Elementy algebry ogólnej 1

Transkrypt

1 Elementy algebry ogólnej 1 Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2015/2016 Ewa Cygan Wersja z 13 sierpnia 2015

2

3 Spis treści Wstęp ii Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia ii 1 Kompendium - teoria liczb, przypomnienie znanych pojęć i twierdzeń Podzielność w Z NWD i NWW w Z O liczbach pierwszych i ich własnościach Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania Działania i ich własności Podstawowe przykłady działań Elementy teorii grup Podstawowe definicje i przykłady Homomorfizmy grup Generatory grup Grupa ilorazowa Twierdzenia o homomorfizmach grup Grupy permutacji S n Pierścienie - wiadomości ogólne Podstawowe definicje i przykłady Ideały i ich własności Pojęcie ideału i operacje na ideałach Twierdzenia o homomorfizmach pierścieni 49 7 Szczególne rodzaje ideałów Ideały pierwsze Ideały maksymalne Pierścień wielomianów Pierścienie euklidesowe Specjalne elementy w pierścieniach O nierozkładalności wielomianów Pierścienie faktorialne i

4 Wstęp Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia Przyjmujemy oznaczenia: P = zbiór liczb pierwszych = {2, 3, 5,...}, N = zbiór liczb naturalnych = {1, 2,...}, N 0 = zbiór liczb naturalnych z zerem = {0, 1, 2,...}, Z = zbiór liczb całkowitych, Z = Z \ {0} Q = zbiór liczb wymiernych, Q = Q \ {0} R = zbiór liczb rzeczywistych, R = R \ {0} C = zbiór liczb zespolonych, C = C \ {0}. ii

5 Rozdział 1 Kompendium - teoria liczb, przypomnienie znanych pojęć i twierdzeń 1.1 Podzielność w Z Definicja (podzielność w Z). Niech a, b Z. Mówimy, że b dzieli a (lub inaczej b jest dzielnikiem a) gdy istnieje c Z : a = bc. Oznaczenie: b a. Twierdzenie (algorytm dzielenia z resztą). Niech a, b - liczby całkowite, b 0. Wtedy istnieje para (q, r) Z Z: (1) a = bq + r, (2) r < b. Liczbę q nazywamy wynikiem dzielenia zaś r resztą z dzielenia. Twierdzenie (algorytm dzielenia z resztą - wersja B). Niech a, b - liczby całkowite, b 0. Wtedy: ( ) istnieje dokładnie jedna para (q, r) Z Z taka, że: (1) a = bq + r, (2) 0 r < b. ( ) jeśli dodatkowo b a, to istnieją dokładnie dwie pary (q, r) takie, że (1) a = bq + r, (2) r < b. 1.2 NWD i NWW w Z Przypomnimy teraz znaną zapewne definicję największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności dla liczb całkowitych. Trzeba jednak pamiętać, że odpowiednie pojęcia w wersji algebraicznej definiowane będą nieco inaczej ze względu na podstawowy problem: rozważając struktury algebraiczne nie możemy na ogół mówić pojęciu najmniejszy, czy największy, musimy przy definicjach uciekać się do innych własności. 1

6 2 Kompendium - teoria liczb, przypomnienie znanych pojęć i twierdzeń Definicja (NWD, NWW, względna pierwszość). ( ) Największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1,..., a r Z, (zakładamy, że przynajmniej jedna z liczb jest niezerowa) nazywamy największą liczbę całkowitą, która dzieli wszystkie a 1,..., a r. 1 Oznaczenie : NWD(a 1,..., a r ) (w literaturze również: (a 1,..., a r )) ( ) Najmniejszą wspólną wielokrotnością niezerowych liczb całkowitych a 1,..., a r nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią, która jest podzielna przez każdą z liczb a 1,..., a r. Oznaczenie : NWW(a 1,..., a r ) (w literaturze również: [a 1,..., a r ]) ( ) (liczby względnie pierwsze) Liczby a 1,..., a r Z, a 1 0 nazywamy względnie pierwszymi, gdy NWD(a 1,..., a r ) = 1. Przypomnimy teraz jak można obliczać największy wspólny dzielnik. Rozważmy przypadek dwóch liczb: a, b Z. Oczywiście, jeśli a Z, b = 0, to NWD(a, b) = a. Załóżmy więc, że obie liczby są niezerowe i przypomnijmy algorytm służący do wyliczania wówczas NWD. Choć omawiany niżej algorytm nie jest algorytmem we współczesnym sensie tego słowa, to jednak zgodnie z tradycją zachował swą nazwę: algorytm Euklidesa. Uwaga (Algorytm). 2 Euklidesa 3 dla liczb całkowitych. Ustalmy dwie liczby całkowite a, b Z. Przyjmijmy: r 1 := a, r 0 := b. Krok 1: Zgodnie z algorytmem dzielenia z resztą (1.3.(B) ( )) istnieją liczby całkowite q 1, r 1 Z takie, że: (1) a = r 1 = q 1 b + r 1, (2) 0 r 1 < r 0 = b. Jeśli r 1 = 0, kończymy algorytm. Jeśli r 1 0, to wykonujemy Krok 2. Krok 2: Istnieją liczby całkowite q 2, r 2 Z : (1) r 0 = q 2 r 1 + r 2, (2) 0 r 2 < r 1 < r 0 = b. Jeśli r 2 = 0, to kończymy algorytm. Jeśli r 2 0, to kontynuujemy analogicznie. Ogólnie, mając r i 2, r i 1 takie, że r i 1 0, wykonujemy kolejny krok: Krok (i>1): Istnieją liczby całkowite q i, r i Z: (1) r i 2 = q i r i 1 + r i, (2) 0 r i < r i 1. ( 1 )Zauważmy, że stwierdzenie największa ma tutaj sens: rozważamy naturalny porządek w zbiorze liczb całkowitych, zaś potencjalne dzielniki są ograniczone z góry przez a i ( 2 )Nazwa algorytm pochodzi od brzmienia fragmentu nazwiska arabskiego matematyka Muhammada ibn Musa al.-chorezmiego, którego uznaje się za prekursora metod obliczeniowych w matematyce. Żył on na przełomie VIII i IX wieku, przyczynił się do upowszechnienia systemu dziesiętnego oraz wprowadził stosowanie zera jako symbolu oznaczającego nic ( 3 )Euklides: matematyk grecki, głównie działający w Aleksandrii, (ok p.n.e. dokładne daty nie są znane), autor jednego z najbardziej znanych dzieł matematycznych: Elementy

7 1.3. O liczbach pierwszych i ich własnościach 3 Ze względu na nierówności: 0 r i < r i 1 istnieje N(a, b) N takie, że r N(a,b)+1 = 0 ale r N(a,b) 0. Twierdzenie Z: a, b Z T: (1) r(a, b) = NWD(a, b), (2) Istnieją liczby k, l Z takie, że r(a, b) = ka + lb, (szczególny przypadek identyczności Bacheta-Bezouta Twierdzenie (identyczność Bacheta-Bezouta). Z: a 1,..., a n Z, (co najmniej jedna z nich jest niezerowa) T: Istnieją liczby k 1,..., k n Z: NWD(a 1,..., a n ) = k 1 a k n a n. Bezpośrednio, z dowodu i twierdzenia otrzymujemy kolejne wnioski. Wniosek (wnioski z BB). Z: a 1,..., a r Z, i = 1,..., r : a i 0. T: (1) Liczby a 1,..., a r są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby całkowite k 1,..., k r takie, że: ( ) 1 = k 1 a k r a r. (2) Jeśli r > 2, to NWD(NWD(a 1,..., a r 1 ), a r )=NWD(a 1,..., a r ), (3) Jeśli (a, b) = 1 i a bc, to a c. Odnotujmy jeszcze w tym miejscu, że wyznaczanie NWD liczb całkowitych można też przeprowadzić za pomocą ich rozkładu na liczby pierwsze, jeśli a = sgn(a)p k p ks s zaś b = sgn(b)p l p ls s, (zakładamy, że p i p j dla i j, k i 0 oraz t i =min(k i, l i ) > 0 dla każdego i) to NWD(a, b) = p t p ts s. Nie wspominamy dokładniej o tej metodzie, gdyż odwołuje się ona do zasadniczego twierdzenia arytmetyki, o którym opowiemy za chwilę. Z podstawowych informacji odnotujmy na zakończenie wniosek o zależności NWD(a, b) i NWW(a, b). Wniosek (zależność między NWW i NWD). Dla liczb a, b N zachodzi równość: NWD(a, b) NWW(a, b) = ab. 1.3 O liczbach pierwszych i ich własnościach Zacznijmy od przypomnienia definicji liczby pierwszej - podstawowej cegiełki budującej liczbę całkowitą. Definicja (liczba pierwsza). Liczbę całkowitą p Z nazywamy liczbą pierwszą, jeśli (1) p > 1 oraz (2) d p, d > 0 = d = 1 lub d = p. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy dalej przez P. Każdą liczbę naturalną większą od jedynki, nie będącą liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną.

8 4 Kompendium - teoria liczb, przypomnienie znanych pojęć i twierdzeń Pamiętajmy dalej o umowie, iż liczba jeden nie jest ani liczbą pierwszą ani też liczbą złożoną. Definicja liczby pierwszej i proste zastosowanie identyczności Bezouta prowadzi nas do następującego wniosku. Własność (podstawowe własności liczb pierwszych). (1) Jeśli p P, k Z, to NWD(p, k) = 1 lub NWD(p, k) = p. (2) Jeśli p P, k 1,..., k n Z, p k 1... k n, to p k i dla pewnego i = 1,..., n. Definicja, którą wprowadzimy teraz zapewne będzie lekko razić przerostem formy nad treścią. Znów wytłumaczeniem niech będą nasze przyszłe zamierzenia, gdzie słowo jedność oznaczać będzie znacznie szerszą klasę elementów niż jest to w przypadku zbioru Z. Definicja (jedność w Z). Jednościami w Z nazywamy liczby 1 i 1. Zbiór jedności w Z będziemy oznaczać przez U(Z) := { 1, 1}. Definicja (rozkład jednoznaczny). Niech k Z. Mówimy, że k posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych, jeśli (1) istnieją p 1,..., p r P, u U(Z) takie, że k = u p 1... p r, (2) dla dowolnych dwóch układów p 1,..., p r P, q 1,..., q s P, u, v U(Z) takich, że k = u p 1... p r = v q 1... q s mamy r = s oraz istnieje σ - bijekcja zbioru {1,..., r} na siebie taka, że: i {1,..., r} : p i = q σ(i). Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Każda niezerowa liczba całkowita, nie będąca jednością w Z posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych. 1.4 Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach Na pierwszej stronie swego dzieła Disquisitiones Arithmeticae Gauss wprowadza pojęcie kongruencji, czyli jak to określać będziemy dalej przystawania. Dzięki zastosowaniu tej notacji wiele własności i twierdzeń otrzymało prostszą postać, ale też znacznie ułatwiło to przeprowadzanie wielu operacji matematycznych. Definicja (relacja przystawania modulo). Niech m N. Mówimy, że liczby całkowite k, l przystają modulo m, gdy m (k l). Oznaczenie: k l(mod m). Liczbę m nazywa się modułem kongruencji. Uwaga Relacja przystawania modulo m jest relacją równoważności w zbiorze liczb całkowitych. Klasę równoważności liczby k Z w relacji modulo m oznaczamy [k] m zaś zbiór wszystkich klas równoważności w relacji modulo m oznaczamy Z m.

9 1.5. Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania 5 Często zapisujemy po prostu Z m = {0,..., m 1} mając na myśli za każdym razem klasę równoważności reprezentowaną przez daną liczbę, (na podstawie algorytmu dzielenia z resztą wiemy, że liczby 0,..., m 1 wyczerpują wszystkie klasy równoważności). Pierwsza bardzo istotna dla dalszego ciągu uwaga, to fakt, że relacja przystawania modulo, jak łatwo sprawdzić jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia, co pozwoli dalej określić poprawnie takie właśnie działania na zbiorze Z m. Konkretnie mówią nam o tym własności Własność (podstawowe własności kongruencji). Z: n N, k, l, k, l Z takie, że k k (mod n) i l l (mod n). T: (1) k ± l k ± l (mod n), (2) kl k l (mod n). Twierdzenie (chińskie o resztach, TCR). Z: m 1,..., m r N - parami względnie pierwsze, k 1,..., k r Z. T: (1) Istnieje l Z takie, że l k i (mod m i ) dla każdego i = 1,..., r. (2) Jeśli l, l spełniają (1), to l l (mod m) gdzie m = m 1... m r. 1.5 Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania Zaczniemy od zapoznania się z najważniejszą dla naszych dalszych zastosowań, (w szczególności w teorii grup oraz w wykorzystaniu dalej m.in. w teorii ciał, teorii Galois) funkcją arytmetyczną 4. Funkcję tę można definiować na różne sposoby, ale postawimy tu standardową definicję teorioliczbową. Definicja (funkcja Eulera). Niech ϕ : N N będzie funkcją przypisującą liczbie n liczbę względnie pierwszych z nią liczb całkowitych k [0, n). Funkcję ϕ nazywamy funkcją Eulera. Własność (podstawowe własności funkcji Eulera). (1) ϕ(1) = 1, (zero jest względnie pierwsze z jedynką). (2) Niech p - liczba pierwsza. Wtedy: ϕ(p) = p 1 = p(1 1 ), (tylko zero nie jest p względnie pierwsze z p). (3) Niech p - liczba pierwsza, k N. Wtedy ϕ(p k ) = p k p k 1 = p k (1 1 ), gdyż mamy p p k 1 liczb całkowitych takich, że 0 l < p k, które są podzielne przez p. Udowodnimy teraz, że funkcja ϕ jest funkcją multliplikatywną (uwaga: nie jest to funkcja całkowicie multiplikatywna - tzn. jej multiplikatywność ogranicza się do względnie pierwszych argumentów, takie rozróżnienie w teorii liczb jest bardzo ważne). W dowodzie wykorzystamy twierdzenie chińskie o resztach. Twierdzenie (multiplikatywność funkcji Eulera). Z: m, n N - względnie pierwsze. T: ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). ( 4 )funkcja o dziedzinie N i wartościach zespolonych

10 Rozdział 2 Działania i ich własności Definicja (działanie). Niech X będzie zbiorem niepustym, zaś X X := {(x, y) : x X, y X} iloczynem kartezjańskim tego zbioru przez siebie. Każde odwzorowanie przypisujące parze elementów z X, (czyli elementowi z X X) element z X: nazywamy działaniem na zbiorze X. ( 1 ) : X X (x, y) x y X Przykład (i) R R (x, y) x y R jest działaniem na zbiorze liczb rzeczywistych, (iloczyn liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą) (ii) N N (x, y) x y Z NIE jest działaniem na zbiorze N gdyż może parze liczb naturalnych przypisać liczbę ujemną. Definicja (rodzaje działań). Niech : X X (x, y) x y X będzie działaniem na zbiorze X. (i) Działanie nazywamy łącznym gdy x, y, z X : (x y) z = x (y z) (ii) Działanie nazywamy przemiennym gdy x, y X : x y = y x (iii) Element e X nazywamy elementem neutralnym działania gdy x X : x e = e x = x ( 2 ) (iv) Jeśli dla działania istnieje element neutralny e, to dla dowolnego x X element x nazywamy elementem symetrycznym do elementu x względem działania jeśli x x = x x = e, ( 3 ) (v) Jeśli na zbiorze X zadane są dwa działania: oraz to działanie nazywamy rozdzielnym względem działania gdy: x, y, z X : (x y) z = (x z) (y z) i z (x y) = (z x) (z y) ( 1 )czasem fakt, że para punktów z X przechodzi na punkt z X nazywa się wewnętrznością działania ( 2 )uwaga: element neutralny nie zawsze musi istnieć, np. w N nie istnieje element neutralny dodawania ( 3 )uwaga: element symetryczny może dla pewnych elementów istnieć, dla innych nie np. w zbiorze Z z działaniem mnożenia dla 1 element symetryczny istnieje ale nie istnieje np. dla 2 6

11 2.1. Podstawowe przykłady działań Podstawowe przykłady działań I. Kanoniczne przykłady liczbowe (1) Działania dodawania wprowadzone na zbiorach N, Z, Q, R, C. (2) Działania mnożenia wprowadzone na zbiorach Z, Q, R, C. II. Działania w zbiorach macierzy Bardzo ważnym typem działania jest działanie mnożenia w tzw. zbiorach macierzy. Będziemy rozważać dwa podstawowe działania na macierzach, które znają Państwo z algebry liniowej. Najczęściej pracować będziemy z macierzami o wartościach liczbowych, (tzn. całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych). Zbiór wszystkim macierzy kwadratowych wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A będziemy oznaczać przez M n (A). Na zbiorze tym rozważać będziemy działanie dodawania macierzy. Zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych 4 wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A oznaczać będziemy GL n (A). W zbiorze tym rozważać będziemy działanie mnożenia macierzy. III. Zbiory odwzorowań i działania na nich Definicja (permutacje zbioru). Jeśli X jest zbiorem niepustym, zaś f : X X jest bijekcją zbioru X na samego siebie to odwzorowanie takie będziemy nazywać permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X będziemy oznaczać przez S(X). Szczególnym przypadkiem permutacji są permutacje zbioru skończonego. Definicja (permutacje). Rozważmy zbiór n-elementowy: {1, 2,..., n}. Każdą bijekcję tego zbioru na siebie nazywamy permutacją zbioru {1,..., n} lub permutacją n- elementową i zwyczajowo oznaczać będziemy takie odwzorowania przez greckie literki np. σ Każde z takich odwozorowań oznaczać będziemy dalej następująco: ( ) n σ = σ(1) σ(2)... σ(n) gdzie oznaczenie to mówi, że nasze odwzorowanie σ przeprowadza 1 na σ(1), 2 na σ(2) itd. aż do n na σ(n). Zbiór permutacji zbioru X będziemy zawsze rozważać z działaniem g f := g f. składania tzn. Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,..., n} będziemy dalej oznaczać przez S n. ( 4 )Pamiętamy, że macierz nieosobliwa to macierz o wyznaczniku różnym od zera

12 8 Działania i ich własności Tabela działania na zbiorze Częstym sposobem zapisu działania na zbiorze skończonym jest tabela tego działania - tzw. tabliczka Cayleya. Arthur Cayley - matematyk i prawnik angielski ( ) znany m.in. z prac na temat teorii grup, o której zaczniemy mówić na kolejnym wykładzie. Od niego pochodzi m.in. dowód faktu, że każda grupa (zbiór z działaniem łącznym, dla którego istnieje element neutralny i każdy z elementów posiada symetryczny) może być traktowana jako część grupy permutacji. Ułóżmy dla przykładu tabelę działania w grupie permutacji: Tabela działania( składania/mnożenia ) ( permutacji ) 3 elementowych ( ) S 3 = {σ( 1, σ 2,..., σ) 6 } gdzie σ 1 = id, σ 2 =, σ =, σ =, σ =, ( ) σ 6 = σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 2 σ 2 σ 1 σ 5 σ 6 σ 3 σ 4 σ 3 σ 3 σ 6 σ 1 σ 5 σ 4 σ 2 σ 4 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 2 σ 3 σ 5 σ 5 σ 4 σ 2 σ 3 σ 6 σ 1 σ 6 σ 6 σ 3 σ 4 σ 2 σ 1 σ 5 IV. Kongruencje i działania modulo Definicja (zbiór reszt modulo). Niech m N, k Z. Zbiór takich liczb całkowitych l które dają tę samą resztę z dzielenia przez m jak liczba k, (inaczej: l k (mod m)) nazywamy klasą równoważności liczby k modulo m i oznaczać ją będziemy dalej [l] m. Zbiór wszystkich takich klas oznaczamy Z m. Uwaga (uwagi notacyjne). (i) Każdy ze zbiorów Z m jest m-elementowy jako, że mamy m różnych reszt z dzielenia przez m. (ii) Często piszemy Z m = {0, 1, 2,..., m 1} zamiast Z m = {[0] m, [1] m,..., [m 1] m } - pamiętać jednak należy, że wtedy oznaczenie 0 mówi, że mamy na myśli wszystkie liczby podzielne przez m itd. Na zbiorze Z m będziemy wprowadzać dwa działania: dodawania i mnożenia. Definicja (i) Dla [k] m, [l] m Z m definiujemy: [k] m + [l] m := [k + l] m (ii) Dla [k m ], [l] m Z definiujemy: [k] m [l] m := [k l] m Uwaga Zauważmy, że działania wykonujemy więc w ten sposób, że dodajemy/mnożymy zadane liczby i potem bierzemy resztę z dzielenia wyniku przez m. Powyższa definicja działań w Z m ma sens, tzn. jeśli weźmiemy liczby reprezentujące te same klasy z Z m to wynik działania będzie taki sam - jak wiemy to z części poświęconej teorii liczb.

13 2.1. Podstawowe przykłady działań 9 Zobaczmy to na przykładzie: [3] 5 = [8] 5, [2] 5 = [12] 5 - gdy wymnożymy mamy: [3] 5 [2] 5 = [6] 5 = [1] 5 i analogicznie [8] 5 [12] 5 = [96] 5 = [1] 5. ( ) Tabela działania mnożenia modulo 5 w Z 5 = {1, 2, 3, 4} Ćwiczenia do części 2 (pytania o własności działań dotyczą własności z def ) Ćwiczenie 2.1. Sprawdzić, które z poniższych odwzorowań są działaniami na zbiorze X. W przypadku gdy jest to działanie sprawdzić jakie własności spełnia. x y (1) X = R, x y := x 2 + y, gdy 2 x2 + y 2 0, 0, gdy x 2 + y 2 = 0 (2) X = Z, m n := (m + n)/2, (3) X = Z, m n := 1, (4) X = Q, a b c d 2ad + 3bc :=. bd Ćwiczenie 2.2. W przypadku poniższych działań sprawdzić, czy są one łączne, przemienne, posiadają w podanych zbiorach element neutralny, a w przypadku gdy tak jest czy każdy z elementów posiada element symetryczny: (1) m n := 3 mn na N, (2) x y := 2x 2y + 6 na R \ {2}. (3) x y := y x na Q+. (4) (x, y) (z, w) := (4xz, y + w) na R R. (5) x y := x + y 3 na Z Z. Ćwiczenie 2.3. Dla każdego z poniższych działań zadanych tabelami sprawdzić, czy istnieje element neutralny a jeśli tak, to wyznaczyć elementy do których znaleźć można element symetryczny: (1) j k l m j k j m j k j k l m l k l j l m j m l m (2) x y z w x x z w y y z w y x z w y x z w y x z w (3) a b c d e a d e a b b b e a b a d c a b c d e d b a d e c e b d e c a

14 10 Działania i ich własności Ćwiczenie 2.4. Niech T := {A M 2 (R) : A = [ a (a) sprawdzić, że mnożenie macierzy jest działaniem na T, ], dla pewnego a R}. (b) wykazać, że mnożenie macierzy w M 2 (R) nie jest przemienne ale działanie to jest przemienne na T, (c) sprawdzić, czy w obu zbiorach istnieją elementy neutralne względem mnożenia. Ćwiczenie 2.5. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla zbioru funkcji X = {f a,b (x) = ax + b, a R, b R} z działaniem składania funkcji tzn. (f g)(x) = f(g(x)). Ćwiczenie 2.6. Sprawdzić dla jakich n N działanie składania permutacji w zbiorze S n jest przemienne. Ćwiczenie 2.7. Niech P będzie zbiorem wszystkich odwzorowań ze zbioru Z w Z. Na zbiorze P określimy dwa działania: dodawania odwzorowań - (f + g)(x) := f(x) + g(x) oraz składania odwzorowań - (f g)(x) := f(g(x)). Sprawdzić, czy zachodzi tu rozdzielność dodawania względem składania. Ćwiczenie 2.8. W zbiorze Z[i] = {a + bi, a, b Z} wprowadzamy dwa działania: dodawanie i mnożenie liczb zespolonych. Sprawdzić, które z własności spełniają te działania. Wyznaczyć wszystkie elementy, które posiadają element symetryczny względem mnożenia. Ćwiczenie 2.9. Rozważmy zbiór wektorów: R 3 := {(a, b, c) : a, b, c R}. Na zbiorze tym określimy mnożenie wektorów w następujący sposób (iloczyn wektorowy): ( [ ] [ ] [ ]) v2 v (v 1, v 2, v 3 ) (w 1, w 2, w 3 ) := det 3 v1 v, det 3 v1 v, det 2 w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 Tak określone działanie na R 3 nazywamy iloczynem wektorowym - jego efektem jest wektor prostopadły do obu wyjściowych wektorów. Sprawdzić, czy jest to działanie łączne i czy jest to działanie przemienne. Ćwiczenie (a) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne i posiada element neutralny, to element ten jest jedyny. (b) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne, posiada element neutralny zaś element x posiada element symetryczny to element ten jest jedyny.

15 Rozdział 3 Elementy teorii grup Korzeni teorii grup doszukiwać się należy bardzo głęboko w rozwoju relacji między pojęciami klasycznej algebry, arytmetyki i geometrii - do powstania podstaw pojęcia grupy doprowadziły w dużej mierze próby znalezienia wspólnego opisu własności teorioliczbowych i geometrycznych. Te dwa elementy, wspierane bodźcem poszukiwania rozwiązań równań wyższych stopni zostały w końcu sprowadzone do wspólnej płaszczyzny tworząc zręby m.in. języka teorii grup. Postęp czyniony w badaniach geometrii nieeuklidesowych, dalej prace Gaussa, Eulera, Lagrange a ( 1 ) i wielu innych nad rozwiązalnością równań stopnia co najmniej 5 legły u podstaw badań Galois ( 2 ) i Abela. ( 3 ) Od czasu tych dwóch matematyków całe pokolenia następców podejmowały idee przez nich zapoczątkowane rozwijając teorię grup i ciał - by wspomnieć Dedekinda, ( 4 ) Kroneckera,( 5 ) Jordana, ( 6 ).... To oni wzbogacili wprowadzane wcześniej pojęcia i stosowali już teorię grup w mniej lub bardziej znanej nam dziś formie. Konkretny wkład każdego z nich (albo większości) poznamy w dalszym ciągu wykładu. W przeciągu wieków pojęcie grupy przeszło długą ewolucję zanim nabrało współczesnego kształtu, a i dziś możliwe są dwa różne podejścia do charakteryzacji struktury grupowej. My oprzemy się na aksjomatycznym pojęciu grupy. ( 7 ) ( 1 )Joseph Louis Lagrange - matematyk i astronom włoskiego pochodzenia, pracujący głównie we Francji, ( ) ( 2 )Evariste Galois: matematyk francuski, Mozart matematyki, zginął mając zaledwie 21 lat, ( ) pozostawiając po sobie ogromny wkład w rozwój teorii grup i nowoczesnej teorii równań algebraicznych ( 3 )Niels Henrik Abel - matematyk norweski ( ) ( 4 )Julius Wilhelm Richard Dedekind - matematyk niemiecki, ( ) ( 5 )Leopold Kronecker - matematyk niemiecki ( ) ( 6 )Marie Eddemond Camille Jordan - matematyk francuski, ( ) ( 7 )Pojęcie grupy, jeszcze nienazwane, wystąpiło po raz pierwszy u Lagrange a (grupa permutacji n elementów). W swoim Disquisitiones Gauss wykorzystuje grupę addytywną i multiplikatywną pierścienia reszt modulo m, bada też grupy klas form kwadratowych. Dość często autorstwo terminu grupa przypisuje się Galois tym niemniej nie jest to chyba do końca poprawne, gdyż co prawda użył on w jednym ze swoich rękopisów określenia groupe, ale tę samą nazwę zastosował do tego, co dziś określamy jako warstwy grupy względem podgrupy (będzie o tym mowa dalej na wykładzie), miał więc chyba bardziej na myśli po prostu zbiór niż to co my rozumiemy jako grupę, czyli zbiór z działaniem o konkretnych własnościach. Z pewnością formalnym twórcą pojęcia grupy abstrakcyjnej jest Arthur Cayley, który zdefiniował je w 1854 roku w swoim pierwszym artykule o teorii grup opublikowanym w Philosophical Magazine. Do tego czasu zajmowano się jedynie grupami permutacji n elementów. Dalej należy obecną formę pojęcia grupy wiązać z pracami Kroneckera, Burnside a, von Dycka i H.M. Webera. 11

16 12 Elementy teorii grup 3.1 Podstawowe definicje i przykłady Pojęcie grupy Definicja (grupa). Niech G będzie zbiorem niepustym, zaś : G G (x, y) x y G działaniem (2.0.4) na G, dla którego zachodzą następujące własności: (1) jest ono łączne, (2) posiada element neutralny e G, (3) każdy element x G posiada element symetryczny x G. Wtedy parę (G, ) nazywamy grupą z działaniem. Jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień będziemy często pisali po prostu grupa G zamiast grupa (G, ). W domyśle jednak grupa jest zawsze zbiorem wraz z działaniem. Jeśli dodatkowo działanie jest przemienne grupę nazywamy przemienną lub abelową. Uwaga (i) Jeśli określone na G działanie spełnia jedynie warunek łączności, to parę (G, ) nazywamy półgrupą (ii) Jeśli (G, ) jest półgrupą i dodatkowo istnieje w G element neutralny działania to (G, ) nazywamy monoidem Definicja (rząd grupy). O grupie G mówimy, że jest skończona, gdy zbiór G ma skończoną ilość elementów. Wówczas ilość tę, czyli #G nazywamy rzędem grupy G i oznaczamy G. Jeśli zbiór G ma nieskończoną ilość elementów, to mówimy, że G jest grupą o rzędzie nieskończonym i piszemy: G =. Przykład (i) (Z, +), (Q, +), (R, +), C, +) e = 0, element symetryczny = liczba przeciwna - grupy abelowe. (ii) (Q, ), (R, ), (C, ) e = 1, element symetryczny = odwrotność liczby, - grupy abelowe z mnożeniem. (iii) Grupy reszt modulo: (Z n, + n ), gdzie [k] n + n [l] n := [k + l] n - grupa abelowa. (Z n, n), gdzie [k] n n [l] n := [k l] n - grupa abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy n P, (U(Z n ), n) - grupa reszt modulo n liczb względnie pierwszych z n (tzn. takich, których największy wspólny dzielnik z n jest równy 1). W dalszej części wykładu, jeśli będziemy mieć do czynienia z elementami zbioru Z n to ich dodawanie i mnożenie oznaczać będziemy zwykłymi znakami: + i pamiętając o tym, że oznacza to wykonywanie tych działań modulo n.

17 3.1. Podstawowe definicje i przykłady 13 (iv) Grupy macierzy: (M n (G), +) - grupa macierzy kwadratowych wymiaru n o wspøłczynnikach z G, gdzie G oznacza grupy addytywne Z, Q, R lub C, (działanie: dodawanie macierzy). Jeśli F = Q, R, C to (GL n (F ), ) - grupa nieosobliwych macierzy kwadratowych wymiaru n o współczynnikach z F, (v) Grupy symetryczne (ogólne grupy permutacji): Niech E oraz S(E) := S E := {f : E E : f bijekcja}. Wtedy (S E, ) jest grupą nazywaną grupą symetryczną. Dla E := {1,..., n} grupę S E oznaczamy S n i nazywamy grupą permutacji n- elementowych. Elementy grupy S n nazywamy permutacjami i zazwyczaj oznaczamy małymi literami greckimi. ( 8 ) W przypadku gdy E jest zbiorem n-elementowym grupę S E oznaczać będziemy przez S n - grupa permutacji n-elementowych. Warto pamiętać, że często pod pojęciem grupy permutacji rozumie się dowolną grupę, której elementy tworzą permutacje zadanego zbioru a działanie jest ich składaniem. (vi) Grupa diedralna (dihedral( 9 )) - grupa symetrii wielokąta foremnego z działaniem składania. Można spotkać się z dwoma notacjami dla tej grupy: D n oraz D 2n gdzie ta ostatnia związana jest z liczbą elementów grupy symetrii n-kąta foremnego, (grupa taka złożona jest z n odbić i n-obrotów, (w tym obrotu o 360 stopni - identyczność). W teorii grup używa się klasycznie dwóch notacji: multiplikatywnej i addytywnej. Działanie Element neutralny Element symetryczny Nazwa mnożenie jedynka grupy element odwrotny Oznaczenie x y lub xy 1 G lub 1 x 1 Tabela 3.1: Notacja multiplikatywna. Działanie Element neutralny Element symetryczny Nazwa dodawanie zero grupy element przeciwny Oznaczenie x + y 0 G lub 0 x Tabela 3.2: Notacja addytywna. Często notacja addytywna stosowana jest w przypadku, gdy grupa jest abelowa. Na wykładzie w dalszym ciągu teorii grup będziemy stosować notację multiplikatywną, (za wyjątkiem jednego rozdziału) oraz skrótowo operować wyrażeniem grupa G zamiast grupa ( 8 )Taka notacja przyjęła się za klasycznym podręcznikiem H.Wielandta,F inite Permutation Groups, Academic Press, New York, 1964 ( 9 )Dihedral group - określenie to oznacza dokładnie grupę dwuścianu

18 14 Elementy teorii grup (G, ) oraz znakiem mnożenia, (często w ogóle pomijanym) zamiast. Nie należy jednak zapominać o tym, że grupa to zawsze zbiór z działaniem. Definicja (iloczyn standardowy). Niech G będzie grupą, a 1,..., a n określamy iloczyn elementów n a i = a 1... a n następująco: i=1 n a 1, dla n = 1 ( a i = a 1... a n := n 1 ) a i a n, dla n > 1. i=1 i=1 G. Wtedy Własność (podstawowe własności działania w grupie). Niech G będzie grupą, niech a, b, c G oraz niech a 1,..., a n G. (1) Element neutralny w G oraz element symetryczny do danego elementu są wyznaczone jednoznacznie. (2) Zachodzi uogólnione prawo łączności, tzn. (a 1... a k )(a k+1... a n ) = a 1... a n dla dowolnego 0 < k < n. (3) Zachodzi wzór (a 1... a n ) 1 = a 1 n... a 1 1. (4) Zachodzi prawo skracania, tzn. jeśli ac = bc lub ca = cb, to wtedy a = b. (5) Jeśli dodatkowo grupa G jest przemienna, to zachodzi uogólnione prawo przemienności, tzn. a σ(1)... a σ(n) = a 1... a n dla dowolnej permutacji σ S n. Dowód. (1) Jeśli e G oraz e G są elementami neutralnymi, to e = e e = e. Jeśli zaś x G oraz x G są elementami symetrycznymi względem x G, to x = xe = x(x x) = ( xx) x = e x = x. (2) Indukcja względem n. Gdy n = 1 lub n = 2, to teza jest oczywista, a jeśli n > 2, to (a 1... a k )(a k+1... a n ) = (a 1... a k ) ( (a k+1... a n 1 )a n ) = ( (a 1... a k )(a k+1... a n 1 ) ) a n = (a 1... a n 1 )a n = a 1... a n. (3) Dowód indukcyjny względem n. Dla n = 2 mamy (a 1 a 2 )(a 1 2 a 1 1 ) = 1, czyli z jedyności elementu odwrotnego mamy tezę. Jeśli n > 2 oraz teza jest prawdziwa dla n 1, to (a 1... a n ) 1 = a 1 n (a 1... a n 1 ) 1 = a 1 n... a 1 1. (4) Wynika z łączności i istnienia elementu odwrotnego do c.

19 3.1. Podstawowe definicje i przykłady 15 (5) Dowód indukcyjny względem n. Dla n = 2 teza jest oczywista. Niech więc n > 2 oraz niech 1 j n będzie takie, że σ(j) = n. Możemy założyć, że 1 < j < n (z sytuacją j = 1 lub j = n radzimy sobie prosto). Mamy teraz a σ(1)... a σ(n) = (a σ(1)... a σ(j 1) )a n (a σ(j+1)... a σ(n) ) = (a σ(1)... a σ(j 1) a σ(j+1)... a σ(n) )a n = (a ϱ(1)... a ϱ(n 1) )a n = (a 1... a n 1 )a n = a 1... a n, gdzie permutacja ϱ S n 1 dana jest wzorem { σ(k), gdy 1 k j 1, ϱ(k) = σ(k + 1), gdy j k n 1. Opisowo możemy streścić powyższe rozumowanie następująco: szukamy miejsca, w którym jest a n a następnie korzystając z łączności i przemienności grupy (bierzemy jako jeden element a n a jako drugi iloczyn tych które stoją za nim ) przesuwamy go na koniec. Do pierwszej części, która jest permutacją (n 1)-elementową stosujemy założenie indukcyjne. Warto tu znów przypomnieć fakt, o którym pisaliśmy już w notce historycznej przy okazji definicji wprowadzonej przez Webera. Mianowicie prawo skracania jest równoważne istnieniu elementu odwrotnego w przypadku gdy zbiór G jest skończony. Nie jest to trudne do wykonania ćwiczenie. Warto jednocześnie poszukać przykładu takiego monoidu nieskończonego nie będącego grupą, w którym zachodzi prawo skracania. Definicja (potęgowanie). Gdy G jest grupą, a G oraz k Z, to określamy k a, gdy k > 0, a k i=1 := 1, gdy k = 0, (a 1 ) k, gdy k < 0. Inaczej ostatnią równość możemy zapisać a k = (a 1 ) k dla k > 0. Zauważmy, że w półgrupie możliwe jest potęgowanie z wykładnikiem > 0, natomiast w monoidzie określone są potęgi o wykładniku 0. Własność (własności potęg). Jeśli G jest grupą, a G oraz k, l Z, to a k a l = a k+l oraz (a k ) l = a kl. Dowód. Są to bezpośrednie wnioski z własności Podgrupy Definicja (podgrupa). Jeśli (G, ) jest grupą, to podzbiór H G nazywamy podgrupą grupy G, gdy:

20 16 Elementy teorii grup (1) H, (2) zawężenie H H przyjmuje wartości w H, (czyli jest to działanie na H) (3) (H, H H ) ma strukturę grupy. Działanie po zawężeniu do H H nazywamy działaniem indukowanym. Inaczej mówiąc H jest podgrupą G, jeśli jest grupą z działaniem indukowanym z G. Piszemy wtedy H < G. Własność (warunki równoważne na podgrupę). Gdy G jest grupą oraz H G, to następujące warunki są równoważne: (a) H jest podgrupą G, (b) H oraz spełnione są dwa warunki: (1) xy H dla dowolnych x, y H, (2) x 1 H dla dowolnego x H. (c) H oraz spełniony jest warunek: (1) xy 1 H dla dowolnych x, y H, Dowód. Zauważmy, że oczywiście jeśli H jest podgrupą to spełniony jest warunek (a), zaś jeśli spełniony jest warunek (b) to oczywiście także (c) gdyż jeśli x, y H to z (b)(2) mamy y 1 H a z (b)1 mamy xy 1 H. Niech teraz spełniony będzie warunek (c). Zauważmy najpierw, że skoro H to istnieje x H więc zgodnie z warunkiem (c) mamy 1 G x x 1 H. Jeśli teraz z H jest dowolnym elementem to biorąc x := 1 G H, y := z H dostaniemy, że z 1 = 1 G z 1 H. Ostatecznie niech a, b H. Wiemy już, że wtedy też b 1 H, biorąc więc x := a, y = b 1 i stosując warunek (c) mamy ab = xy 1 H. Ponieważ łączność działania oczywiście zachodzi dla każdych elementów w G więc i dla każdych elementów podzbioru G jakim jest H wykazaliśmy, że H jest podgrupą G. Uwaga Gdy H jest skończonym i niepustym podzbiorem grupy G, to wystarczy wykazać warunek wewnętrzności (1), aby H było podgrupą w G. Przykład (1) (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +). (2) (Q, ) < (R, ) < (C, ). (3) Dla n > 0 określamy U n (C) = {z C : z n = 1}. Wtedy (U n (C), ) < (C, ). (4) Jeśli G jest grupą, to podzbiór C(G) := {x G : xa = ax dla wszystkich a G}( 10 ) nazywamy centrum grupy G. Oczywiście centrum C(G) jest podgrupą w G. ( 10 )zdarza się, że w podręcznikach centrum grupy jest oznaczane przez Z(G) - pochodzi to od notacji z wersji niemieckiej

21 3.1. Podstawowe definicje i przykłady 17 Własność (charakteryzacja podgrup w Z). Niepusty podzbiór H zbioru liczb całkowitych Z jest podgrupą grupy (Z, +) wtedy i tylko wtedy, gdy H = nz dla pewnego n N 0. Dowód. Sprawdzenie, że każdy podzbiór postaci nz jest podgrupą pozostawiamy jako proste ćwiczenie. Udowodnimy teraz, że każda podgrupa ma taką postać. Jeśli H = {0}, to wystarczy przyjąć n = 0. Załóżmy więc, że H {0} i przyjmijmy (korzystamy z??) n = min{k N : k H}. Ponieważ n H, więc nz H. Jeśli zaś k H, to możemy podzielić k przez n z resztą (por ) otrzymując takie (q, r) Z Z, że k = qn + r oraz 0 r < n. Oczywiście r = k qn H, co wobec minimalności n daje r = 0. W takich razie k = qn nz oraz H nz. Uwaga (1) Każda grupa G posiada zawsze dwie (czasem równe) podgrupy: całą grupę G oraz podgrupę trywialną {1 G } złożoną tylko z elementu neutralnego. Podgrupę G nazywamy podgrupą niewłaściwą grupy G. Każdą podgrupę H < G różną od G nazywamy podgrupą właściwą. (2) Jeśli G jest grupą, K < H oraz H < G, to wtedy K < G. (3) Jeśli G jest grupą, {H i } i I jest niepustą rodziną podgrup G, to przecięcie H i := {x G : x H i, i I} również jest podgrupą G. i I (4) Suma mnogościowa podgrup nie musi być podgrupą. Przykładowo H 1 = 2Z oraz H 2 = 3Z są podgrupami Z, jednak H 1 H 2 nie jest podgrupą Z, bo 5 = / H 1 H 2. Ćwiczenia do części 3 Ćwiczenie 3.1. Sprawdzić, czy zbiór G = R + \ {1} z działaniem a b := a ln b tworzy grupę. {[ ] } 2 k p(x) Ćwiczenie 3.2. Niech G = : k Z, p(x) Q[x]. Wykazać, że G jest 0 1 {[ ] } 2 k p(x) grupą z działaniem mnożenia macierzy. Sprawdzić, czy H = : k = 0, p(x) Z[x] 0 1 jest jej podgrupą. Ćwiczenie 3.3. Wykorzystując własności działania w grupie ułożyć tabelkę grupy dla grupy 3-elementowej (dowolnej tzn. G = {a, b, c} i wiemy, że to jest grupa z pewnym abstrakcyjnym mnożeniem). Ćwiczenie 3.4. Udowodnić, że jeśli w zbiorze skończonym mamy określone działanie łączne, dla którego zachodzi prawo skracania, (3.1.6(4)) to zbiór z tym działaniem tworzy grupę. Podać przykład, że własność taka nie zachodzi bez założenia skończoności zbioru.

22 18 Elementy teorii grup Ćwiczenie 3.5. Wykazać, że centrum grupy (3.1.12) jest jej podgrupą. Ćwiczenie 3.6. Udowodnić, że przecięcie niepustej rodziny podgrup jest podgrupą, (por (3)) Ćwiczenie 3.7. Dowieść, że jeśli dla dowolnego elementu a w grupie G zachodzi: a 2 = 1 G, to G jest abelowa. Odpowiedzieć na pytanie, czy warunek a 4 = 1 G (dla dowolnego a G) także implikuje abelowość G, (ogólnie: dla jakich n N warunek a n = 1 G spełniony dla każdego a G pociąga abelowość grupy?) Ćwiczenie 3.8. Niech G będzie grupą. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne: (1) G jest abelowa (2) (x, y) G G : (xy) 2 = x 2 y 2, (3) (x, y) G G : (xy) 1 = x 1 y 1. Ćwiczenie 3.9. Niech G będzie grupą, H, K jej podgrupami. Udowodnić, że H K jest podgrupą G wtedy i tylko wtedy, gdy H K lub K H. Ćwiczenie Udowodnić, że żadnej grupy G nie da się przedstawić w postaci sumy mnogościowej dwóch nietrywialnych podgrup właściwych, (por ) 3.2 Homomorfizmy grup Jednym z najbardziej skutecznych narzędzi badania własności danej grupy jest porównywanie jej z innymi znanymi już wcześniej grupami. Aby móc to wykonać trzeba wiedzieć kiedy dwie grupy posiadają dokładnie takie same struktury służyć nam do tego będą tak zwane homomorfizmy grup, czyli odwzorowania między grupami o specjalnych własnościach. Definicja (homomorfizm grup). Jeśli (G, ) oraz ( G, ) są grupami, to odwzorowanie f : G G nazywamy homomorfizmem grup G oraz G, gdy f(x y) = f(x) f(y) dla dowolnych x, y G. Zbiór wszystkich homomorfizmów grupy G w grupę G oznaczamy Hom(G, G). Przykład Rozważmy odwzorowanie następujące: f : R x 3 x R. Zauważmy, że ponieważ w R mamy działanie dodawania, a w R mnożenia odwzorowanie to jest homomorfizmem gdyż: f(x + y) = 3 x+y = 3 x 3 y = f(x) f(y) To odwzorowanie pozwala nam zamieniać dodawania na mnożenie. Odwrotna transformacja może zostać przeprowadzona za pomocą logarytmu - są to ważne odwzorowania z punktu widzenia zastosowań. W wielu przypadkach mnożenie jest znacznie łatwiejsze do wykonania niż dodawania, warto więc wówczas wykorzystać taką zamianę.

23 3.2. Homomorfizmy grup 19 Definicja (injekcja, surjekcja, bijekcja). Niech f : X Y. Wówczas odwzorowanie f nazywamy: (1) iniekcją gdy zachodzi implikacja: f(x) = f(y) = x = y, (różnowartościowość odwzorowania), (2) surjekcją gdy y Y x X : f(x) = y, (3) bijekcją gdy jest to injekcja i surjekcja. Wyróżniamy ponadto następujące rodzaje homomorfizmów: monomorfizm = homomorfizm injektywny, epimorfizm = homomorfizm surjektywny, izomorfizm = homomorfizm bijektywny, endomorfizm = homomorfizm z grupy w nią samą, automorfizm = endomorfizm bijektywny. Zbiór izomorfizmów grupy G w G oznaczamy Iso(G, G). Zbiór endomorfizmów grupy G oznaczamy End(G), natomiast zbiór automorfizmów grupy G zapisujemy jako Aut(G). Przykład Przyjrzyjmy się przykładom: (1) f : R x x 2 R + jest epimorfizmem ale nie jest injekcją. (2) g : R x 2 x R jest monomorfizmem ale nie jest surjekcją. Obserwacja Jeśli f : G G oraz g : G są homomorfizmami grup, to również g f : G G jest homomorfizmem grup. Ponadto, jeśli f jest bijekcją, to f 1 także jest homomorfizmem grup. Dowód. Pierwsza część tezy jest łatwym ćwiczeniem na składanie funkcji. Dla dowodu części drugiej niech x, y G. Wówczas istnieją jedyne takie elementy x, y G, że x = f(x) i y = f(y). Wobec tego f 1 (x y ) = f 1 (f(x)f(y)) = f 1 (f(xy)) = xy = f 1 (x )f 1 (y ). Definicja (grupy izomorficzne). Grupy G, G nazywamy izomorficznymi, jeśli istnieje izomorfizm grupy G na grupę G. Fakt, że grupy G, G są izomorficzne oznaczamy G = G. Pojęcie grup izomorficznych jest niezwykle istotnym pojęciem dla badania ich własności. Grupy izomorficzne bowiem, z punktu widzenia własności algebraicznych są nie do rozróżnienia na poziomie struktury grupowej. Przykład (1) Jeśli H jest podgrupą grupy G, to zanurzenie ı: H x x G jest monomorfizmem.

24 20 Elementy teorii grup (2) Zbiór Aut(G) automorfizmów grupy G z działaniem składania ma strukturę grupy, ponadto każde odwzorowanie postaci ϕ a : G x axa 1 G gdzie a G jest automorfizmem grupy G. Odwzorowania takie nazywamy automorfizmami wewnętrznymi grupy G. Zbiór Inn(G) automorfizmów wewnętrznych grupy G jest podgrupą w Aut(G). Uwaga Rozważmy następujący zbiór Z 2 Z 2 := {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} - na tym zbiorze wprowadzamy działanie dodawania modulo 2 po współrzędnych tzn. np. (1, 1) + (1, 0) = (0, 1) itd. Łatwo ułożyć tabelę takiego działania i zobaczyć, że mamy do czynienia z grupą, (szczególny przypadek tzw. sumy prostej grupy o czym nieco później). Zauważmy, że grupa ta ma 4 elementy, podobnie jak grupa Z 4 - wobec tego łatwo wypisać odwzorowanie, które będzie bijekcją między tymi zbiorami - te zbiory są równoliczne. Jednak jak się okazuje żadna z wypisany bijekcji nie będzie homomorfizmem, o czym przekonamy się dalej. Fakt ten bierze się stąd, iż jak łatwo widać każdy element Z 4 jest potęgą (w sensie dodawania!) elementu 1. Natomiast w Z 2 Z 2 nie istnieje odpowiednik elementu o takiej własności. Jeśli potęgujemy np. (1, 1) to dostaniemy: (1, 1) i (0, 0) - żadnego innego elementu. Podobnie jest z pozostałymi, nie ma więc jednego elementu którego potęgą byłyby wszystkie inne. Twierdzenie [podstawowe własności homomorfizmu] Niech f : G G będzie homomorfizmem grup. (1) f(1 G ) = 1 G. (2) Jeśli x G, to wtedy f(x 1 ) = f(x) 1. (3) Jeśli H < G, to wtedy f(h) < G. (4) Jeśli H < G, to wtedy f 1 ( H) < G. Dowód. (1) Zauważmy, że f(1 G )f(1 G ) = f(1 G 1 G ) = f(1 G ), stąd z prawa skracania mamy f(1 G ) = 1 G. (2) Jeśli x G, to mamy f(x)f(x 1 ) = f(xx 1 ) = f(1 G ) = 1 G i analogicznie f(x 1 )f(x) = 1 G, zatem z jedyności elementu odwrotnego mamy f(x) 1 = f(x 1 ). (3) Skorzystamy z własności Wobec 1 G H mamy 1 G = f(1 G ) f(h), czyli f(h). Jeśli teraz a, b f(h), to istnieją takie x, y H, że a = f(x) oraz b = f(y), stąd zaś gdyż ab 1 H. ab 1 = f(x)f(y) 1 = f(x)f(y 1 ) = f(xy 1 ) f(h), (4) Dowód przeprowadzimy analogicznie jak w przypadku obrazu. Ponieważ H jest podgrupą G więc 1 G H. Na podstawie punktu (1) wiemy, że f(1 G ) = 1 G czyli 1 G f 1 (1 G) więc H jest zbiorem niepustym. Niech teraz x, y f 1 ( H) co oznacza zgodnie z definicją, że f(x),

25 3.2. Homomorfizmy grup 21 f(y) H, skoro zaś H to podgrupa to wiemy, że f(x)(f(y)) 1 H. Zgodnie z własnościami które już poznaliśmy wiemy jednak, że f(x)f(y) 1 = f(xy 1 ) skąd mamy, że xy 1 f 1 ( H) co kończy dowód. Określimy teraz dwa podstawowe obiekty, które będą nam służyć do badania własności homomorfizmów grup. Definicja (jądro i obraz homomorfizmu). Jeśli f : G G jest homomorfizmem grup, to obrazem f nazywamy zbiór zaś jądrem f nazywamy zbiór Im f := f(g) = {y G : x G : f(x) = y}, Ker f := f 1 (1 G) = {x G : f(x) = 1 G}. Wniosek (własności jądra i obrazu). Jeśli G, G są grupami, zaś f : G G jest homomorfizmem grup, to wtedy Ker f < G oraz Im f < G. Kolejne twierdzenie jest doskonałym narzędziem badania własności homomorfizmów grup i będzie nam bardzo przydatne w dalszej części wykładu. Własność (charakteryzacja monomorfizmu). Niech f : G G będzie homomorfizmem grup. (1) f jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker f = {1 G }. (2) f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Im f = G. Dowód. Punkt (2) to po prostu definicja surjekcji. Przypuśćmy teraz, że f jest injekcją oraz, że x Ker f. Wtedy f(x) = f(1 G ) = 1 G, czyli x = 1 G. Wobec tego Ker f {1 G }, jednak 1 G Ker f, więc mamy równość. Załóżmy teraz równość Ker f = {1 G }. Jeśli x, y G są takie, że f(x) = f(y), to 1 G = f(x)f(y) 1 = f(xy 1 ), czyli xy 1 Ker f, zatem x = y. Przykład Odwzorowanie GL 2 (R) A det A R jest homomorfizmem grup. Jego jądro oznaczamy przez SL 2 (R) i nazywamy specjalną grupą liniową. Bardzo ważnym twierdzeniem w teorii grup jest twierdzenie, które mówi, że każda grupa może być traktowana w pewnym sensie jak grupa permutacji elementów swojego zbioru. Twierdzenie (Cayley). Każda grupa jest izomorficzna z podgrupą swojej grupy symetrycznej. Dowód. Jeśli G jest grupą, zaś a G, to rozważmy odwzorowanie ψ a : G x ax G. Zauważmy, że jest to odwzorowanie bijektywne, z odwrotnym ψ a 1. Możemy zatem określić Ψ: G a ψ a S G.

26 22 Elementy teorii grup Wystarczy teraz udowodnić, że jest to monomorfizm grup. Istotnie, jeśli a, b G, to dla dowolnego x G mamy Ψ(ab)(x) = ψ ab (x) = (ab)x = a(bx) = ψ a (bx) = ψ a (ψ b (x)) = (ψ a ψ b )(x) = (Ψ(a) Ψ(b))(x), skąd otrzymujemy równość Ψ(ab) = Ψ(a) Ψ(b). Jeśli teraz Ψ(a) = id G, to czyli Ψ rzeczywiście jest monomorfizmem. Ćwiczenia do części 3 (2) 1 = Ψ(a)(1) = ψ a (1) = a 1 = a, Ćwiczenie Sprawdzić, czy odwzorowanie f : R + x ln x R jest homomorfizmem grup. Wyznaczyć obraz tego odwzorowania oraz w przypadku gdy jest to homomorfizm także jego jądro. Ćwiczenie Sprawdzić, czy odwzorowanie g : C z 3 R(z) R jest homomorfizmem. Wyznaczyć obraz tego odwzorowania oraz w przypadku gdy jest to homomorfizm także jego jądro. Ćwiczenie Sprawdzić, czy odwzorowanie h : C z z R jest homomorfizmem grup. Wyznaczyć obraz tego odwzorowania oraz w przypadku gdy jest to homomorfizm także jego jądro. Ćwiczenie Wykazać, że grupa G jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie G a a 1 G jest homomorfizmem grup. Ćwiczenie Wykazać, że każdy automorfizm wewnętrzny (3.2.7) jest rzeczywiście automorfizmem oraz, że zbiór tych automorfizmów tworzy podgrupę grupy wszystkich automorfizmów grupy G. Ćwiczenie Wyznaczyć wszystkie automorfizmy grupy Z. 3.3 Generatory grup Podgrupy generowane przez zbiór Przyjrzyjmy się bliżej naszemu podstawowemu przykładowi, jakim jest (Z, +). Zauważmy, że każdy element tego zbioru można otrzymać dodając do siebie stosowną liczbę jedynek. W sytuacji takiej powiemy, że element 1 generuje grupę Z. Rozważmy teraz zbiór liczb naturalnych parzystych. Jest to podzbiór Z ale nie jest to podgrupa. Aby dostać podgrupę musimy dorzucić ujemne liczby parzyste. W ten sposób otrzymamy 2Z najmniejszą podgrupę Z, która zawiera 2N. Jest to tak zwana podgrupa generowana przez zbiór 2N. Definicja (podgrupa generowana przez zbiór, generatory). Jeśli G jest grupą, zaś S G, to zbiór S := H H<G,S H

27 3.3. Generatory grup 23 nazywamy podgrupą generowaną przez zbiór S ( 11 ). Jeśli zachodzi S = G, to elementy zbioru S nazywamy generatorami grupy G. Gdy S = {a 1,..., a n } piszemy po prostu < S >=< a 1,..., a n > Własność (postać elementów w grupie generowanej). Jeśli G jest grupą oraz S G, to wtedy S = {s k s kn n : s 1,..., s n S, k 1,..., k n Z, n N}. Dowód. Oznaczmy przez H = {s k s kn n, n N, k i Z, s i S}. Oczywiście S H, łatwo też wykazać, że jest to podgrupa korzystając z Jest to bowiem zbiór niepusty bo zawiera niepusty zbiór S, zaś biorąc dwa elementy H postaci: x = s k s kn n, y = r l rp lp otrzymujemy: xy 1 = s k s kn n rp lp... r l 1 1 czyli element z H, bo l 1,..., l p Z. Wobec tego zachodzi zawieranie S H (skoro S to przecięcie wszystkich podgrup zawierających S). Ponieważ jednocześnie każda podgrupa G, która zawiera S musi zawierać też H, (dzięki wewnętrzności działania oraz przynależności elementu odwrotnego), więc S = H. Wniosek (podgrupa generowana przez jeden element). Jeśli G jest grupą oraz a G, to wtedy a = {a k : k Z}. Przykład (1) Zbiór generatorów na ogół nie jest jedyny na przykład dla grupy (Z, +) otrzymujemy Z = 1 = 1. Dodatkowo zawsze jest G = G. (2) W grupie (Z, +) podgrupą generowaną przez A = {6, 15} jest A = {6k + 15l : k, l Z} i łatwo pokazać, że jest to 3Z, czyli podgrupa generowana przez największy wspólny dzielnik liczb 6 i 15. (3) Grupa (Q, +) może być wygenerowana przez każdy ze zbiorów A k = {1/n : n k} dla k = 1, 2, 3,... Jednocześnie okazuje się, że jest to grupa, która nie posiada skończonego układu generatorów. Można też pokazać, że każda skończenie generowana podgrupa grupy Q da się wygenerować za pomocą jednego generatora. (4) Grupa (Q, ) jest generowana przez zbiór liczb pierwszych i 1 i nietrudno sprawdzić, że jest to minimalny układ jej generatorów. (5) Mieliśmy już przykład dwóch grup równolicznych, które nie były izomorficzne (patrz uwaga 3.2.8). Jednak grupy te nie miały tej samej minimalnej liczby generatorów. Dwie grupy tego samego rzędu o takiej samej minimalnej liczbie generatorów też nie muszą być izomorficzne. Niech a = ( ) 0 1, b = 1 0 ( ) 0 i, c = i 0 ( 11 )dzięki uwadze 3.3.1(3) wiemy, że istotnie jest to podgrupa. ( )

28 24 Elementy teorii grup Rozważmy teraz dwie grupy: Q = a, b GL 2 (C), H = a, c GL 2 (C). Obie te grupy są ośmioelementowe, nie dadzą się wygenerować przez jeden element i nie są izomorficzne. Grupa Q nazywana jest grupą kwaternionów, gdyż jest izomorficzna z grupą jedności {±1, ±i, ±j, ±k} rzeczywistej algebry kwaternionów H. Rząd elementu w grupie, grupy cykliczne Definicja (rząd elementu). Jeśli G jest grupą, to rzędem elementu a G nazywamy rząd grupy a. Rząd elementu a oznaczamy przez a. Uwaga (1) Jeśli G jest grupą i a G, to a G. Ponadto a = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 1. (2) W grupie (Z, +) każdy niezerowy element ma rząd nieskończony ale nie każdy taki element generuje całą grupę Z. Lemat Niech G będzie grupą, niech a G oraz H n (a) = {1, a,..., a n 1 } dla n > 0. (1) Jeśli a n = 1, to wtedy H n (a) G oraz a n. (2) Jeśli a = n, to wtedy H n (a) = n oraz a = H n (a). Dowód. (1) Wprost z definicji mamy 1 H n (a). Jeśli teraz x, y H n (a), to istnieją takie 0 p, q < n, że x = a p oraz y = a q. Pisząc p + q = kn + r, gdzie 0 r < n otrzymujemy Ponadto xy = a p a q = a p+q = a kn+r = (a n ) k a r = a r H n (a). x 1 = a p = a n a p = a n p H n (a). Jednocześnie a H n (a), stąd a H n (a), czyli a H n (a) n. (2) Pokażemy, że jeśli H n (a) < n, to a < n. Istotnie, jeśli H n (a) < n, to oznacza to, że istnieją takie 0 p < q < n, że a p = a q, czyli a r = 1, gdzie 0 < r = q p < n. Na podstawie (1) mamy więc a r < n. Teraz jeśli a = n, to H n (a) a i oba te zbiory mają tę samą liczbę elementów, skąd ich równość. Twierdzenie (wzór praktyczny na rząd elementu). Jeśli G jest grupą, a G oraz a <, to a = min{n N : a n = 1}, zaś < a >= {1 G, a, a 2,..., a n 1 }. Dowód. Dzięki założeniu a < zbiór względem którego bierzemy minimum jest niepusty. Oznaczmy zatem n 0 = min{n N : a n = 1}, n = a. Chcemy pokazać, że n = n 0. Po pierwsze a n 0 = 1, więc na podstawie lematu jest n n 0. Ponadto a = H n (a) = {1,..., a n 1 }, więc istnieje takie 0 p < n, że a n = a p