Logika rachunek zdań
|
|
- Ludwik Czarnecki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze:
2 Wprowadzenie do Wykładu 2 Logiczna konsekwencja podstawowe problemy logiki Definicja 1 Logiczna konsekwencja Formuła ψ jest logiczna konsekwencja formuły φ wtw. gdy dla każdej interpretacji I zachodzi Podstawowe problemy logiki: jeżeli = I φ to = I ψ. (1) dowodzenie twierdzeń badanie logicznej konsekwencji: badanie spełnialności (SAT): weryfikacja tautologii: Dwa alternatywne podejścia: = H, Czy istnieje interpretacja I : = I Ψ Czy dla każdej interpretacji I : = I Ψ analiza możliwych interprtacji metoda zero-jedynkowa; problem eksplozja kombinatoryczna 1, wnioskowanie logiczne wywód za pomoca reguł logicznych zachowujacych logiczna konsekwencję. Notacja: jeżeli formuła H jest wywodliwa (wyprowadzalna) ze zbioru, to zapiszemu to jako: H Problemy konstrukcji systemów logicznych: H versus = H 1 Redukcja: drzewa decyzyjne, grafy OBDD, tablice semantyczne
3 Wprowadzenie do Wykładu 3 Metoda zero-jedynkowa: przykład: sprawdzanie tautologii Mamy (2 3 ) możliwych interpretacji. φ = ((p r) ( r)) ((p ) r). p r p r r (p r) ( r) (p ) r Φ Inna możliwość przekształcenia równoważne: φ (( p r) ( r)) ( (p ) r). φ (( p ) r) ( (p ) r). φ ( (p ) r) ( (p ) r). Kładac: ψ = ( (p ) r) widzimy, że analizowana formuła jest postaci: φ ψ ψ,
4 Wprowadzenie do Wykładu 4 Metoda zero-jedynkowa: przykład: badanie logicznej konsekwencji Kładac: (p ) (r s) (p r) ( s) φ = (p ) (r s) oraz ϕ = (p r) ( s), należy sprawdzić czy: φ = ϕ. (2) p r s p r s (p ) (r s) p r s (p r) ( s) Z analizy kolumn 7 i 10 wynika, że zachodzi relacja logicznej konsekwencji (brak logicznej równoważności 7, 10, 12 i 15).
5 Wprowadzenie do Wykładu 5 Twierdzenia o dedukcji Twierdzenie 1 Jeżeli 1, 2,... n sa formułami logicznymi (nazywanymi aksjomatami), formuła Ω (nazywana hipoteza lub konkluzja) jest ich logiczna konsekwencja wtw. gdy formuła n Ω jest tautologia. Twierdzenie 2 Jeżeli 1, 2,... n sa formułami logicznymi (nazywanymi aksjomatami), formuła Ω (nazywana hipoteza lub konkluzja) jest ich logiczna konsekwencja wtw. gdy formuła n Ω jest sprzeczna. Problem dowodzenia twierdzeń ma postać: majac dane aksjomaty 1, 2,... n uznane za prawdziwe wykazać prawdziwość hipotezy Ω. Tak więc należy wykazać, że: Metody dododzenia twierdzeń: n = Ω sprawdzanie wszystkich możliwych interpretacji (wada: duża złożoność obliczeniowa), dowód wprost korzystajac z aksjomatów i reguł dowodzenia generujemy nowe formuły aż do uzyskania formuły Ω, dowodzenie tautologii korzystajac z Tw.1 dowodzimy, że formuła n Ω jest tautologia, dowód nie wprost to dowód twierdzenia przeciwstawnego, równoważnego danemu. Polega na dowodzeniu twierdzenia postaci Ω ( n ). dowód przez sprowadzenie do sprzeczności; korzystaja z Tw.2, polega na wykazaniu sprzeczności formuły: n Ω.
6 Wprowadzenie do Wykładu 6 Metoda rezolucji 1. Problem: = H 2. Z twierdzenia o dedukcji (2) należy wykazać, że jest niespełnialny. H 3. Dokonać transformacji H do postaci CNF. 4. Wykorzystujac regułę rezolucji wyprowadzić zdanie puste - zawsze fałszywe. Przykład: 1. Problem: (p ) (r s) = (p r) ( s) 2. Z twierdzenia o dedukcji (2) należy wykazać, że [(p ) (r s)] [(p r) ( s)] jest niespełnialny. 3. Dokonać transformacji do postaci CNF. Mamy: { p, r s, p r,, s} 4. Wykorzystujac regułę rezolucji wyprowadzić zdanie puste - zawsze fałszywe.
7 Wprowadzenie do Wykładu 7 Metoda rezolucji dualnej 1. Problem: = H 2. Z twierdzenia o dedukcji (1) należy wykazać, że jest tautologia. H 3. Dokonać transformacji H do postaci DNF. 4. Wykorzystujac regułę rezolucji dualnej wyprowadzić zdanie puste - zawsze zawsze prawdziwe. Przykład: 1. Problem: (p ) (r s) = (p r) ( s) 2. Z twierdzenia o dedukcji (1) należy wykazać, że jest tautologia. [(p ) (r s)] [(p r) ( s)] 3. Dokonać transformacji do postaci DNF. Mamy: {p, r s, p r,, s} 4. Wykorzystujac regułę rezolucji dualnej wyprowadzić zdanie puste - zawsze prawdziwe.
8 Wprowadzenie do Wykładu 8 Metoda tablic semantycznych Przypomnienie: atom, literał, literał pozytywny, literał negatywny, para literałów komplementarnych {p, p}. Formuła p p jest zawsze fałszywa. Formuła p p jest zawsze prawdziwa. Założenia metody tablic semantycznych: badamy spełnialność formuły, punktem startowym jest formuła w oryginalnej postaci! (nie sprowadzamy do CNF/DNF), analizujac strukturę formuły systematycznie szukamy modelu jego brak oznacza niespełnialność, do analizy tworzymy drzewo struktury (lub tablicę): dla formuł koniunktywnych tworzymy (liniowo) zbiory literałów, dla formuł dysjunktywnych tworzymy rozgałęzienia, wystapienie pary literałów komplementarnych zamyka dana gałaź (falsyfikacja), brak takiej pary dostarcza modelu (spełnialność), zamknięcie każdej gałęzi falsyfikacja oznacza brak modelu (niespełnialność formuły wyjściowej). Przykład 1: Przykład 2: p ( p) (p ) ( p )
9 Wprowadzenie do Wykładu 9 Przykłady Przykład 1: p ( p) p, p p, p, p Przykład 2: (p ) ( p ) p, p p, p, p, p,, p,
10 Wprowadzenie do Wykładu 10 Algorytm tablic semantycznych Reguły przekształceń dla formuł koniunktywnych (typu α): α α 1 α 2 A A A 1 A 2 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 2 A 1 Reguły przekształceń dla formuł dysjunktywnych (typu β): β β 1 β 2 B 1 B 2 B 1 B 2 (B 1 B 2 ) B 1 B 2 B 1 B 2 ) B 1 B 2 (B 1 B 2 ) (B 1 B 2 ) (B 2 B 1 ) Algorytm tworzenia drzewa: Korzeń: formuła wyjściowa, U (dla liścia) zawiera same literały: p, p U stop/falsyfikacja; else stop/zdefiniowano model, Dla formuły koniunktywnej α U: U = (U {α}) {α 1, α 2 }
11 Wprowadzenie do Wykładu 11 Dla formuły dysjunktywnej β U mamy rozgałęzienie: U = (U {β}) {β 1 } U = (U {β}) {β 2 } Przykład: 1. Problem: (p ) (r s) = (p r) ( s) 2. Z twierdzenia o dedukcji (2) należy wykazać, że [(p ) (r s)] [(p r) ( s)] jest niespełnialny. 3. Dokonać transformacji do postaci CNF. Mamy: { p, r s, p r,, s} 4. Wykorzystujac regułę rezolucji wyprowadzić zdanie puste - zawsze fałszywe. Problem: wykazać, że poniższa fromuła jest niespełnialna: [(p ) (r s)] [(p r) ( s)]
12 Wprowadzenie do Wykładu 12 System Gentzena Definicja 2 System Gentzenowski jest systemem dowodzenia, w którym aksjomatami sa zbiory formuł zawierajace pary literałów komplementarnych (zdania prawdziwe), oraz dostępne sa nastepujace reguły (schematy) dowodzenia: U {α 1, α 2 } U 1 {α} U 1 {β 1 }, U 2 {β 2 } U 1 U 2 {β} α 1 α 2 α A 1 A 1 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) (A 2 A 1 ) (A 1 A 2 ) β 1 β 2 β B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 (B 1 B 2 ) B 1 B 2 (B 1 B 2 ) B 1 B 2 B 2 B 1 B 1 B 2 Zbiór formuł postaci {α 1, α 2 } stanowi dysjunkcję.
13 Wprowadzenie do Wykładu 13 Dowody konstruktywne: Ważniejsze reguły wnioskowania (Fitch) AND Introduction (AI): AND Elimination (AE): OR Introduction (OI): φ 1,..., φ n φ 1... φ n φ 1... φ n φ i φ i OR Elimination (OE): φ 1... φ n φ 1... φ n, φ 1 ψ,... φ n ψ ψ Negation Introduction (NI): Negation Elimination (NE): Implication Introduction (II): Implication Elimination (IE): φ ψ, φ ψ φ φ φ φ ψ φ ψ φ, φ ψ ψ Euivalence Introduction (EI), Euivalence Elimination (EE)
14 Wprowadzenie do Wykładu 14 Ewaluacja formuły metoda zero-jedynkowa Badamy spełnialność formuły: h (p ) (r s) RuleNo p r s h (3)
15 Wprowadzenie do Wykładu 15 Drzewo binarne uniwersalne narzędzie analizy formuł p r r r r s s s s s s s s h
16 Wprowadzenie do Wykładu 16 Drzewo zredukowane p r r s s s s h
17 Wprowadzenie do Wykładu 17 Ordered Binary Decision Diagrams (OBDD) Notacja: p h 0, h 1 oznacza: if p then h 0 else h 1. Definicja 3 Reguła ekspansji Shannona φ p φ{p/1}, φ{p/0}, Przykład: p p, 0, p p 1, Redukcja formuły p p 0, 1. φ = (p ) (r s). φ p φ 1, φ 0 (4) φ 1 φ 11, 0 (5) φ 0 0, φ 00 (6) φ 11 r φ 111, φ 110 (7) φ 00 r φ 001, φ 000 (8) φ 111 s 1, 0 (9) φ 110 s 0, 1 (10) φ 001 s 1, 0 (11) φ 000 s 0, 1 (12) (13)
18 Wprowadzenie do Wykładu 18 Redukcja po wykryciu powtarzajacych się drzew (podgrafów) φ p φ 1, φ 0 (14) φ 1 φ 11, 0 (15) φ 0 0, φ 00 (16) φ 11 r φ 111, φ 110 (17) φ 00 r φ 001, φ 000 (18) φ 111 s 1, 0 (19) φ 110 s 0, 1 (20) φ 001 s 1, 0 (21) φ 000 s 0, 1 (22) (23) przyjmuje postać: φ p φ 1, φ 0 (24) φ 1 φ 11, 0 (25) φ 0 0, φ 11 (26) φ 11 r φ 111, φ 110 (27) φ 111 s 1, 0 (28) φ 110 s 0, 1 (29) (30)
19 Wprowadzenie do Wykładu 19 Zredukowany OBDD p r s s
20 Wprowadzenie do Wykładu 20 Metody redukcji Metoda redukcji: sklejanie Metoda redukcji: eliminacja nieistotnego węzła p p
21 Wprowadzenie do Wykładu 21 Literatura 1. Mordechai Ben-Ari: Mathematical Logic for Computer Science (Logika matematyczna w informatyce). Springer-Verlag, London, 2001 (WN-T, Warszawa, 2005). 2. Kenneth A. Ross i Charles R. B. Wright: Discrete Mathematics (Matematyka dyskretna). WN PWN, Antoni Ligęza: Logical Foundations for Rule-Based Systems. Springer-Verlag, Berlin, Wydawnictwo AGH, Kraków, Michael R. Genesereth, Nils J. Nilsson: Logical Foundations of Artificial Intelligence. Morgan Kaufmann Publishers, Inc., Los Altos, California, Zbigniew Huzar: Elementy logiki dla informatyków. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, Stuart Russell, Peter Norvig: Artificial Intelligence. A Modern Approach. Pearson, Marek Wójcik: Zasada rezolucji. Metoda automatycznego wnioskowania. PWN, Warszawa, C. L. Chang and R. C. T. Lee: Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. Academic Press, Ronald J. Brachman and Hector J. Levesue: Knowledge Representation and Reasoning. Morgan Kaufmann, Frank van Harmelen, Vladimir Lifschitz, Bruce Porter (Eds.): Handbook of Knowledge Representation. Elsevier B.V., Amsterdam,
22 Wprowadzenie do Wykładu 22 Zasoby sieciowe. Kurs w Stanford Kurs logiki on-line Stanford: 1. Wikipedia-pl: matematyczna 2. Wikipedia-en: 3. AI-Lab-Prolog: prolog_lab 4. EIS-KRR: krr:start 5. ALI-home: home.agh.edu.pl/~ligeza 6. David Poole and Allen Mackworth: Artificial Intelligence. Foundations of Computational Agents Ulf Nilsson and Jan Maluszynski: Logic, Programming and Prolog.
Podstawy Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Wykładu 1 Podstawy Sztucznej Inteligencji Podstawy Sztucznej Inteligencji Materiały do wykładu dla Studentów Informatyki Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Wykładu 1. Logika. Logika. Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH.
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoLogika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoLogika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoMetody Inżynierii Wiedzy
Metody Inżynierii Wiedzy Logiczne podstawy inżynierii wiedzy Antoni Ligęza Katedra Automatyki Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Kraków 2010 A.Ligęza
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoLogika Rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentek i Studentów Informatyki Wydziału EAIiIB AGH Antoni Ligęza : 2016 Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Wykładu 1. Logika. Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentek i Studentów Informatyki Wydziału EAIiIB AGH.
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentek i Studentów Informatyki Wydziału EAIiIB AGH Antoni Ligęza : 2016 Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza http://ai.ia.agh.edu.pl/wiki/
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowo1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoLista 6 Problemy NP-zupełne
1 Wprowadzenie Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Teoretyczne Podstawy Informatyki Lista 6 Problemy NP-zupełne Problem abstrakcyjny Q jest to relacja dwuargumentowa
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoInstytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoAlfred N. Whitehead
Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoInstytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoLogika rachunek kwantyfikatorów
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek kwantyfikatorów Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława
Bardziej szczegółowoSystemy ekspertowe. Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań. Joanna Kołodziejczyk. Joanna Kołodziejczyk Systemy ekspertowe / 41
Systemy ekspertowe Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Joanna Kołodziejczyk 2016 Joanna Kołodziejczyk Systemy ekspertowe 2016 1 / 41 Reprezentowanie wiedzy Plan wykładu 1 Reprezentowanie wiedzy 2 Logika a reprezentacji
Bardziej szczegółowoCzyli o budowie drzew semantycznych.
Czyli o budowie drzew semantycznych ZAŁÓŻMY Jednego z Was porwał okrutny PRL. W ramach okupu żąda, by obecni na sali udowodnili, że podane przez nich formuły są zawsze prawdziwe. Zaczynają zupełnie niewinnie
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowoLogika rachunek predykatów I rzędu
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek predykatów I rzędu Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentek i Studentów Informatyki Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoReprezentowanie wiedzy Logika a reprezentacji wiedzy Rachunek zdań Literatura. Systemy ekspertowe. Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań
Systemy ekspertowe Wykład 2 Reprezentacja wiedzy Rachunek zdań Joanna Kołodziejczyk 18 marca 2014 Plan wykładu 1 Reprezentowanie wiedzy 2 Logika a reprezentacji wiedzy 3 Rachunek zdań 4 Literatura Kodowanie
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 7 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny: Dr hab. prof.
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoModele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda
Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja
Bardziej szczegółowo4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Bardziej szczegółowoAdam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoMetalogika (11) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (11) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (11) Uniwersytet Opolski 1 / 80 Wstęp Plan wykładu
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Przypomnienia i kilka definicji
LOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Pokażemy teraz działanie pewnej metody dowodowej, mającej istotne zastosowania m.in. w automatycznym dowodzeniu
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Bardziej szczegółowoJęzyk rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi
Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Logika matematyczna Mathematical Logic Poziom przedmiotu: II
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoAutomatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji
Automatyczne dowodzenie twierdzeń metodą rezolucji 16 kwietnia 2010 Rezolucja zdaniowa Formuły rachunku zdań: zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych,,,, i nawiasów Wartości logiczne:
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny dr Antoni
Bardziej szczegółowoINSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ POLITECHNIKI POZNAŃSKIEJ. Adam Meissner. Elementy logik deskrypcyjych
INSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ POLITECHNIKI POZNAŃSKIEJ Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy logik deskrypcyjych Literatura [1] Baader F.
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych
Elementy logiki: Algebra Boole a i układy logiczne 1 Elementy logiki dla informatyków Wykład III Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a
Bardziej szczegółowoWykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33
Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne
Bardziej szczegółowoAdam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Problematyka sztucznej inteligencji
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowo