Algorytmiczna teoria grafów Problem policjantów i złodziei - Cops and robbers problem

Transkrypt

1 Algorytmiczna teoria grafów Problem policjantów i złodziei - problem hannafurmanczyk@infugedupl hannafurmanczyk@infugedupl

2 Nowakowski, Winkler 1983 Opis Gra w policjantów i złodzieja toczona jest w rundach na spjnym grafie G przez k policjantów i 1 złodzieja Po każdej rundzie gry każdy policjant i złodziej zajmuje pewien wierzchołek grafu G; Po i-tej rundzie policjanci zajmują zbiór V i natomiast złodziej wierzchołek z i (z i V i, jeżeli gra nie jest skończona) Podczas (i + 1)-wszej rundy gry: każdy policjant przemieszcza się do sąsiedniego wierzchołka grafu, ale może też pozostać w wierzchołku zajmowanym dotychczas (po tej rundzie policjanci zajmują zbiór V i+1 ), złodziej przemieszcza się z wierzchołka z i do sąsiedniego z i+1, który spełnia warunki: z i+1 V i+1 oraz istnieje ścieżka z z i do z i+1 omijająca wszystkie wierzchołki zbioru V i V i+1 hannafurmanczyk@infugedupl

3 Policjanci mają strategię wygrywającą na grafie G, jeżeli niezależnie od strategii złodzieja istnieje runda, w której złodziej nie jest w stanie wykonać poprawnego ruchu; w przeciwnym przypadku strategię wygrywającą ma złodziej hannafurmanczyk@infugedupl

4 Policjanci mają strategię wygrywającą na grafie G, jeżeli niezależnie od strategii złodzieja istnieje runda, w której złodziej nie jest w stanie wykonać poprawnego ruchu; w przeciwnym przypadku strategię wygrywającą ma złodziej R Nowakowski, P Winkler, Vertex-to-vertex pursuit in a graph, Discrete Mathematics 43 (1983) hannafurmanczyk@infugedupl

5 Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej

6 Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków)

7 Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) kontakt wzrokowy policjant - złodziej: uznawany jako złapanie złodzieja hannafurmanczyk@infugedupl

8 Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) kontakt wzrokowy policjant - złodziej: uznawany jako złapanie złodzieja wersja aktywna gry (złodziej musi wykonać ruch) hannafurmanczyk@infugedupl

9 Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) kontakt wzrokowy policjant - złodziej: uznawany jako złapanie złodzieja wersja aktywna gry (złodziej musi wykonać ruch) wersja pasywna gry - złodziej może pozosta w wierzchołku, bez wykonywania ruchu do innego wierzchołka hannafurmanczyk@infugedupl

10 Różne wersje gry: więcej niż jeden złodziej policjanci przemieszczają się helikopterami (ruch do niesąsiednich wierzchołków) kontakt wzrokowy policjant - złodziej: uznawany jako złapanie złodzieja wersja aktywna gry (złodziej musi wykonać ruch) wersja pasywna gry - złodziej może pozosta w wierzchołku, bez wykonywania ruchu do innego wierzchołka wesja on-line - struktura grafu nie jest znana w całości hannafurmanczyk@infugedupl

11 Klasy grafów, dla których policjanci mają strategię wygrywającą drzewa - jeden policjant hannafurmanczyk@infugedupl

12 Klasy grafów, dla których policjanci mają strategię wygrywającą drzewa - jeden policjant cykle - dwaj policjanci hannafurmanczyk@infugedupl

13 Klasy grafów, dla których złodziej ma strategį wygrywającą cykle o długości większej niż 4 z jednym policjantem hannafurmanczyk@infugedupl

14 Klasy grafów, dla których złodziej ma strategį wygrywającą cykle o długości większej niż 4 z jednym policjantem wszystkie grafy regularne, różne od grafu pełnego - z jednym policjantem hannafurmanczyk@infugedupl

15 Przykład grafu, dla którego w wersji aktywnej strategię wygrywającą ma policjant (1), w wersji pasywnej - złodziej hannafurmanczyk@infugedupl

16 Znane rezultaty - wersja pasywna (bardziej naturalna) charakteryzacja algorytmiczna klasy grafów, dla których policjant ma strategię wygrywającą hannafurmanczyk@infugedupl

17 Znane rezultaty - wersja pasywna (bardziej naturalna) charakteryzacja algorytmiczna klasy grafów, dla których policjant ma strategię wygrywającą w każdym grafie planarnym wystarcza zawsze 3 policjantów, aby złapać złodzieja hannafurmanczyk@infugedupl

18 Znane rezultaty - wersja pasywna (bardziej naturalna) charakteryzacja algorytmiczna klasy grafów, dla których policjant ma strategię wygrywającą w każdym grafie planarnym wystarcza zawsze 3 policjantów, aby złapać złodzieja M Aigner, M Fromme, A game of cobs and robbers, Discrete Applied Mathematics 8 (1984) 1 12 hannafurmanczyk@infugedupl