WYBRANE WSKAŹNIKI I INDEKSY EKONOMICZNE

Transkrypt

1 WYBRANE WSKAŹNIKI I INDEKSY EKONOMICZNE Spis treści 1. INDEKS GINIEGO INNE INDEKSY NIERÓWNOŚCI KRZYWA I WSPÓŁCZYNNNIK KONCENTRACJI ELASTYCZNOŚCI DOCHODOWE INDEKSU GINIEGO INDEKSY CEN W PORÓWNANIACH MIĘDZYNARODOWYCH ZADANIA

2 1. INDEKS GINIEGO Indeks (współczynnik) Giniego 1 służy do mierzenia nierówności, głównie dochodowych. Jego analiza może być ilustracją dla kilku ogólniejszych problemów: a/ konstrukcja indeksów (mierników) i ich interpretacja, b/ cechy formalne (aksjomaty) miernika, c/ dane indywidualne versus agregatowe, d/ wnioskowanie statystyczne przy skomplikowanych statystykach i złożonym systemie losowania. 1 Zwany czasami niepoprawnie indeksem koncentracji. 2

3 Prezentacja Obliczany jest za pomocą krzywej Lorenza - funkcji opisującej rozkład przede wszystkim dochodów, płac lub wydatków konsumpcyjnych. Jej argumentem jest skumulowany odsetek osób lub gospodarstw uporządkowanych niemalejąco, zaś wartością skumulowany odsetek dochodów. Przykładowo, jeżeli funkcja ta w punkcie 10% osiąga wartość 3%, oznacza to, że 10% najbiedniejszych dysponuje w sumie 3% łącznego dochodu. Wykres 1. Krzywa Lorenza Skumulowany odsetek dochodów 100% A 0 100% Skumulowany odsetek osób lub gospodarstw 3

4 Dysponując dochodami y i dla n osób (gospodarstw), wartość indeksu Giniego można obliczyć za pomocą następującego wzoru: G n n n( n 1) Y n i1 r i y i (1) r i jest rangą i-tej osoby (gospodarstwa), po uporządkowaniu ich w sposób nierosnący (tak, aby najbogatsza jednostka miała rangę 1, zaś najbiedniejsza n). Ilustracja. Dochody pięciu osób wynoszą: Osoba z dochodem 135 będzie mieć zatem rangę (r 1 ) równą 1, osoba z dochodem 10 rangę 5; Y G ( ) 0, (5 1) 50 4

5 Obliczanie indeksu Giniego w przypadku dostępu jedynie do danych zagregowanych (wtórnych). n-elementowa próba jest podzielona na k grup o liczebnościach n j i średnich dochodach y j. Ważony indeks Giniego G w oblicza się następująco: k G 1 2 w 1 [ 0,5 ( 1)] 2 n j yi rj n j n n Y (2) j1 Y oznacza średni (ważony) dochód w próbie. Rangi będące odpowiednikiem r i z wzoru (1) winny być obliczane, zakładając, że dysponujemy danymi indywidualnymi i że dochody wewnątrz grup nie są zróżnicowane. Wynik ten uzyskuje się podstawiając jako r j wartość najniższej rangi w j-tej grupie. Rangi te zatem oblicza się następująco: r n 1 n j j n i i1 Przykładowo, jeżeli n=100 i liczebność grupy najbiedniejszych (j=1) wynosi 10, to r 1 = =91. Dokładniejszy wynik (czyli bardziej zbliżony do uzyskanego na podstawie danych indywidualnych) można uzyskać m. in. generując sztucznie obserwacje wewnątrz przedziałów, zgodnie z założonym rozkładem. Dokładność zależy m. in. od tego jak realistyczne jest to założenie. Wynik identyczny z uzyskanym w poniższym przykładzie osiągnie się zakładając rozkład jednostajny. Z uwagi na kształt krzywej Lorenza, która jest najczęściej funkcją wklęsłą (czyli z drugą pochodną dodatnią) wartość tak obliczonego indeksu będzie niższa od uzyskanej za pomocą danych indywidualnych. 5

6 Przykład: Dane zawarte w Tablicy 2.11 ( Statystyka od Podstaw, rozdz. 2.7, str. 56) są tutaj przedstawione w formie zbliżonej do stosowanej w rocznikach statystycznych, przy założeniu że wielkość próby wynosi 1000 zaś łączna powierzchnia gospodarstw ha (wynik nie zależy od tych założeń). Tablica 1. i Liczba gospodarstw n j Średnia wielkość gospodarstwa y j 1,959 5,435 10,569 14,031 20,841 37,391 r j n y [ r 0,5 ( n 1)] j j j Suma j G w ,

7 Zadanie: proszę obliczyć wartości indeksu Giniego dla gospodarstw pracowników i emerytów, dysponując następującymi danymi. Tablica 2. Rozkład dochodów nominalnych gospodarstw domowych pracowników i emerytów w 2003 r. Grupa Gospodarstwa pracownicze Gospodarstwa emeryckie decylowa (cała próba) liczebność ranga średni dochód a liczebność ranga średni dochód a , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,63 Ogółem , ,72 a W złotych miesięcznie. Rozwiązanie Pracownicy: 0,286 emeryci: 0,272 7

8 Do przemyślenia: Czy wartości powyższych indeksów zmienią się, jeżeli przedziały dochodowe będą wyznaczone za pomocą kwintyli zamiast decyli? Czy wartości obliczone za pomocą danych indywidualnych będą większe czy mniejsze od obliczonych powyżej? Czy indeks Giniego: Spełnia tzw. aksjomat transferu (Daltona-Pigou) w wersji silnej: transfer od biedniejszego do bogatszego powoduje wzrost indeksu nierówności? Spełnia tzw. aksjomat transferu (Daltona-Pigou) w wersji słabej: transfer od biedniejszego do bogatszego nie może spowodować spadku indeksu nierówności? 8

9 Cechy indeksu Giniego Przyjmuje wartość z przedziału [0; 1] jeżeli nie występują wartości ujemne badanej zmiennej (w przeciwnym przypadku może przekroczyć wartość 1). Spełnia aksjomat Daltona-Pigou w wersji silnej. Przyjmuje wartość 1 jeżeli wszystkie wartości badanej zmiennej oprócz jednej są zerowe, niezależnie od tej niezerowej wartości. Czyli np. przyjmuje wartość 1 dla rozkładu [0; 0; 0; 0; k>0] niezależnie od wartości k. Spełnia warunek dekompozycji ze względu na składniki dochodu (vide indeksy koncentracji zaprezentowane poniżej), nie spełnia warunku dekompozycji ze względu na podgrupy (vide cechy indeksu Theila). 9

10 2. INNE INDEKSY NIERÓWNOŚCI Indeks nierówności Theila należy do klasy indeksów opartych na miarach entropii. W ekonomii zastosowanie ma następująca formuła: n 1 yi yi T( y) ln (3) n i1 Y Y gdzie: Y - średnia wartość zmiennej w całej próbie, n wielkość próby. Indeks Theila nie ma jasnej interpretacji, ponadto może przyjmować wartości większe niż 1 (maksymalnie ln(n), choć jest to możliwość czysto teoretyczna). Jego główną zaletą jest możliwość dekompozycji według podgrup (ekonomiczno-społecznych, regionów itp.), za pomocą wzoru: k k n jyj n jyj Yj T( y) Tj ln (4) ny ny Y j1 j1 gdzie: k liczba podgrup,t j, Y i n j odpowiednio, indeks Theila, średnia j wartość y i liczebność dla j-tej podgrupy. Pierwszy składnik po prawej stronie równania to średnia wartość indeksu wewnątrz grup, drugi jest indeksem Theila dla średnich grupowych. 10

11 11 Indeksy Atkinsona tworzą klasę indeksów, których wartość zależy m. in. od parametru (ε) będącego oceną awersji do nierówności: 1/ ), ( n i i Y y n y A jeżeli ε 1 (6) n i n i Y y y A 1 1/ 1 ), ( jeżeli ε = 1 (7) Indeksy Atkinsona mieszczą się w przedziale [0; 1] i (podobnie jak indeks Theila) są dekomponowalne ze względu na podgrupy. Im wyższa wartość parametru ε, tym większą wagę mają zmiany nierówności w dolnym zakresie dystrybucji. Iloraz kwantyli (np. 90/10 lub 75/25) lub średnich wartości w skrajnych przedziałach wyznaczonych przez kwantyle. Zaleta: prostota Wada: niespełnianie aksjomatu Daltona-Pigou w wersji silnej

12 Przykład empiryczny (dane z budżetów gospodarstw domowych) Tab. 3. Indeksy nierówności dochodów ekwiwalentnych w Polsce Indeks Gini 0,3180 0,3185 Atkinson, ε=0,5 0,0862 0,0891 Atkinson, ε=1 0,1622 0,1617 Atkinson, ε=2 0,3401 0, /10 4,008 3,828 75/25 1,989 1,954 Theil, ogółem 0,1899 0,2115 Theil, pracownicy 0,2101 0,1845 Theil, emeryci/renciści 0,0980 0,1241 Theil, pozostali 0,3226 0,4186 Theil, między/wewnątrz 0,0017/0,1882 0,0060/0,

13 3. KRZYWA I WSPÓŁCZYNNNIK KONCENTRACJI Krzywa koncentracji jest narzędziem służącym do oceny dystrybucji różnych składników dochodu, przede wszystkim świadczeń. Jest zdefiniowana jako funkcja mająca za argument skumulowany odsetek jednostek (gospodarstw lub osób) uporządkowanych niemalejąco za pomocą łącznego dochodu (najczęściej ekwiwalentnego), zaś jej wartościami są skumulowane odsetki danego składnika dochodu, np. określonego świadczenia (w przypadku gdy wartości te są wyznaczone za pomocą łącznego dochodu, a nie jego części, to krzywa koncentracji jest tożsama z krzywą Lorenza). Analiza dystrybucji świadczeń polega na ocenie czy krzywa koncentracji przebiega powyżej czy poniżej przekątnej (czyli linii jednakowych pod względem wartości absolutnej świadczeń). Jeżeli w całości przebiega ona powyżej, to wielkość danego świadczenia jest negatywnie skorelowana z łącznym dochodem, a tym samym można stwierdzić, że działa ono hamująco na nierówność dochodową. Krzywa koncentracji może przecinać linię jednakowych świadczeń (przekątną) i wtedy dla oceny jej ogólnego przebiegu wskazane jest obliczenie współczynnika koncentracji. 13

14 Wykres 2. Krzywe koncentracji dla pomocy społecznej w Polsce w latach 2001, 2005 i Źródło: Obliczenia własne na podstawie danych indywidualnych z budżetów gospodarstw domowych GUS. 14

15 Wykres 3. Krzywe koncentracji dla pomocy społecznej, zasiłków rodzinnych i zasiłków dla bezrobotnych w Polsce w 2005 r. Źródło: Obliczenia własne na podstawie danych indywidualnych z budżetów gospodarstw domowych GUS 15

16 Współczynnik koncentracji wskazuje, poprzez swój znak, kierunek ogólnej zależności między składnikiem dochodu (np. świadczeniem) i nierównością dochodową, zaś jego wartość absolutna pozwala ocenić siłę tej zależności, a tym samym porównywać siłę wpływu na nierówność różnych rodzajów świadczeń. Podobnie jak w przypadku współczynnika Giniego, wartość współczynnika koncentracji jest równa stosunkowi pola pomiędzy przekątną i krzywą koncentracji do całkowitego pola poniżej przekątnej (por. wykresy 2 i 3). Jeżeli krzywa koncentracji przebiega powyżej przekątnej, to jej powierzchnię traktujemy jako ujemną. Negatywny znak współczynnika oznacza więc, że przebiega ona w całości lub w większości powyżej przekątnej, a tym samym badany rodzaj świadczeń redukuje nierówność. Współczynnik ten przyjmuje wartości z przedziału [-1; 1]. 16

17 Metoda obliczania współczynnika koncentracji: y k C( y, y) 2cov,[1 F( y)] k (8) yk gdzie: y k - dochód pochodzący z k-tego źródła; yk - średnia wartość tego dochodu; F(y) - dystrybuanta łącznego dochodu gospodarstwa. Funkcja F(y) może być wyznaczona zarówno analitycznie jak i empirycznie. Indeks Giniego można przedstawić jako średnią wartość współczynników koncentracji dla wszystkich składników dochodu ważonych ich udziałami wartościowymi: G 1 y r k1 y k C k gdzie: y - średni łączny dochód w próbie; yk - średnia wartość k-tego składnika dochodu (obliczona dla wszystkich jednostek, niezależnie od tego czy otrzymują to świadczenie czy nie); Ck - indeks koncentracji dla k-tego składnika dochodu. 17

18 Tab.4. Współczynniki koncentracji dla Polski w latach 2001, 2005 i Kategorie dochodów Zasiłki: Wartości współczynnika koncentracji rodzinny -0,237-0,327-0,470 dla bezrobotnych -0,280-0,254-0,253 pomoc społeczna -0,371-0,384-0,442 razem -0,286-0,332-0,380 Pozostałe dochody 0,331 0,365 0,337 Źródło: Obliczenia własne na podstawie danych indywidualnych z budżetów gospodarstw domowych GUS. 18

19 4. ELASTYCZNOŚCI DOCHODOWE INDEKSU GINIEGO Metoda ta umożliwia prognozowanie wpływu zmiany danego składnika dochodu o relatywną (wyrażoną w procentach), jednakową dla wszystkich odbiorców wielkość na zmianę indeksu nierówności. Prognoza ta ma postać współczynnika elastyczności dochodowej indeksu Giniego (Gini income elasticity GIE). Wartość tego wyrażenia mówi o ile zmieni się relatywnie indeks Giniego jeżeli poziom odpowiadającego mu składnika dochodu u wszystkich odbiorców wzrośnie o 1%. GIE k S G R G k k k Sk (9) gdzie: S k udział k-tego składnika dochodu w jego łącznej wartości; G k indeks Giniego dla k-tego składnika oraz R cov yk, F( y cov y, F( y) ) k 2 przy czym: y k - k-ty składnik dochodu, F(y) - dystrybuanta łącznego dochodu. 2 Współczynnik ten czasami jest określany mianem wskaźnika korelacji Giniego. 19

20 Wartość GIE dla dowolnego rodzaju dochodu może być zatem przedstawiona G jako iloczyn jego relatywnych rozmiarów (S k ) i wyrażenia k R k 1 G oceniającego dystrybucję świadczeń. Jeżeli drugi z tych czynników przyjmuje wartość mniejszą od -1, to można uznać, że dystrybucja k-tego rodzaju dochodu premiuje uboższe jednostki (podobnie interpretuje się ujemną wartość współczynnika koncentracji). Innymi słowy, ten składnik dochodu oddziałuje negatywnie na nierówność mierzoną za pomocą indeksu Giniego. W tablicy 5 przedstawione zostały wartości elastyczności dochodowych indeksu Giniego wraz z podziałem na oba wyżej wymienione czynniki, Uwzględnione zostały: pomoc społeczna oraz zasiłki rodzinne i zasiłek dla bezrobotnych. 20

21 Tab.5 Elastyczności dochodowe indeksu Giniego (GIE) i ich składniki w Polsce dla lat 2001, 2005 i Wyszczególnienie Elastyczności dochodowe (GIE) według rodzaju zasiłku: Wielkości GIE i ich składników rodzinny -0,0273-0,0490-0,0266 dla bezrobotnych -0,0190-0,0201-0,0081 pomoc społeczna -0,0213-0,0430-0,0134 Procent zasiłku w łącznym dochodzie (S k ): rodzinny 1,5 2,3 1,2 dla bezrobotnych 1,0 1,1 0,5 pomoc społeczna 0,9 1,9 0,6 G R Ocena dystrybucji ( k 1 G według rodzaju zasiłku: k ) rodzinny -1,8200-2,1212-2,246 dla bezrobotnych -1,9791-1,8785-1,800 pomoc społeczna -2,2903-2,3118-2,351 Źródło: Obliczenia własne na podstawie danych indywidualnych z budżetów gospodarstw domowych GUS. 21

22 5. INDEKSY CEN W PORÓWNANIACH MIĘDZYNARODOWYCH (PARYTETY SIŁY NABYWCZEJ WALUT) Główy cel: wyznaczenie indeksów cen pozwalających wyrazić PKB wielu krajów w jednej walucie. Pomysł I: policzyć indeksy cen wszystkich krajów w stosunku do jednego wybranego i za ich pomocą deflować PKB poszczególnych krajów. Rozwiązaniem są indeksy EKS (Elteto-Kovesa i Szulca). Pomysł II: obliczyć ceny międzynarodowe wszystkich (grup) produktów i za ich pomocą przeliczać krajowe PKB. Rozwiązaniem są indeksy Geary ego- Khamisa. 22

23 Indeks cen w porównaniach dwustronnych Przykład (fikcyjny, k Polska, l - Niemcy): 1 kg mięsa danego gatunku kosztuje w Polsce 20 zł, w Niemczech 10 3-letni VW Golf kosztuje w Polsce zł, w Niemczech itd. Mięsny parytet zł/ to 20/10 (2 zł = 1 ), samochodowy to 20000/4000 Intuicja podpowiada (słusznie), że parytet siły nabywczej złotówki może być obliczony jako odpowiednio ważona średnia parytetów indywidualnych. 23

24 Parytet siły nabywczej złotówki według formuły Laspeyresa jest średnią parytetów indywidualnych ważonych strukturą sprzedaży w Niemczech. L P K / L n i1 n i1 p p ik il q q il il n i1 p p ik il w il Pytanie: jaką strukturę sprzedaży zastosować? W dwustronnych porównaniach międzynarodowych za najwłaściwszy uważa się powszechnie indeks Fishera (średnią geometryczną indeksów Laspeyresa i Paaschego) jako że uwzględnia on struktury obu krajów. 24

25 Indeksy EKS dla wielu krajów Punkt wyjścia: dane są indeksy Fishera porównujące każdy kraj z pozostałymi. Indeksy te nie spełniają tzw. warunku przechodniości (ang: transitivity): P P P F K / L FK / P FP / L Czyli np. jeżeli parytet złotówki do niemieckiego euro wynosi 3zł/1 zaś niemieckiego euro do funta brytyjskiego 1,2 /1, to parytet złotówki do funta nie musi być równy (3 1,2) zł/1. Indeksy EKS są indeksami spełniającymi warunek przechodniości jednocześnie przyjmującymi wartości (mówiąc na razie nieformalnie) możliwie bliskie indeksom dwustronnym Fishera. 25

26 Indeksy EKS formalna prezentacja Dla m krajów obliczono m(m-1)/2 indeksów dwustronnych ( każdy z każdym ) według formuły Fishera. Indeks EKS K/L porównujący kraj k z krajem l uzyskuje się rozwiązując zagadnienie optymalizacyjne m m K1 L1 [ln( F P K / L ) ln( EKS K / L )] 2 min przy narzuconym warunku przechodniości indeksów EKS. Rozwiązaniem jest: EKS m 1/ m P P K / L FK / i Fi / L i1 (10) 26

27 Przykład Dane są dwustronne parytety siły nabywczej walut krajów A, B i C: P P P A/ B 2,5$ A /1 B F B / C 4$ B /1$ C F A/ C 8$ A /1$ C F $ Należy obliczyć (samodzielnie) odpowiadające im indeksy EKS (wskazówka: P F C / B 1/ 4) Rozwiązanie: EKS A/B = 2,321 EKS B/C = 3,713 EKS A/C = 8,618 27

28 Indeksy Geary ego-khamisa dla wielu krajów Metoda G-K pozwala jednocześnie wyznaczyć międzynarodowe ceny (grup) produktów wchodzących w skład PKB oraz ogólne (dla wszystkich produktów łącznie) parytety siły nabywczej wszystkich krajów. Wielkości te nie są wyznaczane za pomocą ogólnego wzoru lecz wymagają rozwiązania układu równań, w których są niewiadomymi. Zakłada się, że dla każdego i-tego (i = 1,, n) produktu istnieje cena międzynarodowa π i, pozwalająca obliczyć parytety siły nabywczej PPP j dla każdego j-tego kraju (j = 1,, m): PPP j n i1 n i1 p ij q q ij ij ij (11) gdzie q ij umownie zwana ilością i-tego produktu w j-tym kraju w praktyce jest obliczana jako iloraz produkcji/sprzedaży w cenach krajowych i cząstkowego parytetu siły nabywczej (uzyskiwanych na podstawie równania 12). 28

29 Ceny międzynarodowe można zapisać następująco: m ppp ij PPP q ij m m j1 j i (skąd wynika m iqij j1 j1 qij j1 pppij qij ) (12) PPP gdzie ppp ij jest cząstkowym parytetem siły nabywczej dla i-tego produktu w j- tym kraju. Aby układ równań (11) (12) miał rozwiązanie, należy ustalić PPP w jednym kraju na ustalonym poziomie (najczęściej 1). Rozwiązanie w postaci PPP j nie zależy od wyboru tego kraju. j W odróżnieniu od indeksów EKS indeksy G-K nie są przechodnie, zaś wartości parytetów siły nabywczej walut zależą od wielkości krajów. Indeksy EKS są stosowane przez Eurostat i Bank Światowy, indeksy Geary ego-khamisa przez ONZ (np. przy obliczaniu Human Development Index). 29

30 Porównanie wyników (str 33+) orld/f)apps.c,d,e,f,texts.pdf (str 105+) 30

31 ZADANIA 1. W dwóch grupach zaobserwowano następujące rozkłady dochodów A: [ ] oraz B: [ ] W której grupie indeks Giniego przyjmie wyższą wartość (na pytanie można odpowiedzieć bez obliczania wartości indeksu. 2. Rozkład dochodów w pewnej wiosce jest następujący: [ ] (w talarach, miesięcznie). Janosik i jego towarzysze rozważają dwa warianty transferu dochodu od osoby najbogatszej do najbiedniejszej: o wartości 5 talarów i o wartości 15 talarów. W którym przypadku spadek wartości indeksu Giniego będzie większy? 3. Współczynnik koncentracji dla pomocy społecznej wynosi -0,35, zaś dla emerytur 0,2. Wynika z tego, że najprawdopodobniej: a/ współczynnik nierówności dla emerytur jest wyższy niż dla pomocy społecznej, b/ współczynnik nierówności dla emerytur jest niższy niż dla pomocy społecznej, c/ procent pomocy społecznej trafiającej do jednostek z pierwszych trzech przedziałów decylowych wyznaczonych na podstawie łącznego dochodu jest wyższy niż analogiczny procent dla emerytur. c/ tak, odpowiedź a/ jest znacznie bardziej prawdopodobna od b/ 31

32 4. Poniższy wykres przedstawia funkcje Lorenza wyznaczone dla dochodów na głowę gospodarstw domowych pracowników i emerytów. Należy wskazać, która z krzywych odnosi się do którego typu gospodarstw oraz wybrać parę najbardziej prawdopodobnych wartości indeksów Giniego dla obydwu typów gospodarstw. Drugi z nich oznacza indeks dla pracowników: a/ 0,30 0,35 b/ 0,8 0,85 c/ 0,35 0,3 d/ 0,1 0,15 (3 pkt.) 100% D Skumulowane odsetki dochodu 0% Skumulowane odsetki gospodarstw 4. Współczynniki koncentracji dla dwóch składników dochodu są jednakowe i ujemne. a/ obie krzywe koncentracji są identyczne, b/ łączna powierzchnia pomiędzy krzywą koncentracji i przekątną jest dla obu składników dochodu jednakowa, c/ zwiększając średnią wartość każdego ze składników o 10% zmniejszy się współczynnik Giniego o 10%. b/ tak 32

33 5. Dla krajów A, B i C zostały policzone indeksy porównujące parytety siły nabywczej walut pomiędzy nimi. Zastosowano formuły EKS oraz Geary ego- Khamisa: Indeks I A/B I B/C I A/C EKS 2,0 0,7 G-K 2,1 0,7 Należy, tam gdzie jest to możliwe, podać wartość indeksu I A/C (czyli porównującego siłę nabywczą waluty kraju A w porównaniu z krajem C). 33