Uniwersytet Wrocławski Wydział Fizyki i Astronomii. Jakub Kalinowski

Transkrypt

1 Uniwersytet Wrocławski Wydział Fizyki i Astronomii Jakub Kalinowski Analiza entropii permutacyjnych wybranych indeksów giełdowych Praca licencjacka wykonana pod kierunkiem dr hab. Janusza Miśkiewicza Wrocław, 2016

2 - 2 -

3 Spis treści 1. Wstęp Podstawy teoretyczne Pojęcie entropii Permutacje Entropia permutacyjna Metody analizy korelacji krzyżowych Wyniki empiryczne Przygotowanie danych Zastosowanie metod z rozdziału Analiza wyników Podsumowanie Bibliografia Dodatki - 3 -

4 - 4 -

5 Kiedy Shannon wynalazł swój parametr i konsultował z Neumannem, jaką nadać mu nazwę, ten odpowiedział: Nazwij to entropią. To już funkcjonuje pod tą nazwą, a poza tym da ci to przewagę w dyskusjach, ponieważ i tak nikt nie wie, czym właściwie jest entropia. 1 1 : K. Denbigh (1990) How subjective is entropy. In Maxwell s Demon, Entropy, Information, Computing (ed. H.S. Leff and A.F. Rex), pp , Princeton University Press

6

7 Wprowadzenie W obecnym świecie analiza finansowych szeregów czasowych nabiera coraz większego znaczenia. Szereg czasowy jest uporządkowanym w czasie zapisem aktywności we wszystkich zjawiskach o nietrywialnej ewolucji, w tym w działalności finansowej człowieka. Większość finansowych szeregów czasowych jest niestacjonarna i zależna od czasu. Giełda jest układem niestabilnym, z wysoką częstotliwością zmian, co stwarza ogromne trudności przy ich analizie oraz predykcji cen. Entropia permutacyjna wpisuje się w zakres metod określanych jako analiza techniczna ceny są wyraźnym przejawem ukrytych mechanizmów, ruchy cen nie są przypadkowe, a historia się powtarza. Od czasu wielkiego kryzysu finansowego nastąpił wzrost zainteresowania próbami uchwycenia relacji między nagłymi zmianami a ruchami cen tuż przed nadejściem kryzysu. Jeśli w przyszłości podobne kryzysy mogłyby zostać przewidziane z pewną dokładnością, organy regulacyjne byłyby w stanie podejmować bardziej świadome decyzje w celu zmniejszenia zawirowań na rynku powstałych w wyniku zachowań inwestorów. W ostatnich latach entropia permutacyjna oraz powiązane z nią parametry pojawiły się także w opracowaniach dotyczących układów biologicznych takich jak mózg, czy serce [1]. Pozwoliły one na skuteczne wykrywanie wad serca, czy prognozowanie zaburzeń u pacjentów z epilepsją

8 - 6 -

9 1. Wstęp W pracy tej została przeprowadzona analiza wzorców szeregu czasowego wartości indeksów giełdowych i ich zwrotów oraz obserwacja zachowań podczas kryzysu z wykorzystaniem algorytmu entropii permutacyjnej. Indeksy zostały dobrane tak, aby były reprezentatywne dla gospodarki światowej z uwzględnieniem głównych giełd światowych. Każdy pochodzi z innej części globu, razem reprezentują najbardziej znaczące gospodarki świata. Zwroty indeksów giełdowych badane są z interwałem dziennym. Dane indeksów dotyczą okresu Przeanalizowane zostały indeksy: All Ordinaries (Australia), Bovespa (Brazylia), CAC40 (Francja), DAX (Niemcy), Dow Jones (USA), FTSE250 (Wielka Brytania), Hang Seng (Chiny), S&P 500 (USA), SENSEX (Indie), WIG 20 (Polska). W rozdziale 2 przedstawione są podstawy teoretyczne technik stosowanych w niniejszej pracy. W szczególności omówiona została metoda analizy entropii permutacyjnej. W rozdziale 3 omówiony został sposób przygotowania empirycznych danych do obliczeń na użytek niniejszej pracy, zastosowanie metod opisanych w rozdziale 2 oraz analiza otrzymanych wyników. Przygotowanie danych oraz wykresów w całej pracy, w tym histogramów, dokonane zostało przy pomocy programu MS Excel 2013, natomiast obróbka szeregów czasowych z pomocą entropii permutacyjnej została przeprowadzona przy użyciu programu do obliczeń numerycznych Octave. Wszystkie uzyskane wyniki zostały podsumowane w rozdziale

10 - 8 -

11 2. Podstawy teoretyczne 2.1 Entropia W fizyce entropia jest funkcją stanu układu. W interpretacji statystycznej, określa ona stopień nieuporządkowania układu, albo inaczej mówiąc, stopień jego wyjątkowości. Entropia jest także wykorzystywana w teorii informacji, jest to średnia ilość informacji jaka przypada na pojedynczą wiadomość ze źródła informacji. Innymi słowy jest to średnia ważona ilości informacji niesionej przez pojedynczą wiadomość, gdzie wagami są prawdopodobieństwa nadania poszczególnych wiadomości [2]. Weźmy pod uwagę układ, naturalny lub sztuczny, oraz obserwable tego układu, którego ewolucja może być śledzona w czasie. Zwykle pojęcie obserwabli stosowane jest w mechanice kwantowej. Tutaj oznacza elementy rozkładu mierzonej wielkości w polu obserwacji. Powstaje pytanie, ile informacji o dynamice badanego układu dostarcza nam obserwabla? Dla układów stochastycznych, zwykle informacji dostarcza nam funkcja rozkładu prawdopodobieństwa P opisująca rozłożenie pewnych mierzalnych czy zauważalnych wielkości stacjonarnego szeregu czasowego X(t), traktowanego jako zbiór danych, bez uwzględnienia ewolucji. Określenie ilościowo informacji zawartych w danej obserwabli jest tożsame z charakterystyką jej rozkładu prawdopodobieństwa. Często tak się dzieje gdy mamy do czynienia z szeroką rodziną wielkości zwanych entropiami informacyjnymi. Entropia jest wielkością z szeroką gamą zastosowań specjalistycznych, między innymi jest związana z miarą nieuporządkowania układu, objętością przestrzeni, czy brakiem informacji [2]. Gdy mamy do czynienia z zawartością informacyjną, entropia Shannon a jest podstawową i najczęściej stosowaną wielkością. Gdy dany mamy dowolny dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, z M stopniami swobody, logarytmiczną miarę informacji Shannon a [1] rozumiemy jako: (1) - 9 -

12 Może ona być traktowana jako miara niepewności związanej ze stanem układu opisanym P. Dla przykładu, jeśli S[P] = S min = 0, jesteśmy w stanie przewidzieć z całkowitą pewnością, który z możliwych wyników i, których prawdopodobieństwa są zadane przez pi, będzie miał miejsce. Wiedza jaką posiadamy na temat podstawowych procesów opisanych przez rozkład prawdopodobieństwa w tym przypadku jest największa. Z kolei dla rozkładu jednostajnego nasza wiedza jest minimalna, zaś niepewność - maksymalna tj. Od czasu przełomowej pracy Shannon a [3], jego definicja entropii jest wykorzystywana do charakterystyki wielu różnych układów. 2.2 Permutacje Permutacja jest to wzajemne, jednoznaczne odwzorowanie zbioru skończonego na siebie. [7] Mając zbiór n-elementowy, permutacją nazwiemy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów zbioru. Wówczas liczbę możliwych permutacji określa wzór: (2) Mamy dany liniowo uporządkowany zbiór. Wzorzec porządkowy, zdefiniowany przez elementy, można uznać za permutację π z, która porządkuje te elementy względem ich kolejności w Ω: Jeśli, ustalamy, że gdy. Zapisujemy Zbiór porządkowych L-wzorców (wzorców długości L) będzie oznaczany SL. Np. dla mamy. L-wzorce dla odwzorowań: Rozważmy funkcję, gdzie I to domknięty przedział. Dla skończonej orbity dla mówimy, że x definiuje L-wzorzec porządkowy, jeśli: (3) Mówimy, że π jest realizowane przez x lub że x jest typu π

13 2.3 Entropia permutacyjna Entropia jest skutecznym narzędziem do analizy szeregów czasowych, gdyż pozwala scharakteryzować rozkłady prawdopodobieństwa możliwych stanów układu, a co za tym idzie informacji zawartych w nim. Kluczową przyczyną stosowania entropii permutacyjnej jest problem z obliczaniem entropii dla małych zbiorów danych, gdzie zarówno dyskretna jak i ciągła entropia są dość trudne do wyestymowania, zaś entropia permutacyjna jest dobrze określona. Idea obliczania entropii opierająca się na modelu permutacji (czyli określonych przez relacje pomiędzy wartościami rzędu szeregu czasowego) w ostatnich latach stała się popularna, szczególnie w zrozumieniu układów złożonych i chaotycznych [1]. Entropia permutacyjna bezpośrednio oblicza informacje czasowe zawarte w szeregach czasowych. Co więcej, algorytm ten cechuje się prostotą oraz stabilnością. Badania nad entropią prawie zawsze zakładają, że mamy dany rozkład prawdopodobieństwa zmiennych losowych. Część przeprowadzanej analizy obejmuje wyodrębnienie rozkładu prawdopodobieństwa z danych, jednak rzadko narzuca się jednoznaczna procedura. Jedną z najnowszych i skutecznych metod jest ocena rozkładu prawdopodobieństwa zaproponowana przez Bandt a i Pompe a (MBP) [6]. Metoda ta korzysta z podejścia używanego w procedurze rekonstrukcji atraktora. Atraktor jest jednym z podstawowych pojęć używanych w teorii chaosu. Może to być punkt, zbiór wartości lub wektor do którego dąży układ. MBP jest jedyną, spośród powszechnie używanych metod, która bierze pod uwagę strukturę czasową szeregów czasowych generowanych przez badane procesy fizyczne. Weźmy szereg czasowy, w każdym momencie s, tworzony jest wektor złożony z D kolejnych wartości: (4)

14 Parametr D jest to wymiar zanurzenia i określa ilość informacji zawartych w każdym wektorze. Do każdego wektora jest przypisany wzorzec porządkowy, który definiujemy jako permutację z, która spełnia warunek: (5) Wartości wektorów są sortowane w porządku rosnącym, a wzorzec permutacji π jest tworzony z przeniesieniem dopuszczalnych wartości. Dla przykładu weźmy szereg czasowy χ = {3, 1, 4, 1, 5, 9}. Dla D = 3, wektor wartości odpowiadających s = 1 to (3, 1, 4); układamy go w porządku rosnącym (1, 3, 4) i otrzymujemy wzorzec permutacji π= (102). Dla s = 2, wektor wartości to (1, 4, 1), a π= (021). Gdy mamy dwie równe wartości tak jak w tym przypadku, są one porządkowane zgodnie z ilością powtórzeń. Istotą entropii permutacyjnej jest fakt, że wzorce nie muszą mieć takiego samego prawdopodobieństwa pojawienia się, a co za tym idzie, to prawdopodobieństwo może dostarczyć nam istotną wiedzę o badanym układzie. W ekstremalnych sytuacjach mamy do czynienia z wzorcami zakazanymi, czyli takimi, które nie pojawią się wcale w analizowanym szeregu czasowym (posiadające empiryczne prawdopodobieństwo równe 0). Są dwa powody istnienia wzorców zakazanych. Pierwszym jest fakt, że każdy prawdziwy szereg czasowy jest skończony, a więc zachodzą efekty skończonych rozmiarów. Wracając do przykładu, permutacja π= (210) nie pojawia się w szeregu {3, 1, 4, 1, 5, 9}, ponieważ nie ma w nim trzech wartości pod rząd, w malejącym porządku. Drugi powód związany jest z dynamicznym charakterem systemów generujących szeregi czasowe. Gdyby szereg czasowy został stworzony przez idealny generator liczb losowych, to nie powinny się tam pojawić wzorce zakazane. Zatem poprzez szacowanie obecności lub nieobecności pewnych wzorców porządkowych elementów szeregu czasowego, można otrzymać informacje o dynamice badanego układu. Nawet jeśli wszystkie wzorce w końcu się pojawią, prawdopodobieństwo tych zdarzeń może ujawnić istotne informacje o dynamice systemu. Mówiąc ogólnie, każdemu szeregowi czasowemu można przypisać rozkład prawdopodobieństwa Π, którego elementy πi będą częstościami powiązanymi z i możliwych wzorców permutacyjnych, dlatego i = 1,, D!

15 Entropie permutacyjną (PE) definiujemy wówczas jako entropie Shannon a powiązaną z takim rozkładem prawdopodobieństwa: (6) Dla przejrzystości oceny ilości informacji kodowanych przez taki rozkład, używany jest najczęściej logarytm o podstawie 2. Co więcej, zauważając że PE [0, log 2 D!], znormalizowana entropia permutacyjna może być zdefiniowana jako: (7) Godnym uwagi rezultatem podejścia Bandt a i Pompe a jest znaczna poprawa wydajności kwantyfikatorów informacji uzyskanych z rozkładu prawdopodobieństwa wygenerowanego przez ich algorytm. Przy zastosowaniu MBP należy wymagać, żeby system spełniał bardzo słaby warunek stacjonarności (wartość średnia oraz funkcja autokorelacji nie zależą od czasu) oraz żeby miał wystarczającą ilość danych (koniecznych dla poprawnej rekonstrukcji atraktora). Entropia permutacyjna jest właśnie miarą entropii Shannon a oszacowaną przy pomocy MBP w celu wyodrębnienia związanego z nią rozkładu prawdopodobieństwa

16 2.4 Metody analizy korelacji krzyżowych Korelacja krzyżowa jest standardową metodą szacowania stopnia w jakim skorelowane są dwa szeregi czasowe. Weźmy dwa szeregi czasowe X(i) oraz Y(i) gdzie i = 0,1, 2,... N 1. Wówczas korelacja krzyżowa lub inaczej wzajemna, definiowana jest jako funkcja wartości współczynnika korelacji Pearsona szeregów przesuniętych względem siebie o t. (8) gdzie x i y są to średnie odpowiednich szeregów czasowych. Jeśli korelacja liczona jest dla każdego możliwego przesunięcia otrzymujemy szereg korelacji krzyżowych o dwukrotnej długości oryginalnego szeregu czasowego. Zakres przesunięć, a co za tym idzie długości szeregu korelacji krzyżowych może być mniejszy niż N, na przykład gdy chcemy zbadać tylko korelacje krótkozasięgowe. Mianownik we wzorze 9 jest czynnikiem normalizacyjnym korelacji tak, aby. Ekstrema tego przedziału oznaczają maksymalną korelację, zaś 0 wskazuje na brak korelacji. Najbardziej popularną metodą badania korelacji przez wiele lat była wprowadzona przez profesora Rosario Mantegna odległość ultrametryczna (UD) [6]. Dzięki niej można stwierdzić tylko czy występuje korelacja liniowa. Nie weryfikuje jednak ona istnienia korelacji w ogólnym pojęciu. Odległość ultrametryczna jest także wrażliwa na obecność szumu, który jest nieodłączną częścią danych ekonomicznych i może on przysłonić korelacje. Odległość ultrametryczna UD (A, B) (t,t) opiera się na współczynniku korelacji Pearsona: (9)

17 gdzie to średnia w oknie czasowym (t T, t) Odległość zdefiniowana na podstawie (9) ma postać: (10) dla: korelacja liniowa brak korelacji nieskorelowany szereg czasowy Kolejną metodą analizy korelacji jest odległość Manhattan lub też inaczej nazywana metryką miejską lub taksówkową. Weźmy dwa szeregi czasowe A i B jako wektory. Wówczas odległość Manhattan definiowana jest jako suma wartości bezwzględnych różnic pomiędzy właściwymi współrzędnymi: (11) gdzie: Wartość MD zależy od długości szeregu czasowego, ale jeśli chcemy policzyć odległości dla różnych okien czasowych, możemy skorzystać z przeciętnej odległości Manhattan: (12)

18 3. Wyniki empiryczne 3.1 Przygotowanie danych Podstawą każdej analizy są dane, których będzie ona dotyczyć. W tej pracy są to notowania dziesięciu z największych indeksów giełdowych na świecie. Dane archiwalne zostały pobrane ze strony stooq.pl. Sprawdzono je pod kątem spójności, kompletności oraz czy zaczynają się w tym samym punkcie. Jeżeli były jakieś rozbieżności - usunięto niepasujące fragmenty. Do badań wykorzystano zarówno wartości indeksu, jak i ich zwroty w czasie. Najłatwiejszą zaś metodą obliczenia tych zmian jest obliczenie szeregu różnic: gdzie: Z(t) - zmiana wartości indeksu P(t) - wartość indeksu w chwili t (13) Ta metoda nadaje się do prostych analiz, jednak do zaawansowanych obliczeń potrzebny jest bardziej złożony parametr. Indeksy jak i wartości akcji różnią się wartością bazową, dlatego obliczamy zwroty jednodniowe R(t). Względna zmiana ceny to zmiana ceny podzielona przez cenę w chwili t 1: (14) W efekcie otrzymano szereg o jedną wartość krótszy, ale znormalizowany. Gdy już mamy przygotowany szereg czasowy składający się ze zwrotów wartości indeksu, możemy przystąpić do analizy

19 3.2 Zastosowanie metod z rozdziału 2 W niniejszej pracy przeprowadzono analizę wybranych indeksów giełdowych z różnych części świata, jednak żeby zrozumieć sens pracy należy zacząć od tego czym jest indeks. Indeks giełdowy jest miarą statystyczną podsumowującą jak zmieniają się ceny grupy wyselekcjonowanych spółek. Na jego podstawie, bez analizowania zmian cen poszczególnych spółek, można ocenić poziom zwrotu na rynku oraz określić kierunek zmiany cen. Jest wskaźnikiem, który obrazuje obecną sytuację na giełdzie papierów wartościowych, a inwestorzy analizując tendencje na rynku opisane indeksem, mogą trafniej prognozować zmiany kursów. Wylicza się go najczęściej jako średnią ważoną należących do niego spółek. Jest ona korygowana tak, aby zostały uwzględnione naliczane i wypłacane dywidendy, nowe oraz wycofane emisje, ale żeby nie miały wpływu na zmiany wysokości indeksu. Indeks giełdowy pełni także ważną funkcję w ocenie stanu koniunktury gospodarczej obok takich wskaźników jak poziom zatrudnienia, import, eksport czy stopa inwestycji. W pracy przeanalizowane zostaną indeksy: All Ordinaries (Australia), Bovespa (Brazylia), CAC40 (Francja), DAX (Niemcy), Dow Jones (USA), FTSE250 (Wielka Brytania), Hang Seng (Chiny), S&P 500 (USA), SENSEX (Indie), WIG 20 (Polska). Dane indeksów dotyczą okresu Każdy pochodzi z innej części świata i charakteryzują one najbardziej znaczące gospodarki świata. Po sprawdzeniu szeregów pod kątem spójności otrzymano 3420 punktów obserwacji

20 Wszystkie teorie działają dobrze w nieskończoności, jednak my mamy do czynienia ze skończonymi i do tego małymi wartościami. Dlatego przeprowadzono symulacje pozwalające określić dokładność stosowanej metody analizy przez symulację działania funkcji liczącej entropie permutacyjną na losowo wygenerowanych danych. W tym celu wygenerowano dla rozkładów normalnego i jednostajnego 10 4 szeregów o długościach 25, 50 i 100 punktów i obliczono entropie dla rzędu II, III, IV, V. Następnie obliczono średnią i odchylenie standardowe. Otrzymano w ten sposób oszacowanie kiedy wnioskowanie będzie miało implikacje praktyczne, a kiedy pozostanie w obszarze fluktuacji. Tabela 1 Średnie oraz wartości oczekiwane obliczone na podstawie symulacji, gdzie N to długość szeregu, a II, III, IV i V to rzędy entropii. ROZKŁAD JEDNOSTAJNY II III IV V N EV Std EV Std EV Std EV Std 25 0,6856 0,0106 1,7102 0,0671 2,6211 0,1370 2,9513 0, ,6896 0,0050 1,7548 0,0303 2,9250 0,0864 3,6046 0, ,6914 0,0024 1,7741 0,0145 3,0658 0,0423 4,1071 0,0695 ROZKŁAD NORMALNY II III IV V N EV Std EV Std EV Std EV Std 25 0,6855 0,0107 1,7097 0,0676 2,6201 0,1363 2,9519 0, ,6896 0,0050 1,7548 0,0302 2,9254 0,0861 3,6050 0, ,6914 0,0024 1,7740 0,0147 3,0658 0,0422 4,1068 0,0696 Na wykresach od Rysunek do Rysunek przedstawiono przebiegi wszystkich dziesięciu indeksów wraz z obliczonymi na ich podstawie entropiami permutacyjnymi, zwroty dzienne indeksów i ich entropie permutacyjne

21 Entropia permutacyjna Entropia petmutacyjna Entropia petmutacyjna Wartość indeksu II 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 III i IV 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 V 3,5 3 2,5 2 1,5 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu AllOrdinaries oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

22 Entropia permutacyjjna Zwroty 0,09 0,07 0,05 0,03 0,01-0,01-0,03-0,05-0,07-0,09 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 III IV V Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu AllOrdinaries oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu AllOrdinaries (Rysunek 3.2.1) można podzielić na cztery okresy: i. Do 2007 roku (kiedy obserwujemy jego maksimum przy wartości 6853,6 punktów) ii. Następnie mamy do czynienia z gwałtownym załamaniem indeksu, kiedy w okresie roku traci on blisko 4000 punktów i na koniec spadku przyjmuje wartość 3111,7 punktów iii. W kolejnym etapie, w 2010 roku następuje wzrost wartości indeksu do poziomu 5024,1 punktów iv. Ostatni przedział zaczyna się w kwietniu 2010 roku i obserwujemy, że indeks zawiera swoją wartość w przedziale od 4000 do 6000 punktów

23 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu AllOrdinaries zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II osiąga wartości od 0,5 do 0,7. Należy przy tym zauważyć, że wartość 0,7 odpowiada entropii szeregu losowego (Tabela 1). W przypadku niższych wartości entropii mamy do czynienia ze wzrostem porządku. W tym przypadku, ze względu na bardzo niski rząd entropii będzie on wskazywał na obecność lokalnych trendów (o długości 2 w obszarze wybranego okna czasowego). Entropia nie rozróżnia kierunku trendu, natomiast wyraźnie wskazuję jego obecność, np. okres stabilnego wzrostu pomiędzy 2005 i 2006 został odzwierciedlony na wykresie entropii rzędu 2 jako jej wyraźny spadek do wartości 0,5. Podobne minimum obserwujemy w okresie spektakularnego krachu w 2009, kiedy to entropia ponownie osiągnęła poziom 0,5.W tych momentach mamy do czynienia z niezwykle dużą powtarzalnością jednego ze wzorców (wzrostu, bądź spadku). Należy zauważyć także, że nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które w zasadzie odpowiadają maksymalnej wartości entropii. W przypadku entropii permutacyjnej wyższych rzędów obserwujemy nie tylko wychylenia w kierunku większego porządku, ale także entropie wyższe niż dla szeregów symulowanych. Entropia rzędu IV w 2006 roku osiąga wartość 3, czyli znacznie większą niż wartość uzyskana w symulacjach. Punkt ten jest tym ciekawszy, że po osiągnięciu wysokiej wartości gwałtownie spada do poziomu 2, czyli wyraźnie poniżej wyników dla szeregu losowego. Punkt ten odpowiada pęknięciu lokalnej bańki cenowej w Należy zauważyć, że znacznie częstszą sytuacją jest występowanie wyraźnych minimów (17 przypadków wartości poniżej 2) przy jednym przypadku osiągającym wartość 3. Należy zatem wnioskować, że na giełdzie częściej występują pewne wzorce, aniżeli szum większy niż dla szeregu losowego. Podobnie zauważamy dla szeregu rzędu V, gdzie można wyróżnić 16 minimów o wartości entropii poniżej 2,7, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Minima te odpowiadają w 2002, 2004 i 2015 roku okresom stabilnego wzrostu, zaś w 2008 i 2009 wyraźnym spadkom wskaźnika

24 Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek 3.2.2) celem przebadania szeregu znormalizowanego. Należy zauważyć, że przekształcenie do postaci zwrotów powoduje usunięcie trendów, czyli stanowi rodzaj filtra górnoprzepustowego usuwającego wolnozmienne składowe. Na wykresie Rysunek można wyróżnić przedziały o szczególnie dużych wahaniach (w 2002, 2007, 2008 i 2010 roku), które odpowiadają dużym wahaniom wartości indeksu. Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wykazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 7 przypadków wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu, 16 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu entropii oraz 5 przypadków wartości poniżej 1,5 dla entropii III rządu. Szczególnie interesujący jest pik pod koniec 2010 roku. Odpowiada on bardzo niskim zwrotom, które oscylowały wtedy w przedziale (-0,01; 0,01) czyli stabilizacji cen. Zatem w tym przypadku niska wartość entropii pozwala wskazać na okresy uspokojenia rynku

25 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Wartość indeksu II 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 III i IV 3,5 3 2,5 2 1,5 1 V 3,5 3 2,5 2 1,5 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu Bovespa oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

26 Entropia permutacyjna Zwroty 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15 3,5 3 2,5 2 1,5 1 Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu Bovespa oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu Bovespa (Rysunek 3.2.3) można podzielić na cztery okresy: i. Do 2008 roku (kiedy obserwujemy jego maksimum przy wartości 73516,8 ii. iii. iv. punktów) Następnie mamy do czynienia z gwałtownym załamaniem indeksu, kiedy w niecałe pół roku traci ponad punktów i na koniec spadku przyjmuje wartość 29435,1 punktów W kolejnym etapie, w 2010 roku następuje wzrost wartości indeksu do prawie takiego poziomu jak przed krachem 71289,7 punktów Ostatni przedział zaczyna się w 2011 roku i obserwujemy, że indeks zawiera swoją wartość w przedziale od do punktów. III IV V

27 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu Bovespa zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II osiąga wartości od 0,5 do 0,7. Okres stabilnego wzrostu pomiędzy 2003 i 2004 został odzwierciedlony na wykresie entropii rzędu II jako jej wyraźny spadek do wartości 0,5. Należy zauważyć, że nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które odpowiadają maksymalnej wartości entropii. W przypadku entropii permutacyjnej wyższych rzędów obserwujemy nie tylko wychylenia w kierunku większego porządku, ale także entropie wyższe niż dla szeregów symulowanych. Entropia rzędu IV w 2003 roku osiąga wartość 2,83. Po osiągnięciu wysokiej wartości gwałtownie spada do poziomu 1,67, czyli wyraźnie poniżej wyników dla szeregu losowego. Punkt ten odpowiada okresowi stabilnego wzrostu. Należy zauważyć, że częstszą sytuacją jest występowanie wyraźnych minimów (8 przypadków wartości poniżej 2) przy jednym przypadku osiągającym wartość 2,98. Należy zatem wnioskować, że na giełdzie częściej występują pewne wzorce, aniżeli szum większy niż dla szeregu losowego. Podobnie zauważamy dla szeregu rzędu V, gdzie można wyróżnić 9 minimów o wartości entropii poniżej 2,5, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Minima te odpowiadają w 2003 i 2004 roku okresom stabilnego wzrostu, zaś w 20011, 2012 i 2013 gwałtownym spadkom indeksu. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek 3.2.4) celem przebadania szeregu znormalizowanego. Na wykresie Rysunek można wyróżnić dla entropii III rzędu dwa punkty szczególne, które pokrywają się z pikami entropii permutacyjnych indeksów dla rzędów III, IV i V (w 2003 i 2013 roku), odpowiadają one stabilnym wartościom indeksu. Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wykazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 13 przypadków wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu, 11 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu entropii oraz 3 przypadki wartości poniżej 1,5 dla entropii III rządu. Szczególnie interesujący jest pik w połowie 2003 roku. Odpowiada on bardzo niskim zwrotom, które w ciągu tygodnia, nie przekroczyły wartości 0,008 czyli chwilowej stabilizacji cen. W tym przypadku niska wartość entropii wskazuje na okresy uspokojenia rynku

28 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Wartość indeksu II 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 III i IV 3,5 3 2,5 2 1,5 1 V 3,4 3,2 3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu CAC40 oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

29 Entropia permutacyjna Zwroty 0,1 0,05 0-0,05-0,1 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu CAC40 oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu CAC40 (Rysunek 3.2.5) można podzielić na pięć okresów: i. Od 2000 roku (kiedy obserwujemy jego maksimum przy wartości 6922,3 punktów) ii. iii. do 2003 roku (kiedy osiąga on minimum przy wartości 2403 punktów) W kolejnym etapie, do 2007 roku następuje wzrost wartości indeksu do poziomu 6168,1 punktów III IV V Następnie mamy do czynienia z załamaniem indeksu, kiedy w 2 lata traci ponad 3000 punktów i na koniec spadku w 2009 roku przyjmuje wartość 2519,3 punktów iv. W ciągu dwóch kolejnych lat rośnie do poziomu 4000 punktów i w 2011 gwałtownie spada poniżej 3000 do poziomu 2781 punktów v. W dalszej kolejności przez 4 lata rośnie do wartości 5146,7 w 2015 roku

30 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu CAC40 zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II poza kilkoma przypadkami osiąga wartości od 0,6 do 0,7. Wyraźne spadki wartości entropii permutacyjnej poniżej 0,6 w 2006 oraz 2010 roku można powiązać z gwałtownymi spadkami wartości indeksu. W tych momentach mamy do czynienia z niezwykle dużą powtarzalnością jednego ze wzorców (wzrostu, bądź spadku). Należy zauważyć, że nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które odpowiadają maksymalnej wartości entropii. W przypadku entropii permutacyjnej wyższych rzędów obserwujemy wychylenia w kierunku większego porządku. Entropia rzędu IV spada poniżej 2 w 2011 i 2015 roku, wyraźnie poniżej wyników dla szeregu losowego. Występuje 7 przypadków wyraźnych spadków wartości entropii przy 3 przypadkach osiągających wartość bliską 3. Podobnie zauważamy dla szeregu rzędu V, gdzie można wyróżnić 6 minimów o wartości entropii poniżej 2,6, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Minima te odpowiadają w marcu 2011 i w 2013 roku okresom stabilnego wzrostu, zaś w 2001, w czerwcu 2011 i 2015 roku gwałtownym spadkom indeksu. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek 3.2.6). Na wykresie Rysunek można wyróżnić dla entropii III rzędu dwa punkty szczególne, które pokrywają się z pikami entropii dla rzędu IV (w 2004 i 2006 roku), odpowiadają one stabilnym wzrostom wartości indeksu. Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wykazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 8 przypadków wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu oraz 10 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu. Szczególnie interesujący jest pik w 2004 roku. Odpowiada on bardzo niskim zwrotom czyli chwilowej stabilizacji cen

31 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Wartość indeksu II 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 III i IV 3,5 3 2,5 2 1,5 1 V 3,5 3 2,5 2 1,5 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu DAX oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

32 Entropia permutacyjna Zwroty 0,1 0,05 0-0,05-0,1 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu DAX oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu DAX (Rysunek 3.2.7) można podzielić na pięć okresów: i. Do 2003 roku (kiedy osiąga on minimum przy wartości 2203 punktów) ii. iii. W kolejnym etapie, do 2007 roku następuje wzrost wartości indeksu do poziomu 7976,8 punktów Następnie mamy do czynienia z załamaniem indeksu, kiedy w 2 lata traci ponad 4000 punktów i na koniec spadku w 2009 roku przyjmuje wartość 3692 punktów iv. W ciągu dwóch kolejnych lat rośnie do poziomu 7387,5 punktów i w 2011 gwałtownie spada poniżej do poziomu 5072,3 punktów v. W dalszej kolejności przez 4 lata rośnie do maksymalnej wartości 12374,7 w 2015 roku III IV V

33 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu DAX zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II poza wyjątkami osiąga wartości od 0,6 do 0,7. Okres stabilnego wzrostu w 2005 roku został odzwierciedlony na wykresie entropii rzędu II jako jej wyraźny spadek do wartości 0,45. Minima poniżej wartości 0,6 związane z okresem stabilnym obserwujemy także w 2006 i 2013 roku, zaś te powiązane z gwałtownym spadkiem indeksu w 2002 i 2011 roku. W tych momentach mamy do czynienia z niezwykle dużą powtarzalnością jednego ze wzorców (wzrostu, bądź spadku). Należy zauważyć, że nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które odpowiadają maksymalnej wartości entropii. W przypadku entropii permutacyjnej wyższych rzędów obserwujemy wychylenia w kierunku większego porządku. Entropia rzędu IV spada wyraźnie poniżej wyników dla szeregu losowego 5 razy przy 2 przypadkach bliskich wartości 3. Podobnie zauważamy dla szeregu rzędu V, gdzie można wyróżnić 6 minimów o wartości entropii poniżej 2,5, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Dwa największe minima poniżej 2 w 2005 i 2013 odpowiadają stabilnemu wzrostowi cen. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek 3.2.8). Na wykresie Rysunek można wyróżnić dla entropii III rzędu trzy punkty szczególne, które pokrywają się z pikami entropii dla rzędu IV (w 2003, 2005 i 2015 roku). Te z 2005 i 2015 roku pokrywają się także z pikami entropii permutacyjnych indeksów. Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wykazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 16 przypadków wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu, 21 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu oraz 5 przypadków wartości poniżej 1,5 dla entropii III rzędu. Szczególnie interesujący jest pik w 2003 roku. Odpowiada on bardzo niskim zwrotom czyli chwilowej stabilizacji cen

34 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Warość indeksu II 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 III i IV 3,5 3 2,5 2 1,5 1 V 3,4 3,2 3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu Dow Jones oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

35 Entropia permutacyjna Zwroty 0,1 0,05 0-0,05-0,1 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 III IV V Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu Dow Jones oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu Dow Jones (Rysunek 3.2.9) można podzielić na cztery okresy: i. Do 2002 roku, kiedy wskaźnik spada do wartości 7286,3 punktów ii. W kolejnym etapie, do 2007 roku następuje wzrost wartości indeksu do poziomu 14000,4 punktów iii. Następnie mamy do czynienia z załamaniem indeksu, kiedy w 2 lata traci prawie 7500 punktów i na koniec spadku w 2009 roku przyjmuje wartość minimalną 6594,4 punktów iv. W dalszej kolejności, do roku 2015 rośnie do maksymalnej wartości 18312,4 punktów

36 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu Dow Jones zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II osiąga wartości od 0,5 do 0,7. Okres stabilnego wzrostu w 2007, 2010 oraz 2014 został odzwierciedlony na wykresie entropii rzędu II jako jej wyraźny spadek, w dwóch pierwszych przypadkach do wartości 0,5. Nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które odpowiadają maksymalnej wartości entropii. Entropia rzędu IV w 6 przypadkach osiąga wartości poniżej 2 przy 4 przypadkach osiągając wartość powyżej 2,9. Dla szeregu rzędu V obserwujemy 7 pików o wartości entropii poniżej 2,5, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Minima te, podobnie jak dla entropii II rzędu, odpowiadają okresom stabilnego wzrostu. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wskazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 24 przypadki wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu, 20 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu entropii oraz 1 przypadek wartości poniżej 1,5 dla entropii III rządu. Szczególnie interesujący jest pik w 2009 roku. W tym przypadku niska wartość entropii wskazuje na okres wyraźnego wzrostu cen na rynku

37 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Wartość indeksu II 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 III i IV 3,5 2, ,5 0,5 1 V 3,5 3 2,5 2 1,5 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu FTSE oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

38 Entropia permutacyjna Zwroty 0,08 0,06 0,04 0,02 0-0,02-0,04-0,06-0,08 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu FTSE oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu FTSE (Rysunek ) można podzielić na pięć okresów: i. Do 2003 roku, kiedy osiąga on minimum przy wartości 3847 punktów ii. W kolejnym etapie, do 2007 roku następuje wzrost wartości indeksu do poziomu 12106,7 punktów iii. Następnie mamy do czynienia z załamaniem indeksu, w 2 lata traci ponad 6000 punktów i na koniec spadku w 2009 roku przyjmuje wartość 5578,7 punktów iv. W ciągu dwóch kolejnych lat rośnie do poziomu 12074,3 punktów i w 2011 gwałtownie maleje do poziomu 9425,9 punktów v. W dalszej kolejności, do roku 2015 rośnie do maksymalnej wartości punktów i zaczyna powoli spadać III IV V

39 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu FTSE zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II poza jednym przypadkiem osiąga wartości od 0,5 do 0,7. Okres stabilnego wzrostu w 2006 roku został odzwierciedlony na wykresie entropii rzędu II jako jej wyraźny spadek do wartości 0,45. Minima sięgające wartości 0,5 związane z okresem stabilnym obserwujemy także w 2004 i 2005 roku, zaś te powiązane z gwałtownym wzrostem wartości indeksu w 2009 i W tych momentach mamy do czynienia z niezwykle dużą powtarzalnością jednego ze wzorców (wzrostu, bądź spadku). Nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które odpowiadają maksymalnej wartości entropii. W przypadku entropii permutacyjnej wyższych rzędów obserwujemy wychylenia w kierunku większego porządku. Entropia rzędu IV spada wyraźnie poniżej wyników dla szeregu losowego 12 razy, przy 4 przypadkach bliskich wartości 3. Podobnie zauważamy dla szeregu rzędu V, gdzie można wyróżnić 16 minimów o wartości entropii poniżej 2,5, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Największy pik poniżej 2 nastąpił pod koniec 2006 roku. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek ). Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wykazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 16 przypadków wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu, 19 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu oraz 5 przypadków wartości poniżej 1,5 dla entropii III rzędu. Szczególnie interesujący jest pik w 2003 roku. Odpowiada on bardzo niskim zwrotom czyli chwilowej stabilizacji cen

40 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Wartość indeksu II 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 III i IV 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 V 3,7 3,2 2,7 2,2 1,7 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu Hang Seng oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

41 Entropia permutacyjna Zwroty 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu Hang Seng oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu Hang Seng (Rysunek ) można podzielić na pięć okresów: i. Do 2003 roku, kiedy osiąga on minimum przy wartości 8435 punktów ii. W kolejnym etapie, do 2007 roku, pod koniec bardzo gwałtownie następuje wzrost wartości indeksu do poziomu maksymalnego 31352,6 punktów iii. Następnie mamy do czynienia z załamaniem indeksu, w 2 lata traci ponad punktów i na koniec spadku w 2009 roku przyjmuje wartość 11015,8 punktów iv. W ciągu dwóch kolejnych lat rośnie do poziomu 24500,6 punktów i w 2011 gwałtownie maleje do poziomu 16250,3 punktów v. W dalszej kolejności, do roku 2015 rośnie do wartości 28249,9 punktów i zaczyna następnie spadać III IV V

42 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu FTSE zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II poza jednym przypadkiem osiąga wartości od 0,5 do 0,7. Okres stabilnego wzrostu w 2005 i 2006 roku został odzwierciedlony na wykresie entropii rzędu II jako jej wyraźny spadek do wartości 0,54 i 0,57. Minimum o wartości 0,5 w 2010 roku oraz 0,57 w 2007 i 2012 można również pozwiązać ze wzrostem wskaźnika. W tych momentach mamy do czynienia z niezwykle dużą powtarzalnością jednego ze wzorców (wzrostu, bądź spadku). Nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które odpowiadają maksymalnej wartości entropii. W przypadku entropii permutacyjnej wyższych rzędów obserwujemy wychylenia w kierunku większego porządku. Entropia rzędu IV spada wyraźnie poniżej wyników dla szeregu losowego 7 razy, przy 4 przypadkach bliskich wartości 3. Podobnie zauważamy dla szeregu rzędu V, gdzie można wyróżnić 6 minimów o wartości entropii poniżej 2,5, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Największy pik poniżej 2 nastąpił w 2010 roku i odzwierciedla od wyraźny wzrost indeksu. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek ). Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wykazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 17 przypadków wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu oraz 17 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu. Szczególnie interesujący jest pik w 2003 roku. Odpowiada on bardzo niskim zwrotom czyli chwilowej stabilizacji cen

43 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Wartość indeksu II 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 III i IV 3,5 3 2,5 2 1,5 1 V 3,4 3,2 2,8 3 2,6 2,4 2,2 2 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu S&P500 oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

44 Entropia permutacyjna Zwroty 0,1 0,05 0-0,05-0,1 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu S&P500 oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu S&P500 (Rysunek ) można podzielić na cztery okresy: i. Do 2002 roku, kiedy wskaźnik spada do wartości 785,3 punktów ii. iii. W kolejnym etapie, do 2007 roku następuje wzrost wartości indeksu do poziomu 1520,3 punktów Następnie mamy do czynienia z załamaniem indeksu, kiedy w 2 lata traci prawie 1000 punktów i na koniec spadku w 2009 roku przyjmuje wartość 676,5 punktów iv. W dalszej kolejności, do roku 2015 rośnie do maksymalnej wartości 2119,2 punktów III IV V

45 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu Dow Jones zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II osiąga wartości od 0,54 do 0,7. Okres stabilnego wzrostu w 2007, 2010 został odzwierciedlony na wykresie entropii rzędu II jako jej wyraźny spadek do wartości 0,54. Nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które odpowiadają maksymalnej wartości entropii. Entropia rzędu IV w 5 przypadkach osiąga wartości poniżej 2, w 3 przypadkach osiągając wartość powyżej 2,9. Dla szeregu rzędu V obserwujemy 4 piki o wartości entropii poniżej 2,5, znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Minima te, podobnie jak dla entropii II rzędu, w 2007 i 2010 roku odpowiadają okresom stabilnego wzrostu, zaś w 2001 i 2014 roku gwałtownemu wzrostowi wartości indeksu. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek ). Piki, które możemy zaobserwować na Rysunek , mniej wyraźne, ale są również widoczne na wykresie Rysunek Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wskazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 14 przypadków wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu, 15 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu entropii oraz 4 przypadki wartości poniżej 1,5 dla entropii III rządu. Szczególnie wyraźny jest pik w 2009 roku. Odpowiada on niskim zwrotom cen, a niska wartość entropii wskazuje na okres stabilnego wzrostu cen na rynku

46 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Wartość indeksu II 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 III i IV 3 2,5 2 1,5 1 0,5 V 3,7 3,2 2,7 2,2 1,7 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu SENSEX oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

47 Entropia permtacyjna Zwroty 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu SENSEX oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu SENSEX (Rysunek ) można podzielić na cztery okresy: i. Do 2008 roku, gdy osiąga wartość 20686,9 punktów) ii. iii. iv. Następnie mamy do czynienia z gwałtownym załamaniem indeksu, kiedy w okresie roku traci on ponad punktów i na koniec spadku przyjmuje wartość 8778,2 punktów W kolejnym etapie, w 2009 roku następuje wyraźny wzrost wartości indeksu do poziomu punktów III IV V Ostatni przedział zaczyna się pod koniec 2010 roku i obserwujemy, że indeks zawiera swoją wartość w przedziale od do punktów

48 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu SENSEX zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II osiąga wartości od 0,45 do 0,7. Należy przy tym zauważyć, że wartość 0,7 odpowiada entropii szeregu losowego (Tabela 1). W przypadku niższych wartości entropii mamy do czynienia ze wzrostem porządku. Okres stabilny na początku 2003 roku, gdy indeks w ciągu miesiąca wachał się w przedziale , został odzwierciedlony na wykresie entropii rzędu 2 jako jej wyraźny spadek do wartości 0,45. Podobne minimum obserwujemy w 2005 roku, kiedy to entropia ponownie osiągnęła poziom 0,5. Należy zauważyć także, że nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które w zasadzie odpowiadają maksymalnej wartości entropii. Łatwo zauważyć, że znacznie częstszą sytuacją jest występowanie wyraźnych minimów - 15 przypadków wartości poniżej 2 dla rzędu IV. Należy zatem wnioskować, że na giełdzie częściej występują pewne wzorce, aniżeli szum większy niż dla szeregu losowego. Podobnie zauważamy dla szeregu rzędu V, gdzie można wyróżnić 12 minimów o wartości entropii poniżej 2,5, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Minima te odpowiadają w większości okresom stabilnego wzrostu, zaś w 2008 wyraźnemu spadkowi wskaźnika. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek ) celem przebadania szeregu znormalizowanego. Na wykresie Rysunek ciężko wyróżnić jakieś punkty szczególne, związane z zachowaniem indeksu, gdyż wahania wartości entropii są bardzo duże w całym badanym okresie. Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wykazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 24 przypadki wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu, 18 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu entropii oraz 2 przypadki wartości poniżej 1,5 dla entropii III rzędu

49 Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Entropia permutacyjna Wartość indeksu II 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 III i IV 3,5 3 2,5 2 1,5 1 V 3,4 3,2 3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 Rysunek Wykresy przebiegów indeksu WIG20 oraz entropii permutacyjnych II, III i IV oraz V rzędu dla okna czasowego t=

50 Entropia permutacyjna Zwroty 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0-0,02-0,04-0,06-0,08-0,1 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 III IV V Rysunek Wykresy przebiegu zwrotów indeksu WIG20 oraz entropii permutacyjnych III, IV i V rzędu dla okna czasowego t=30. Wykres indeksu WIG20 (Rysunek ) można podzielić na pięć okresów: i. Do 2001 roku, kiedy osiąga on minimum przy wartości 990,2 punktów ii. W kolejnym etapie, do 2007 roku, następuje wzrost wartości indeksu do poziomu maksymalnego 3917,9 punktów iii. Następnie mamy do czynienia z załamaniem indeksu, w 2 lata traci ponad 2500 punktów i na koniec spadku w 2009 roku przyjmuje wartość 1327,6 punktów iv. W ciągu dwóch kolejnych lat rośnie do poziomu 2917,3 punktów i w 2011 gwałtownie maleje do poziomu 2089,8 punktów v. W dalszej kolejności, do roku 2015 waha się w przedziale punktów i zaczyna następnie spadać

51 Wykresy ewolucji entropii rzędu II, III, IV i V otrzymane na podstawie szeregu czasowego indeksu WIG20 zostały przedstawione na Rysunek Szereg czasowy entropii permutacyjnej rzędu II osiąga wartości od 0,54 do 0,7. Minimum o wartości 0,54 w 2001 i w 2015 roku wiąże się z gwałtownym spadkiem wartości indeksu. W 2012 i 2016 roku wartość entropii 0,54, można pozwiązać z wyraźnym wzrostem wskaźnika. W tych momentach mamy do czynienia z niezwykle dużą powtarzalnością jednego ze wzorców (wzrostu, bądź spadku). Nie występują wartości większe niż uzyskane z symulacji, które odpowiadają maksymalnej wartości entropii. Entropia rzędu IV osiąga wartość mniejszą niż 2, wyraźnie poniżej wyników dla szeregu losowego 9 razy, przy 6 przypadkach powyżej wartości 2,9. Podobnie zauważamy dla szeregu rzędu V, gdzie można wyróżnić 7 minimów o wartości entropii poniżej 2,5, czyli znacznie odbiegających od otrzymanych dla szeregów generowanych losowo. Największe dwa piki poniżej 2,2 nastąpiły w 2004 i pod koniec 2015 roku i odzwierciedlają chwilową stabilizację indeksu. Badany szereg czasowy został także przetransformowany do postaci zwrotów (Rysunek ). Entropia permutacyjna rzędu II dla zwrotów nie wykazywała na istnienie szczególnych regularności i została pominięta w przedstawianym opracowaniu. Dla wyższych rzędów entropii można wskazać 27 przypadków wartości poniżej 3 dla entropii V rzędu, 25 przypadków wartości poniżej 2,5 dla IV rzędu oraz 8 przypadków poniżej 1,5 dla III rzędu. Szczególnie interesujący jest pik w 2015 roku. Odpowiada on bardzo niskim zwrotom czyli chwilowej stabilizacji cen

52 Na wykresach od Rysunek do zostały przedstawione wykresy przebiegu średniej odległości Manhattan i Mantegna dla szeregów entropii permutacyjnych badanych indeksów i szeregów entropii permutacyjnych zwrotów indeksów. Zostały także zamieszczone wykresy odchylenia standardowego dla szeregów entropii permutacyjnych badanych indeksów i szeregów entropii permutacyjnych zwrotów indeksów. Z poniższej analizy został wykluczony indeks S&P500 w celu zapobiegnięcia wpływu na wynik korelacji ze wskaźnikiem z tego samego kraju Dow Jones