MODELOWANIE ROZMYTE Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU OPTYMALIZACJI ROJEM CZĄSTEK FUZZY MODELING WITH THE PARTICLE SWARM OPTIMIZATION ALGORITHM

Transkrypt

1 DOMINIKA FALKIEWICZ *, SZYMON ŁUKASIK ** MODELOWANIE ROZMYTE Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU OPTYMALIZACJI ROJEM CZĄSTEK FUZZY MODELING WITH THE PARTICLE SWARM OPTIMIZATION ALGORITHM Streszczene Abstract Głównym celem nnejszego artykułu jest opracowane algorytmu klasteryzacyjnego opartego o nsprowany bologczne algorytm optymalzacj rojem cząstek dedykowanego dla zagadnena modelowana rozmytego. W pracy omówona została dea heurystycznego algorytmu rojowego, z uwzględnenem wybranych jego modyfkacj. Zawarte zostały wynk eksperymentalnej ewaluacj, zarówno wybranej technk optymalzacj, jak opracowanej z jej uwzględnenem metody modelowana rozmytego, w odnesenu do stnejącego już algorytmu k-średnch oraz realzacj procesu sterowana rozmytego. Słowa kluczowe: modelowane rozmyte, eksploracja danych, klasteryzacja, algorytm optymalzacj rojem cząstek The man goal of ths paper s a descrpton of clusterng algorthm based on the partcle swarm optmzaton algorthm, nspred on socal behavor of anmals and ts applcaton n fuzzy modelng. In the paper the dea of the heurstc swarm-based algorthm was presented, ncludng a few modfcatons. Moreover, the results of the expermental evaluaton were shown, both a selected optmzaton technque and ts synthess wth a fuzzy modelng method referrng to the k-means algorthm and the fuzzy control process. Keywords: fuzzy modelng, exploratory data analyss, cluster analyss, partcle swarm optmzaton algorthm * Mgr nż. Domnka Falkewcz, Katedra Automatyk Technk Informacyjnych, Wydzał Inżyner Elektrycznej Komputerowej, Poltechnka Krakowska oraz Studa Doktorancke, Instytut Badań Systemowych, Polska Akadema Nauk. ** Dr nż. Szymon Łukask, Katedra Automatyk Technk Informacyjnych, Wydzał Inżyner Elektrycznej Komputerowej, Poltechnka Krakowska oraz Instytut Badań Systemowych, Polska Akadema Nauk.

2 42 1. Wstęp Rozwój nowoczesnych technolog sprawł, że ludze są dzsaj zasypywan ogromną loścą danych z różnorakch dzedzn. Ich eksploracja, rozumana równeż jako analza danych, polega na umejętnym połączenu technk: statystycznych, sztucznej ntelgencj oblczeń wysokej wydajnośc oraz pozwala na wydobyce z rozpatrywanego zboru tych nformacj, które można uznać za cenne użyteczne, tj. ważnych relacj, wzorców trendów. Jednym z narzędz analzy danych jest klasteryzacja, określana równeż manem analzy skupeń, która ma na celu wykryce wewnętrznej struktury zboru danych wygenerowane współzależnośc mędzy jej elementam. Zadanem procesu klasteryzacj jest węc podzał zboru danych na określoną lczbę podgrup, wewnątrz których elementy są w jak najwększym stopnu podobne, natomast w zestawenu z elementam z nnych podzborów jak najbardzej zróżncowane [11]. Autorzy podejmują sę próby rozwązana omawanego problemu w aspekce zagadnena modelowana rozmytego z użycem algorytmu klasteryzacyjnego opartego na optymalzacj rojem cząstek [3, 6, 12, 15] (ang. Partce Swarm Optmzaton PSO), która stanow jedną z najnowocześnejszych heurystycznych metod optymalzacj [18]. Celem nnejszego artykułu jest omówene de algorytmu PSO uwzględnające jego wybrane modyfkacje oraz przedstawene zamplementowanego w środowsku MATLAB algorytmu klasteryzacyjnego, który realzuje syntezę dwóch nnowacyjnych technk: ntelgencj rojowej modelowana rozmytego, w jeden efektywny system. W artykule zawarto wynk eksperymentalnej ewaluacj zarówno wybranej technk optymalzacj, jak opracowanej z jej uwzględnenem metody modelowana, także w odnesenu do stnejących procedur klasycznych (algorytm k-średnch) oraz wybranych danych testowych. Istneje wele wyspecjalzowanych metod służących do efektywnego rozwązywana złożonych zadań optymalzacyjnych. Omawany w nnejszym artykule problem klasteryzacj był już z powodzenem rozwązywany z użycem takch algorytmów heurystycznych, jak: algorytmy genetyczne, ewolucyjne, sztuczne sec neuronowe czy algorytmy mrówkowe [3, 11]. PSO ma wele podobeństw z wymenonym metodam oblczenowym nsprowanym systemam bologcznym, które coraz częścej określane są manem sztucznego życa (ang. artfcal lfe), jednak zawera nny mechanzm przepływu nformacj, przez co częstokroć jest w stane osągnąć lepsze rezultaty. Zastosowane tej metody do modelowana rozmytego rozważono dotychczas w newelkej lczbe opracowań [19, 20], stąd też ambcją autorów jest stworzene punktu wyjśca dla dalszych badań w tym zakrese. 2. Algorytm optymalzacj rojem cząstek 2.1. Podstawy funkcjonowana Algorytm optymalzacj rojem cząstek jest nnowacyjną metodą w przestrzen ntelgencj oblczenowej nsprowaną rojam organzmów żywych [3, 16]. PSO opera sę na autonomcznych współpracujących ze sobą agentach. Każdy z tych agentów nazywany jest cząstką, która porusza sę w przestrzen poszukwań w celu znalezena optymalnej w sense rozważanej funkcj celu pozycj. W probleme klasteryzacj algorytm ten może realzować podzał

3 zboru danych na możlwe spójne podzbory, w których różnorodność obserwacj wewnątrz grup (ang. wthn-cluster varaton WCV) jest mnmalzowana, a różnorodność względem obserwacj spoza grupy (ang. between-cluster varaton BCV) maksymalzowana. Rozważmy d-wymarową przestrzeń, w której cząstka roju o ndekse może być wyrażona przez d-wymarowy wektor położena x = (x 1, x 2,..., x d ), co w ujęcu klasteryzacj stanow reprezentację położena środka klastra. Prędkość cząstk jest oznaczona przez wektor v = (v 1, v 2,..., v d ). Dodatkowo wyróżna sę najlepszą znalezoną przez cząstkę pozycję jako x,best = (x 1, x 2,..., x d ) oraz najlepszą pozycję znalezoną przez wszystke cząstk w roju: x g,best = (x g1, x g2,..., x gd ) [12]. Algorytm rozpoczyna swoje dzałane od zancjowana losowo położeń cząstek (potencjalnych rozwązań). W kolejnych krokach realzuje poszukwane optmum poprzez uaktualnane ch konfguracj. Przedstawa to następujące równane aktualzacj prędkośc: 43 t v + 1 t t t t t = v + cr( x x ) + cr( x x ) 11, best 2 2 g, best (1) gdze: r 1, r 2 c 1, c 2 lczby losowe z rozkładu jednostajnego w przedzale [0, 1], mające na celu zapewnene różnorodnośc roju, stałe współczynnk, określające wpływ poszczególnych składnków aktualzacj prędkośc, adekwatne nazwane parametram: kogntywnym (c 1 ) socjalnym (c 2 ). Położene -tej cząstk jest uaktualnane z użycem wcześnej zdefnowanego wektora prędkośc w następujący sposób: t t x = x + v + 1 t+ 1 (2) Jakość poszczególnego rozwązana określana jest za pomocą funkcj ewaluacj oblczanej w trakce poszczególnych teracj. W nnejszym artykule, z welu dostępnych wskaźnków jakośc klasteryzacj, wybrano ndeks Davesa-Bouldna, który można zdefnować jako funkcję określającą stosunek rozproszena wewnątrz klastrów do rozproszena pomędzy różnym klastram [2]. Indeks DB przyjmuje wartośc w przedzale [0, 1]. Poneważ pożądane jest znalezene klastrów o możlwe małym rozproszenu wewnętrznym leżących możlwe daleko od sebe, to celem klasteryzacj pownno być mnmalzowane tego ndeksu [16]. Istneją lczne modyfkacje algorytmu PSO, które poprawają jego zbeżność do globalnego optmum dotyczą główne alternatywnych metod oblczana nowego położena prędkośc cząstk. Autorzy zastosowal modyfkację perwotnej wersj algorytmu, wprowadzając do równana uaktualnającego prędkość -tej współczynnk nercj w, zgodne z równanem: t v + 1 t t t t t = wv + c r( x x ) + c r ( x x ) 11, best 2 2 g, best (3) w t w w t w w= w l t + start 1 t 1 start end start end (4)

4 44 gdze w start, w end oznaczają krańcowe ustalone wartośc przedzału, w którym następuje lnowy spadek nercj, l = 1.,..., t. Lnowa redukcja współczynnka w pozwala na balansowane pomędzy globalną (wększa wartość współczynnka w start ) a lokalną (mnejsza wartość współczynnka w end ) eksploracją przeprowadzaną przez populację cząstek. 3. Modelowane rozmyte Klasyczna teora mnogośc ne zapewna odpowednch narzędz do analzy złożonych systemów, w których cele oraz zależnośc wejśca-wyjśca są często neprecyzyjne określone, a co za tym dze, trudne do loścowego ujęca. Stąd też nastąpł znaczny postęp w zakrese zastosowań metod opartych na logce rozmytej (ang. fuzzy logc). Jej technk bazują bowem na wnoskowanu zblżonym do rozumowana ludzkego, w zwązku z czym mają szeroke spektrum praktycznych zastosowań, zwłaszcza w zakrese zagadneń modelowana sterowana Klasteryzacja w modelowanu rozmytym Perwotna dea tworzena model rozmytych na baze wedzy eksperckej, dotyczącej danego systemu wykazała wele nedoskonałośc. Stąd też opracowano metody tworzena samostrojących sę model rozmytych, co realzowane jest wyłączne na podstawe dostępnych danych pomarowych. Strojene modelu wąże sę tu z określenem takch parametrów funkcj przynależnośc wejść wyjść, aby zmnmalzować błąd modelu względem modelowanego systemu (w sense np. błędu średnokwadratowego), określany na podstawe dostępnych danych uczących. Jedną z metod optymalzacj parametrów modelu rozmytego stanową metody klasteryzacyjne. Wykorzystywany jest w nch fakt automatycznego wykrywana pewnych grup punktów pomarowych charakterystycznych wzorców zachowana sę układu, które mogą być reprezentowane przez jedną regułę lub ch spójny zbór [14]. Jedną z najpopularnejszych najczęścej stosowanych metod klasteryzacyjnych używanych w modelowanu rozmytym jest klasteryzacja subtraktywna [4] (ang. subtractve clusterng). Z założena metoda ta próbuje wybrać spośród n punktów pomarowych k potencjalnych środków klastrów. W tym celu defnuje sę następującą marę gęstośc D dla każdego punktu x : D = n, j= 1 e 4 ( x x j 2 ) r 2 a (5) gdze r a oznacza dodatną stałą określająca zasęg sąsedztwa dla pojedynczego elementu. Perwszym środkem klastra (x k ) zostaje ten punkt, dla którego (5) osąga najwększą 1 wartość D. Następne welkość ta oblczana jest ponowne dla każdego punktu x, k, k 1 1 zgodne ze wzorem: D = D D e k1 4 ( x x k r 1 2 ) a (6)

5 Stała r a wpływa tu na spadek wartośc (6), tj. dla punktów znajdujących sę najblżej perwszego środka x mara gęstośc D znacząco sę redukuje. Po zmane wartośc D kolejnym k 1 środkem klastra zostaje ten punkt, dla którego welkość ta jest najwększa. Cały proces powtarzany jest do momentu aż osągnęta zostane zadana lczba klastrów k [8]. Idea stosowana analzy skupeń przy tworzenu sterownka rozmytego opera sę na obserwacj, że dane pomarowe rozpatrywanego systemu grupują sę zwykle w charakterystycznych punktach w obszary, tzw. klastry. Dla każdego klastra można ustalć regułę determnującą wyjśce w zakrese tego właśne obszaru. Innym słowy, można połączyć środek każdego klastra regułą rozmytą z punktam, które przynależą do omawanego klastra. Realzacja procesu modelowana rozmytego odbywa sę węc na podstawe zboru wejść u 1,..., u wyjść y,..., y n rozpatrywanego systemu. Aby go przeprowadzć z użycem algorytmu klasteryzacyjnego, należy wygenerować za pomocą opsanej powyżej klasteryzacj x 1 ny subtraktywnej zbór {x 1,..., x k } środków k-klastrów, gdze: 45 x = ( u, u,..., u, y, y,..., y ) k 1 k 2 k n x k 1 k 2 k n y (7) Reguły wnoskowana tworzone są według modelu Takag-Sugeno. Ogólna postać reguły rozmytej przedstawa sę następująco: gdze: x X zmenna wejścowa, y Y zmenna wyjścowa, A k zbór rozmyty w obszarze rozważań X, g k (x) lnowa funkcja zmennej wejścowej x. r k : f x s A k then y s g k (x) (8) Uwzględnając fakt, ż ekstrakcja reguł odbywa sę na podstawe danych pomarowych rozpatrywanego systemu, każdy wektor u k wygenerowany w równanu (7) tworzy -tą regułę wnoskowana, która ma formę [14]: gdze A, B są dodatkowym parametram. f u s μ k then y = Au + B (9) Funkcja przynależnośc wejść dla -tej reguły ma w tym przypadku postać: 4 u u k 2 r 2 µ a ( u) = e (10) gdze r a oznacza współczynnk generalzacj dla utworzonego zboru reguł. Zasadnczo, wartość funkcj przynależnośc określa stopeń blskośc zmennej wejścowej względem rozważanego środka klastra. Konkluzja utworzonej reguły ne zawera zboru rozmytego, ale funkcję, która przyjmuje postać funkcj lnowej zmennych wejścowych. W rezultace wektor wyjśca modelowanego systemu dany jest jako:

6 46 y k = = 1 k µ ( u) y = 1 µ ( u) k (11) Węcej nformacj na temat zastosowana procedury klasteryzacj subtraktywnej w modelowanu rozmytym można znaleźć w pracy [5]. Autorzy nnejszego artykułu proponują, by zakładaną koncepcję zrealzować z użycem algorytmu PSO, który ma służyć lokalzacj środków klastrów. Realzacja tego podejśca wraz z weryfkacją jego skutecznośc zostane omówona w dalszej częśc artykułu Modelowane rozmyte z wykorzystanem algorytmu optymalzacj rojem cząstek Rozwązane procesu klasteryzacj na podstawe algorytmu optymalzacj rojem cząstek (przy założenu, że pojedynczym rozwązanem x t w teracj t są współrzędne środków klastrów) uzyskano na podstawe procedury: for każda cząstka Zancjuj cząstkę (położene początkowe, prędkość) end do for każda cząstka Oblcz wartość ndeksu DB Jeżel obecna wartość ndeksu DB(x t ) jest mnejsza nż znalezona dotychczas DB(x t ), wtedy ustaw x t jako x t,best,best end Wyberz cząstkę z całej populacj z najnższą wartoścą ndeksu DB przypsz jej x t g,best for każda cząstka Oblcz prędkość każdej cząstk roju Uaktualnj położene każdej cząstk roju end whle kryterum zatrzymana ne zostało osągnęte Rys. 1. Procedura rozwązana procesu klasteryzacj na podstawe algorytmu PSO Fg. 1. Procedure for clusterzaton process soluton based on PSO algorthm Koszt rozwązana jest określany każdorazowo przez wartość ndeksu Davesa-Bouldna. Proces poszukwana optmum globalnego kończy sę z chwlą, gdy algorytm wykona lczbę teracj ustaloną a pror przez użytkownka. Uzyskane w ten sposób środk klastrów posłużyły jako prototypy reguł układu modelowana rozmytego w podobny sposób, jak opsany w rozdzale 3.1. Podczas badań przyjęto wartość współczynnka generalzacj określoną według wzoru r a = 1/lczba_klastrow. Wynkało to z ntencj automatycznego doboru jego wartośc zostało pozytywne zweryfkowane w toku przeprowadzonych eksperymentów oblczenowych.

7 4. Wynk badań eksperymentalnych Wybór najbardzej efektywnego warantu algorytmu PSO Na wstępe przeprowadzono badana dotyczące skutecznośc wybranych warantów algorytmu PSO w probleme klasteryzacj, zgodne z przedstawoną w rozdzale 2.1. koncepcją. Wnoskowane o efektywnośc poszczególnych modyfkacj PSO przeprowadzono, analzując zbór rozwązań uzyskanych po 20 uruchomenach zamplementowanego algorytmu. Każdorazowo otrzymywano węc zbór 20 cząstek wybranych z całego roju, które uzyskały najnższą wartość ndeksu Davesa-Bouldna. Analzując wybrane mary pozwalające na ops wartośc danego wskaźnka (mnmum, maksmum, średna arytmetyczna, medana) oraz mary zmennośc reprezentowane przez odchylene standardowe, wskazano na wersję z lnową redukcją współczynnka nercj uwzględnającą: w start = 0,9 oraz w end = 0,4 [12]. Przyjęto też ustalone przez Kennedy ego Eberharta [9] wartośc parametru kogntywnego socjalnego: c 1, c 2 = 2 oraz potwerdzono najwększą efektywność algorytmu dla 40 cząstek 100 teracj, przy przyjętej stałej lczbe ewaluacj funkcj celu równej 4000 [6]. Ponżej przedstawono przebeg zmennośc wskaźnka kosztu dla jednego z przykładowych rozwązań otrzymanych po 100 teracjach, dla którego ndeks DB stablzował sę na wartośc 0,4532. Rys. 2. Wykres zman wartośc ndeksu DB w funkcj lczby teracj t z wykorzystanem modyfkacj z lnowym spadkem współczynnka nercj Fg. 2. Dagram of changng DB ndex values n the functon of t teratons, wth the use of modfcaton wth a lnear decrease of nerta coeffcent Początkowe ustawene wększej wartośc współczynnka w promuje wędrówkę cząstk po całej przestrzen poszukwań, natomast stopnowa redukcja tego współczynnka pozwala na uzyskwane coraz doskonalszych rozwązań.

8 48 a) b) Rys. 3. Porównane rozkładu środków klastrów dla perwszej teracj (a) rozwązana po 100 teracjach (b) algorytmu PSO z lnową redukcją współczynnka nercj Fg. 3. Comparson of the dstrbuton of clusters centers for the frst teraton (a) and after 100 teratons (b) of the PSO algorthm wth a lnear reducton of nerta coeffcent Rysunk 3a 3b przedstawają wzualzację przykładowych najlepszych rozwązań w toku dzałana algorytmu PSO. Danym użytym do przeprowadzena opsanego eksperymentu były zbory S-sets dedykowane dla weryfkacj algorytmów klasteryzacyjnych, pobrane ze strony nternetowej [7]. Dane te są dwuwymarowe obejmują 5000 elemen-

9 tów, z sugerowaną lczbą klastrów równą 15. Na rys. 3a 3b zlustrowano zbór S-sets w warance bardzej jednoltym pod względem przenkana sę poszczególnych klastrów (klastry ne są od sebe odseparowane). Podzał na klastry, z wyraźnym wyszczególnenem ch środków przedstawony w początkowym (rys. 3a) fnalnym (rys. 3b) stadum dzałana algorytmu stanow dowód poprawnośc przedstawonej tu koncepcj Porównane możlwośc wybranego algorytmu rojowego z klasycznym algorytmem k-średnch w probleme klasteryzacj Na wstępe warto zaznaczyć, że zarówno algorytm optymalzacj rojem cząstek, jak algorytm k-średnch pozwalają spojrzeć na problem klasteryzacj bardzej z perspektywy rozlokowana środków poszczególnych klastrów nż dokonana właścwego podzału zboru danych. Perwszą różncą, którą należy wskazać jest złożoność rozpatrywanych metod. W przypadku mplementacj algorytmu PSO, należy uwzględnć dużą lczbę parametrów, m.n.: rozmar roju, początkowy rozkład środków klastrów, początkowe prędkośc cząstek, rodzaj topolog etc. Algorytm k-średnch także wymaga podana określonych parametrów pracy, jednak ch lczba jest zdecydowane mnejsza [15]. Kolejną kwestą, którą należy podjąć rozpatrując dzałane obu algorytmów, jest lczba teracj nezbędna do osągnęca rozwązana końcowego. I choć potwerdzono, że dzałane klasycznego algorytmu klasteryzacyjnego zależy od wyboru początkowego rozkładu środków klastrów, to jednak bez względu na dokonany wybór, algorytm k-średnch jest szybszy nż nnowacyjna heurystyka rojowa. Istotna wydaje sę zatem odpowedź na pytane: czy szybkość algorytmu k-średnch dze w parze ze stablnoścą uzyskwanych rozwązań? Do badań weryfkacyjnych wykorzystano uzyskwaną jako wynk dzałana algorytmu k-średnch sumę odległośc obserwacj przynależących do danego klastra od jego środka. Po 20 uruchomenach zamplementowanego algorytmu połowa rozwązań określała nemal dentyczna wartość tej sumy. Wynk ten wskazuje na eksplorację bardzo wąskego sąsedztwa otaczającego początkowo wylosowane środk, co przekłada sę na wysoce prawdopodobne utknęce tej metody w mnmum lokalnym. Rozważana te wskazały na dodatkową zaletę alternatywnego rozwązana w postac PSO, przeprowadza ono manowce poszukwane globalnego optmum przy równoległym udzale welu cząstek, z których każda posada nne położene początkowe. W rezultace, daje to możlwość uzyskana różnorakch rozwązań w tym samym czase, a węc eksploracj wększych obszarów przestrzen poszukwań. Analzując uzyskane wynk należy wząć pod uwagę równeż fakt, że an algorytm PSO, an metoda k-średnch ne jest pozbawona wad. I choć ne są one na tyle stotne, aby przesłonć skuteczność dokładność wymenonych wyżej technk, to autorzy dostrzegają możlwość zastosowana rozwązana hybrydowego. Połączene obu algorytmów przyczyna sę do powstana zupełne nowego podejśca do klasteryzacj, a cel, który można w ten sposób osągnąć, to połączene zalet obu technk oraz wyelmnowane, a przynajmnej ogranczene ch wad. Rozwązane to, choć dość nnowacyjne, stało sę już obektem eksperymentów oblczenowych. Wgląd do uzyskanych w ten sposób wynków [1] potwerdza tylko tezę, że hybryda obu algorytmów pozwala na uzyskane lepszych rezultatów nż rozważane obu rozwązań z osobna.

10 Weryfkacja autorskej procedury modelowana rozmytego układu nelnowego Głównym przedmotem rozważań w toku badań eksperymentalnych było opracowane algorytmu klasteryzacyjnego, opartego na nsprowanym bologczne algorytme optymalzacj rojem cząstek dla zagadnena modelowana rozmytego. Wstępna analza koncepcj algorytmu PSO oraz szeroke badana bblografczne pozwolły autorom na przypuszczena, że wykorzystane nowoczesnej metody heurystycznej zwększy efektywność procedury klasteryzacj w szczególnośc w odnesenu do zagadnena modelowana rozmytego. Perwszy eksperyment weryfkacyjny polegał na sprawdzenu efektywnośc autorskej procedury w odnesenu do modelowana rozmytego układu nelnowego. W tym celu posłużono sę danym użytym w pracy [10], pozyskanym na podstawe analzy układu nelnowego opsanego równanem różncowym drugego rzędu: yk ( ) = yk ( 1) yk ( 2)[ yk ( 1) + 2, 5] + uk ( ) 1+ y 2 ( k 1) + y 2 ( k 2) (12) Zadanem układu modelującego jest określene wartośc y(k) na podstawe wartośc sygnału sterującego u wyjśca y dla poprzednch k kroków. Rozważany model zawera trzy wejśca {u(k), y(k 2), y(k 1)} jedno wyjśce y(k). Dane uczące obejmują 500 elementów {u(k), y(k 2), y(k 1), y(k)}, z u(k) wylosowanym z rozkładu jednostajnego w przedzale [ 2, 2]. Dane testujące zostały wygenerowane dla dwóch zborów: u(k) = sn(2πk)/25 (zbór 1) oraz u(k) = 1,6cos(2πk/25) (zbór 2). Wynk dotyczą wartośc błędu średnokwadratowego (RMSE) dla danych uczących testujących zarówno dla modelu rozmytego wykorzystującego klasteryzację subtraktywną, jak modelu wykorzystującego klasteryzację opartą na algorytme PSO. Porównane wartośc RMSE dla modelowana rozmytego układu nelnowego przy użycu dwóch różnych metod klasteryzacj Metoda Klasteryzacja subtraktywna Tabela 1 Klasteryzacja oparta na PSO Lczba reguł RMSE dla danych uczących 0,2032 0,2297 RMSE dla danych testujących (zbór 1) 0,3344 0,3303 RMSE dla danych testujących (zbór 2) 0,5529 0,2879 Parametry algorytmu realzującego klasteryzację subtraktywną oraz klasteryzację opartą na PSO zostały dobrane tak, aby oba modele rozmyte zawerały dentyczną lczbę reguł. Choć w obu przypadkach rezultaty na pozome danych uczących danych testujących zboru 1 są porównywalne, to dla zboru 2 wartość błędu średnokwadratowego modelu opartego na autorskej metodze jest nemal dwukrotne mnejsza.

11 4.4. Synteza układu rozmytego z PSO dla problemu sterowana pracą dysku twardego Główna część nnejszego artykułu obejmuje zagadnene syntezy układu rozmytego z heurystycznym algorytmem rojowym dla problemu sterowana wybranym obektem dynamcznym. Rozpatrzono przypadek sterowana pracą dysku twardego. Uwzględnono następujący model serwomechanzmu w postac równań stanu [17]: 51 gdze: yt (), yt ( ), vt () = vt () , 664 ut () (13) yt () zt () = [ 1 0] vt () u napęce na wejścu serwomechanzmu (podawane w woltach), y, v odpowedno: położene (śceżka) prędkość głowcy dysku twardego. Omawany problem dokładnego pozycjonowana uwzględna wyjśce z(t) = y(t). Na wstępe rozważono standardowy 49-regułowy regulator PD zrealzowany z użycem metod logk rozmytej (PD FLC ang. Proportonal Dervatve Fuzzy Logc Controller) [13]. Schemat blokowy zamknętego układu regulacj z tym regulatorem przedstawono na rys. 4. Rys.4. Schemat blokowy zamknętego układu regulacj z uwzględnenem regulatora rozmytego Fg. 4. Block dagram of close loop regulaton system ncludng fuzzy logc controller Wartośc sygnału wyjścowego regulatora określane są na baze reguł rozmytych, zdefnowanych poprzez uchyb welkośc regulowanej (e) jego zmany ( e). Forma reguł przedstawa sę następująco: f e s E and e s E then u s U (14) Regulator PD FLC został skonfgurowany tak, aby szybko odpowadać na sygnał odnesena, w tym przypadku skok jednostkowy. Uzyskano zbór składający sę z 201 trójek {e, e, u}, które posłużyły jako dane wejścowe wyjścowe do autorskego algorytmu klasteryzacyjnego. W rezultace stworzono nowy regulator operający sę na zasadach logk rozmytej ze zredukowaną lczbą reguł. Wyboru regulatora rozpatrywanego w dalszej częśc badań dokonano na podstawe analzy welkośc błędu średnokwadratowego dla danych uczących przy różnej lczbe reguł (tab. 2).

12 52 Porównane wartośc RMSE dla różnej lczby reguł algorytmu logk rozmytej opartego na PSO Tabela 2 Lczba reguł RMSE 0,0127 0,0124 0,0127 0,1196 0,1189 0,1186 0,1188 W konsekwencj, w dalszych rozważanach uwzględnono regulator oparty na 25 regułach. Ponadto rozpatrzono też układ zawerający klasyczny regulator PID przedstawony w pracy [10, 13]. Parametry regulatora PID dobrane metodą Zeglera-Ncholsa wynoszą odpowedno: K = 207, ; T = 18, ; T = 0, 45 p d (15) Analza wynków zawera porównane trzech układów, w których sterowane odbywało sę kolejno z użycem każdego z wymenonych regulatorów. Aby dokładne ocenć ch efektywność, uwzględnono: lczbę reguł regulatora, welkość błędu średnokwadratowego (RMSE), czas ustalena (T s,2% ), maksymalne przeregulowane (OV) wyrażone w procentach (tab. 3) oraz uzyskaną przez ne odpowedź układu na skok jednostkowy, co zborczo przedstawono na rys. 5. Rys. 5. Przebeg regulacj pracą dysku twardego z użycem trzech rozpatrywanych regulatorów Fg. 5. Hard drver servo motor control plot wth the use of three analyzed controllers applcatons Analzując tabelę 3 oraz rysunek 5 stwerdzono, że wybrane do porównana regulatory oparte na logce rozmytej dzałają efektywnej nż klasyczny PID. Wykazały one znaczne mnejszy błąd średnokwadratowy, jednak najstotnejszy okazał sę fakt, ż ch czas ustalena T s

13 53 Tabela 3 Porównane wynków uzyskanych dla klasycznego PID, PD FLC oraz FLC opartego na PSO Regulator Lczba reguł Wartość RMSE T s,2% [s] OV [%] Klasyczny PID 0,2909 0, PD FLC 49 0,1981 0, FLC oparty na PSO 25 0,1647 0, był prawe pęcokrotne mnejszy. Borąc pod uwagę wyłączne regulatory zbudowane na zasadach logk rozmytej, stwerdzono, że regulator FLC oparty na algorytme klasteryzacyjnym PSO mał równe mały błąd RMSE oraz czas osągnęca wartośc zadanej, co zbudowany na tych samych zasadach regulator PD. Fundamentalną różncą w dzałanu obu regulatorów był jednak fakt, że ten perwszy potrzebował dwukrotne mnejszej lczby reguł do otrzymana podobnego rezultatu, osągając przy tym znaczne mnejszą wartość przeregulowana. Stąd wnosek, ż klasteryzacja powoduje redukcję obszernego zboru reguł regulatora rozmytego uzyskane takego ch zestawu, który cechuje sę wększą efektywnoścą w badanych problemach sterowana. 5. Wnosk W nnejszym artykule ne tylko opsano heurystyczny algorytm rojowy, ale pokazano równeż, że jest on w stane sprostać zadanu analzy skupeń zarówno na podstawe wygenerowanych danych numerycznych, jak też w praktycznym zagadnenu modelowana rozmytego. Badana wykazały, że efektywność nowatorskej procedury jest porównywalna, a często nawet lepsza nż zaprezentowane w pracy metody klasyczne. Stwerdzene to zostało potwerdzone zarówno przy realzacj zadań modelowana, jak zadań automatycznej regulacj. Przeprowadzane badana potwerdzły też, że rozpatrywany algorytm heurystyczny ne jest rozwązanem dealnym pommo welu zalet, ma też wele wad, m.n. wspólny dla wszystkch metod heurystycznych brak gwarancj otrzymana najlepszego rozwązana danego problemu. Cechują go wszakże z drugej strony: potencjał rozwązywana trudnych problemów optymalzacyjnych, ntucyjna nspracja mechanzmam bologcznym oraz możlwość adaptacj z klasycznym metodam, które samodzelne, choć skuteczne, ne nadążają za tempem rozwoju nowoczesnych technk oblczenowych. Borąc pod uwagę cągłe zanteresowane tematyką metod rojowych, a także szerok zakres zastosowań algorytmu optymalzacj rojem cząstek, można potwerdzć, że technka ta stanow perspektywczny przedmot dalszych badań naukowych w zakrese rozwązana trudnych problemów optymalzacyjnych. Badana Domnk Falkewcz współfnansowane są przez Fundację na Rzecz Nauk Polskej w ramach PhD Projects n Intellgent Computng (projekt fnansowany przez Unę Europejską w programach Innowacyjna Gospodarka oraz Europejsk Fundusz Rozwoju Regonalnego). Badane zrealzowano dzęk dofnansowanu w ramach stypendum naukowego z projektu pn. Technologe nformacyjne: badana ch nterdyscyplnarne zastosowana współfnansowanego ze środków Un Europejskej w ramach Europejskego Funduszu Społecznego, Program Operacyjny Kaptał Ludzk (Umowa nr UDA-POKL /10-00).

14 54 Lteratura [1] Ahmadyfard A., Modares H., Combnng PSO and k-means to Enhance Data Clusterng, Proceedngs of the IEEE Internatonal Symposum on Telecommuncatons, 2008, [2] Bandyopadhyay S., Maulk U., Genetc clusterng for automatc evoluton of clusters and applcaton to mage classfcaton, Proceedngs of the Pattern Recognton, vol. 35, 2002, [3] C h a n F.T.S., T w a r M.K., Swarm Intellgence. Focus on Ant and Partcle Swarm Optmzaton, I-Tech Educaton and Publshng, Venna 2007, [4] C h u S.L., Fuzzy Model Identfcaton Based on Cluster Estmaton, Journal of Intellgent and Fuzzy Systems, vol. 2, No. 3, 1994, [5] Chopra S., Mtra R., Kumar V., Fuzzy Controller: choosng and Approprate and Smallest Rule Set, Internatonal Journal of Computatonal Cognton, vol. 3, No. 4, [6] C l e r c M., Partcle swarm optmzaton, ISTE Ltd., Great Brtan [7] Clusterng datasets (onlne), homepage: (date of access: ). [8] Hammouda K.M., Karray F., A Comparatve Study of Data Clusterng Technques, [n:] Tools of Intellgent Systems Desgn. Course Project, [9] K e n n e d y J., E b e r h a r t R.C., Partcle Swarm Optmzaton, Proceedngs of the 1995 IEEE Internatonal Conference on Neutral Networks, vol. 4, Perth, Australa 1995, [10] Kowalsk P.A., Łukask Sz., Charytanowcz M., Kulczyck P., Data-Drven Fuzzy Modelng and Control wth Kernel Densty Based Clusterng Technque, Polsh Journal of Envronmental Studes, vol. 17, No. 4C, 2008, [11] Krzyśko M., Wołyńsk W., Góreck T., Skorzybut M., Systemy uczące sę. Rozpoznawane wzorców, analza skupeń redukcja wymarowośc, wyd. I, WNT, Warszawa [12] Laznca A., Partcle Swarm Optmzaton, In-Tech, 2009, 2-3, 51-53, 89-90, , [13] M u d R., P a l N.R., A Robust Self-Tunng Scheme for PI and PD Type Fuzzy Controllers, Proceedngs of the IEEE Trans. Fuzzy Syst., [14] Pegat A., Modelowane sterowane rozmyte, Akademcka Ofcyna Wydawncza EXIT, Warszawa [15] Pol R., Kennedy J., Blackwell T., Partcle swarm optmzaton: an overvew, Swarm Intellgence Journal, vol. 1, No. 1, 2007, 33-40, [16] S u M.C., A New Index of Cluster Valdty (onlne), homepage: edu/~skubcm/8820/clustervald.pdf (date of access: ). [17] T a n K.C., S a t h k a n n a n R., T a n W.W., L o h A.P., Evolutonary Desgn and Implementaton of a Hard Dsk Drve Servo Control System, Soft Computng, vol. 11, No. 2, 2007, [18] Trojanowsk K., Metaheurystyk praktyczne, WIT, Warszawa [19] Wa n g D., Wa n g G., H u R., Parameters optmzaton of fuzzy controller based on PSO, Intellgent System and Knowledge Engneerng, vol. 1, 2008, [20] Wo n g C.C., Wa n g H.Y., L S.A., PSO-based moton fuzzy controller desgn for moble robots, Internatonal Journal of Fuzzy Systems, vol. 10, No. 1, 2008,