UWARUNKOWANIE MAKROSKOPOWYCH MODELI RUCHU DROGOWEGO

Transkrypt

1 PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 95 Transport 2013 Marek Maciejewski Politechnika Poznaska, Instytut Maszyn Roboczych i Pojazdów Samochodowych Tomasz Maciejewski Politechnika Poznaska, Instytut Informatyki UWARUNKOWANIE MAKROSKOPOWYCH MODELI RUCHU DROGOWEGO Rkopis dostarczono, kwiecie 2013 Streszczenie: W artykule zebrano podstawowe równania makroskopowych modeli przepywu ruchu drogowego i przedstawiono je w jednolitej macierzowej formie, zaniedbujc przy tym oddziaywania o charakterze dyfuzyjnym. Na bazie tego przegldu zdefiniowano wszystkie elementy macierzy dla rónych modeli przepywu ruchu. Okrelenie wartoci wasnych dla poszczególnych klas i podklas modeli byo podstaw do wyznaczenia miar uwarunkowania macierzy: promieni spektralnych oraz wskaników uwarunkowania. Miary te zostay wykorzystane do porównania sformuowa modeli ruchu i oceny potencjalnej efektywnoci obliczeniowej makroskopowych modeli ruchu drogowego. Sowa kluczowe: modele makroskopowe ruchu, uwarunkowanie modeli 1. WPROWADZENIE Modele ruchu drogowego przedstawiaj zjawiska i procesy ruchu w formie zalenoci matematycznych. Modele te klasyfikuje si zwykle wedug stopnia idealizacji (lub poziomu abstrakcji) opisu ruchu, wyróniajc przy tym dwie formy podstawowe, tj. modele makroskopowe i mikroskopowe. Modele mikroskopowe (zindywidualizowane) opieraj si na interakcji pojazdów (kierowców) midzy sob, a take z otoczeniem, natomiast modele makroskopowe (zagregowane) w ogóle nie odnosz si bezporednio do tego typu zalenoci, lecz opisuj ruch jako przepyw pewnego (fikcyjnego) orodka cigego, przedstawiany w ujciu fenomenologicznym, tj. bez wnikania w jego dyskretn (mikroskopow) struktur. W mechanice pynów t niewidoczn, dyskretn struktur wewntrzn stanowi molekuy, a odpowiednio w ruchu drogowym pojazdy. Dalsze rozwaania niniejszego artykuu dotycz wycznie modeli makroskopowych. W modelach makroskopowych, przepyw (ruch) wspomnianego cigego orodka charakteryzuje si pewnymi swoistymi wasnociami, co opisuje si zazwyczaj w ramach

2 310 Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski rachunku róniczkowego (lub cakowego), przy czym wykorzystuje si do tego celu takie zagregowane wielkoci (zmienne), jak natenie, gsto oraz prdko. Z uwagi na cigy charakter opisu orodka, bezporednie rozwizanie zagadnienia przepywowego jest moliwe jedynie w oparciu o zastosowanie metod analizy matematycznej. Nie jest to jednak podejcie realne w sytuacji rozwaania bardziej zoonych ukadów drogowych. Wówczas jedynym wyjciem pozostaje dyskretyzacja zagadnienia (opisanie jego zachowania nie w odniesieniu do wszystkich, nieskoczenie wielu punktów obszaru, lecz tylko do wybranych punktów ukadu zdefiniowanego zazwyczaj siatk obliczeniowa) oraz jego aproksymacja (wyraenie dziaania operatorów róniczkowych za porednictwem odpowiadajcych dziaa na funkcjach), co w rezultacie prowadzi do rozwizania ukadu równa algebraicznych (przybliajcych wyjciowy ukad równa róniczkowych). Takie przyblione rozwizania otrzymuje si zwykle przy wykorzystaniu metod numerycznych, przez co charakteryzuj si one du efektywnoci obliczeniow (w porównaniu do metod analitycznych). O jakoci makroskopowych modeli ruchu decyduje przede wszystkim adekwatno uzyskiwanych rezultatów, natomiast o jakoci rozwiza symulacyjnych stanowi dokadno i stabilno opracowanych metod rozwizania i zastosowanych algorytmów numerycznych. Oznacza to jednoczenie, e wpyw na jako procesu rozwizania ma z jednej strony posta sformuowa wyjciowych modelu, a z drugiej strony przyjta dyskretyzacja i aproksymacja zagadnienia. W niniejszej publikacji odniesiemy si wycznie do pierwszej z obu kwestii, a wic do potencjalnej zdolnoci ukadu wyjciowych równa modelu do krzepkiego i efektywnego rozwizania. W zakresie makroskopowym do opisu przepywu ruchu stosuje si wiele rozmaitych modeli charakteryzujcych si rónymi formami równa i tym samym bardzo rónymi moliwociami uzyskania dokadnego, stabilnego i efektywnego rozwizania. Moliwo uzyskania wymienionych cech rozwizania na poziomie satysfakcjonujcym zaley zatem równie od oceny samych sformuowa wyjciowych (na poziomie cigym). Do takiego oszacowania uzasadnione jest wykorzystanie standardowych miar uwarunkowania jakimi s promie spektralny i wskanik uwarunkowania. W pierwszej kolejnoci, w artykule zostan zebrane i przedstawione w jednolitej postaci podstawowe sformuowania rónych modeli przepywu ruchu drogowego. Na tej bazie zostan zdefiniowane wszystkie elementy macierzy wspóczynników dla rónych modeli przepywu ruchu. Okrelenie wartoci wasnych dla poszczególnych klas i podklas modeli bdzie podstaw do wyznaczenia miar uwarunkowania macierzy: promieni spektralnych oraz wskaników uwarunkowania. Miary te zostan wykorzystane do przeprowadzenia porówna modeli, a tym samym równie oceny potencjalnej efektywnoci obliczeniowej makroskopowych modeli ruchu drogowego. 2. PRZEGLD MODELI MAKROSKOPOWYCH Celem modeli makroskopowych jest moliwie wierne opisanie wszelkich zjawisk zwizanych z przebiegiem ruch drogowego poprzez wyraenie ich za porednictwem zagregowanych wielkoci (tj. natenia, gstoci i prdkoci) charakteryzujcych przepyw

3 Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego 311 ruchu w oderwaniu od zachowania si pojedynczych pojazdów. Proces powstawania i doskonalenia modeli ruchu by procesem dugotrwaym i stopniowo prowadzi do coraz doskonalszych matematycznych opisów przepywu ruchu. Pocztkowe modele odnosiy si jedynie do standardowych sytuacji ruchowych i zawodziy w obliczu bardziej zoonych warunków ruchu i konfiguracji ukadów drogowych. Byy to tzw. modele jednorównaniowe, nazywane pocztkowo modelami pierwszego rzdu. Sprowadzay si zwykle do prostego zwizku róniczkowego definiujcego równanie równowagi, czyli równanie cigoci ruchu, zapewniajce zachowanie masy przepywu, co w ujciu dyskretnym oznacza, e zmiana liczby pojazdów w ukadzie jest zalena jedynie od zadeklarowanych warunków brzegowych. Równanie to, nazywane modelem LWR (Lighthill Whitham Richards) [1, 2], jest standardowo uzupeniane ogólnym zwizkiem pomidzy zmiennymi (parametrami ruchu), a take dodatkow zalenoci wynikajc z wykresu podstawowego (diagramu fundamentalnego), zwykle zalenoci prdkoci (lub natenia) od gstoci. Odpowiednio do formy tego zwizku, mona mówi o modelach: Greenshieldsa, Greenberga, Underwooda, Drewa, Pipesa Munjala albo innych. Niestety, model jednorównaniowy okaza si uomny, gdy wyraa lokalne warunki równowagi w sposób statyczny, tj. zmiana warunków brzegowych natychmiastowo skutkowaa nowym stanem równowagi ukadu, bez jakiejkolwiek ewolucji poprzedniego stanu ruchu do stanu nowego, a wic bez odzwierciedlenia dynamiki przebiegu ruchu. Z myl o usuniciu nieprawidowoci modelu LWR powstay modele dwurównaniowe ( drugiego rzdu ), które zawieraj dodatkowe równanie róniczkowe (odpowiednik równania zachowania pdu z dynamiki pynów) wyraajce dynamik ruchu, a konkretnie opisujce proces dostosowywania si prdkoci do warunków ruchu. W tej sytuacji forma modeli dwurównaniowych wykazuje istotne podobiestwo do opisu przepywu pynów ciliwych (gazów). Nie jest to jednak pene podobiestwo z uwagi na: wyprzedzajc reakcj kierowców w stosunku do warunków ruchu w dole drogi, asymetryczno ( anizotropowo ) reakcji kierowców w odniesieniu do stanu ruchu w dole i górze drogi. Opisane zachowania kierowców modyfikuj standardowe oddziaywania o charakterze konwekcyjnym, a oprócz tego uwzgldniaj równie oddziaywania dyfuzyjne okrelane jako relaksacja ruchu, tj. tonowanie denia do szybkiego osignicia stanu równowagi. Z uwagi na to, e oszacowanie jakoci i efektywnoci sformuowa modeli ruchu (cel artykuu) jest w gównej mierze uzalenione od oddziaywa konwekcyjnych, w dalszych rozwaaniach nad modelami ruchu pominite zostan oddziaywania dyfuzyjne, co niekiedy bdzie skutkowa pewn zmian opisu teoretycznego modeli wzgldem ich sformuowa oryginalnych. Ujte w takiej formie podstawowe modele ruchu zostan zwile przedstawione w kolejnych akapitach jako przypadki szczególne uogólnionego i ujednoliconego opisu ruchu. Wyjciowy model przepywu ruchu przyjto w nastpujcej ogólnej formie:, (1) przy czym poszczególne symbole oznaczaj: czas, przestrze (droga), gsto, prdko, i (gdzie wynosilub, a lb ) operatory

4 312 Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski róniczkowania (zwyczajny i czstkowy). Z kolei wielkoci s pewnymi uogólnionymi (w tym momencie jeszcze nieokrelonymi) parametrami modeli ruchu. Dwurównaniowe modele ruchu skadaj si z równania cigoci przepywu (model LWR) jako staego elementu tego ukadu, oraz z równania dynamiki ruchu, które decyduje o ostatecznym ksztacie i wasnociach ukadu. Model LWR ma nastpujc standardow posta:, (2) co powoduje, e w ukadzie równa (1), a, i tym samym przyjmuje on posta:. (3) Powysza, ogólna posta dwurównaniowego modelu makroskopowego jest podstaw do opisu i analizy wielu istniejcych rozwiza w tym zakresie. Poszczególne modele zostan poniej zdefiniowane w zalenoci od formy wielkoci i. Podobnie jak równanie cigoci, równanie dynamiki ruchu drogowego nawizuje do wyranie do równania zachowania pdu, przez co w jego sformuowaniu wystpuj wielkoci i czony charakterystyczne dla równania Naviera Stokesa (przepyw lepki). Poniewa w niniejszej publikacji z zaoenia pominito oddziaywania dyfuzyjne, równanie dynamiki ruchu wykazuje istotne podobiestwo do równania Eulera dla orodka ciliwego. Z tej przyczyny, do opisu dynamiki ruchu wprowadza si pojcie cinienia, które charakteryzuje antycypacj, a take prdko dwiku rozumian jako prdko propagacji zaburze ruchu drogowego. Cinienie (jako czynnik antycypacyjny) zaley od gstoci (i ewentualnie prdkoci) ruchu, co moe mie stosowne konsekwencje dla prdkoci dwiku. Formalnie (zgodnie z dynamik pynów), prdko dwiku jest definiowana jako: (4) i naley do jednych z istotnych wyróników modeli ruchu, które poniej zostan pokrótce przedstawione. Model PW (Payne Whitham) [3, 4], w wersji bez czonów dyfuzyjnych, charakteryzuje si nastpujcymi formami wielkoci i (3):, (5) gdzie jest sta czasow. W póniejszych sformuowaniach modelu PW przyjmuje si alternatywnie:, (6) gdzie ma zwykle sta warto. Istotn wad modeli PW jest m.in. ich niestabilno, szczególnie przy duych gstociach ruchu. Model PH (Phillips) [5] uwzgldniajc dodatkowo zachowanie energii, mia w swoim

5 Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego 313 zamierzeniu poprawi niedomagania modeli PW, m.in. poprzez zdefiniowanie cinienia w funkcji gstoci:, (7) gdzie jest staym (obieranym) parametrem, a jest gstoci maksymaln. Wobec powyszego wielko (3) przyjmuje teraz posta:, (8) a wielko pozostaje niezmienione (5). Niestety, nie usuwa to problemów modelu PW, a nawet przysparza nowych (jak np. przyspieszanie przy duych gstociach). Model KK (Kerner Konhäuser) [6] stanowi kolejn prób poprawy modeli PW i PH, przy czym polega ona w zasadzie na wprowadzeniu dodatkowej lepkoci do równania dynamiki ruchu, co niewtpliwie poprawia stabilno przy maych i duych gstociach (chocia nie przy rednich), i nie usuwa problemów wynikajcych z izotropowoci ruchu. Z perspektywy niniejszej publikacji (zaniedbanie oddziaywa dyfuzyjnych w opisach modeli), model KK nie wnosi niczego szczególnego wzgldem modelu PW, a w stosunku do modelu PH skutkuje sta prdkoci dwiku. Model Z1 (Zhang, wersja 1) [7] definiuje prdko dwiku w postaci: co jest równowane przyjciu wyraenia na cinienie: i tym samym wielko (3) wynosi odpowiednio:, (9), (10), (11) podczas gdy zachowuje tak sam posta jak w modelu PW i innych wymienionych powyej. Model Z1 usuwa niektóre wady modelu PW, gdy wielko jest tu wprost proporcjonalna do gstoci (a nie odwrotnie proporcjonalna, jak w modelu PW), niemniej wiele niedomaga modelu pozostaje nadal aktualnych. Model MYL (Michalopoulos Yi Lyrintzis) [8] mona zdefiniowa za porednictwem nastpujcych charakterystycznych wielkoci:, (12), (13) przy czym jest parametrem antycypacji, a sta. Model ten nie wykorzystuje zwizku równowagi prdko gsto, lecz odnosi si do prdkoci ruchu swobodnego. Przy

6 314 Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski odpowiednim doborze i, model MYL przyjmuje posta modelu Z1. Model AR (Aw Rascle) [9] jest pierwszym asymetrycznym (anizotropowym) modelem ruchu. Zadecydowaa o tym gównie nowa forma zdefiniowania równania dynamiki ruchu:, (14) przy czym cinienie zostao tu okrelone inaczej ni w innych modelach. Przemnoenie równania cigoci (2) przez i dodanie go do równania ruchu (14) prowadzi do standardowej postaci modelu AR, w której wielkoci i (3) wynosz odpowiednio:. (15) Aw i Rascle [9] sugerowali jednoczenie wyraenie cinienia jako: co odpowiednio modyfikuje wielko do postaci:, (16). (17) Zalety modelu AR (w stosunku do modeli przedstawionych wczeniej) s niewtpliwe, niemniej przy bardzo maych gstociach rozwizanie moe by niestabilne. Model Z2 (Zhang, wersja 2) [10] nie odnosi prdkoci dwiku do pozycji (3) (zwizanej z pochodn przestrzenn gstoci), lecz do pozycji (zwizanej z pochodn prdkoci). W tej sytuacji obie te wielkoci wynosz odpowiednio:, (18) przy czym prdko dwiku okrelana jest nastpujco:. (19) Jak mona zauway, modele AR i Z2 s ze sob bardzo blisko zwizane rónica wynika tylko z okrelania pochodnych oraz odpowiednio na podstawie rónych zwizków równowagi, natenie gsto lub prdko gsto. Model JWZ (Jiang Wu Zhu) [11], podobnie jak model Z2, opisuje antycypacj przy wykorzystaniu gradientu prdkoci, a nie gradientu gstoci. W rezultacie wielkoci i (3) s tutaj definiowane nieco podobnie jak w zalenociach (18), a konkretnie:. (20) Jeli przyj wedug (15), e prdko dwiku wynosi, to wówczas mona na tej podstawie wyznaczy cinienie jako:. (21)

7 Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego 315 Wasnoci modelu JWZ s zblione jak modeli AR i Z2. Zamieszczona powyej zwiza prezentacja makroskopowych modeli ruchu zostaa ograniczona do modeli najpopularniejszych, a zarazem takich, które stanowiy podstaw do dalszego rozwoju specyficznych odmian i wariantów. Zebrane i zarysowane (w powyszych akapitach) charakterystyczne cechy opisu matematycznego modeli oraz wynikajce std wasnoci rozwiza, stanowi wystarczajc baz do przeprowadzenia porówna uwarunkowania sformuowa poszczególnych rodzajów modeli, a take oceny ich jakoci i efektywnoci wynikajcej jedynie ze sformuowa wyjciowych, czyli bez uwzgldniania formy dyskretyzacji (i aproksymacji) definiujcej rozwizanie numeryczne. 2. ROZWAANIA NAD UWARUNKOWANIEM MODELI RUCHU Rozwaania nad uwarunkowaniem rónych sformuowa makroskopowych modeli ruchu drogowego zostan przeprowadzone najpierw w ujciu ogólnym, tj. wzgldem sformuowania macierzowego (3), gdzie konkretne, róne wielkoci i odpowiadaj sformuowaniom poszczególnych modeli ruchu. Po rozwaaniach na ukadzie uogólnionym oraz po zdefiniowaniu miar uwarunkowania modeli, dalsze rozwaania bd obejmowa odniesienia do poszczególnych rodzajów modeli ruchu. Wielomian charakterystyczny ogólnego sformuowania modeli ruchu (3) ma posta:, (22) a jego rozwizania wzgldem (wartoci wasne) wynosz:. (23) Niezwykle istotne w kontekcie póniejszych rozwaa, jest wyraenie wielkoci i w funkcji wartoci wasnych i, co mona opisa zalenociami: (24). (25) Do porówna uwarunkowania makroskopowych modeli ruchu, prowadzonej na poziomie sformuowa matematycznych modeli, czyli bez wzicia pod uwag sposobu przeprowadzenia dyskretyzacji i aproksymacji zagadnienia, oraz bez odniesie do jakoci opracowania numerycznego i implementacji komputerowej, przyjto nastpujce miary: promie spektralny, wskanik uwarunkowania.

8 316 Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski Promie spektralny macierzy ukadu równa modelu jest definiowany przez najwiksz warto wasn tego ukadu. Tym samym jest on okrelany nastpujco:, (26) gdzie wartoci wasne i s ogólnie okrelone zalenoci (23). Jeli wszystkie rozwaane prdkoci ruchu s dodatnie, to promie spektralny wynosi wówczas:. (27) Wobec powyszego okrelenia promienia, mona si ju odnie bardziej konkretnie do modeli ruchu. Aby nie analizowa po kolei wszystkich przedstawionych wczeniej modeli, ograniczymy si jedynie do rozwaenia ich dwóch gównych klas: modeli symetrycznych (izotropowych), w tym modeli: PE, PH, KK, Z1 i MYL, modeli asymetrycznych (anizotropowych), obejmujcych modele: AR, Z2, i JWZ. Modele izotropowe charakteryzuj si wartociami wasnymi okrelanymi ogólnie jako:, (28) gdzie jest prdkoci dwiku swoist dla danego modelu symetrycznego. Wstawienie obu powyszych zwizków do zalenoci (24) i (25) skutkuje nastpujcymi wyraeniami na wielkoci i :. (29) W tej sytuacji promie spektralny modeli symetrycznych (izotropowych) wynosi zawsze:, (30) przy czym poszczególne modele izotropowe charakteryzuj si wasnymi okreleniami prdkoci dwiku (podanymi przy okazji przeprowadzonego wczeniej ich przegldu). Mona zatem stwierdzi, e im mniejsza jest prdko okrelona dla danego modelu izotropowego, tym potencjalnie lepiej jest on uwarunkowany. Modele anizotropowe z zaoenia przyjmuj, e najwiksza prdko falowa nie moe by wiksza ni prdko ruchu w praktyce przyjmuje si po prostu, e:. (31) Uwzgldnienie powyszego zwizku w zalenociach (24) i (25) pozwala okreli wielkoci i jako:. (32) Oznacza to, e promie spektralny modeli asymetrycznych (anizotropowych) wynosi w takiej sytuacji:, (33)

9 Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego 317 i tym samym jest równy dla wszystkich modeli anizotropowych, a wic uwarunkowanie tych modeli jest jednakowe. Wskanik uwarunkowania macierzy ukadu równa jest definiowany w ogólnoci jako iloczyn normy macierzy i normy jej odwrotnoci, co oznacza zaleno wskanika od przyjtej normy macierzowej. Jeli wszystkie wartoci wasne macierzy ukadu s rzeczywiste, to przy indukowanej normie macierzowej wskanik przyjmuje ogóln posta: (34) i jest okrelany jako spektralny wskanik uwarunkowania. W odniesieniu do rozwaanych ukadów równa posiadajcych dwie wartoci wasne, gdzie jednoczenie prdkoci ruchu s dodatnie, spektralny wskanik uwarunkowania mona zdefiniowa jako: (35) lub po uwzgldnieniu zalenoci (23), jako:. (36) W odniesieniu do modeli symetrycznych (izotropowych) charakteryzujcych si wartociami wasnymi okrelonymi zalenociami (28), a tym samym równie zwizkami (29), wskanik uwarunkowania wynosi:, (37) gdzie prdko dwiku jest wielkoci charakterystyczn danego modelu. Oznacza to, e im mniejsza jest prdko zwizana z danym modelem izotropowym, tym lepiej jest on uwarunkowany. W przypadku modeli asymetrycznych (anizotropowych), gdzie najwiksza prdko falowa odpowiada prdkoci ruchu (31), a w konsekwencji obowizuj równie zwizki (32), wskanik uwarunkowania wynosi:. (38) Poniewa w ogólnoci wielko dla dodatniego jest opisana zwizkiem (20), a dla ujemnego zwizkiem (18), to przyjmujc dalej prdko dwiku jako wielko dodatni, wskanik uwarunkowania zostaje okrelony nastpujco:. (39) Wynika std wyranie, e modele anizotropowe charakteryzujce si mniejsz prdkoci s lepiej uwarunkowane ni modele o wikszej prdkoci dwiku.

10 318 Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski 3. PODSUMOWANIE Na podstawie przeprowadzonych analiz uwarunkowania rónych makroskopowych modeli przepywu ruchu, mona sformuowa nastpujce wnioski: 1. Promie spektralny symetrycznych (izotropowych) modeli ruchu (30) zaley od wielkoci prdkoci propagacji zaburze ruchu (prdkoci dwiku). Im jest ona mniejsza, tym dany model jest lepiej uwarunkowany. 2. Promie spektralny asymetrycznych (anizotropowych) modeli ruchu (33) jest równy dla wszystkich modeli, a wic ich uwarunkowanie jest identyczne. 3. Wszystkie anizotropowe modele ruchu s lepiej uwarunkowane (w aspekcie promieni spektralnych) ni modele izotropowe. 4. Wskanik uwarunkowania symetrycznych modeli ruchu (37) zaley od prdkoci dwiku im jest ona wiksza, tym wskanik jest gorzej uwarunkowany. 5. Wskanik uwarunkowania asymetrycznych modeli ruchu (39) zaley równie od prdkoci dwiku, jednak zaleno ta jest inna ni w modelach izotropowych. Niemniej nadal obowizuje zasada, e zwikszenie prdkoci dwiku pogarsza uwarunkowanie. 6. Wszystkie anizotropowe modele ruchu charakteryzuj si lepszym uwarunkowaniem (w aspekcie wskaników uwarunkowania) ni modele izotropowe. 7. Pod wzgldem poziomu uwarunkowania mona porównywa nie tylko rodzaje (klasy i podklasy) makroskopowych modeli ruchu, ale równie dowolne, indywidualne modele ruchu. Naley jednak przy tym pamita (szczególnie przy prowadzeniu oceny wedug wskanika uwarunkowania), e uwarunkowanie modeli moe si zmienia wraz ze zmian stosunku ekwiwalentu prdkoci dwiku do prdkoci ruchu (lub odwrotnie, prdkoci ruchu do prdkoci dwiku). Bibliografia 1. Lighthill M.J., Whitham G.B.: On kinematic waves: II. A theory of traffic flow on long crowed roads. Proceedings of the Royal Society of London, Series A 229 (1955), 1178, Richards P.I.: Shockwaves on the highway. Operations Researches 4 (1956), 1, Payne H.J.: Models of freeway traffic and control. In: Mathematical Models of Public Systems. Simulation Councils Proc. Ser. 1 (1971), Whitham G.B.: Linear and nonlinear waves. John Wiley and Sons, New York Phillips W.F.: A kinetic model for traffic flow with continuum implications. Transportation Planning and Technology 5 (1979), Kerner B.S., Konhäuser P.: Cluster effect in initially homogeneous traffic flow. Physical Review E 48 (1993), Zhang H.M.: A theory of nonequilibrium traffic flow. Transportation Research B 32 (1998), Michalopoulos P.G., Yi P., Lyrintzis A.S.: Continuum modeling of traffic dynamics for congested freeways. Transportation Research B 27 (1993), Aw A., Rascle M.: Resurrection of second order models of traffic flow. SIAM Journal of Applied Mathematics 60 (2000), Zhang H.M.: A non-equilibrium traffic model devoid of gas-like behavior. Transportation Research B 36 (2002), Jiang R., Wu Q.-S., Zhu Z.-J.: A new continuum model for traffic flow and numerical tests. Transportation Research B 36 (2002),

11 Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego 319 MATRIX CONDITIONING OF MACROSCOPIC ROAD TRAFFIC MODELS Summary: In the article, the fundamental equations of macroscopic road traffic flow models are assembled and presented in an unified form, with neglecting all diffusive effects. Based on this review, all matrix entries (coefficients) for different traffic flow models are defined. The determination of eigenvalues for particular classes and subclasses of models is the basis for calculation of matrix condition measures: the spectral radiuses and the spectral condition numbers. These measures are used for comparison of traffic flow model formulations and estimation of the potential computational efficiency for macroscopic road traffic models. Keywords: macroscopic traffic models, matrix conditioning of models