l 0.95 cm 4 v l ctg + l sin cm Przerywane linie na planie przemieszczeń wyjaśniają, w jaki sposób wyliczono v. l u v v u l Przykład Wyznaczyć współrzędne wektora przemieszczenia punktu przyłożenia siły podanego układu przegubowo-prętowego. Przyjmijmy, że znane są wartości siły, wielkości β określające geometrię układu i moduł Younga co pozwala wyliczyć siły w prętach układu i wielkości wydłużenia i skrócenia odpowiednich prętów i. P Przy dowolnej geometrii układu kłopotliwe jest po narysowaniu planu przemieszczeń wyznaczenie współrzędnych wektora przemieszczenia punktu ' przyłożenia siły ( u, v ). Łatwo można to zrobić postępując w pokazany niżej sposób. β e e u W rozważanym punkcie przyjmijmy układ odniesienia (u, v) w którym chcemy wyznaczyć współrzędne wektora przemieszczenia. Współrzędne wersorów kierunkowych prętów w przyjętym układzie wynoszą odpowiednio: e ( cos, sin ) oraz e ( cos β, sin β ) i ich wyznaczenie jest proste przy znanej geometrii układu. orzystając z własności iloczynu skalarnego wektorów możemy napisać układ równań: ' ' e e u u cos + v sin, + v sin β ( cos β ) v z którego nie jest trudno wyliczyć obie poszukiwane współrzędne u oraz v. 88
19 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W omawianym przykładzie przyjmują one wartości: sin β sin u ; sin cos β + sin β cos cos β + cos v. sin cos β + sin β cos Przykład Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach układu statycznie wyznaczalnego i współrzędne wektora przemieszczenia punktu. Dane są wartości obciążeń, moduły sprężystości i wymiary układu. ieodkształcalne pręty układu narysowane zostały grubymi liniami. a P 4P a D a a a W celu wyznaczenia sił w odkształcalnych prętach dokonujemy podziału konstrukcji, a następnie rozpatrujemy warunki równowagi odciętych części. 4P a P H D D a H V D a a V Σ M D 0 * a 4P * a 0 Σ M 0 * a P P Znajomość sił w prętach oraz pozwala wyznaczyć ich wydłużenia: P a oraz E 4P a. E * a + P * a 0 Przemieszczenie punktu będzie zależało od przemieszczenia punktu spowodowanego wydłużeniem pręta oraz wydłużenia pręta. Plan przemieszczeń pokazuje rysunek niżej. 89
20 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie a a + u v D a a a Położenia punktu po deformacji poszukujemy na prostopadłej do pierwotnego kierunku pręta i prostopadłej do kierunku odcinka, który jest nieodkształcalny. Podobnie postępujemy w punkcie. Współrzędne przemieszczenia wektora punktu wynoszą: u + i v ( + ) tg gdzie: tg /. Przykład Pręt ( na odcinku drewniany na odcinku stalowy), potrzymuje sztywną ramę D konstrukcji prętowej o geometrii i obciązeniu jak na rys. Wyznaczyć wymiar a pręta z warunku nośności, jeśli: wytrzymałość obliczeniowa na rozciąganie stali R s 5 MPa, drewna R d 8 MPa, i warunku użytkowania żadającym aby pionowe przemieszczenie punktu D - v D nie przekraczało cm. Moduł sprężystości wynoszą: stali E 05 GPa, drewna E d 9 GPa. s m m 4 m q0 k/m a P k a 4 m m D Obliczenie sił osiowych w pręcie. Siłę na odcinku wyznaczymy z warunku zerowania się momentów względem punktu wszystkich sił działających na odciętą część konstrukcji (rys. obok) M 0, * 4 + * 4 0* 4* 0,. 4 k. 4 m q0 k/m P k D Siła na odcinku jest równa: + P k.. H V 4 m 90
21 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Wyznaczenie wymiaru a z warunku nośności: pręt stalowy: π a 4. 4* 0 R a 0. 95* 0 s 6 π a 4 4 5* 0 pręt drewniany:. 4* 0 R 4 a 0. 88* 0 d a m. 6 4 a 8* 0 m, Wyznaczenie wymiaru a przekroju pręta z warunku użytkowania. Pionowe przemieszczenie punktu D, które wynosi (patrz rys. obok) ' vd DD cos β potrzebujemy wyrazić poprzez wydłużenie pręta. Z planu przemieszczeń pokazanego obok odczytujemy, cos β , DD ' tg 7. tg tg 4 ' 4 m β 4 m m D D v D Wydłużenie pręta : l ' l + l l E * d l + E * s. 4* 9 9* 0 * 4a 4. 4* * 0 * π a * 0 a Pionowe przemieszczenie punktu D: ' vd DD cos β. 98* 4. 5* 0 a, stąd warunek użytkowania daje: * 0 a * 0 a. 89* 0 m. ' 9 Jak widąc z obliczeń o wielkości a decyduje w tym przypadku stan graniczny użytkowania i ostatecznie przyjęto do wykonania a. 0 cm. Przykład Wyznaczyć siły w prętach układu pokazanego na rysunku, obciążonego siłą P 48 k jeśli przekroje wszystkich prętów są jednakowe o polu cm. Określić położenie punktu przyłożenia siły po deformacji jeśli moduł Younga materiału prętów E 05 GPa. 9
22 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie. m.8 m P.4 m l 4.0 m, l. 4 m, l. 0 m sin 0.8 cos 0.6 onstrukcja jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna. Widać to wyraźnie po wycięciu węzła, na który, oprócz siły zewnętrznej P, oddziaływają trzy niewiadome siły osiowe z prętów, a ponieważ tworzą one układ sił zbieżnych, to istnieją jedynie dwa niezależne warunki równowagi. W przypadku konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, aby wyznaczyć siły przekrojowe lub reakcje oprócz równań równowagi musimy sformułować równania geometryczne wynikające z kinematycznych warunków brzegowych (sposobu podparcia lub wzajemnych połączeń elementów konstrukcji). Liczba niezależnych równań geometrycznych jest równa krotności statycznej niewyznaczalności układu. Tak więc komplet równań, który pozwala na wyznaczenie sił przekrojowych, składa się z równań równowagi i równań geometrycznych. W tym miejscu należy powiedzieć jeszcze o innej ważnej różnicy między układami statycznie niewyznaczalnymi i wyznaczalnymi. Rzecz w tym, że na wielkości sił przekrojowych w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych mają wpływ: zmiany temperatury, błędy montażowe, osiadanie podpór, charakterystyki geometryczne przekrojów (pole przekroju, momenty bezwładności) jak i stałe materiałowe. W konstrukcjach statycznie wyznaczalnych siły przekrojowe są niezależne od tych zjawisk i parametrów. P Równania równowagi: Σ X 0; sin + cos Σ Y 0; cos + +, 0. sin P e e v e u Warunek geometryczny w rozważanym układzie wynika z połączenia trzech prętów w węźle. Wydłużenia prętów muszą być takie, aby po deformacji końce prętów schodziły się w jednym punkcie. arysowany obok plan przemieszczeń stanowi podstawę do sformułowania równania geometrycznego, a dokładniej mówiąc równania nierozdzielności przemieszczeń. Przy wyznaczeniu tego równania zastosujemy wcześniej opisane podejście, wykorzystujące iloczyny skalarne ' wektora przemieszczenia (, ) 9 u v i wersorów
23 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie kierunkowych prętów układu e, e, e. I tak, współrzędne wersorów w przyjętym układzie osi (u, v) są: e ( sin, cos ), ( 0, ) e (, sin ). cos e, Układ równań, z którego dla dowolnej geometrii układu łatwo możemy wyznaczyć równanie nierozdzielności przemieszczeń ma postać: ' e ' e ' e Z takiego układu zawsze można uzyskać równanie wiążące wydłużenia prętów. Podstawienie danych z rozważanego przykładu daje układ: u u sin + v v cos + v cos sin z którego otrzymujemy równanie geometryczne w postaci: cos + sin. Ostatecznie komplet równań do wyznaczenia sił przekrojowych przedstawia się następująco: sin + cos 0 cos + + sin P. l l l cos + sin E E E W wyniku jego rozwiązania otrzymujemy:. 0 k, 8. 0 k, 6. 0 k. Wydłużenia prętów wynoszą: *0 * 4.7* 0 m, 9 05*0 * *0 6 *0 *.7* 0 m. 9 05*0 * *0 8*0 *.4.69 * 0 m, 9 05*0 * *0 Współrzędne wektora przemieszczenia punktu, wyznaczone z układu równań: u sin + v cos, v są równe: u 0. 4 mm, v. 69 mm. Przykład Wyznaczyć siły w prętach podanego układu przy wzroście temperatury T 0, jeśli: moduł sprężystości podłużnej stali E 05 GPa a współczynnik 9
24 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie rozszerzalności liniowej ε T *0-6 jednakowe o polu cm. /, przekroje poprzeczne wszystkich prętów są. m.8 m.4 m l 4.0 m, l. 4 m, l. 0 m, sin 0.8 cos 0.6 onstrukcja jest statycznie niewyznaczalna. więc zmiana warunków jej pracy w postaci zmiany temperatury czy przemieszczania się podpór skutkuje powstawaniem w niej sił przekrojowych, w tym przypadku będą to siły podłużne. W równaniach równowagi nie wystąpią zewnętrzne siły obciążające, we wzorach na wydłużenia prętów dojdą człony związane ze wzrostem temperatury. Równania równowagi: Σ X 0 sin + cos 0 Σ Y 0 cos + + sin 0 Warunek geometryczny jest taki sam jak w przykładzie 9.8. bo geometria układu jest identyczna. cos + sin, ale zmienią się wzory określające zmianę długości prętów, gdyż pojawią się człony związane ze zmianą temperatury: l l l + E E E i komplet równań do wyznaczenia sił osiowych w prętach ma postać: + εt T l, + εt T l, εt T l l E + ε T l sin + cos 0 cos + + sin 0 l l + εt T l cos + + εt T l E E T sin W wyniku jego rozwiązania otrzymujemy: 7. 8 k,. 0 k, k., 94
25 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Przykład Wyznaczyć siły w prętach układu pokazanego na rysunku, obciążonego siłą P 60 k jeśli wszystkie pręty mają jednakowe przekroje poprzeczne i jednakowe są ich moduły Younga. P 4 m m onstrukcja jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna. Równania równowagi: Σ X m 0; 4 m cos cos + cos, 0 P Σ Y 0; sin sin sin. P e e e u Równanie nierozdzielności przemieszczeń napiszemy na podstawie przyjętego ( narysowanego obok) planu przemieszczeń. Wektor przemieszczenia liniowego węzła w którym przyłożona jest siła, w przyjętym układzie ' odniesienia (u, v), ma współrzędne (, ) u v. Wersory kierunkowe osi prętów mają współrzędne: cos, sin e cos, sin, e ( ), ( ) e ( cos, sin ). Z geometrii konstrukcji bez trudu wyznaczamy: cos 0 600, sin 0 800, cos sin 0 707, cos 0 800, sin v.... Układ równań, z którego możemy wyznaczyć równanie nierozdzielności przemieszczeń ma postać: ' e ' e ' e cos * u + sin * v cos * u + sin * v cos * u + sin * v * u * u * u * v * v * v 95
26 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie W równaniach występują bezwzględne wartości zmian długości prętów, bo plan przemieszczeń zakłada również skrócenie niektórych prętów. Z tego układu wyznaczamy poszukiwane równanie geometryczne: 5.000* 5.000*.44*, ale plan przemieszczeń zakłada wydłużenie pręta i skrócenie prętów i, więc < 0 oraz < 0, zatem i, i ostatecznie równanie geometryczne ma postać: * *.44 *. Uwzględniając, że sztywność na rozciąganie E wszystkich prętów jest jednakowa, komplet równań do wyznaczenia sił w prętach podanego układu jest następujący: * *5.44 * * W wyniku jego rozwiązania otrzymujemy: 6. 5 k,. 04 k, k. Przykład Wyznaczyć potrzebną średnice stalowych odkształcalnych prętów układu obciążonego jak na rys., jeśli: q 50 k/m,, E E E, R 65 MPa. arysowany pogrubioną linią pręt jest nieodkształcalny..0 m q.0 m.0 m.0 m Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. by wyznaczyć siły przekrojowe oprócz jednego równania równowagi potrzebujemy dodatkowo jednego równania geometrycznego. Równanie równowagi: Σ 0 M *+ * q **.5 0 Poziomy pręt jest nieodkształcalny, i może się obracać tylko względem punktu. Pamiętając o tym, że położenia punktów po deformacji poszukiwać będziemy na prostopadłych do pierwotnych kierunków prętów, możemy napisać poniższe równanie geometryczne: ' ' ' ', ale ; stąd: H V q 96
27 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie l l Podstawiając za oraz wraz z zależnościami między długościami E E prętów ich przekrojami i modułami Younga do równania geometrycznego otrzymujemy:. omplet równań z którego możemy wyznaczyć siły w prętach ma postać: + 4.5q a jego rozwiązanie daje: 80 k, k.. Potrzebne średnice prętów wyznaczymy z warunku nośności: Pręt : π d. 80* 0 R d 6. 89* * 0 m.. π d * 0 Pręt : R d 6. 55* 0 m. 4 65* 0 Ponieważ siły w prętach zostały wyznaczone przy założonych proporcjach średnice prętów związane są zależnością d d i do wykonania przyjęto d. 0 d 6 cm.]. Przykład Wyznaczyć naprężenia i zmiany długości odkształcalnych prętów układu prętowego obciążonego jak na rysunku, jeśli siła P 00 k, pola przekrojów poprzecznych prętów 4 cm, cm, moduł sprężystości podłużnej E E 05 GPa. Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Równanie równowagi: Σ 0 M P * * P *+ * 0 więc cm a a podstawie założonego planu przemieszczeń możemy napisać równanie geometryczne, dokładniej równanie nierozdzielności przemieszczeń. W tym przypadku ma ono postać: tg Plan przemieszczeń zakłada wydłużenie pręta i skrócenie pręta, zatem > 0, a < 0 stąd i, a ponieważ tg 0.5 równanie geometryczne przyjmuje formę: Zmiany długości prętów wynoszą: H V 0.5P.0 m.0 m 0.5P.0 m P P 97
28 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie l ; E l. E omplet równań do wyznaczenia sił osiowych w odkształcalnych prętach układu: 50 * *0 * 4 *0 05*0 * * k; 0. 0 k. aprężenie normalne w przekroju poprzecznym prętów i zmiany ich długości wynoszą: 0 *0 6 w pręcie - rozciąganym; σ 5.0*0 Pa 5.0 MPa 4*0 l 0*0 * 0.44 * E 05*0 * 4*0 m 0.44 mm. w pręcie - ściskanym; 0 *0 6 σ 00.0*0 Pa MPa *0 l 0 *0 * 0.488* 0 m mm. 9 E 05*0 * *0 Przykład Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach układu jak na rysunku, spowodowane wzrostem temperatury T 45, jeśli współczynnik rozszerzalności cieplnej 6 o liniowej ε T * 0, pola przekrojów poprzecznych prętów cm, moduł sprężystości podłużnej E E 05 GPa..0 m.0 m onstrukcja jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna. W równaniach równowagi nie wystąpią zewnętrzne siły obciążające, we wzorach określających zmianę długości prętów dojdą człony związane ze wzrostem temperatury. Równanie równowagi: Σ M 0 * * 0 H V 98
29 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Równanie nierozdzielności przemieszczeń : tg, ale < 0, a > 0 stąd i, więc równanie geometryczne przyjmuje formę: Zmiany długości prętów wynoszą: l l + ε T, + ε T T l. E T l E omplet równań do wyznaczenia sił osiowych w odkształcalnych prętach układu: 9 05* 0 * * 0 + * * 45* 9 05* 0 * * 0 + * 0 6 * 45* 600 k; 00 k. aszkicujmy położenie punktu po deformacji konstrukcji. l 4600* 6 + ε T Tl + * 0 * 45* 9 E 05* 0 * * 0 ( ) * * m, l 00* 6 + ε T Tl + * 0 * 45* 9 E 05* 0 * * 0 0.4*0 - m ( ) * * m. 0.*0 - m Przykład Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach układu, które powstaly w wyniku błedu montażowego. Pręt wykonany został za krótki o mm. Średnice prętów wynoszą odpowiednio: d. 0 cm i d. 0 cm a moduły Younga E E 05GPa..0 m.0 m.0 m.0 m.0 m 99
30 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie H V.0 m.0 m.0 m Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Równanie równowagi: Σ 0 M *+ * 0.0 m.0 m.0 m Równanie geometryczne: ale > 0, a 0 < stąd i, zatem: ( ). omplet równań do wyznaczenia sił osiowych w odkształcalnych prętach układu: l E + 0 l E 05 *0 9 ( π 4) *0 + 0 *0 05 *0 9 ( π 4) *0 Siły w prętach wynoszą: 5 6 k, k.... Przykład Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach układu, które powstaly w wyniku błedu montażowego. Pręt wykonany został za długi o mm. Średnice prętów wynoszą odpowiednio: d. 0 cm i d. 0 cm a moduły Younga E E 05GPa..0 m.0 m.0 m.0 m.0 m H V.0 m.0 m.0 m Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Równanie równowagi: Σ 0 M *+ * 0 00
31 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie.0 m.0 m.0 m Równanie geometryczne: ale < 0, a 0 > stąd i zatem ( ) +. omplet równań do wyznaczenia sił osiowych w odkształcalnych prętach układu: l E + 0 l + E 05* 0 9 ( π 4 )* * * 0 9 ( π Siły w prętach wynoszą: 5 6 k, k... 4 )* 0 Sprawdźmy spełnienie warunku geometrycznego i naszkicujmy obraz konstrukcji po deformacji. l 56*. 994* 0 m 9 E 05* 0 π 4 * 0 ( ) l 7806* 0 m ( π 4) 0. * 9 E 05* 0 * 0 Warunek geometryczny miał postać ( + ) i jak łatwo sprawdzić wyznaczone przemieszczenia go spełniają: (. 994) 0 0. * 0 * m. 0,0606,0000,994. 0, Przykład Wyznaczyć siły w odkształcalnych prętach i układu przegubowoprętowego jak na rys. Pola ich przekrojów poprzecznych, modułów sprężystości podłużnej E E E. 0 km m 4 m 0 k/m m m 4 m 0
32 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Równanie statyki: M 0, * + * 4 0* 5* Z pokazanego obok planu przemieszczeń wyznaczymy równanie geometryczne. Sztywna rama może się tylko sin obracać wokół przegubu. Zadając cos wydłużenie pręta pierwszego, przy nieodkształcalnym pręcie, określamy ϕ położenie punktu po deformacji i tym 4 m samym narzucamy, że wszystkie punkty ϕ sztywnej ramy obracają się o ten sam kąt ϕ, a to definiuje położenie punktu po deformacji i wydłużenie pręta drugiego. m 4 m Pokazany i opisany obraz przemieszczeń daje zależności ' tg ϕ, a ponieważ długość 5 m, a ' sin, to tg ϕ. ' Równocześnie tgϕ, i dalej 5 m, ' cos, więc tg ϕ 4. Zatem równanie geometryczne ma postać: l l E E Układ równań do wyznaczenia sił w prętach przedstawia się następująco: Siły w prętach podanego układu prętowego wynoszą: 49 k, 70 k. 4 m 0 km m. H 0 k/m V 4 m. m m 0
33 dam odnar: Wytrzymałość Materiałów. Osiowe rozciąganie i ściskanie Przykład Wyznaczyć naprężenia normalne w odkształcalnych prętach i potrzymujących sztywną tarczę pokazaną na rys. Pole przekroju poprzecznego pręta oraz pręta na odcinku DF wynosi cm, pole przekroju poprzecznego pręta na odcinku FG jest równe. Moduł Younga materiału obu prętów wynosi E..5 m.5 m D F G.5 m 5 k.5 m.5 m 40 k 0 km 4 m 0 k/m Układ jest jednokrotnie statyczne niewyznaczalny. Równanie równowagi: X 0, DF 5 + 0* 0. DF F G 5 k 40 k 0 km 0 k/m m V 4 m V Pokazany obok plan przemieszczeń pozwala wyznaczyć równanie geometryczne. Sztywna tarcza może przemieszczać się tylko poziomo. Zadając wydłużenie pręta pierwszego, definiujemy położenie wszystkich jej punktów a to określa wydłużenie pręta drugiego. Zatem równanie geometryczne ma postać: 45 G G. Pręt pierwszy jest obciążony siłą osiową 5 k w połowie swej długości i dodatkowo ma zmienny przekrój więc jego wydłużenie jest równe: * E ( 5) DF *. 5 DF + E + ( + 5) *. 5, i równanie geometryczne jest następujące: E* DF 5 DF 5 5. *. *. +. E* E Układ równań do wyznaczenia sił w prętach ma postać: 0
Wytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA
STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Próba statyczna rozciągania jest jedną z podstawowych prób stosowanych do określenia jakości materiałów konstrukcyjnych wg kryterium naprężeniowego w warunkach obciążeń statycznych.
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowo17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoTemat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali
Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali 2.1. Wstęp Próba statyczna ściskania jest podstawowym sposobem badania materiałów kruchych takich jak żeliwo czy beton, które mają znacznie lepsze
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Zwykła próba rozciągania stali Numer ćwiczenia: 1 Laboratorium z przedmiotu:
Bardziej szczegółowoTemat 1 (2 godziny): Próba statyczna rozciągania metali
Temat 1 (2 godziny): Próba statyczna rozciągania metali 1.1. Wstęp Próba statyczna rozciągania jest podstawowym rodzajem badania metali, mających zastosowanie w technice i pozwala na określenie własności
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoMechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego
Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego Cel ćwiczenia STATYCZNA PRÓBA ŚCISKANIA autor: dr inż. Marta Kozuń, dr inż. Ludomir Jankowski 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoZestaw pytań z konstrukcji i mechaniki
Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki 1. Układ sił na przedstawionym rysunku a) jest w równowadze b) jest w równowadze jeśli jest to układ dowolny c) nie jest w równowadze d) na podstawie tego rysunku
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Bardziej szczegółowoNaprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji
Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Naprężeniem (p) nazywa się iloraz nieskończenie małej wypadkowej siły spójności
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zadanie 2 tylko Zadanie 3
Zadanie 1 Obliczyć naprężenia oraz przemieszczenie pionowe pręta o polu przekroju A=8 cm 2. Siła działająca na pręt przenosi obciążenia w postaci siły skupionej o wartości P=200 kn. Długość pręta wynosi
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Zwykła statyczna próba ściskania metali Numer ćwiczenia: 3 Laboratorium z przedmiotu:
Bardziej szczegółowoWewnętrzny stan bryły
Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowo5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowo8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechnika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH BADANIE TWORZYW SZTUCZNYCH OZNACZENIE WŁASNOŚCI MECHANICZNYCH PRZY STATYCZNYM ROZCIĄGANIU
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
KATEDRA MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechnika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Instrukcja przeznaczona jest dla studentów następujących kierunków: 1. Energetyka - sem. 3
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 4
INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 4 Temat ćwiczenia: Statyczna próba rozciągania metali Celem ćwiczenia jest wykonanie próby statycznego rozciągania metali, na podstawie której można określić następujące własności
Bardziej szczegółowoSKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH
KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechnika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH BADANIE ZACHOWANIA SIĘ MATERIAŁÓW PODCZAS ŚCISKANIA Instrukcja przeznaczona jest dla studentów
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Stateczność prętów prostych Równowaga, utrata stateczności, siła krytyczna, wyboczenie w zakresie liniowo sprężystym i poza liniowo sprężystym, projektowanie elementów konstrukcyjnych
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych, naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia.
Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia. Sprawdzanie warunków wytrzymałości takich prętów. Wydruk elektroniczny
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Bardziej szczegółowoTemat 3 (2 godziny) : Wyznaczanie umownej granicy sprężystości R 0,05, umownej granicy plastyczności R 0,2 oraz modułu sprężystości podłużnej E
Temat 3 (2 godziny) : Wyznaczanie umownej granicy sprężystości R,5, umownej granicy plastyczności R,2 oraz modułu sprężystości podłużnej E 3.1. Wstęp Nie wszystkie materiały posiadają wyraźną granicę plastyczności
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
Bardziej szczegółowo5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5
INTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 Temat ćwiczenia: tatyczna próba ściskania materiałów kruchych Celem ćwiczenia jest wykonanie próby statycznego ściskania materiałów kruchych, na podstawie której można określić
Bardziej szczegółowo15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w
Bardziej szczegółowoMateriały Reaktorowe. Właściwości mechaniczne
Materiały Reaktorowe Właściwości mechaniczne Naprężenie i odkształcenie F A 0 l i l 0 l 0 l l 0 a. naprężenie rozciągające b. naprężenie ściskające c. naprężenie ścinające d. Naprężenie torsyjne Naprężenie
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:
Bardziej szczegółowoPaleZbrojenie 5.0. Instrukcja użytkowania
Instrukcja użytkowania ZAWARTOŚĆ INSTRUKCJI UŻYTKOWANIA: 1. WPROWADZENIE 3 2. TERMINOLOGIA 3 3. PRZEZNACZENIE PROGRAMU 3 4. WPROWADZENIE DANYCH ZAKŁADKA DANE 4 5. ZASADY WYMIAROWANIA PRZEKROJU PALA 8 5.1.
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.
Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają
Bardziej szczegółowoRodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoOlga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoMATERIAŁOZNAWSTWO vs WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z MATERIAŁOZNAWSTWA Statyczna próba rozciągania stali Wyznaczanie charakterystyki naprężeniowo odkształceniowej. Określanie: granicy sprężystości, plastyczności, wytrzymałości na
Bardziej szczegółowoPEŁZANIE WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie PEŁZANIE WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Reologia jest nauką,
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 11. Moduł Younga
Ćwiczenie 11. Moduł Younga Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia drutu z badanego materiału obciążonego stałą siłą.
Bardziej szczegółowoWYTRZYMAŁOŚĆ RÓWNOWAŻNA FIBROBETONU NA ZGINANIE
Artykul zamieszczony w "Inżynierze budownictwa", styczeń 2008 r. Michał A. Glinicki dr hab. inż., Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN Warszawa WYTRZYMAŁOŚĆ RÓWNOWAŻNA FIBROBETONU NA ZGINANIE 1.
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe
Bardziej szczegółowoLaboratorium wytrzymałości materiałów
Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 1 - Statyczna próba rozciągania Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Statyczna próba rozciągania Statyczną
Bardziej szczegółowo700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:
Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowoWykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał
Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.pl Literatura: [1] Piechnik St., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych,, PWN, Warszaw-Kraków,
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowo2. Charakterystyki geometryczne przekroju
. CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 3 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 N 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoSPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY.
ĆWICZENIE 5 SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY. Wprowadzenie Odkształcenie, którego doznaje ciało pod działaniem
Bardziej szczegółowo11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ
11. WŁANOŚCI PRĘŻYTE CIAŁ Efektem działania siły może być przyspieszanie ciała, ae może być także jego deformacja. Przykładami tego ostatniego są np.: rozciąganie gumy a także zginanie ub rozciąganie pręta.
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy 1. Położenie osi obojętnej przekroju rozciąganego mimośrodowo zależy od: a) punktu przyłożenia
Bardziej szczegółowoPRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU
PROGRAM ZESP1 (12.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do analizy wytrzymałościowej belek stalowych współpracujących z płytą żelbetową. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o wzajemności
Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowo3. Rozciąganie osiowe
3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału
Bardziej szczegółowoNauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis
Nauka o Materiałach Wykład VIII Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste Jerzy Lis Nauka o Materiałach Treść wykładu: 1. Właściwości materiałów -wprowadzenie 2. Klasyfikacja reologiczna odkształcenia
Bardziej szczegółowoZ-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Ścisła próba rozciągania stali Numer ćwiczenia: 2 Laboratorium z przedmiotu:
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechnika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH BADANIE ZACHOWANIA SIĘ MATERIAŁÓW PODCZAS ŚCISKANIA Instrukcja przeznaczona jest dla studentów
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z
Bardziej szczegółowoRys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE
WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej
Bardziej szczegółowoZałącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża
Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża D.1 e używane w załączniku D (1) Następujące symbole występują w Załączniku D: A' = B' L efektywne obliczeniowe pole powierzchni
Bardziej szczegółowoKOMINY MUROWANE. Przekroje trzonu wymiaruje się na stan graniczny użytkowania. Sprawdzenie należy wykonać:
KOMINY WYMIAROWANIE KOMINY MUROWANE Przekroje trzonu wymiaruje się na stan graniczny użytkowania. Sprawdzenie należy wykonać: w stadium realizacji; w stadium eksploatacji. KOMINY MUROWANE Obciążenia: Sprawdzenie
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Podstawowe pojęcia Wytrzymałość materiałów, projektowanie konstrukcji, siły wewnętrzne, siły przekrojowe, naprężenie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowoKONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WBiIŚ KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAJĘCIA 5 KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE Mgr inż. Julita Krassowska 1 CHARAKTERYSTYKI MATERIAŁOWE drewno lite sosnowe klasy C35: - f m,k =
Bardziej szczegółowoRozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2
Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład
Bardziej szczegółowo{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.
Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoMECHANIKA CIAŁA ODKSZTAŁCALNEGO. 1. Przedmiot i cel wytrzymałości materiałów STATYKA POLSKIE NORMY PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA 1
ODSTWOWE OJĘC, DEFNCJE ZŁOŻEN 1 Wytrzymałość ateriałów - dział mechaniki stosowanej zajmujący się zachowaniem ciał stałych pod wpływem różnego typu obciążeń. Celem analizy tego zachowania jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA
Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między
Bardziej szczegółowoInformacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności
Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,
Bardziej szczegółowoTemat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie
Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia
Bardziej szczegółowo