Jan Masajada 45 tematów z fizyki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jan Masajada 45 tematów z fizyki"

Transkrypt

1 Jan Masajada 45 tematów z fizyki Uwaga wstępna redakcja materiałów!! Wykład VIII Zasada Fermata

2 1. Zasada Fermata Poprzedni temat poświęcony był optyce falowej. W większości wykładów zaczyna się optykę od teorii geometrycznej. My wskoczyliśmy w optykę przy okazji omawiania tematu fale. Teraz dokończę dzieła i zajmę się optyką geometryczną. Zacznę od przedmiotu. Aby można było mówić o przedmiocie w optyce, przedmiot ów musi świecić. Przedmiot może świecić światłem własnym lub odbitym od światła emitowanego przez inne przedmioty świecące światłem własnym. Dla nas nie będzie miało to znaczenia jak świeci przedmiot, aby tylko świecił. Świecący przedmiot będę reprezentował, przez jego rozkład na świecące punkty (rys.1.1). Świecący punkt jest wygodną konstrukcją teoretyczną, podobnie jak masa punktowa w mechanice. Rysunek 1.1. a) świecąca linia została podzielona na świecące punkty. Punkty te reprezentują linię w naszym modelu obiektu świecącego. Światło z każdego punktu wychodzi we wszystkie strony w taki sam sposób na rysunku pokazane jest to w dwóch wymiarach, ale nie należy zapominać o trzecim wymiarze, który nie jest tu w żaden sposób upośledzony. Światło emitowane przez źródło punktowe reprezentowane jest przez zbiór zaczynających się w tym punkcie linii (podobnie jak zbiór linii sił pola elektrycznego wychodzących z punktowego ładunku elektrycznego). Musimy uznać, że każdy punkt reprezentuje pewien obszar, którego granice określone są przez położenie sąsiednich punktów świecących. Inaczej mówiąc świecenie każdego takiego obszaru sprowadzamy w tym modelu do świecenia pojedynczego punktu. Energia z jaką świeci nasz punkt jest równa energii światła emitowanego przez ten obszar. Im więcej wybierzemy takich świecących punktów na linii czy innym przedmiocie, tym z jednej strony lepszy będziemy mieli model pod względem dokładności, ale z drugiej strony gorszy pod względem złożoności. b) możemy też podzielić przedmiot (tu narysowany jako przedmiot trójwymiarowy) na nieskończenie małe obszary (jeden taki obszar reprezentuje czerwony kwadrat). Każdy taki obszar świeci, podobnie jak źródło punktowe, jednorodnie we wszystkie strony. Nie przypisujemy mu energii świetlnej jaką emituje, ale gęstość energii (czyli ilość energii przypadającej na jednostkę powierzchni). Otrzymujemy w ten sposób najdokładniejszą wersję tego typu modelu przedmiotu świecącego, ale równocześnie najbardziej złożoną. 2

3 W praktyce nie ma świecących punktów, ale do sprawy możemy podejść na dwa sposoby. Albo uważamy, że punkt reprezentuje mały świecący obszar, albo że reprezentuje nieskończenie mały świecący obszar (rys. 1.1). Każdy świecący punkt, świeci; jak wskazuje to jego nazwa. Ponieważ jest punktem to świeci we wszystkie strony tak samo. Punkt nie ma struktury wewnętrznej, więc nie ma jak świecić różnie w różne strony. To że widzimy różne światło dobiegające z różnych punktów przestrzeni jest związane z rozłożeniem punktów świecących oraz z różnymi przeszkodami na jakie natrafia światło biegnąc między obiektem a naszym okiem. Rozchodzące się światło reprezentujemy poprzez zbiór linii nazywanych promieniami świetlnymi. Promienie świetlne wykreślają tor po którym rozchodzi się światło. A właśnie, jak światło biegnie od punktu świecącego do punktu obserwacji? Na gruncie optyki geometrycznej rozstrzyga o tym zasada Fermata Określenie 1.1: Zasada Fermata Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po takiej drodze na której, lokalnie rzecz biorąc, czas przejścia światła jest ekstremalny. Najprostsza sytuacja jest wtedy, gdy między punktem źródłowym Z, a punktem obserwacji A, jest ośrodek optycznie jednorodny. Co to jest ośrodek optycznie jednorodny. Definicja 1.1: Ośrodek optycznie jednorodny Przez ośrodek optycznie jednorodny rozumiemy ośrodek w którym warunki rozchodzenia się światła w dowolną stronę są takie same Rysunek 1.2. W ośrodku optycznie jednorodnym światło między punktem źródłowym Z a punktem obserwacji A rozchodzi się po linii prostej. Najdoskonalszym ośrodkiem optycznie jednorodnym jest próżnia. Powietrze w stanie bezruchu też gra dobrze rolę ośrodka jednorodnego. Choć nie aż tak dobrze jak próżnia. W powietrzu są zawsze drobne fluktuacje gęstości, które powodują, że jego jednorodność nie jest tak dobra jak próżni. Ale w znamienitej większości zastosowań możemy o tak drobnych niejednorodnościach zapomnieć. Powiedzmy teraz, że w przestrzeni mamy ośrodek optycznie jednorodny, punkt źródłowy Z, punkt obserwacji A i powierzchnię odbijającą. Najkrótsza droga od Z do A, wiedzie po linii prostej łączącej punkt źródłowy z punktem obserwacji. Wprowadźmy teraz do ośrodka niejednorodność w postaci płaskiego zwierciadła. Cóż, droga najmniejszego 3

4 czasu wiedzie ciągle po linii prostej łączącej punkty Z i A. Wiemy jednak, że promienie odbijają się od zwierciadła i któryś z nich trafi pewnie w punkt A. Na szczęście w zasadzie Fermata mamy określenie lokalnie ekstremalny. Okaże się więc, że na zwierciadle pokazanym na rysunku 1.3 jest taki punkt, że promień odbijający się w tym punkcie biegnie lokalnie w najkrótszym czasie. Rysunek 1.3. Słowo lokalnie w zasadzie Fermata powoduje, że chociaż niebieski promień na rysunku nie jest promieniem najkrótszego czasu, to staje się takim promieniem wśród tych promieni, które biegną w jego sąsiedztwie, a więc lokalnie. Dzięki temu światło może się poruszać, między punktem Z i A wzdłuż promienia i zielonego i niebieskiego. W prostym przypadku udowodnimy, że tak jest. Załóżmy zatem, że mamy punkt źródłowy Z, punkt obserwacji A i zwierciadło L. Prostata rozpatrywanego przypadku polega na ograniczeniu analizy do dwóch wymiarów orientacji powierzchni zwierciadła równolegle do odcinka ZA, oraz ograniczeniu się do płaskiej powierzchni odbijającej. Ustalmy układ współrzędnych tak jak na rysunku 1.4. Z punktu źródłowego wychodzą promienie, które w środowisku optycznie jednorodnym rozchodzą się, zgodnie z zasadą Fermata, po liniach prostych. Sytuacja zmienia się na powierzchni zwierciadła. Jak rozchodzą się promienie odbite od zwierciadła? Na razie skierujmy je wszystkie do punktu obserwacji A. Możemy teraz wyznaczyć długości promieni jako funkcję położenia punktu odbicia. Sprawdźmy czy funkcja s(x) ma ekstremum. W tym celu policzę jej pochodną po x

5 Rysunek 1.4. Z punktu źródłowego wychodzi symetryczna wiązka promieni. Część z nich pada na zwierciadło i odbija się. Z dowolnego punktu P na zwierciadle, promień odbity rysujemy do punktu obserwacji A. Wyznaczamy czasy przejścia po drodze ZPA, dla każdego punkt P na zwierciadle. Okaże się, że istnieje takie położenie punktu P, że czas ten będzie lokalnie minimalny. W tym szczególnym położeniu, które oznaczę przez Q, kąt padania promienia na zwierciadło będzie równy kątowi odbicia. Z punktu widzenia zasady Fermata światło biegnie od punktu Z do punktu A poprzez punkt Q (promień niebieski). Oczywiście należy również uwzględnić bieg światła po drodze ZA (promień zielony). Przyrównam pochodną do zera 1.3 Z rysunku 1.4 widać, że 1.4 Przyda nam się pojęcie kąta padania i odbicia Definicja 1.2: Kąt padania Kątem padania promienia na powierzchnię nazywamy kąt jaki tworzy ten promień z normalną do tej powierzchni Definicja 1.3: Kąt odbicia Kątem odbicia promienia od powierzchni nazywamy kąt jaki tworzy ten promień z normalną do tej powierzchni Ze wzoru (1.4) wynika, że pochodna s (x) jest równa zeru w punktach, w których kąt padania promienia jest równy kątowi odbicia. Obliczmy drugą pochodną funkcji s(x). 5

6 1.5 Przekształcając to wyrażenie mamy 1.6 Z powyższego wyrażenia widać, że druga pochodna jest dodatnia, co oznacza, że w punkcie, nazwijmy go Q, dla którego spełniony jest warunek (1.4) mamy minimum funkcji s(x). Ponieważ prędkość światła jest stała, lokalnie najkrótsza droga wyznacza jednocześnie drogę lokalnie najkrótszego czasu przejścia. Możemy więc, na mocy zasady Fermata, stwierdzić, że z źródła Z do punktu A promień wędruje albo bezpośrednio po linii prostej, albo po łamanej przez punkt Q. Otrzymane wyniki można uogólnić na powierzchnie odbijające od dowolnej, gładkiej, powierzchni. Ogólnie możemy prawo załamania sformułować tak: Określenie 1.2: Prawo odbicia Promień padający na powierzchnię odbijającą, odbija się od niej pod takim kątem, że kąt jego padania jest równy kątowi jego odbicia. Prawo dobicia wynika z prawa Fermata i jest od niego mniej ogólne. Ciekawym przypadkiem jest zwierciadło eliptyczne. Kiedy źródło umieścimy w jednym z ognisk elipsy a punkt obserwacji w drugim ognisku, to czas przejścia promienia od źródła do punktu obserwacji via dowolny punkt elipsy jest taki sam. Przypominam, że elipsa to taka krzywa dla której dla dowolnego punktu elipsy suma r 1 +r 2 jest taka sama. Wynika z tego, że wszystkie promienie wyemitowane w jednym ognisku skupią się w drugim ognisku (rys. 1.5). Wynika z tego jeszcze jeden wniosek, jeżeli zbudujemy kąt z wierzchołkiem leżącym na elipsie i opartym o dwa ogniska tej elipsy, to 6

7 dwusieczna tego kąta będzie jednocześnie wyznaczała kierunek prostej normalnej do elipsy (spróbuj uzasadnić to stwierdzenie) Rysunek 1.5. Zwierciadło o kształcie elipsy (elipsoidy) ma tą ciekawą własność, że gdy źródło Z znajduje się w jednym z ognisk elipsy, a punkt obserwacji A w drugim ognisku elipsy to czas przejścia światła po wszystkich drogach ZPA (P to dowolny punkt elipsy) jest taki sam. W takiej sytuacji wszystkie te drogi są przez zasadę Fermata dozwolone. Zatem wszystkie promienie wychodzące z jednego ogniska eliptycznego zwierciadła trafiają do jego drugiego ogniska. Jeżeli teraz podegniemy powierzchnię elipsy do góry wokół wybranego punktu odbicia Q, to czas przejścia promieni odbitych od sąsiednich punktów wzrośnie. Wówczas punkt Q będzie punktem minimalnego czasu przejścia i zgodnie z zasadą Fermata promień dojdzie do punktu obserwacji odbijając się od punktu Q od sąsiednich punktów promienie odbiją się tak, że nie trafią do punktu obserwacji (rys. 1.6). Jeżeli teraz podegniemy powierzchnię elipsy do dołu, to czas przejścia promieni odbitych od sąsiednich punktów zmniejszy się. W takiej sytuacji punkt Q będzie punktem lokalnie największego czasu przejścia (rys. 1.6). Ponownie, zgodnie z zasadą Fermata promienie z punktów sąsiadujących z Q nie dotrą do punktu obserwacji. W niektórych podręcznikach zasadę Fermata formułuje się odnosząc się tylko do dróg o minimalnym czasie przejścia. W większości przykładów czas przejścia promieni są rzeczywiście lokalnie minimalne, ale ostatni przykład pokazuje, że czas lokalnie maksymalne są też ważne, dlatego w zasadzie Fermata użyłem słowa ekstremalny, które oznacza i minimalny i maksymalny. 7

8 Rysunek 1.6. Gdy odegniemy, wokół pewnego punktu powierzchnię zwierciadła eliptycznego na zewnątrz, wtedy droga promienia wydłuży się. Zatem droga przez punkt wokół, którego odginamy zwierciadło stanie się lokalnie drogą najkrótszego czasu przejścia. Będzie to zatem w tej części jednym punkt od którego odbity promień trafi do punktu obserwacji A. Podobnie, jeżeli wokół jakiegoś punktu zwierciadło odegniemy do wewnątrz, to wszystkie sąsiednie drogi staną się drogami czasu dłuższego. Zatem punkt wokół, którego odginamy stanie się punktem lokalnie najkrótszego czasu przejścia. Wiązkę promieni równoległych reprezentują linie wzajemnie do siebie równoległe. Z poprzedniego wykładu wiemy, że promienie równoległe reprezentują falę płaską. Przyjmujemy, że punktowe źródło tej fali leży w nieskończoności. Przytoczę tu definicję paraboli. Definicja xx: Parabola Xxx Z tej definicji i z zasady Fermata od razu widać, że wiązka promieni równoległych po odbiciu od zwierciadła parabolicznego przejdzie przez ognisko paraboli (rys. 1.6.). 8

9 Rysunek 1.6. Ilustracja do definicji parabol. Z lewej strony paraboli narysowana jest wiązka promieni równoległych poosiowych. Do czarnej linii przerywanej z podwójnym kropkowaniem (linia równej drogi) wszystkie drogi optyczne są takie same. Długość drogi najbardziej zewnętrznego promienia od linii równej drogi do ogniska wynosi L1 i z własności paraboli wynika, że jest równa L1. Długość następnego narysowanego promienia od linii równej drogi do ogniska wynosi S2+L2 i jak wynika z zależności wypisanych na rysunku jest równa L1. W podobny sposób można wykazać równość wszystkich wzajemnie sąsiednich dróg a co zatem idzie równość dróg optycznych wszystkich promieni wiązki równoległej. Oznacza to, że promienie te po odbiciu od powierzchni paraboli trafią do jej ogniska F. 1.1 Zjawisko załamania W ośrodkach materialnych światło porusza się wolniej niż w próżni. Jeżeli oznaczymy prędkość światła w próżni przez c, to w ośrodku materialnym będzie to mniej niż c. Definicja 1.1.1: Współczynnik załamania Współczynnik złamania n danej substancji jest równy stosunkowi prędkości światła c do prędkości światła v o tej samej częstości, rozchodzącego się w tej substancji Rozważmy teraz następujący przykład. Między źródłem światła Z a punktem obserwacji P znajduje się płaska granica dwóch ośrodków o współczynniku załamania n 1 i n 2 (rys ). Jak będzie biegł promień od 9

10 punkt Z do punkt P? Problem ten rozwiążemy dokładnie tak samo jak w przypadku odbicia promienia od zwierciadła, czyli odwołując się do zasady Fermata. Rysunek Na granicy dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania n i n promienie wychodzące z punktu źródłowego Z ulegają załamaniu. Do punktu obserwacji A trafia promień, którego czas przejścia jest lokalnie najmniejszy (promień niebieski). Jednocześnie promień ten spełnia prawo Snella. Bieg pozostałych dwóch promieni, po przekroczeniu granicy ośrodka narysowany jest źle. Tak narysowane promienie nie spełniają prawa Snella, czyli łamią zasadę Fermata. Postępując podobnie jak w przypadku odbicia wzór na drogę mogę zapisać w postaci Teraz jednak wyznaczenie lokalnie ekstremalnej drogi przejścia nie wyznacza mi lokalnie ekstremalnego czasu przejścia. W przypadku odbicia prędkość światła była taka sama przed i po odbiciu. Teraz promień w pierwszym ośrodku porusza się z prędkością c/n, a w drugim ośrodku z prędkością c/n. Musimy zatem od razu przejść do wyznaczenia czasu przejścia Obliczamy pierwszą pochodną tego wyrażenia i przyrównujemy ją do zera 10

11 1.1.4a 1.1.4b Podobnie jak w przypadku prawa załamania możemy wyrażenie 1.1.4b przepisać w postaci Wzór (1.1.5b) wyraża prawo załamania 1.1.5a 1.1.5b Określenie 1.1.1: Prawo załamania Promień padający na powierzchnię odbijającą, odbija się od niej pod takim kątem, że kąt jego padania jest równy kątowi jego odbicia. Prawo załamania, tak jak i prawo odbicia wynika z zasady Fermata i jest od niej mniej ogólne. Można je również sformułować dla dowolnie gładkich powierzchni odgraniczających ośrodki o dwóch różnych współczynnikach załamania. W zasadzie powinniśmy pokazać, że w punktach spełniających warunek (1.1.3) czas jest lokalnie ekstremalny. Ale robi się to dokładnie tak jak zostało to zrobione przy odbiciu i podobnie jak przy odbiciu, dla płaskiej powierzchni granicznej mamy czas lokalnie minimalny. Przypominam również, że prawo odbicia i załamania zostało również wyprowadzone przy omawianiu zasady Huygensa. Czas na jeszcze jedną definicję Definicja 1.1.1: Droga optyczna Droga optyczna promienia jest równa iloczynowi drogi geometrycznej i współczynnika załamania ośrodka w którym ta droga przebiega Rysunek ilustruje ta definicję dla ośrodka złożonego z kilku warstw o różnym współczynniku załamania. Rysunek Droga optyczna dla wyrysowanego promienia jest równa sumie iloczynów długości odcinków i współczynników załamania środowiska przez, 11

12 które poszczególne odcinki promienia biegną. W naszym przykładzie droga optyczna wyraża się wzorem Może się zdarzyć również i tak, że współczynnik załamania ośrodka zmienia się od punktu do punktu (rys ). Rysunek W ośrodkach w których współczynnik załamania zmienia się od punktu do punktu promień świetlny jest linią krzywą. W takim przypadku dzielimy ośrodek na nieskończenie cienkie warstwy i zamiast sumowanie we wzorze na drogę optyczną mamy całkowanie. Całkujemy od punktu początkowego sp do punktu końcowego sk. Współczynnik załamania musimy zapisać jako funkcję długości geometryczne promienia n(s). W takiej sytuacji droga optyczna wyraża się wzorem Jak widać z powyższych definicji droga optyczna wydłuża długość odcinka o wartość współczynnika załamania. Z drugiej strony współczynnik załamania mówi ile razy wolniej biegnie światło w danym ośrodku w porównaniu z próżnią. Zamiast zwalniać światło n razy możemy wydłużyć światło drogę n razy a czas przejścia pozostaje taki sam. Oznacza to, że droga optyczna pozwala nam sformułować zasadę Fermata tak: Określenie 1.1.2: Zasada Fermata Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po lokalnie ekstremalnej drodze optycznej Oba sformułowania są równoważne i jest kwestią wygody czy historycznych zaszłości, które z nich jest w użyciu. Przedstawione wyżej sformułowanie jest preferowane w klasycznej optyce. 12

13 2. Odwzorowanie Z punktu widzenia zastosowań praktycznych bardzo istotne jest następujące zagadnienie. Mamy punkt świecący Z, jak uzyskać jego obraz na ekranie E. Punktowe źródło światła Z rozsyła we wszystkie strony promienie. Gdy w pewnej odległości ustawimy ekran E, to otrzymamy równomiernie oświetloną powierzchnię tego ekranu. Obrazem punktu Z będzie cały ekran E. Nie oto nam chodzi. Jak spowodować, aby obrazem punktu świecącego był punkt świecący lub coś co tenże punkt jak najbardziej przypomina? Najstarszym rozwiązaniem tego problemu była ciemna skrzynka na której jednej ściance był ekran E, a na ściance przeciwnej otworek. Rysunek (2.1) ilustruje zasadę działania tego przyrządu nazywanego camera obscura (co po łacinie znaczy ciemny pokój) lub kamerą otworkową. Rysunek 2.1. Camera obscura jest zamkniętym pudełkiem, które z w jednej ze ścianek ma otwór. Obraz przedmiotu rysuje się na przeciwnej ściance, wewnątrz pudełka. Otworek wycina z wiązki promieni ich wąską grupę, które na ściance pudełka służącej za ekran rysują dysk. Im mniejszy otwór, tym przy danych rozmiarach pudełka, mniejszy rozmiar dysku. W efekcie każdy punkt przedmiotu jest obrazowany jako dysk. Zbiór tych dysków tworzy obraz przedmiotu. Nie jest to obraz idealny, ale przy małych rozmiarach otworu jakość obrazu jest bardzo dobra. Widać jednocześnie, że długość pudełka (odległość otwór-ekran) decyduje o pomniejszeniu lub powiększeniu obrazu przedmiotu. Gdy długość pudełka jest równa odległości otwór-przedmiot, obraz przedmiotu ma takie same rozmiary jak sam przedmiot. Obraz utworzony przez kamerę obscura jest obrazem odwróconym. Na pytanie, kto wynalazł kamerę otworkową nie mamy odpowiedzi. W pewnych okolicznościach, kiedy do ciemnego pokoju wpada, przez małych otwór, światło z jasno oświetlonego podwórza efekt kamery otworkowej może powstać samoczynnie. Pierwsze pewne informacje wskazują, że camera obscura mogła być wykorzystywana przez astronomów arabskich do obserwacji zaćmień Słońca w X wieku. W 1270 roku w tym samym celu posłużył się camera obscura Witello. Najstarszy rysunek camera obscura pochodzi z książki De radio astronomico et geometrico liber (1545) autorstwa holenderskiego lekarza 13

14 i fizyka Reinera Gemma Frisius ( ). Ilustracja przedstawia obserwację zaćmienia Słońca z użyciem camera obscura (rys. 2.2) Rysunek 2.2. Najstarszy znany rysunek ilustrujący działanie Camera Obscura z książki Reinera Gemma Frisiusa z 1545 r. Źródło?? Leonardo da Vinci ( ), wszechstronnie uzdolniony Włoch przedstawił w swych notatkach opis Camera Obscura. Odnajdziemy go w dziele zatytułowanym Codex Atlanticus. Możemy tam przeczytać: Gdy fronton domu lub krajobraz jest oświetlony słońcem, a w zaciemnionej ścianie znajdującej się naprzeciw domu uczyni się otwór, to oświetlone przedmioty będą wysyłać przez ten otwór swój obraz i obraz ten będzie odwrócony (rys. 2.3). Rysunek 2.3. Ilustracja działania camera obscura z dzieła Leonarda da Vinci. 14

15 Johannes Kepler używał przenośnej namiotowej camera obscura (rys. 2.4). Była ona czymś pośrednim pomiędzy zaciemnionym pokojem a kamerą skrzynkową (rys. 2.4). W 1604 roku Johannes Kepler nadał temu urządzeniu nazwę camera obscura. Rysunek 2.4. Przenośna camera obscura Johanesa Keplera. Rysunek zaczerpnięty z jego pracy Z czasem kamera otworkowa zmniejszała swoje rozmiary do wielkości większego pudełka. Za jej pomocą malarze ułatwiali sobie malowanie widoków. Używał jej między innymi nadworny malarz króla Stanisława Augusta Poniatowskiego Bernardo Belotto, zwany Canaletto ( ), gdy malował widoki Warszawy. Przy pomocy camera obscura francuz Joseph Niecephore Niepce, 6 maja 1816 roku, po raz pierwszy odwzorował obraz na światłoczułym asfalcie. Asfalt pokrywał tylną ściankę camera obscura. Obraz nie był trwały i po krótkim czasie znikł. Dopiero w 1826 roku udało mu się zarejestrować trwały obraz. Czas naświetlania wynosił 8 godzin, podczas którego został zarejestrowany widok z okna pracowni (rys. 2.5). Nie był to obraz srebrowy, lecz obraz asfaltowy. W miejscach naświetlonych smoła wybieliła się i była twarda, natomiast w miejscach nienaświetlonych zmywano ją terpentyną. Aby podnieść kontrast, Niepce zaciemniał obraz w oparach jodu. Na tej pierwszej fotografii można zaobserwować dziwnie rozmieszczone cienie. Odpowiedzialne za nie jest słońce, które podczas tak długiego czasu naświetlania, zmieniało swoje położenie. Tak narodziła się fotografia, a camera obscura wystąpiła w nowej roli aparatu fotograficznego. 15

16 Rysunek 2.5. Widok z okna na Le Gras, Niecephore Niepce 1826r. Dziś camera obscura bawi w parkach rozrywki (rys. 2.6), ale nie tylko. Fotografowanie kamerą otworkową ma zagorzałych wielbicieli prezentujących swoje prace na licznych internetowych forach Rysunek 2.6. Giant Camera, fragment wesołego miasteczka w San Francisco 2.1 Soczewka Kamera otworkowa ma same zalety i praktycznie tylko jedną wadę jest ciemna. Oznacza to, że na otworku tracimy bardzo dużo energii wyświecanej przez punkt źródłowy. Im mniejszy otworek tym większa strata energii, a ponieważ otworki stosowane w praktyce są małe problem jest poważny. Jak możemy sobie z tym problemem poradzić? Tu w sukurs przychodzi nam zasada Fermata. Spróbujemy zmierzyć się z następującym problemem. Weźmy sześcienny blok 16

17 szklany. Czy możemy tak przyciąć jedną jego powierzchnie, aby wszystkie promienie wychodzące z jednego punktu trafiły do innego punktu (rys )? Rysunek Zmiana grubości soczewki jest tak dobrana, by promienie wychodzące z jednego punktu zbiegały się w drugim punkcie. Ten drugi punkt jest obrazem pierwszego. W rzeczywistych układach promienie wychodzące z punktu zbiegają się w obszarze niewielkiego dysku. Płaszczyzna, w której leży odwzorowywany punkt nazywamy płaszczyzną przedmiotu. Płaszczyzna, w której powstaje najlepszy obraz tego punktu nazywamy płaszczyzną obrazu. Gdy przesuniemy ekran od płaszczyzny obrazu, promienie trafiają w obszar znacznie większego dysku (różowa kreska) i obraz traci na jakości. Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna, z tym, że promienie wychodzące z punktu nie trafiają w jeden punkt, tylko ulokują się w obszarze małego dysku. Soczewka daje jasne obrazy bo zbiera promienie wychodzące z punktu na dużej powierzchni. Sprawia jednak wiele innych kłopotów. Przykładowo na rysunku (2.1.1) zaznaczyłem płaszczyznę przedmiotu i obrazu. Zauważ, że przesunięcie płaszczyzny przedmiotu bliżej lub dalej od soczewki skutkuje wzrostem rozmiaru dysku w który trafiają promienie obraz robi się rozmyty. Mówimy, że obiektywy soczewkowe mają ograniczoną głębię ostrości. Nasze aparaty automatycznie nastawiają ostrość. Kiedy fotografujemy postać, to ostrość ustawiona jest tak aby płaszczyzna, w której znajduje się postać była ostro odwzorowana na matrycy aparatu. Im dalej coś znajdzie się od tej płaszczyzny tym gorzej wyjdzie na zdjęciu. W praktyce inżynierskiej często stosuje się uproszczone modele sytuacji fizycznych, których zastosowanie jest mocno zawężone. Ale przy konstrukcji przyrządów określonego typu takie zawężenie nie przeszkadza. Przy opisie klasycznych soczewek i zwierciadeł w pierwszym podejściu stosuje się tzw. przybliżenie parakasjalne. Wzory otrzymane na bazie tego przybliżenia stanowią materiał zwyczajowo wykładany w szkołach i w ramach kursu fizyki ogólnej. Przejdę do niego w następnej części. 17

18 3.Soczewki i zwierciadła I tak dotarłem do tematu, który silnie kojarzy się optyką techniczną, czyli do omówienia soczewek, zwierciadeł i pryzmatów. Analiza tych elementów optycznych oraz zbudowanych z nich układów za pomocą zasady Fermata jest rachunkowo uciążliwa. Dlatego w pierwszym podejściu stosuje się metody przybliżone. Wzory soczewkowe i pokrewne z jakimi zwykle spotykamy się na kursach fizyki są takimi przybliżonymi wyrażeniami. Ja proponują zgrabniejsze podejście do sprawy, czyli to co się nazywa optyką macierzową. Jedynym mankamentem optyki macierzowej jest jej straszna nazwa. Poza tym w stosunku do zwykle przedstawianych wzorów optyka macierzowa ma same zalety. W pierwszym podejściu będziemy analizowali układy kołowosymetryczne. Oś symetrii układu optycznego nazywamy osią optyczną i będziemy zwykle oznaczali literą z. Wprowadzę teraz kilka definicji. Definicja 1.1: Oś optyczna Oś symetrii kołowo-symetrycznego układu optycznego nazywamy osią optyczną. Definicja 1.2: Wierzchołek Wierzchołkiem powierzchni załamującej lub odbijającej kołowo-symetrycznego układu optycznego nazywamy punkt przecięcia tej powierzchni z osią optyczną Ograniczymy się również do analizy promieni biegnących w wybranej płaszczyźnie yz (rys. 3.1). Bieg promienia będziemy analizowali pomiędzy dwiema prostopadłymi do osi optycznej płaszczyznami odniesienia. Płaszczyzny te będziemy nazywać pierwszą P 1 i drugą P 2 płaszczyzną odniesienia, lub płaszczyzną przedmiotową P p i płaszczyzną obrazową P o. Ponieważ układ optyczny jest kołowo-symetryczny więc wydawałoby się, że wystarczy obrócić układ promieni wyrysowany dla wybranej płaszczyzny yz wokół osi optycznej i w ten sposób uzyskamy wszystkie inne przypadki. Tak jednak nie jest. Całe zagadnienie staje się bardziej skomplikowane gdy punktu przedmiotowy leży poza osią optyczną co łamie symetrię całego układu. 18

19 Rysunek 3.1. W układzie optycznym przyjmujemy, że światło biegnie z lewej strony na prawą. Oś z, będącą osią symetrii układu optycznego, nazywamy osią optyczną układu. Bieg wybranego promienia analizujemy pomiędzy pierwszą a drugą płaszczyzną odniesienia. Ograniczamy się do promieni leżących w płaszczyźnie yz. Jeżeli kąt, który mierzymy od dodatniego kierunku osi optycznej, jest skierowany przeciwnie do kierunku biegu zegara, to przypisujemy mu znak dodatni, w przeciwnym razie przypisujemy znak ujemny. Skutki tej asymetrii ilustruje prosty przykład pokazany na rysunku 3.2, na którym przedstawiony jest bieg promieni przez soczewkę sferyczną. Punkt przedmiotowy wysunięty jest nad oś optyczną w kierunku osi y przyjętego układu współrzędnych. Współrzędna x-owa punktu przedmiotowego pozostaje równa zeru. Wyrysujmy pęk promieni wychodzący z punktu przedmiotowego. Wybierzmy z tego pęku tylko te promienie, które leżą w płaszczyźnie yz. Promienie te przecinają soczewkę wzdłuż koła wielkiego (rys. 3.2a). W drugim przykładzie (rys. 3.2.b) wybieramy z pęku promieni tylko te promienie, które leżą w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny xz. Tak wybrane promienie nie przecinają soczewki wzdłuż koła wielkiego (rys. 3.2b). Oba wyróżnione tu zbiory promieni dadzą na ekranie ślady (spotdiagramy) układające się w inny, dla każdego przykładu, kształt. Wynika z tego, że ograniczenie się do pęków promieni rozbiegających się w jednej płaszczyźnie zawęża wartość uzyskanych rozwiązań. Jednak mocno uprasza część rachunkową, a uzyskane wyniki mają wartość praktyczną. Wiemy to dzięki ponad dwustuletnim doświadczeniom z optyką paraksjalną. Gdyby nie te doświadczenia musielibyśmy omawiane tu uproszczenie gruntownie uzasadnić. 19

20 Rysunek 3.2. Z punktu wysuniętego nad oś optyczną w kierunku osi y wychodzą promienie. Przy takim położeniu punktu płaszczyzna yz staje się płaszczyzną merydionalną. Pęk promieni wykreślony w płaszczyźnie merydionalnej (a) przechodzi przez soczewkę skupiającą. Korzystając z prawa Snella obliczamy punkty w których promienie te przetną zadaną płaszczyznę obserwacji (tzw. spotdiagram). Z tego samego punktu wychodzi pęk promieni w płaszczyźnie sagitalnej (b). Ponownie korzystając z prawa Snella obliczamy punkty przecięcia tych promieni z tą samą płaszczyzną obserwacji. Zwróć uwagę, że na rysunku (a) patrzymy w kierunku prostopadłym do płaszczyzny merydionalnej yz, a na rysunku (b) w kierunku prostopadłym do płaszczyzny sagitalnej xz. W część (c) pokazany jest powiększony rozkład trafień dla przypadku (a); zielone kropki i przypadku (b); czerwone kropki. Jeden promień jest promieniem wspólnym dla obu zbiorów promieni. Promień ten jest narysowany na czerwono na rysunku (a). Widać, że dla promieni wypuszczonych w płaszczyźnie merydionalnej punkty przecięcia układają się w linię prostą, a w płaszczyźnie sagitalnej tworzą linię o bardziej skomplikowanej geometrii. Płaszczyźnie zawierającej punkt źródłowy i oś optyczną nazwę. nadano specjalną Definicja 3.3: Płaszczyzna merydionalna (lub tangencjalna) Płaszczyzna, która zawiera oś optyczną oraz pozaosiowy punkt przedmiotowy, nazywa się płaszczyzną merydionalną (tangencjalną) Płaszczyzna zawierająca pozaosiowy punkt źródłowy i prostopadła do płaszczyzny merydionalnej ma również swoją nazwę 20

21 Definicja 3.4: Płaszczyzna sagitalna Płaszczyzna, która zawiera pozaosiowy punkt przedmiotowy i jest prostopadła do płaszczyzny merydionalnej nazywa się płaszczyzną sagitalną Po tym wstępie możemy krótko stwierdzić, że układ optyczny będziemy analizowali w płaszczyźnie merydionalnej. Wprowadzę teraz szeroko stosowane w optyce geometrycznej konwencje (rys. 3.1). Konwencja 3.1: Wyróżniony kierunek biegu światła Ustalamy, że kierunek biegu światła z lewa na prawo jest kierunkiem wyróżnionym. Konwencja 3.2: Znaki odcinków Jeżeli długość odcinka jest mierzona zgodnie z wyróżnionym kierunkiem biegu światła to przypisujemy mu znak plus, w przeciwnym razie przypisujemy mu znak minus. Konwencja 3.3: Orientacja odcinków Długości odcinków mierzymy zawsze od powierzchni odbijającej lub załamującej Konwencja 3.4: Znaki kątów Gdy kąt mierzony od dodatniej części osi optycznej ma orientację przeciwną do ruchu wskazówek zegara to przypisujemy mu znak dodatni, w przeciwnym razie przypisujemy mu znak ujemny. Konwencja 3.5: Znaki promieni krzywizny Promień krzywizny powierzchni sferycznej jest dodatni jeżeli odcinek od wierzchołka tej powierzchni do środka jej krzywizny jest zgodny z wyróżnionym kierunkiem biegu światła, w przeciwnym razie promień krzywizny tejże powierzchni jest ujemny 3.1 Macierz przejścia Rozważmy drogę promienia świetlnego w wolnej przestrzeni przy przejściu pomiędzy dwiema wybranymi płaszczyznami odniesienia P 1 i P 2 (rys ). Promień biegnie tak, że tworzy kąt u 1 osią z, który możemy uznać za mały; pozwala nam to odwołać się do przybliżenia paraksjalnego. Na bazie elementarnej geometrii możemy, dla obu narysowanych przypadków, zapisać następujące relacje: 3.1.1a Oba równania (3.1.1) możemy zapisać w postaci macierzowej 3.1.1b 21

22 3.1.2 Mamy pierwsze wyrażenie optyki macierzowej. Sukces to mało imponujący gdyż wzór (3.1.2) opisuje przejście promienia świetlnego w jednorodnej przestrzeni od jednej płaszczyzny do drugiej, ale od czegoś trzeba zacząć. Rysunek Bieg promienia świetlnego w wolnej przestrzeni - dwa przykłady. W przypadku (a) cos(αy1)=cos(αy2)>0, a w przypadku (b) cos(αy1)= cos(αy2)<0. Zapiszemy powyższy wzór w przybliżeniu paraksjalnym. W tym celu zauważmy, że 3.1.3a 3.1.3b Stąd 3.1.3c 3.1.4a 3.1.4b Teraz wyrażenie (3.1.2) możemy zapisać w postaci

23 Weźmy się za analizę bardziej ambitnego problemu. Niech pomiędzy pierwszą i drugą płaszczyzną odniesienia znajduje się ośrodek o współczynniku załamania n różnym od jeden (rys ). Rysunek Między płaszczyzną P1 i P2 pojawił się ośrodek o współczynniku załamania większym niż jeden. Teraz na granicy ośrodków dochodzi do załamania promienia. Przedłużając promień załamany aż do osi optycznej, przetniemy tą oś w punkcie Q. Możemy zatem stwierdzić, że ten sam efekt końcowy otrzymamy przyjmując, że promień wychodzi z punktu Q, pod kątem u2 i że nie ma żadnego załamania na granicy ośrodków. Łatwo pokazać, że punkt Q znajduje się w odległości T=t/n od granicy ośrodków. Prawo załamania mówi nam, że W przybliżeniu paraksjalnym wyrażenie (3.1.6) przyjmie postać Współrzędną y 2 określa wyrażenie (3.1.4a), które możemy zapisać w postaci Wielkość t/n określa położenie punktu Q (rys ), a wielkość nu 1 jest równa kątowi u 2. Jeżeli przyjmiemy, że będziemy się odtąd posługiwać właśnie tymi wielkościami, to dla tych nowych wielkości będziemy mogli zapisać wzory na przejście promienia w znanej już postaci (3.1.4). Aby ułatwić sobie życie wprowadzimy następujące oznaczenia 23

24 Definicja 3.1.1: Odległość zredukowana Odległość zredukowana T jest równa odległości geometrycznej podzielonej przez współczynnik załamania środowiska w którym dana odległość jest liczona (wzór 2.12a) Definicja 3.1.2: Kąt optyczny Kąt optyczny V jest równy wartości kąta przemnożonej przez wartość współczynnika załamania środowiska, w którym ten kąt jest wyznaczony (wzór 2.12b) Zgodnie z tymi oznaczeniami, przy zamianie t T oraz u V, równania (3.1.7) i (3.1.8) przyjmują postać wzorów (3.1.4). W tym miejscu możemy już zdefiniować macierz translacji T a b Definicja 3.1.3: Macierz translacji (macierz przejścia) w przybliżeniu paraksjalnym Macierz translacji T dla przejścia promienia pomiędzy dwoma płaszczyznami odniesienia zdefiniowana jest, w przybliżeniu parakasjalnym, w następujący sposób Paraksjalny układ równań (3.1.11) możemy zapisać w postaci Popatrzmy jeszcze na układ w którym między płaszczyznami P 1 i P 2 mamy współczynnik załamania n 1 a za płaszczyzną P 2 mamy współczynnik załamania n 2 (rys ). Zgodnie z prawem Snella mamy To samo wyrażenie w przybliżeniu paraksjalnym przyjmie postać Wzór wiążące współrzędne y 2 i y 1 będzie miał dalej postać (3.1.11a). Jak z tego widać w układzie przedstawionym na rysunku wyrażenia (3.1.12) 24

25 i (3.1.13) zachowują swą postać. Jest to niewątpliwa zaleta wprowadzonych tu zmiennych (definicje (3.1.1) i (3.1.2). Rysunek Wstawienie za płaszczyzną P2 ośrodka o współczynniku załamania n2 niczego w postaci wzorów nie zmienia. Trzeba jednak pamiętać, że V2 wyraża się wzorem Ponadto przesuwa się położenie punktu Q. Warto tu jeszcze raz podkreślić wygodny fakt: Fakt 2.1. W przybliżeniu paraksjalnym, przy przejściu przez płaską granicę między dwoma ośrodkami kąt optyczny pozostaje stały (wzór (3.1.11b)). Pozostaje nam rozpatrzyć jeszcze bardziej złożony przykład przedstawiony na rysunku (3.1.4). Mając wzory (3.1.11) potrafimy obliczyć przejście między dowolnymi dwiema płaszczyznami na przykład między płaszczyznami P 2 i P a b Wykorzystam ponownie wzory (3.1.11) tym razem dla opisu przejścia promieni pomiędzy płaszczyznami P 1 i P a b tutaj S 1 =s 1 /n 1 i S 2 =s 2 /n 2 Mamy zatem równanie macierzowe

26 Rysunek Układ trzech następujących po sobie obszarów o różnych współczynnikach załamania. Powyższe wyniki łatwo jest uogólnić dla N kolejno po sobie następujących płaszczyzn P 1, P 2,, P N. W takim przypadku przejście od płaszczyzny pierwszej P 1 do ostatniej P N wyrazi się macierzą Tutaj y N oznacza współrzędne przecięcia promienia z płaszczyzną o numerze N, a V N oznacza kąt optyczny promienia wychodzącego z płaszczyzny o numerze N. Wyrażenie (3.1.20) jest pierwszym ważnym wzorem optyki macierzowej. Umożliwia obliczenie przejścia promienia między dowolną ilością płaszczyzn. Teraz wykonam ważny krok w kierunku tego z czym zwykle kojarzy się nam optyka techniczna opisem przejścia promienia przez soczewki Macierz załamania Zaczniemy od pojedynczej powierzchni sferycznej (rys ). Promień padający na tą powierzchnię w punktach (y 1, z 1 ) z lewej strony opisany jest kosinusami kierunkowymi (c y0, c z0 ). Przed powierzchnią mamy współczynnik załamania n 0 a za powierzchnią n 1. Czerwona linia przerywana jest przedłużeniem promienia padającego. Promień załamany narysowany jest linią niebieską, jego kosinusy kierunkowe oznaczamy jako (c y1, c z1 ). Punkt B znajduje się w odległości n 0 (licząc wzdłuż przedłużonej części promienia padającego) od punktu przecięcia promienia z powierzchnią P. Punkt C znajduje się w odległości n 1, liczonej wzdłuż promienia załamanego. Punkt A wyznacza rzut prostopadły punktu B na promień sfery r. Punkt D wyznacza rzut prostopadły punktu C na promień sfery r. Rysunek 3.2.1a przedstawia sytuację gdy n 0 <n 1, a rysunek 3.2.1b przedstawia sytuację odwrotną n 0 >n 1. 26

27 Rysunek Z lewej strony na sferyczną powierzchnię załamującą pada w punkcie P0(y0, z0) promień (czerwona linia). Na powierzchni sferycznej ulega załamaniu w tym samym punkcie P1(y1, z1) (niebieska linia). Oznacza to, że przyjmujemy P0=P1 i konsekwentnie y0=y1 oraz z0=z1. Na rysunku (a) mamy n0<n1, a na rysunku (b) mamy n0>n1. Na podstawie rysunku możemy zapisać: 3.2.1a Z definicji sinusa mamy również 3.2.1b 3.2.2a Na mocy prawa Snella 3.2.2b Stąd możemy wyciągnąć wniosek, że, a w konsekwencji czworobok ABCD jest prostokątem. Oznacza, to, że odcinek BC jest równoległy do odcinka. W szczególności mamy Zajmiemy się teraz rzutem trójkąta PBC na oś y (rys ). Możemy zapisać a 27

28 Zauważ, że pierwsze dwa kosinusy w powyższym wzorze są kosinusami kierunkowymi promienia padającego i załamanego i jako takie pilnują znaków przy poszczególnych składnikach w tym wzorze. W szczególności drugi składnik dla sytuacji przedstawionej na rysunku jest ujemny. Korzystając ze wzoru (3.2.4) wzór (3.2.5a) zapiszemy w postaci 3.5b Rysunek Analiza relacji między rzutami na oś y odcinków trójkąta PBC. Skorzystam teraz z zależności (patrz też rysunek 3.1) Podstawiam teraz to wyrażenie do wzoru (3.5b) i korzystam z definicji (2.4) optycznych kosinusów kierunkowych a a W przybliżeniu paraksjalnym odrzucamy wyrażenia w potędze drugiej lub wyższych. Zatem w przybliżeniu paraksjalnym funkcja kosinus wyraża się przez jedynkę 3.10b Korzystając z przybliżenia paraksjalnego wzór (3.7b) możemy zapisać w postaci 28

29 A macierz refrakcji przyjmie postać Definicja 3.2.1: Macierz refrakcji (załamania) w przybliżeniu paraksjalnym Macierz refrakcji (załamania) R, w przybliżeniu paraksjalnym, opisuje przejście promienia przez sferyczną powierzchnię załamującą. Macierz ta ma postać Przejście promienia przez sferyczną powierzchnię załamującą zapiszemy tak 3.13 Warto jednak inaczej zinterpretować współrzędne y 1 i y 0 (patrz opis do rysunku 3.2.1). Rysunek przedstawia przejście promienia przez powierzchnię sferyczną zgodnie z wprowadzonymi dla przybliżenia paraksjalnego oznaczeniami. Poprzednio zakładaliśmy, że P 0 =P 1. Teraz przyjmiemy, że płaszczyzna P 0 jest styczna do wierzchołka powierzchni łamiącej a płaszczyzna P 1 przechodzi przez punkt przejścia promienia przez tą powierzchnię. I chociaż jest oczywiste, że promień zwykle przecina płaszczyznę P 1 na innej wysokości niż płaszczyznę P 2, to przyjmiemy, że y 0 y 1. To dodatkowe założenie nakłada kolejne ograniczenie na rozpatrywane układy optyczne. Sferyczna powierzchnia załamująca, w granicach wyznaczonych przez padającą wiązkę nie może zbyt daleko oddalać się od powierzchni stycznej do jej wierzchołka. Rząd błędu grubości, którego przykład przedstawiony jest na rysunku 3.4, nie może być większy od rzędu błędu przybliżenia paraksjalnego. Inaczej mówiąc, ponieważ i tak przyjmujemy przybliżenie paraksjalne, to wyznaczenie wysokości padania promienia z pełną dokładnością niczego nie poprawi. Przy wyznaczeniu wysokości padania możemy sobie pozwolić na błąd tego samego rzędu co błąd popełniany przy przybliżeniu paraksjalnym. Stąd się bierze założenie y 0 y 1. 29

30 Rysunek 3.3. Rysunek można traktować jako rysunek 3.1a dla przybliżenia paraksjalnego Rysunek 3.4. Wiązka promieni o rozwartości 30 pada na dwuwypukłą soczewkę o ogniskowej f=70mm. Odległość źródło-wierzchołek soczewki wynosi 50mm. Z prawej wyrysowana jest różnica y, pomiędzy y-ową współrzędną punktu przecięcia promienia z osią y oraz y-ową współrzędną punktu przecięcia tegoż promienia z pierwszą powierzchnią soczewki. Jak widać dla wysokości padania promienia y= 5mm (odpowiada to kątowi wiązki około 15 ) różnice te są nieduże. Dla wyższych wartości gwałtownie zaczynają rosnąć. Rysunek ten należy traktować jako przykład ilustrujący przyjęte przybliżenia. Dla każdego układu optycznego wartości parametrów przy którym przybliżenie paraksjalne jest użyteczne są inne. Zdefiniuję nową wielkość 30

31 Definicja 3.3. Moc optyczna Mocą optyczną powierzchni sferycznej odgradzającej dwa ośrodki o współczynnikach załamania n 1 i n 2 nazywamy wielkość P zdefiniowaną wzorem (3.14) 3.14 W układzie SI jednostką mocy łamiącej jest dioptria [D], która ma wymiar jeden przez metr. Definicja 3.4. Jednostka mocy optycznej Moc optyczna ma wymiar odwrotności długości. W układzie SI dioptria jest oznacza przez D, a jednostką mocy optycznej jest odwrotność metra Jak widać, ze wzoru (3.13), w przybliżeniu paraksjalnym, macierz refrakcji zapisujemy wykorzystując moc optyczną powierzchni sferycznej. Gdy promień powierzchni załamującej rośnie do nieskończoności (powierzchnia staje się płaska) moc optyczna P spada do zera, a macierz załamania staje się macierzą jednostkową powierzchnia traci swoją moc łamiącą. Dlatego gdy mamy do czynienia z przejściem przez powierzchnię (rozdział 2) płaską pomijamy macierz załamania. 3.3 Soczewka cienka Wreszcie nadeszła wiekopomna chwila kiedy zmierzymy się z symbolem optyki czyli soczewką. Zrobimy to ograniczając się do przybliżenia paraksjalnego. Gdy jedna powierzchnia sferyczna następuje za drugą a obie są tak blisko siebie, że można uznać iż promienia przebijają obie powierzchnie na tej samej wysokości macierz takiego układu wyraża się prostą zależnością (rys. 3.5). Gdzie R 1, R 2 są macierzami załamania dla poszczególnych powierzchni a P 1, P 2 są mocami optycznymi tych powierzchni

32 Rysunek 3.5. Dwie następujące po sobie powierzchnie sferyczne możemy potraktować mnożąc przez siebie dwie odpowiednie macierze załamania dla powierzchni pierwszej R1 i drugiej R2. Zauważ przy tym, że macierze załamania komutują, to znaczy, że są przemienne ze względu na operację mnożenia (komutują również macierze translacji) 3.16 ale w ogólnym przypadku macierze translacji T nie komutują z macierzami refrakcji R, to znaczy, że zwykle 3.17 Gdy jest N powierzchni sferycznych położonych blisko siebie, tak że możemy uznać, że dany promień przecina każdą z tych powierzchni na tej samej wysokości, to wypadkowa macierz załamania ma postać: 3.18 Gdy mamy dwie powierzchnie, dla których możemy przyjąć, że promień pada na obie powierzchnie na takiej samej wysokości (rys. 3.5) to wtedy mówimy, że mamy do czynienia z soczewką cienką. 32

33 Definicja 3.5. Soczewka cienka Soczewką cienką nazywamy taką soczewkę dla której możemy przyjąć, że wysokość padania promienia na jej pierwszą powierzchnię jest równa wysokości przejścia tego promienia przez jej drugą powierzchnię Oczywiste jest, że im cieńsza jest rzeczywista soczewka, tym lepiej pasuje do powyższej definicji. Zgodnie z powyższymi wnioskami i definicjami moc optyczna soczewki cienkiej wyraża się wzorem 3.19 Tutaj n p, n o są współczynnikami załamania przed i za soczewką. W powietrzu wzór (3.19) upraszcza się do Wprowadzimy nową wielkość 3.20 Definicja 3.6. Ogniskowa soczewki cienkiej Ogniskowa f soczewki cienkiej, zrobionej z materiału o współczynniku załamania n i pracującej w próżni (powietrzu) jest równa odwrotności mocy optycznej tej soczewki. Korzystając ze wzoru (3.20) możemy zapisać 3.21 Gdy soczewka pracuje w innym środowisku o współczynniku załamania większym niż jeden, to również możemy umówić się, że ogniskowa soczewki jest równa odwrotności jej mocy danej wzorem (3.19), ale zwykle przez ogniskową rozumie się odwrotność mocy soczewki w powietrzu Macierz ABCD Kiedy układ optyczny zawiera wiele powierzchni sferycznych poprzesuwanych względem siebie o różne odległości możemy taki układ opisać mnożąc kolejno jego macierze translacji i refrakcji. W wyniku otrzymamy nową macierz o wymiarach 2x2, która będzie opisywała przejście pomiędzy pierwszą i ostatnią płaszczyzną odniesienia układu optycznego. Macierz taką ogólnie zapisuje się w postaci i nazywa macierzą ABCD układu optycznego

34 Definicja 3.4.1: Macierz ABCD układu optycznego Macierz ABCD układu optycznego jest macierzą postaci (3.4.1). Macierz ta powstaje w wyniku mnożenia elementów macierzowych o tej samej postaci (3.4.1) opisujących przejście promienia przez poszczególne elementy układu optycznego, oraz przez przestrzenie pomiędzy tymi elementami (w tym również przejście od płaszczyzny wejściowej i do płaszczyzny wyjściowej). Mając wyznaczoną macierz ABCD układu optycznego możemy przestać myśleć o elementach, które ten układ tworzą i skupić się na jego dwóch płaszczyznach odniesienia wejściowej i wyjściowej (rys ). W tym momencie nie jest istotne czy układ optyczny składa się z płaszczyzn i powierzchni sferycznych, czy też mamy jeszcze inne elementy. Jeżeli te inne elementy dadzą się opisać macierzą ABCD, to i cały system da się opisać macierzą ABCD. Przejście promienia przez układ optyczny opisany macierzą ABCD dane jest wzorem Rysunek Przejście promienia od płaszczyzny przedmiotowej Pp, do płaszczyzny obrazowej Po, będziemy charakteryzowali macierzą ABCD. Kiedy tą macierz znamy to możemy zapomnieć o tym z jakich elementów składa się dany układ optyczny. Od tej pory, do opisu przejścia danego promienia, wystarczy nam położenie płaszczyzny wejściowej Pp i płaszczyzny wyjściowej Po, oraz współrzędne yp i Vp tego promienia. Po rozpisaniu powyższego równania macierzowego otrzymujemy 3.4.3a 3.4.3b Jak widać z powyższych równań macierz ABCD opisuje nam przejście od współrzędnych (y p, V p ) do współrzędnych (y o, V o ) i pod tym względem zachowuje się jak każda inna macierzowa transformacja współrzędnych. 34

35 Macierz ABCD układu optycznego ma jeszcze jedną własność jej wyznacznik musi być równy jeden Wynika to z podstawowego dla teorii wyznaczników faktu, że wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy. Łatwo jest pokazać, że wyznaczniki macierzy translacji i załamania równe są jeden. Macierz ABCD powstaje w wyniku mnożenia przez siebie macierzy translacji i załamania, stąd jej wyznacznik musi też być równy jeden. Własność ta jest również w mocy dla macierzy przejścia (2.25) i refrakcji (3.9) wyprowadzonych bez odwoływania się do przybliżenia paraksjalnego. Musimy jeszcze odpowiedzieć sobie na pytanie o wymiar poszczególnych elementów macierzy ABCD. Na podstawie wzorów (3.4.3) możemy stwierdzić, że: 3.4.5a 3.4.5b Analiza układu opisanego macierzą ABCD Korzystając z wprowadzonego formalizmu macierzowego przeprowadzę analizę podstawowych własności układu, opisywanego przy użyciu macierzy ABCD. W tym celu rozważę następujące przypadki: D=0 Korzystając ze wzorów (3.4.3) otrzymujemy następujący układ równań 3.4.6a 3.4.6b W tym przypadku wszystkie promienie wychodzące z punktu o współrzędnej y p leżącego w wejściowej płaszczyźnie odniesienia P p pod dowolnym kątem optycznym V p, wychodzą z wyjściowej płaszczyzny odniesienia P o pod tym samym kątem optycznym V o ; tzn. wszystkie promienie mają na wyjściu ten sam kąt tak jak to pokazuje rysunek (4.2). Inaczej jeszcze mówiąc z układu optycznego wychodzi wiązka promieni równoległych. Płaszczyznę odniesienia P p dla której D=0 nazywamy pierwszą płaszczyzną ogniskową układu, lub płaszczyzną ogniskową przedmiotową. Definicja Pierwsza płaszczyzna ogniskowa (płaszczyzna ogniskowa przedmiotowa) Płaszczyzna, dla której promienie wychodzące z jej dowolnego punktu i przechodzące przez dany układ optyczny, wychodzą z tego układu optycznego jako wiązka promieni równoległych nazywa się pierwszą płaszczyzną ogniskową 35

36 (płaszczyzną ogniskową przedmiotową); przy czym wystarczy aby własność ta była spełniona w przybliżeniu paraksjalnym Rysunek Dla D=0 promienie wychodzące z dowolnego punktu płaszczyzny odniesienia Pp i przechodzące przez układ optyczny formują wiązkę promieni równoległych. B=0 W tym przypadku otrzymujemy układ równań postaci 3.4.7a 3.4.7b Oznacza to, że wszystkie promienie wychodzące z dowolnego punktu na płaszczyźnie P p zbiegają się w jednym punkcie położonym na płaszczyźnie P o (rys ); współrzędna y o nie zależy od kąta optycznego V p. Dwie płaszczyzny P p i P o, dla których spełniony jest warunek B=0 nazywamy płaszczyznami sprzężonymi danego układu optycznego. Jest to konfiguracja w której obrazem każdego punktu leżącego na płaszczyźnie przedmiotowej P p jest dokładnie jeden punkt w płaszczyźnie P o. Definicja 3.4.3: Płaszczyzny sprzężone Płaszczyzny: wejściowa i wyjściowa, dla których pęk promieni wychodzący z dowolnego punktu płaszczyzny wejściowej zbiega się, po przejściu przez dany układ optyczny, do jednego punktu w płaszczyźnie wyjściowej, przy czym bieg promieni wyznaczony jest w przybliżeniu paraksjalnym, nazywamy płaszczyznami sprzężonymi. Zauważ, że gdy B=0 wielkość A określa powiększenie liniowe układu optycznego

37 Rysunek Gdy B=0 promienie wychodzące z dowolnego punktu płaszczyzny Pp i przechodzące przez układ optyczny zbiegają się w jednym punkcie leżącym na płaszczyźnie Po. O płaszczyznach Pp i Po mówimy w takim przypadku, że są sprzężone optycznie. Przyjrzyjmy się bliżej układowi z rysunku (4.1). Do tej pory analizowaliśmy macierz ABCD całego układu, czyli taką, która opisuje przejście promienia od płaszczyzny przedmiotowej P p do płaszczyzny obrazowej P o. Możemy jednak rozbić tą macierz na iloczyn następujących macierzy (idąc w iloczynie od tył): macierz przejścia od płaszczyzny P p do pierwszej płaszczyzny układu optycznego, macierz ABCD układu optycznego oraz macierz przejścia od drugiej płaszczyzny układu optycznego do płaszczyzny obrazowej P o W powyższym wzorze indeksy u oznaczają współczynniki macierzy ABCD układu optycznego. Przyjmiemy, że B=0, a współczynnik C jest równy mocy optycznej układu optycznego wziętej ze znakiem minus, tak jak to było w przypadku soczewki cienkiej: C=-P. Przy B=0 współczynnik A macierzy M jest równy powiększeniu liniowemu układu optycznego (3.4.8) A=. Korzystają ponadto z warunku (4.4) macierz M możemy zapisać w postaci. 37

38 Przypadek B=0 jest bardzo ważny, gdyż opisuje klasyczne odwzorowanie przedmiotu przez soczewkę. Zapisanie, dla takiego przypadku, macierzy M w postaci (4.10) jest często spotykane, gdyż postać (3.4.10) wykorzystuje użyteczne parametry układu optycznego takie jak powiększenie liniowe i moc optyczna. Niech C=0 W tym przypadku otrzymujemy układ równań a b Oznacza to, że jeśli na układ optyczny pada wiązka promieni równoległych, to wszystkie promienie z tej wiązki, po przejściu przez ten układ optyczny tworzą również wiązkę równoległą, ale nachyloną pod innym kątem (rys. 4.3). Taki układ nazywamy układem teleskopowym. W oczywisty sposób nie można go złożyć z pojedynczej soczewki. Rysunek Układ teleskopowy Definicja 3.4.4: Układ teleskopowy Układ optyczny nazywamy układem teleskopowym, gdy padającą równoległą wiązkę promieni przekształca w wiązkę równoległą, niekoniecznie o tym samym nachyleniu do osi optycznej. Jeżeli przestrzeń między układem optycznym a płaszczyznami P p i P o wypełniona jest środowiskiem o takim samym współczynniku załamania, to wielkość D, przy C=0, określa powiększenie kątowe u o /u p tegoż układu optycznego. Gdy środowisko w którym pracuje układy optyczny ma po jego 38

39 obu stronach ośrodki o różnych współczynnikach załamania, to związek pomiędzy D a powiększeniem kątowym jest dany poniższym wzorem Niech A=0 W tym przypadku otrzymujemy układ równań a b Oznacza to, że wszystkie promienie, które padają na układ pod tym samym kątem spotykają się w jednym punkcie leżącym na płaszczyźnie obrazowej P o. Płaszczyznę obrazową P o, dla której A=0 nazywamy drugą płaszczyznę ogniskową (płaszczyzną ogniskową obrazową) układu optycznego (rys ). Rysunek Jeżeli na układ pada wiązka promieni równoległych to wszystkie promienie tej wiązki przecinają się w punkcie należącym do płaszczyzny Pp, która nosi w takim wypadku nazwę drugiej płaszczyzny ogniskowej (płaszczyzny ogniskowej obrazowej). Definicja 3.4.5: Druga płaszczyzna ogniskowa (płaszczyzna ogniskowa obrazowa) Płaszczyzna wyjściowa, dla której wiązka promieni równoległych padających na dany układ optyczny zbiega się do punktu należącego do tej płaszczyzny nazywa się drugą płaszczyzną ogniskową (płaszczyzną ogniskową obrazową) tego układu optycznego; przy czym wystarczy aby własność ta była spełniona w przybliżeniu paraksjalnym 39

40 3.5. Rysowanie biegu promienia przez soczewkę cienką Zrobię tu krótki przystanek poświęcony nauce rysowania biegu promieni przez układ optyczny opisywany w przybliżeniu paraksjalnym. Zaczniemy rysowanie od prostego układu optycznego jakim jest soczewka cienka. Soczewkę cienką zbierającą będziemy oznaczali jako odcinek zakończony z obu stron strzałkami (rys ). Umieśćmy z prawej strony soczewki przedmiot. Na tym etapie za przedmiot zupełnie wystarczy nam punkt (punkt przedmiotowy) położony poza osią optyczną. Punkt ten będziemy oznaczali strzałką o początku na osi optycznej i końcu w punkcie przedmiotowym. Jak graficznie znaleźć obraz naszego punktu? To proste, trzeba znaleźć punkt obrazowy w którym zejdą się promienie załamane na soczewce. Taki punkt wyznaczy nam przecięcie dwóch dowolnych promieni wychodzący z punktu przedmiotowego. W naszym układzie są trzy promienie, które szczególnie łatwo jest narysować. Pierwszy promień (czerwony na rysunku 3.5.1) wychodzi z punktu obrazowego równolegle do osi. Taki punkt przetnie się w pewnym innym punkcie F p z osią optyczną. Co ważne, zgodnie z rysunkiem i wzorami (3.4.13) promienie równoległe do osi optycznej przetną się w tym samym punkcie, który nazywamy ogniskową obrazową soczewki. Możemy uznać, że wiązka równoległa do osi optycznej pochodzi z punktu źródłowego znajdującego się na osi optycznej nieskończenie daleko od soczewki. Wtedy punkt F p jest obrazem punktu znajdującego się w nieskończoności na osi optycznej. Rysunek Wyznaczanie obrazu przedmiotu przez soczewkę o ogniskowych: obrazowej fo, przedmiotowej fp. Powstały obraz jest obrazem rzeczywistym, powiększonym i odwróconym. 40

41 Definicja 3.4.1: Drugie ognisko soczewki (ognisko obrazowe soczewki) Punkt będący obrazem przez soczewkę, wiązki promieni równoległych do osi optycznej i biegnących zgodnie z przyjętym kierunkiem biegu promieni, nazywamy drugim ogniskiem tej soczewki (ogniskiem obrazowym tej soczewki); przy czym bieg promienia przez tą soczewkę wyznaczony jest w przybliżeniu paraksjalnym. Definicja 3.5.2: Druga ogniskowa soczewki cienkiej (ogniskowa obrazowe soczewki cienkiej) Odległość między soczewką cienką a drugim ogniskiem tej soczewki nazywamy drugą ogniskową soczewki (ogniskową obrazową soczewki) Jeżeli przepuścimy wiązkę promieni równoległych w przeciwnym kierunku, to znaczy z prawa na lewo, to zogniskują się one w punkcie P p po lewej stronie soczewki. Punkt ten nazwiemy pierwszym ogniskiem soczewki (ogniskiem przedmiotowym soczewki) Definicja 3.5.3: Pierwsze ognisko soczewki (ognisko przedmiotowe soczewki) Punkt będący obrazem przez soczewkę, wiązki promieni równoległych do osi optycznej i biegnących przeciwnie do przyjętego kierunku biegu promieni, nazywamy pierwszym ogniskiem tej soczewki (ogniskiem przedmiotowym tej soczewki); przy czym bieg promienia przez tą soczewkę wyznaczony jest w przybliżeniu paraksjalnym Definicja 3.5.4: Pierwsza ogniskowa soczewki cienkiej (ogniskowa przedmiotowa soczewki cienkiej) Odległość między soczewką cienką a pierwszym ogniskiem tej soczewki nazywamy pierwszą ogniskową soczewki (ogniskową przedmiotową soczewki) Definicje (3.4.2) i (3.4.5) określały płaszczyzny ogniskowe odpowiednio pierwszą i drugą. Z treści tych definicji i oraz z definicji (3.5.1) i (3.5.2) wynika, że dla soczewki cienkiej pierwsza (druga) płaszczyzna ogniskowa przecina oś optyczną w pierwszym (drugim) punkcie ogniskowym. Co więcej pojęcie ogniskowej soczewki cienkiej pojawiło się już w definicji (3.5) oraz we wzorze (3.21). Jaki jest związek pomiędzy tymi definicjami. Zauważmy, że pierwsza i druga ogniskowa soczewki cienkiej muszą co do wartości bezwzględnej być sobie równe. Wynika to z tego, że soczewka cienka, ponieważ jest cienka, z obu stron wygląda tak samo. Obie ogniskowe różnią się jednak znakiem. Wzór (3.21) podaje wartość (z uwzględnieniem znaku) ogniskowej obrazowej. Aby otrzymać wartość ogniskowej przedmiotowej należy zmienić znak ogniskowej wyznaczonej ze wzoru (3.21). Zmiana znaku wynika, że długość obu ogniskowych mierzymy w przeciwnych kierunkach (długości odcinków mierzymy od soczewki; konwencja (1.3)) 41

42 Fakt Dla soczewki cienkiej ogniskowe obrazowe i przedmiotowe są równe co do wartości bezwzględnej, ale różnią się znakiem. Określimy drugi szczególny promień (zielony). Narysujemy go tak aby łączył ognisko przedmiotowe i punkt przedmiotowy. Taki promień po przejściu przez soczewkę musi być promieniem równoległym do osi optycznej. Dodamy jeszcze trzeci szczególny promień (niebieski). Będzie to promień łączący punkt przedmiotowy z środkiem soczewki. Promień ten, po przejściu przez soczewkę nie zmieni swojego kierunku, z powodów przedstawiony na rysunku (4.7). Rysunek Promień padający na soczewkę w jej wierzchołku pod niedużym kątem (czarny) (warunek przybliżenie paraksjalnego) widzi ten fragment soczewki jak płytkę płasko- równoległą. Jak wiemy płytka płaskorównoległa nie zmienia kierunku biegu promienia, ale promień padający jest nieco przesunięty względem promienia wychodzącego. Wielkość tego przesunięcia jest tym większa im większa jest grubość soczewki. W przybliżeniu soczewki cienkiej przyjmujemy, że grubość soczewki jest równa zeru w konsekwencji musimy przyjąć, że wskazany promień ani nie ulega przesunięciu ani nie zmienia kierunku biegu. Promień padający na soczewkę powyżej lub poniżej wierzchołka soczewki (zielony) widzi pierwszą i drugą powierzchnię soczewki jako nachylone pod różnymi kątami. Zachowuje się zatem podobnie jak przy przejściu przez pryzmat. Obraz powstaje tam gdzie przetną się wszystkie promienie (dlatego do jego wyznaczenia wystarczy wykreślić dwa z nich). Tak wyznaczony obraz, podobnie jak przedmiot symbolizowany strzałką, klasyfikujemy jako obraz rzeczywisty, odwrócony i powiększony. Dlaczego rzeczywisty, to jeszcze wyjaśnię. Dlaczego odwrócony to widać. Punkt będący obrazem punktu przedmiotowego znajduje się po drugiej stronie osi optycznej. Mówiąc krótko obraz powstaje do góry nogami. Obraz jest powiększony, gdyż punkt będący obrazem jest bardziej oddalony od osi optycznej niż punkt przedmiotowy. 42

43 Dyskusja Uwagi o odwzorowaniu w przybliżeniu paraksjalnym Nie można zapominać, że ciągle korzystamy z przybliżenia paraksjalnego. W szczególności promienie wychodzące z punktu i przechodzące przez soczewkę zwykle nie zbiegają się do punktu. Inaczej mówiąc obrazem punktu nie jest punkt. Ilustruje to rysunek 4.8. Soczewki używane w praktyce często mają różne promienie krzywizny pierwszej i drugiej powierzchni. Nie są zatem z obu stron takie same. W efekcie wiązka promieni równoległych padających z lewej strony nie zachowuje się tak samo jak wiązka promieni równoległych padających z prawej strony, co ilustruje rysunek 4.7b. Przybliżenia soczewki cienkiej i paraksjalne kasują jednak te asymetrie. Rysunek Policzone, z prawa załamania, przejście dwóch wiązek promieni równoległych przez soczewkę zbierającą. Ogniskowa soczewki wynosi f=50mm. Parametry soczewki S1: pierwszy promień r1=100mm, drugi promień r2=- 33,33mm. Współczynnik załamania wynosi n=1,5, a grubość soczewki d=2mm. Soczewka S2 jest odwróconą soczewką S1, tzn. r1=33,33mm, r2=-100mm. Rysunek (a) przedstawia bieg promieni. Ekran jest w ognisku soczewek (50mm od pierwszej powierzchni soczewek). W części (b) pokazane są punkty przecięcia promieni z ekranem. W części (c) pokazany jest powiększony obszar trafień promieni z wiązki zielonej dla obu soczewek. W przybliżeniu paraksjalnym wszystkie promienie należące do tej samej wiązki trafiałyby w ten sam punkt. Przy dokładnym liczeniu biegu promienia promienie z tej samej wiązki równoległej trafiają w różne punkty. Również odwrócenie soczewki 43

44 zmienia rozmiar obszaru trafień. Uwaga: w przykładzie przeliczone zostały promienie leżące w płaszczyźnie merydionalnej. Przeliczenie pełnego trójwymiarowego biegu promieni mocniej uwypukliłoby różnice pomiędzy pokazanymi przypadkami. W przykładzie pokazanym na rysunku utworzony obraz jest obrazem prostym powiększonym i pozornym. Zauważ, że obraz ten powstaje jako efekt przedłużenia wstecz promieni przechodzących przez soczewkę. Promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne, co jest charakterystyczne, gdy przedmiot jest pomiędzy ogniskiem a soczewką zbierającą. Rozbieżne promienie nie przetną się. Ale przetną się ich przedłużenia wstecz. Fizycznie nie mamy jednak punktu skupienia promieni, stąd nazwa obraz pozorny. Teraz już wiemy, że obraz nazywamy rzeczywistym, gdy jest utworzony przez przecięcie promieni realnie biegnących w układzie optycznym, a nie przez ich przedłużenia. Rysunek przedstawia przykład konstrukcji obrazu przez soczewkę rozpraszającą. Jak widać z część (a) tego rysunku wiązka promieni równoległych padających na soczewkę rozpraszającą ulega rozproszeniu (stąd nazwa soczewki). Ale przedłużenia promieni wstecz zbiegają się w punkt na osi optycznej, który nazywamy ogniskiem obrazowym soczewki. Ponieważ ognisko obrazowe wypada po lewej stronie soczewki wartość ogniskowej obrazowej jest ujemna. Konsekwentnie ognisko przedmiotowe wyznaczamy po prawej stronie soczewki w tej samej odległości co ognisko obrazowe, a wartości ogniskowej przedmiotowej jest dodatnia. Część (b) rysunku pokazuje bieg promieni wyliczony z prawa Snella. Pomarańczowe przerywane linie pokazuję przedłużenie dwóch wybranych promieni. Ich przecięcia wskazują obszar w który powstaje obraz punktu przedmiotowego. Jest to obszar ponieważ przedłużenia wstecz różnych promieni przecinają się w nieco od siebie oddalonych punktach. Rysunek Bieg promienia dla soczewki zbierającej (dodatnia ogniskowa 44

45 przedmiotowa) część (a) wyrysowanie biegu promieni z prawa Snella. Liniami przerywanymi narysowane są wsteczne przedłużenia wybranych promieni. Promienie te przecinają się w niewielkim obszarze wyznaczającym położenie obrazu. W części (b) konstrukcja obrazu paraksjalnego. Cyframi oznaczona jest kolejność rysowanie poszczególnych odcinków trzech szczególnych promieni zdefiniowanych na rysunku 4.6. Liniami przerywanymi narysowane są przedłużenia promieni. W tym przypadku promienie przecinają się dokładnie w jednym punkcie, jednoznacznie definiując punkt będący obrazem punktu źródłowego. Część (c) rysunku pokazuje konstrukcje obrazu paraksjalnego przez cienką soczewkę rozpraszającą. Cienką soczewkę rozpraszającą oznaczamy przez odcinek zakończony z obu stron odwróconą strzałką. Jak widać z konstrukcji przedmiot umieszczony przed ogniskiem obrazowym daje obraz urojony, pomniejszony i prosty. Pokazane przykłady nie wyczerpują wszystkich przypadków jakie możemy natrafić przy konstrukcji obrazu przez soczewkę cienką. Mam jednak nadzieję, że przykłady te wystarczają do opanowania techniki rysowania. Spośród trzech szczególnych promieni wykorzystywanych w takich rysunkach do wyznaczenia obrazu wystarczą tylko dwa. Jest kwestią konkretnego przypadku lub osobistych preferencji, jakie dwa zostaną wybrane do skonstruowania obrazu. Rysunek Część (a) wiązka promieni równoległych i poosiowych pada na soczewkę rozpraszającą; fp=-50mm. Po przejściu wiązka jest rozbieżna, ale promienie przedłużone wstecz przecinają się w pewnym obszarze. Na rysunku zaznaczono przecięcie przedłużenia dwóch wybranych promieni. Trzeba jednak 45

46 pamiętać, że każda para promieni przetnie się w nieco innym miejscu. (b) Odwzorowanie przedmiotu przez soczewkę rozpraszającą. Obraz tworzy się w obszarze przecięcia przedłużeń promieni przyosiowych. Na rysunku przedłużone są dwa przykładowe promienie. Obraz jest urojony, prosty i pomniejszony. (c) Konstrukcja odwzorowywania przez cienką soczewkę rozpraszającą w przybliżeniu paraksjalnym. Cienka soczewka rozpraszająca rysowana jest jako odcinek zakończony odwróconymi strzałkami. Inne oznaczenia jak na rysunku (4.9b) Zwierciadła Poradziliśmy sobie już z propagacją w wolnej przestrzeni oraz z układami optycznymi zbudowanymi z dowolnej liczby sferycznych powierzchni załamujących. Ale powierzchnie sferyczne, czy płaskie mogą również światło odbijać i noszą wtedy specjalną nazwę zwierciadła. Chciałem tu zaznaczyć, że słowo lusterko jest użyteczne kiedy się odnośny przedmiot kupuje u pani w kiosku, a w optyce lusterka ani nawet lustra używać nie wypada. Zwierciadła do naszego formalizmu włączymy w bardzo prosty sposób. Kiedy światło propaguje się od strony prawej na lewo wszystkie współczynniki załamania brane są ze znakiem minus. Konwencja Znak współczynnika załamania Jeżeli w danym środowisku światło biegnie zgodnie z wyróżnionym kierunkiem biegu światła, to współczynnikowi załamania przypisujemy znak plus, w przeciwnym razie współczynnikowi załamania przypisujemy znak minus. Tu ważna uwaga Uwaga 2 To, że współczynnik załamania w próżni (i w dobrym przybliżeniu powietrza) jest równy jeden nie oznacza, że go nie ma. Taki współczynnik załamania jest tak samo realny jak każdy inny i przy zmianie kierunku biegu promienia należy wszystkie wielkości mnożyć przez -1. Ponieważ, przy biegu promienia z lewej na prawo mnożenie przez jeden zwykle się pomija istnieje niebezpieczeństwo, że współczynnik załamania zostanie zapomniany. Weźmy za przykład odbicie od zwierciadła płaskiego, tak jak pokazuje to rysunek Wielkość V o = n o u o jest zgodnie z powyższą konwencją równa V o =-n(-u p )=V p. Oznacza to, że kąt optyczny przy odbiciu od zwierciadła nie zmienia swojego znaku co jest niewątpliwie plusem przyjętej konwencji. Jej minusem jest fakt, że operując wielkością kąta optycznego V o musimy pamiętać, że reprezentuje ona, w tym przypadku, promień poruszający się w kierunku z, a zatem odpowiedni współczynnik załamania należy przyjąć ze znakiem minus. Podobnie jest z wielkościami zredukowanej długości T. Zmiana znaku przy długości geometrycznej odcinka dla promieni biegnących w kierunku z, skompensowana jest zmianą znaku przy współczynniku załamania. 46

47 Rysunek Odbicie promienia od zwierciadła płaskiego. Zwróć uwagę, że przyjęta metoda obliczania biegu promieni odbitych działa tak jakby kasowała odbicie. Promień nie odbity (zaznaczony zieloną przerwaną linią przebija płaszczyznę P o na tej samej wysokości co promień odbity płaszczyznę Po. W macierzy ABCD jednym śladem odbicia jest zmieniony znak przy współczynniku załamania ośrodka przed zwierciadłem. Należy jednak pamiętać, że współczynnik Zobaczymy teraz jak liczymy przejście pomiędzy płaszczyznami P p i P o dla zwierciadła płaskiego rysunku (3.6.1). Zacznę od napisania macierzy przejścia od płaszczyzny przedmiotowej do zwierciadła. Moc optyczną zwierciadła obliczymy korzystając ze wzoru (3.14) Reguła znaków dotycząca promieni zwierciadeł jest taka sama jak dla powierzchni sferycznych. W naszym przypadku r=, zatem moc optyczna zwierciadła płaskiego jest P=0, a macierz odbicia jest macierzą jednostkową Macierz przejścia od zwierciadła do płaszczyzny obrazowej ma postać Macierz ABCD dla całego układu przyjmie postać Przejścia promienia opisane jest równaniem 47

48 3.6.6 Stąd mamy 3.6.7a 3.6.7b Czytając ten wynik należy pamiętać, że dla przestrzeni obrazowej mamy V o =u o /n o. Dalej mamy V o =u o /n o = u p /n p, skąd wnioskujemy, że u o =-u p. Wzór (3.6.2) na moc optyczną zwierciadła jest wzorem ogólnym i pozwala obliczyć moc optyczną dowolnego sferycznego zwierciadła. Reguły wykreślania biegu promieni przez zwierciadło są podobne do reguł dla soczewek cienkich. Rysunki (3.6.2a) i (3.6.3a) pokazują dwa przykłady ich zastosowania. Rysunek Przykład konstrukcji obrazu dla zwierciadła zbierającego (wklęsłego). W książkach zwykle rysuje się zwierciadła jako wycinki sfery, co jest pewną niekonsekwencją w stosunku do przyjętych założeń. W przybliżeniu paraksjalnym przyjmujemy, że punkt pada na zwierciadło na takiej samej wysokości jak na linię prostopadłą do osi optycznej i przechodzącą przez wierzchołek zwierciadła. Zgodnie z tym założeniem powinniśmy rysować zwierciadła jako linie z dwiema strzałkami i tak też będę robił. Jak widać z rysunku obie konstrukcje dają prawie takie samo położenie i wielkość obrazu. W części (a) promienie rysowane zgodnie z przyjętym przybliżeniem paraksjalnym narysowane są liniami ciągłymi, te zgodne z większością podręczników liniami przerywanymi. W części (b) narysowany jest, dla podobnego przypadku, bieg promieni, bez przybliżenia paraksjalnego (z prawa odbicia). Zwierciadło ma promień r=-50mm, a przedmiot leży 65mm przed zwierciadłem. Powstający 48

49 obraz jest obrazem rzeczywistym, odwróconym i pomniejszonym. Dla odróżnienia zwierciadeł od soczewek strzałki reprezentujące zwierciadła będą kreskowane po stronie nieodbijającej. Rysunek Konstrukcja biegu promieni w przypadku zwierciadła rozpraszającego (wklęsłego), część (a) rysunku. Zwierciadło rysowane jest jako prosty odcinek ze strzałkami na zewnątrz, kreskowany po stronie nieodbijającej. W części (b) rysunku bieg promienia wytyczony z prawa odbicia dla podobnego przypadku. Zwierciadło ma promień r=-50mm, a przedmiot leży 65mm przed zwierciadłem. Powstający obraz jest obrazem pozornym, prostym i pomniejszonym. Jak widać z rysunków (3.6.2 i 3.6.3) zwierciadła mają jeden punkt ogniskowy; możemy uznać, że ogniska przedmiotowa i obrazowe z natury samego zwierciadła się pokrywają F o =F p, oraz f o =f p. Wszystko to odnosi się oczywiście do przybliżenia paraksjalnego. W dokładnych obliczeniach wiązka promieni równoległy lub rozchodzących się ze źródła punktowego, odbita od zwierciadła sferycznego nie przecina osi optycznej w jednym punkcie co ilustruje rysunek (6.4). Zagadnienie płaszczyzn głównych i punktów węzłowych jest w przypadku zwierciadeł trywialne. Zwierciadła należy traktować podobnie jak pojedynczą powierzchnię załamującą. Nie możemy tu mówić o dwóch powierzchniach odbijających oddalonych od siebie o jakąś daną odległość d, tak jak to ma miejsce z dwoma 49

50 powierzchniami załamującymi soczewki. Wobec tego można przyjąć, że obie płaszczyzny główne zwierciadła pokrywają się z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek zwierciadła i prostopadłą do osi optycznej. Podobnie oba punkty węzłowe pokrywają się z wierzchołkiem zwierciadła. Rysunek Powiększony fragment rysunku (6.2b) w okolicy skupienia promieni odbitych. Jak widać promienie odbite nie trafiają w jeden punkt. Punktowe zbieganie się promieni otrzymujemy wyniku zastosowania przybliżenia paraksjalnego (rys 6.2a). Szerokość narysowanego obszaru liczona wzdłuż osi optycznej wynosi 1,3cm, rozmiar poprzeczny to 0,4cm Przykłady Zadanie 1 W odległości s=200mm przed soczewką znajduje się przedmiot. Ile razy zmieni się powiększenie obrazu jeżeli przedmiot zamiast w powietrzu umieścimy w wodzie? Promienie krzywizny soczewki wynoszą: pierwszy r 1 =-100mm, drugi r 2 =100mm, współczynnik załamania szkła i wody wynosi odpowiednio n=1,6 i n w =1,33 Układ pokazany jest na rysunku Zwróć uwagę na znaki przy promieniach obu powierzchni soczewki (obowiązuje konwencja (1.5) określająca znaki dla promieni krzywizny) Macierz refrakcji dla soczewki wyraża się wzorem Moc optyczna soczewki P wyraża się wzorem (3.19), który w przypadku gdy przed soczewką jest powietrze przyjmie postać W przypadku, gdy przed soczewką jest woda mamy 3.7.2a 3.7.2b 50

51 Rysunek W części (a) narysowany jest schemat przeliczanego układu. Przejściu od płaszczyzny Pp do soczewki odpowiada macierz przejścia dana wzorem (5.3), załamanie promieni na soczewce cienkiej opisuje macierz refrakcji (5.2), a przejście soczewka płaszczyzna Po opisuje macierz przejścia (5.4). Przemnożenie tych trzech macierzy daje nam macierz ABCD opisującą przejście promienia od płaszczyzny Pp do płaszczyzny Po. Współczynniki tej macierzy wykorzystujemy do znalezienie rozwiązania zadania. W części (b) narysowany jest bieg promienia. Dla powietrza i wody zmieni się położenia ogniska obrazowego F, co da inne powiększenie układu. Zauważ, że dostajemy tu obraz pozorny, prosty i pomniejszony. Z rysunku również wynika, że odległość sx musi być ujemna (obraz powstaje po lewej stronie soczewki). Uwaga rysując schemat układu tak jak w części (a) obrazową płaszczyznę odniesienia Po rysujemy po prawej stronie układu, gdyż zwykle z początku nie wiemy, gdzie się będzie znajdować. Gdy odległość soczewka - płaszczyzna Po wyjdzie ujemna, wtedy wiemy, że płaszczyznę tę należałoby przenieść na lewo od soczewki. Tak też jest w naszym przykładzie obraz tworzy się po lewej stronie soczewki jak to pokazuje bieg promieni wykreślony w części (b) rysunku. Macierz przejścia od płaszczyzny przedmiotu P p do pierwszej powierzchni soczewki wynosi W naszym zadaniu S może przyjmować dwie wartości: w przypadku gdy w przestrzeni przedmiotowej mamy powietrze S=200mm, a gdy jest tam woda S=200/ ,38. Macierz translacji od soczewki do płaszczyzny obrazu P o wynosi 51

52 3.7.4 Gdzie sx oznacza nieznaną odległość między soczewką a płaszczyzną obrazową. Współczynnik załamania powietrza przyjmujemy równy jeden. Zatem przejście promienia od przedmiotu do płaszczyzny przedmiotowej opisane jest następującą macierzą ABCD: 3.7.5a Dygresja 1 Zanim przejdziemy do dalszych obliczeń mała dygresja b Jeżeli nie jesteś pewien tego czy prawidłowo pomnożyłeś macierze przejścia i załamania, to zawsze możesz obliczyć ich wyznacznik. Jak wiesz musi być on zawsze równy jeden. Może się oczywiście zdarzyć błąd, który nie zmieni wartości wyznacznika, ale jest to mało prawdopodobne. Taki wyznacznikowy test można więc traktować jako prawie pewny. Dla przykładu policzymy wyznacznik macierzy M (5.5b) Wygląda na to, że macierz ABCD dla tego układu obliczona jest prawidłowo. Skoro mamy szukać powiększenia układu musimy najpierw znaleźć położenie płaszczyzny obrazowej (płaszczyzny sprzężonej do płaszczyzny P p ). Położenie Sx płaszczyzny obrazu, zgodnie z naszą poprzednią dyskusją, znajdujemy korzystając z warunku B=0. Mamy zatem równanie. z, którego znajdujemy wzór na Sx Gdy B=0 parametr A jest równy powiększeniu układu optycznego. W naszym przypadku parametr A wyraża się wzorem Do powyższego wzoru podstawiamy wielkość Sx daną wzorem (3.7.8) Oznaczmy przez P pow moc soczewki, gdy pracuje ona w powietrzu, a przez P woda moc tej samej soczewki, gdy przed jej pierwszą powierzchnią jest woda. Odpowiednio przez A pow i A woda oznaczymy powiększenia soczewki dla tych dwóch przypadków. Możemy teraz zapisać, że powiększenie zmieni się Obliczymy teraz wartość mocy optycznej soczewki pracującej w powietrzu i wodzie; korzystamy tu ze wzoru (3.7.2) 52

53 3.7.12a b W ą l p ) otrzymujemy Zadanie Na zwierciadło o promieniu r<0 pada wiązka światła wyemitowana z punktu leżącego na osi optycznej w odległości r/2 od zwierciadła. Co możesz powiedzieć o promieniach odbitych od tego zwierciadła? Zwierciadło pracuje w środowisku o współczynniku załamania n. Rysunek Część (a) - szkic biegu promienia, który w tym przypadku jest prosty. Zgodnie z definicją ogniska, w przybliżeniu paraksjalnym, wszystkie promienie wychodzące z ogniska po odbiciu od zwierciadła propagują się jako promienie równoległe do osi optycznej. W części (b) - bieg promieni obliczony z prawa odbicia (promienie odbite zaznaczone są na zielono). Linią czerwoną 53

54 przerywaną zaznaczono bieg dwóch promieni wyznaczony w przybliżeniu paraksjalnym. Jak widać im dalej od osi tym większa różnica między biegiem promienia wyznaczonym z prawa odbicia i w przybliżeniu paraksjalnym. Zaczynamy od macierzy przejścia pomiędzy płaszczyzną P 1 i P 2 (rys 3.7.2a). Moc optyczna zwierciadła wynosi Stąd macierz odbicia ma postać Mnożenie obu macierzy R i T daje nam macierz ABCD analizowanego układu Zastosujmy obliczoną macierz ABCD do przeliczenia kątów i położeń promieni po odbiciu od zwierciadła Równanie te są analogiczne do równań (4.6). Podobne są również wnioski. Gdy D=0, promienie po odbiciu od zwierciadła rozchodzą się jako promienie równoległe. Widać przy tym, że źródło leży w ognisku zwierciadła. Zadanie Na lewo od zwierciadła wypukłego (r>0) o promieniu krzywizny 100mm znajduje się, w odległości 40mm, przedmiot. Znajdź płaszczyznę obrazową dla tego przedmiotu oraz jego powiększenie. Na podstawie danych i rysunku (3.7.3a) możemy napisać macierz przejścia T 1 pomiędzy przedmiotem a zwierciadłem M p si

55 ą ż p ć R Rysunek U góry szkic biegu promienia do zadania 6.2. U dołu bieg promienia policzony zgodnie z prawem załamania. Powstający obraz jest pozorny, prosty i pomniejszony. Ponieważ przedłużenia odbitych promieni nie przecinają się w jednym punkcie położenie obrazu wyznaczone jest w obszarze o największej gęstości przecinających się promieni. Jeżeli przez sx oznaczymy odległość między płaszczyzną obrazową a zwierciadłem to możemy zapisać, że odpowiednia macierz przejścia T 2 ma postać Aby otrzymać macierz ABCD układu mnożymy powyższe macierze, oczywiście z zachowaniem odpowiedniej kolejności Sprawdź czy wyznacznik obliczonej macierzy M jest równy jeden. Ponieważ szukamy obrazu przedmiotu płaszczyzny P p i P o są sprzężone, co ma miejsce gdy B=0, stąd mamy równanie 55

56 Teraz musimy zinterpretować ten wynik. Dla promieni odbitych przyjmujemy, że Sx=-sx/(-n). W naszym przypadki mamy zatem Obraz powstaje za zwierciadłem w odległości 22,1mm. Gdy płaszczyzny P p i P o są płaszczyznami sprzężonymi, to zgodnie ze wzorem (4.8) współczynnik A wyznacza powiększenie układu optycznego. W naszym przypadku mamy Obraz jest pozorny pomniejszony i prosty Zadanie Światło pada z lewej strony na szklaną sferę o promieniu r wykonaną z materiału o współczynniku załamania n. Oblicz macierz ABCD dla tego układu pomiędzy płaszczyznami P 1 i P 2 umiejscowionymi tak jak na rysunku 7.3a. Wyznacz przejście przykładowego promienia przez układ. Zaczniemy od wypisania poszczególnych cząstkowych macierzy ABCD. Musimy oczywiście ograniczyć się do promieni, których kąt z osią optyczną jest mały, w przeciwnym razie nasze przybliżone metody nie dadzą wiarygodnych wyników. Takie promienie są skupione wokół osi układu. Zaczniemy od macierzy refrakcji R 1 na powierzchni stycznej do płaszczyzny P 1. Promień krzywizny ma tu wartość dodatnią r> Następna będzie macierz translacji od wejściowej powierzchni kuli do powierzchni leżącej po drugiej stronie Teraz musimy wyznaczyć macierz odbicia R 2 od drugiej powierzchni sfery, której promień krzywizny ma wartość ujemną r<0. Moc optyczna tej powierzchni jest równa M ż ę Dalej potrzebujemy macierz translacji opisującą drogę powrotną do pierwszej powierzchni kuli. Tutaj zarówno wielkość r jak i n wejdą ze znakiem minus, jednak znaki te wzajemnie się uproszczą i otrzymamy 56

57 Rysunek U góry szkic biegu promienia przez obliczany układ. U dołu bieg wiązki promieni równoległych przez szklaną kulę, przyjęty współczynnik załamania wynosi n=1,5, a promień kuli r=20mm. Obliczenia zostały wykonane z wykorzystaniem prawa załamania i odbicia. Promienie odbite wyrysowane są na niebiesko. Na końcu mamy ponownie macierz refrakcji 57

58 Macierz ABCD analizowanego układu ma postać Prawda, że proste. A właśnie możesz sprawdzić, że macierz (3.7.34) ma wyznacznik równy jeden. W ten sposób wyznaczyliśmy macierz ABCD układu w którym występują wszystkie dotychczas wprowadzone elementy: macierze przejścia, załamania i odbicia. Oczywiście otrzymane rozwiązanie jest sensownym przybliżeniem dla promieni przyosiowych. Rysunek pokazuje przejście promieni od płaszczyzny P p do pokrywającej się z nią płaszczyzny P o dla wiązki promieni równoległych, przeliczonych za pomocą wzoru (3.7.34) i przeliczeniu biegu promienia w oparciu o prawo odbicia i załamania. Rysunek Kolejne punkty określają różnicę współrzędnych trafienia w płaszczyznę Po obliczonych z przybliżenia paraksjalnego i z prawa załamania oraz odbicia. Sfera ma promień r=20mm. Cyfry w nawiasach pokazują y-owe współrzędne wejściowe poszczególnych promieni (podane w milimetrach). Im dalej od osi pada promień tym większa różnica między obliczeniami paraksjalnymi i dokładnymi. Ponieważ jednak wszystkie promienie są równoległe do osi to nawet dla wysokości padania y= 5mm różnice nie są duże. 58

59 4.Proste instrumenty optyczne Soczewki, zwierciadła czy pryzmaty stanowią zbiór elementów pozwalających na budowę instrumentów optycznych do których należą między innymi lupy, okulary, mikroskopy, lunety, teleskopy, lornety, peryskopy, aparaty fotograficzne, kamery, spektrografy optyczne. Na szczegółowe omówienie tych wszystkich przyrządów nie ma tu miejsca. Zajmę się zasadami działania najbardziej podstawowych typów przyrządów, to jest lunet, mikroskopów i teleskopów. Okulary i lupy omówię w następnym rozdziale Lunety Pierwsze lunety powstały na początku wieku XVII. Nie do końca wyjaśniona jest kwestia odkrywcy lunety, tym bardziej że istnieją przesłanki wskazujące, że lunety mogły być znane w okresie średniowiecza w krajach arabskich a nawet w okresie starożytnym w państwach hellenistycznych. XVII wieczny wynalazca mógł więc równie dobrze wzorować się na starym tekście, który nie dotrwał do naszych czasów. Wynalazek lunety bywa błędnie przypisywany Galileuszowi. Galileusz nie zbudował pierwszej lunety. Bazując na niepewnych informacjach o lunecie Hansa Lippershey, który w 1608 roku zaprezentował lunetę. Niewątpliwie Galileusz uzyskał duży rozgłos, gdy jako pierwszy skutecznie użył lunety do obserwacji astronomicznych. Już w 1610 roku odkrył między innymi fazy Wenus i cztery największe księżyce Jowisza. Odkrycia to mocno podważyło dominującą wówczas kosmologię Arystotelesa. W XVI wieku pojawiły się dwa typy lunety, które dziś nazywamy lunetami Galileusza i lunetami Keplera. Luneta Keplera została skonstruowana przez xx a opierając się na ogólnikowych informacjach Galileusz skonstruował własny typ lunety. Luneta Keplera składa się z dwóch soczewek zbierających: obiektywu i okularu. Ogniskowa obiektywu powinna być wiele razy większa od ogniskowej okularu. Obie soczewki ułożone są tak, że płaszczyzna ogniskowej obrazowej obiektywu pokrywa się z płaszczyzną ogniskowej przedmiotowej okularu. Schemat budowy lunety i tworzenie się obrazu przedstawia rysunek

60 Rysunek Schemat budowy i konstrukcja obrazu w lunecie Keplera. Zauważ, że kąt pod jakim wychodzi promień z lunety jest większy od kąta pod jakim ten promień wchodzi. Luneta daje nam powiększenie kątowe równe stosunkowi ogniskowych obiektywu i okularu. Luneta Keplera pracuje w tzw. układzie teleskopowym, to jest takim, który wiązkę promieni równoległych na wejściu przekształca w wiązkę promieni równoległych na wyjściu. Spróbuję teraz przyjrzeć się temu układowi używając macierzy ABCD. Płaszczyznę wejściową P p wybiorę w płaszczyźnie obiektywu, a płaszczyznę wyjściową P o wybiorę w płaszczyźnie okularu. Promienie wiązki równoległej padają na okular, co w moim opisie oznacza mnożenie ich współrzędnych przez macierz refrakcji R ob obiektywu Następnie mamy przejście promieni w wolnej przestrzeni na dystansie f ok +f ob. Opisuje to macierz przejścia T Na koniec mamy przejście przez okular, czyli mamy mnożenie przez macierz okularu R ok Całość zapiszę tak Nie pozostaje mi nic innego jak obliczyć macierz M, przez wymnożenie macierzy składowych 60

61 4.1.5 Macierz M jest macierzą ABCD całego układ optycznego znajdującego się między płaszczyznami P p i P o. Łatwo sprawdzić, że C=0, zatem macierz M możemy zapisać w postaci Zgodnie z analizą z xx mamy tu do czynienia z układem teleskopowym (rys.xx), co w tym wypadku jest oczywiste. W układzie teleskopowy powiększenie kątowe wyraża się wzorem (xx). W naszym przypadku wzór na powiększenie kątowe, przyjmie postać Znak minus informuje nas, że obraz jest odwrócony. Układ teleskopu Keplera jest na tyle prosty, że wzór na powiększenie kątowe można wykoncypować (pamiętając o przybliżeniu paraksjalnym) z rysunku Wydawać by się mogło, że kształtując odpowiednio stosunek (4.1.7) możemy uzyskać dowolnie duże powiększenie. Musimy jednak pamiętać o dyfrakcji. Nawet w idealnym układzie optycznym obrazem punktu nie jest punkt, tylko dysk (tzw. plamka Airego). Ogranicza to rozdzielczość lunety, możemy się tu posłużyć kryterium Rayleigha. Z dyskusji z poprzedniego wykładu wynika, że rozdzielczość lunety czy teleskopu rośnie wraz ze wzrostem średnicy obiektywu. Zatem to średnica obiektywu ma kluczowe znaczenia dla możliwości lunety. Jednak obiektywy o dużej średnicy są kłopotliwe w wykonaniu. Wynika to, że wady soczewek trudniej jest kompensować, gdy soczewki mają duże średnice. Lunety astronomiczne oferowane amatorom astronomii rzadko mają średnicę większą niż 150mm. Lunety z obiektywami o dobrej jakości mające średnice powyżej 100mm (rys. 4.2.) są znacznie droższe od teleskopów o tej samej średnicy zwierciadła głównego i mające podobne wyposażenie. 61

62 Rysunek Przykład lunety firmy Meade o średnicy obiektywu 127mm (rozdzielczość 1,1 ). Ceny tego typu przyrządów kształtują się na poziomie zł wraz z automatycznym naprowadzania lunety (ceny z roku 2011). Z materiałów reklamowych firmy Meade. Największy teleskop soczewkowy znajduje się w obserwatorium w Yerkers. Teleskop został zbudowany w 1897 roku, średnica obiektywu wynosi 102cm (rys ). Rysunek Największy teleskop soczewkowy, znajdujący się w obserwatorium w Yerkes w stanie Wisconsin USA (średnica obiektywu 102cm). Z lewej zdjęcie z 1897 roku; prawej stan obecny (2006). Obecnie obserwatorium Yerkers należy do Uniwersytetu Chicagowskiego. Teleskop został zbudowany przez Alvana Clarka w 1897 roku i do 1904 roku był teleskopem o największej średnicy obiektywu. Do dziś jest największym teleskopem soczewkowym na świecie. Wiki free 62

63 Układ Keplera stosowany jest często w lornetach. Aby uniknąć efektu odwrócenia obrazu, pomiędzy obiektywem a okularem wstawiony jest pryzmat odwracający (rys ). Rysunek Lornetka w układzie Keplera z pryzmatem odwracającym z 1905 roku (firma M. Hensoldt i Synowie z Wetzlar w Niemczech). Pryzmat odwracający pozwala na odwrócenie obrazu do właściwej pozycji oraz wydłuża drogę promieni pomiędzy okularem a obiektywem. Dzięki temu obiektyw może mieć dłuższa ogniskową niż by to wynikało z długości lornetki i możliwe jest większe powiększenie. Z rysunku widać, że obiektyw składa się z dwóch sklejonych soczewek. Okular składa się również z dwóch soczewek, tyle że rozdzielonych. Taka konstrukcja wynika chęci korekty wad jakie mają układy jednosoczewkowe. Źródło Wikipeida Drugim podstawowym typem lunety jest luneta Galileusza nazywana też lunetą ziemską lub teatralną. Schemat układu lunety Galileusza optycznego pokazany jest na rysunku Analiza działania lunety Galielusza przebiega podobnie jak lunety Keplera. Wzory na macierze załamania na obiektywie i na okularze są takie same. 63

64 Rysunek W lunecie Galileusza obiektyw stanowi soczewka zbierająca a okular soczewka rozpraszająca. Dla soczewki rozpraszającej ognisko obrazowe jest przed soczewką a ognisko przedmiotowe za soczewką. Aby utrzymać układ teleskopowy musimy zbliżyć okular tak aby jak w lunecie Keplera ognisko obrazowe obiektywu pokrywało się z ogniskiem przedmiotowym okularu. Cały układ staje się więc krótszy (przy tych samych ogniskowych obiektywu i okularu). Obraz jaki tworzy obiektyw w płaszczyźnie ogniska obrazowego tegoż obiektywu jest obrazem odwróconym i dla okularu jest to obraz pozorny. Okular odwzoruje każdy punkt tego obrazu w wiązkę równoległą. Jak widać kąt wiązki wchodzącej do teleskopu ma taki sam znak jak kąt wiązki wychodzącej z teleskopu, ale kąt wyjścia jest większy i równy. Stosunek obu kątów jest, tak jak w przypadku lunety Keplera równy stosunkowi ogniskowych obiektywu i okularu. Główną zaletą lunety Galileusza jest to, że nie odwraca obrazu. Schemat lunety Galileusza może być wykorzystany do budowy prostych lornetek o niedużym powiększeniu, takich jak lornetki teatralne. Rysunek Współczesna lornetka teatralna (3x25). Z materiałów reklamowych firmy Bresser. W oznaczeniach lornetek i teleskopów pierwsza cyfra oznacza powiększenie, a druga średnice obiektywu w milimetrach. Przedstawiona lornetka ma powiększenie trzykrotne, przy średnicy obiektywu 25mm. 64

65 Teleskopy zwierciadlane stanowią następną klasę instrumentów do obserwacji odległych obiektów. Teleskop zwierciadlany został wynaleziony w xx przez Izaaka Newtona. Ostatnią klasą instrumentów, którą się tu zajmę są mikroskopy. Rysunek przedstawia prostą wersję mikroskopu optycznego. Podobnie jak w przypadku lunet mikroskop składa się z obiektywu i okularu, inne jest tylko wzajemne położenia tych elementów. Z tej różnicy wynika inna działanie mikroskopu. Mikroskop służy do oglądania przedmiotów bliskich. Rysunek Schemat prostego mikroskopu optycznego Spróbujmy napisać macierz ABCD dla mikroskopu, którego schemat pokazany jest na rysunku (4.1.7). Tu sytuacja się nieco komplikuje, gdyż przedmiot jest w skończonym położeniu. Musimy uwzględnić więc następujące elementy macierzowe. Pierwszy element opisuje przejście od płaszczyzny przedmiotu P p do obiektywu Powiększenie mikroskopu z dobrym przybliżeniem wyraża się wzorem: Przez D oznaczyłem odległość dobrego widzenia dla oka ludzkiego D=0,25m. Pierwsze mikroskopy powstały na przełomie XVI i XVII wieku. Nie jest obecnie możliwe odtworzenie pierwszych lat historii mikroskopu, stąd kwestia pierwszeństwa pozostaje otwarta. Nazwa mikroskop została użyta w 1624 roku przez Giovanni Fabera jako złożenie dwóch greckich słów mikro (mały) i skopein (przyglądać się) i odnosiła się do przyrządu Galileusza z 1609 roku. 65

66 Rysunek Najstarsza znana rycina przedstawiająca obraz widziany pod mikroskopem. Obraz przedstawia pszczoły i jest autorstwa Francesco Stellutiego ( ) włoskiego matematyka, fizyka i pisarza. Źródło Wikipedia. Obraz pochodzi z jego publikacji z 1625 roku. Proste ale skuteczne przyrządy budowane przez Antona van Leeuwenhoek ( ), holenderskiego uczonego, pozwoliły na szereg pionierskich obserwacji w dziedzinie biologii. Jego mikroskopy przełamały barierę 200 krotnego powiększenia (są przesłanki wskazujące, że najsilniejsze przyrządy Leeuwenhoeka miały powiększenie rzędu 400 razy). 66

67 Rysunek Schemat mikroskopu van Leeuwenhoeka z 1756 roku. Źródło Wikipedia Rysunek Przekrój przez liść Jesionu obraz mikroskopowy z pracy van Leeuwenhoeka. Źródło Wikipedia. 67

Promienie

Promienie Teoria promienia Promienie Zasada Fermata Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po takiej drodze na której, lokalnie rzecz biorąc, czas przejścia światła jest ekstremalny.

Bardziej szczegółowo

POMIARY OPTYCZNE 1. Wykład 1. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

POMIARY OPTYCZNE 1. Wykład 1.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak POMIARY OPTYCZNE Wykład Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej Pokój 8/ bud. A- http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ OPTYKA GEOMETRYCZNA Codzienne obserwacje: światło

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ POMIAR OGNISKOWYCH SOCZEWEK CIENKICH 1. Cel dwiczenia Zapoznanie z niektórymi metodami badania ogniskowych soczewek cienkich. 2. Zakres wymaganych zagadnieo: Prawa odbicia

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Optyki Falowej

Laboratorium Optyki Falowej Marzec 2019 Laboratorium Optyki Falowej Instrukcja do ćwiczenia pt: Filtracja optyczna Opracował: dr hab. Jan Masajada Tematyka (Zagadnienia, które należy znać przed wykonaniem ćwiczenia): 1. Obraz fourierowski

Bardziej szczegółowo

- pozorny, czyli został utworzony przez przedłużenia promieni świetlnych.

- pozorny, czyli został utworzony przez przedłużenia promieni świetlnych. Zjawisko odbicia Zgodnie z zasadą Fermata światło zawsze wybiera taką drogę między dwoma punktami, aby czas potrzebny na jej przebycie był najkrótszy (dla ścisłości: lub najdłuższy). Konsekwencją tego

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

Optyka stanowi dział fizyki, który zajmuje się światłem (także promieniowaniem niewidzialnym dla ludzkiego oka).

Optyka stanowi dział fizyki, który zajmuje się światłem (także promieniowaniem niewidzialnym dla ludzkiego oka). Optyka geometryczna Optyka stanowi dział fizyki, który zajmuje się światłem (także promieniowaniem niewidzialnym dla ludzkiego oka). Założeniem optyki geometrycznej jest, że światło rozchodzi się jako

Bardziej szczegółowo

OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA

OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA 1100-1BO15, rok akademicki 2018/19 OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA dr hab. Raał Kasztelanic Wykład 4 Obliczenia dla zwierciadeł Równanie zwierciadła 1 1 2 1 s s r s s 2 Obliczenia dla zwierciadeł

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

Prawa optyki geometrycznej

Prawa optyki geometrycznej Optyka Podstawowe pojęcia Światłem nazywamy fale elektromagnetyczne, o długościach, na które reaguje oko ludzkie, tzn. 380-780 nm. O falowych własnościach światła świadczą takie zjawiska, jak ugięcie (dyfrakcja)

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze 14 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Materiały pomocnicze 14 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej Materiały pomocnicze 4 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej. Zwierciadło płaskie. Zwierciadło płaskie jest najprostszym przyrządem optycznym. Jest to wypolerowana płaska powierzchnia

Bardziej szczegółowo

OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA

OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA 1100-1BO15, rok akademicki 2018/19 OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA dr hab. Rafał Kasztelanic Wykład 3 Pryzmat Pryzmaty w aparatach fotograficznych en.wikipedia.org/wiki/pentaprism luminous-landscape.com/understanding-viewfinders

Bardziej szczegółowo

Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki.

Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. 1. Równanie soczewki i zwierciadła kulistego. Z podobieństwa trójkątów ABF i LFD (patrz rysunek powyżej) wynika,

Bardziej szczegółowo

Załamanie na granicy ośrodków

Załamanie na granicy ośrodków Załamanie na granicy ośrodków Gdy światło napotyka na granice dwóch ośrodków przezroczystych ulega załamaniu tak jak jest to przedstawione na rysunku obok. Dla każdego ośrodka przezroczystego istnieje

Bardziej szczegółowo

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Piotr Targowski i Bernard Ziętek Pracownia Optoelektroniki Specjalność: Fizyka Medyczna WYZNAZANIE MAIERZY [ABD] UKŁADU OPTYZNEGO Zadanie II Zakład Optoelektroniki

Bardziej szczegółowo

Soczewkami nazywamy ciała przeźroczyste ograniczone dwoma powierzchniami o promieniach krzywizn R 1 i R 2.

Soczewkami nazywamy ciała przeźroczyste ograniczone dwoma powierzchniami o promieniach krzywizn R 1 i R 2. Optyka geometryczna dla soczewek Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Soczewkami nazywamy ciała przeźroczyste ograniczone dwoma powierzchniami o promieniach krzywizn R i R 2. Nasze rozważania własności

Bardziej szczegółowo

OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA

OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA 1100-1BO15, rok akademicki 2018/19 OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA dr hab. Rafał Kasztelanic Wykład 6 Optyka promieni 2 www.zemax.com Diafragmy Pęk promieni świetlnych, przechodzący przez układ optyczny

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na

Bardziej szczegółowo

Zwierciadło kuliste stanowi część gładkiej, wypolerowanej powierzchni kuli. Wyróżniamy zwierciadła kuliste:

Zwierciadło kuliste stanowi część gładkiej, wypolerowanej powierzchni kuli. Wyróżniamy zwierciadła kuliste: Fale świetlne Światło jest falą elektromagnetyczną, czyli rozchodzącymi się w przestrzeni zmiennymi i wzajemnie przenikającymi się polami: elektrycznym i magnetycznym. Szybkość światła w próżni jest największa

Bardziej szczegółowo

Jan Masajada wykład: Optyka Falowa. Temat I. Zasada Fermata

Jan Masajada wykład: Optyka Falowa. Temat I. Zasada Fermata Jan Masajada wykład: Optyka Falowa Temat I Zasada Fermata 1.Zasada Fermata W większości wykładów zaczyna się optykę od teorii geometrycznej. My wskoczyliśmy w optykę falową bezpośrednio po omówieniu tematu

Bardziej szczegółowo

Zasada Fermata mówi o tym, że promień światła porusza się po drodze najmniejszego czasu.

Zasada Fermata mówi o tym, że promień światła porusza się po drodze najmniejszego czasu. Pokazy 1. 2. 3. 4. Odbicie i załamanie światła laser, tarcza Kolbego. Ognisko w zwierciadle parabolicznym: dwa metalowe zwierciadła paraboliczne, miernik temperatury, żarówka 250 W. Obrazy w zwierciadłach:

Bardziej szczegółowo

Optyka 2012/13 powtórzenie

Optyka 2012/13 powtórzenie strona 1 Imię i nazwisko ucznia Data...... Klasa... Zadanie 1. Słońce w ciągu dnia przemieszcza się na niebie ze wschodu na zachód. W którym kierunku obraca się Ziemia? Zadanie 2. Na rysunku przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Prawo odbicia światła. dr inż. Romuald Kędzierski

Prawo odbicia światła. dr inż. Romuald Kędzierski Prawo odbicia światła dr inż. Romuald Kędzierski Odbicie fal - przypomnienie Kąt padania: Jest to kąt pomiędzy tzw. promieniem fali padającej (wskazującym kierunek i zwrot jej propagacji), a prostą prostopadłą

Bardziej szczegółowo

+OPTYKA 3.stacjapogody.waw.pl K.M.

+OPTYKA 3.stacjapogody.waw.pl K.M. Zwierciadło płaskie, prawo odbicia. +OPTYKA.stacjapogody.waw.pl K.M. Promień padający, odbity i normalna leżą w jednej płaszczyźnie, prostopadłej do płaszczyzny zwierciadła Obszar widzialności punktu w

Bardziej szczegółowo

Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela.

Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela. Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 20 luty 2012 Stolik optyczny

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2. Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne

Ćwiczenie 2. Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne Ćwiczenie 2 Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne Podstawy Działanie obrazujące soczewek lub układu soczewek

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA II. 7. Optyka geometryczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA II. 7. Optyka geometryczna.   Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA II 7. Optyka geometryczna Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ WSPÓŁCZYNNIK ZAŁAMANIA Współczynnik załamania ośrodka opisuje zmianę prędkości fali

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI Z WYKORZYSTANIEM TIK

SCENARIUSZ LEKCJI Z WYKORZYSTANIEM TIK SCENARIUSZ LEKCJI Z WYKORZYSTANIEM TIK Temat: Soczewki. Zdolność skupiająca soczewki. Prowadzący: Karolina Górska Czas: 45min Wymagania szczegółowe podstawy programowej (cytat): 7.5) opisuje (jakościowo)

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna MICHAŁ MARZANTOWICZ

Optyka geometryczna MICHAŁ MARZANTOWICZ Optyka geometryczna Optyka geometryczna światło jako promień, opis uproszczony Optyka falowa światło jako fala, opis pełny Fizyka współczesna: światło jako cząstka (foton), opis pełny Optyka geometryczna

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje.

Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Ćwiczenie 2 Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne Działanie obrazujące soczewek lub układu soczewek wygodnie

Bardziej szczegółowo

Wykład XI. Optyka geometryczna

Wykład XI. Optyka geometryczna Wykład XI Optyka geometryczna Jak widzimy? Aby przedmiot był widoczny, musi wysyłać światło w wielu kierunkach. Na podstawie światła zebranego przez oko mózg lokalizuje położenie obiektu. Niekiedy promienie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR Na zwierciadło sferyczne padają dwa promienie światła równoległe do osi optycznej (rysunek).

SPRAWDZIAN NR Na zwierciadło sferyczne padają dwa promienie światła równoległe do osi optycznej (rysunek). SPRAWDZIAN NR 1 JOANNA BOROWSKA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Na zwierciadło sferyczne padają dwa promienie światła równoległe do osi optycznej (rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz stwierdzenie A albo

Bardziej szczegółowo

Optyka w fotografii Ciemnia optyczna camera obscura wykorzystuje zjawisko prostoliniowego rozchodzenia się światła skrzynka (pudełko) z małym okrągłym otworkiem na jednej ściance i przeciwległą ścianką

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 8

Podstawy fizyki wykład 8 Podstawy fizyki wykład 8 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Optyka geometryczna Polaryzacja Odbicie zwierciadła Załamanie soczewki Optyka falowa Interferencja Dyfrakcja światła D.

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna - 2 Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński. Zwierciadła niepłaskie

Optyka geometryczna - 2 Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński. Zwierciadła niepłaskie Optyka geometryczna - 2 Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński Zwierciadła niepłaskie Obrazy w zwierciadłach niepłaskich Obraz rzeczywisty zwierciadło wklęsłe Konstrukcja obrazu w zwierciadłach

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład X Krzysztof Golec-Biernat. Zwierciadła i soczewki. Uniwersytet Rzeszowski, 20 grudnia 2017

Optyka. Wykład X Krzysztof Golec-Biernat. Zwierciadła i soczewki. Uniwersytet Rzeszowski, 20 grudnia 2017 Optyka Wykład X Krzysztof Golec-Biernat Zwierciadła i soczewki Uniwersytet Rzeszowski, 20 grudnia 2017 Wykład X Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 20 Plan Tworzenie obrazów przez zwierciadła Równanie zwierciadła

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie wykresów.

Przekształcanie wykresów. Sławomir Jemielity Przekształcanie wykresów. Pokażemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wpływa na wygląd jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(). Jak będzie wyglądał wykres f ( ) + a, a stała? ( ) f ( )

Bardziej szczegółowo

Najprostszą soczewkę stanowi powierzchnia sferyczna stanowiąca granicę dwóch ośr.: powietrza, o wsp. załamania n 1. sin θ 1. sin θ 2.

Najprostszą soczewkę stanowi powierzchnia sferyczna stanowiąca granicę dwóch ośr.: powietrza, o wsp. załamania n 1. sin θ 1. sin θ 2. Ia. OPTYKA GEOMETRYCZNA wprowadzenie Niemal każdy system optoelektroniczny zawiera oprócz źródła światła i detektora - co najmniej jeden element optyczny, najczęściej soczewkę gdy system służy do analizy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe 1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat. Równania zwierciadeł i soczewek. Uniwersytet Rzeszowski, 3 stycznia 2018

Optyka. Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat. Równania zwierciadeł i soczewek. Uniwersytet Rzeszowski, 3 stycznia 2018 Optyka Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Równania zwierciadeł i soczewek Uniwersytet Rzeszowski, 3 stycznia 2018 Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Plan Równanie zwierciadła sferycznego i

Bardziej szczegółowo

f = -50 cm ma zdolność skupiającą

f = -50 cm ma zdolność skupiającą 19. KIAKOPIA 1. Wstęp W oku miarowym wymiary struktur oka, ich wzajemne odległości, promienie krzywizn powierzchni załamujących światło oraz wartości współczynników załamania ośrodków, przez które światło

Bardziej szczegółowo

ŚWIATŁO I JEGO ROLA W PRZYRODZIE

ŚWIATŁO I JEGO ROLA W PRZYRODZIE ŚWIATŁO I JEGO ROLA W PRZYRODZIE I. Optyka geotermalna W tym rozdziale poznasz właściwości światła widzialnego, prawa rządzące jego rozchodzeniem się w przestrzeni oraz sposoby wykorzystania tych praw

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

34 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 1

34 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 1 Włodzimierz Wolczyński 34 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 1 ODBICIE ŚWIATŁA. ZWIERCIADŁA Do analizy obrazów w zwierciadle sferycznym polecam aplet fizyczny http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=48

Bardziej szczegółowo

17. Który z rysunków błędnie przedstawia bieg jednobarwnego promienia światła przez pryzmat? A. rysunek A, B. rysunek B, C. rysunek C, D. rysunek D.

17. Który z rysunków błędnie przedstawia bieg jednobarwnego promienia światła przez pryzmat? A. rysunek A, B. rysunek B, C. rysunek C, D. rysunek D. OPTYKA - ĆWICZENIA 1. Promień światła padł na zwierciadło tak, że odbił się od niego tworząc z powierzchnią zwierciadła kąt 30 o. Jaki był kąt padania promienia na zwierciadło? A. 15 o B. 30 o C. 60 o

Bardziej szczegółowo

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna

Bardziej szczegółowo

autor: Włodzimierz Wolczyński rozwiązywał (a)... ARKUSIK 34 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 2. ZAŁAMANIE ŚWIATŁA. SOCZEWKI

autor: Włodzimierz Wolczyński rozwiązywał (a)... ARKUSIK 34 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 2. ZAŁAMANIE ŚWIATŁA. SOCZEWKI autor: Włodzimierz Wolczyński rozwiązywał (a)... ARKUSIK 34 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 2. ZAŁAMANIE ŚWIATŁA. SOCZEWKI Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania Zadanie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk - zadania z fizyki, wzory fizyczne, fizyka matura

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk - zadania z fizyki, wzory fizyczne, fizyka matura 12. Fale elektromagnetyczne zadania z arkusza I 12.5 12.1 12.6 12.2 12.7 12.8 12.9 12.3 12.10 12.4 12.11 12. Fale elektromagnetyczne - 1 - 12.12 12.20 12.13 12.14 12.21 12.22 12.15 12.23 12.16 12.24 12.17

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 7 Temat: Pomiar kąta załamania i kąta odbicia światła. Sposoby korekcji wad wzroku. 1. Wprowadzenie Zestaw ćwiczeniowy został

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

20. Na poniŝszym rysunku zaznaczono bieg promienia świetlnego 1. Podaj konstrukcję wyznaczającą kierunek padania promienia 2 na soczewkę.

20. Na poniŝszym rysunku zaznaczono bieg promienia świetlnego 1. Podaj konstrukcję wyznaczającą kierunek padania promienia 2 na soczewkę. Optyka stosowana Załamanie światła. Soczewki 1. Współczynnik załamania światła dla wody wynosi n 1 = 1,33, a dla szkła n 2 = 1,5. Ile wynosi graniczny kąt padania dla promienia świetlnego przechodzącego

Bardziej szczegółowo

35 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 2

35 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 2 Włodzimierz Wolczyński Załamanie światła 35 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 2 ZAŁAMANIE ŚWIATŁA. SOCZEWKI sin sin Gdy v 1 > v 2, więc gdy n 2 >n 1, czyli gdy światło wchodzi do ośrodka gęstszego optycznie,

Bardziej szczegółowo

Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska

Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Podstawy fizyki Wykład 11 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 3, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 2003. K.Sierański, K.Jezierski,

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

- 1 - OPTYKA - ĆWICZENIA

- 1 - OPTYKA - ĆWICZENIA - 1 - OPTYKA - ĆWICZENIA 1. Promień światła padł na zwierciadło tak, że odbił się od niego tworząc z powierzchnią zwierciadła kąt 30 o. Jaki był kąt padania promienia na zwierciadło? A. 15 o B. 30 o C.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2. Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne

Ćwiczenie 2. Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne Ćwiczenie 2 Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne Podstawy Działanie obrazujące soczewek lub układu soczewek

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej cienkiej soczewki skupiającej

Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej cienkiej soczewki skupiającej Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej cienkiej skupiającej Wprowadzenie Soczewka ciało przezroczyste dla światła ograniczone zazwyczaj dwiema powierzchniami kulistymi lub jedną kulistą i jedną płaską 1.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

LXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA

LXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA LXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA CZĘŚĆ TEORETYCZNA Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 0 punktów. Zadanie 1. przedmiot. Gdzie znajduje się obraz i jakie jest jego powiększenie? Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 53. Soczewki

Ćwiczenie 53. Soczewki Ćwiczenie 53. Soczewki Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Pomiar ogniskowych soczewki skupiającej i układu soczewek (skupiająca i rozpraszająca), obliczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej.

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI Temat lekcji: Soczewki i obrazy otrzymywane w soczewkach

SCENARIUSZ LEKCJI Temat lekcji: Soczewki i obrazy otrzymywane w soczewkach Scenariusz lekcji : Soczewki i obrazy otrzymywane w soczewkach Autorski konspekt lekcyjny Słowa kluczowe: soczewki, obrazy Joachim Hurek, Publiczne Liceum Ogólnokształcące z Oddziałami Dwujęzycznymi w

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych.

Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych. msg O 7 - - Temat: Badanie soczewek, wyznaczanie odległości ogniskowej. Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów

Bardziej szczegółowo

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2 Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1

Bardziej szczegółowo

OPTYKA W INSTRUMENTACH GEODEZYJNYCH

OPTYKA W INSTRUMENTACH GEODEZYJNYCH OPTYKA W INSTRUMENTACH GEODEZYJNYCH Prawa Euklidesa: 1. Promień padający i odbity znajdują się w jednej płaszczyźnie przechodzącej przez prostopadłą wystawioną do powierzchni zwierciadła w punkcie odbicia.

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład IX Krzysztof Golec-Biernat. Optyka geometryczna. Uniwersytet Rzeszowski, 13 grudnia 2017

Optyka. Wykład IX Krzysztof Golec-Biernat. Optyka geometryczna. Uniwersytet Rzeszowski, 13 grudnia 2017 Optyka Wykład IX Krzysztof Golec-Biernat Optyka geometryczna Uniwersytet Rzeszowski, 13 grudnia 2017 Wykład IX Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Plan Dyspersja chromatyczna Przybliżenie optyki geometrycznej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Schemat układu obrazującego 2f-2f

Rys. 1 Schemat układu obrazującego 2f-2f Ćwiczenie 15 Obrazowanie. Celem ćwiczenia jest zbudowanie układów obrazujących w świetle monochromatycznym oraz zaobserwowanie różnic w przypadku obrazowania za pomocą różnych elementów optycznych, zwracając

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R O-3

Ć W I C Z E N I E N R O-3 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA OPTYKI Ć W I C Z E N I E N R O-3 WYZNACZANIE OGNISKOWYCH SOCZEWEK ZA POMOCĄ METODY BESSELA I.

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Falowa natura światła

Falowa natura światła Falowa natura światła Christiaan Huygens Thomas Young James Clerk Maxwell Światło jest falą elektromagnetyczną Barwa światło zależy od jej długości (częstości). Optyka geometryczna Optyka geometryczna

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Michał Łasica klasa IIId nr 13 22 grudnia 2006 1 1 Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki 1.1

Bardziej szczegółowo

Rodzaje obrazów. Obraz rzeczywisty a obraz pozorny. Zwierciadło. Zwierciadło. obraz rzeczywisty. obraz pozorny

Rodzaje obrazów. Obraz rzeczywisty a obraz pozorny. Zwierciadło. Zwierciadło. obraz rzeczywisty. obraz pozorny Rodzaje obrazów Obraz rzeczywisty a obraz pozorny cecha sposób powstania ustawienie powiększenie obraz rzeczywisty pozorny prosty odwrócony powiększony równy pomniejszony obraz rzeczywisty realna obecność

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

POMIAR ODLEGŁOŚCI OGNISKOWYCH SOCZEWEK

POMIAR ODLEGŁOŚCI OGNISKOWYCH SOCZEWEK ĆWICZENIE 77 POMIAR ODLEGŁOŚCI OGNISKOWYCH SOCZEWEK Cel ćwiczenia: 1. Poznanie zasad optyki geometrycznej, zasad powstawania i konstrukcji obrazów w soczewkach cienkich. 2. Wyznaczanie odległości ogniskowych

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie ogniskowej soczewki za pomocą ławy optycznej

Wyznaczanie ogniskowej soczewki za pomocą ławy optycznej POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ CHEMICZNY KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW LABORATORIUM Z FIZYKI Wyznaczanie ogniskowej soczewki za pomocą ławy optycznej Wstęp Jednym z najprostszych urządzeń optycznych

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Cel ćwiczenia: 1. Zapoznanie z budową i zasadą działania mikroskopu optycznego. 2. Wyznaczenie współczynnika załamania

Bardziej szczegółowo

Dodatek 1. C f. A x. h 1 ( 2) y h x. powrót. xyf

Dodatek 1. C f. A x. h 1 ( 2) y h x. powrót. xyf B Dodatek C f h A x D y E G h Z podobieństwa trójkątów ABD i DEG wynika z h x a z trójkątów DC i EG ' ' h h y ' ' to P ( ) h h h y f to ( 2) y h x y x y f ( ) i ( 2) otrzymamy to yf xy xf f f y f h f yf

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Wykład 17: Optyka falowa cz.1.

Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza

Bardziej szczegółowo

Zasady konstrukcji obrazu z zastosowaniem płaszczyzn głównych

Zasady konstrukcji obrazu z zastosowaniem płaszczyzn głównych Moc optyczna (właściwa) układu soczewek Płaszczyzny główne układu soczewek: - płaszczyzna główna przedmiotowa - płaszczyzna główna obrazowa Punkty kardynalne: - ognisko przedmiotowe i obrazowe - punkty

Bardziej szczegółowo

OPTYKA GEOMETRYCZNA Własności układu soczewek

OPTYKA GEOMETRYCZNA Własności układu soczewek OPTYKA GEOMETRYCZNA Własności układu soczewek opracował: Dariusz Wardecki Wstęp Soczewką optyczną nazywamy bryłę z przezroczystego materiału, ograniczoną (przynajmniej z jednej strony) zakrzywioną powierzchnią

Bardziej szczegółowo

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora

Bardziej szczegółowo

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =

Bardziej szczegółowo

TEST nr 1 z działu: Optyka

TEST nr 1 z działu: Optyka Grupa A Testy sprawdzające TEST nr 1 z działu: Optyka imię i nazwisko W zadaniach 1. 17. wstaw krzyżyk w kwadracik obok wybranej odpowiedzi. klasa data 1 Gdy światło rozchodzi się w próżni, jego prędkć

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 53: Soczewki

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 53: Soczewki Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr : Soczewki Cel ćwiczenia: Wyznaczenie ogniskowych soczewki skupiającej i układu soczewek (skupiającej i rozpraszającej) oraz ogniskowej soczewki rozpraszającej

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Fala elektromagnetyczna o określonej częstotliwości ma inną długość fali w ośrodku niż w próżni. Jako przykłady policzmy:

Fala elektromagnetyczna o określonej częstotliwości ma inną długość fali w ośrodku niż w próżni. Jako przykłady policzmy: Rozważania rozpoczniemy od ośrodków jednorodnych. W takich ośrodkach zależność między indukcją pola elektrycznego a natężeniem pola oraz między indukcją pola magnetycznego a natężeniem pola opisana jest

Bardziej szczegółowo

STOLIK OPTYCZNY 1 V Przyrząd jest przeznaczony do wykonywania ćwiczeń uczniowskich z optyki geometrycznej.

STOLIK OPTYCZNY 1 V Przyrząd jest przeznaczony do wykonywania ćwiczeń uczniowskich z optyki geometrycznej. STOLIK OPTYCZNY 1 V 7-19 Przyrząd jest przeznaczony do wykonywania ćwiczeń uczniowskich z optyki geometrycznej. 6 4 5 9 7 8 3 2 Rys. 1. Wymiary w mm: 400 x 165 x 140, masa 1,90 kg. Na drewnianej podstawie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)

Bardziej szczegółowo