System hilbertowski. Plan wykładu. hilbertowskiego. Definicja systemu hilbertowskiego. Podstawowe twierdzenie systemu. Podstawowe twierdzenie systemu

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "System hilbertowski. Plan wykładu. hilbertowskiego. Definicja systemu hilbertowskiego. Podstawowe twierdzenie systemu. Podstawowe twierdzenie systemu"

Leszek Piasecki
6 lat temu
Przeglądów:

1 Plan wykładu System hilbertowski Wykład 2 Definicja Definicja systemu Reguły y pochodne Twierdzenia dla innych operatorów Porównanie z systemem gentzenowskim Definicja systemu System H jest systemem dowodzenia złożonym z onym z trzech schematów w aksjomatów oraz jednej reguły y dowodzenia. Dla dowolnych formuł A, B, C następuj pujące formuły y sąs aksjomatami: Aksjomat 1 (A (B A)) Aksjomat 2 (A (B C)) ((A(A B) (A C)) Aksjomat 3 ( B A) (A B)) Reguła a dowodzenia jest nazywana regułą modus ponens (MP). Dla dowolnych formuł A i B: A A B B Aksjomat 2 (A (B C)) ((A(A B) (A C)) A A A A (A (A A C)) ((A(A A A) (A C)) (A (A A A)) ((A(A A A) (A A)) A1 (A (A A A)) Aksjomat 1 (A (B A)) A A A (A (A A A)) Modus ponens ((A(A A A) (A A))

2 A1 (A (A A A)) MP ((A(A A A) (A A)) Aksjomat 1 (A (A A)) A1 (A (A A A)) MP ((A(A A A) (A A)) A1 (A (A A)) Modus ponens (A A) Definicja założenia Niech U będzie b zbiorem formuł,, A zaś formułą łą. U A oznacza, że e formuły y ze zbioru U sąs założeniami w dowodzie formuły y A. Reguła a dedukcji Reguła a dedukcji U {A} B Jeśli A i U, to dowód U A może e zawierać element postaci U A i. Twierdzenie o dedukcji Reguła a dedukcji jest poprawną regułą dowodową. Dowód Indukcja ze względu na długod ugość dowodu U {A} B n=1 Formułę B udowodniono w jednym kroku, czyli: B U {A} lub B B jest elementem zbioru aksjomatów H

3 n=1 Formułę B udowodniono w jednym kroku, czyli: B U {A} lub B B jest elementem zbioru aksjomatów H B = A B U {A} TW U Założenie/aksjomat U B B U Aksjomat 1 U B (A B) Modus ponens n > 1 Ostatni krok dowodu jest: jednokrokowym wyprowadzeniem formuły czyli sprowadza się do przypadku n=1 albo wyprowadzeniem B z zastosowaniem MP wyprowadzenie B z zastosowaniem MP zatem istnieje formuła a C taka, że e dla i, j < n zachodzi: i-ty element dowodu jest postaci U {A} C j-ty element dowodu jest postaci U {A} C B Z założenia indukcyjnego mamy: U A C U A (C B) U A C U A (C B) Aksjomat 2 U (A (A (B (C C)) B)) ((A(A((A(A B) C) (A (A C)) B)) Reguła a kontrapozycji U B A MP U (A C) (A B) U (A B)

4 Reguła a przechodniości ci Reguła a wymiany poprzednika U B C U A C U A (B C) U B (A C) Reguła a podwójnego zaprzeczenia ReductioReductio ad absurdum U A U A U A fałsz U A Twierdzenia dla innych operatorów logicznych Twierdzenia dla innych operatorów logicznych Osłabianie A A B B A B (A B) (C A) (C B) Przemienność A B B A

Twierdzenia dla innych operatorów logicznych Poprawność i pełno ność systemu H Łączno czność A (B C) (A B) C 1. System hilbertowski H jest systemem poprawnym, czyli jeśli A to = A. 2.

5 Twierdzenia dla innych operatorów logicznych Poprawność i pełno ność systemu H Łączno czność A (B C) (A B) C 1. System hilbertowski H jest systemem poprawnym, czyli jeśli A to = A. 2. System hilbertowski H jest systemem pełnym, czyli jeśli = A to A. Niesprzeczność Zbiór r formuł nazywamy sprzecznym wtw gdy dla pewnej formuły y A zachodzi: U A oraz U A. Zbiór r U jest niesprzeczny wtw,, gdy nie jest sprzeczny. Słoń morski jest ssakiem. Foka jest ssakiem. Rekin jest ssakiem.... Kaszalot jest ssakiem. Kaszalot nie jest ssakiem.... Domena eukarioty Królestwo zwierzęta Typ strunowce Podtyp kręgowce Gromada ssaki Podgromada ssaki żyworodne Szczep łożyskowce Rząd walenie? Kaszalot (Physeter macrocephalus ) Podrząd zębowce Rodzina kaszalotowate Gatunek kaszalot Niesprzeczność Zbiór r formuł nazywamy sprzecznym wtw gdy dla pewnej formuły y A zachodzi: U A oraz U A. Zbiór r U jest niesprzeczny wtw,, gdy nie jest sprzeczny. Słoń morski jest ssakiem. Foka jest ssakiem. Rekin jest ssakiem.... Kaszalot jest ssakiem. Kaszalot nie jest ssakiem.... Teoria sprzeczna jest bezużyteczna.? Paragraf 22 (Joseph Heller) There was only one catch and that was Catch-22, which specified that a concern for one's safety in the face of dangers that were real and immediate was the process of a rational mind. Orr was crazy and could be grounded. All he had to do was ask; and as soon as he did, he would no longer be crazy and would have to fly more missions. Orr would be crazy to fly more missions and sane if he didn't, but if he was sane he had to fly them. If he flew them he was crazy and didn't have to; but if he didn't want to he was sane and had to. Yossarian was moved very deeply by the absolute simplicity of this clause of Catch-22 and let out a respectful whistle.

6 Niesprzeczność Zbiór r formuł nazywamy sprzecznym wtw gdy dla pewnej formuły y A zachodzi: U A oraz U A. Zbiór r U jest niesprzeczny wtw,, gdy nie jest sprzeczny. Zbiór r formuł jest sprzeczny wtw gdy U A dla dowolnej formuły y A. Aksjomaty reprezentujemy jako fakty aksjomat(a imp (_ A), 1). aksjomat((a imp (B imp C)) imp ((A imp B) imp (A imp C)), 2). aksjomat(((neg B) imp (neg A)) imp (A imp B), 3). Dowód d reprezentujemy jako listę elementów w postaci: wypr(a,, F),, gdzie A jest listą formuł tworzącą bieżą żący zbiór r założeń,, a F jest udowodnioną formułą łą. Pomocnicza procedura dowód: d: Zbiór r formuł jest niesprzeczny wtw gdy U A dla pewnej formuły y A. dowód(lista d(lista) ) :-: dowód(lista d(lista,, 0, []) Numer wiersza używany przy wypisywaniu Lista dotychczas udowodnionych formuł Sprawdzenie, czy A jest aksjomatem Sprawdzenie, czy formuła A powstała w wyniku MP Niedeterministyczne wyszukanie, czy formuła B imp A jest na liście Niedeterministyczne wyszukanie, czy formuła B jest na liście Sprawdzenie, czy formuła A powstała w wyniku dedukcji dowód([], d([], _, _). Form = wypr(_, A), aksjomat(a,n). wypisz_wiersz(nrw1, Form [ Aksjomat[ Aksjomat,, N]), d(reszta,, NrW1, [Form Udow[ Form Udow]). Sprawdzenie, czy A jest założeniem dowód([], d([], _, _). Form = wypr(założenia enia,, A), member(a,, Założenia). wypisz_wiersz(nrw1, Form [ Za[ Założenie ]), d(reszta,, NrW1, [Form Udow[ Form Udow]). Form = wypr(_, A), nth1(l1, Udow, wypr(_,b imp A)), nth1(l2, Udow, wypr(_,b)), MP1 is NrW1 L1, MP2 is NrW1 L2, wypisz_wiersz(nrw1, Form, [ MP[,, MP1,,,, MP2]), d(reszta,, NrW1 [Form Udow]). Form = wypr(założenia enia,, A imp B), nth1(l, Udow, wypr(poprzednie,, B)), member(a,, Poprzednie), delete(poprzednie,, A, Założenia), D is NrW L, wypisz_wiersz(nrw1, Form, [ Regu[ Reguła a dedukcji,, D]), d(reszta,, NrW1 [Form Udow]). Aksjomat 1 (A (B A)) A B { A} A ( B A) Niedeterministyczne wybranie ze zbioru Udow elementu zawierającego B Sprawdzenie, Usunięcie A czy z listy A znajduje zawierającej się w zbiorze założenia założeń A imp tego B elementu

7 Założenie { A} A Modus ponens { A} ( B A) { A} ( B A) modus ponens aksjomat 3 { A} ( B A) (A B)) { A} ( B A) modus ponens { A} ( B A) (A B)) aksjomat 3 Modus ponens { A} A B { A} ( B A) modus ponens { A} ( B A) (A B)) aksjomat 3 { A} A B modus ponens Reguła dedukcji A (A B) U {A} B Porównanie systemów gentzenowski zbiory formuł jeden aksjomat wiele reguł własność podformuł powstał aby uprości cić badania teoretyczne przez wprowadzenie notacji identycznej jak w tabelach semantycznych sekwent: : U V hilbertowski pojedyncze formuły kilka aksjomatów jedna reguła brak własnow asności podformuł tylko jedno twierdzenie udowadnia się z definicji w praktyce reguły pochodne automatyczna weryfikacja dowodów Zbiór formuł V jest wyprowadzalny ze zbioru U.

Podobne dokumenty

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język