Wykorzystanie modelu zmiennej sztywnoêci krzywej stóp terminowych do przybli ania krzywej rynku pieni nego

Transkrypt

1 BANK I KREDYT luy 3 Rynki i Insyuce Finansowe 87 Wykorzysanie moelu zmienne szywnoêci krzywe sóp erminowych o przybli ania krzywe rynku pieni nego Eugeniusz Gurazowski W osanich kilkunasu laach obserwuemy znaczny wzros liczby publikaci zwiàzanych z szeroko po ym moelowaniem sóp procenowych. W szczególnoêci u a cz Êç ych prac omawia problemayk konsruowania krzywych ochoowoêci la opowienich insrumenów finansowych. OkreÊlenie krzywa ochoowoêci wiàzane by o hisorycznie z rynkiem obligaci skarbowych. Jenak okaza o si, e w poobny sposób mo na opisaç rynki innych insrumenów finansowych. Wykorzysano u przee wszyskim mo liwoêç porównania arakcynoêci inwesyci w akywa o ró nych erminach zapaalnoêci. Poni szy aryku onosi po cie krzywe ochoowoêci o srukury czasowe oprocenowania epozyów na rynku pieni nym. Celem ego opracowania es przesawienie sposobu przybli ania krzywe rynku pieni nego z wykorzysaniem ene z meo esymaci krzywe ochoowoêci. Wyboru echniki szacowania krzywe ochoowoêci, kóra pos u y o przybli ania sóp procenowych na rynku pieni nym, okonuemy na posawie wóch g ównych przes anek. Po pierwsze chcemy, aby nasz moel eoreyczny w ak nawi kszym sopniu ozwierciela zachowanie sóp rynkowych, pozwalaàc na ego bezpoêrenie wykorzysanie w prakycznie poemowanych operacach na rynku pieni nym. Po rugie k aziemy nacisk na pozyskanie sabilnych sóp erminowych, co umo liwi nam, oczywiêcie w ograniczonym zakresie, baanie oczekiwaƒ rynku co o zmian sóp krókoerminowych. Poniewa zak aamy, M.in.: J. Svensson (994b), M. Fisher, D. Nychka, D. Zervos (994), D.F. Waggoner (997), G.S. Shea (984), J.M. Seeley (99), R.R. Bliss (996), N. Anerson, J. Sleah (). e banki cenralne, analizuàc o, co ziee si na rynku pieni nym, poemuà ecyz w zakresie prowazone poliyki pieni ne, mo emy zak aaç, e oczekiwania zaware w krzywe rynku pieni nego, w posaci sóp erminowych, mogà wskazywaç na przewiywane zmiany poliyki pieni ne w nabli szych miesiàcach. Chcàc przesawiç powy szà problemayk w sposób usysemayzowany i zrozumia y, musimy na poczàek zaprezenowaç posawowe wzory i przeksza cenia maemayki finansowe zwiàzane ze sopà procenowà oraz krzywà ochoowoêci, reprezenuàcà zbiór sóp/renownoêci insrumenu o ró nych erminach zapaalnoêci, obserwowanych w okreêlonym momencie czasowym. Wprowazenie Wychozàc o wyceny poeyncze p anoêci okonywane w ÊciÊle okreêlonym momencie czasowym w przysz oêci, orzymuemy wspó czynniki yskonowe zefiniowane w nas puàcy sposób: ( ) + r gzie: r - naychmiasowa sopa procenowa Zbiór wspó czynników la wczeênie zefiniowanych momenów czasowych w przysz oêci okreêlamy mianem funkci yskonowe δ( ). Zwiàzek mi zy wspó czynnikiem yskonowym, naychmiasowà sopà procenowà oraz sopà erminowà ƒ okreêla poni szy wzór: ()

2 88 Rynki i Insyuce Finansowe BANK I KREDYT luy 3 Sopa erminowa o sopa enookresowa charakeryzuàca renownoêç insrumenu w okresie - i. Jes o kraƒcowa sopa zwrou w okresie, poczas gy sopa naychmiasowa opisue racze Êrenià sop zwrou w anym okresie. Umuàc o barzie formalnie: wyliczone ze wspó czynników yskonowych sopy erminowe (implie forwar raes) reprezenuà kraƒcowy zwro z subsyuci w porfelu -okresowe obligaci zerokuponowe na obligac o okresie -. Sà: / + r ( + f )( + f )...( + f ) / ( + f)( + f)...( + f )( + f) / ( + f)( + f)...( + f ) ( + f) f f ( ) Powy sze wzory opisuà zachowanie opowienich wielkoêci w sposób yskreny (przy zasosowaniu kapializaci prose). Przy za o eniu ciàg e kapializaci z funkci yskonowe w prosy sposób mo emy orzymaç opowieniki wczeênie poanych zale no- Êci. Równanie (3), opisuàce sop erminowà la kapializaci prose, zas puemy zale noêcià pokazuàcà krzywà chwilowe sopy erminowe p() (insananeous forwar rae curve): ' δ () ρ() () (3) (4) o pochona funkci yskonowe w punkcie. Barzie ineresuàca la nas mo e byç enak Êrenia sopa erminowa w zefiniowanym okresie (, ) : f(, ) ρ( ss ) Poniewa sopa naychmiasowa η( ) la p anoêci w momencie w przysz oêci es Êrenià naychmiasowà sopà erminowà w okresie o nia zisieszego ( ) o okreêlonego momenu w przysz oêci ( ), o prawà es: η( ) f(,) Dale, posawiaàc (5) o wzoru (6), orzymuemy: s η() ρ() ss s s (7) Przy za o eniu δ() srukura erminowa naychmiasowych sóp procenowych (erm srucure of ineres raes) es ana wzorem: δ'( s) s s (6) Meoa η() Wybór meoy esymaci krzywe ln δ( ) [ ] Jak u wspomnieliêmy, warunkami eerminuàcymi wybór moelu o przybli ania krzywe rynku pieni nego sà przee wszyskim: - minimalizaca ochyleƒ sóp eoreycznych o obserwowanych na rynku, - sabilnoêç sóp erminowych wyliczonych z wyesymowane krzywe rynku pieni nego. W osanim czasie nacz Êcie sosue si wa ypy moeli esymaci krzywe ochoowoêci, spe niaàce obywa z przesawionych wy e za o eƒ. Pierwszym z nich es rozszerzony moel Nelsona-Siegela zaproponowany przez Svenssona w 994 r. W przypaku rugiego mo emy mówiç o ca e klasie moeli oparych na àczeniu funkci przezia u (spline moels). W naszym przypaku wykorzysamy moel zaproponowany przez: M. Fishera, Nychka, Zervos 3, enak w wersi zmoyfikowane przez D.F. Waggonera 4. Jes on nazywany moelem o zmienne szywnoêci krzywe forwarowe (Variable Roughness Penaly). Wspó czynniki moelu Svenssona sà esymowane bezpoêrenio z równania opisuàcego funkc yskonowà: { δ( m) exp m β + ( β + β ) exp m m β exp m + β m m exp m exp m } 3 G ównym celem es enak oszacowanie krzywe forwarowe, charakeryzuàce si formà funkcynà zak aaàcà u à elasycznoêç przymowanych ksza ów. Posaç analiyczna rozwa ane krzywe es nas puàca: f( m) β + exp m m exp m m exp m + + β β β3 (8) (9) () Aczkolwiek oakowy sk anik w posaci paramerów β i i zwi kszy mo liwoêci wygi ç obserwowanych na esymowane krzywe, o naal w krókim koƒcu moel Svenssona nie es wysarczaàco elasyczny. W szczególnoêci la rynku polskiego, kóry charakeryzue si wysokà zmiennoêcià sawek nakrószych (WIBOR O/N), wysoka elasycznoêç zasosowanego moelu nabiera u ego znaczenia. Doakowo L. Svensson (994b). 3 M. Fisher, D. Nychka, D. Zervos (994). 4 D.F. Waggoner (997).

3 BANK I KREDYT luy 3 Rynki i Insyuce Finansowe 89 niewielka liczba obserwowanych punków nie wysarczy o osiàgni cia opowieniego zakrzywienia przez esymowanà krzywà. Zasaniczo wczeênie wymieniona w aêciwoêç moelu Svenssona (asympoyczna zbie noêç ugiego koƒca) es wysoce po àana w analizie rynku kapia owego (g aki, sabilny przebieg krzywe sóp ochoowoêci), enak równie ua mamy o czynienia ze znacznymi nieok anoêciami wyceny papierów o barzo krókim okresie o wykupu (przee wszyskim poni e roku). W àczenie o zbioru anych weêciowych cen bonów skarbowych nie poprawia zachowania krókiego koƒca krzywe. Mo emy nawe zauwa yç pogorszenie si opasowania moelu w posaci wy sze sumy kwaraów resz ze wzgl u na znacznà ró nic ochoowoêci bonów oraz obligaci o poobnym okresie o wykupu. Z ego wzgl u moele opare na àczeniu funkci przezia ami, reaguàce barzie elasycznie na zmiany ksza u krzywe sóp ochoowoêci, wyaà si opowieniesze o zasosowania na rynku pieni nym. Jenak i w ym przypaku opasowanie o waroêci obserwowanych b zie w u ym sopniu eerminowane przez liczb os pnych punków na rynku. Moel o zmienne szywnoêci krzywe sóp erminowych Isoa meoy sprowaza si o przybli ania szukanych waroêci lub worzenia ca e krzywe poprzez àczenie obserwowanych w rzeczywisoêci punków krzywymi. Z kolei na porzebne o ego procesu krzywe, w zale noêci o zaawansowania wykorzysywanego aparau maemaycznego, sk aaà si spline'y liniowe (linear splines), szeêcienne (cubic splines), B-spline'y (B-splines) oraz wielomiany (zwyk e, wykorzysuàce funkce eksponencalne) i funkce z o one, zn. eksponencalne lub logarymiczne, zawieraàce w swoe ziezinie ró nie zefiniowane wielomiany (polynomial, exponenial splines). Moel o zmienne szywnoêci krzywe sóp erminowych es przyk aem nabarzie oychczas zaawansowanego wykorzysania echniki spline'ów w analizie zachowania ochoowoêci insrumenów finansowych. Jes on opary na B-spline'ach, kóre wykazuà cechy nieobserwowane w pozosa ych ypach moeli. Nawa nieszà z nich, przesàzaàcà o wysokie u yecznoêci B-splin'ów w zasosowaniach ekonomerycznych, es brak wspó liniowoêci buowanych na ich posawie zmiennych. Powy szà w asnoêç zaobserwowali G.S. Sheav(984) oraz J.M. Seeley (99) 6. Przy wczeênieszych funkcach bazowych, sosowanych o worzenia spline'ów, ochozi o o wczeênie wspomniane zale noêci liniowe w macierzy zmiennych niezale nych. W konsekwenci skukowa o o obcià onymi oszacowaniami wspó czynników moelu przy u yciu MNK lub wr cz uniemo liwia o ich esymac. Generowanie funkci bazowych (B-spline'ów) W celu orzymania B-spline'ów nacz Êcie sosue si wzór rekurencyny zaproponowany przez Powella w 98 r. 7 : gzie: ( ) + ( ) ( ) g m m B m m m B g ( ) m B g p m p p p+ g+ p+ ( ) ( ), m m, Bp( m), p+ g+ p m R m m m wpp () g - rzà spline'u, p - oznacza, e spline es niezerowy ylko w przeziale (m p, m p+g+ ). W celu osiàgni cia przebiegu przybli ane krzywe o opowienie g akoêci oraz elasycznoêci, nale y wykorzysaç spline'y co namnie rzeciego sopnia. W naszym przypaku wysarczy zasosowanie spline'u czwarego sopnia (por. wykres ). p p+ 5 G.S. Shea (984), s J.M. Seeley (99), s Esymaca W celu zasosowania moelu o zmienne szywnoêci krzywe sóp erminowych o przybli ania krzywe rynku pieni nego musimy przeksza ciç obserwowane na rynku sopy krókoerminowe w eoreyczne krókoerminowe papiery zerokuponowe. Przymuàc nominalnà waroêç ych insrumenów na poziomie enosek, wyceniamy e na chwil obecnà, yskonuàc wspó czynnikami orzymanymi ze wzoru (). p i δ( f, ) () Poniewa oprócz minimalizaci sumy kwaraów ochyleƒ ineresue nas równie sabilne zachowanie 7 M.J.D. Powell (98). Wykres Ksza B-spline a w zale noêci o rz u,6,4,,,8,6,4,, I rz u II rz u III rz u IV rz u V rz u p p+ p+ p+3 p+4 p+5

4 9 Rynki i Insyuce Finansowe BANK I KREDYT luy 3 sóp forwarowych wyliczonych z oszacowane funkci yskonowe, funkca celu opymalizaci wyglàa nas puàco: [ ] + [ ] T min ( // P ( β) ) T P ( ( β) ) λ( s ) f ( s ) s β (3) gzie: P - wekor cen eoreycznych papierów wyliczony z obserwowanych sóp rynkowych, Π(β) - ceny eoreyczne wyliczone z moelu. W regresi spline'owe liczba paramerów es eerminowana przez liczb punków w z owych (zefiniowanà przez nas z góry). Zarówno ich zby ma a, ak i u a liczba mo e prowaziç o b nych oszacowaƒ. Poniewa naszym celem es ak nawierniesze oanie ksza u obserwowane krzywe rynkowe, ecyuemy si na wi kszà liczb w z ów, ale musimy zasosowaç kar w celu minimalizowania oscylaci w esymowane funkci yskonowe. Rol e kary ogrywa w przesawionym wy e wzorze rugi sk anik minimalizowane sumy. Funkca λ(s) w powy szym wzorze ogrywa rol czynnika po guàcego wp yw nak aane kary na ksza krzywe esymowane. Im wy sza waroêç bezwzgl na e e funkci, ym mnie oscylaci wykazue szukana krzywa forwarowa. Poprzez skonsruowanie opowienie funkci λ(s)) mo emy zaem uzyskaç po àane w aêciwoêci krzywe sóp naychmiasowych i erminowych. Niskie waroêci parameru w krókim koƒcu krzywe mogà umo liwiç awà aapac cz sych i znacznych zmian sopy O/N. Dla sóp o enego miesiàca mo emy naomias na- o yç zecyowanie wi kszà kar w celu uzyskania sabilnego przebiegu sóp erminowych (eno z naszych za o eƒ). D.F. Waggoner, kieruàc si akimi samymi przes ankami, zefiniowa funkc λ(s) nas puàco:, λ( ) < gzie oznacza liczb la. (4) W naszym przypaku poziom kary b zie po wzgl em waroêci opowiaa u ciu zaproponowanemu powy e, enak ze wzgl u na zasosowanie moelu na omiennym rynku (rynku pieni nym), zmoyfikuemy przezia y opowiaaàce anemu poziomowi funkci. Osaecznie wykorzysywane przez nas ograniczenie elasycznoêci esymowane krzywe przy o posaç: (5) gzie: liczba ni. Sopa procenowa rynku pieni nego charakeryzue si zapaalnoêcià o o 36 ni, ale przeliczamy à na konwenc 365 ni (sà aka efinica ). W lieraurze spoykamy si równie z przesawieniem funkci λ(s) ako parameru o usalone waro- Êci. Poziom e waroêci mo emy przyàç lub orzymaç z kryerium opymalizacynego zwanego Generalize Cross Valiaion, kórym nie b ziemy si zamowaç w ninieszym arykule 8. Krzywa sóp erminowych, przybli ana za pomocà B-spline'ów, ma posaç: (6) gzie φ k () w naszym przypaku o spline IV-rz u la anego w z a k. Posawiaàc (6) o wzoru (8), orzymuemy: (7) Poniewa funkca celu opisana równaniem (3) es zecyowanie nieliniowa, wykorzysuemy o e minimalizaci meo NMNK (nieliniowà meo namnieszych kwaraów). Wyniki, 3 λ( ) 3 < 8 8 f(, ) () () δ( ) exp f( s) s exp βi i( s) o Φ i p+ g+ β βkφk φ β k Teoreyczna krzywa la wybranego nia (sesi) oszacowana wy àcznie przy warunku minimalizaci sumy kwaraów resz charakeryzue si wysokà ok ano- Êcià la waroêci obserwowanych na rynku. Jenak mi zy nimi wys puà barzo u e oscylace krzywe, neguàce e przyanoêç w zasosowaniach prakycznych. W aênie po o, by usunàç e niepo àane w asno- Êci moeli spline owych, o funkci celu, b àce przemioem opymalizaci, wprowazono rugi sk anik, nak aaàcy ograniczenia na zmiany pr ko- Êci esymowane krzywe. Poni e przesawiamy krzywe sóp naychmiasowych oraz erminowych (z na o onà karà i bez nie) wyliczone na anych z 3 sierpnia r. Dopasowanie moelowane krzywe o anych rzeczywisych, mierzone za pomocà sumy kwaraów resz, es ni sze la minimalizaci przeprowazane 8 Powy szà problemayk prezenuà wczeênie wspomniane aryku y D.F. Waggonera oraz M. Fishera.

5 BANK I KREDYT luy 3 Rynki i Insyuce Finansowe 9 Wykres Krzywe sóp rynku pieni nego na 8 paêziernika r. (bez kary) Wykres 3 Krzywe sóp rynku pieni nego na 8 paêziernika r. (z karà) 8 7,8 7,6 7,4 7, 7 6,8 6,6 % 8-- (z karà) 8-- (bez kary) 3M 6M 9M 8,4 8, 8 7,8 7,6 7,4 7, 7 6,8 6,6 6,4 % 8-- (z karà) 8-- (bez kary) 3M 6M 9M M bez zasosowania kary. Nale a o si enak spoziewaç, e chcàc uzyskaç g aki przebieg sóp erminowych, zmuszeni b ziemy zgoziç si na gorsze opasowanie krzywe o obserwowanych punków. Dla NMNK posawowym wskaênikiem opasowania moelu o rzeczywisoêci es: RMSE n i n ei i ( yi y) Chocia la NMNK przezia przymowanych waroêci nie zawiera si mi zy zerem a eynkà, enak powy szy wspó czynnik naal pozosae u yecznà miarà opasowania. Moel esymowany bez uwzgl nienia kary charakeryzowa si sumà kwaraów resz na poziomie,6, poczas gy po na o eniu ograniczeƒ na ksza krzywe sóp forwarowych suma kwaraów resz wzros a o,3 (krzywa z 8 paêziernika). Bioràc po uwag okonanà wymian mi zy opasowaniem o rzeczywisoêci a sabilnym przebiegiem funkci sóp erminowych, niewielka sraa opasowania o ani sposób uzyskania prakycznych korzyêci p ynàcych z wyg azonego przebiegu sóp erminowych. Posumowanie Zasaniczo moel barzo obrze ozwierciela o, co zia o si w rzeczywisoêci. Âreni poziom sumy kwaraów resz obliczony la 47 wyliczonych krzywych wyniós,33. Ograniczeniem w naszym przypaku es fak isnienia krókiego szeregu WIBOR M, bowiem sop NBP kwoue opiero o poczàku r. OczywiÊcie mo na wy u yç szereg wczeênie wspomniane sopy na posawie kwoowaƒ brokerskich, enak wyae si o ca kowicie zb ne, e eli uwzgl nimy poziom opasowania moelu o anych rzeczywisych w ciàgu prawie la (krzywe szacowano w okresie o sycznia o 8 paêziernika r.). Brak opasowania o sopy nakrósze (O/N) buzi pewne wàpliwoêci, enak - ak wczeênie wskazywaliêmy - niewielka liczba os pnych punków z rynku nie mog a skukowaç powa nymi wygi ciami krzywe. Poza ym, naszym zaaniem nie es moelowanie zmian sopy O/N, lecz mo liwie ok ane oanie enenci panuàce na rynku sóp krókich. Bioràc po uwag osiàgane wyniki, mo emy swierziç, e krzywe rynku pieni nego esymowane przy wykorzysaniu echniki B-spline'ów okaza y si wysarczaàcym narz ziem w àczenia zmian zachozàcych w srukurze czasowe sóp rynku pieni nego. Bibliografia. N. Anerson, J. Sleah (): New Esimaes of he UK real an nominal yiel curves. Bank of Englan. Working Paper.. M. Fisher, D. Nychka, D. Zervos (994): Fiing he erm srucure of ineres raes wih smoohing splines. Feeral Reserve Bank of Washingon. Working Paper. 3. P. Lancaser, K. Salkauskas (986): Curve an surface fiing: an inroucion. Lonon Acaemic Press. 4. J.H. McCulloch (97): Measuring he erm srucure of ineres raes. Journal of Bussiness, vol. 44, s M.J.D. Powell (98): Approximaion heory an mehos. Cambrige Universiy Press. 6. G.S. Shea (984): Pifalls in smoohing ineres rae erm srucure aa: equilibrium moels an spline approximaion. Journal of Financial an Quaniaive Analysis, J.M. Seeley (99): Esimaing he gil-ege erm srucure: basis splines an confience inervals. Journal of Business, Finance an Accouning, 8(4) June. 8. L. Svensson (994b): Esimaing an inerpreing forwar ineres raes: Sween IMF Working Paper No. 4, Sepember. 9. D.F. Waggoner (997): Spline mehos for ezracing ineres rae curves from coupon bon prices Feeral Reserve Bank of Alana, Working Paper No. 97-, November.